Dokumen tersebut membahas tentang limit fungsi pada matematika SMA dan strata satu, meliputi definisi limit, sifat-sifat limit, contoh soal limit, dan penjelasan lebih lanjut mengenai definisi limit.

1. L I M I T
Mata Kuliah : Prinsip Matematika
Dosen Pengampu : Prof. Dr. Djati Kerami
Kelompok II:
Aghia Khumaesi Suud (1406505172)
Ermita Rizki Albirri (1406581162)
Ghea Suryawati (1406505216)
Liber Pasaribu (1406505254)
Septian Wulandari (1406581212)
Srava Chrisdes Antoro (1406505323)
Jurusan Magister Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Indonesia
2014

2. 2
1. Limit Fungsi pada Matematika SMA
Limit fungsi pada Matematika SMA didefinisikan sebagai berikut:
DEFINISI
Misalkan f sebuah fungsi :f R R , dan misalkan L dan c bilangan riil.
lim ( )
x c
f x L


jika dan hanya jika f (x) mendekati L untuk semua x mendekati c.
Sifat-sifat limit fungsi adalah sebagai berikut:
a. Misalkan f sebuah fungsi :f R R , dan misalkan L dan c bilangan riil.
lim ( )
x c
f x L

 jika dan hanya jika lim ( )
x c
f x L

 dan lim ( )
x c
f x L

 .
b. Misalkan ( )f x k adalah fungsi konstan dan c bilangan riil, maka lim
x c
k k

 .
c. Misalkan ( )f x x adalah fungsi dan c bilangan riil, maka lim
x c
x c

 .
d. Misalkan f adalah fungsi yang mempunyai limit bila x mendekati c, dengan c bilangan
riil, dan k suatu konstanta, maka lim[ ( )] [lim ( )]
x c x c
k f x k f x
 
   .
e. Misalkan f, g adalah dua fungsi yang mempunyai limit bila x mendekati c, dengan c
bilangan riil, maka lim[ ( ) ( )] [lim ( )] [lim ( )]
x c x c x c
f x g x f x g x
  
   .
f. Misalkan f, g adalah dua fungsi yang mempunyai limit bila x mendekati c, dengan c
bilangan riil, maka lim[ ( ) ( )] [lim ( )] [lim ( )]
x c x c x c
f x g x f x g x
  
   .
g. Misalkan f, g adalah dua fungsi yang mempunyai limit bila x mendekati c, dengan c
bilangan riil dan lim ( ) 0
x c
g x

 , maka
lim ( )( )
lim
( ) lim ( )
x c
x c
x c
f xf x
g x g x



 .
h. Misalkan f adalah fungsi yang mempunyai limit bila x mendekati c, dengan c adalah
bilangan riil dan n bilangan bulat positif, maka lim[ ( )] [lim ( )]n n
x c x c
f x f x
 
 .
i. Misalkan f adalah fungsi yang mempunyai limit bila x mendekati c, dengan c adalah
bilangan riil, n bilangan genap positif, dan lim ( ) 0
x c
f x

 , maka lim ( ) lim ( )n n
x c x c
f x f x
 
 .
Contoh soal:
1. Hitunglah
2
22
5 6
lim
4x
x x
x
 

!

3. 3
Penyelesaian:
Fungsi dalam limit diturunkan terlebih dahulu menjadi
2
2 5 2(2) 5 1
lim
2 2(2) 4x
x
x
 
   .
2. Hitunglah
4 3
4 2
3 2 5 4
lim
2 4 9x
x x x
x x
  
 
!
Penyelesaian:
Karena x mendekati tak hingga dan pangkat tertinggi sama, hal yang perlu diperhatikan
hanyalah koefisien pangkat tertinggi. Jadi:
4 3
4 2
3 2 5 4 3
lim
2 4 9 2x
x x x
x x
  

 
2. Limit Fungsi pada Strata I
2.1. Pendahuluan Limit
Konsep dari limit adalah pusat dari penyelesaian masalah di berbagai bidang (fisika,
engineering, atau pengetahuan lainnya). Pertanyaannya adalah: apa yang terjadi pada fungsi
( )f x saat x mendekati nilai konstanta c? Berbagai macam penyelesaian untuk pertanyaan ini,
tetapi ide dasarnya adalah sama di berbagai keadaan tertentu.
Pemahaman secara intuisi. Pandang fungsi yang ditentukan oleh rumus:
3
1
( )
1
x
f x
x



Fungsi tersebut tidak terdefinisikan pada x = 1 karena pada nilai tersebut f(x) berbentuk
0
0 , yang tanpa arti. Bagaimanapun, masih bisa dipertanyakan apa yang terjadi pada f(x) ketika
x mendekati 1. Lebih tepatnya, apakah ( )f x mendekati beberapa nilai tertentu jika x
mendekati 1? Untuk mendapatkan jawabannya, ada 3 hal yang dapat dilakukan. Pertama:
menghitung beberapa nilai ( )f x untuk x mendekati 1, kedua: menunjukkan nilai-nilai pada
diagram skematis, ketiga: menggambarkannya dalam bentuk grafik y = ( )f x .
Berdasarkan hasil/informasi yang diperoleh, didapat kesimpulan yang sama, yaitu
( )f x mendekati 3 jika x mendekati 1. Dalam simbol matematikanya dituliskan:
3
1
1
lim 3
1x
x
x



Persamaan di atas dibaca: limit dari
3
1
1
x
x


untuk x mendekati 1 adalah 3.

4. 4
Berikut adalah gambar tentang
3
1
( )
1
x
f x
x



ketika x mendekati 1.
Limit fungsi di atas juga dapat dituliskan sebagai berikut:
3 2
2 2
1 1 1
1 ( 1)( 1)
lim lim lim( 1) 1 1 1 3
1 1x x x
x x x x
x x
x x  
   
       
 
Perhatikan bahwa
1
1
1
x
x



selama x ≠ 1. Ini membenarkan langkah kedua.
Untuk yakin bahwa sedang berada pada jalur yang benar, pengertian yang benar untuk
limit sangatlah diperlukan. Berikut percobaan pertama dalam pendefinisian limit.
DEFINISI (Pengertian limit secara intuisi)
Mengatakan lim ( )
x c
f x L

 berarti bahwa ketika c dekat tetapi berbeda dari c, maka ( )f x
mendekati L.
Perhatikan bahwa kita tidak mensyaratkan sesuatu agar tepat di c. Fungsi f bahkan tidak
perlu didefinisikan di c, begitu juga tidak dalam contoh 3
( ) ( 1) / ( 1)f x x x   di atas.
Contoh soal:
1. Hitunglah
3
lim(4 5)
x
x

 !
Daftar
nilai
Diagram
skematis
Grafik
3
1
( )
1
x
f x
x




5. 5
Penyelesaian:
3
lim(4 5) 4 3 5 12 5 7
x
x

      
2. Hitunglah
1
1
lim
1x
x
x


!
Penyelesaian:
1 1 1
1 ( 1)( 1)
lim lim lim( 1) 1 1 1 1 2
1 1x x x
x x x
x
x x  
  
       
 
Limit-limit sepihak. Ketika sebuah fungsi mempunyai lompatan, maka limit tersebut
tidak ada pada setiap titik lompatan. Untuk fungsi-fungsi tersebut, maka wajar untuk
memperkenalkan limit-limit sepihak. Misalkan simbol x c
 mengartikan bahwa x
mendekati c dari kanan dan simbol x c
 mengartikan x mendekati c dari kiri.
DEFINISI (Limit kanan dan limit kiri)
Mengatakan bahwa lim ( )
x c
f x L

 berarti bahwa ketika x dekat tetapi pada sebelah kanan c,
maka f (x) mendekati L. Hal yang serupa, mengatakan bahwa lim ( )
x c
f x L

 berarti bahwa
ketika x dekat tetapi pada sebelah kanan c, maka f (x) mendekati L.
Sebagai contoh, nilai
2
lim
x
x

 tidak ada. Namun, adalah benar untuk menuliskan:
2
lim 1
x
x

 dan
2
lim 2
x
x


TEOREMA
lim ( )
x c
f x L

 jika dan hanya jika lim ( )
x c
f x L

 dan lim ( )
x c
f x L

 .
Gambar berikut ini menyajikan contoh lebih lanjut mengenai limit-limit sepihak.
y x

6. 6
ε > 0  𝛿 > 0  0 x c     ( )f x L  
2.2. Pengkajian yang Lebih Akurat Mengenai Definisi Limit
Sebelumnya telah diberikan definisi limit sebagai berikut: “Mengatakan lim ( )
x c
f x L


berarti bahwa ketika x mendekati c tetapi tidak sama dengan c, maka f(x) adalah mendekati
L.” Berikut definisi yang lebih baik sedikit, tetapi masih tetap tidak resmi, dengan menyusun
kembali kata-kata dari definisi tersebut: “Mengatakan bahwa lim ( )
x c
f x L

 berarti bahwa
selisih antara f (x) dan L dapat dibuat sekecil mungkin dengan mensyaratkan bahwa x cukup
dekat tetapi tidak sama dengan c.
Selanjutnya akan diberikan definisi yang tepat mengenai limit. Dalam hal ini, huruf-
huruf Yunani ε dan δ akan digunakan untuk menggantikan bilangan-bilangan positif kecil
sebarang.
DEFINISI (Pengertian yang tepat mengenai limit)
Mengatakan bahwa lim ( )
x c
f x L

 berarti bahwa untuk setiap 0  yang diberikan
(seberapapun kecilnya), terdapat 0  yang berpadanan sedemikian rupa sehingga jika
0 x c    , maka ( )f x L   , atau:
0 | | | ( ) |x c f x L      

7. 7
Dalam beberapa contoh berikut, pembuktian dimulai dengan analisis pendahuluan.
Namun, analisis pendahuluan ini bukanlah bagian dari pembuktian itu sendiri. Analisis
pendahuluan ini merupakan pekerjaan yang seharusnya ditulis dalam kertas buram. Bagian
ini disertakan agar bukti-bukti yang ada tidak kelihatan begitu saja turun dari surga.
Contoh soal:
1. Buktikan bahwa
5
lim(3 7) 8
x
x

  !
Analisis pendahuluan:
Misalkan  adalah bilangan positif sebarang. Suatu 0  harus didapatkan sedemikian
sehingga:
0 | 5| | (3 7) 8|x x       
Dengan meninjau pertidaksamaan di sebelah kanan:
| (3 7) 8| | 3 15|
| 3( 5) |
| 3|| 5|
3| 5|
| 5|
3
x x
x
x
x
x
 




     
  
  
  
  
didapat bahwa ada 0  dimana /3  .
Bukti formal:
Misal diberikan ε > 0. Pilih δ = 𝜀/3. Maka 0 | 5|x    mengimplikasikan bahwa:
| (3 7) 8| | 3 15| | 3( 5) | | 3|| 5| 3| 5| 3x x x x x             
Hal ini berarti bahwa:
| (3 7) 8|x   
2. Buktikan bahwa jika c > 0, maka lim
x c
x c

 !
Analisis pendahuluan:
Misalkan  adalah bilangan positif sebarang. Suatu 0  harus didapatkan sedemikian
sehingga:
0 | |x c x c      
Berdasarkan x c didapat:
( )( ) | | | |x c x c x c x c x c
x c
x c x c x c c
    
    
  

8. 8
Untuk membuat
| |x c
c


 , disyaratkan bahwa perlu dibuat | |x c c  .
Bukti formal:
Misal diberikan ε > 0. Pilih δ = 𝜀√ 𝑐. Maka 0 < | 𝑥 − 𝑐| < 𝛿 mengimplikasikan bahwa:
( )( ) | | | |x c x c x c x c x c
x c
x c x c x c c c


    
      
  
Hal ini berarti bahwa:
x c  
Dengan menggunakan huruf Yunani ε dan δ, limit-limit sepihak akan didefinisikan
sebagai berikut.
DEFINISI (Limit kanan)
Mengatakan bahwa lim ( )
x c
f x L

 berarti bahwa untuk setiap 0  yang diberikan, terdapat
0  yang berpadanan sedemikian rupa sehingga jika 0 x c    , maka ( )f x L   ,
atau:
0 | ( ) |x c f x L      
DEFINISI (Limit kiri)
Mengatakan bahwa lim ( )
x c
f x L

 berarti bahwa untuk setiap 0  yang diberikan, terdapat
0  yang berpadanan sedemikian rupa sehingga jika 0 c x    , maka ( )f x L   ,
atau:
0 | ( ) |c x f x L      
2.3. Teorema Limit
TEOREMA (Teorema Limit Utama)
Misalkan n adalah bilangan bulat positif, k merupakan konstanta, f dan g adalah fungsi yang
memiliki limit di c, maka:
a. lim
x c
k k


b. lim
x c
x c


c. lim[ ( )] [lim ( )]
x c x c
k f x k f x
 
  
d. lim[ ( ) ( )] [lim ( )] [lim ( )]
x c x c x c
f x g x f x g x
  
  
e. lim[ ( ) ( )] [lim ( )] [lim ( )]
x c x c x c
f x g x f x g x
  
  

9. 9
f. lim[ ( ) ( )] [lim ( )] [lim ( )]
x c x c x c
f x g x f x g x
  
  
g.
lim ( )( )
lim
( ) lim ( )
x c
x c
x c
f xf x
g x g x



 ; dengan lim ( ) 0
x c
g x


h. lim[ ( )] [lim ( )]n n
x c x c
f x f x
 

i. lim ( ) lim ( )n n
x c x c
f x f x
 
 dengan lim ( ) 0
x c
f x

 ketika n genap
Berikut ini adalah contoh penggunaan teorema limit utama dalam menemukan suatu
nilai limit.
Contoh soal:
1. Tentukan 4
3
lim2
x
x

!
Penyelesaian:
 
4
44 4
3 3 3
lim2 2 lim 2 lim 2 3 162
x x x
x x x
  
       
 
2. Tentukan 2
4
lim(3 2 )
x
x x

 !
Penyelesaian:
2
2 2 2
4 4 4 4 4 4 4
2
lim(3 2 ) lim3 lim2 3 lim 2 lim 3 lim 2 lim
3(4) 2(4) 40
x x x x x x x
x x x x x x x x
      
           
 
  
TEOREMA (Teorema Substitusi)
Jika f adalah fungsi polinomial atau fungsi rasional, maka:
lim ( ) ( )
x c
f x f c


Pada kasus fungsi rasional, nilai dari penyebut saat x mendekati c adalah tidak nol.
Fungsi polinomial f dapat dibentuk seperti:
1
1 1 0( ) ...n n
n nf x a x a x a x a
    
Fungsi rasional f dibentuk dari dua fungsi polinomial seperti:
1
1 1 0
1
1 1 0
...
( )
...
n n
n n
n n
n n
a x a x a x a
f x
b x b x b x b




   

   

10. 10
Contoh soal:
1. Tentukan
5 4
22
7 10 13 6
lim
3 6 8x
x x x
x x
  
 
!
Penyelesaian:
5 4 5 4
2 22
7 10 13 6 7(2) 10(2) 13(2) 6 11
lim
3 6 8 3(2) 6(2) 8 2x
x x x
x x
     
  
   
2. Tentukan
2
22
3 10
lim
6p
p p
p p
 
 
!
Penyelesaian:
2
22 2
( 2)3 10
lim lim
6p p
pp p
p p 
 

 
( 5)
( 2)
p
p

 2
5 7
lim
3 5( 3) p
p
pp 

 

TEOREMA (Teorema Apit)
Misal f, g, dan h adalah fungsi yang memenuhi ( ) ( ) ( )f x g x h x  untuk semua x mendekati
c, tetapi tidak sama dengan c. Jika lim ( ) lim ( )
x c x c
f x h x L
 
  , then lim ( )
x c
g x L

 .
Contoh soal:
Asumsikan bahwa telah dibuktikan
2
sin
1 1
6
x x
x
   untuk semua x mendekati 0 tetapi
berbeda dengan 0. Apa yang dapat disimpulkan?
Penyelesaian:
Misal
2
( ) 1
6
x
f x   ,
sin
( )
x
g x
x
 , dan ( ) 1h x  .
Karena
0 0
lim ( ) lim ( ) 1
x x
f x h x
 
  , dan berdasarkan Teorema Apit, maka:
0
sin
lim 1
x
x
x

2.4. Kekontinuan Fungsi
DEFINISI (Kekontinuan di satu titik)
Andaikan f terdefinisi pada suatu selang terbuka yang mengandung c. Fungsi f dikatakan
kontinu di c jika:
lim ( ) ( )
x c
f x f c


Berdasarkan definisi di atas, ada 3 hal yang perlu dipenuhi agar fungsi f kontinu di c,
yaitu:

11. 11
a. lim ( )
x c
f x

ada
b. ( )f c ada (yakni, c berada dalam daerah asal f)
c. lim ( ) ( )
x c
f x f c


Jika salah satu dari ketiga syarat di atas tidak terpenuhi, maka fungsi f diskontinu di c.
Contoh:
Fungsi g dengan definisi:
2
4
2
x
x


; jika 2x 
( )g x 
1; jika 2x 
diskontinu di 2x  sebab
2
2 2 2
4
lim ( ) lim lim( 2) 4 1 (2)
2x x x
x
g x x g
x  

     

.
TEOREMA (Kekontinuan fungsi polinomial dan rasional)
Fungsi polinomial kontinu di setiap bilangan riil c. Fungsi rasional kontinu di setiap bilangan
riil c dalam daerah asalnya, yakni, kecuali pada titik yang menyebabkan penyebutnya nol.
TEOREMA (Kekontinuan nilai mutlak dan fungsi-fungsi akar ke-n)
Fungsi nilai mutlak adalah kontinu di setiap bilangan riil c. Jika n ganjil, fungsi akar ke-n
kontinu di setiap bilangan riil c. Sedangkan, jika n genap, fungsi akar ke-n kontinu di setiap
bilangan riil positif c.
TEOREMA
Jika f dan g kontinu di c, demikian juga kf, f + g, f – g, f g , f / g (asalkan ( ) 0g c  ), n
f , dan
n f (asalkan ( ) 0f c  jika n genap).
TEOREMA (Teorema Limit Komposisi)
Jika lim ( )
x c
g x L

 dan f kontinu di L, maka:
   lim ( ) lim ( ) ( )
x c x c
f g x f g x f L
 

Khususnya, jika g kontinu di c, dan f kontinu di g(c), maka fungsi komposit f g kontinu
di c.

12. 12
TEOREMA (Teorema Nilai Antara)
Jika f kontinu pada interval tertutup [a,b] dan jika W sebuah bilangan antara ( )f a dan ( )f b ,
maka terdapat paling sedikit sebuah bilangan c antara a dan b sedemikian rupa sehingga
( )f c W .
2.5. Limit Melibatkan Fungsi Trigonometri
TEOREMA (Limit Fungsi Trigonometri)
Untuk setiap bilangan riil c dalam setiap daerah asal fungsi, berlaku:
1. limsin sin
x c
x c

 4. limcot cot
x c
x c


2. limcos cos
x c
x c

 5. limsec sec
x c
x c


3. limtan tan
x c
x c

 6. limcsc csc
x c
x c


Contoh soal:
Tentukan
2
0
cos
lim
1t
t t
t 
!
Penyelesaian:  
2 2
0 0 0
cos
lim lim limcos 0 1 0
1 1t t t
t t t
t
t t  
 
    
  
TEOREMA (Limit-limit trigonometri khusus)
1.
0
sin
lim 1
x
x
x
 2.
0
1 cos
lim 0
x
x
x


Contoh soal:
1. Tentukan
0
1 cos
lim
sinx
x
x

!
Penyelesaian:
0
0 0
0
1 cos
1 cos lim
1 cos 0
lim lim 0
sin sinsin 1lim
x
x x
x
x
x
x x x
x xx
x
x

 




   
2. Tentukan
0
sin5
lim
3t
t
t
!
Penyelesaian:
0 0 0 0
sin5 5 sin5 5 sin5 5 sin5 5 5
lim lim lim lim 1
3 5 3 3 5 3 5 3 3t t t t
t t t t
t t t t   
        

13. 13
Jika 0t  , maka 5 0t  . Jadi,
0 5 0 0
sin5 sin5 sin
lim lim lim 1
5 5t t x
t t x
t t x  
   .
2.6. Limit pada Tak Berhingga
Sama halnya dengan pendefinisian limit biasa yang menggunakan huruf Yunani ε dan
δ, maka definisi limit pada tak berhingga didefinisikan sebagai berikut.
DEFINISI (Limit x   )
Misal f terdefinisikan pada interval [ , )c  untuk beberapa nilai c. Mengatakan bahwa
lim ( )
x
f x L

 jika untuk setiap 0  , terdapat suatu angka M yang berpadanan sedemikian
rupa sehingga
| ( ) |x M f x L    
DEFINISI (Limit x   )
Misal f terdefinisikan pada interval ( , ]c untuk beberapa nilai c. Mengatakan bahwa
lim ( )
x
f x L
 
 jika untuk setiap 0  , terdapat suatu angka M yang berpadanan sedemikian
rupa sehingga
| ( ) |x M f x L    
Contoh soal:
1. Tunjukkan jika k adalah bilangan bulat positif, maka
1
lim 0kx x
 !
Penyelesaian:
Diberikan 0  . Pilih 1/k
M  . Kemudian x M , mengimplikasikan bahwa:
1 1 1
0k k k
x x M
   
Hal ini berarti bahwa:
1
0k
x
 
2. Tentukan
2
2
2
lim
1x
x
x 
!
Penyelesaian:
2
2
2
22
22
2 1 1
2 2 2
lim lim lim 2
1 1 0 1
x
x
xx x x
xx
x
x   
   
  

14. 14
2.7. Limit Tak Hingga
DEFINISI
1. Mengatakan bahwa lim ( )
x c
f x

  berarti bahwa setiap M bilangan positif, terdapat
0  yang berpadanan sedemikian rupa sehingga
0 ( )x c f x M    
2. Mengatakan bahwa lim ( )
x c
f x

  berarti bahwa setiap M bilangan positif, terdapat
0  yang berpadanan sedemikian rupa sehingga
0 ( )x c f x M    
DEFINISI
1. Mengatakan bahwa lim ( )
x c
f x

  berarti bahwa setiap M bilangan positif, terdapat
0  yang berpadanan sedemikian rupa sehingga
0 ( )c x f x M    
2. Mengatakan bahwa lim ( )
x c
f x

  berarti bahwa setiap M bilangan positif, terdapat
0  yang berpadanan sedemikian rupa sehingga
0 ( )c x f x M    