Este documento presenta varios problemas de poligonales abiertas y cerradas resueltos por el profesor Jeiser Gutiérrez. Incluye cuatro casos de poligonales abiertas donde se deben determinar las coordenadas de un punto dado las coordenadas de dos puntos de referencia y el azimut. También presenta un alineamiento vial con datos para calcular los azimuts y coordenadas de puntos. Por último, presenta datos de un levantamiento topográfico para calcular azimuts, áreas y verificar resultados.

1. UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL
“FRANCISCO DE MIRANDA”
AREA DE TECNOLOGIA
DEPARTAMENTO DE VIALIDAD
CATETRA: TOPOGRAFIA.
PROF. ING. JEISER GUTIERREZ
GUIA Nº 2. PROBLEMAS PROPUESTOS DE POLIGONALES
1. POLIGONALES ABIERTAS:
1.1.- En las siguientes figuras se muestran varios casos donde conociendo dos puntos de referencias ó BM en coordenadas (UTM),
se requiere determinar las coordenadas de un tercer punto (C):
Caso 1:
B
=170º10'20"
E= 600
N= 400
N= 500
E= 450
50m
.
C
B
A
Figura 1.1
Respuesta:
El primer paso es determinar el azimut inicial, partiendo de dos coordenadas conocidas.
E
N
A
B
E= 450
N= 500
N= 400
E= 600
Figura 1.2
* ∆N = NB – NA → ∆N = 400 – 500 → ∆N = -100
* ∆E = EB – EA → ∆E = 600 – 450 → ∆E = 150
150
100
A
B
α
B
A
Az
Figura 1.3

2. Se determina el valor de “α” de la siguiente forma:
Tg(α) =
teCatadyacen
Catopuesto
→ Tg(α) =
N
E
∆
∆
→ Tg(α) =
100
150
→ α = ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
100
150
Tg 1-
→ α = "36'18º56
Entonces:
)"36'18º56º180( −=B
AAz → "24'41º123=B
AAz
Luego se calcula el
C
BAz
( ) º180±∠+= DeflexionAnterior
C
B AzAz → ( ) º180"20'10º170"24'41º123 ±+=C
BAz
( ) º180"44'51º293 −=C
BAz → "44'51º113=C
BAz
Calculo de las Proyecciones para la determinación de las coordenadas del punto C.
Proy. Norte = ( ) .DistAzCos ×
Proy. Este = ( ) .DistAzSen ×
Proy. NorteC = ( ) .DistAzCos C
B × → Proy. NorteC = ( ) mCos 50"44'51º113 ×
Proy. EsteC = ( ) .DistAzSen C
B × → Proy. EsteC = ( ) mSen 50"44'51º113 ×
Proy. NorteC = -20.23 m
Proy. EsteC = 45.73 m
Coordenadas del Punto C:
Coordenada Norte C: Coordenada Norte B ± Proy. NorteC
Coordenada Este C: Coordenada Este B ± Proy. EsteC
Coordenada Norte C: 400 – 20.23 → Norte C = 379.77
Coordenada Este C: 600 + 45.73 → Este C = 645.73
Caso 2:
.
A
B
C
90m
E= 450
N= 300
N= 230
E= 520
B
=120º34'20"

3. Caso 3:
A
B
C
79,06 m
E= 550
N= 500
N= 524.77
E= 700
B =44º04'23.34"
Caso 4:
B
=54º27'44.36"
E= 520
N= 350
N= 300
E= 450
87.57m
C
B
A
.
2.- Se presenta un alineamiento para la construcción de una carretera y para ello se requiere determinar:
a. Los Azimut de todos los puntos.
b. Coordenadas de los puntos C, D, E
114,02m N= 250m
E= 1260m
N= 200m
E= 1190m
99,36m
C
D
E
B
A
48,49m
ESTACION PTO VISTADO ANGULO HORIZONTAL
A 00º 00’ 00”
B
C 239º 36’ 12,6”
B 00º 00’ 00”
C
D 186º 18’ 0,95”
C 00º 00’ 00”
D
E 134º 22’ 43.66”

4. 3.- Se requiere la construcción de una cancha de usos múltiples en la comunidad de los Perozo del Municipio Miranda del Estado
Falcón, y para ello se contrato los servicios de un topógrafo para que realizara un levantamiento Planimétrico del área de interés.
Considerando que cerca de la zona existe un BM se procedió a levantar una poligonal abierta hasta el sitio en estudio. El topógrafo
presento los siguientes datos:
Estación Pto Vistado < Hz ( Lect. Directa ) Distancia
Pto A 00º 00’ 00” ---
Pto B
V1 182º 29’ 22” 63,24 m
Pto B 00º 00’ 00” 63,24 m
V1
V2 231º 09’ 11” 18,04 m
V4 00º 00’ 00” 30,05 m
V1
V2 90º 00’ 12” 18,04 m
V1 00º 00’ 00” 18,04 m
V2
V3 90º 00’ 07” 30,06 m
V2 00º 00’ 00” 30,06 m
V3
V4 90º 00’ 08” 18,08 m
V3 00º 00’ 00” 18,08 m
V4
V1 90º 00 07” 30,05 m
Usted ha sido seleccionado como ingeniero(a) civil para realizar el cálculo correspondiente a los datos de campo
suministrado por el topógrafo en cuanto a:
Determinar el azimut inicial del Polígono cerrado.
Realizar la comprobación de cierre angular del polígono cerrado y comparar con una tolerancia T = K x √n siendo K =
20”
Calcular los azimut lineales
Determinar las proyecciones corregidas y las coordenadas de los puntos P1, P2, P3 y P4.
Determinar el área de la cancha utilizando el método por coordenadas.

5. 4.- En una empresa de consultoría y elaboración de proyectos, labora usted como ingeniero(a) civil proyectista y se le ha
responsabilizado para resolver y verificar un problema relacionado con un levantamiento topográfico de carácter planimetrito, el
cual fue realizado por un topógrafo y presento los siguientes datos:
Estación Pto Vistado < Hz ( Lect. Directa ) Distancia
V3 00º 00’ 00” 214,880 m
V1
V2 316º 22’ 45” 316,830 m
Pto B 00º 00’ 00” 147,648 m
V1
V2 259º 47’ 42” 316,830 m
V1 00º 00’ 00” 316,830 m
V2
V3 317º 24’ 41” 219,060 m
V2 00º 00’ 00” 219,060 m
V3
V1 266º 12’ 53” 214,880 m
Pto A 00º 00’ 00” -
Pto B
V1 69º 12’ 55” 147,648 m
V2
V3
V1Pto A
N= 900
E= 500
E= 630
N= 750
Pto B
Figura 4.1
Su objetivo es comprobar si los resultados presentados por el topógrafo son correctos en cuanto a la determinación de área
por el método de las coordenadas del polígono cerrado.
El topógrafo manifiesta que el área del polígono cerrado es de A = 18543,876 m2
Preguntas:
Determinar el azimut inicial del Polígono cerrado.
Realizar la comprobación de cierre angular del polígono cerrado y comparar con una tolerancia T= K x √n; siendo K =30”
Calcular los azimut lineales
Determinar las proyecciones corregidas y las coordenadas de los puntos V1, V2 y V3.
Determinar el área de la cancha utilizando el método por coordenadas.
Verificar el valor de área.
Respuesta:
El primer paso es determinar el azimut inicial, partiendo de dos coordenadas conocidas.
E
N
A
B
N= 900
E= 500
N= 750
E= 630
Figura 4.2

6. * ∆N = NB – NA → ∆N = 750 – 900 → ∆N = -150
* ∆E = EB – EA → ∆E = 630 – 500 → ∆E = 130
A
B
AzA
B
α
150
130
Figura 4.3
Se determina el valor de “α” de la siguiente forma:
Tg(α) =
teCatadyacen
Catopuesto
→ Tg(α) =
N
E
∆
∆
→ Tg(α) =
150
130
→ α = ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
150
130
Tg 1-
→ α = "78,51'54º40
Entonces:
)"78,51'54º40º180( −=B
AAz → "22,8'05º139=B
AAz
Luego se calcula el
1V
BAz
( ) º1801
±∠+= DeflexionAnterior
V
B AzAz → ( ) º180"55'12º69"22,8'05º139 ±+=C
BAz
( ) º180"22,3'18º208 −=C
BAz → "22,3'18º28=C
BAz
Calculo de las Proyecciones para la determinación de las coordenadas del punto V1.
Proy. Norte = ( ) .DistAzCos ×
Proy. Este = ( ) .DistAzSen ×
Proy. NorteV1 = ( ) .1
DistAzCos V
B × → Proy. NorteV1 = ( ) mCos 648,147"22,3'18º28 ×
Proy. EsteV1 = ( ) .1
DistAzSen V
B × → Proy. EsteV1 = ( ) mSen 648,147"22,3'18º28 ×
Proy. NorteV1 = 130,00 m
Proy. EsteV1 = 70,00 m
Coordenadas del Punto V1:
Coordenada Norte V1: Coordenada Norte B ± Proy. NorteV1
Coordenada Este V1: Coordenada Este B ± Proy. EsteV1
Coordenada Norte V1: 750 + 130,00 → Norte V1 = 880
Coordenada Este V1: 630 + 70,00 → Este V1 = 700

7. Determinación del azimut inicial del polígono cerrado.
( ) º1802
1 ±∠+= DeflexionAnterior
V
V AzAz → ( ) º180"42'47º259"22,3'18º282
1 ±+=V
VAz
( ) º180"22,45'05º2882
1 −=V
VAz → "22,45'05º1082
1 =V
VAz
Calculo de Error Angular.
∑ < Ext = (n +2) x 180º
∑ < Ext = (3 +2) x 180º
∑ < Ext = 900º00’00”
T = K x n → T = 30” x 3
T = 0º0’51,96”
< V1 = 316º 22’ 45”
< V2 = 317º 24’ 41”
< V3 = 266º 12’ 53”
∑ < = 900º 00’ 19”
EA = 900º00’19” – 900º00’00”
EA = 00º00’19”
EA < T → OK
Compensación del Error Angular:
< V1 = 316º 22’ 45” – 6” → 316º22’39”
< V2 = 317º 24’ 41” – 7” → 317º24’34”
< V3 = 266º 12’ 53” – 6” → 266º12’47”
∑ < = 900º 00’ 00”
Calculo de Azimut Lineales:
Az =
2
1
V
V 108º 05’ 45,22”
< V2 = 317º 24’ 34”
425º 30’ 19,2” > 180º
-180º 00’ 00”
Az =
3
2
V
V 245º 30’ 19,2”
< V3 = 266º 12’ 47”
511º 43’ 6,22” > 180º
-180º 00’ 00”
Az =
1
3
V
V 331º 43’ 6,22”
< V1 = 316º 22’ 39”
648º 05’ 45,22” > 180º
-180º 00’ 00”
468º 05’ 45,22” > 180º
-360º 00’ 00”
Az =
2
1
V
V 108º 05’ 45,22”
CHEQUEO
Calculo de proyecciones:
ESTACION AZIMUT DISTANCIA NORTE (+) NORTE (-) CORR. ESTE (+) ESTE (-) CORR.
V1
108º 05’ 45,22 316,830 m 98,410 301,159 -0,004
V2
245º 30’ 19,2” 219,060 m 90,824 199,344
V3
331º 43’ 6,22” 214,880 m 189,230 +0,004 101,811
V1
∑=189,230 ∑=189,234 ∑=301,159 ∑=301,155
∆N = 0,004 ∆E = -0,004

8. Corrección de proyecciones y calculo de Coordenadas:
ESTACION AZIMUT DISTANCIA NORTE (+) NORTE (-) ESTE (+) ESTE (-) NORTE ESTE
V1 880,000 700,000
108º 05’ 45,22 316,830 m 98,410 301,155
V2 781,590 1001,155
245º 30’ 19,2” 219,060 m 90,824 199,344
V3 690,766 801,811
331º 43’ 6,22” 214,880 m 189,234 101,811
V1 800,000 700,000
∑=189,234 ∑=189,234 ∑=301,155 ∑=301,155
∆N = 0 ∆E = 0
Calculo de área por el método por coordenadas de Gauss D’ Hiuller:
COORDENADAS
PUNTO
NORTE ESTE
V3 E3
V1 N1 E1
V2 N2 E2
V3 N3 E3
V1 E1
COORDENADAS
PUNTO
NORTE ESTE
V3 801,811
V1 880,000 700,000
V2 781,590 1001,155
V3 690,766 801,811
V1 700,000
2A = N1x(E2-E3) + N2x(E3-E1) + N3x(E1-E2)
2A = 880,000 x (1001,155-801,811) + 781,590 x (801,811-700,000) + 690,766 x (700,000-1001,155)
2A = 175422,72 + 79574,45949 – 208027,6347
2A = 46969,54476
A =
2
54476,46969 = 23484,77238 m2
Calculo de área por el método por coordenadas aplicando Matricial:
COORDENADAS
PUNTO
NORTE ESTE
V1 N1 E1
V2 N2 E2
V3 N3 E3
V1 N1 E1

9. COORDENADAS
PUNTO
NORTE ESTE
V1 880,000 700,000
V2 781,590 1001,155
V3 690,766 801,811
V1 880,000 700,000
2A = (N1 x E2) + (N2 x E3) + (N3 x E1) – (E1 x N2) –(E2 x N3) – (E3 x N1)
2A = (880,000 x 1001,155) + (781,590 x 801,811) + (690,766 x 700,000) – (700,000 x 781,590) –(1001,155 x 690,766) –(801,811 x 880,000)
2A = 881016,400 +626687,4595 + 483536,200 – 547113,000 – 691563,8347 – 705593,680
2A = 1991240,060 – 1944270,515
A =
2
54476,46969 = 23484,77238 m2