Υποστηρικτικό υλικό για τη διδασκαλία των ιδιοτήτων των δυνάμεων.

1. ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ:
ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΡΗΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ
Περιέχονται:
Δραστηριότητα
Θεωρία: ορισμοί και ιδιότητες
Προτεραιότητα πράξεων
Βοηθητικό υλικό (links)

2. ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΡΗΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ
να ηλεκτρονικό αρχείο υπολογιστή μολύνθηκε από ιό, ο οποίος
μεταδίδεται ως εξής :
άθε μολυσμένο με αυτόν τον ιό αρχείο μολύνει τρία άλλα αρχεία
μέσα σε μία ώρα λειτουργίας του υπολογιστή.
Ας προσπαθήσουμε να υπολογίσουμε πόσα αρχεία θα έχουν
μολυνθεί σε πέντε ώρες λειτουργίας του υπολογιστή…
ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ

3. Όπως γνωρίζουμε είναι:
23
= 2 .
2 .
2 = 8,
42
= 4 .
4 = 16,
34
= 3 .
3 .
3 .
3 = 81.
Όμοια είναι:
(-2)3
= (-2) .
(-2) .
(-2) = -8,
(-4)2
= (-4) .
(-4) =16,
(-3)4
= (-3) .
(-3) .
(-3) .
(-3) = 81.

4. Γενικά αν α είναι ρητός αριθμός και ν είναι φυσικός
μεγαλύτερος του 1 (ν > 1), τότε ορίζουμε ως νιοστή δύναμη
του α και συμβολίζουμε αν
το γινόμενο που αποτελείται από
ν παράγοντες ίσους με α.
Δηλαδή : αν
= α .
α .
… .
α με α ρητό και ν φυσικό, ν > 1.
Ο ρητός α λέγεται β ά σ η της δύναμης.
Ο φυσικός ν > 1 λέγεται ε κ θ έ τ η ς της δύναμης.

5. 4
1
2
 
− ÷
 
ΔύναμηΔύναμη
ΒάσηΒάση
Εκθέτης
• Η δύναμη αν
διαβάζεται :
νιοστή δύναμη του α ή
α στη νιοστή.
• Η δύναμη α2
διαβάζεται :
τετράγωνο του α ή
α στο τετράγωνο.
• Η δύναμη α3
διαβάζεται :
κύβος του α ή α στον κύβο.

6. ΠΡΟΣΗΜΟ ΔΥΝΑΜΕΩΝΠΡΟΣΗΜΟ ΔΥΝΑΜΕΩΝ
Αφού ο φυσικός αριθμός ν δηλώνει τοΑφού ο φυσικός αριθμός ν δηλώνει το
πλήθος των ίσων παραγόντων τηςπλήθος των ίσων παραγόντων της
δύναμης, σύμφωνα με την ιδιότητα τουδύναμης, σύμφωνα με την ιδιότητα του
πολλαπλασιασμού πολλών παραγόντωνπολλαπλασιασμού πολλών παραγόντων
θα ισχύειθα ισχύει ::

7. Όταν α > 0 τότε και αΌταν α > 0 τότε και ανν
> 0> 0
δηλ.δηλ. Θετική βάσηΘετική βάση θετικός εκθέτηςθετικός εκθέτης
Θετική δύναμηΘετική δύναμη
Όταν α < 0 και ν άρτιος τότε και αΌταν α < 0 και ν άρτιος τότε και ανν
> 0> 0
δηλ.δηλ. Αρνητική βάσηΑρνητική βάση άρτιος εκθέτηςάρτιος εκθέτης
Θετική δύναμηΘετική δύναμη
Όταν α < 0 και ν περιττός τότε και αΌταν α < 0 και ν περιττός τότε και ανν
< 0< 0
δηλ.δηλ. Αρνητική βάσηΑρνητική βάση περιττός εκθέτηςπεριττός εκθέτης
Αρνητική δύναμηΑρνητική δύναμη

8. ► Θετική βάση οποιοσδήποτε εκθέτης
+
► Αρνητική βάση άρτιος εκθέτης
+
► Αρνητική βάση περιττός εκθέτης
-

9. Ι Δ Ι Ο Τ Η Τ Ε Σ ΔΥΝΑΜΕΩΝ

10. ► Ίδιες βάσεις + πολλαπλασιασμός
► Ίδιες βάσεις + διαίρεση
► Ίδιους εκθέτες + πολλαπλασιασμός
► Ίδιους εκθέτες + διαίρεση
► (Δύναμη) εκθέτη

11. Ίδιες βάσεις + πολλαπλασιασμός
ΙΙ11 Το γινόμενο δυνάμεων με τηνΤο γινόμενο δυνάμεων με την
ίδια βάση είναι δύναμη με την ίδιαίδια βάση είναι δύναμη με την ίδια
βάση και εκθέτη το άθροισμα τωνβάση και εκθέτη το άθροισμα των
εκθετών.εκθετών.
ΙΙ22 Το πηλίκο δυνάμεων με την ίδιαΤο πηλίκο δυνάμεων με την ίδια
βάση (διάφορη του 0) είναιβάση (διάφορη του 0) είναι
δύναμη με την ίδια βάση καιδύναμη με την ίδια βάση και
εκθέτη τη διαφορά του εκθέτη τουεκθέτη τη διαφορά του εκθέτη του
διαιρέτη από τον εκθέτη τουδιαιρέτη από τον εκθέτη του
διαιρετέου.διαιρετέου.
,ν µ ν µ
α α α +
× =
: , 0
ν
ν µ ν µ
µ
α
α α α µε α
α
−
= = ≠
Ίδιες βάσεις + διαίρεση

12. Ας κάνουμε λίγη εξάσκηση….
3 2
3 2 ........ ....
4 4 (αναλυτικός υπολογισμός)
4 4 4 = 4 (υπολογισμός με χρήση ιδιότητας)
× = = =
× =

13. Ας κάνουμε λίγη εξάσκηση….
3
2
3
........ ....
2
4
(αναλυτικός υπολογισμός)
4
4
4 = 4 (υπολογισμός με χρήση ιδιότητας)
4
= = =
=

14. Ας κάνουμε λίγη εξάσκηση….
3
3
3
........ ....
3
4
(αναλυτικός υπολογισμός)
4
4
4 = 4 (υπολογισμός με χρήση ιδιότητας)
4
= = =
=
Επομένως ορίζουμε :
0
..... με α 0α = ≠

15. Ας κάνουμε λίγη εξάσκηση ακόμη….
3
3 2
3
3 4
3
30 4
39
4 4
x x x
x
x
x x x
x x
x x x
x
× =
× × =
=
× ×
=
×
× ×
=

16. Ίδιους εκθέτες + πολλαπλασιασμός
ΙΙ33 Για να υψώσουμε ένα γινόμενοΓια να υψώσουμε ένα γινόμενο
σε έναν εκθέτη, υψώνουμε κάθεσε έναν εκθέτη, υψώνουμε κάθε
παράγοντα του γινομένου στονπαράγοντα του γινομένου στον
εκθέτη αυτό.εκθέτη αυτό.
ΙΙ44 Για να υψώσουμε ένα πηλίκο ήΓια να υψώσουμε ένα πηλίκο ή
κλάσμα σε έναν εκθέτη υψώνουμεκλάσμα σε έναν εκθέτη υψώνουμε
κάθε όρο του στον εκθέτη αυτό.κάθε όρο του στον εκθέτη αυτό.
( )
ν ν ν
α β α β× = ×
: ( )
ν
ν ν ν
ν
α α
α β
β β
= =
Ίδιους εκθέτες + διαίρεση

17. Ας κάνουμε λίγη εξάσκηση….
3
3
3
... ....
3
4
(αναλυτικός υπολογισμός)
2
4 4
( ) = (υπολογισμός με χρήση ιδιότητας)
2 2
= = =
=

18. Ας κάνουμε λίγη εξάσκηση….
ανάποδα τώρα…
2
2
2
2
3
2 5
( ) =
3 4
15 2
( ) =
36 3
2
( )
3
=
= −
− =

19. Ας κάνουμε λίγη εξάσκηση ακόμη….
4
4
4
........ ......
4
(αναλυτικός υπολογισμός)
(υπολογισμός με χρήση ιδιότητας)
3
....
3
3
3 3
3
= =
= =
0
..... με α 0α = ≠Επομένως ορίζουμε :

20. (Δύναμη) εκθέτη
ΙΙ55 Για να υψώσουμε μια δύναμη σεΓια να υψώσουμε μια δύναμη σε
έναν εκθέτη γράφουμε την βάσηέναν εκθέτη γράφουμε την βάση
και για εκθέτη γράφουμε τοκαι για εκθέτη γράφουμε το
γινόμενο των εκθετών.γινόμενο των εκθετών.
( ) ,
με 1, 1
µν ν µ
α α
ν µ
×
=
> >

21. Ας κάνουμε λίγη εξάσκηση….
3 2
3 2
(αναλυτικός υπολογισμός)
(υπολογισμός με χρήση ιδιότητας)
(4 ) ................ ................
(4 ) ................ ................
= = =
= = =

22. Ας κάνουμε λίγη εξάσκηση….
3 2
3 2
3 2
3 2
3 4
(2 )
(( 2) )
(( 1) )
( 2 )
( 1 )
=
− =
− =
− =
− =
Ασκήσεις για το σπίτι: 10, 11, 12, 13 σελ. 62 Φ5

23. TIPS OF THE DAY…TIPS OF THE DAY…
 χ + χ = 2 .
χ ενώ χ .
χ = χ2
 ( 3 .
χ )2
= 32 .
Χ2
= 9 .
χ2
ενώ
 ( 3 + χ )2
= ( 3 + χ ) .
( 3 + χ)
= 3 .
3 + 3 .
χ + 3 .
χ + χ .
χ
= 9 + 6 .
χ + χ2
Η ιδιότητα ισχύει μόνο
για τον πολλαπλασιασμό
και τη διαίρεση

24. ΔΥΝΑΜΗ ΜΕ ΒΑΣΗ ΡΗΤΟ
ΚΑΙ
ΕΚΘΕΤΗ ΑΡΝΗΤΙΚΟ ΡΗΤΟ
(διάφορο του 0)

25. ΑΣ κάνουμε ότι μάθαμε πριν…
......2
4
2
......... .......
4
(αναλυτικός υπολογισμός)
(υπολογισμός με χρήση ιδιότητας)
5
5
5
5 5
5
 
= = =  ÷
 
= =
Άρα ισχύει ……..=……..
Επομένως ορίζουμε
.....
με α 0 και φυσικό αριθμό
1 1ν
ν
α−
≠
 
= = ÷
 

26. ΑΡΑ ΙΣΧΥΕΙ ……..=……..
.....
1 1
με α 0 και φυσικό αριθμό
ν
α
ν
−  
= = ÷
 
≠
Ορίζουμε ως δύναμη ρητού αριθμού α διάφορου του 0
με εκθέτη αρνητικό ακέραιο -ν, τη δύναμη με βάση τον
αντίστροφο του ρητού α και εκθέτη τον φυσικό αριθμό ν.

27. ΕΠΙΠΛΕΟΝ ΟΡΙΣΜΟΙ…
1
, με ρητό αριθμό.α α α=
0
1, με ρητό 0.α α α= ≠
1 1
, με ρητό, φυσικό, 0.
ν
ν
ν
α α ν α
α α
−  
= = ≠ ÷
 

28. ΔΥΝΑΜΕΙΣΔΥΝΑΜΕΙΣ
ΟΡΙΣΜΟΙΟΡΙΣΜΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣΙΔΙΟΤΗΤΕΣ
ΟΟ11 ΙΙ11
ΟΟ22 ΙΙ22
ΟΟ33
ΙΙ33
ΟΟ44 II44
ΙΙ55
.....
ά
ν
ν παρ γοντες
α α α α
−
= × × ×14243
1
α α=
0
1, 0α α= ≠
1 1
, 0
ν
ν
ν
α α
α α
−  
= = ≠ ÷
 
ν µ ν µ
α α α +
× =
, 0
ν
ν µ
µ
α
α α
α
−
= ≠
( )
ν ν ν
α β α β× = ×
, 0
ν ν
ν
α α
β
β β
 
= ≠ ÷
 
( )
νµ µν
α α ×
=, ,α β ν∈ ∈¤ ¥

29. ΠΡΟΤΕΡΑΙΟΤΗΤΑ ΠΡΑΞΕΩΝ
Υπολογισμός παρενθέσεων – αγκυλών (από μέσα προς τα έξω).
Υπολογισμός δυνάμεων.
Πολλαπλασιασμοί - Διαιρέσεις.
Προσθέσεις (αφαιρέσεις).

30. ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΡΗΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ
Επιπλέον υλικό
•http://teachertube.com/viewArticle.php?article_id=115&title=Multiply_and_
•http://www.mathgoodies.com/lessons/vol3/exponents.html
•Αλέξης Π. Κόκκωνας ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΑ ΔΟΥΚΑ
•Σχολικό βιβλίο Βανδουλάκης,Καλλιγάς,Μαρκάκης και
Φερεντίνος

31. Μουσικό Σχολείο Ξάνθης
Επιμέλεια: Κοτσιμπού Τόνια

32. Μουσικό Σχολείο Ξάνθης
Ασκήσεις για το σπίτι:
10,11,12,13, 15,16,17,18 σελ.62-63 Φ5