Ky libër u dedikohet të gjithë nxënësve , studentëve dhe të gjithë atyre tek të cilët në planprogramin e tyre përfshihet kapitulli Vlera Kufitare(Limiti).Kemi bërë përpjekje maksimale që të përfshihen një numër relativisht i madh i llojeve të ndryshme të limiteve, duke aplikuar shembuj konkretë te detyrave me qëllim që ky kapitull të jetë sa më i qartë dhe që përputhet me planprogramin e ligjëruar.Ky libër përmban 500 detyra të zgjidhura në detaje dhe të ndara në 5 kapituj: limitet e funkisoneve racionale , limitet e funksioneve iracionale , limitet e funksioneve eksponenciale , limitet e funksioneve trigonometrike dhe limitet e vargjeve.
4. VLERA KUFITARE - LIMITI
1
Përmbajtja
Vlera kufitare (limiti)
1. Limitet e funksioneve racionale……………………………………………..3
2. Limitet e funksioneve iracionale…………………………………………...41
3. Limitet e funksioneve eksponenciale……………………………………129
4. Limitet e funksioneve trigonometrike…………………………………..173
5. Limitet e vargjeve………………………………………………………………..222
5. VLERA KUFITARE - LIMITI
2
VLERA KUFITARE (LIMITI)
Përkufizim: Numri K quhet vlerë kufitare ose limit I funksionit në pikën , në qoftëse
është pike grumbulli i domenit dhe në qoftë se numrit të çfardoshëm pozitiv i përgjigjet
numri pozitiv i tillë që |
Simbolikisht shkruajmë:
lim .
Përkufizim 2.: Për funksionin themi se në pikën ka vlerën kufitare të pafundme
në qoftë se:
1. është pike grumbullimi e domenit ;
2. Për qdo numër të dhënë sado qoftë i madh, egziston rrethina e pikes e tillë
që për vlenë
Le të jenë të njohur limitet e funksioneve , dhe një konstantë, atëherë:
1. lim lim
2. lim lim lim ;
3. lim lim lim
4. lim lim
6. VLERA KUFITARE- LIMITI
LIMITET E FUNKSIONEVE RACIONALE
3
KAPITULLI 1
LIMITET E FUNKSIONEVE RACIONALE
Përkufizimi 1. Shprehja
1
1 1 0( ) ... ,n n
n np x a x a x a x a
ku 0 1, ,..., na a a janë numra realë, x numër realë, quhet polinom (realë).
Përkufizimi 2. Nëse 0,na numri n – quhet shkallë e polinomit ( ).p x Simbolikisht
shënohet
deg ( ) .p x n
Në këtë rast themi se polinomi p është i shkallës së n – të sipas x – it.
Përkufizimi 3. Le të jenë dhënë polinomet
1
1 1 0( ) ...n n
n np x a x a x a x a
1
1 1 0( ) ... .n n
n nq x b x b x b x b
Polinomet ( )p x dhe ( )q x janë identikisht të barabartë atëherë dhe vetëm atëherë
kur :
1 1 1 1 0 0, ,..., , .n n n na b a b a b a b
44. VLERA KUFITARE - LIMITI
LIMITET E FUNKSIONEVE IRACIONALE
41
KAPITULLI 2
LIMITET E FUNKSIONEVE IRACIONALE
FORMULA TË RËNDËSISHME
Le të jenë dhënë a dhe b numra real pozitiv, ndërsa n,m dhe p numra natyrorë. Atëherë,
rrënja ka këto veti:
1.
2.
3.
4.
5. .
132. VLERA KUFITARE - LIMITI
LIMITET E FUNKSIONEVE EKSPONENCIALE
129
KAPITULLI 3
LIMITET E FUNKSIONEVE EKSPONENCIALE
FORMULA TË RËNDËSISHME
Vetitë themelore të fuqive janë këto:
1. ;
2. ;
3.
4. ;
5. .
176. VLERA KUFITARE-LIMITI
LIMITET E FUNKSIONEVE TRIGONOMETRIKE
173
KAPITULLI 4
LIMITET E FUNKSIONEVE TRIGONOMETRIKE
FORMULA TË RËNDËSISHME
Transformimi i funksioneve trigonometrike
Funksionet trigonometrike të këndeve komplementare:
1.
2.
3.
4.
Identitetet themelore trigonometrike:
3. 4.
177. VLERA KUFITARE-LIMITI
LIMITET E FUNKSIONEVE TRIGONOMETRIKE
174
5.
Funksionet trigonometrike të shumës dhe ndryshimit të 2 këndeve:
1.
2.
3.
4.
Funksionet trigonometrike të këndit të dyfishtë:
3. 4.
Funksionet trigonometrike të gjysmëkëndit:
2.
3. 4.
Transforimimi I prodhimit të funksioneve trigonometrike në shumë dhe
ndryshim:
1.
2.
178. VLERA KUFITARE-LIMITI
LIMITET E FUNKSIONEVE TRIGONOMETRIKE
175
3.
Transformimi shumës dhe ndryshimit të funksioneve trigonometrike në prodhim:
1.
2.
3.
4.
225. VLERA KUFITARE - LIMITI
LIMITET E VARGJEVE
222
KAPITULLI 5
LIMITET E VARGJEVE
Progresioni (vargu) aritmetik
Varg aritmetik quhet vargu tek i cili diferenca e çdo dy kufizave të njëpasnjëshme është konstante.
Term i përgjitshëm i vargut aritmetik është:
Shuma e n-termave të para të vargut aritmetik është:
Progresioni (vargu) gjeometrik
Vargu i numrave në të cilin heresi i çdo dy kufizave të njëpasnjëshme është konstant quhet
progresion gjeometrik:
Termi i përgjithshëm është:
Shuma e n- termave të para të vargut gjeometrik është:
226. VLERA KUFITARE - LIMITI
LIMITET E VARGJEVE
223
LIMITET E VARGJEVE
1. Të gjendet vlera kufitare e vargut nëse
është dhënë anëtari i përgjithshëm:
2. Të gjendet vlera kufitare vargut nëse
është dhënë anëtari i përgjithshëm:
3. Të gjendet vlera kufitare e vargut nëse
është dhënë anëtari i përgjithshëm:
4. Të gjendet vlera kufitare nëse është
dhënë anëtari i përgjithshëm:
5. Të gjendet vlera kufitare(limiti) nëse
është dhënë anëtari i përgjithshëm:࡙
6.
7. 8.
232. VLERA KUFITARE - LIMITI
LIMITET E VARGJEVE
229
ZGJIDHJA E DETYRAVE
1. Të gjendet vlera kufitare e vargut nëse është dhënë anëtari i përgjithshëm:
2 Të gjendet vlera kufitare vargut nëse është dhënë anëtari i përgjithshëm:
3 Të gjendet vlera kufitare e vargut nëse është dhënë anëtari i përgjithshëm:
4 Të gjendet vlera kufitare nëse është dhënë anëtari i përgjithshëm:
233. VLERA KUFITARE - LIMITI
LIMITET E VARGJEVE
230
5 Të gjendet vlera kufitare(limiti) nëse është dhënë anëtari i përgjithshëm:࡙
6
263. VLERA KUFITARE - LIMITI
260
LITERATURA
1. Përmbledhje detyrash të zgjidhura nga matematika II, Zenun Loshaj, Prishtinë 1996;
2. Matematika për test të matures, Naim Braha dhe Armend Shabani, botimi i tretë,
Prishtinë 2012;
3. Përmbledhje detyrash nga matematika, Faton Berisha dhe Mustafë Kadriu, Prishtinë
1999;
4. Zbirka Resenih Radataka iz Matematike 4, Vene Bogoslavov, Beograd 2000;
5. Zbirka zadataka iz više matematike I , Momčilo P. Ušćumlić, Pavle M. Miličić;
6. Teste Matematike, Naser Tahiri 2005.