61 θεματα στο 1ο κεφαλαιο της Αναλυσης

1. Άσκηση 1
Αν μια συνάρτηση
Υπάρχει ένα τουλάχιστον
Ασκηση 2
Δίνεται
Άσκηση 3
Δίνεται ότι
Άσκηση 4
Έστω συνάρτηση


1)Nα δείξετε ότι
2)Να δείξετε ότι είναι περιττή.
3)Να βρείτε το σύνολο τιμών της
4)Nα δείξετε ότι η εξίσωση
Άσκηση 5
Αν για την συνεχή συνάρτηση


να υπολογίσετε το όριο
Επιμέλεια: Ανδρέας Πάτσης lisari.blogspot.gr Μια συλλογή ασκήσεων
Κεφάλαιο 1ο - Ανάλυση 1

2. Άσκηση 6
Αν για την συνεχή συνάρτηση
ότι δεν αντιστρέφεται.
Άσκηση 7
Έστω μια συνάρτηση
1) Nα υπολογιστεί το όριο :
2) Nα δείξετε ότι η συνάρτηση
3) Να βρείτε `το πρόσημο της συνάρτησης.
Άσκηση 8
Δίνονται οι συνεχείς συναρτήσεις




1) Να αποδείξετε ότι
2) Nα βρείτε το πρόσημο της
3) Nα αποδείξετε ότι :
Άσκηση 9
Δίνεται η συνεχής συνάρτηση
Να δείξετε ότι υπάρχει
Άσκηση 10
Επιμέλεια: Ανδρέας Πάτσης lisari.blogspot.gr Μια συλλογή ασκήσεων
Κεφάλαιο 1ο - Ανάλυση 2

3. Δίνεται η συνάρτηση


Nα δείξετε ότι η συνάρτηση
Άσκηση 11
Έστω η συνεχής συνάρτηση
να δείξετε ότι η
συνάρτηση δε αντιστρέφεται.
Άσκηση 12
Δίνεται η συνεχής συνάρτηση


1) Να δείξετε ότι υπάρχει
2) Να δείξετε ότι υπάρχει
Άσκηση 13
Δίνεται η συνεχής συνάρτηση

1) Nα βρείτε το σύνολο τιμών της
2) Nα δείξετε ότι η συνάρτηση
3) Να βρείτε τον τύπο της αντίστροφης συνάρτησης.
4) Να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων
μόνο σημείο
5) Να βρείτε το όριο
Επιμέλεια: Ανδρέας Πάτσης lisari.blogspot.gr Μια συλλογή ασκήσεων
Κεφάλαιο 1ο - Ανάλυση 3

4. Άσκηση 14
Δίνεται η συνάρτηση

1) Nα υπολογίσετε το
2) Nα αποδείξετε ότι αντιστρέφεται.
3) Να βρείτε το πρόσημο της
4) Nα δείξετε ότι είναι γνησίως αύξουσα.
5) Να λύσετε την ανίσωση
6) Nα υπολογίσετε το όριο :
Άσκηση 15
Δίνεται η συνάρτηση
1) Να δείξετε ότι η συνάρτηση αντιστρέφεται.
2) Ν α δείξετε ότι είναι γνησίως αύξουσα.
3) Να δείξετε ότι το σύνολο τιμών της είναι όλο το
4) Nα βρείτε τον τύπο της αντίστροφής.
5) Να δείξετε ότι η
Άσκηση 16
Αν η συνάρτηση
Άσκηση 17
Επιμέλεια: Ανδρέας Πάτσης lisari.blogspot.gr Μια συλλογή ασκήσεων
Κεφάλαιο 1ο - Ανάλυση 4

5. Έστω η συνεχής συνάρτηση
Nα δείξετε ότι
Άσκηση 18
Δίνεται η συνάρτηση
1) Να δείξετε ότι
2) Αν η
Άσκηση 19
Έστω
Άσκηση 20
Έστω οι συναρτήσεις

1) N α δείξετε ότι η εξίσωση
2) Να δείξετε ότι η συνάρτηση
3) Να δείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον
Άσκηση 21
Έστω
Αν
1) Nα βρείτε το πρόσημο της συνάρτησης
Επιμέλεια: Ανδρέας Πάτσης lisari.blogspot.gr Μια συλλογή ασκήσεων
Κεφάλαιο 1ο - Ανάλυση 5

6. 2) Nα αποδείξετε ότι
3) Να αποδείξετε ότι το πεδίο ορισμού της
εξίσωση
Άσκηση 22
Έστω

1) Nα υπολογίσετε το
2) Nα δείξετε ότι
Άσκηση 23
Δίνεται συνεχής συνάρτηση
Άσκηση 24
Δίνεται συνάρτηση

1) Να δείξετε ότι
2) Nα αποδείξετε ότι η
3) Αν επιπλέον η εξίσωση
Α) H συνάρτηση
Β) Iσχύει
Άσκηση 25
Δίνεται συνάρτηση
Επιμέλεια: Ανδρέας Πάτσης lisari.blogspot.gr Μια συλλογή ασκήσεων
Κεφάλαιο 1ο - Ανάλυση 6

7. Άσκηση 26
Αν η συνάρτηση
Άσκηση 27
Έστω
Nα δείξετε ότι η συνάρτηση
Άσκηση 28
Έστω συνάρτηση
1) Να δείξετε ότι
2) Nα δείξετε ότι
3) Να δείξετε ότι :
Άσκηση 29
Έστω
 .
1) Nα βρείτε τον τύπο της συνάρτησης.
2) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της
3)
Επιμέλεια: Ανδρέας Πάτσης lisari.blogspot.gr Μια συλλογή ασκήσεων
Κεφάλαιο 1ο - Ανάλυση 7

8. Άσκηση 30
Έστω συνάρτηση
είναι γνησίως αύξουσα στο πεδίο ορισμού της.
Άσκηση 31
Έστω συνάρτηση

 .
1) Να λυθεί η εξίσωση :
2) Nα λυθεί η ανίσωση :
Άσκηση 32
Δίνονται οι συναρτήσεις


Nα βρείτε το μέγιστο της συνάρτησης
Άσκηση 33
Έστω η συνεχής συνάρτηση

Να δείξετε ότι :
1)
2)
Άσκηση 34
Επιμέλεια: Ανδρέας Πάτσης lisari.blogspot.gr Μια συλλογή ασκήσεων
Κεφάλαιο 1ο - Ανάλυση 8

9. Έστω
1) Αν
2) Αν
3) Aν
4) Θεωρούμε επιπλέον την συνάρτηση
υπάρχει
Άσκηση 35
Έστω συνάρτηση

 .
1) Nα αποδείξετε ότι η
2) Να βρείτε τον τύπο της
3) Nα υπολογίσετε το όριο
Άσκηση 36
Δίνονται οι συναρτήσεις

1) Να δείξετε ότι :
2) Nα δείξετε ότι και οι δύο συναρτήσεις είναι συνεχείς στο 0.
3) Να υπολογίσετε το όριο:
4) Αν η
Επιμέλεια: Ανδρέας Πάτσης lisari.blogspot.gr Μια συλλογή ασκήσεων
Κεφάλαιο 1ο - Ανάλυση 9

10. ρίζα στο
Άσκηση 37
Έστω
Άσκηση 38
Αν
Άσκηση 39
Να δείξετε ότι η συνάρτηση είναι συνεχής στο 0.
Άσκηση 40
Δίνονται οι συναρτήσεις



1) Να δείξετε ότι η
2)
3)
4)
5)
Άσκηση 41
Δίνεται η συνεχής συνάρτηση
Επιμέλεια: Ανδρέας Πάτσης lisari.blogspot.gr Μια συλλογή ασκήσεων
Κεφάλαιο 1ο - Ανάλυση 10

11. 


Nα δείξετε ότι :
1)
2) Υπάρχει τουλάχιστον ένα .
3) H
Άσκηση 42
Δίνεται η συνάρτηση

Aφού υπολογίστε το
Άσκηση 43
Έστω η συνάρτηση
Nα δείξετε ότι η συνάρτηση
Άσκηση 44
Έστω η συνεχής συνάρτηση

1) Να δείξετε ότι υπάρχει
2) Να δείξετε ότι : .
3) Να δείξετε ότι : .
Άσκηση 45
Επιμέλεια: Ανδρέας Πάτσης lisari.blogspot.gr Μια συλλογή ασκήσεων
Κεφάλαιο 1ο - Ανάλυση 11

12. Έστω η συνεχής συνάρτηση


Να δείξετε ότι :
1)
Άσκηση 46
Δίνεται η συνάρτηση


1) Nα βρείτε την αντίστροφη της
2) .
3) Nα δείξετε ότι η
Άσκηση 47
Έστω η συνεχής συνάρτηση


1) Nα δείξετε ότι
2) Yπάρχει ένα τουλάχιστον
3) Η εξίσωση
Άσκηση 48
Έστω η συνεχής συνάρτηση
Επιμέλεια: Ανδρέας Πάτσης lisari.blogspot.gr Μια συλλογή ασκήσεων
Κεφάλαιο 1ο - Ανάλυση 12

13. 1) Να δείξετε ότι η
2) Ά ν η
Α) Η
Β) Η εξίσωση
3) Να υπολογιστεί το όριο :
Άσκηση 49
Δίνονται οι συνεχείς συναρτήσεις


1) Nα υπολογιστούν τα όρια
2) Nα δείξετε ότι
Άσκηση 50
Έστω η συνάρτηση

 χει μοναδικ ρ ζα
1) Να υπολογίσετε το
2) Nα δείξετε ότι
3) Να λύσετε την εξίσωση :
4) Aν
Άσκηση 51
Έστω οι συνεχείς συναρτήσεις

Επιμέλεια: Ανδρέας Πάτσης lisari.blogspot.gr Μια συλλογή ασκήσεων
Κεφάλαιο 1ο - Ανάλυση 13

14. Να δείξετε ότι η
Άσκηση 52
Έστω η συνάρτηση

 H


1) Nα δείξετε ότι :
2)
3) Oι συναρτήσεις
4) Να αποδείξετε ότι:
Άσκηση 53
Δίνεται συνάρτηση


1) Να δείξετε ότι η συνάρτηση
2) Να υπολογιστεί το όριο : .
3) Nα υπολογιστεί το όριο:
Άσκηση 54
Έστω η συνάρτηση


1) Αν η εξίσωση
Επιμέλεια: Ανδρέας Πάτσης lisari.blogspot.gr Μια συλλογή ασκήσεων
Κεφάλαιο 1ο - Ανάλυση 14

15. 2) Η συνάρτηση είναι αντιστρέψιμη.
Άσκηση 55
Αν
τικές ρίζες.
Άσκηση 56
Έστω
Να δείξετε ότι υπάρχει
Άσκηση 57
Δίνεται συνάρτηση
1) Nα δείξετε ότι :
2) Nα αποδείξετε ότι :
3) Nα αποδείξετε ότι :
Άσκηση 58
Αν για μια συνεχή συνάρτηση
Άσκηση 59
Να αποδείξετε ότι η εξίσωση
Επιμέλεια: Ανδρέας Πάτσης lisari.blogspot.gr Μια συλλογή ασκήσεων
Κεφάλαιο 1ο - Ανάλυση 15

16. Άσκηση 60
Έστω η συνάρτηση

1)Να εξετάσετε την
2)Να δείξετε ότι υπάρχει ένα ακριβώς
Άσκηση 61
Για μια συνάρτηση
Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης τέμνει τον άξονα χ΄χ σε δύο τουλάχιστον
διαφορετικά σημεία.
Πηγες:
Από τα βοηθήματα: Μπαϊλάκη , Τζιρώνη-Τζουβάρα, Σκομπρή, Στεργίου-Νάκη, Παπαδάκη,
Μπάρλα.
Επίσης από την συλλογή ασκήσεων του mathematica ,κάποιες από το μαθηματικό εργαστήρι
και κάποιες αγνώστου προέλευσης, από σημειώσεις των μαθητικών μου χρόνων.
Επιμέλεια: Ανδρέας Πάτσης lisari.blogspot.gr Μια συλλογή ασκήσεων
Κεφάλαιο 1ο - Ανάλυση 16