1. INS LA LLAUNA Badalona
Matemàtiques 2n. ESO
TEMES 7,8,9: GEOMETRIA 2
d) Exercicis: (Els exercicis s’han de desenvolupar en els fulls o llibreta, formen part del 0dossier dels temes).
D4) Completa la graella següent amb el nombre de cares, vèrtexs i arestes que té cada
prisma.
Prisma Cares Vèrtexs Arestes
Triangular 5 6 9
Pentagonal 7 10 15
Octogonal 10 16 24
Hexagonal 8 12 18
d5) Un ort0edre és un prisma regular? Raona la teva resposta.
No ho és en general perquè la base pot ser un rectangle i, per tant, ja no seria regular.
3.- RESUM ÀREES I VOLUMS DE COSSOS GEOMÈTRICS.
COS ÀREES VOLUMS (V)
GEOMÈTRIC A. Lateral ( A L ) A. Total ( A T )
Prisma AL = P • h AT = P• h + 2•AB V = AB • h =
Piràmide P •a p P •a p V= A B •h
=
AL = AT = + AB 3
2 2
Cilindre A L = 2π • r • h A T = 2π • r • ( h + r ) V = π• r2 • h
Con AL = π• r •g A T = π • r • (g + r) π• r2 • h
V=
3
Esfera A = 4πr 2 4
V = πr 3
3
Observacions: P (perímetre de la base). AB (àrea de la base). ap= apotema . g= generatriu
H (altura). r= radi
Pàgina 1

2. INS LA LLAUNA Badalona
4.- RECULL D’ACTIVITATS. (Les activitats s’han de desenvolupar en els fulls o llibreta, formen part del dossier dels
temes).
A1) En un triangle rectangle, la hipotenusa fa 26 cm i un dels catets mesura 10 cm. Calcula la mida de
l’altre catet.
a2 = b2 + c2 262 = 102 + c2 676 = 100 + c2 576 = c2
C=24 cm
A2) Els catets d’un triangle rectangle mesuren 15 mm i 21,4 mm. Calcula la longitud de la hipotenusa.
Dibuixa-ho.
a2 = b2 + c2 a2 = 152 +21,42
21,4 a2 = 225 +457,96 =67
+ 677,96
a=26 13 mm
26,13
A3) La superfície d’un rectangle fa 15 cm2 . Sabent que un costat mesura 2,5 cm, calcula la longitud
de les seves diagonals.
Costats =b , c Diagonal=a.
Sabem que l’àrea A=b∙c és a dir, 15= b∙2,5
Llavors b=15/2,5=6
Ara fem a2 = b2 + c2 a2 = 2,52 +62= 42,45 a= 6,5 cm
6
A4) Calcula el radi de la circumferència circumscrita a un quadrat de 5 cm de costat. Fes el dibuix
pertinent.
En aquest dibuix, l= costat i r=radi Veiem que formen un triangle rectangle
isòsceles i apliquem el teorema de Pitàgores.
l2 = r2 + r2 52 =2 r2
2 25 =2 r2
= 25/2 =12,5= r2
12,5=
3,53cm= r
A5) Comprova, aplicant tres vegades el Teorema de Pitàgores, si el triangle ABC és rectangle.
Fem que b sigui el segment AB i c=AC
Trobem b: b2 = 82 + 152=289 b =17 cm =
Trobem c: b = 36 + 15 =1521 c =39 cm
2 2 2
=
Ara comprovem que ABC és rectangle amb pitàgores
442 =? 172 + 392 1936 =? 1810
Veiem que NO.
A6) Troba l’apotema d’un hexàgon regular de 10 m de
costat.
L’hexàgon el podem dividir en 6 triangles equilàters (és l’únic polígon que
forma equilàters, la resta formen triangles isòscel.les). L’apotema és
l’altura de cada triangle equilàter i, per tant, un catet del triangle
rectangle que hem dibuixat. Fem Pitàgores:
a2 = b2 + c2 102 = 52 + c2 100 = 25 + c2
C=8,66m
C= m
75 = c2
A7) Quin és l’origen etimològic de la paraula esfera?
Esfera proviene del término griego σφαῖρα, sphaîra, que significa pelota (para jugar).
A8) El diàmetre de la base d’un con és de 1,2 dm. Calcula la longitud de la generatriu si se sap que
l’altura mesura 8m. Identifica el triangle rectangle que determinen un radi, l’altura i una generatriu.
La generatriu (a), l’altura (h) i el radi de la base (r) formen un triangle
rectangle, per tant podem aplicar Pitagores:
Passem totes les mesures a les mateixes unitats: h=8m r=0,6dm=0,06m
a2 = h2 + r2 a2 = 82 + 0,062 a2 = 64,0036 a=8,0002m
Pàgina 2

3. INS LA LLAUNA Badalona
A9) Escriu el nom de cinc objectes que tinguin forma cònica.
o, , ,
A10) Un con recte és equilàter si quan es talla per un pla perpendicular a la base que passi pel vèrtex,
s’obté un triangle equilàter.
a) Dibuixa un con equilàter.
b) Quina relació hi ha entre el radi i la generatriu d’un con equilàter?.
Com és equilater, el diàmetre del cercle i la generatriu són iguals. Com el radi és la meitat
del diàmetre, llavors el radi és la meitat de la generatriu
A11) Calcula en m3 el volum d’un cub d’aresta 0,8 dm. També calcula, en m2, l’AT.
a=0,8 dm=0,08 m
V=a3 = 0,083 =0,000512 m3
AT=6a2 =6∙ 0,082 =0,0384 m2
A12) El diàmetre de la base d’un con fa 16cm i la generatriu fa 17 cm. Calcula l’altura del con.
La generatriu (a), l’altura (h) i el radi de la base (r) formen un triangle rectangle, per
tant podem aplicar Pitagores:
a=17cm r=16/2=8 cm
172 = h2 + 82 h2 = 172 - 82 h2 = 225 h=15 cm
A13) L’aresta bàsica d’un prisma hexagonal regular mesura 8 cm i l’altura,10cm. Calcula’n l’àrea total.
AT = P • h + 2 • AB
P = Perímetre de l’hexàgon AB=Àrea de l’hexàgon
L’hexàgon el podem dividir en 6 triangles equilàters (és l’únic polígon
que forma equilàters, la resta formen triangles isòscel.les). L’apotema
és l’altura de cada triangle equilàter i, per tant, un catet del triangle
rectangle que hem dibuixat. Fem Pitàgores: a2 = b2 + c2 82 =
4 + c 64 = 16 + c 48 = c
2 2 2 2
C=6,93cm (apotema)
AB =Àrea Hexàgon: 6∙(6,93∙8)/2=748,4 cm2 P=6∙8=48m
AT = P • h + 2 • AB = 48 • 10 + 2 • 784,4 = 2048,8cm 2
A14) Una habitació fa a=3 m per b=3,5 m i c=2,2 m d’alt. Es volen pintar les parets i el sostre amb
una pintura que costa 6,50 € el metre quadrat. Quant costa el material per
pintar l’habitació?
Calculem l’àrea de l’ortoedre excepte el terra que no pintem que seran: 2 parets
a∙c + 2 parets b∙c +1 sostre a∙b:
A=2a∙c+2b∙c +1a∙b =2∙3∙2,2+2∙3,5∙2,2 +2∙3∙3,5=39,1 m2
Calculem el preu total= 6,5∙39,1=254,15€
A15) Observa un tetràedre.
És una piràmide rectangular? Doncs No.
Quin polígon té la base? Un triangle equilàter.
Si la suma de la longitud de les seves arestes és 21 cm, quan mesura cadascuna?
Pàgina 3

4. INS LA LLAUNA Badalona
Dividim 21 cm /6 arestes= 3,5 cm
Pàgina 4

5. INS LA LLAUNA Badalona
A16) L’aresta bàsica d’una piràmide quadrangular regular mesura 6 cm i l’altura de la piràmide, 8 cm.
Calcula la longitud de l’aresta lateral.
Formem un triangle rectangle a=l’aresta lateral b=l’altura de la piràmide i c=la meitat de
la diagonal de la base quadrada.
• Hem de trobar la diagonal de la base, que serà l’hipotenusa d’un triangle
rectangle on els catets són els costats del quadrat, és a dir, 6. Així doncs d2 =
62 + 62=72, d’on d= 8,48 cm i c=4,24cm
72,
Ara ja podem trobar a= l’aresta lateral a2 = b2 + c2= 82 + 4,242=81,9 a=9,06
81,9 9 06cm
A17) Calcula A L , A T i el volum d’un prisma recte de 15 cm d’altura, que té com a base un hexàgon
regular de 8 cm de costat.
AL = P • h AT = P • h + 2 • AB
P = Perímetre de l’hexàgon P=6∙8=48m AL = 48 • 15 = 720m 2
AB=Àrea de l’hexàgon
L’hexàgon el podem dividir en 6 triangles equilàters (és l’únic polígon que forma
equilàters, la resta formen triangles isòscel.les). L’apotema és l’altura de cada triangle
equilàter i, per tant, un catet del triangle rectangle que hem dibuixat. Fem Pitàgores:
a2 = b2 + c2 82 = 42 + c2 64 = 16 + c2 48 = c2 C=6,93cm
(apotema)
AB =Àrea Hexàgon: 6∙(6,93∙8)/2=748,5 cm2
AT = P • h + 2 • AB = 720 + 2 • 748,5 = 2217cm 2
V = AB • h = 748,5 • 15 = 11227,5cm3
A18) Completa la taula següent amb el nombre de cares, vèrtexs i arestes que té cada piràmide.
Piràmide Cares Vèrtexs Arestes
Triangular 4 4 6
Quadrangular 5 5 8
Pentagonal 6 6 10
Hexagonal 7 7 12
A19) Calcula el volum d’una paperina de 8 cm de radi i 15 cm d’altura.
π • r 2 • h π • 82 • 15
V= = = 1005,3cm3
3 3
A20) Les llaunes de refresc són aproximadament cilíndriques d’altura 12 cm i 6 cm de diàmetre.
Troba’n el volum.
El radi és la meitat del diàmetre=6/2=3cm
V = π • r 2 • h = π • 32 • 12 = 339,3cm3
A21) Volem obrir un camí de 3 m d’ample i 20 metres de llarg que permeti accedir a una casa des de
la carretera. Si la casa està situada a 3,5 m per damunt del nivell de la carretera, quants metres
cúbics de terra haurem d’extreure per fer el camí?
Ens demanen el volum del camí que serà la meitat
del volum d’un primsa rectangular o ortoedre.
V=a∙b∙c/2= 20∙3∙3,5/2=210/2=105 m 3
Pàgina 5

6. INS LA LLAUNA Badalona
A22) Una màquina de fer xurros està formada per un cilindre i un con, que tenen el mateix diàmetre:
10 cm, units per la base. L’altura del cilindre fa 30 cm,, i l’altura total de la màquina, 36 cm.
a) Quants cm3 de pasta calen per omplir la màquina?
Ens demanen el volum per tant serà la suma dels volums del
cilindre i del con
π • r 2 • h' π • 52 • 6
VT = π • r 2 • h + = π • 52 • 30 + = 2513cm3
3 3
b) Si cada xurro és aproximadament un cilindre de 10 cm de llarg i
1,5 cm de diàmetre, quants xurros es poden obtenir-ne?
Calculem el volum del xurro:
VX = π • r 2 • h = π • 0,752 • 10 = 17,67cm3
Calculem quants xurros podem fer: 2513/17,67=142 xurros
Treiem un 5% de 142 =7 xurros. 142-7=135 xurros
A23) Una piscina mesura 12 m de llarg i 4,5 m d’ample i 1,40 m de profunditat. Quant tardarà a
omplir-se si s’hi aboca 1 m3 d’aigua cada 15 minuts?
La piscina és un ortoedre i hem de calcular el seu volum V=a∙b∙c=
3
12∙4,5∙1,40=75,6 m
S’ompla a un ritme de 4 m3 per hora, per tant calculem el temps
75,6/4=18,9 hores quasi 19 hores.
A24) Calcula el volum d’una piràmide de 12 cm d’altura, que té com a base un triangle rectangle, els
dos catets del quan mesuren 9 i 12 cm.
9•12
•12
AB • h
V= 3 = 2
3 = 216cm 3
A25) Expressa en dm3: Cada unitat la passem a dm3 i sumem els resultats
a) 3 dam3 12 m3 105 dm3 50 cm3=3 000 000 dm3 + 12 000 dm3 + 105 dm3 +0,050 dm3=3012105,05 dm3
b) 50 hm3 250 m3=50 000 000 000 dm3 + 250 000 dm3 = 50 000 250 000 dm3
c) 0,05 dam3 0,5 m3 =50 000 dm3 + 500 dm3 =50 500 dm3
d) 0,001 m 15 dm
3 3
=1 dm3 + 15 dm3 =16 dm3
A26) Calcula i expressa el resultat en cm3.
a) 0,005 m3 + 0,2 dm3 + 1000 mm3=5 000 cm3 + 200 cm3 + 1 mm3 =5 201 m3
3 3 3 3=
b) 45 dam 0,3 m – 4,5 m 25 dm
45000000000 cm3 +300000 cm3 – 4500000 cm3 -25000cm3= 44995775000 cm3
c) 2,5 · 106 mm3 + 0,25 · 106 cm3 =2500 cm3 + 250000 cm3= 252500 cm3
3 3 3= 3 3 3=
d) 0,025 m 0,65 dm – 2 dm 25000 cm +65000 cm – 2000 cm 88000 cm3
A27) Una piràmide quadrangular regular es troba enganxada per la base a un cub de 27 m 3 de volum.
Si l’altura de la piràmide és el triple de l’aresta del cub, quin és el volum de tot el cos?
El cub fa 27 m3 = a3 trobem a=3 m =costat del cub
El volúm de la piràmide on l’altura = 9 m
AB • h
V piràmide = 3 = 3•3•9
3 = 27m3
Vtotal = V piràmide + Vcub = 54m3
Pàgina 6

7. INS LA LLAUNA Badalona
A 28) La base d’un cub fa 196 cm 2 . Calcula el costat i el volum del cub.
La base del cub fa 196 cm2 = a2 trobem a=14cm =costat del cub
El volum del cub fa V=a3
a = 143 =2744 cm3
A29) La base d’un bric amb capacitat per a 1 litre de llet fa 8 cm de llarg i 6,25 cm d’ample. Esbrina’n
l’altura.
Ens donen el volum en litres que és equivalent a 1 dm3 =1000 cm3
V=a∙b∙c 1000= 8∙6,25∙c 1000=50c 20cm=c
L’altura del bric és de 20 cm.
A30) La generatriu d’un con fa 15 cm i el diàmetre de la base, 18cm. Calcula l’altura
del con.
La generatriu (a=15cm), el radi de la base (r=18/2=9cm) i l’altura (h) formen un
triangle rectangle.
a2 = h2 + r2 152 = h2 +92 225 = h2 +81
225-81 = h2 144 = h2 12cm = h
A31) Quant fan les diagonals d’un rectangle en què els costats mesuren 20 cm i 48 cm?
Formen un altre triangle rectangle.
d2 = h2 + b2 d2 = 202 +482 d2 = 400+482
d2 = 2704 d = 52 cm
A32) Esbrina l’àrea d’un quadrat en què la diagonal fa 7,07 cm. Arrodoneix el resultat.
d2 = a2 + a2 d2 = 2a2 d2 /2= a2
7,072 /2= a2 50 /2= a2 25= a 2
5cm= a
=
A33) Calcula l’àrea lateral, l’àrea total i el volum dels cossos geomètrics següents:
a) Un prisma de base quadrada de 13 m de costat i 26 m d’altura.
AL = P • h P = 4 • 13 = 52m
AL = 52 • 26 = 1352m 2
AB = a • a = a 2 = 132 = 169m 2
AT = AL + 2 • AB = 1352 + 2 • 169 = 1690m 2
V = AB • h = a 2 • h = 169 • 26 = 4394m3
b) Un ortoedre les dimensions del qual són 14 cm, 16 cm i 22 cm.
AL = P • h P = 2 • 14 + 2 • 16 = 60cm
AL = 60 • 22 = 1320cm 2
AB = a • b == 14 • 16 = 224cm2
AT = AL + 2 • AB = 1320 + 2 • 224 = 1768cm 2
V = AB • h = a • b • h = 224 • 22 = 4928cm3
c) Un cub de 0,9 dm de costat. El cub té 6 cares iguals.
AB = a • a = a 2 = 0,92 = 0,81dm 2 AT = 6 • AB = 6 • 0,81 = 4,86dm 2
V = AB • h = a 2 • a = a 3 = 0,729dm3
Pàgina 7

8. INS LA LLAUNA Badalona
A34) ¿Quants centímetres cúbics caben en un cucurutxo ple fins a ran de la vora superior sense
sobresortir-ne, si el cucurutxo fa 12 cm d’altura i la base de 5 cm de diàmetre (r=2,5)
π • r 2 • h π • 2,52 • 12
V= = = 78.54cm3
3 3
A35) Un pot de maionesa té forma de cilindre de 15 cm d’altura i 7 cm de diàmetre. A l’etiqueta
s’indica que el contingut del pot és de 575 mL. Calcula la capacitat del pot i digues si aquesta
informació és correcta.
El radi és la meitat del diàmetre=7/2=3,5cm
V = π • r 2 • h = π • 3,52 • 15 = 577,26cm3 que equivalen a 577,26 ml. Força correcta.
A36) Calcula la superfície i el volum de la Terra sabent que el radi fa 6400 km.
A = 4πr 2 = 4π • 6400 2 = 514718540,4km 2
4 4
V = πr 3 = π • 64003 = 1,098 • 1012 km3
3 3
A37) L’àrea d’una esfera és de 615,44 cm 2 . Troba el radi de l’esfera i calcula’n el volum. Quin volum
tindria una esfera que tingui el doble de radi?
615,44
A = 4πr 2 615,44 = 4πr
2
= r2 49 = r 2 7cm = r
4π
Ara, la nova esfera té el doble de radi, és a dir r=14 cm
4 4
V = πr 3 = π • 143 = 11494,04cm3
3 3
A38) Un iglú té una forma semiesfèrica. De 3 m de diàmetre (r=1,5m). Calcula’n la superfície i el
volum.
4πr 2 4π • 1,52
Asemiesfera = = = 14,14m 2
2 2
4 3 4
πr π • 1,53
Vsemiesfera = 3 = 3 = 7,07 m 3
2 2
A39) Indica quina serà la superfície de cuir necessària per fabricar una pilota de futbol de
70 cm de diàmetre (r=35 cm.)
A = 4πr 2 = 4π • 352 = 15393,8cm 2
A40) El radi de la Lluna és de 1730 km. Calcula’n el volum i compara’l amb el volum de la
Terra que has obtingut en l’activitat “A36”.
Alluna = 4πr 2 = 4π • 1730 2 = 37609890,6km 2
4 4
Vlluna = πr 3 = π • 17303 = 2,169 • 1010 km3
3 3
Pàgina 8

9. INS LA LLAUNA Badalona
rterra 6400
Ara compararem amb els de la Terra. = = 3,7 ≈ 4vegades
rlluna 1730
Aterra 514718540km 2 V 1,098 • 1012 km3
= = 13,7 ≈ 14vegades terra = = 50,62 ≈ 51vegades
Alluna 37609890km 2 Vlluna 2,169 • 1010 km3
Pàgina 9