9. WWW.ToanCapBa.Net
Chương 1
Phương trình, bất phương trình, hệ đại số
1.1 Phương trình, bất phương trình đa thức
1.1.1 Phương trình, bất phương trình bậc hai
Bài 1.1 : Giải và biện luận các phương trình sau :
1. (m − 2)x2 − 2mx + m + 1 = 0 ;
2.
Bài 1.2 : Cho phương trình :
a
1
+
= 2.
x−1 x−a
(m2 − 4)x2 + 2(m + 2)x + 1 = 0.
1. Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt.
2. Tìm m để phương trình có nghiệm duy nhất.
Bài 1.3 : Gọi a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh phương trình sau vô nghiệm :
c2 x2 + (a2 − b2 − c2 )x + b2 = 0.
Bài 1.4 : Cho phương trình :
x2 − (2m + 3)x + m2 + 2m + 2 = 0.
1. Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 .
2. Viết phương trình bậc hai có hai nghiệm
1 1
, .
x1 x2
3. Tìm hệ thức giữa x1 , x2 độc lập với tham số m.
4. Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x1 = 2x2 .
Bài 1.5 : Cho phương trình : x2 − cos a.x + sin a − 1 = 0.
1. Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm x1 , x2 với mọi a.
2. Tìm hệ thức giữa x1 , x2 độc lập với a.
3. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của E = (x1 + x2 )2 + x2 x2 .
1 2
Bài 1.6 : Cho phương trình :
mx2 − 2(m − 2)x + m − 3 = 0.
Tìm m để phương trình có :
11
WWW.ToanCapBa.Net
10. WWW.ToanCapBa.Net
CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
1. hai nghiệm trái dấu ;
2. hai nghiệm dương phân biệt ;
3. đúng một nghiệm âm.
Bài 1.7 : Giải các bất phương trình sau :
1.
x2 − 4x + 3
<1−x;
3 − 2x
3.
2
1
−4
+ ≤
;
x + 2 2 x2 + 2x
4. x2 + (x + 1)2 ≤
2. (−x2 + 3x − 2)(x2 − 5x + 6) ≥ 0 ;
15
;
x2 + x + 1
Bài 1.8 : Giải và biện luận các bất phương trình sau :
1. x2 − mx + m + 3 > 0 ;
Bài 1.9 : Giải hệ bất phương trình sau :
Bài 1.10 : Tìm m để :
1. x2 − mx + m + 3 ≥ 0, ∀x ∈ R ;
2. (m + 1)x2 − 2(m − 1)x + 3m − 3 ≥ 0 ;
x2 − 7x + 6 ≤ 0
x2 − 8x + 15 ≥ 0
2. mx2 + 4x + m > 0, ∀x ∈ R ;
3. mx2 − mx − 5 < 0, ∀x ∈ R.
Bài 1.11 : Tìm m để các hàm số sau xác định với mọi x ∈ R :
1. y =
m(m + 2)x2 + 2mx + 2 ;
2. y =
1
(1 − m)x2 − 2mx + 5 − 9m
;
Bài 1.12 : Cho f (x) = (m + 1)x2 − 2(m − 1)x + 3m − 3. Tìm m để bất phương trình :
1. f (x) < 0 vô nghiệm.
2. f (x) ≥ 0 có nghiệm.
Bài 1.13 : Tìm m để các bất phương trình sau có tập nghiệm là R :
3x2 − mx + 5
1. 1 ≤
<6;
2x2 − x + 1
¬
¬
¬ x2 + mx + 1 ¬
¬
¬
2. ¬
¬<2;
¬
x2 + 1 ¬
Bài 1.14 : Cho bất phương trình : x2 + 6x + 7 + m ≤ 0. Tìm m để bất phương trình :
1. vô nghiệm.
2. có đúng một nghiệm.
3. có miền nghiệm là một đoạn trên trục số có độ dài bằng 1.
Bài 1.15 : Tìm m để f (x) = mx2 − 4x + 3m + 1 > 0 với mọi x > 0.
Bài 1.16 : Tìm m để f (x) = 2x2 + mx + 3 ≥ 0 với mọi x ∈ [−1; 1].
Bài 1.17 : Tìm m để f (x) = x2 − 2mx − m ≥ 0 với mọi x > 0.
Bài 1.18 : Tìm m để f (x) = mx2 − 2(m + 1)x − m + 5 > 0 với mọi x < 1.
Bài 1.19 : Tìm m để f (x) = 2x2 − (3m + 1)x − (3m + 9) ≤ 0 với mọi x ∈ [−2; 1].
TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343
WWW.ToanCapBa.Net
Trang 12
11. WWW.ToanCapBa.Net
CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
1.1.2 Phương trình trình bậc ba
Bài 1.20 : Cho phương trình :
x3 − (m2 − m + 7)x − (3m2 + m − 6) = 0.
1. Tìm m để phương trình có một nghiệm là −1.
2. Với m > 0 tìm được ở câu trên, hãy giải phương trình .
Bài 1.21 : Giải các phương trình sau :
1. x3 − 6x2 + 11x − 6 = 0 ;
3. x3 − 5x2 + 7x − 2 = 0 ;
√
√
4. x3 − 3 3x2 + 7x − 3 = 0 ;
2. 2x3 + x + 3 = 0 ;
Bài 1.22 : Tìm m để các phương trình sau có ba nghiệm phân biệt :
1. x3 − (2m + 1)x2 + 3(m + 4)x − m − 12 = 0 ;
2. mx3 − 2mx2 − (2m − 1)x + m + 1 = 0 ;
Bài 1.23 : Tìm m để phương trình :
mx3 − (3m − 4)x2 + (3m − 7)x − m + 3 = 0
có ba nghiệm dương phân biệt.
1.1.3 Phương trình, bất phương trình bậc bốn
Bài 1.24 : Giải các phương trình sau :
1. x4 − 3x2 + 4 = 0 ;
6. 6x4 − 35x3 + 62x2 − 35 + 6 = 0 ;
2. (x − 1)(x + 5)(x − 3)(x + 7) = 297 ;
7. x4 + x3 − 4x2 + x + 1 = 0 ;
3. (x + 2)(x − 3)(x + 1)(x + 6) = −36 ;
8. x4 − 5x3 + 10x2 − 10x + 4 = 0 ;
4. x4 + (x − 1)4 = 97 ;
9. x4 − x2 + 6x − 9 = 0 ;
10. 2x4 − x3 − 15x2 − x + 3 = 0.
5. (x + 3)4 + (x + 5)4 = 16 ;
Bài 1.25 : Tìm các giá trị của m sao cho phương trình
x4 + (1 − 2m)x2 + m2 − 1 = 0.
1. Vô nghiệm ;
2. Có hai nghiệm phân biệt ;
3. Có bốn nghiệm phân biệt.
Bài 1.26 : Tìm các giá trị của a sao cho phương trình
(a − 1)x4 − ax2 + a2 − 1 = 0
có ba nghiệm phân biệt.
Bài 1.27 : Cho phương trình :
(m − 1)x4 + 2(m − 3)x2 + m + 3 = 0.
Tìm m để phương trình trên vô nghiệm.
TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 WWW.ToanCapBa.Net
Trang 13
12. WWW.ToanCapBa.Net
CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
Bài 1.28 : Cho phương trình :
x4 − (2m + 1)x2 + m + 3 = 0.
Tìm m để phương trình trên có bốn nghiệm phân biệt, trong đó một nghiệm bé hơn −2 và ba nghiệm còn lại lớn hơn −1.
Bài 1.29 : Tìm h để phương trình sau đây có không ít hơn hai nghiệm âm khác nhau :
x4 + hx3 + x2 + hx + 1 = 0.
Bài 1.30 : Cho phương trình :
(x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) = m.
Tìm m để phương trình có bốn nghiệm phân biệt.
1.2 Phương trình, bất phương trình chứa giá trị tuyệt đối
1. Phương trình (bất phương trình) | f (x)| + g(x) < 0 (hoặc = , hoặc > , hoặc ≥ , hoặc ≤ ) tương đương với
f (x) ≥ 0
f (x) + g(x) < 0
hoặc
f (x) < 0
− f (x) + g(x) < 0.
Một số phương trình hoặc bất phương trình chứa nhiều hơn một dấu giá trị tuyệt đối thì việc phá dấu giá trị tuyệt đối
sẽ phức tạp hơn nhiều, phải chia thành nhiều trường hợp bằng cách lập bảng xét dấu các biểu thức trong dấu giá trị
tuyệt đối.
2. Phương trình (bất phương trình) | f (x)| < |g(x)| (hoặc = , hoặc > , hoặc ≥ , hoặc ≤ ) phương pháp đơn giản là bình
phương hai vế, chuyển vế, phân tích thành nhân tử.
3. Một số phương trình và bất phương trình thông dụng (giả sử a > 0).
• |x| = a ⇔ x = a hoặc x = −a.
• |x| < a ⇔ −a < x < a.
• |x| ≤ a ⇔ −a ≤ x ≤ a.
• |x| > a ⇔ x < −a hoặc x > a.
• |x| ≥ a ⇔ x ≤ −a hoặc x ≥ a.
Bài 1.31 : Giải phương trình |x2 − 8x + 15| = x − 3.
Bài 1.32 : Giải các phương trình và bất phương trình sau :
1. |x2 − 5x + 4| = x2 + 6x + 5;
3. | − x2 + x − 1| ≤ 2x + 5;
2. |x − 1| = 2x − 1;
4. |x2 − x| ≤ |x2 − 1|.
Bài 1.33 : Giải các phương trình và bất phương trình sau :
¬
¬
¬ x2 − 2 ¬
¬
¬
1. ¬
¬ = 2;
¬ x+1 ¬
¬
¬
¬ 3x + 4 ¬
¬
¬ ≤ 3;
2. ¬
x−2 ¬
¬
¬
¬ 2x − 3 ¬
¬
¬ ≥ 1;
3. ¬
x−3 ¬
4. |2x + 3| = |4 − 3x|.
Bài 1.34 : Giải các bất phương trình sau :
TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343
WWW.ToanCapBa.Net
Trang 14
13. WWW.ToanCapBa.Net
CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
1. |x2 − 5x + 4| ≤ x2 + 6x + 5;
2. 4x2 + 4x − |2x + 1| ≥ 5.
Bài 1.35 : Giải các bất phương trình sau :
¬
¬
1. ¬1 −
¬
¬
|x| ¬ 1
³ ;
1 + |x| ¬ 2
2. log5 log¹⁄₂
x2
− 4|x|
|x| − 7
6. ||x| − 1| < 1 − x ;
¬
¬
¬
¬
7. ¬|x2 − 3x − 7| + 2x − 1¬ < x2 − 8x − 5 ;
≤0;
8. ¬ x2 − |x2 − 3x − 5| − 5¬ < x + 1 ;
3. |x2 − 2x − 8| > 2x ;
9. |x − 1| + |x − 2| > 3 + x ;
|x2 − 4x| + 3
≥0;
x2 + |x − 5|
4. |x3 − 7x − 3| < x3 + x2 + 3 ;
10. log3
5. |x3 − x2 + 4| + x3 − x2 − 2x − 2 ≤ 0 ;
11. ||3x + 4x − 9| − 8| ≤ 3x − 4x − 1 ;
Bài 1.36 : Giải các bất phương trình sau :
1. |3x + 2| + |2x − 3| < 11 ;
3. |x − 1| + |2 − x| > 3 + x ;
2. |x2 − 3x − 7| + |2x2 − x − 9| + |3x2 − 7x − 5| < x + 15 ;
4. |x2 − 3x − 17| − |x2 − 5x − 7| > 3.
Bài 1.37 : Tìm m để bất phương trình : x2 + |x + m| < 2 có ít nhất một nghiệm âm.
Bài 1.38 : Giải và biện luận bất phương trình sau theo tham số p :
2|x − p| + 5|x − 3p| + 4x + 6p + 12 ≤ 0.
Bài 1.39 : Giải và biện luận bất phương trình sau theo tham số p :
|2x + 21p| − 2|2x − 21p| < x − 21p.
Bài 1.40 : Tìm tất cả các giá trị thực của tham số a sao cho bất phương trình
x2 − |x − a| − |x − 1| + 3 ≥ 0
đúng với mọi x ∈ R.
Bài 1.41 : Tìm tất cả các giá trị của a sao cho giá trị nhỏ nhất của hàm số
y = x2 + 2x − 1 + |x − a|
lớn hơn 2.
Bài 1.42 : Tìm tất cả các giá trị của a sao cho giá trị nhỏ nhất của hàm số
y = x2 + |x − a| + |x − 1|
lớn hơn 2.
Bài 1.43 : Tìm tất cả các giá trị của a sao cho giá trị nhỏ nhất của hàm số
y = ax + |x2 − 4x + 3|
lớn hơn 1.
Bài 1.44 : Tìm tất cả các giá trị của a sao cho giá trị lớn nhất của hàm số
y = 4x − x2 + |x − m|
nhỏ hơn 4.
TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 WWW.ToanCapBa.Net
Trang 15
14. WWW.ToanCapBa.Net
CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
1.3 Phương trình, bất phương trình chứa căn
Vấn đề 1 : Phương trình, bất phương trình cơ bản
Phương pháp chung là tìm cách bình phương hai vế (để giảm số căn, hoặc mất căn) với điều kiện là hai vế của phương trình
phải không âm.
1. Phương trình
2. Phương trình
√
√
f (x) =
√
g(x) ⇔
√
4. Bất phương trình
√
f (x) >
√
f (x) = g(x).
g(x) ≥ 0
f (x) = g(x) ⇔
3. Bất phương trình
f (x) ≥ 0 (hoặc cũng có thể xét g(x) ≥ 0)
f (x) = (g(x))2 .
g(x) ≥ 0
g(x) (hoặc ≥ ) tương đương với
f (x) < g(x) (hoặc ≤ ) tương đương với
f (x) > g(x).
f (x) ≥ 0
g(x) ≥ 0
f (x) < (g(x))2 .
5. Bất phương trình
√
f (x) > g(x) (hoặc ≥ ) tương đương với
(I)
f (x) ≥ 0
hoặc (II)
g(x) < 0
Bài 1.45 : Giải phương trình
g(x) ≥ 0
f (x) > (g(x))2 .
√
x2 + 56x + 80 = x + 20.
√
Bài 1.46 : Giải bất phương trình x2 − 2x − 15 < x − 3.
√
Bài 1.47 : Giải bất phương trình x2 − 1 > x + 2.
Bài 1.48 : Giải các phương trình sau :
1.
√
2.
√
2x2 + 4x − 1 = x + 1;
3.
√
4x2 + 101x + 64 = 2(x + 10);
4.
√
x2 + x − 6 < x − 1;
3.
√
2x − 1 ≤ 2x − 3;
4.
√
x2 + 2x = −2x2 − 4x + 3;
(x + 1)(x + 2) = x2 + 3x − 4.
Bài 1.49 : Giải các bất phương trình:
1.
√
2.
√
2x2 − 1 > 1 − x;
x2 − 5x − 14 ≥ 2x − 1.
Bài 1.50 : Tìm tập xác định của mỗi hàm số sau :
TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343
WWW.ToanCapBa.Net
Trang 16
15. WWW.ToanCapBa.Net
CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
1. y =
2. y =
Ö
¬
¬
¬ x2 + 3x − 4¬ − x + 8;
3. y =
x2 + x + 1
;
|2x − 1| − x − 2
x2
√
4. y =
1
1
− 2
;
− 7x + 5 x + 2x + 5
x2 − 5x − 14 − x + 3.
Bài 1.51 : Giải các phương trình sau :
1.
√
2.
√
4.
√
5.
5x2 − 6x − 4 = 2(x − 1);
√
x2 + 3x + 12 = x2 + 3x.
Bài 1.52 : Giải các bất phương trình sau :
1.
√
x2 + 6x + 8 ≤ 2x + 3;
2. √
2x − 4
x2 − x − 12 ≥ x − 1;
x2 − 4x − 12 > 2x + 3;
√
x+5
6.
< 1.
1−x
> 1;
x2 − 3x − 10
√
3. 6 (x − 2)(x − 3) ≤ x2 − 34x + 48 ;
Vấn đề 2 : Phương pháp đặt ẩn phụ
Chúng ta thường sử dụng một số quy tắc đặt ẩn phụ như sau :
1. Nếu phương trình chứa hai loại căn, có thể
(a) Đặt u =
√
n
ax + b, rút x, thế vào phương trình được phương trình ẩn u.
√
√
(b) Hoặc cũng có thể đặt u = n u(x), v = m v(x), lũy thừa để rút ra ràng buộc giữa u và v để được 1 phương trình
theo u, v. Kết hợp với phương trình ban đầu, ta được hệ hai ẩn u, v.
2. Đặt u =
√
n
u(x), lũy thừa hai vế được phương trình chứa u, x. Kết hợp với phương trình ban đầu, ta được hệ hai ẩn
u, x.Giải phương trình bậc hai (có ∆ là bình phương một số).
3. Đặt ẩn phụ không hoàn toàn, đặt u =
4. Nếu phương trình chứa
√
a±
√
b và
√
√
u(x), đưa về phương trình bậc hai theo u với x coi như là tham số.
ab ta thường đặt u =
√
a±
√
b.
5. phương trình đẳng cấp, chẳng hạn đẳng cấp bậc 2 : A.x2 + B.xy + C.y2 = 0. Có cách giải như sau :
(a) Xét y = 0, rút được x;
(b) Xét y
x
0, chia cả hai vế cho y2 , đặt u = , đưa được về phương trình bậc hai theo u.
y
Bài 1.53 : Giải các phương trình sau :
√
1. 3x2 + 21x + 18 + 2 x2 + 7x + 7 = 2 ;
2. x2 +
√
x+1 =1;
3. 2(x2 + 2) = 5(x3 + 1) ;
√
4. 2x2 − 3x + 2 = x 3x − 2 ;
√
5. 6x2 − 10x + 5 − (4x − 1) 6x2 − 6x + 5 = 0 ;
6.
√
√
4
97 − x + 4 x = 5 ;
TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 WWW.ToanCapBa.Net
Trang 17
16. WWW.ToanCapBa.Net
CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
Bài 1.54 : Giải các phương trình sau :
√
√
3x + 1 = 2 x + 2x + 2 ;
√
√
4
2. 2x2 + x + 6 + x2 + x + 2 = x + ;
x
1.
√
x+3+
√
7.
8.
Ö
1
= 3x + 1 ;
x
√
√
√
4
4
4. 4 x + x + 1 = 2 2x + 1 ;
√
√
√
5. x2 + 4x + 3 + x2 + x = 3x2 + 4x + 1 ;
√
√
6. 3 x + 5 − x ≤ 3 ;
3. x2 + 2x
x−
√
3
√
3
9.
√
3
10.
√
11.
√
√
2x2 + x + 9 + 2x2 − x + 1 = x + 4.
x−1+
x+
√
3
√
3
√
3
x+1 = x 2;
x − 16 =
2x3 − 1 +
√
3
√
3
x−8;
1 − x3 = x ;
x2 − x + 1 +
√
x2 + x + 1 = 2 ;
Bài 1.55 : Giải các phương trình sau :
1.
√
1−x+
2. 2x +
√
√
√
1 + x + 2 1 − x2 = 4 ;
x+1+
√
3. x2 + 2x +
√
x + 3 + 2x x + 3 = 9 ;
4. 2x2 + x +
√
x + 2 x2 + x = 1 ;
√
√
√
x2 + 3 + 2x x2 + 3 = 9 ;
Bài 1.56 : Giải các phương trình sau :
√
x + 2 + x 2x + 1 √
√
4.
= x+2;
x + 2x + 1
√
1. 2x2 + x + 3 = 3x x + 3 ;
2.
√
x+8=
3.
√
x2 + x + 2 =
3x2 + 7x + 8
;
4x + 2
3x2 + 3x + 2
;
3x + 1
√
√
√
5. ( x + 3 − x + 1)(x2 + x2 + 4x + 3) = 2x.
Bài 1.57 : Giải các phương trình sau :
√
3
1.
√
3
x+1+
√
3
x+2 =1+
2.
√
3
x+1+
√
3
x2 =
3.
√
4
x+1+
√
4.
√
√
√
x + 3 + 2x x + 1 = 2x + x2 + 4x + 3 ;
5.
√
x3 + x2 + 3x + 3 +
√
3
x+
x =1+
√
4
√
3
x2 + 3x + 2 ;
6.
x2 + x ;
x3 + x2 ;
√
2x =
√
x2 + 3 +
√
2x2 + 2x ;
√
x+3+ √
√
4x
=4 x;
x+3
√
3
7. 4 x + 3 = 1 + 4x + ;
x
√
8. 2 x + 3 = 9x2 − x − 4 ;
√
√
9. 12 x + 2 x − 1 = 3x + 9 ;
Bài 1.58 : Giải các phương trình sau :
1.
√
x+3+
2.
√
4
x+
√
4
√
3
x=3;
x−1=
√
4
x+1;
√
√
3. 2 − x2 = (2 − x)2 ;
√
√
4. 2x + 1 + x x2 + 2 + (x + 1) x2 + 2x + 3 = 0 ;
√
√
√
√
5. x2 x + (x − 5)2 5 − x = 11( x + 5 − x) ;
Ö
6.
2x3
=1+
3
x+1
;
2
Bài 1.59 : Giải các phương trình sau :
1.
√
8
1−x+
√
8
x=1;
√
√
4
2. 2 x + 1 − 2x = 1 ;
TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343
√
√
x+4+ x+ 1−x=3;
√
√
√
2+ x
√
4.
= x+ 1−x;
3+ 1−x
3.
√
WWW.ToanCapBa.Net
Trang 18
17. WWW.ToanCapBa.Net
CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
Vấn đề 3 : Phương pháp nhân liên hợp
Dạng 1 : Phương trình dạng
√
u(x) ±
√
v(x) = f (x), trong đó f (x) và u(x) − v(x) có cùng nghiệm x = x0 .
u(x) − v(x)
√
= f (x).
u(x) ∓ v(x)
(b) Chuyển vế, đặt (x − x0 ) làm nhân tử chung.
(a) Phương trình trở thành √
√
√
√
√
Dạng 2 : Phương trình dạng ( n u1 (x) ± n v1 (x)) + ( m u2 (x) ± m v2 (x)) = f (x), trong đó f (x); u1 (x) − v1 (x); u2 (x) − v2 (x) có
cùng nghiệm x = x0 (ở đây f (x) có thể đồng nhất bằng 0).
Phương pháp giải loại này là chúng ta nhân liên hợp theo từng cụm, đặt (x − x0 ) làm nhân tử chung.
Bài 1.60 : Giải các phương trình, các bất phương trình sau :
1. 3(2 +
√
x − 2) = 2x +
√
√
6. x2 + x − 1 = (x + 2) x2 − 2x + 2;
x + 6;
x2
√
2 > x − 4;
1+ 1+x
√
√
3. x − 2 + 4 − x = x2 − 6x + 11;
√
√
4. x − 2 + 4 − x = 2x2 − 5x − 1;
2.
Ö
5.
7.
√
3
x + 24 +
√
12 − x = 6;
√
√
8. 2 x2 − 7x + 10 = x + x2 − 12x + 20;
√
3
9. 2x2 − 11x + 21 = 3 4x − 4;
1 − x 2x + x2
=
;
x
1 + x2
10.
√
5x − 1 +
√
3
9 − x = 2x2 + 3x − 1.
Bài 1.61 : Giải các phương trình sau :
1.
√
x+4−
2. x +
√
2x + 3 = x − 1 ;
5. 2 +
√
1
+
x
6. 1 +
√
4
√
2x =
Ö
x+
1
;
x
√
√
√
3. (x − 1) x + 1 + 2x + 1 = x + 2 ;
7.
√
4.
8.
√
4
√
1
1 √
+ x + 5 = + 2x + 4 ;
2
x
x
x+6 =
√
2x + 5 +
x+3= x+
√
√
x+3;
2x ;
x+2+
√
x+6 =
√
2x + 5 +
√
x+8+
√
x+4 =
√
2x + 3 +
√
3x
2x + 1 ;
Vấn đề 4 : Phương pháp đánh giá
Cơ sở của phương pháp này là chúng ta sử dụng bất đẳng thức hoặc phương pháp hàm số đế đánh giá.
Cách 1 : Cơ sở nhận dạng :
(a) Nếu hàm số y = f (x) đồng biến trên (a; b) và hàm số y = g(x) nghịch biến trên (a; b) thì phương trình
f (x) = g(x) nếu có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất.
(b) Nếu hàm số y = f (x) đồng biến (hoặc nghịch biến) trên (a; b) thì phương trình f (x) = c (với c là hằng số)
nếu có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất.
TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 WWW.ToanCapBa.Net
Trang 19
18. WWW.ToanCapBa.Net
CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
Phương pháp giải là :
(a) Nhận thấy x = x0 là một nghiệm của phương trình đã cho.
(b) Nếu x > x0 , ta suy ra vế trái lớn hơn vế phải hoặc ngược lại.
(c) Nếu x < x0 , ta suy ra vế trái lớn hơn vế phải hoặc ngược lại.
(d) Kết luận phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = x0 .
Cách 2 : Nếu hàm số y = f (x) đồng biến (hoặc nghịch biến) trên (a; b) thì phương trình f (u) = f (v) tương đương với
u = v.
Cách 3 : Nếu hàm số y = f (x) thỏa mãn f ′ (x) = 0 có nhiều hơn 1 nghiệm thì chúng ta lập bảng biến thiên để suy ra
phương trình có tối ta bao nhiêu nghiệm, rồi nhẩm đủ số nghiệm đó, dẫn đến đó là tất cả các nghiệm của phương
trình.
Cách 4 : Nếu f (x) ≥ c và g(x) ≤ c thì phương trình f (x) = g(x) tương đương với
f (x) = c
g(x) = c.
Bài 1.62 : Giải các phương trình sau :
√
√
3
x=3;
√
√
2. x + 3 + x + x + 8 = 4 ;
√
√
√
3. x2 − x + 1 + x2 + 7x + 1 = 4 x ;
1.
x+3+
√
4.
√
x+3
√
+ 2x − 1 = 2 ;
1+ 2−x
5.
√
x2 − x + 4 +
√
2x − 1 = 5 ;
Vấn đề 5 : Phương trình, bất phương trình có tham số
1. Sử dụng phương trình, bất phương trình cơ bản;
2. Sử dụng đặt ẩn phụ, và đặt điều kiện "chặt" cho ẩn;
3. Sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai;
4. Sử dụng phương pháp hàm số để chỉ ra điều kiện có nghiệm.
Bài 1.63 : Tìm điều kiện của m để phương trình
1. có nghiệm thực ;
√
x2 + 2x − m = 2x − 1 :
2. có đúng một nghiệm thực ;
Bài 1.64 : Tìm điều kiện của m để phương trình x +
Bài 1.65 : Tìm điều kiện của m để phương trình
√
1
x+ +
2
16 − x2 − √
TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343
Ö
x+
3. có hai nghiệm thực phân biệt.
1
= m có nghiệm thực.
4
m
16 − x2
− 4 = 0 có nghiệm thực.
WWW.ToanCapBa.Net
Trang 20
19. WWW.ToanCapBa.Net
CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
Ö
Ö
x−1
x+2
−m
+ 2 = 0 có nghiệm thực.
Bài 1.66 : Tìm điều kiện của m để phương trình
x+2
x−1
√
√
√
4
Bài 1.67 : Tìm điều kiện của m để phương trình x + 1 − m x − 1 + 2 x2 − 1 = 0 có nghiệm thực.
√
Bài 1.68 : Tìm điều kiện của m để phương trình x2 − 2x − 3 = x + m
TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 WWW.ToanCapBa.Net
Trang 21
20. WWW.ToanCapBa.Net
CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
1. có nghiệm thực ;
2. có hai nghiệm thực phân biệt.
√
√
Bài 1.69 : Biện luận theo m số nghiệm thực của phương trình x + 1 + 1 − x = m.
√
√
√
Bài 1.70 : Tìm điều kiện m để phương trình x + 9 − x = −x2 + 9x + m có nghiệm thực.
√
√
Bài 1.71 : Tìm điều kiện m để phương trình x + 4 x − 4 + x + x − 4 = m có nghiệm thực.
√
√
x+m
Bài 1.72 : Tìm điều kiện m để phương trình x + 6 x − 9 + x − 6 x − 9 =
có nghiệm thực.
6
√
√
4
Bài 1.73 : Tìm m để phương trình x4 + 4x + m + x4 + 4x + m = 6 có nghiệm thực.
√
√
3
Bài 1.74 : Tìm điều kiện của m để phương trình 1 − x2 + 2 1 − x2 = m :
1. có nghiệm thực duy nhất ;
2. có nghiệm thực.
√
3x2 − 1
= 2x − 1 + mx luôn có nghiệm thực với mọi giá trị của m.
Bài 1.75 : Chứng tỏ rằng phương trình √
2x − 1
Ö
x+1
= m có nghiệm thực.
Bài 1.76 : Tìm m để phương trình (x − 3)(x + 1) + 4(x − 3)
x−3
√
√
3
3
Bài 1.77 : Tìm m để phương trình 1 − x + 1 + x = m có nghiệm thực.
√
Bài 1.78 : Biện luận theo m số nghiệm thực của phương trình m x2 + 2 = x + m.
√
Bài 1.79 : Tìm m để phương trình x2 − 2x − 3 = mx + m có nghiệm thực x −1.
Bài 1.80 : Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực :
x+
√
x+
√
√
Bài 1.81 : Tìm m để phương trình
1 − x + 2m
x(1 − x) − 2
4
x(1 − x) = m.
x2 − x + 1 = m có nghiệm thực.
Bài 1.82 : Tìm m để các phương trình sau có nghiệm thực :
1.
√
x2 + x + 1 −
√
x2 − x + 1 = m ;
2.
√
4
x2 + 1 −
√
x = m.
Bài 1.83 : Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực :
√
√
√
√
x x + x + 12 = m
5−x+ 4−x .
Bài 1.84 : Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực :
m
√
√
√
√
4
4
x − 2 + 2 x2 − 4 − x + 2 = 2 x2 − 4.
Bài 1.85 : Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực :
√
√
(4m − 3) x + 3 + (3m − 4) 1 − x + m − 1 = 0.
Bài 1.86 : Tìm m để phương trình sau có 4 nghiệm thực phân biệt :
m
√
√
√
√
√
1 + x2 − 1 − x2 + 2 = 2 1 − x4 + 1 + x2 − 1 − x2 .
Bài 1.87 : Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất :
√
x2 − 2x =
TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343
√
mx + 1.
WWW.ToanCapBa.Net
Trang 22
21. WWW.ToanCapBa.Net
CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
Bài 1.88 : Tìm m để phương trình sau có nghiệm :
x+
√
1 − x2 = m.
Bài 1.89 : Cho phương trình :
−x2 + 2x + 4
(3 − x)(x + 1) = m − 3.
1. Tìm m để phương trình có nghiệm.
2. Tìm m để phương trình có đúng hai nghiệm phân biệt.
Bài 1.90 : Tìm m để phương trình sau có nghiệm :
√
Bài 1.91 : Cho phương trình :
x+1+
√
3−x−
(x + 1)(3 − x) = m.
√
|x + 1| + m|x − 1| = (m + 1) x2 − 1.
1. Giải phương trình khi m = 2 ;
2. Tìm m để phương trình trên có nghiệm.
Bài 1.92 : Tìm m để các bất phương trình sau có nghiệm :
1.
√
4−x+
√
x+5 ≥m;
2. mx −
√
x − 3 ≤ m + 1.
Bài 1.93 : Tìm m để bất phương trình
m
ä
có nghiệm trong đoạn 0; 1 +
√ ç
3 .
Bài 1.94 : Tìm m để bất phương trình
√
√
x2 − 2x + 2 + 1 + x(2 − x) ≤ 0
(4 + x)(6 − x) ≤ x2 − 2x + m nghiệm đúng với mọi x ∈ [−4; 6].
1.4 Hệ phương trình
1.4.1 Phương pháp thế
Bài 1.95 : Giải các hệ phương trình sau :
1.
x2 (y + 1)(x + y + 1) = 3x2 − 4x + 1
xy + x + 1 = x2
2.
x3 y = 16
3x + y = 8
3.
y(1 + x2 ) = x(1 + y2 )
x2 + 3y2 = 1
4.
x−
1
1
=y−
x
y
2y = x3 + 1
5.
6.
√
√
√
x+y =
x−y =
x+y−
√
3
√
3
√
x2 + y2 +
x+y
x − y − 12
x−y =2
x2 − y2 = 4
TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 WWW.ToanCapBa.Net
Trang 23
22. WWW.ToanCapBa.Net
CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
7.
√
11.
x2 − 3 = 3(y2 + 1)
8.
|x2 − 2x| + y = 1
x2 + |y| = 1
9.
10.
x2 + y2 +
√
√
√
x+y=
x3 + 3xy2 = −49
3x 1 +
=2
√
=4 2
x2 − 8xy + y2 = 8y − 17x
2xy
=1
x+y
x2
7x + y +
1
x+y
√
1
7y 1 −
x+y
12.
x3 − 8x = y3 + 2y
13.
−y
√
2x + y = 5
14.
2x + y + x − y = 2
√
√ √
y( x + x + 3) = 3
√
√
x+ y= x+1
√
x+
√
xy +
1+
√
1
=
y
y+1+
Ö
√
x
y
1−x=1
1.4.2 Phương pháp phân tích thành nhân tử hoặc coi một phương trình là phương trình bậc hai (ba)
theo một ẩn
Bài 1.96 : Giải các hệ phương trình sau :
1.
x3 + 3y2 x = 4
3.
y3 + 3x2 y = 4;
2.
x2 + y + 1 = 0
3x3 = x2 + 2y2
5.
3y3 = y2 + 2x2 ;
4.
x + y2 + 1 = 0;
x3 = 3x + 8y
6.
y3 = 3y + 8x;
4y
x
4x
y − 3x = ;
y
x − 3y =
x3 = 5x + y
y3 = 5y + x.
Bài 1.97 : Giải các hệ phương trình sau :
1.
x2 = 3x + 2y
5.
y2 = 3y + 2x
2.
y2 = (5x + 4)(4 − x)
y2 − 5x2 − 4xy + 16x − 8y + 16 = 0
x2 − 2y2 = 2x + y
6.
x3 + 1 = 2y
y2 − 2x2 = 2y + x
3.
y3 + 1 = 2x
x3 = 2x + y
√
7.
y3 = 2y + x
4.
xy + x + y = x2 − 2y2
√
√
x 2y − y x − 1 = 2x − 2y
8.
√
x+y+ x−y=1+
√
√
x+ y=1
x2 − y2
x2 y + 2x + 3y = 6
3xy + x + y = 5
1.4.3 Phương pháp đặt ẩn phụ
Bài 1.98 : Giải các hệ phương trình sau :
1.
x + xy + y = 11
x − xy + y = 1;
TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343
WWW.ToanCapBa.Net
Trang 24
23. WWW.ToanCapBa.Net
CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
2.
3.
x2 y + xy2 = 20
1 1 5
+ = ;
x y 4
6.
9.
x2 − y2 = 24;
x2 + y2 = 2x2 y2
x + y + 1 = 3xy;
4.
x y 26
+ =
y x
5
7.
10.
x2 + y2 + xy = 3
xy3 + yx3 = 2;
x − y + xy = 1
11.
x2 + y2 = 2;
5.
x2 + y2 + x2 y2 = 1 + 2xy
8.
(x − y)(1 + xy) = 1 − xy;
x y
+ =4
y x
x2 y2
x+y+
+
= 4;
y
x
x+y+
x + y + x2 y2 = 3xy
1 1
+ − xy = 1;
x y
x2 + y2 + xy = 3x2 y2
x2 + y2 − xy = x2 y2 ;
x y
+ =2
y x
1 1
+ + x + y = 4;
x y
12.
x + xy + y = 7
x2 + xy + y2 = 13;
Bài 1.99 : Giải các hệ phương trình sau :
1.
x + y + xy = 5
5.
x2 + y2 + xy = 7
2.
4xy + 4(x2 + y2 ) +
2x +
x y 13
+ =
y x
6
6.
1
=3
x+y
3
=7
(x + y)2
x2 − 3xy + y2 = −1
9.
10.
x2 + y2 = 1
√
√
x+y+ x−y =2
x2 + xy + y2 = 19(x − y)2
x+y =5
3.
3x2 − xy + 3y2 = 13
x2 − xy + y2 = 7(x − y)
x2 + xy + y2 = 1
2x2 − 4xy + y2 = −1
11.
√
√
x y + y x = 30
√
√
x x + y y = 35
12.
√
√
x2 + y2 + 2xy = 8 2
√
√
x+ y =4
7.
x − y − xy = 3
4.
3x2 + 2xy + 2y2 = 7
x2 + 1 + y(x + y) = 4y
y2 − 3xy = 4
8.
(x2 + 1)(y + x − 2) = y
x2 − 4xy + y2 = 1
Bài 1.100 : Giải các hệ phương trình sau :
x2 + x + y + 1 + x +
1.
Ö
x2 + x + y + 1 − x +
2.
x
y
7
+
= √ +1
y
x
xy
√
√
x xy + y xy = 78;
3.
√
√
x2 + y2 + 2xy = 8 2
√
√
x + y = 4;
y2 + x + y + 1 + y = 18
6.
y2 + x + y + 1 − y = 2;
7.
√
√
x+
√
y=4
√
x + 5 + y + 5 = 6;
x+y−
√
xy = 7
x2 + y2 + xy = 133;
8.
(x − y)(x2 − y2 ) = 7
(x + y)(x2 + y2 ) = 175;
x2 + y2 = 128;
4.
5.
√
√
√
x x + y y = 2 xy
√
√
x + y = 2;
√
√
√
x+y+
x+
√
√
x−y =4
y=1
|x| + |y| = 1;
9.
10.
√
x+y+ x−y =1+
√
√
x + y = 1;
TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 WWW.ToanCapBa.Net
x2 − y2
Trang 25
24. WWW.ToanCapBa.Net
CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
Ö
11.
x
+
y
y 5
=
x 2
3 + 2x2 y − x4 y2 + x4 (2 − 2x2 ) = y4
17.
x + y = 10
1+
1 + (x − y)2 = x3 (x3 − x + 2y2 );
12.
√
√
x y + y x = 30
√
√
x x + y y = 35;
√
√
13.
2(x + y) = 3
√
√
3
x+ 3y = 6
14.
3
18.
x2 y +
3
16.
y = 10
√
x + 6 + y + 6 = 14
xy2
x2 − y2
x+
19.
6x
x+y 5
+
=
x+y
6x
2
√
x + y − xy = 9;
Ö
15.
√
x+
7
x
y
+
=
√
y
x 2 + xy
√
√
x xy + y xy = 7;
x+y+
20.
2y = 4
√
x=2
21.
9x
5
x2 − y2 = 12
x2 − y2 = 12.
y
Ö
√
5
3−
y + 42x
5
3+
y + 42x
x − x2 − y2
x
5 + 3x
=
y 30 − 6y
=
20y √
√
= x+y+ x−y
x
16x √
√
= x+y− x−y
5y
Bài 1.101 : Giải các hệ phương trình sau :
1.
2x + x2 − y2 = 3
7.
x2 + y2 = 1
2.
3.
1
2
2x3 + 6y2 x = 1
x2 + y2 =
8.
5.
9.
x−y
1 − 3x
=
1 − xy
3−x
x+y
1 − 2y
=
1 + xy
2−y
1
=4
xy +
xy
+
y2 )(1
+
x2 y2 )
(x + y) 1 +
1
xy
=5
1
xy
=
10.
208x2 y2
1
=4
xy
1
x2 + y2
xy +
+
=4
xy
xy
(x + y) 1 +
11.
1
=4
x
1
x2 + xy + = 3
x
2x + y +
=6
13.
1
1+
xy
2
1
xy
3 + y3 ) 1 + 1
(x
xy
x2 y + 2y + x = 4xy
1
1
x
+
+ =3
2
x
xy y
14.
x2 y + y = 2
1
x2 + 2 + x2 y2 = 3;
x
15.
x2 + y2 + x + y = 4xy
1 1
y
x
+ + 2 + 2 = 4;
x y x
y
16.
2y(x2 − y2 ) = 3x
2
(x2
(x + y)(1 + xy) = 18xy
(x2
6.
(x + y) 1 +
12.
x3 + 3y2 x = y
x2 + 3y2 = 1
4.
y(x2 + 1) = 2x(y2 + 1)
1
(x2 + y2 ) 1 + 2 2 = 24
x y
+
y2 )
= 18
(x2 + y2 ) 1 +
=9
3
= 27
x y
+
(x + y) = 15
y x
x2 y2
+
(x2 + y2 ) = 85
y2 x2
x(x2 + y2 ) = 10y.
Bài 1.102 : Giải các hệ phương trình :
1.
x2 + y2 − 3x + 4y = 1
3x2 − 2y2 − 9x − 8y = 3
TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343
WWW.ToanCapBa.Net
Trang 26
25. WWW.ToanCapBa.Net
CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
2.
1
xy
1
(x − y) 2 +
xy
(x + y) 2 −
9
2
5
=
2
=
3.
x − xy − y = 1
5.
x2 y − xy2 = 6
4.
x(x + 2)(2x + y) = 9
1 + x2 y2 = 5x2 ;
6.
x2 + 4x + y = 6
Bài 1.103 : Cho hệ phương trình :
y + xy2 = 6x2
1 + x3 y3 = 19x3
y + xy2 = −6x2 .
x + xy + y = a + 1
x2 y + xy2 = a.
Tìm a để hệ có ít nhất một nghiệm (x; y) thỏa mãn : x > 0 và y > 0.
Bài 1.104 : Cho hệ phương trình :
√
√
x+1+ y+1 =3
√
√
√
√
x y + 1 + y x + 1 + y + 1 + x + 1 = m.
1. Giải hệ phương trình với m = 6.
2. Tìm m để hệ phương trình trên có nghiệm.
1.4.4 Phương pháp hàm số
Bài 1.105 : Giải các hệ phương trình sau :
2.
x+1+
√
x8 + y4 = 1
1.
√
√
y+1+
√
√
√
x+
x3 − 5x = y3 − 5y
x+
y+
x2 − 2x + 2 = 3y−1 + 1
5.
y2 − 2y + 2 = 3x−1 + 1
x2 =
√
y2 =
3.
4.
√
y − 1 + 2x − 1
x − 1 + 2y − 1
6.
7−y=4
7−x=4
√
√
x+3=3 y
√
√
√
y+ y+3 =3 x
x3 − 3x = y3 − 3y
7.
ex − ey = x − y
x
log2 + log √2 4y3 = 10
2
8.
ln(1 + x) − ln(1 + y) = x − y
2x2 − 5xy + y2 = 0
9.
x6 + y6 = 1
√
√
x+
√
y+
√
2−y=
2−x=
√
2
√
2.
Bài 1.106 : Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm :
√
√
x+1+
√
y+1+
√
3−y=m
3−x=m
Bài 1.107 : Chứng minh rằng với mọi m > 0, hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất :
3x2 y − 2y2 − m = 0
3y2 x − 2x2 − m = 0
1.4.5 Phương pháp đánh giá
Bài 1.108 : Giải các hệ phương trình sau :
TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 WWW.ToanCapBa.Net
Trang 27
26. WWW.ToanCapBa.Net
CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
x+
√
y+
√
2.
√
y+
1.
x+
√
x+ √
3
y+
3.
3
y+1=1
x+1=1
2xy
x2
− 2x + 9
2xy
y2 − 2y + 9
4.
= x2 + y
= y2 + x
y = −x3 + 3x + 4
5.
7.
x2 + 2y2 = 3
8.
√
3
√
4
x+
√
3
y=1
x+
√
4
y=1
x+
y+
x2 (y2 + 1) = 4
6.
x = 2y3 − 6y − 2
1 1
+ =4
x y
1
1
x2 + y2 + 2 + 2 = 4
x
y
x+y+
x3 − y3 = 7
9.
xy(x − y) = 2
√
2 − y2 = 2
2 − x2 = 2;
√
x+
√
4
√
4
x+
√
32 − x − y2 = −3
32 − x + 6y = 24.
1.5 Số nghiệm của phương trình, hệ phương trình
Bài toán : Chứng minh rằng phương trình f (x) = 0 có đúng k nghiệm thực phân biệt trong miền D.1
Vấn đề 1 : Chứng minh phương trình có nghiệm duy nhất
Cách 1 : Lập bảng biến thiên của hàm số y = f (x) với x ∈ D (tính đầy đủ các giá trị tại đầu và cuối mũi tên), từ đó suy ra
được số nghiệm của phương trình.
Cách 2 : Dựa vào hai định lí :
Định lí 1 : Nếu hàm số y = f (x) luôn đồng biến hoặc nghịch biến trên (a; b) thì phương trình f (x) = 0 có tối đa
một nghiệm trong khoảng (a; b).
Định lí 2 : Nếu hàm số y = f (x) liên tục trên [a; b] và f (a). f (b) < 0 thì phương trình f (x) = 0 có ít nhất một
nghiệm trong khoảng (a; b).
Bài 1.109 : Chứng minh rằng các phương trình sau có nghiệm duy nhất :
1. x5 + x4 + 2x3 + 2x2 + x + 1 = 0;
2. ex (x2 + 1) − 4 = 0.
Bài 1.110 : Chứng minh rằng phương trình : x3 +
√
x − 1 = 0 có nghiệm duy nhất.
Bài 1.111 : Chứng minh rằng phương trình xx+1 = (x + 1) x có một nghiệm dương duy nhất.
Bài 1.112 : Chứng minh rằng với mọi a > 0, hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất :
ex − ey = ln(1 + x) − ln(1 + y)
y−x=a
Vấn đề 2 : Chứng minh phương trình có đúng hai nghiệm phân biệt
1
Nếu k = 0 tức là phương trình vô nghiệm
TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343
WWW.ToanCapBa.Net
Trang 28
27. WWW.ToanCapBa.Net
CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
Cách 1 : Lập bảng biến thiên của hàm số y = f (x) với x ∈ D (tính đầy đủ các giá trị tại đầu và cuối mũi tên), từ đó suy ra
được số nghiệm của phương trình.
Cách 2 : Chỉ lập bảng biến thiên nhưng không tính được hết tất cả các đầu mút (lúc này y’=0 có nghiệm duy nhất). Từ đó
suy ra được phương trình có tối đa 2 nghiệm. Kết hợp với định lí 1 ta cũng chỉ ra được phương trình có ít nhất 2
nghiệm.
Bài 1.113 : Chứng minh rằng các phương trình sau có đúng hai nghiệm thực phân biệt :
1. x4 − x2 − 2x − 1 = 0;
3. 3x4 − 4x3 − 6x2 + 12x − 20 = 0;
2. x4 − 3x3 − 1 = 0;
4. x3 − 2x −
√
x + 1 = 0.
Vấn đề 3 : Chứng minh phương trình có đúng ba nghiệm phân biệt
Cách 1 : Lập bảng biến thiên của hàm số y = f (x) với x ∈ D (tính đầy đủ các giá trị tại đầu và cuối mũi tên), từ đó suy ra
được số nghiệm của phương trình.
Cách 2 : Chỉ lập bảng biến thiên nhưng không tính được hết tất cả các đầu mút (lúc này y’=0 có đúng 2 nghiệm). Từ đó
suy ra được phương trình có tối đa 3 nghiệm. Kết hợp với định lí 1 ta cũng chỉ ra được phương trình có ít nhất 3
nghiệm.
Bài 1.114 : Chứng minh rằng các phương trình sau có đúng ba nghiệm thực phân biệt :
1. sin x −
x
= 0;
2
2. 4x (4x2 + 1) = 1.
1.6 Phương trình, bất phương trình, hệ đại số trong các kì thi tuyển sinh ĐH
Bài 1.115 (CĐ08) : Tìm giá trị của tham số m để hệ phương trình
x − my = 1
có nghiệm (x; y) thỏa mãn xy < 0.
mx + y = 3
Bài 1.116 (CĐ09) : Giải bất phương trình
Bài 1.117 (CĐ10) : Giải hệ phương trình
Bài 1.118 (A03) : Giải hệ phương trình :
√
√
x + 1 + 2 x − 2 ≤ 5x + 1.
√
2 2x + y = 3 − 2x − y
(x, y ∈ R).
x2 − 2xy − y2 = 2
√
x−
1
1
=y−
x
y
2y = x3 + 1.
Bài 1.119 (A04) : Giải bất phương trình :
2(x2 − 16) √
7−x
√
+ x−3 > √
.
x−3
x−3
TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 WWW.ToanCapBa.Net
Trang 29
28. WWW.ToanCapBa.Net
CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
√
√
5x − 1 − x − 1 > 2x − 4.
√
x + y − xy = 3
(x, y ∈ R).
Giải hệ phương trình : √
√
x+1+ y+1 =4
√
√
√
4
Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực : 3 x − 1 + m x + 1 = 2 x2 − 1.
5
x2 + y + x3 y + xy2 + xy = −
4 (x, y ∈ R).
Giải hệ phương trình :
4 + y2 + xy(1 + 2x) = − 5
x
4
Tìm các giá trị của tham số m để phương trình sau có đúng hai nghiệm thực phân biệt :
Bài 1.120 (A05) : Giải bất phương trình :
Bài 1.121 (A06) :
Bài 1.122 (A07) :
Bài 1.123 (A08) :
Bài 1.124 (A08) :
√
4
√
2x +
√
√
√
4
2x + 2 6 − x + 2 6 − x = m (m ∈ R).
√
√
3
Bài 1.125 (A09) : Giải phương trình 2 3x − 2 + 3 6 − 5x − 8 = 0.
√
x− x
≥ 1.
Bài 1.126 (A10) : Giải bất phương trình
1 − 2(x2 − x + 1)
√
(4x2 + 1)x + (y − 3) 5 − 2y = 0
Bài 1.127 (A10) : Giải hệ phương trình
√
4x2 + y2 + 2 3 − 4x = 7
Bài 1.128 (B02) : Giải hệ phương trình :
Bài 1.129 (B03) : Giải hệ phương trình :
(x, y ∈ R).
√
3
√
x−y= x−y
√
x + y = x + y + 2.
y2 + 2
x2
x2 + 2
3x =
.
y2
3y =
Bài 1.130 (B04) : Xác định m để phương trình sau có nghiệm :
m
√
√
√
√
√
1 + x2 − 1 − x2 + 2 = 2 1 − x4 + 1 + x2 − 1 − x2 .
Bài 1.131 (B06) : Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm thực phân biệt :
√
x2 + mx + 2 = 2x + 1.
Bài 1.132 (B07) : Chứng minh rằng với mọi giá trị dương của tham số m, phương trình sau có hai nghiệm thực phân biệt :
x2 + 2x − 8 =
Bài 1.133 (B08) : Giải hệ phương trình :
m(x − 2).
x4 + 2x3 y + x2 y2 = 2x + 9
x2 + 2xy = 6x + 6
Bài 1.134 (B09) : Giải hệ phương trình
(x, y ∈ R).
xy + x + 1 = 7y
x2 y2 + xy + 1 = 13y2 .
√
√
Bài 1.135 (B10) : Giải phương trình 3x + 1 − 6 − x + 3x2 − 14x − 8 = 0 (x ∈ R).
√
Bài 1.136 (D02) : Giải bất phương trình : (x2 − 3x) 2x2 − 3x − 2 ≥ 0.
Bài 1.137 (D02) : Giải hệ phương trình :
23x = 5y2 − 4y
4x + 2x+1
= y.
2x + 2
Bài 1.138 (D04) : Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm :
TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343
√
√
x+ y =1
√
√
x x + y y = 1 − 3m.
WWW.ToanCapBa.Net
Trang 30
29. WWW.ToanCapBa.Net
CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
Bài 1.139 (D04) : Chứng minh rằng phương trình sau có đúng một nghiệm :
x5 − x2 − 2x − 1 = 0.
√
√
Bài 1.140 (D05) : Giải phương trình : 2 x + 2 + 2 x + 1 − x + 1 = 4.
√
Bài 1.141 (D06) : Giải phương trình : 2x − 1 + x2 − 3x + 1 = 0 (x ∈ R).
Bài 1.142 (D07) : Tìm các giá trị của tham số m để hệ phương trình sau có nghiệm thực :
1
1
+y+ =5
x
y
3 + 1 + y3 + 1 = 15m − 10.
x
x3
y3
x+
Bài 1.143 (D08) : Giải hệ phương trình :
Bài 1.144 (D09) : Giải hệ phương trình
xy + x + y = x2 − 2y2
√
√
x 2y − y x − 1 = 2x − 2y
(x, y ∈ R).
x(x + y + 1) − 3 = 0
5
(x + y)2 − 2 + 1 = 0.
x
1.7 Bài tập tổng hợp
√
√
x + 4 + x − 4 = 2x − 12 + 2 x2 − 16.
√
√
√
Bài 1.146 : Giải bất phương trình : x + 12 ≥ x − 3 + 2x + 1.
Bài 1.145 : Giải phương trình :
√
Bài 1.147 : Giải hệ phương trình :
x2 + y2 + x + y = 4
x(x + y + 1) + y(y + 1) = 2.
Bài 1.148 : Giải hệ phương trình :
√
2x + y + 1 −
√
x+y=1
3x + 2y = 4.
√
Bài 1.149 : Giải bất phương trình : 8x2 − 6x + 1 − 4x + 1 ≤ 0.
√
√
√
Bài 1.150 : Giải bất phuơng trình : 2x + 7 − 5 − x ≥ 3x − 2.
Bài 1.151 : Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm :
72x+
√
x+1
− 72+
√
x+1
+ 2005x ≤ 2005
x2 − (m + 2)x + 2m + 3 ≥ 0.
Bài 1.152 : Giải hệ phương trình :
(x2 + 1) + y(y + x) = 4y
(x2 + 1)(y + x − 2) = y
Bài 1.153 : Giải hệ phương trình :
x3 − 8x = y3 + 2y
x2 − 3 = 3(y2 + 1)
(x, y ∈ R).
(x, y ∈ R).
Bài 1.154 : Giải hệ phương trình :
(x − y)(x2 + y2 ) = 13
Bài 1.156 : Giải hệ phương trình :
x2 − xy + y2 = 3(x − y)
(x, y ∈ R).
(x + y)(x2 − y2 ) = 25
√
√
√
Bài 1.155 : Giải phương trình : 3x − 2 + x − 1 = 4x − 9 + 2 3x2 − 5x + 2, x ∈ R.
x2 + xy + y2 = 7(x − y)3
(x, y ∈ R).
TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 WWW.ToanCapBa.Net
Trang 31
30. WWW.ToanCapBa.Net
CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
√
√
√
Bài 1.157 : Giải phương trình : x + 2 7 − x = 2 x − 1 + −x2 + 8x − 7 + 1, x ∈ R.
Bài 1.158 : Tìm m để phương trình :
m
ä
có nghiệm thuộc đoạn 0; 1 +
√
√ ç
3 .
Bài 1.159 : Giải hệ phương trình :
x2 − 2x + 2 + 1 + x(2 − x) ≤ 0
x4 − x3 y + x2 y2 = 1
x3 y − x2 + xy = 1.
√
√
4
Bài 1.160 : Tìm m để phương trình : x2 + 1 − x = m có nghiệm.
√
4
Bài 1.161 : Tìm m để phương trình : x4 − 13x + m + x − 1 = 0 có đúng một nghiệm.
√
√
Bài 1.162 : Tìm m để phương trình : x − 3 − 2 x − 4 + x − 6 x − 4 + 5 = m có đúng hai nghiệm thực.
Bài 1.163 : Tìm m để hệ phương trình :
2x − y − m = 0
√
x + xy = 1
có nghiệm duy nhất.
Bài 1.164 : Với giá trị nào của a thì hệ có ít nhất một nghiệm thỏa mãn x, y > 0. Với các giá trị a tìm được hãy tìm tất cả
các nghiệm của hệ đã cho :
1 1
+ =4
x y
Ö
√
1
a2 + 1
2 + y2 + 1 + 1 =
2+
x
2−a
2− 2 +
.
x2 y2
a
a
x+y+
Bài 1.165 : Giải hệ phương trình :
y3 + y2 x + 3x − 6y = 0
x2 + xy = 3.
Bài 1.166 : Cho hệ phương trình :
x2 + y2 = m
x + y = 6.
1. Giải hệ phương trình với m = 26 ;
3. Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất ;
2. Tìm m để hệ vô nghiệm ;
4. Tìm m để hệ hai nghiệm phân biệt.
Bài 1.167 : Cho hệ phương trình :
x + xy + y = m + 2
x2 y + xy2 = m + 1.
1. Giải hệ phương trình với m = −3 ;
Bài 1.168 : Cho hệ phương trình :
(x − 2)2 + y2 = m
2. Xác định m để hệ có nghiệm duy nhất.
Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất.
x2 + (y − 2)2 = m.
Bài 1.169 : Cho hệ phương trình :
x = y2 − y + m
y = x2 − x + m.
1. Giải hệ phương trình với m = 0 ;
2. Tìm m để hệ phương trình có nghiệm ;
3. Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất.
TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343
WWW.ToanCapBa.Net
Trang 32
31. WWW.ToanCapBa.Net
CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
2|x| + |x| = y + x2 + a
Bài 1.170 : Tìm a để hệ sau có nghiệm duy nhất :
x2 + y2 = 1.
Bài 1.171 : Tìm a để hệ sau có nghiệm :
1−a
1+a
2 + 10xy − 5y2 ≤ −2.
3x
x2 + 2xy − 7y2 ≥
Bài 1.172 : Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất :
√
4−x+
√
x + 5 = m.
Bài 1.173 : Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất :
√
4
√
4
x+
1−x+
√
x+
√
1 − x = m.
Bài 1.174 : Tìm a để hệ sau có nghiệm :
x2 − 2xy − 3y2 = 8
2x2 + 4xy + 5y2 = a4 − 4a3 + 4a2 − 12 +
Bài 1.175 : Cho phương trình x +
√
√
105.
√
17 − x2 + x 17 − x2 = m.
1. Giải phương trình khi m = 9;
2. Tìm m để phương trình có nghiệm thực;
3. Tìm m để phương trình có nghiệm thực duy nhất.
x2 − 3
− 6 ≥ 0.
x
Bài 1.177 : Chứng tỏ rằng với mọi số m không âm thì phương trình sau luôn có nghiệm thực
Bài 1.176 : Giải bất phương trình 2x2 − 5x − 3x
Bài 1.178 : Giải hệ phương trình
Bài 1.179 : Giải hệ phương trình
√
√
√
3x2 + (3m2 − 7) x2 + 4 − m3 + 6 = 0.
x2 + 2 +
x2 + 2 +
√
y2 + 3 + x + y = 5
2
+ 3 − x − y = 2.
x2 + y3 = 2y2
x + y3 = 2y.
√
√
Bài 1.180 : Giải bất phương trình 2 x − 1 − x + 2 > x − 2.
√
√
√
Bài 1.181 : Giải bất phương trình 3x + 7 − 2x + 3 > x + 2.
Bài 1.182 : Giải hệ phương trình
2x2 + x + y2 = 7
xy − x + y = 3.
Bài 1.183 : Giải hệ phương trình
√
√
√
(x + 3) 2x − 1 + (y + 3) 2y − 1 = 2 (x + 3)(y + 3)
x + y = 2xy.
Bài 1.184 : Giải hệ phương trình
3x − y
=3
x2 + y2
x + 3y
y− 2
= 0.
x + y2
x+
TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 WWW.ToanCapBa.Net
Trang 33
32. WWW.ToanCapBa.Net
CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
√
√
√
√
(x + 2)(2x − 1) − 3 x + 6 = 4 − (x + 6)(2x − 1) + 3 x + 2.
√
√
x−y− x+y =2
Bài 1.186 : Giải hệ phương trình
x2 + y2 + x2 − y2 = 4.
Bài 1.185 : Giải phương trình
Bài 1.187 : Giải hệ phương trình
x2 + xy + y2 = 7(x − y)2
x2 − xy + y2 = 3(x − y).
Bài 1.188 : Giải hệ phương trình
x2 − y2 = 12.
y
Bài 1.189 : Giải hệ phương trình
x2 − y2 = 12
x+y+
(2x + 1)2 + y2 + y = 2x + 3
xy + x = −1.
√
Bài 1.190 : Giải phương trình (x2 + 1)2 = 5 − x 2x2 + 4.
Bài 1.191 : Giải hệ phương trình
x3 − y3 + 2 = 0
x2 + y2 + x − y = 0.
√
√
Bài 1.192 : Giải phương trình |x + 1 − x2 | = 2(1 − 2x2 ).
Bài 1.193 : Giải hệ phương trình
x2 + 6y = y + 3
√
√
x + y + x − y = 4.
Bài 1.194 : Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực
x3 + x2 + x − m(x2 + 1)2 = 0.
Bài 1.195 : Giải bất phương trình √
Bài 1.196 : Tìm m để phương trình
1
2x2
√
+ 3x − 5
2x2
1
.
2x − 1
− mx + 13 = x − 2 có nghiệm thực.
2x
+
y
Bài 1.197 : Giải hệ phương trình
>
Ö
2y
=3
x
x − y + xy = 3.
Bài 1.198 : Giải hệ phương trình
√
√
x+1+
√
x+6+
√
y−1=4
y + 4 = 6.
Bài 1.199 : Tìm các giá trị của tham số m để hệ phương trình sau có nghiệm thực
x2 + y2 + 2(x + y) = 2
xy(x + 2)(y + 2) = 2m (2m+1 − 1).
Bài 1.200 : Chứng minh rằng với mọi m ≥ 2010 hệ phương trình sau có không quá một nghiệm thực
√
√
Bài 1.201 : Giải phương trình
√
x + 27 −
y + 27 −
x + 1 + 1 = 4x2 +
Bài 1.202 : Giải hệ phương trình
√
√
√
y + 1 = (m − 2010)y + 1
x + 1 = (m − 2010)x + 1.
3x.
x3 y(1 + y) + x2 y2 (2 + y) + xy3 − 30 = 0
x2 y + x(1 + y + y2 ) + y − 11 = 0.
TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343
WWW.ToanCapBa.Net
Trang 34
33. WWW.ToanCapBa.Net
CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
Bài 1.203 : Giải hệ phương trình
x3 + 4y = y3 + 16x
1 + y2 = 5(1 + x2 ).
Bài 1.204 : Giải hệ phương trình
2 + 6y =
√
x √
− x − 2y
y
x − 2y = x + 3y − 2.
√
Bài 1.205 : Giải bất phương trình x 2 − x ≤ x2 − x − 2 − 2 − x.
x+
√
Bài 1.206 : Giải hệ phương trình
x3 + y3 = 1
x2 y + 2xy2 + y3 = 2.
Bài 1.207 : Tìm các giá trị của tham số m để bất phương trình
x(4 − x) + m
nghiệm đúng với mọi giá trị của x ∈ [2; 2 +
√
√
x2 − 4x + 5 + 2 ≤ 0
3].
Bài 1.208 : Giải hệ phương trình
2x2 y + y3 = 2x4 + x6
√
(x + 2) y + 1 = (x + 1)2 .
Bài 1.209 : Giải hệ phương trình
√
x − 2y − xy = 0
√
√
x − 1 + 4y − 1 = 2.
Bài 1.210 : Giải hệ phương trình
√
√
√
√
x x−8 y = x+y y
x − y = 5.
x3 − y3 + 3y2 − 3x − 2 = 0
có nghiệm thực.
√
x2 + 1 − x2 − 3 2y − y2 + m = 0
√
√
√
Bài 1.212 : Giải phương trình x + 3 + 2x x + 1 = 2x + x2 + 4x + 3.
√
Bài 1.213 : Xác định các giá trị của tham số m để phương trình 2x2 + 2mx + m + 1 = 1 − x có đúng một nghiệm thực
Bài 1.211 : Tìm m để hệ phương trình
dương.
Bài 1.214 : Giải hệ phương trình
Bài 1.215 :
Bài 1.216 :
Bài 1.217 :
Bài 1.218 :
x2 + y2 + x2 y2 = 1 + 2xy
x + x2 y + xy = xy2 + y + 1.
√
√
Giải phương trình 2x2 + 3x + 1 − 2x2 − 2 = x + 1.
√
√
√
6
Xác định các giá trị của tham số m để phương trình x − 1 − m x + x3 − x2 = 0 có nghiệm thực.
x
y
1
+
=
3 + x4 3 + y4 8
Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm thực
xy
= m.
4 + 3y4 + x4 y4
9 + 3x
1
1
Giải phương trình + √
= 2.
x
2 − x2
Bài 1.219 : Giải hệ phương trình
Bài 1.220 : Giải hệ phương trình
x2 + y2 = 5
√
√
y − 1(x + y − 1) = (y − 2) x + y.
x2 + 1 + y2 + xy = 4y
y
x+y−2 = 2
.
x +1
TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 WWW.ToanCapBa.Net
Trang 35
34. WWW.ToanCapBa.Net
CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
√
√
x + 4 − m 4 − x = 3m có nghiệm thực.
Bài 1.221 : Tìm m để phương trình
√
Bài 1.222 : Giải hệ phương trình
x3 y = 24
√
√
3
2 x3 + y = 6 3.
x+
√
√
x−1+ y−1=3
Bài 1.223 : Giải hệ phương trình
√
x + y − (x − 1)(y − 1) = 5.
√
√
√
√
4
4
Bài 1.224 : Tìm m để phương trình m
x − 2 + 2 x2 − 4 − x + 2 = 2 x2 − 4 có nghiệm.
Bài 1.225 : Giải hệ phương trình
x2 + y2 + x + y = 18
x(x + 1)y(y + 1) = 72.
Bài 1.226 : Giải hệ phương trình
Bài 1.227 : Giải hệ phương trình
√
7x + y +
√
2x + y + 20x + 5y = 38.
√
2x + y = 5
xy + x2 = 1 + y
xy + y2 = 1 + x.
Bài 1.228 : Tìm các giá trị của tham số m để phương trình m +
√
√
2√
x − x2 = x + 1 − x có nghiệm.
3
√
5
1
Bài 1.229 : Giải bất phương trình 5 x + √ ≤ 2x +
+ 5.
2x
2 x
TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343
WWW.ToanCapBa.Net
Trang 36
35. WWW.ToanCapBa.Net
Chương 2
Bất đẳng thức
2.1 Phương pháp sử dụng bất đẳng thức Cauchy
2.1.1 Bất đẳng thức Cauchy - So sánh giữa tổng và tích
Cho ba số không âm a, b, c, ta có :
a+b √
≥ ab, dấu bằng xảy ra khi a = b ;
2
a+b+c √
3
2.
≥ abc, dấu bằng xảy ra khi a = b = c.
3
1.
2.1.2 Một số hệ quả trực tiếp
Hệ quả 1 : So sánh giữa tổng nghịch đảo và tổng.
Cho ba số dương a, b, c có :
1.
1 1
4
+ ≥
;
a b a+b
2.
1 1 1
9
+ + ≥
.
a b c a+b+c
Hệ quả 2 : So sánh giữa tổng bình phương và tồng.
Cho ba số thực a, b, c có :
1. 2(a2 + b2 ) ≥ (a + b)2 ;
2. 3(a2 + b2 + c2 ) ≥ (a + b + c).
Hệ quả 3 : So sánh giữa tổng, tổng bình phương và tích.
Cho ba số thực a, b, c có :
1. (a + b + c)2 ≥ 3(ab + bc + ca) ;
2. a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca.
2.1.3 Bài tập đề nghị
Bài 2.1 : Cho a, b, > 0. Chứng minh rằng :
ab(a + b)
a+b
≤
2
2
3
≤
(a + b)(a2 + ab + b2 ) a3 + b3 (a2 + b2 )3
≤
≤
.
6
2
(a + b)3
Bài 2.2 : Cho a, b > 0 và a + b ≤ 1. Chứng minh rằng :
WWW.ToanCapBa.Net
37
36. WWW.ToanCapBa.Net
CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
1.
1 1
+ ≥4;
a b
2.
1 1
+ + a + b ≥ 5.
a b
Bài 2.3 : Cho các số không âm a, b, c có a + b + c ≤ 3. Chứng minh rằng :
1. a + b + c ≥ ab + bc + ca ;
2.
√
√
√
a + b + c ≥ ab + bc + ca.
√
Bài 2.4 : Cho x, y > 0. Chứng minh rằng : (1 + x)(1 + y) ≥ (1 + xy)2 .
√
1 1
√
Bài 2.5 : Cho x, y > 0. Chứng minh rằng : x2 + y2 + + ≥ 2( x + y).
x y
1
1
+ .
Bài 2.6 : Cho x, y > 0 và x + y = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của P = 2
2
x +y
xy
x
y
z
Bài 2.7 : Cho x, y, z > 0 và x + y + z = 1. Tìm giá trị lớn nhất của P =
+
+
.
x+1 y+1 z+1
b2
1
a2
+
≥ .
a+1 b+1 3
Bài 2.9 : Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng :
Bài 2.8 : Cho a, b > 0 và a + b = 1. Chứng minh rằng :
1
1
1
1
1
1
+
+
≥
+
+
.
a + 3b b + 3c c + 3a 2a + b + c 2b + c + a 2c + a + b
Bài 2.10 : Chứng minh rằng với mọi a, b, c > 0 đều có :
1.
1
1
1
27
+
+
≥
;
a(b + c) b(c + a) c(a + b) 2(a + b + c)2
2.
1
1
1
27
+
+
≥
.
a(a + b) b(b + c) c(c + a) 2(a + b + c)2
1
.
ab
√
a+b
ab
Bài 2.12 : Cho a, b > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = √ +
.
ab a + b
3
1 1 1
Bài 2.13 : Cho a, b, c > 0 và a + b + c ≤ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = a + b + c + + + .
2
a b c
√
2 + y2 + z2 ≥
2(xy + yz).
Bài 2.14 : Chứng minh rằng với mọi số dương x, y, z đều có : x
Bài 2.11 : Cho a, b > 0 và a + b ≤ 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của S = ab +
Bài 2.15 : Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 4. Chứng minh rằng :
ab
bc
ca
+
+
≤ 1.
a + b + 2c b + c + 2a c + a + 2b
Bài 2.16 : Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng :
ab
bc
ca
a+b+c
+
+
≤
.
a + 3b + 2c b + 3c + 2a c + 3a + 2b
6
Bài 2.17 : Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng :
1.
a+b b+c c+a
+
+
≥6;
c
a
b
3.
a2
b2
c2
a+b+c
+
+
≥
;
b+c c+a a+b
2
2.
a
b
c
3
+
+
≥ ;
b+c c+a a+b 2
4.
a3
b3
c3
a2 + b2 + c2
+
+
≥
.
b+c c+a a+b
2
Bài 2.18 : Cho a, b, c > 0 và abc = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau :
a2
b2
c2
1. P =
+
+
;
b+c c+a a+b
a3
b3
c3
+
+
;
b+c c+a a+b
TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343
2. Q =
√
√
√
a2 a b2 b c2 c
3. R =
+
+
;
b+c
c+a a+b
bc
ca
ab
4. S = 2
+ 2
+ 2
;
2c
2a
a b+a
b c+b
c a + c2 b
WWW.ToanCapBa.Net
Trang 38
37. WWW.ToanCapBa.Net
CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
Bài 2.19 : Cho x, y, z, t > 0 và xyzt = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
P=
x3 (yz
1
1
1
1
+ 3
+ 3
+ 3
.
+ zt + ty) y (zt + tx + xz) z (tx + xy + yt) t (xy + yz + zx)
Bài 2.20 : Cho a, b, c > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau :
1. P =
b
c
a
+
+
.
b + 2c c + 2a a + 2b
2. Q =
a
b
c
+
+
, m ∈ N, m > 2.1
b + mc c + ma a + mb
Bài 2.21 : Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng :
1. (a + b)(b + c)(c + a) ≥ 8abc ;
2.
bc ca ba
+
+
≥ a + b + c.
a
b
c
Bài 2.22 : Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng :
1.
a
b
c
+
+
≥3;
b+c−a c+a−b a+b−c
Bài 2.23 :
2.
a2
b2
c2
+
+
≥ a + b + c.
b+c−a c+a−b a+b−c
1. Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác, p là nửa chu vi của tam giác. Chứng minh rằng :
(p − a)(p − b)(p − c) ≤
abc
.
8
2. Cho tam giác ABC có chu vi bằng 3 và độ dài ba cạnh của tam giác là a, b, c. Chứng minh rằng :
4(a3 + b3 + c3 ) + 15abc ≥ 27.
Bài 2.24 : Cho a, b, c, d > 0 và a + b + c + d = 1. Chứng minh rằng :
1
1
1
1
−1
−1
−1
− 1 ≥ 81.
a
b
c
d
√
√
Bài 2.25 : Cho a, b ≥ 1. Chứng minh rằng : a b − 1 + b a − 1 ≤ ab.
Bài 2.26 : Cho a, b, c ≥ 0 và a + b + c = 1. Chứng minh rằng : ab + bc + ca + abc ≤
2
1 1
1
≤
+
.
+ bc 2 ab ac
3
2
Cho a, b > 0 và a + b = 1. Chứng minh rằng :
+ 2
≥ 16.
ab a + b2
1
1
1
1
Cho a, b, c > 0 và
+
+
≥ 2. Chứng minh rằng : abc ≤ .
1+a 1+b 1+c
8
2 + b2
√
a
Cho a > b > 0 và ab = 1. Chứng minh rằng :
≥ 2 2.
a−b
1
1
Tìm giá trị nhỏ nhất của A = (1 + x) 1 +
+ (1 + y) 1 +
với x, y > 0 thỏa mãn x2 + y2 = 1.
y
x
Bài 2.27 : Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng :
Bài 2.28 :
Bài 2.29 :
Bài 2.30 :
Bài 2.31 :
10
.
27
a2
Bài 2.32 : Cho x, y, z > 1 thỏa mãn x + y + z = xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của :
P=
y−2 z−2 x−2
+ 2 + 2 .
x2
y
z
Bài 2.33 : Cho a, b, c > 1. Chứng minh rằng :
√
3
alogb c + blogc a + cloga b ≥ 3 abc.
1
Một cách tổng quát, tìm giá trị nhỏ nhất của R =
a
b
c
+
+
với a, b, c, x, y là những số dương
xb + yc xc + ya xa + yb
TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 WWW.ToanCapBa.Net
Trang 39
38. WWW.ToanCapBa.Net
CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
Bài 2.34 : Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 1. Chứng minh rằng :
1+
1
a
1+
Bài 2.35 : Cho a, b > 0. Chứng minh rằng : (a + b)2 +
Bài 2.36 : Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng :
a2 b
1
b
1+
1 1
+
a b
1
≥ 64.
c
2
≥ 8.
bc
ca
ab
1 1 1 1
+ 2
+ 2
≥
+ +
.
2c
2a
2b
+a
b c+b
c a+c
2 a b c
Bài 2.37 : Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng :
bc
ca
a+b+c
ab
+
+
≤
.
a+b b+c c+a
2
1
Bài 2.38 : Cho a ≥ 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = a + .
a
1
Bài 2.39 : Cho a ≥ 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = a + 2 .
a
Bài 2.40 : Cho a, b, c ≥ 0 thỏa mãn a2 + b2 + c2 = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
S =a+b+c+
1
.
abc
Bài 2.41 : Cho x, y > 0 và x + y = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = √
Bài 2.42 : Cho a, b, c ≥ 0 và a + b + c = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
S =
√
3
a+b+
√
3
b+c+
√
3
x
y
+ √
.
1−y
1−x
c + a.
Bài 2.43 : Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
S =
3
a(b + 2c) +
3
b(c + 2a) +
3
c(a + 2b).
Bài 2.44 : Cho a ≥ 2; b ≥ 6; c ≥ 12. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
√
√
√
3
4
bc a − 2 + ca b − 6 + ab c − 12
S =
.
abc
a b c 2 3 a+b b+c c+a
+ +
≥
+
+
với mọi a, b, c > 0.
b c a
2
c
a
b
Bài 2.46 : Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 3. Chứng minh rằng :
Bài 2.45 : Chứng minh rằng :
a3
b3
c3
3
+
+
≥ .
(a + b)(a + c) (b + c)(b + a) (c + a)(c + b) 4
Bài 2.47 : Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 3. Chứng minh rằng :
a3
b3
c3
+
+
≥ 1.
b(2c + a) c(2a + b) c(2b + c)
Bài 2.48 : Cho a, b, c > 0 và a2 + b2 + c2 = 1. Chứng minh rằng :
a3
b3
c3
1
+
+
≥ .
b + 2c c + 2a a + 2b 3
Bài 2.49 : Cho a, b, c > 0 và a2 + b2 + c2 = 1. Chứng minh rằng :
a3
b3
c3
1
+
+
≥ .
a+b b+c c+a 2
TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343
WWW.ToanCapBa.Net
Trang 40
39. WWW.ToanCapBa.Net
CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
Bài 2.50 : Cho a, b, c > 0 và ab + bc + ca = 1. Chứng minh rằng :
√
a
1 + a2
+ √
b
1 + b2
+ √
c
3
≤ .
1 + c2 2
Bài 2.51 : Cho a, b, c > 0 và ab + bc + ca = 1. Chứng minh rằng :
1
1
9
1
+
+
≥ .
a(a + b) b(b + c) c(c + a) 2
Bài 2.52 : Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 1. Chứng minh rằng :
b
c
9
a
+
+
≥ .
2
2
2
(b + c)
(c + a)
(a + b)
4
Bài 2.53 : Cho a, b, c > 0 và a2 + b2 + c2 = 3. Chứng minh rằng :
Bài 2.54 : Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 1. Chứng minh rằng :
√
ab bc ca
+
+
≥ 3.
c
a
b
ca
ab
1
bc
+ √
+ √
≤ .
a + bc
b + ca
c + ab 2
Bài 2.55 : Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 2. Chứng minh rằng :
√
ca
ab
bc
+ √
+ √
≤ 1.
2a + bc
2b + ca
2c + ab
Bài 2.56 : Cho a, b, c > 0 và abc = 1. Chứng minh rằng :
a3
b3
c3
3
+
+
≥ .
(1 + b)(1 + c) (1 + c)(1 + a) (1 + a)(1 + b) 4
Bài 2.57 : Cho a, b, c > 0 và abc = 1. Chứng minh rằng :
1
1
1
3
+
+
≥ .
a3 (b + c) b3 (c + a) c3 (a + b) 2
1 1 1
1
1
1
+ + ≥2
+
+
.
a b c
a+b b+c c+a
1
1
1
Cho a, b, c > 0 và a + b + c ≤ 1. Chứng minh rằng : 2
+
+
≥ 9.
a + 2bc b2 + 2ca c2 + 2ab
1
1
Cho a, b > 0 và a + b ≤ 1. Chứng minh rằng : 2
+
≥ 6.
a + b2 ab
1
1
Cho a, b > 0 và a + b ≤ 1. Chứng minh rằng : 2
+
+ 4ab ≥ 7.
2
a +b
ab
Cho a, b, c > 0 và ab + bc + ca = abc. Chứng minh rằng :
Bài 2.58 : Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng :
Bài 2.59 :
Bài 2.60 :
Bài 2.61 :
Bài 2.62 :
1
1
1
3
+
+
< .
a + 2b + 3c b + 2c + 3a c + 2a + 3b 16
a
b
c
+
+
với a, b, c > 0 và a + b + c = 1.
1+b−a 1+c−b 1+a−c
Bài 2.64 : Cho x, y, z > 0 và x2 + y2 + z2 = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
Bài 2.63 : Tìm giá trị nhỏ nhất của : A =
P=
y2
x
y
z
+ 2
+ 2
.
2
2
+z
z +x
x + y2
Bài 2.65 : Cho x, y là hai số thực thay đổi. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
P=
(x + y)(1 − xy)
.
(1 + x2 )2 (1 + y2 )2
TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 WWW.ToanCapBa.Net
Trang 41
40. WWW.ToanCapBa.Net
CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
Bài 2.66 : Cho x, y, z là ba số thực thỏa mãn x + y + z = 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của
P=
√
√
√
2x + 3 + 2y + 3 + 2z + 3.
Bài 2.67 : Cho các số thực x, y, z thỏa mãn x + y + z = 6. Chứng minh rằng : 8x + 8y + 8z ≥ 4x+1 + 4y+1 + 4z+1 .
Bài 2.68 : Cho 0 < a ≤ b ≤ c ≤ d ≤ e và a + b + c + d + e = 1. Chứng minh rằng :
a(bc + be + cd + de) + cd(b + e − a) ≤
1
.
25
Bài 2.69 : Cho a, b, c là ba số dương thỏa mãn điều kiện ab + bc + ca = abc. Chứng minh rằng :
a2
b2
c2
a+b+c
+
+
≥
.
a + bc b + ca c + ab
4
Bài 2.70 : Cho a, b, c là các số thực dương, chứng minh rằng :
b+c
a+
3
4(b3
+
c3 )
+
c+a
b+
3
4(c3
+
a3 )
+
a+b
c+
3
4(a3 + b3 )
≤ 2.
Bài 2.71 : Cho a, b, c là các số thực dương, chứng minh rằng :
1
1
1
1
+
+
≤
.
a3 + b3 + abc b3 + c3 + abc c3 + a3 + abc abc
Bài 2.72 : Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn abc = 1. Chứng minh rằng :
a3 + b3
b3 + c3
c3 + a3
+ 2
+ 2
≥ 2.
a2 + ab + b2 b + bc + c2 c + ca + a2
Bài 2.73 : Cho ba số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng :
√
√
√
2 a
2 b
2 c
1
1
1
+ 3
+ 3
≤ 2 + 2 + 2.
3 + b2
2
2
a
b +c
c +a
a
b
c
Bài 2.74 : Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng :
1
1
1
a+b+c
+
+
≤
.
a2 + bc b2 + ca c2 + ab
2abc
Bài 2.75 : Cho a, b, c là ba số dương sao cho ab + bc + ca ≥ 1. Chứng minh rằng :
√
a3
b3
c3
3
+
+
≥
.
b2 + 1 c2 + 1 a2 + 1
4
2.2 Bất đẳng thức hình học
Bài 2.76 : Cho a, b, c ∈ R. Chứng minh rằng :
√
a2 + b2 + 4c2 + 4ac +
√
√
a2 + b2 + 4c2 − 4ac ≥ 2 a2 + b2 .
Bài 2.77 : Với mọi a, b, c, d ∈ R. Chứng minh rằng :
√
a2 + b2 + c2 + d2 + 2ac + 2bd ≤
√
a2 + b2 +
√
c2 + d2 .
Bài 2.78 : Cho x, y, z > 0. Chứng minh rằng :
√
√
√
x+2 y+3 z ≤
TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343
14(x + y + z).
WWW.ToanCapBa.Net
Trang 42
41. WWW.ToanCapBa.Net
CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
Bài 2.79 : Cho bốn số a, b, c, d ∈ R thỏa mãn a2 + b2 = 1 và c + d = 3. Chứng minh rằng :
√
9+6 2
.
ac + bd + cd ≤
4
Bài 2.80 : Với mọi a, b, c ∈ R. Chứng minh rằng :
√
a2 + ab + b2 +
√
a2 + ac + c2 ≥
√
b2 + bc + c2 .
Bài 2.81 : Với mọi x, y ∈ R. Chứng minh rằng :
4 cos2 x cos2 y + sin2 (x − y) +
4 sin2 x sin2 y + sin2 (x − y) ≥ 2.
Bài 2.82 : Với mọi x, y ∈ R. Chứng minh rằng :
4x2 + y2 + 12x + 9 +
Bài 2.83 : Cho a + b + c = 1, ax + by + cz = 4 với a, b, c
√
9a2 + a2 x2 +
4x2 + y2 − 4x − 6y + 10 ≥ 5.
0. Chứng minh rằng :
9b2 + b2 y2 +
9c2 + c2 z2 ≥ 5.
Bài 2.84 : Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng :
a2
√
− ab 2 +
b2
b2
+
√
− bc 3 +
Õ
c2
a2 − ac
≥
2−
√
3 + c2 .
Bài 2.85 : Cho a, b, c > 0 và abc + bc + ca = abc. Chứng minh rằng :
√
√
√
b2 + 2a2
c2 + 2b2
a2 + 2c2
+
+
≥ 3.
ab
bc
ac
√
√
√
Bài 2.86 : Cho x2 + y2 = 1. Chứng minh rằng : x2 5 + 2xy − y2 5 ≤ 6.
√
Bài 2.87 : Cho
x2 + xy + y2 = 3
y2 + yz + z2 = 16
và x, y, z là các số thực dương. Chứng minh rằng : xy + yz + zx ≤ 8.
Bài 2.88 : Cho x, y, z là những số dương. Chứng minh rằng :
x2 + xy + y2 +
y2 + yz + z2 +
z2 + zx + x2 ≥
√
3(x + y + z).
Bài 2.89 : Cho a + b + c = 12. Chứng minh rằng :
√
3a + 2 a + 1 +
√
3b + 2 b + 1 +
√
√
3c + 2 c + 1 ≥ 3 17.
Bài 2.90 : Cho các số dương x, y, z và x + y + z ≤ 2. Chứng minh rằng :
4x2
1
+ 2+
x
4y2
1
+ 2+
y
4z2
1
+ 2 ≥
z
√
145
.
2
Bài 2.91 : Giả sử x, y, u, v ∈ R thỏa mãn : x2 + y2 = 1; u2 + v2 + 16 = 8u + 4v. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
P = 8u + 4v − 2(ux + vy).
Bài 2.92 : Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn xy + yz + zx = 5. Tìm giá trị nhỏ nhất của P = 3x2 + 3y2 + z2 .
TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 WWW.ToanCapBa.Net
Trang 43
42. WWW.ToanCapBa.Net
CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
2.3 Phương pháp sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình hoặc hệ phương trình
- phương pháp miền giá trị
2x2 + 7x + 23
.
x2 + 2x + 10
x2 − (x − 4y)2
Bài 2.94 : Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =
, với x2 + y2 > 0.
x2 + 4y2
Bài 2.93 : Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số : f (x) =
Bài 2.95 : Cho x là số dương, y là số thực tùy ý. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (nếu có) của biểu thức :
P=
xy2
(x2 + 3y2 ) x +
x2 + 12y2
.
Bài 2.96 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2 + y2 , với 2x2 + y2 + xy ≥ 1.
√ √
√ √
√
Bài 2.97 : Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện : 3 x( 3 x − 1) + 3 y( 3 y − 1) = 3 xy. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của
√
√
√
biểu thức : P = 3 x + 3 y + 3 xy.
Bài 2.98 : Cho x, y thỏa mãn điều kiện : x2 − xy + y2 = 3. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức : P = x2 + xy − 2y2 .
√
√
Bài 2.99 : Cho hai số thực x, y thỏa mãn điều kiện : x − 3 x + 1 = 3 y + 2 − y. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu
thức P = x + y.
Bài 2.100 : Cho hai số thực x, y thỏa mãn : x2 + y2 = 2(x + y) + 7. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức
√
√
P = 3 x(x − 2) + 3 y(y − 2).
Bài 2.101 : Cho các số thực x, y thỏa mãn : 4x2 − 3xy + 3y2 = 6. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P = x2 + xy − 2y2 .
Bài 2.102 : Cho các số thực x, y thỏa mãn :
√
√
x + 1 + y + 9.
√
x+
√
y = 4. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =
Bài 2.103 : Cho các số thực x, y thỏa mãn : xy + x + y = 3. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =
3x
3y
+
− x2 − y2 .
y+1 x+1
Bài 2.104 : Cho a, b ≥ 0 và a2 + b2 + ab = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức
P = a4 + b4 + 2ab − a5 b5 .
Bài 2.105 : Cho các số thực x, y thỏa mãn x + y = 2. Tìm giá trị lớn nhất của P = (x3 + 2)(y3 + 2).
2.4 Bất đẳng thức trong các kì thi tuyển sinh ĐH
Bài 2.106 (CĐ08) : Cho hai số thực x, y thay đổi và thoả mãn x2 + y2 = 2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu
thức: P = 2(x3 + y3 ) − 3xy.
Bài 2.107 (CĐ10) : Cho hai số thực dương thay đổi x, y thỏa mãn điều kiện 3x + y ≤ 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
1
1
A= + √ .
x
xy
Bài 2.108 (A03) : Cho x, y, z là ba số dương và x + y + z ≤ 1. Chứng minh rằng :
x2 +
1
+
x2
y2 +
TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343
1
+
y2
z2 +
√
1
≥ 82.
z2
WWW.ToanCapBa.Net
Trang 44
43. WWW.ToanCapBa.Net
CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
Bài 2.109 (A05) : Cho x, y, z là các số dương thoả mãn :
1 1 1
+ + = 4. Chứng minh rằng :
x y z
1
1
1
+
+
≤ 1.
2x + y + z x + 2y + z x + y + 2z
Bài 2.110 (A06) : Cho hai số thực x 0, y 0 thay đổi và thoả mãn điều kiện : (x + y)xy = x2 + y2 − xy. Tim giá trị lớn
1
1
nhất của biểu thức A = 3 + 3 .
x
y
Bài 2.111 (A07) : Cho x, y, z là các số thực dương thay đổi và thoả mãn điều kiện xyz = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức :
x2 (y + z)
y2 (z + x)
z2 (x + y)
√ + √
P= √
√ + √
√ .
y y + 2z z z z + 2x x x x + 2y y
Bài 2.112 (A09) : Chứng minh rằng với mọi số thực dương x, y, z thỏa mãn x(x + y + z) = 3yz ta có :
(x + y)3 + (x + z)3 + 3(x + y)(y + z)(z + x) ≤ 5(y + z)3 .
12
5
Bài 2.113 (B05) : Chứng minh rằng với mọi x ∈ R, ta có :
Khi nào đẳng thức xảy ra.
x
+
15
4
x
+
20
3
x
≥ 33 + 4x + 5x .
Bài 2.114 (B06) : Cho x, y là các số thực thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
A=
(x − 1)2 + y2 +
(x + 1)2 + y2 + |y − 2|.
Bài 2.115 (B07) : Cho x, y, z là ba số thực dương thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
P=x
x 1
+
2 yz
+y
y
z
1
1
+
+z
+
.
2 xz
2 xy
Bài 2.116 (B08) : Cho hai số thực x, y thay đổi và thoả mãn hệ thức x2 + y2 = 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất
2(x2 + 6xy)
.
của biểu thức P =
1 + 2xy + 2y2
Bài 2.117 (B09) : Cho các số thực x, y thay đổi thỏa mãn (x + y)3 + 4xy ≥ 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
A = 3(x4 + y4 + x2 + y2 ) − 2(x2 + y2 ) + 1.
Bài 2.118 (B10) : Cho các số thực không âm a, b, c thỏa mãn a + b + c = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M =
√
3(a2 b2 + b2 c2 + c2 a2 ) + 3(ab + bc + ca) + 2 a2 + b2 + c2 .
Bài 2.119 (D05) : Cho các số dương x, y, z thoả mãn xyz = 1. Chứng minh rằng :
√
√
1 + x3 + y3
1 + y3 + z3
1 + z3 + x3
+
+
≥ 3 3.
xy
yz
zx
1 b
1 a
≤ 2b + b .
2a
2
Bài 2.121 (D08) : Cho x, y là hai số thực không âm thay đổi. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
Bài 2.120 (D07) : Cho a ≥ b > 0. Chứng minh rằng : 2a +
P=
(x − y)(1 − xy)
.
(1 + x)2 (1 + y)2
Bài 2.122 (D09) : Cho các số thực không âm x, y thay đổi và thỏa mãn x + y = 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất
của biểu thức :
S = (4x2 + 3y)(4y2 + 3x) + 25xy.
√
√
Bài 2.123 (D10) : Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y = −x2 + 4x + 21 − −x2 + 3x + 10.
TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 WWW.ToanCapBa.Net
Trang 45
44. WWW.ToanCapBa.Net
CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
2.5 Bài tập tổng hợp
5
Bài 2.124 : Giả sử x, y là hai số dương thay đổi thoả mãn điều kiện x + y = . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
4
1
4
S = + .
x 4y
a c b2 + b + 50
Bài 2.125 : Giả sử a, b, c, d là bốn số nguyên thay đổi thoả mãn 1 ≤ a < b < c < d ≤ 50. Chứng minh + ≥
b d
50b
a c
và tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : S = + .
b d
Bài 2.126 : Cho x, y, z là ba số thoả mãn x + y + z = 0. Chứng minh rằng :
√
√
√
3 + 4x + 3 + 4y + 3 + 4z ≥ 6.
Bài 2.127 : Chứng minh rằng với mọi x, y > 0 ta có :
(1 + x) 1 +
y
x
9
1+ √
y
2
≥ 256.
Đẳng thức xảy ra khi nào.
3
. Chứng minh rằng :
4
√
√
√
3
3
3
a + 3b + b + 3c + c + 3a ≤ 3.
Bài 2.128 : Cho a, b, c là ba số dương thoả mãn a + b + c =
Khi nào đẳng thức xảy ra?
√
1
√
Bài 2.129 : Chứng minh rằng 0 ≤ y ≤ x ≤ 1 thì x y − y x ≤ . Đẳng thức xảy ra khi nào ?
4
Bài 2.130 : Cho x, y, z là ba số dương và xyz = 1. Chứng minh rằng :
x2
y2
z2
3
+
+
≥ .
1+y 1+z 1+x 2
Bài 2.131 : Cho x, y là các số thực thoả mãn điều kiện x2 + xy + y2 ≤ 3. Chứng minh rằng :
√
√
−4 3 − 3 ≤ x2 − xy − 3y2 ≤ 4 3 − 3.
Bài 2.132 : Cho các số thực x, y, z thoả mãn điều kiện 3−x + 3−y + 3−z = 1. Chứng minh rằng :
9x
9y
9z
3x + 3y + 3z
+ y
+ z
≥
.
3x + 3y+z 3 + 3z+x 3 + 3x+y
4
Bài 2.133 : Cho hai số dương x, y thay đổi và thoả mãn điều kiện x + y ≥ 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A =
3x2 + 4 2 + y3
+
.
4x
y2
Ö
11
7
Bài 2.134 : Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số : y = x +
+ 4 1 + 2 , x > 0.
2x
x
Bài 2.135 : Cho x, y, z là các số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
P=
3
4(x3 + y3 ) +
3
4(y3 + z3 ) +
3
4(z3 + x3 ) + 2
x
y
z
+ 2+ 2 .
2
y
z
x
Bài 2.136 : Cho a, b là các số dương thoả mãn ab + a + b = 3. Chứng minh rằng :
3a
3b
ab
3
+
+
≤ a2 + b2 + .
b+1 a+1 a+b
2
Bài 2.137 : Cho x, y > 0 và xy = 100. Hãy xác định giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =
TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343
x2 + y2
.
x−y
WWW.ToanCapBa.Net
Trang 46