1. Pyramid
 原案： komiya

2. 問題概要
 N*M(N, M≦1000) の行列 X があり、初期状態では
全ての要素が 0 。
 以下のクエリが Q(≦10^6) 個あるので、全て処理し
た後の行列を求めよ。
X[i, j] += max( 0, d - (| i – a | + | j – b |) )
1 ≦ d ≦ max(N, M), 1≦a≦N, 1≦b≦M

3. 解法
 一部でいもす法と呼ばれているアイデアを使う。
 JOI 界隈では頻出？

4. いもす法って？
 区間への加算を、定数箇所の更新だけで済ませる。
 加算された値を具体的に知りたくなったら累積和
をとる。
愚直 いもす法
更新 ( 加算 ) O(n) O(1)
O(H*W)
参照 O(1) O(n)
(a[i]=?) O(H*W)
 本問題のように、更新が多く参照が少ない状況に
適している。

5. いもす法って？
 結局何をやっているのか？
 累積和の逆変換 ( 階差数列 ) を利用している。
+1 +1 +1 +1 +1 O(n) 箇所の更新が必要
階差数列 累積和
どっち向きの変換も
計算量 O(n)
+1 -1 定数箇所の更新で済む
処理が軽いので、加算クエリが多
いときはこっちの世界で処理する
方が効率良い

6. いもす法って？
 さっきの話は 2 次元以上にも拡張できる！
2 1 -1 2 3 2
累積和
0 3 2 2 6 7
-2 1 -1 逆変換 0 5 5
変換に必要な計算量は
O(H*W)

7. 範囲和の処理
 例えば次のようなクエリを処理することを考えよう。
+1
+1 +2 +1
+1 +2 +3 +2 +1
+1 +2 +1
+1

8. 範囲和の処理
 累積和の逆変換を行うと次のような区間和になる。
+1 -1
+1 -1
+1 -1
-1 +1
-1 +1
-1 +1

9. 範囲和の処理
 今度は斜め方向に累積和の逆変換をとる。
+1
-1 +1
-1

10. 範囲和の処理
 こっち方向でも逆変換。
-1
-1 +1
+1

11. 細かいところ：端の処理
 ピラミッド型範囲和が端で途切れると処理が面倒
なので、行列を拡大して考えると楽。
実際の行列
の範囲

12. 解法まとめ
 端で途切れるのを防ぐため、行列を拡大する。
 Q 個のクエリを処理する。右下方向と左下方向に
分けてそれぞれ定数箇所に値を加える。
 右下方向と左下方向で累積和をとる。
 右下方向と左下方向の累積和を重ね合わせる。
 重ね合わせたものの 2 次元累積和をとる。

13. おまけ
 同様の手法で次のような加算クエリも処理できる。
+1 +1 +1 +1 +1
+1 +2 +2 +2 +1
+1 +2 +3 +2 +1
+1 +2 +2 +2 +1
+1 +1 +1 +1 +1
 Let's 逆変換 !