1. Tilpasset opplæring og skolefagene
– et fagdidaktisk og matematikkfaglig perspektiv
Tor Espen Kristensen
tor.kristensen@hsh.no
8. november 2007

2. Hva skal vi tilpasse?
Skal alle elvene lære samme matematikk?
Jan de Lange, 1985:
«Mathematics for all is no Mathematics at all.»
Tor Espen Kristensen tor.kristensen@hsh.no | Tilpasset opplæring og skolefagene 2

3. Fargedelen
Denne delen har treningsoppgåver i tre vanskegradar.
Læraren hjelper deg med å velje rett farge alt etter
kor godt du har fått med deg stoffet i generell del.
Det kan være greitt å arbeide med stoffet ein gong til,
BLÅ kanskje på ein litt annan måte enn første gongen.
Da vil det passe å velje blå farge.
GUL Det kan vere at du berre treng litt meir øving
for å bli sikker. Da høver det å velje gul farge.
Det kan vere at du tykkjer stoffet er enkelt.
RAUD Da treng du fleire utfordringar.
Det finn du i raud farge.

4. BLÅ
A 47
Kva kallar vi figurane nedanfor?
b) c)
a)
e)
d)

5. GUL
A 131
Set namn på dei geometriske figurane i kladdeboka og
forklar kva som skil kvar enkelt figur frå dei andre.
a) b) c)
b b
a h
a a a
d) e) f)
r
a
c h b
a
a
g) Kva for nokre av figurane er regulære mangekantar?

6. RAUD
A 177
Eit blomsterbed har form som ein sirkel og har ein omkrins
på 55 dm. Kor stort er arealet?
A 178
Ein halvsirkel har ein omkrins på 27,756 m.
a) Kor stor radius har sirkelen?
b) Kor stort er arealet av halvsirkelen?

7. Tilpasset undervisning i matematikkfaget
Aschehougs matematikkbøker for videregående skole:
STIGFINNAREN
Stig 1 Stig 2 Stig 3
1.1 Kva er ein vektor? 100, 101, 102, 103 101, 102, 103, 104 101, 102, 103, 104
1.2 Addisjon og 105, 106, 108, 110, 106, 108, 109, 112, 106, 107, 108, 112,
subtraksjon av vektorar
111 114L, 115L 113L, 116L
1.3 Parallelle vektorar 117, 119, 121, 122L 118, 120, 121, 122L, 121, 123L, 124L, 125L,
124L 126L
1.4 Vektorkoordinatar 128, 130, 131, 134 129, 131, 133, 134, 133, 135L, 136L, 137L
136L
1.5 Lengda av vektorar 138, 140, 141, 143 138, 139, 142, 147L, 142, 145, 146, 148L,
149L 149L, 151L
1.6 Skalarprodukt 152, 154, 157, 158, 153, 154, 156, 157, 155, 159 , 160, 162 ,
Tor Espen Kristensen tor.kristensen@hsh.no | Tilpasset opplæring og skolefagene 7

8. STEGMODELL I MATEMATIKK
5. – 10. KLASSE
STEG NR. TEMA FOR STEGENE
Repetisjon
0
Posisjonssystemet
1
Sammenheng mellom enheter
2
Geometriske figurer
3
AKTIVITETSSTEG (kakehus)
4
Reknearter og tabellkunnskap
5
Penger, kjøp og salg
6
Samle og tolke data
7
AKTIVITETSSTEG (butikk)
8
Berekninger fra dagliglivet
9

9. MATEMATIKK
Eg kan følja
reglar når eg
spelar spel.
Eg veit kva som
er først og sist.
(Rekkjefølgje)
Eg kan finne
Når eg ting som har
samanliknar ulik form,
mengder, veit eg tyngde og
kvar det er flest. farge.
Eg veit korleis
trekant, firkant
Eg kan fleire
og sirkel ser ut.
talregler og
ellingar.
1 1
Eg kan telja
Matematikk i ROM OG FORM
opp til 20
dagleglivet og nedatt til
0.
Eg kan telja opp
til 10 og nedatt
til 0.
Eg kan
talsymbola
1-10
1
TAL

10. MATEMATIKK
Eg kan bruka
reknespel på data
Eg har
arbeidd med
einarplass og
tiarplass
Eg kan bruka
lommereknar
Eg har arbeidd
med å leggja til
og trekkja frå
Eg har
med tal opp til
Eg kan arbeidd med
100
talsymbola 10- spegling.
100
Eg har
arbeidd med
Eg veit kva partal
måling (m/
og oddetal er
cm, kg/g, l/dl)
Eg kan visa når
Eg kan leggja til og
klokka er heil- og
trekkja frå med tal
halv time
opp til 20 Eg veit kva sirkel,
firkant, trekant,
Eg kan terning, sylinder
Eg har arbeidd talsymbola 1- og kule er.
med norske 10
myntar og sedlar
Eg kan dobla Eg klarar å laga ulike
Eg klarar å og halvera former, figurar og
sortere ulike
mønster
ting
2 2 2
Matematikk i
TAL ROM OG FORM
dagleglivet

11. MATEMATIKK
Eg kan seia kor
langt eg trur noko
er, og så måla
lengda med
metermål
Eg veit korleis
eg måler lange
Eg veit
og korte ting
korleis me
skriv
romartal
Eg veit kva ein
rett vinkel er.
Eg kan samarbeida
når me skal spela
Eg har arbeidd med
spel Eg har arbeidd
multiplikasjon: 2-, 3, med spegling
4-, 5- og 10 tabellen
Eg har arbeidd Eg har arbeidd
med å læra meg med
klokka kvadratcenti -
meter, liter og
deciliter
Eg har arbeidd
Eg kan bruka med einarplass,
lommereknar tiarplass og
hundrarplass
Eg greier plassera
Eg har leika
noko i eit rutenett, for
butikk
eksempel laga eit
skattekart
Eg har arbeidd med
subtraksjon og
addisjon av fleir-
Eg har arbeidd med
sifra tal over 20 Eg har arbeidd
å kontrollera svar på
både i hovudet og vidare med eit
ulike måtar
på papiret mønster
3 3 3
Matematikk i
dagleglivet TAL ROM OG FORM

12. MATEMATIKK
Eg kan måla
lengde med
metermålet
Eg kan bruka
lommereknar
Eg veit kva
Eg kjenner til kvadratmeter og
negative tal slik me kvadratcentimeter
møter dei på
Eg kan bruka tal og er, og eg kan rekna
temperaturmålaren
rekna i praktiske ut areal
situasjonar
Eg kan
Eg kan forklara Eg har arbeidd
Eg kan bruka forskyva og
for andre korleis med vinklar
vekt for å sjå spegla
eg tenkjer når eg
kor tunge mønster
reknar i hovudet
ting er
Eg har arbeidd
med å setja enkle
Eg har arbeidd
Eg kan samla
former saman til
med brøk og
inn data og
større figurar
desimaltal
visa dei i
søylediagram
Eg har arbeidd med
Eg veit kva einar, at ein kubikk-
Eg kan finna
tiar-, hundrar- og desimeter er det
fram på
tusenplass i vårt same som ein liter
kalenderen
talsystem tyder
Eg kan gonga Eg kan bruka
Eg har øvd
og dela med rutenett og laga
mykje på
10 i hovudet eit enkelt kart
multiplikasjon-
tabellen
4 4 4
Matematikk i
ROM OG FORM
dagleglivet
TAL

13. Tilpasset undervisning i matematikkfaget
Arbeidsplaner
Tor Espen Kristensen tor.kristensen@hsh.no | Tilpasset opplæring og skolefagene 13

14. Tilpasset undervisning i matematikkfaget
Arbeidsplaner
RØD LØYPE
BLÅ LØYPE GUL LØYPE RØD LØYPE
BLÅ LØYPE GUL LØYPE
Mål: Mål: Mål:
Finne fellesnevner Finne fellesnevner Finne fellesnevner
Multiplisere og dividere brøker Multiplisere og dividere brøker Multiplisere og dividere brøker
Gjøre om mellom brøk og Gjøre om mellom brøk og desimaltall Gjøre om mellom brøk og desimaltall
desimaltall og prosent og prosent og prosent
Finne prosentdelen Finne prosentdelen Finne prosentdelen
Oppgaver: Oppgaver: Oppgaver:
MATTE
10.73 b) c) 10.73 10.77
10.74 a) 10.77 10.80 a) c)
2.45 c) d) 2.49 2.50 2.54 2.55
2.16 2.25 2.34 2.35 2.41 2.42 2.44 2.46 2.47 2.60 2.63 2.66 2.70 2.71 2.72
2.38 a) 2.46 2.52 2.58 2.53 2.54 2.58 2.59 2.60 2.73 2.75 2.78 2.80 2.82 2.96
2.64 2.75 2.79 2.61 2.66 2.67 b) c) 2.75
2.78 2.80 2.82 3.8 3.9 3.12 3.19 3.22 3.25
3.1 3.2 3.3 3.4 3.9
3.12 3.16 3.3 3.5 3.9 3.12 3.19 3.21
3.25
Tor Espen Kristensen tor.kristensen@hsh.no | Tilpasset opplæring og skolefagene 14

15. Tilpasset undervisning i matematikkfaget
Fra artikkelsamlingen
Ofte blir tilpassa opplæring oppfatta som einstydande med
individualisering og differensiering, noko som kan føre til både ei
sosial og ei fagleg fragmentering; alle driv med sitt. Men ei slik
praktisering av opplæringstilpassing strir mot kravet om at
læringsmiljøet skal vere inkluderande.
Finnes det et verktøy som sikrer tilpasset opplæring i
matematikk?
Tor Espen Kristensen tor.kristensen@hsh.no | Tilpasset opplæring og skolefagene 15

16. Tilpasset undervisning og arbeidsplaner
PISA+
Et av funnene så langt i PISA+ er at bruk av arbeidsplaner leder til
at mye tid brukes på individuelt arbeid, særlig oppgaveløsning.
Dette oppleves av mange elever som ensformig, kjedelig og
demotiverende.
Tre strategier:
Vente med å arbeide med matematikk til de siste par dagene
1
av arbeidsplanperioden
Gjøre seg ferdig med matematikkdelen av arbeidsplanen i
2
løpet av en til to dager i begynnelsen av perioden.
Være bevisst på å spre arbeidet utover hele planperioden
3
(Ole Kr. Bergem)
Tor Espen Kristensen tor.kristensen@hsh.no | Tilpasset opplæring og skolefagene 16

17. Tilpasset undervisning i matematikkfaget
I begynnerundervisningen, Haug mfl.
50 %
45 %
40 %
35 %
30 %
1. kl
25 % 2. kl
3. kl
20 % 4. kl
15 %
10 %
5%
0%
Aheu AUE Afb Afl Afr Asa Ale Ato Aly Anna
Tor Espen Kristensen tor.kristensen@hsh.no | Tilpasset opplæring og skolefagene 17

18. Tilpasset undervisning i matematikkfaget
I begynnerundervisningen, Haug mfl.
45 %
40 %
35 %
30 %
25 %
1. kl
2. kl
20 % 3. kl
4. kl
15 %
10 %
5%
0%
Fakta Dugleik Omgrep og Prosessar Strategiar
omgrepsstrukturar
Tor Espen Kristensen tor.kristensen@hsh.no | Tilpasset opplæring og skolefagene 18

19. Tilpasset undervisning i matematikkfaget
Alseth & Røsseland om stegark:
Det er vår overbevisning at en ikke kan organisere seg vekk fra
utfordringene knyttet til tilpasset undervisning, selv om enkelte
rektorer kan synes å tro det. Tilpasset undervisning er noe som
skjer i møtet mellom lærer, elev og fagstoff, uavhengig av hvordan
møtet er organisert.
Tor Espen Kristensen tor.kristensen@hsh.no | Tilpasset opplæring og skolefagene 19

20. Elevenes kunnskaper og forutsetninger
?
Faglig svake elever Faglig sterke elever
Hva mener vi egentlig når vi sier at en elev er faglig sterk i
matematikk?
Tor Espen Kristensen tor.kristensen@hsh.no | Tilpasset opplæring og skolefagene 20

21. Formålet med faget
Ifølge LK06
Solid kompetanse i matematikk er dermed ein føresetnad for
utvikling av samfunnet. Eit aktivt demokrati treng borgarar som
kan setje seg inn i, forstå og kritisk vurdere kvantitativ
informasjon, statistiske analysar og økonomiske prognosar. På den
måten er matematisk kompetanse nødvendig for å forstå og
kunne påverke prosessar i samfunnet.
Matematikkfaget i skolen medverkar til å utvikle den matematiske
kompetansen som samfunnet og den einskilde treng. For å oppnå
dette må elevane få høve til å arbeide både praktisk og teoretisk.
Tor Espen Kristensen tor.kristensen@hsh.no | Tilpasset opplæring og skolefagene 21

22. Mathematical literacy
Hvordan skal vi forstå ordet ferdighet?
Mathematical literacy (på norsk: matematisk allmenndannelse)
Matematisk allmenndannelse er den enkeltes evne til identifisere
og forstå den rollen som matematikken spiller i verden, å foreta
velbegrunnede vurderinger og å bruke matematikk på måter som
møter behovene i personens liv som en konstruktiv, engasjert og
reflektert borger. (OECD 2000, s. 10)
Tor Espen Kristensen tor.kristensen@hsh.no | Tilpasset opplæring og skolefagene 22

23. Praktiske problemer. . .
Kurt Reusser gav følgende oppgave til 97 elever i 1. og 2. klasse:
There are 26 sheep and 10 goats on a ship.
How old is the captain?
76 av elevene «løste» oppgaven ved å bruke tall.
H. Radatz gav «non-problems» som:
Alan drove the 50 miles from Berkeley to Palo Alto at 8 a.m. On
the way he picked up 3 friends
Ingen spørsmål ble stilt. Likevel var det mange elever som løste
oppgaven ved å kombinere tallene og produsere et «svar».
Tor Espen Kristensen tor.kristensen@hsh.no | Tilpasset opplæring og skolefagene 23

24. Praktisk matematikk versus teoretisk matematikk
Tony Gardiner, 2004:
Mathematics teaching may be less effective than most of us
would like; but we should hesitate before embracing the idea that
school mathematics would automatically be more effective on a
large scale if the curriculum focused first on «useful mathematics
for all» (numeracy), with more formal, more abstract mathematics
to follow for the few.
«The TIMSS 2003 results support the premise that successful
problem solving is grounded in mastery of more fundamental
knowledge and skills.» (Mullis mfl. 2004)
Tor Espen Kristensen tor.kristensen@hsh.no | Tilpasset opplæring og skolefagene 24

25. Fra en kontekst til en annen. . .
En rekke studier viser at det er problematisk å overføre kunnskap
fra en situasjon og uttrykksform til en annen. En banebrytende
studie fra 1985 (Carraher, Carraher & Schliemann) viser hvordan
gatebarn i Brasil besvarer de samme matematiske utfordringene
fundamentalt forskjellig om de får dem på gata eller i
klasserommet. (Alseth, 2003)
Tor Espen Kristensen tor.kristensen@hsh.no | Tilpasset opplæring og skolefagene 25

26. Realistisk matematikk
Rammeverk av
matematiske
relasjoner
Vertikal
matematisering
Matematisk
Reelle kontekster
modellering
Horisontal
matematisering
Tor Espen Kristensen tor.kristensen@hsh.no | Tilpasset opplæring og skolefagene 26

27. Realistisk matematikk
Modeller i matematikk
Matematikk kan foregå på ulike plan:
Bjørnar Alseth:
Vi vil poengtere at det er svært
viktig for den matematiske
læringen at elevene ikke blir
Formell
værende i situasjonen, men at de
Generell
får hjelp til å trekke ut
matematikken ut av de praktiske
Henvisende
forholdene som situasjonen har
Situasjonsbetinget
skapt.
Tor Espen Kristensen tor.kristensen@hsh.no | Tilpasset opplæring og skolefagene 27

28. Læring i fellesskapet?
Fra PISA+ (Kirsti Klette og Svein Lie)
Videoopptak av grupper/ par av elever fra naturfag- og
matematikktimer viser for eksempel et påfallende fravær av
læringssituasjoner der elevene prøver ut eller utforsker et faglig
problem i fellesskap. Verken lærernes instruksjon, oppgavenes
utforming eller krav til dokumentasjonsformer stimulerte her til
felles problemløsning. Observasjonene dokumenterer få faglige
elevdialoger i naturfag og matematikk.
Helklassesamtalen som et særegent kollektivt rom for
meningsutprøving og læring er imidlertid lite systematisk utnyttet.
Tor Espen Kristensen tor.kristensen@hsh.no | Tilpasset opplæring og skolefagene 28

29. Hva vil vi elevene skal kunne?
Kompetanser i matematikk
Fra formålet:
Problemløysing høyrer med til den matematiske kompetansen.
Det er å analysere og omforme eit problem til matematisk form,
løyse det og vurdere kor gyldig det er. Dette har òg språklege
aspekt, som det å resonnere og kommunisere idear. I det meste
av matematisk aktivitet nyttar ein hjelpemiddel og teknologi.
Både det å kunne bruke og vurdere hjelpemiddel og teknologi og
det å kjenne til avgrensinga deira er viktige delar av faget.
Kompetanse i matematikk er ein viktig reiskap for den einskilde,
og faget kan leggje grunnlag for å ta vidare utdanning og for
deltaking i yrkesliv og fritidsaktivitetar.
Tor Espen Kristensen tor.kristensen@hsh.no | Tilpasset opplæring og skolefagene 29

30. Matematisk kompetanse
Mogens Niss og Tomas Højgaard Jensen
Å spørre og svare i, med og om Å omgås språk og redskaper i
matematikk matematikk
Tankegangskompetanse Representasjonskompetanse
Problembehandlings- Kompetanse i symbolbruk og
kompetanse formalisme
Modelleringskompetanse Kommunikasjonskompetanse
Resonnementskompetanse Hjelpemiddelkompetanse
Tor Espen Kristensen tor.kristensen@hsh.no | Tilpasset opplæring og skolefagene 30

31. Undersøkelseslandskap
Skovsmose har innført begrepet undersøkelseslandskap om
oppgaver som innebærer at elevene må være kreative
problemløsere.
Opp mot undersøkelseslandskapet setter han
oppgaveparadigmet, som Botten oversetter med tradisjonelle
matematikkoppgaver. Dette er oppgaver som har entydige
svar, i motsetning til oppgaver i undersøkelseslandskapet,
som er mer åpne.
Tor Espen Kristensen tor.kristensen@hsh.no | Tilpasset opplæring og skolefagene 31

32. Oppgavetyper
Tradisjonelle
Undersøkelseslandskap
matematikkoppgaver
med et entydig fasitsvar
«Ren» matematikk, (1) (2)
uten noen praktisk
anvendelse
«Semi»-anvendelser (3) (4)
av matematikken
Ekte, reelle (5) (6)
anvendelser av
matematikk
Tor Espen Kristensen tor.kristensen@hsh.no | Tilpasset opplæring og skolefagene 32

33. Åpne oppgaver
b) Fatima får 16 poeng.
Lag tre forskjellige forslag til hvor
hun kan treffe med pilene.
Sett kryss på blinkene der
pilene treffer:
Kladderute
Tor Espen Kristensen tor.kristensen@hsh.no | Tilpasset opplæring og skolefagene 33

34. Rike problem
Karakteriseres ved:
Problemet skal introdusere viktige matematiske ideer eller visse
1
løsningsstrategier
Problemet skal være lett å forstå og alle skal ha en mulighet til å
2
arbeide med det
Problemet skal oppleves som en utfordring, kreve anstrengelser og
3
ta tid
Problemet skal kunne løses på flere måter, med ulike strategier og
4
representasjoner
Problemet skal kunne initiere en matematisk diskusjon med
5
utgangspunkt i elevenes løsninger som viser ulike typer strategier,
representasjoner og matematiske ideer
Problemet skal kunne fungere som brobygger mellom ulike
6
matematiske områder.
Problemet skal kunne lede til at elever og lærere formulerer nye
7
interessante problem.
Tor Espen Kristensen tor.kristensen@hsh.no | Tilpasset opplæring og skolefagene 34

35. Representasjoner
Abstrakt
Symboler
Halv-abstrakt
Ikonisk
Halv-konkret
tegninger, bilder
Konkret
ting, brikker
Vi kan bruke konkretene til å simulere virkeligheten.
Eksempel
I en klasse på 25 elever var det 3 jenter mer enn gutter. Hvor
mange jenter og gutter var det i klassen?
Tor Espen Kristensen tor.kristensen@hsh.no | Tilpasset opplæring og skolefagene 35

36. Representasjoner
Konkret Halv-konkret Halv-abstrakt Abstrakt
3+2=5
Kan simulere med
f.eks knapper
Tor Espen Kristensen tor.kristensen@hsh.no | Tilpasset opplæring og skolefagene 36

37. Representasjoner
Konkreter
Bjørnar Alseth referer til en undersøkelse der 75 % av femåringene
klarte å løse oppgaver av følgende type dersom de fikk «spille»
det som skjedde med konkreter:
Lise har 20 perler. Hun legger perlene i esker med fire perler i
hver eske. Hvor mange esker trenger hun?
Jens har tre tyggegummipakker med seks biter i hver pakke.
Hvor mange tyggegummibiter har Jens?
Tor Espen Kristensen tor.kristensen@hsh.no | Tilpasset opplæring og skolefagene 37

38. Representasjoner
Eksempel
Solid idrettslag eier halvparten av Solidhuset. Trott har kjøpt 1/3.
Kommunen eier resten.Hvor mye er det?
Tor Espen Kristensen tor.kristensen@hsh.no | Tilpasset opplæring og skolefagene 38

39. Representasjoner
Tor Espen Kristensen tor.kristensen@hsh.no | Tilpasset opplæring og skolefagene 39

40. Representasjoner
Tor Espen Kristensen tor.kristensen@hsh.no | Tilpasset opplæring og skolefagene 40

41. Representasjoner
Bilder
Skrevne
Konkreter symboler
Relevante Muntlig
situasjoner språk
Tor Espen Kristensen tor.kristensen@hsh.no | Tilpasset opplæring og skolefagene 41

42. Hvilke arbeidsmåter gir best læringsutbytte?
Resultater fra The International School effectiveness research project
Aktivitet Tid i % 1. klasse Tid i % 2. klasse
Klasseundervisning 7-23 2-34
Gruppearbeid 11-38 13-25
Individuelt arbeid 10-30 10-32
Ikke-faglig aktivitet 0-15 0-25
Aktivitet Matematikk i 1. klasse Matematikk i 2. klasse
Klasseundervisning −0, 28 0, 33
Gruppearbeid 0, 16 −0, 39
Individuelt arbeid −0, 09 −0, 47
Ikke-faglig aktivitet 0, 03 0, 10
Variasjon i aktivitet 0, 07 0, 25
Tor Espen Kristensen tor.kristensen@hsh.no | Tilpasset opplæring og skolefagene 42

43. Peder Haug og Kari Bachmann:
«Poenget vårt er at tilpassa opplæring korkje kan sikrast gjennom
lærarstyrte eller elevaktive arbeidsformer i seg sjølv, korkje
gjennom individuelt elevarbeid eller gjennom fellesaktivitetar i
grupper og klasser, korkje gjennom lærarautonomi eller sentral
styring. Ingen måte å arbeide på som er vanleg i skulen er i
utgangspunktet korkje god eller dårleg, alt avheng av korleis det
vert arbeidd» (Haug, 2006, Klette, 2003).