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Gaussian Processes for Machine Learning のExercise 3.10.5 の答え
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Gaussian Processes for Machine Learning のExercise 3.10.5 の答え
1.
Gaussian Processes for
Machine LearningのExercise 3.10.5の答え 正田備也@長崎大学 平成 24 年 4 月 17 日 先ず、式 (3.56) で σ2 −i = (σ−2 i − ˜σ−2 i )−1 (1) と定義された σ2 −i が、見かけに反して ˜σ2 i に依存しないことを示したい。 式 (3.53) より Σ = (K−1 + ˜Σ−1 )−1 (2) よって Σ−1 = K−1 + ˜Σ−1 (3) ここで、Appendix A の式 (A.12) の ˜P = P−1 + P−1 QMRP−1 という等式を、A = Σ、P = Σii = σ2 i と設 定して用いると、 (Σ−1 )ii = σ−2 i + σ−2 i QMRσ−2 i (4) を得る(Σii = σ2 i であることは式 (3.55) のすぐ下に書いてある)。ところで、式 (3) より (Σ−1 )ii = (K−1 )ii + (˜Σ−1 )ii (5) が言えるが、˜Σ は ˜σ2 i を第 ii 成分とする対角行列である(式 (3.52) のすぐ下の行を見よ。)から、(˜Σ−1 )ii = ˜σ−2 i である。よって、式 (4) と式 (5) を組み合わせて σ−2 i + σ−2 i QMRσ−2 i = (K−1 )ii + ˜σ−2 i (6) よって σ−2 i − ˜σ−2 i = (K−1 )ii − σ−2 i QMRσ−2 i (7) が得られ、式 (1) は次のように書きなおせることが分かる。 σ2 −i = ((K−1 )ii − σ−2 i QMRσ−2 i )−1 (8) この式の右辺を見ると、K または Σ に依存する量で、˜σ2 i には依存していない。 次に、式 (3.56) で µ−i = σ2 −i(σ−2 i µi − ˜σ−2 i ˜µi) (9) と定義された µ−i が、見かけに反して ˜µi にも ˜σ2 i にも依存しないことを示す。 先に、σ2 −i が ˜µi にも ˜σ2 i にも依存しないことは示した。また、σ−2 i µi は明らかに ˜µi にも ˜σ2 i にも依存しな い。よって、残る ˜σ−2 i ˜µi が ˜µi にも ˜σ2 i にも依存しないことを示せばよい。 式 (3.53) にある µ = Σ˜Σ−1 ˜µ より、Σ−1 µ = ˜Σ−1 ˜µ が成り立つ。両辺の第 i 成分にのみ注目すれば、右辺 は ˜σ−2 i ˜µi である。ところで左辺は ˜µi にも ˜σ2 i にも依存しない。よって右辺の ˜σ−2 i ˜µi も、見かけに反して ˜µi にも ˜σ2 i にも依存しない。 1
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