O slideshow foi denunciado.
Utilizamos seu perfil e dados de atividades no LinkedIn para personalizar e exibir anúncios mais relevantes. Altere suas preferências de anúncios quando desejar.

Углы Эйлера

8.375 visualizações

Publicada em

Презентация к лекции, посвященной способам задания ориентации твёрдого тела при помощи последовательности трёх плоских поворотов - углов Эйлера.

Publicada em: Educação
  • Seja o primeiro a comentar

Углы Эйлера

  1. 1. Углы Эйлера курс “Динамика твёрдого тела и систем тел” Кафедра теоретической механики Юдинцев В. В. Самарский государственный аэрокосмический университет им. академика С. П. Королёва (национальный исследовательский университет) yudintsev@termech.ru 8 сентября 2013 г.
  2. 2. Теорема о трёх плоских поворотах Теорема о трёх плоских поворотах Теорема Любое положение твёрдого тела может быть получено тремя последовательными плоскими поворотами из любого начального положения. Кафедра ТМ (СГАУ) Углы Эйлера 8 сентября 2013 г. 2 / 23
  3. 3. Теорема о трёх плоских поворотах Доказательство (для последовательности X-Y-Z) [1] Рассмотрим два произвольно ориентированных базиса x0y0z0 и x1y1z1 Кафедра ТМ (СГАУ) Углы Эйлера 8 сентября 2013 г. 3 / 23
  4. 4. Теорема о трёх плоских поворотах Доказательство (для последовательности X-Y-Z) Плоскости y1z1 и x0y0 пересекаются по прямой l Кафедра ТМ (СГАУ) Углы Эйлера 8 сентября 2013 г. 4 / 23
  5. 5. Теорема о трёх плоских поворотах Доказательство (для последовательности X-Y-Z) 1 поворот: вращение вокруг оси x1 до совмещения y1 c плоскостью x0y0 Кафедра ТМ (СГАУ) Углы Эйлера 8 сентября 2013 г. 5 / 23
  6. 6. Теорема о трёх плоских поворотах Доказательство (для последовательности X-Y-Z) 2 поворот: вращение вокруг оси l до совмещения прямой z1 с z0 Кафедра ТМ (СГАУ) Углы Эйлера 8 сентября 2013 г. 6 / 23
  7. 7. Теорема о трёх плоских поворотах Доказательство (для последовательности X-Y-Z) 3 поворот: вращение вокруг оси z1 до совмещения прямой x1 с x0 и y1 с y0 Кафедра ТМ (СГАУ) Углы Эйлера 8 сентября 2013 г. 7 / 23
  8. 8. Углы Эйлера
  9. 9. Углы Эйлера Углы Эйлера ψ - угол прецессии, θ - угол нутации, ϕ - угол собственного вращения. Кафедра ТМ (СГАУ) Углы Эйлера 8 сентября 2013 г. 9 / 23
  10. 10. Углы Эйлера Матрица поворота Преобразование ψ, θ, ϕ → A Матрицы элементарных поворотов Aψ =   cos ψ − sin ψ 0 sin ψ cos ψ 0 0 0 1   , (1) Aθ =   1 0 0 0 cos θ − sin θ 0 sin θ cos θ   , (2) Aϕ =   cos ϕ − sin ϕ 0 sin ϕ cos ϕ 0 0 0 1   (3) Кафедра ТМ (СГАУ) Углы Эйлера 8 сентября 2013 г. 10 / 23
  11. 11. Углы Эйлера Матрица поворота Преобразование ψ, θ, ϕ → A Перемножая матрицы элементарных поворотов в прямом порядке и транспонируя результат (пассивная точка зрения), получим матрицу преобразования координат из неподвижного базиса в подвижный: A = (AψAθAϕ)T =   cϕcψ − cθsϕsψ cθcψsϕ + cϕsψ sθsϕ −cψsϕ − cθcϕsψ cθcϕcψ − sϕsψ cϕsθ sθsψ −cψsθ cθ   Кафедра ТМ (СГАУ) Углы Эйлера 8 сентября 2013 г. 11 / 23
  12. 12. Углы Эйлера Матрица поворота Преобразование A → ψ, θ, ϕ [2] Если известна матрица направляющих косинусов, то углы Эйлера можно определить следующим образом: cos θ = a33, sin θ = ± 1 − cos2 θ, (4) cos ψ = − a32 sin θ , sin ψ = a31 sin θ , (5) cos ϕ = a23 sin θ , sin ϕ = a13 sin θ . (6) Кафедра ТМ (СГАУ) Углы Эйлера 8 сентября 2013 г. 12 / 23
  13. 13. Углы Эйлера Особые положения Особые положения При θ = 0 первый и третий поворот происходят вокруг одного и того же направления. Одному положению тела соответствует множество значений углов ψ и ϕ для которых выполняется условие: ϕ + ψ = α. Кафедра ТМ (СГАУ) Углы Эйлера 8 сентября 2013 г. 13 / 23
  14. 14. Углы Эйлера Особые положения Матрица поворота При θ = 0: A = (AψA0Aϕ)T =   cos(ϕ + ψ) sin(ϕ + ψ) 0 − sin(ϕ + ψ) cos(ϕ + ψ) 0 0 0 1   . (7) Множеству положений твердого тела θ = 0, ϕ + ψ = α соответствует одна и та же матрица поворота. Кафедра ТМ (СГАУ) Углы Эйлера 8 сентября 2013 г. 14 / 23
  15. 15. Углы Эйлера Последовательности поворотов Возможные последовательности поворотов Углы конечного вращения I-го рода (углы Эйлера) 3-1-3; 1-2-1; 2-3-2; 3-2-3; 1-3-1; 2-1-2. Углы конечного вращения II-го рода (углы Брайнта) 1-2-3; 2-3-1; 3-1-2; 1-3-2; 3-2-1; 2-1-3. Кафедра ТМ (СГАУ) Углы Эйлера 8 сентября 2013 г. 15 / 23
  16. 16. Углы Брайнта (1-2-3)
  17. 17. Углы Брайнта Определение углов Брайна (Крылова) Угловое положение базиса Cx1y1z1 задается тремя последовательными плоскими поворотами: 1 вращение вокруг оси x1; 2 вращение вокруг новой оси y1; 3 вращение вокруг новой оси z1. Углы Брайнта используется в авиации и космонавтике: “рыскание”, “тангаж”, “крен” Кафедра ТМ (СГАУ) Углы Эйлера 8 сентября 2013 г. 17 / 23
  18. 18. Углы Брайнта Матрица поворота Матрицы элементарных поворотов Матрицы элементарных поворотов в “поворачиваемых” базисах (пассивная точка зрения) Aψ =   1 0 0 0 cos ψ − sin ψ 0 sin ψ cos ψ   , (8) Aθ =   cos θ 0 sin θ 0 1 0 − sin θ 0 cos θ   , (9) Aϕ =   cos ϕ − sin ϕ 0 sin ϕ cos ϕ 0 0 0 1   . (10) Кафедра ТМ (СГАУ) Углы Эйлера 8 сентября 2013 г. 18 / 23
  19. 19. Углы Брайнта Матрица поворота Углы Брайнта → Матрица поворота Перемножая матрицы элементарных поворотов в прямом порядке и транспонируя результат (пассивная точка зрения), получим матрицу преобразования координат из неподвижного базиса в подвижный: A = (AψAθAϕ)T =   cθcϕ cψsϕ + cϕsθsψ sϕsψ − cϕcψsθ −cθsϕ cϕcψ − sθsϕsψ cψsθsϕ + cϕsψ sθ −cθsψ cθcψ   . Для малых углов (в линейном приближении): A ≈   1 ϕ −θ −ϕ 1 ψ θ −ψ 1   . Кафедра ТМ (СГАУ) Углы Эйлера 8 сентября 2013 г. 19 / 23
  20. 20. Углы Брайнта Матрица поворота Матрица поворота → Углы Брайнта sin θ = a31, cos θ = ± 1 − sin2 θ, (11) sin ψ = − a32 cos θ , cos ψ = a33 cos θ , (12) sin ϕ = − a21 cos θ , cos ϕ = a11 cos θ . (13) Кафедра ТМ (СГАУ) Углы Эйлера 8 сентября 2013 г. 20 / 23
  21. 21. Углы Брайнта Матрица поворота Особые положения При θ = π/2 первый и третий поворот происходят вокруг одного и того же направления. Одному положению тела соответствует множество значений углов ψ и ϕ для которых выполняется условие: ϕ + ψ = α. Кафедра ТМ (СГАУ) Углы Эйлера 8 сентября 2013 г. 21 / 23
  22. 22. Углы Брайнта Матрица поворота Матрица поворота при θ = π/2 При θ = π/2: A = (AψAπ/2Aϕ)T ==   0 sin(ϕ + ψ) − cos(ϕ + ψ) 0 cos(ϕ + ψ) sin(ϕ + ψ) 1 0 0   . (14) Множеству положений твердого тела θ = 0, ϕ + ψ = α соответствует одна и та же матрица поворота. Кафедра ТМ (СГАУ) Углы Эйлера 8 сентября 2013 г. 22 / 23
  23. 23. Список использованных источников В. Ф. Журавлев. Основы теоретической механики. Издательство физико-математической литературы, 2001. Й. Виттенбург. Динамика систем твердых тел. Мир, M., 1980.

×