1. Методы вычислений
Многочлены наилучших приближений
Кафедра теоретической механики
Пикалов Р. С.
Самарский государственный аэрокосмический университет
им. академика С. П. Королёва
(национальный исследовательский университет)
23 ноября 2012 г.

2. Постановка задачи
Постановка задачи
Задана таблица значений функции yi = f (xi ), (i = 0, ..., n), на
интервале [x0 , xn ].
n
n
Требуется построить аппроксимирующую функцию:
Φ(x) = c0 ϕ0 (x) + c1 ϕ1 (x) + ... + cm ϕm (x)
Кафедра ТМ (СГАУ) Методы вычислений 23 ноября 2012 г. 2 / 22

3. Постановка задачи
Применение метода наименьших квадратов к аппроксимации функции
f (x) функцией ϕ(x) означает подбор такой функции ϕ(x), которая
минимизирует среднеквадратическую погрешность приблеженного
равенства ϕ(x) ≈ f (x).
Кафедра ТМ (СГАУ) Методы вычислений 23 ноября 2012 г. 3 / 22

4. Постановка задачи
Наилучшее среднеквадратическое приближение
Функция ϕ(x) называется наилучшим среднеквадратическим
приближением функцииf (x) на заданном семействе функции.
Расмотрим случай когда аппроксимирующая функция ϕ(x)
представляет собой линейную комбинацию нескольких других, вообще
говоря, более простых (базисных) функций.
Кафедра ТМ (СГАУ) Методы вычислений 23 ноября 2012 г. 4 / 22

5. Скалярное произведение функций Скалярное произведение для непрерывных функций
Скалярное произведение функций
Скалярное произведение для непрерывных на отрезке [a, b] функций
Для пространства CL [a, b] непрерывных на [a, b] функций:
b
1
скалярное произведение: (f (x), g(x)) = b−a f (x)g(x)dx
a
b
1
метрика (растояние):ρ(f (x), g(x)) = b−a [f (x) − g(x)]2 dx
a
b
1
норма: f (x) = ρ(f (x), 0) = b−a f (x)2 dx
a
Кафедра ТМ (СГАУ) Методы вычислений 23 ноября 2012 г. 5 / 22

6. Скалярное произведение функций Скалярное произведение для сеточных функций
Скалярное произведение функций
Скалярное произведение для сеточных функций
Для пространства Rn+1 [a, b] сеточных функций, определённых в точках
xi ∈ [a, b](i = 0, ..., n):
n
1
скалярное произведение: (f (x), g(x)) = n+1 f (xi )g(xi )
i=0
n
1
метрика: ρ(f (x), g(x)) = n+1 [f (xi ) − g(xi )]2
i=0
n
1
норма: f (x) = ρ(f (x), 0) = n+1 f (xi )2 dx
i=0
Кафедра ТМ (СГАУ) Методы вычислений 23 ноября 2012 г. 6 / 22

7. Обобщенный многочлен
Среднеквадратические ошибки
Введеные указанным способом метрики характерезуют близость
функций f (x) и ϕ(x) по отношению к приближенному равенству
f (x) ≈ ϕ(x) при x ∈ [a, b] они представляют собой интегральную и
точечную среднекадратические ошибки:
n
(f (xi ) − ϕ(xi ))2 = min ⇐⇒ ρ(f, ϕ)Rn+1 [a,b] = min
i=0
n
(f (x) − ϕ(x))2 = min ⇐⇒ ρ(f, ϕ)CL [a,b] = min
i=0
Кафедра ТМ (СГАУ) Методы вычислений 23 ноября 2012 г. 7 / 22

8. Обобщенный многочлен
Обобщенный многочлен
Пусть {ϕj (x)}m - некоторая заданная на [a, b] система линейно
j=0
независимых функций. Обобщенным многочленом называется
функция вида
Φ(x) := c0 ϕ0 (x) + c1 ϕ1 (x) + ... + cm ϕm (x), (1)
где c0 , c1 , ..., cm - произвольные вещественные числа (коэфициенты
обобщенного многочлена).
Построение обобщенного многочленна (1) , сводиться к нахождению
оптимального набора коэффициентов cj , т.е к решению задачи
минимизации:
n
[co ϕ0 + c1 ϕ1 + ... + cm ϕm − f (xi )]2 → min
i=0
Кафедра ТМ (СГАУ) Методы вычислений 23 ноября 2012 г. 8 / 22

9. Обобщенный многочлен
Для задачи минимизации
n
[co ϕ0 + c1 ϕ1 + ... + cm ϕm − f (xi )]2 → min
i=0
необходимые (и достаточные) условия выражаются системой:
 n
 i=0 ϕ0 (xi )(c0 ϕ0 (xi ) + c1 ϕ1 (xi ) + ... + cm ϕm (xi )) = 0,




 n


 ϕ (x )(c ϕ (x ) + c ϕ (x ) + ... + c ϕ (x )) = 0,
1 i 0 0 i 1 1 i m m i
(2)
 i=0
 ...

 n




 ϕm (xi )(c0 ϕ0 (xi ) + c1 ϕ1 (xi ) + ... + cm ϕm (xi )) = 0
i=0
Кафедра ТМ (СГАУ) Методы вычислений 23 ноября 2012 г. 9 / 22

10. Обобщенный многочлен
Преобразуем и перепишем систему (2) в терминах скалярных
произведений:

 (ϕ0 , ϕ0 )c0 + (ϕ0 , ϕ1 )c1 + ... + (ϕ0 , ϕm )cm = (ϕ0 , f ),

(ϕ1 , ϕ0 )c0 + (ϕ1 , ϕ1 )c1 + ... + (ϕ1 , ϕm )cm = (ϕ1 , f ),

(3)

 ...
(ϕm , ϕ0 )c0 + (ϕm , ϕ1 )c1 + ... + (ϕm , ϕm )cm = (ϕm , f )

Система (3) чрезвычайно упрощается в случае, когда базисные
функции ϕj (x) (j = 0..m) образуют на [a, b] ортогональную систему.
Кафедра ТМ (СГАУ) Методы вычислений 23 ноября 2012 г. 10 / 22

11. Обобщенный многочлен
Ортогональная система базисных функций
Взаимная ортогональность функций ϕj (x) означает что
(ϕk (x), ϕj (x)) = 0 при любых k = j
Следовательно систему (3) можно переписать в виде

 (ϕ0 , ϕ0 )c0 = (ϕ0 , f ) = ϕ0 (x) ,

(ϕ1 , ϕ1 )c1 = (ϕ1 , f ) = ϕ1 (x) ,

(4)
 ...

(ϕm , ϕm )cm = (ϕm , f ) = ϕm (x) .

Из (4) =⇒
(ϕj , f ) (ϕj , f )
cj = = , (j = 0, .., m)
(ϕj , ϕj ) ϕj (x)
Кафедра ТМ (СГАУ) Методы вычислений 23 ноября 2012 г. 11 / 22

12. Обобщенный многочлен
Ортонормированная система базисных функций
Для ортонормированной системы {ϕj (x)}m , норма:
j=0
(ϕj (x)ϕj (x)) = ϕj (x) = 1,
Следовательно коэффиценты cj определяются по формуле:
(ϕj , f )
cj = = (ϕj , f ), (j = 0, .., m)
1
т.е. аппроксимация функции f (x) обобщенным многочленом имеет
вид:
f (x) ≈ (ϕ0 , f )ϕ0 (x) + (ϕ1 , f )ϕ1 (x) + ... + (ϕm , f )ϕm (x).
Кафедра ТМ (СГАУ) Методы вычислений 23 ноября 2012 г. 12 / 22

13. Системы ортогональных многочленов
Системы ортогональных многочленов
Приведем некоторые сведения справочного характера об
ортогональных многочленах:
Лежандра:
χ0 = 1, χ1 = x, χ2 = 1 (3x2 − 1), ....
2
Чебышева:
T0 = 1, T1 = x, T2 = 2x2 − 1, ....
Лагерра:
L0 = 1, L1 = 1 − x, L2 = x2 − 4x + 2, ....
Эрмита:
H0 = 1, H1 = 2x, H2 = 4x2 − 2, ....
Кафедра ТМ (СГАУ) Методы вычислений 23 ноября 2012 г. 13 / 22

14. Системы ортогональных многочленов Многочлены Лежандра
Многочлены Лежандра
Многочлены Лежандра χn (x) - наиболее употребительные из
классических ортогональных многочленов. Единственные для которых
условие ортогональности на отрезке [−1, 1] выполняется в "чистом
виде".
1
0, если k = j,
χk (x)χj (x)dx = 2
2k+1 , если k = j.
−1
1 1 dn 2
χ0 = 1, χ1 = x, χ2 = (3x2 − 1), χn = (x − 1)n
2 n!2n dxn
Многочлены Лежандра связаны рекуррентным соотношением:
(n + 1)χn+1 (x) − (2n + 1)xχn (x) + nχn−1 (x) = 0
Кафедра ТМ (СГАУ) Методы вычислений 23 ноября 2012 г. 14 / 22

15. Системы ортогональных многочленов Многочлены Чебышева
Многочлены Чебышева
Многочленом Чебышева называется функция
Tn (x) = cos(n arccos x),
где n ∈ N0 , x ∈ [−1, 1]. Многочлены Чебышева ортогональны, с весом
1
p(x) = √1−x2 . А именно, условие ортогональности имеет вид:

1 0, если k = j,
dx 
Tk (x)Tj (x) √ = π , если k = j = 0,
1 − x2  2
π, если k = j.

−1
T0 = 1, T1 = x, T2 = 2x2 − 1.
Многочлены Чебышева связаны рукурентным соотношением:
Tn+1 (x) = 2xTn (x) − Tn−1 (x)
Кафедра ТМ (СГАУ) Методы вычислений 23 ноября 2012 г. 15 / 22

16. Системы ортогональных многочленов Многочлены Чебышева
1.0
0.5
1.0 0.5 0.5 1.0
0.5
1.0
Многочлены Чебышева
Кафедра ТМ (СГАУ) Методы вычислений 23 ноября 2012 г. 16 / 22

17. Системы ортогональных многочленов Многочлены Лагерра
Многочлены Лагерра
Многочлены Лагерра ортогональны на промежутке [0, +∞), с весом
p(x) = e−x . Условие ортогональности имеет вид:
+∞
0, если k = j,
e−x Lk (x)Lj (x)dx =
(k!)2 , если k = j.
0
L0 = 1, L1 = 1 − x, L2 = x2 − 4x + 2.
Многочлены Лагерра связаны рекуррентным соотношением:
Ln+1 (x) − (2n + 1 − x)Ln (x) + n2 Ln−1 (x) = 0
Кафедра ТМ (СГАУ) Методы вычислений 23 ноября 2012 г. 17 / 22

18. Системы ортогональных многочленов Многочлены Эрмита
Многочлены Эрмита
Многочлены Эрмита Hn (x) ортогональны на всей числовой оси с
2
весом p(x) = e−x . Условие ортогональности имеет вид:
+∞
2 0, если k = j,
e−x Hk (x)Hj (x)dx = k k!√π, если k = j.
2
−∞
H0 = 1, H1 = 2x, H2 = 4x2 − 2.
Многочлены Эрмита связаны рекуррентным соотношением:
Hn+1 (x) − 2xHn (x) + 2bHn−1 (x) = 0
Кафедра ТМ (СГАУ) Методы вычислений 23 ноября 2012 г. 18 / 22

19. Пример аппроксимации таблично-заданной функции
Пример
На интервале [−1, 1] задана табличная функция f (x):
x -1 -0.9 -0.8 -0.7 -0.6 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0
y -0.8 -0.7 -0.71 -0.6 0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 -0.09 0
x 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
y 0.09 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.71 0.7 0.8
Необходимо построить аппроксимирующую функцию ϕ(x).
Кафедра ТМ (СГАУ) Методы вычислений 23 ноября 2012 г. 19 / 22

20. Пример аппроксимации таблично-заданной функции
В качестве базисных функций используем многочлены Лежандра, 0,1 и
второго порядка:
1
ϕ(x) = c0 + xc1 + (3x2 − 1)c2
2
Используя формулы скалярного произведения для сеточных функций,
(χ ,f )
определим коэффиценты cj = (χjj,χj ) , (j = 0, 1, 2)
c0 = −0.0420735, c1 = 0.902449, c3 = −0.205244
Кафедра ТМ (СГАУ) Методы вычислений 23 ноября 2012 г. 20 / 22

21. Пример аппроксимации таблично-заданной функции
Подставляя найденные коэффиценты, получим аппроксимирующую
функцию:
0.205244
ϕ(x) = −0.0420735 + 0.902449x − (3x2 − 1)
2
Кафедра ТМ (СГАУ) Методы вычислений 23 ноября 2012 г. 21 / 22

22. Список использованных источников
Список использованных источников
1 Вержбицкий В. М. Основы численных методов. М.:Высшая школа,
2002.
2 Вержбицкий В. М. Численные методы. Математический анализ и
обыкновенные дифференциальные уавнения. М.:Высшая школа,
2001.
Кафедра ТМ (СГАУ) Методы вычислений 23 ноября 2012 г. 22 / 22