1. Решение заданий
В14
(задачи на движение)
по материалам открытого банка
задач ЕГЭ по математике

2. №26578. Из пункта A в пункт B одновременно выехали два
автомобиля. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь.
Второй проехал первую половину пути со скоростью 24 км/ч, а
вторую половину пути – со скоростью, на 16 км/ч большей
скорости первого, в результате чего прибыл в пункт В
одновременно с первым автомобилем. Найдите скорость первого
автомобиля. Ответ дайте в км/ч.
v s
1
2
х
s
s
0,5s
24
0,5s
х + 16
+
s
х
1) 24
2) х + 16
s = v · t
0,5s
24
0,5s
х + 16
+ =
s
х=
t = v
s

3. Решение. Пусть x км/ч – скорость первого автомобиля, где
х > 0, тогда скорость второго автомобиля на второй
половине пути равна x + 16 км/ч. Примем расстояние
между пунктами за s. Автомобили были в пути одно и то
же время, отсюда имеем:
Ответ: 32.
)16(24
1
16
5,0
24
5,0


 хх
xx
)16(2412)16(5,0  xxхх
076882
 xх





24
32
х
x
– не удовл-ет условию х > 0
s
x
s
x
ss
:
16
5,0
24
5,0



32x

4. №26580. Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 75
км, одновременно выехали автомобилист и велосипедист.
Известно, что за час автомобилист проезжает на 40 км больше,
чем велосипедист. Определите скорость велосипедиста, если
известно, что он прибыл в пункт В на 6 часов позже
автомобилиста. Ответ дайте в км/ч.
v s
х
75
75
75
х
х + 40
s = v · t
75
х
75
х + 40
– = 6
75
х + 40
– 6 ч
t = v
s

5. Решение. Пусть x км/ч – скорость велосипедиста, где х > 0,
тогда скорость автомобилиста равна x + 40 км/ч.
Велосипедист был в пути на 6 часов больше, отсюда имеем:
Ответ: 10.
2:)40(2)40(25  xxxx
0500402
 xх





50
10
х
x
– не удовл-ет условию х > 0
3
)40(
6
40
7575 



xx
xx
10x

6. №26584. Два велосипедиста одновременно отправились в 88-
километровый пробег. Первый ехал со скоростью, на 3 км/ч
большей, чем скорость второго, и прибыл к финишу на 3 часа
раньше второго. Найти скорость велосипедиста, пришедшего к
финишу вторым. Ответ дайте в км/ч.
v s
1
2 х 88
88
88
х
х + 3
s = v · t
88
х
88
х + 3
– = 3
88
х + 3
– 3 ч
t = v
s

7. Решение. Пусть x км/ч – скорость второго велосипедиста,
где х > 0, тогда скорость первого велосипедиста равна x + 3
км/ч. Второй велосипедист был в пути на 3 часа больше,
чем первый, отсюда имеем:
Ответ: 8.
3:)3(3)3(88  xxxx
08832
 xх





11
8
х
x
– не удовл-ет условию х > 0
)3(3
3
8888


 xx
xx
8x

8. №39369. Моторная лодка прошла против течения реки 224 км и
вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на
2 часа меньше. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если
скорость течения равна 1 км/ч. Ответ дайте в км/ч.
v s
224
224х – 1
s = v · t
– 2ч
х + 1
– = 2
224
х – 1
224
х + 1
224
х – 1
224
х + 1
t = v
s

9. Решение. Пусть x км/ч – собственная скорость лодки, где
х > 0, тогда скорость лодки по течению реки равна х + 1
км/ч, скорость лодки против течения – х – 1 км/ч. Зная, что
на путь по течению реки она затратила на 2 часа меньше,
чем на обратный путь, имеем:
Ответ: 15.
    21211224 2
: xxx
2252
х





15
15
х
x
– не удов-ет условию х > 0
  112
1
224
1
224




xx
xx
15x
1224 2
 x

10. №39443. Теплоход проходит по течению реки до пункта
назначения 247 км и после стоянки возвращается в пункт
отправления. Найдите скорость течения, если скорость теплохода
в неподвижной воде равна 16 км/ч, стоянка длится 7 часов, а в
пункт отправления теплоход возвращается через 39 часов после
отплытия из него. Ответ дайте в км/ч.
v s
247
24716 + х
s = v · t
+ 39–7=32 ч.
16 – х
+ = 32
247
16 + х
247
16 – х
247
16 + х
247
16 – х
t = v
s

11. Решение. Пусть x км/ч – собственная скорость теплохода,
где х > 0, тогда скорость теплохода по течению равна 16 + х
км/ч, скорость теплохода против течения равна 16 – х
км/ч. Зная, что теплоход был в пути 39 – 7 = 32 часа,
имеем:
Ответ: 3.
    32256321616247 2
:xxx 
92
х





3
3
х
x
– не удовл-ет условию х > 0
  xx
xx




161632
16
247
16
247
3x
2
256247 x

12. №40125. Пристани A и B расположены на озере, расстояние между
ними равно 390 км. Баржа отправилась с постоянной скоростью из
A в B. На следующий день после прибытия она отправилась обратно
со скоростью на 3 км/ч больше прежней, сделав по пути остановку
на 9 часов. В результате она затратила на обратный путь
столько же времени, сколько на путь из A в B. Найдите скорость
баржи на пути из A в B. Ответ дайте в км/ч.
v s
390
390х
s = v · t
+ 9чх + 3
= + 9
390
х
390
х + 3
390
х
390
х + 3
t = v
s

13. Решение. Пусть x км/ч – на пути из A в B, где х > 0, тогда
скорость баржи на обратном пути (из В в А) равна х + 3
км/ч. Зная, что она затратила на обратный путь столько
же времени, сколько на путь из A в B, имеем:
Ответ: 10.
    9393390 : xхxx
013032
 хх





13
10
х
x
– не удовл-ет условию х > 0
 39
3
390390


 xх
xx
10x
хx 3130 2


14. №112457. Из двух городов, расстояние между которыми равно 320
км, навстречу друг другу одновременно выехали два автомобиля.
Через сколько часов автомобили встретятся, если их скорости
равны 75 км/ч и 85 км/ч?
Решение. Пусть t ч – время движения автомобилей до
встречи. Первый автомобиль пройдет расстояние 75t км, а
второй – 85t км. Зная, что расстояние, пройденное
автомобилями равно 320 км, имеем:
75 t + 85 t = 320
160 t = 320
t = 2
Ответ: 2.
320
75 км/ч 85 км/ч

15. №112517. Из городов A и B, расстояние между которыми равно 300
км, навстречу друг другу одновременно выехали два автомобиля и
встретились через 2 часа на расстоянии 180 км от города B.
Найдите скорость автомобиля, выехавшего из города A. Ответ
дайте в км/ч.
Решение. Пусть х км/ч – скорость движения автомобиля,
выехавшего из города А. Расстояние, которое он проехал до
встречи равно 300 – 180 = 120 км. Зная, что время движения
автомобилей до встречи равно 2 ч, имеем:
2 х = 120
х = 60
Ответ: 60.
300
А В
180

16. №113079. Расстояние между городами A и B равно 450 км. Из
города A в город B выехал первый автомобиль, а через час после
этого навстречу ему из города B выехал со скоростью 70 км/ч
второй автомобиль. Найдите скорость первого автомобиля, если
автомобили встретились на расстоянии 240 км от города A.
Ответ дайте в км/ч.
Решение. Пусть х км/ч – скорость движения автомобиля,
выехавшего из города А. Расстояние, которое проехал до
встречи второй автомобиль равно 450 – 240 = 210 км.
Значит, время его движения равно 210 : 70 = 3 ч. Т.е. первый
автомобиль был в пути на 1 час дольше – 4 ч, и проехал
расстояние в 240 км, имеем:
450
А В
240
70 км/ч
4 х = 240
х = 60
Ответ: 60.

17. №113079. Из городов A и B навстречу друг другу выехали
мотоциклист и велосипедист. Мотоциклист приехал в B на 3 часа
раньше, чем велосипедист приехал в A, а встретились они через 48
минут после выезда. Сколько часов затратил на путь из B в A
велосипедист?
S
А В
48 мин
v t s
y s
sх
s = v · t
– 3 ч
s
х
s
y

18. Решение. Пусть S км – расстояние между городами А и В.
скорость мотоциклиста примем за х км/ч, а скорость
велосипедиста за у км/ч. Мотоциклист затратил на весь
путь на 3 часа меньше, чем велосипедист:
3
x
S
y
S
  3

xy
yxS
yx
xy
S


3
Они встретились через 48 мин = 0,8 часа после выезда:
 yx,S  80
Таким образом,    yxух,
yx
xy


580
3
  222
415 хухxy :
2
4415 











х
у
х
у

19. Введем новую переменную:
    уу,уу,yx,S 458048080 Таким образом,
04154 2
 zz
0 z,z
х
у






4
1
4
z
z – не удовл-ет условию z > 0
4
1
z
Вернемся к исходной переменной: ух,
х
у
4
4
1

Откуда время движения велосипедиста равно 4 часам.
Ответ: 4.

20. №113153. Товарный поезд каждую минуту проезжает на 300
метров меньше, чем скорый, и на путь в 420 км тратит времени
на 3 часа больше, чем скорый. Найдите скорость товарного поезда.
Ответ дайте в км/ч.
420
А В
Решение. Скорость товарного поезда меньше, чем скорого
на 300 м/мин или на
ч/км
ч
км,
18
60
1
30

Пусть х км/ч – скорость товарного поезда, тогда скорость
скорого поезда х + 18 км/ч. На путь в 420 км товарный поезд
тратит времени на 3 часа больше, чем скорый, отсюда
имеем:

21. Таким образом,
v t s
х + 18
х
s = v · t
– 3 ч
420
420
420
х
420
х + 18
    318318420 : xхxx
 183
18
420420


 xх
xx
хx 1818140 2

02520182
 хx
Ответ: 42.





60
42
х
x
– не удовл-ет условию х > 0
42x

22. №113367. Расстояние между городами A и B равно 390 км. Из
города A в город B выехал автомобиль, а через 30 минут следом за
ним со скоростью 70 км/ч выехал мотоциклист, догнал автомобиль
в городе C и повернул обратно. Когда он вернулся в A, автомобиль
прибыл в B. Найдите расстояние от A до C. Ответ дайте в
километрах.
Решение. Обозначим расстояние от А до С за S км, скорость
автомобиля – за x км/ч. Тогда время движения на этом
участке можно выразить уравнением:
390
А В
70 км/ч
30 мин
C
2
1
70

S
x
S
для автомобиля для мотоциклиста
S

23. х
S 390
2
1
70
2
для мотоциклиста для автомобиля
А время движения автомобиля на всем участке от А до В:








;
х
S
,
S
x
S
390
2
1
70
2
2
1
70











;
х
S
,
S
x
S
390
70
352
70
35
 












;
S
SS
,
S
S
х
70
35390
70
352
35
70
35390390352 2
 SSS
0136503552 2
 SS
Ответ: 210.





532
210
,S
S
– не удовл-ет условию S > 0
210S
  S
S
SS
70
70
35390
70
352





24. №113439. Два пешехода отправляются одновременно в одном
направлении из одного и того же места на прогулку по аллее парка.
Скорость первого на 0,5 км/ч больше скорости второго. Через
сколько минут расстояние между пешеходами станет равным 400
метрам?
v t s
1
2
х
(x + 0,5) · t
x · tt
х + 0,5
s = v·t
  4050 ,xtt,x 
80,t 
0,8ч = 0,8 · 60 = 48 минут
Ответ: 48.
t
– 0,4км
4050 ,xtt,xt 
4050 ,t, 
Решение.

25. №113587. Два мотоциклиста стартуют одновременно в одном
направлении из двух диаметрально противоположных точек
круговой трассы, длина которой равна 16 км. Через сколько минут
мотоциклисты поравняются в первый раз, если скорость одного из
них на 10 км/ч больше скорости другого?

26. Решение. Пусть х км/ч – скорость первого мотоциклиста,
тогда скорость второго – х + 10 км/ч. Пусть через t часов
мотоциклисты поравняются в первый раз. Тогда
расстояние, пройденное первым мотоциклистом:
  165010  ,txxt
Ответ: 48.
810 t
810  txtxt
80,t 
0,8ч = 0,8 · 60 = 48 минут
S для 2 мотоциклиста

27. №114151. Из одной точки круговой трассы, длина которой равна 6
км, одновременно в одном направлении стартовали два
автомобиля. Скорость первого автомобиля равна 114 км/ч, и через
40 минут после старта он опережал второй автомобиль на один
круг. Найдите скорость второго автомобиля. Ответ дайте в км/ч.

28. Решение.
1 способ:
Пусть х км/ч – скорость второго автомобиля. За 2/3 часа
первый автомобиль прошел на 6 км больше, чем второй,
отсюда имеем:
2
3
6
3
2
3
2
114  х
Ответ: 105.
2
3
6114 x
105х
2 способ:
За 40 минут первый автомобиль обогнал второй на 6 км,
значит за 60 минут обгонит на 9 км, т.е. скорость второго
на 9 км/ч меньше скорости первого, значит,
х = 114 – 9 = 105 км/ч
S для 2 автомобиля

29. №114651. Из пункта A круговой трассы выехал велосипедист.
Через 40 минут он еще не вернулся в пункт А и из пункта А следом
за ним отправился мотоциклист. Через 16 минут после
отправления он догнал велосипедиста в первый раз, а еще через 42
минуты после этого догнал его во второй раз. Найдите скорость
мотоциклиста, если длина трассы равна 35 км. Ответ дайте в
км/ч.

30. Решение.
Пусть х км/ч – скорость велосипедиста, у км/ч – скорость
мотоциклиста. Тогда до первой встречи велосипедист
проехал 40 + 16 = 56 мин = 14/15 ч, расстояние – 14/15·х км;
мотоциклист проехал 16 мин = 4/15 ч, расстояние – 4/15·у
км. Поскольку они проехали одно и тоже расстояние,
получим:
14/15·х = 4/15·у
До второй встречи велосипедист проехал 56 + 42 = 98 мин =
= 49/30 ч, расстояние – 49/30·х км; мотоциклист проехал
16 + 42 = 58 мин = 29/30 ч, расстояние – 29/30·у км, что на
один круг больше, чем у велосипедиста, т.е.:
29/30у – 49/30х = 35
Ответ: 70.








3035
30
49
30
29
2
15
15
4
15
14
;xy
,yx







;xy
,yx
10504929
727
105015 у
70у

31. №115027. Расстояние между пристанями A и B равно 105 км. Из A
в B по течению реки отправился плот, а через 1 час вслед за ним
отправилась яхта, которая, прибыв в пункт B, тотчас повернула
обратно и возвратилась в A. К этому времени плот прошел 40 км.
Найдите скорость яхты в неподвижной воде, если скорость течения
реки равна 4 км/ч. Ответ дайте в км/ч.
105
А В40
1 час

32. Решение.
Скорость плота равна скорости течения реки 4 км/ч.
Пусть х км/ч – собственная скорость яхты, тогда скорость
яхты по течению равна х + 4 км/ч, а скорость яхты против
течения равна х – 4 км/ч. Время, которое затратил плот
на путь в 40 км равно 40 : 4 = 10 часов. Яхта, проделав
путь из А в В и обратно, затратила на 1 час меньше,
значит 9 часов.
Имеем:   
3
44
9
4
105
4
105 




xx
xx
   1634435 2
 ххx
048703 2
 хх
Ответ: 24.






3
2
24
х
x
– не удовл-ет условию х > 0
24x

33. №115195. Половину времени, затраченного на дорогу, автомобиль
ехал со скоростью 67 км/ч, а вторую половину времени – со
скоростью 85 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на
протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.
Решение.
Пусть t ч – время, затраченное на весь путь; 0,5·t·67 км –
первая часть пути, 0,5·t·85 км – вторая часть пути. Тогда
среднюю скорость находим по формуле:
t
s
v .ср 
t
t,t,
v .ср
85506750 

 
t
t,
v .ср
856750 

76.срv
Ответ: 76.

34. №115255. Путешественник переплыл море на яхте со средней
скоростью 17 км/ч. Обратно он летел на спортивном самолете со
скоростью 561 км/ч. Найдите среднюю скорость путешественника
на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.
s = v · t v t s
561 s
s17
s
17
s
561
S

35. Решение.
Чтобы найти среднюю скорость на протяжении пути, нужно
весь путь разделить на все время движения. Пусть S км –
весь путь путешественника, тогда средняя скорость равна:
t
s
v .ср 
33
34
2561
561
34
2
561
33
2
56117
2







S
S
SS
S
SS
S
v .ср
33.срv
Ответ: 33.

36. №115351. Первую треть трассы автомобиль ехал со скоростью 45
км/ч, вторую треть – со скоростью 70 км/ч, а последнюю – со
скоростью 90 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на
протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.
S S S
45 км/ч 70 км/ч 90 км/ч
Решение.
Чтобы найти среднюю скорость на протяжении пути, нужно
весь путь разделить на все время движения. Пусть 3S км –
весь путь автомобиля, тогда средняя скорость равна:
63
30
3630
630
30
3
630
7914
3
907045
3







S
S
SSS
S
SSS
S
v .ср
63.срv
Ответ: 63.

37. №115851. Первые два часа автомобиль ехал со скоростью 120
км/ч, следующий час – со скоростью 100 км/ч, а затем два часа – со
скоростью 95 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на
протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.
Решение.
Чтобы найти среднюю скорость на протяжении пути, нужно
весь путь разделить на все время движения.
Путь, пройденный автомобилем равен:
S = 2 · 120 + 1 · 100 + 2 · 95 = 530 км.
Затраченное на весь путь время:
t = 2 + 1 + 2 = 5 ч,
тогда средняя скорость равна:
v = 530 : 5 = 106 км/ч
Ответ: 106.

38. №116351. Первые 180 км автомобиль ехал со скоростью 60 км/ч,
следующие 200 км – со скоростью 80 км/ч, а затем 180 км – со
скоростью 120 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на
протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.
Решение.
Чтобы найти среднюю скорость на протяжении пути, нужно
весь путь разделить на все время движения.
Путь, пройденный автомобилем равен:
S = 180 + 200 + 180 = 560 км.
Затраченное на весь путь время:
t = 180 : 60 + 200 : 80 + 180 : 120 = 3 + 2,5 + 1,5 = 7 ч,
тогда средняя скорость равна:
v = 560 : 7 = 80 км/ч
Ответ: 80.

39. №116385. Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 80 км/ч,
проезжает мимо придорожного столба за 45 секунд. Найдите длину
поезда в метрах.
Решение. Скорость поезда равна:
с/мс/м
с
м
ч/кмv
9
200
36
800
3600
100080
80 


За 45 секунд поезд проходит мимо придорожного столба
расстояние равное своей длине:
мs 100045
9
200

Ответ: 1000.

40. №116737. Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 60 км/ч,
проезжает мимо лесополосы, длина которой равна 300 метров, за
33 секунды. Найдите длину поезда в метрах.
300

41. Решение.
Скорость поезда равна:
с/мс/м
с
м
ч/кмv
3
50
36
600
3600
100060
60 


За 33 секунды поезд проходит мимо лесополосы, то есть
проходит расстояние, равное сумме длин лесополосы и
самого поезда, и это расстояние равно :
мs 55033
3
50

Ответ: 250.
Поэтому длина поезда равна 550 – 300 = 250 метров.

42. №117737. По двум параллельным железнодорожным путям в
одном направлении следуют пассажирский и товарный поезда,
скорости которых равны соответственно 70 км/ч и 50 км/ч. Длина
товарного поезда равна 900 метрам. Найдите длину пассажирского
поезда, если время, за которое он прошел мимо товарного поезда,
равно 3 минутам 9 секундам. Ответ дайте в метрах.

43. Решение.
Скорость опережения товарного поезда пассажирским равна:
с/м
с
м
ч/кмv
9
50
3600
100020
205070 


За 3 мин 9 секунд или 189 секунд один поезд проходит мимо
другого, то есть преодолевает расстояние равное сумме их
длин
мs 1050189
9
50

Ответ: 150.
Поэтому длина пассажирского поезда равна
1050 – 900 = 150 метров.

44. №118237. По двум параллельным железнодорожным путям друг
навстречу другу следуют скорый и пассажирский поезда, скорости
которых равны соответственно 85 км/ч и 50 км/ч. Длина
пассажирского поезда равна 300 метрам. Найдите длину скорого
поезда, если время, за которое он прошел мимо пассажирского
поезда, равно 28 секундам. Ответ дайте в метрах.

45. Решение.
Скорость сближения поездов равна:
с/м
с
м
ч/кмv
2
75
3600
1000135
1355085 


За 28 секунд один поезд проходит мимо другого, то есть
каждый из поездов преодолевает расстояние равное сумме
их длин
мs 105028
2
75

Ответ: 750.
Поэтому длина скорого поезда равна
1050 – 300 = 750 метров.

46. Использованы рисунки:
• Коллекция картинок из галереи SMART Notebook 11
• http://www.art-saloon.ru/ru/set.aspx?SetID=116 – транспорт
• http://www.art-saloon.ru/ru/comment.aspx?ItemID=5746 – гоночный
автомобиль
• http://www.fantasianew.ru/category/piraty-i-korsary-papo/ – плот
Использованы материалы:
• http://mathege.ru/or/ege/Main.html
• http://reshuege.ru/