Campo ele

Luis Felipe Millán B.U. AUTONOMA DE COLOMBIA
UNIVERSIDAD AUTONOMA DE COLOMBIA
FACULTAD DE INGENIERIA
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS NATURALES Y
EXACTAS
SECCION DE FISICA
ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO
LUIS FELIPE MILLAN BUITRAGO

Campo eléctrico y Ley de Gauss

2.1 Introducción
2.2 Objetivo general
2.3 Objetivos especifico
2.4 Campo gravitacional
2.5 Líneas del campo
gravitacional 2.6 Campo eléctrico
2.7
Superposición de campos
2.8 Dipolo eléctrico
2.9 Líneas de campo eléctrico
Unidad II

2.10 Movimiento de partículas cargadas en un campo
eléctrico uniforme
2.11 Distribución continua de masa
2.12 Distribución continua de carga
2.13 Flujo eléctrico
2.14 Ley Gauss
2.15 Auto-evaluación
2.16 Solucionarlo

Después introduciremos la ley de Gauss y las ventajas
que proporciona su empleo. Esta ley facilita en muchos
casos el calculo de campos eléctricos, las situaciones que
pueden analizarse directamente utilizando la ley de Gauss
es pequeña pero que pueden realizarse con extraordinaria
facilidad, en particular, simplifica mucho el calculo de los
campos eléctricos cuando hay simetría en la distribución
de carga.
Es justo decir que si la ley de Coulomb constituye el
“caballo de batalla” de la electrostática, la ley de Gauss
proporciona “perspicacia”.
De igual modo que el sol influye sobre los planetas no
obstante de estar a millones de kilómetros, una carga
puede ejercer una fuerza sobre otra, aun cuando estén
separadas por una gran distancia.
En este capitulo presentaremos y desarrollaremos el
concepto del campo eléctrico para una distribución
continúa o discreta de cargas en reposo, aprenderemos
algunos modos en que nos puede ser útil evaluar el
campo eléctrico, así como la utilización de las líneas de
campo para su representación..
2.1 Introducción

2.2 Objetivo generalProporcionar al estudiante los elementos fundamentales
que estructuran y parametrizan conceptualmente la
intensidad del campo eléctrico y la determinación de
dicho campo generado por una distribución continua o
discreta de cargas, así como, la aplicación de la ley de
Gauss para relacionar el flujo eléctrico con la carga neta
de un conjunto de cargas puntuales.

2.3 Objetivos específicosProporcionar al alumno los principios teóricos que
relacionan el concepto de campo eléctrico con el de
líneas de fuerza para sistemas de carga sencillos y así
poder obtener información respecto a la dirección e
intensidad del mismo a partir del diagrama trazado.
Proyectar la aplicación temática al estudio del
movimiento de cargas en campos eléctricos como en el
caso de los tubos de rayos catódicos.

La masa tiene una propiedad muy importante y es
modificar el espacio que la rodea formando un campo, el
campo gravitacional. Consideremos que la masa que
engendra el campo es (M), si colocamos un cuerpo de
prueba de masa (m) dentro de ese campo a una distancia r
de sus centros se genera una fuerza de carácter
gravitacional.
r
2.4 Campo gravitacional
FM
= − G M
m / r2 r^
FMm
= − G M
m / r2 r^

r
La fuerza gravitacional en la unidad de masa (m) nos da
el valor de la intensidad del campo gravitacional a esa
distancia r de su centro.
g = − Fg/m (N/Kg) = − G M
/ r2 r^

Ejemplo 2.1Calcule la intensidad del campo gravitacional en la superficie
de la tierra, si el radio medio de la tierra r es 6.37*106
m, la
masa de la tierra M es 5.98*1024
Kg. y G (constante de
Cavendish) 6.67*10-11
N*m2
/Kg2
.
g = -G M / r2
r = -9.8 m/s2
r^^

El campo gravitacional es radial, dirigido hacia el
centro, en todas direcciones e intenso cerca de la
superficie, ya que la líneas de campo están mas cerca.
2.5 Líneas del campo gravitacional

La materia en su estado natural es eléctricamente neutra,
si se desequilibra la carga, la materia obtiene defecto o
exceso de electrones. Esa carga neta diferente de cero
modifica el espacio que la rodea engendrando un campo
de carácter eléctrico E. Si la carga puntual u objeto
cargado que genera el campo es Q positiva y la carga que
colocamos dentro del campo es Q a una distancia r de sus
centros,entonces, se produce una fuerza de carácter
eléctrico.
2.6 Campo eléctrico
+ +r
Q Q
FQQ
FQQ = KQQ / r2
r^

EQ
+r
Q
La fuerza eléctrica en la unidad de carga Q nos da el
valor de la intensidad del campo eléctrico generado por
la carga puntual Q u objeto cargado a una distancia r de
su centro.
EQ = FQQ / Q (N/C) = KQ/r2
r^

FQQ
Se tiene una carga puntual Q positiva que engendra un
campo eléctrico E, se coloca otra carga puntual Q
positiva u objeto cargado dentro de ese campo a una
distancia r de sus centros y así evaluaremos la fuerza
electrostática.
+ +r
Q Q
FQQ = KQQ / r2
r^

EQ
+ r
Q
La fuerza eléctrica en la unidad de carga Q nos da el
valor de la intensidad del campo eléctrico generado por
la carga puntual Q u objeto cargado a una distancia r de
su centro.
EQ = FQQ / Q (N/C) = KQ/r2
r^

Campo eléctrico de atracción generado por una carga
puntual u objeto cargado Q negativa a una distancia r.
r
r
+
E+
Campo eléctrico de repulsión generado por una carga
puntual u objeto cargado Q positiva a una distancia r.
- E-
Er = K Q / r2
r (N/C)^
Er = K Q / r2
r (N/C)^
actúa en dirección radial
actúa en dirección radial

El átomo de hidrogeno en su configuración normal, no
excitada, tiene un electrón que gira alrededor de un
protón a un distancia r = 5.3*10-11
m. ¿Cual es el campo
eléctrico debido al protón en la posición del electrón?
Ejemplo 2.2
K = 9*109
(N m/C2
) Q = +1.6*10-19
C
r = 5.3*10-11
m
Er = K Q / r2
r^
Er = 5.13*1011
r N/C^

Ejemplo 2.6.1Una carga Q de +5 µC se encuentra en el origen de
coordenadas. Encuentre la magnitud del vector campo
eléctrico en el punto (1, √3) mArtan θ = (√3/1) = 60o
El vector campo eléctrico es:
El ángulo que forma el vector posicion con la
horizontal es:
El vector posición es:
X
Y
r = (12
+√32
)1/2
= 2 m
r
E
+
θ
θ
ΣEx
ΣEy
ΣEx
ΣEy
E = E cosθ + E senθî ^j
E = E (cosθ + senθ )î ^j
E = (KQ/r2
)(√3/2 + 1/2 )î ^j
E = 11.25*103
(√3/2 + 1/2 )N/Cî ^j
La magnitud del vector campo eléctrico es:E = 15.37*103
N/C
(1, √3)
m
r = rx + ry
î ^j La magnitud del vector r es:
El campo eléctrico es de repulsion.
Por tanto esta dirigido hacia fuera.
Las componentes rectangulares del
vector campo eléctrico son:
E = Ex + Ey
î ^j

Ejemplo 2.6.2Una carga Q = +5 µC se encuentra en el origen,
Encuentre la magnitud del vector campo eléctrico en
el punto (5, √3, 5) m
X
Z
Y
r
r = (52
+ √3 + 52
)1/2
= 53 mLa distancia de la carga al punto es: (5, √3, 5)
m
¿POR QUE?
E
rx
ry
rz
Ey
El campo electrico
es de repulsion y
las componenetes
del vector campo
eléctrico son:
E = Ex i + Ey j + Ez k^ ^ Êl vector campo eléctrico
+
E = E Cosα i + E Cosβ j + E Cosγ k^ ^ ^
¿Que significado tiene la ecuacion?
E = E (Cosα i + Cosβ j + Cosγ k )^ ^ ^
E = E u^
α = Arcos(5/√53) = 46.62o
β = Arcos(√3/√53) = 76.24o
γ = Arcos(5/√53) = 46.62o E = KQ/r2
= 849.06 N/C
La direccion del
vector campo
eléctrico es: La magnitud del vector
campo eléctrico es:
^ ^ Ê = 849.06(5/√53 i + √3/√53 j + 5/√53 k) N/CEl vector campo eléctrico es:
^ ^ Ê = 583.14 i + 202 j + 583.14 k) N/C
Ex
Ez

Ya que el principio de superposición lineal es valido para
la ley de Coulomb, también es valido para el campo
eléctrico. Para calcular la intensidad del campo eléctrico
en un punto producido por una serie de n cargas.
puntuales la resultante es la suma vectorial de cada uno
de los campos individuales.
2.7 Superposición de campos eléctricos
ET = E1 + E2 +...+ Ei +..... + En
^ET = K(q1/r12
r1 + q2/r22
r2 +......+qi ri2
ri+.......+ qn/rn2
rn)^ ^^
ET = K ∑ qi / ri2
r^

En la figura dibujar el campo eléctrico resultante en el
punto(*) debido a una carga Q1 positiva y dos cargas
negativas Q2 y Q3.
E1
+ E2
+ E3
Ejemplo 2.3 E1
E2
E3
E1 + E2
+
*
-
-
Q1
Q2
Q3

Se tiene una carga Q1 positiva en el punto (x1,y1) y una
carga Q2 negativa en el punto (-x2,y2). a) ¿Cual es la
magnitud y la dirección del campo en el punto (x,y)? b)
Si Q1 = +2 µC y esta en (2,1) m, Q2 = -4 µC y esta en (-
1,3) m. ¿Cual es la magnitud y la dirección del campo en
el punto (5,5) m?
r1 ={(x1 − x)2
+(y1 − y)2
}½
= √25 m = 5 m
Ejemplo.2.4
r2 ={(x2 − x)2
+(y2 − y)2
}½
= 2√10 mr2
r1Q2 (-1,3)
-
Q1 (2,1)
+
y
x

Trazamos un marco de referencia x,y en el
punto donde se va a evaluar el campo
eléctrico.
Dibujamos las componentes del campo
eléctrico en el eje x y en el eje y.
x
y
Dibujamos la dirección de los campos.
E1x
E2y
α
θE2x
E1y
Q1 (2,1)
+
Q2 (-1,3)
-

Cosθ = (x−x1) / r1 = (5−2) / 5 = 3 /
5 Senθ = (y−y1 ) / r1 = (5−1) / 5 =
4 / 5
Cosα=(x−(−x2)) / r2 = (5−(−1)) / √40 = 6 / 2√10 = 3 / √10
Senα=(y−y2 ) / r2 = (5−3) / √40 = 2 / 2√10 = 1 / √10
r1
r2
α
θ
y
x
Q2 (-1,3)
-
Q1 (2,1)
+

E1y
E1xE2x
E2y
θ
α
Q1 (2,1)
+
Q2 (-1,3)
-

E1y
E2x
E2y
Ahora sumamos campos en sus respectivas
componentes.
α
E1x
θ
∑Ex = (E1x − E2x) = (E1 Cosθ − E2
Cosα)
∑Ey =
(E1y − E2y) = (E1 Senθ − E2 Senα)
^j
^i^i
^j

E = √(∑Εx2
+ ∑Εy2
) E
= ((-421.8)2
+ 291.42
)½
= 512.67 N/C
∑Ex = K(Q1 Cosθ / r12
− Q2
Cosα / r22
) i ∑Ey = K(Q1 Senθ / r12
− Q2
Senα / r22
) j
^
^
∑Ex = 9*109
(2*10-6
* (3/5)/25 – 4*10-6
*
(3/√10)/40) ∑Ex = -421.8 N/C
∑Ey = 9*109
(2*10-6
* (4/5)/25 –
4*10-6
* (1/√10)/40) ∑Ey = 291.4 N/C
E =(-421.8 i + 291.4 j)^ ^
La magnitud del campo es:
Dirección del campoλ = Artan (∑Εy / ∑Εx) = -34.64° = 145.36°

Un dipolo consta de dos cargas de igual magnitud pero
de signos contrarios separadas una distancia d = 2a. Si
las cargas son +5 µC y -5 µC respectivamente, la
separación entre la cargas es de 20 cm y el punto de la
bisectriz es de 50 cm. Encontrar el campo eléctrico en el
punto sobre la bisectriz.
r = √(y2
+a2
) = 0.51 cm
Cosα = a/r = a/(y2
+a2
)
Senα = y/r
2.8 Dipolo eléctricoDescomponemos los vectores
campo eléctricos en sus
componentes x,y
Trazamos el marco referencia X,Y en el punto donde
vamos a evaluar el campo.
∑ Ey = ((E+y)-(E−y)) = 0^j Dibujamos la dirección de
los campos
∑ Ex = ((E−x)+(E+x))^i
r
r
Y
y
X
E+
E-
αα
α
α
Ε-y
E−x + E+y
2a
+ −

∑Ex = K (Q Cosα / r2
+ Q Cosα / r2
) i
∑Ex = 2 (K Q Cosα / r2
) i^
^
∑Ex = 2(K Q a / (y2
+ a2
)3/2
) i^
E = K(Q2a) / ((y2
+ a2
)3/2
) i^
P = Q2a = momento dipolar eléctrico
Ex = 67886.35 i N/C^

Se tienen tres cargas de igual magnitud q que forman un
triángulo equilátero de lado 2L. Si q1 es positiva y esta en
el punto (0,0), q2 es positiva y se encuentra en (2L , 0) m
y q3 es negativa y esta en (L , L√3) m. Encuentre a) La
magnitud y la dirección del campo eléctrico en el centro
del triángulo. b) Si q = 2µC y L = 50 cm Cual es la
del triángulo.
r1 = r2 = r3 = r
Cosφ = L / r
r = L /
(Cosφ) r = L /
(√3/2) r
= 2 L / √3
φ φ
φ
r1
r3
r2
Ejemplo.2.5
E1E2
E3
+q1 + q2
- q3
2L

Y
E1E2
E3
Xφ φ
E2x E1x
E1yE2y
ΣΕx = (E1x - E2x) = 0^i
+q1 + q2
- q3
ΣΕy = (E1y + E2x +E3) ^j
r1 = r2 = r3 = r
Cosφ = L / r
r = L /
(Cosφ) r = L /
(√3/2) r
= 2 L / √3

^ΣEy = (3/4)(Kq/L2
) (1/2 + 1/2 +1) j = (3/2)(Kq/L2
) j^Σ Ey = K (q/r2
Senα + q/ r2
Senα + q/r2
)^j^Ey = (3/2)Kq/L2
j = 1.08*105
j N/C^
Σ Ex = K (q1 /r2
Cosα − q2 /r2
Cosα) = 0^i
E1E2
E3
α α
E1yE2y
+ q2
- q3
X
Y
E2x E1x
λ = ArTan (ΣEy / ΣEx) = Artan (ΣEy / 0) = π / 2
r = 2L / √3
+q1

E1 = E2r √q1 − r1 √q1 = r1 √q2r2 = r − r1 = 0.33 mr = r1 + r2r √q1 = r1 √q2 + r1√q1r1 = r √q1 / (√q2 + √q1) = 0.67 m√q1 / r1 = √q2 / (r − r1)^E1 = 81.0 i N/C E2 = -81.00 i N/C^q1 / r12
= q2 / r22
q1 / r12
= q2 / (r − r1)2
Kq1 / r12
= Kq2 / r22
Se tienen dos cargas positivas de 4*10-9
C y 1*10-9
C,
separadas una distancia r de 1 m. ¿En que punto diferente
del infinito a lo largo de la recta que une sus centros el
campo neto es cero? ¿Cual es la magnitud y la dirección
del campo?
Ejemplo.2.6
r1 r
+
q1
+
q2
E2
r2
E1
Si q1 > q2
r1 r2
r

q1 / r12
= q2 / r22
r √q1 + r1 √q1 = r1 √q2q1 / r12
= q2 / (r + r1)2
r1 = r √q1 / (√q2 − √q1) = 0.5 m√q1 / r1 = √q2 / (r + r1)E1 = E2r √q1 = r1 √q2 − r1 √q1^E1 = -36. i N/C E2 = 36 i N/C^r2 = r1 + r = 1.5 mKq1 / r12
= Kq2 / r22
Se tiene una carga positiva de 1*10-9
C y otra negativa de
–9*10-9
C separadas una distancia de 1 m. ¿En que
punto a lo largo de la recta que une sus centros diferente
del infinito el campo neto es cero? ¿Cual es la magnitud y
la dirección del campo?
Ejemplo.2.7
r2r1 r+
q1
-
q2
E1 E2
r2
r1 r
Si q1 < q2

Ejemplo.2.8Se coloca dentro de un campo eléctrico E una esfera de
carga q y masa m, suspendida de una cuerda de longitud
l y masa despreciable, cuando esta en equilibrio forma un
ángulo θ con la vertical. a) ¿Cual es la carga de la
partícula? ¿Cual es la tensión en la cuerda? b) Si la masa
de la esfera es de 1gr, el ángulo es 30° con la vertical
cuando esta en equilibrio y el campo es:
E = (-10 +20 )*104
N/C^j^i

Y
m,q
l
θ
X
Fy
Tx
Ty
Fx
F
E = −Ex + Ey ^j^i
m,q
l
θ
T
W

q = mg Tanθ / (Ey Tanθ + Ex ) = 26.26 nC = 26.26*10-9
Cmg Tanθ = q (Ey Tanθ + Ex )W Tanθ – Ey q Tanθ = Ex qW Tanθ = Ey q Tanθ + Ex qDividimos 1 en 2 ⇒ Tanθ = Ex q / (W − Ey q)
1) T Senθ = Ex q
2) T Cosθ = W − Ey q
T = Ex q / Senθ = 5.252 N
∑Fy = (T Cosθ + Fy − W ) = (T Cosθ + Ey q − W) = 0^j^j
∑ Fx = (T Senθ − Fx) i = (T Senθ − Ex q) i = 0^ ^

Miguel Faraday, en 1840 introdujo el uso de las líneas de
campo, creía que eran reales y las dotó de propiedades
elásticas, casi se pueden “sentir” las líneas, jalando las
cargas para que se junten o empujándolas para que se
aparten. Aun cuando desde el punto de vista moderno las
líneas de campo no son reales, ayudan a visualizar el
campo que si es real.
La intensidad del campo es proporcional a la densidad de
las líneas, esto es, el campo es proporcional al numero de
líneas que pasan a través de un área normal a la dirección
del campo N = E • A
Las líneas de campo también proporcionan información
sobre la intensidad del campo. Las líneas de campo están
mas juntas donde el campo es intenso y mas separadas
donde es débil.
2.9 Líneas de campo eléctrico

4) La intensidad del campo es proporcional a la densidad
de líneas de campo, es decir, al numero de líneas por
unidad de área. N = E • A
Propiedades de las líneas del campo electrostático2) El numero de líneas que se originan o terminan en una
carga es proporcional a la carga. N ∝ Q
3) La dirección del campo en un punto es la dirección de
la tangente a la línea de campo.
1) Las líneas de campo electroestático siempre parten de
las cargas positivas y terminan en las cargas negativas.
5) Las líneas de campo nunca se cruzan.

+
Las líneas de campo son radiales salen de la carga en
todas direcciones.
Líneas de campo de una carga positiva.

-
Las líneas de campo llegan a la carga de todas
direcciones.
Líneas de campo de una carga negativa.

+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
Líneas de campo en unas placas planas y paralelasSe puede considerar uniforme el campo dentro de las
placas, ya que la líneas de campo son paralelas.

Las líneas de campo salen de la carga positiva hacia la
negativa o hacia el infinito
E+
E-
E
-+
El campo eléctrico es tangente a la línea de campo.

++
Líneas de campo de dos cargas positiva

Se lanza un electrón con una velocidad inicial en la
dirección del eje equidistante de las placas. ¿En que
punto de las placas sale el electrón?
Entre dos placas planas y paralelas con cargas iguales y
de signos opuestos existe un campo eléctrico E uniforme
dirigido verticalmente hacia abajo, separadas una
distancia y y de longitud x.
2.10 Movimiento de partículas cargadas en un campo
eléctrico uniforme
VO
- - - - - - - - - -
x
y
+ + + + + + + + + +

El movimiento en el eje X es uniforme, ya que no hay
componente horizontal del campo. La distancia que
recorre el electrón a lo largo del eje X.
Para este tiempo la distancia vertical que recorre el
electrón, con movimiento uniforme acelerado.y(t) = voy t + ½(E-)(-q)/m t2
y(t) = ½(Eq/m)(x/vo)2
Como F = m a. y F = E q ⇒
La velocidad horizontal es constante vo = vXLa velocidad del electrón al salir de las placasv = vox + vy^j^i
a = E (q / m)
La velocidad vertical al salir de las placas es
x = vo t ⇒ t = x / vo
La posición del electrón al salir de las placasr = x i + y j^^
vy = voy +{(E-)(q-)/m}tvy = (Eq /m) t
La dirección al salir de las placasΦ = Artan (vy / vx)

Entre dos placas planas y paralelas con cargas iguales y de
signos opuestos existe un campo eléctrico E uniforme de
1600 N/C dirigido verticalmente hacia abajo, separadas
una distancia de 2 cm y de longitud de 4 cm.
Se lanza un electrón con una velocidad inicial
v0 = 6*106
m/s en la dirección del eje equidistante
de las placas. ¿En que punto de la pantalla incide
el electrón?
a una distancia L de 6 cm de las placas se encuentra una
pantalla s
Ejemplo 2.9
vO
- - - - - - - - - -
x
y
+ + + + + + + + + +
L
S

Para este tiempo la distancia vertical que recorre el
electrón, con movimiento uniforme acelerado.
y(t) = ½(Eq/m)(x/vo )2
= 0.90 cm
La posición del electrón al salir de las placasEl tiempo para la distancia horizontal recorrida es:
x = vo t ⇒ t = x / vo = 8 ns =
8*10-9
s
- - - - - - - - - -
x
y
+ + + + + + + + + +
r = (4 i + 0.9 j ) cm^ ^

La velocidad vertical al salir de las placas es
vy = (Eq /m) t = 2.25*106
m/s
La velocidad horizontal es constanteLa velocidad del electrón al salir de las placas es:El electrón pega en la pantalla S
h = L * tan Φ = 2.7 cm
La dirección al salir de las placas
Φ = Artan (vy / vx) = 24.23°v = (5 i + 2.25 j )*106
m/s^ ^
h
L
- - - - - - - - - -
x
y
+ + + + + + + + + +
Φ
L
S
vox
voy

de signos opuestos separadas una distancia X de 4 cm
existe un campo eléctrico E uniforme de 4*104
N/C
dirigido a lo largo del eje X.
De la placa negativa parte del reposo un electrón (me =
9.1*10-31
Kg., q = –1.6*10-19
C) y simultáneamente de la
placa positiva sale del reposo un protón (mp = 1.67*10-27
Kg.; q = +1.6*10-19
C). ¿cuál es la velocidad de cada
partícula cuando se cruzan?. ¿En donde se cruzan?
Ejemplo.2.10
+
+
+
-
-
-
X
+
-

X = ½(Eqp / mp)t2
+ ½(Eqe / me)t2
t = {(2X / Eq)(mp mp / (mp + me )}1/2
xp = ½(Eqp / mp)t2
; xe = ½(Eqe / me)t2
X = ½Eq (1/ mp + 1// me)t2
X = xp + xe
xp = X me / (me + mp ) = 2.178*10-3
cm
xe = X mp
/ (me + mp ) = 3.9978 cm X =
0.002178 cm + 3.9978 cm = 4 cm
+
+
+
-
-
-
X
+
-

El tiempo cuando se cruzan es :t = {(2X / Eq)(mp mp / (mp + me )}1/2
= 3.37*10-9
s
+
+
+
-
-
-
X
+
-
vfp = vop + (Eqp/mp) * t = 12921.74 m/s i
vfe = voe + (Eqe/me) * t = −23.71*106
m/s i
^
^

Podemos seleccionar un elemento suficientemente
pequeño de volumen (dV) que contenga un elemento
infinitamente pequeño de masa (dm). Si el elemento de
masa (dm) se distribuye en el volumen (dV)
uniformemente, la densidad de masa ρ se define: ρ =
dm/dV
Cualquier masa la podemos representar como la suma de
un numero infinito de masas que se pueden considerar
puntuales M = ∑ mi. Por ejemplo, empleamos la densidad
continua de masa para describir un estado de la materia
que en realidad se compone de un gran numero de
moléculas discretas.
Normalmente resulta sencillo hallar un volumen (V)
suficientemente grande que contenga muchos elementos
de masa individuales o moléculas M = ∑ mi. Si la masa
(M) se distribuye en el volumen (V) se define: ρ = M / V
Densidad volumétrica de masa (ρ)2.11 Distribución continua de masa
ρ = dm / dVρ = M / V

Si la masa (M) se distribuye uniformemente en toda el área
(A) se define la densidad superficial de masa: σ = M / A.
b
a
σ = M / A
Densidad superficial de masa σ

Este elemento infinitesimal de área (dA) tiene un
elemento infinitesimal de masa (dm); la distribución
superficial de masa se define:
σ = dm/dA = dm/(b da)
b
σ = dm/dA= dm/(b da)
da

L
Si la masa (M) se distribuye en una longitud (L) de
manera uniforme se define la densidad lineal de masa:
λ = M/L
M
λ = M / L
Densidad lineal de masa λ

λ = dm/dl
La distribución lineal de masa se define como la relación
de un elemento infinitesimal de masa (dm) en un
elemento infinitesimal de longitud (dl) ∴ λ = dm/dl
dl
dm

2.12 Distribución continua de cargaPor analogía cualquier carga la podemos representar
como la suma de un numero infinito de cargas
infinitesimales que se pueden considerar puntuales
Q = ∑ qi
L
+ + + + + + + + + + + + + + +
Distribución lineal de carga
λ = Q / L

λ = dQ / dl
dl
dQ

b
a
+ + + + + + + + + + +
+ + + + + + + + + + +
+ + + + + + + + + + +
+ + + + + + + + + + +
+ + + + + + + + + + +
+ + + + + + + + + + +
+ + + + + + + + + + +
σ = Q / A
Distribución superficial de carga

+ +
+ +
+ +
+ +
+ +
+ +
+ +
+ +
b
da
σ = dQ /dA = dQ / (b*da)

Densidad volumétrica de carga (ρ)
ρ = dQ / dVρ = Q / V

Una colección de forma regular o irregular de partículas
puntuales cargadas representa una distribución continua
de carga Q = ∑qi.
Se desea encontrar el campo eléctrico en un punto
producido por una distribución continua de carga.
Este elemento dq produce un elemento infinitesimal de
campo dE a una distancia r.
Sumando todas las contribuciones de los elementos
infinitesimales de campo dE
Se escoge arbitrariamente un elemento infinitesimal de
carga (dq) que esta a una distancia r del punto donde se
va a evaluar el campo eléctrico.
dE = (K dq / r2
)^r
El campo eléctrico dE
producido por un dq es:
E = ∫ (K dq / r2
)^r
Q = ∑∆qi
Q = ∑∆qidq
r
dE

Se desea encontrar la intensidad del campo eléctrico a lo
largo del eje de un hilo (delgado aislante) a una distancia
(d) de uno de sus extremos y con una densidad lineal de
carga uniforme λ.
Dividimos el hilo en pequeños elementos infinitesimales
dq cada uno de longitud dl (dx), y escogemos
arbitrariamente un elemento
Ejemplo 2.11 Campo eléctrico debido a una hilo cargado
X
Y
d
L
+ + + + + + + + + + + + + + + + + + +
+

Este es el campo eléctrico dE producido por un elemento
dq, ahora, sumamos todos los dE.
EZ = 0 ;; EY == 0
dEx = K dq / r2
; dq = λ dl = λ dx
dEx = K λ dx / x2
X
Y
2r 2
r
Este elemento infinitesimal tiene carga dq, longitud dl, se
encuentra a una distancia r del punto donde se va a
encontrar el campo y genera un campo eléctrico dE.
dq
dl
r = x dEx
+ +

Ex = K Q / (d (l + d))
X
Y
d Ex
Ex = K λ ∫ dx / r2
x varia entre d y d + l
Ex = K λ (1/(d + l) – (1/d)
L
+ + + + + + + + + + + + ++ + + + + + + + + +

Ejemplo 2.12 Campo eléctrico sobre la mediatriz debido a
una barra cargada
Determinar cual es la intensidad del campo eléctrico
sobre la mediatriz de un hilo delgado, aislante con una
densidad lineal de carga uniformemente distribuida.
Se desea encontrar el campo eléctrico a una
distancia x sobre la mediatriz de la barra
Z
Y
X
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
x

r
Z
Y
Z
Y
X
Estos elementos infinitesimales, simétricos tienen
longitud dy, carga dq, están a una distancia r del
punto donde se va a evaluar el campo eléctrico y
generan un campo eléctrico dE.
θ
θ
dq
dE
dEy dEx
dy
+
+
EY = 0 ; EZ = 0
x
dEx = dE Cosθ i^

Este es el campo eléctrico producido por un dq,
Sea y = x Tanθ ⇒ dy = x (Secθ)2
dθ,
reemplazamos, resolvemos, sumamos la
contribución de todos los dE y obtenemos:.
Ex = (K λ / x) ∫ Cosθ dθ
θ varia entre π/2 y −π/2
Z
Y
X
dEx
+
dEx = (K dq / r2
) Cosθ dq = λ dl = λ dy
r =
(x2
+y2
)1/2
; Cosθ = x / r
dEx = K (λ dy) x / (x2
+y2
)3/2
x θ
r

+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
x
Ex = λ / (2π ε0 x)
Ex

Se desea encontrar cual es la intensidad del campo
eléctrico en el eje central de un anillo que tiene una carga
λ uniformemente distribuida.
Ejemplo 2.13 Campo eléctrico de un anillo de carga
uniforme
Q
Se tiene un anillo de radio
R carga σ
R

Y
Z
θ
θ
+
+
dq
dEdEy dEx
EZ = 0 ; EY = 0
Y
Z
Xx
r
Sea un elemento dq, que se encuentra a una distancia r
del punto donde se va a evaluar el campo eléctrico y
que genera un campo eléctrico dE.
Se desea encontrar el campo eléctrico en un punto a una
distancia x del eje central del anillo.
dEx = dE Cosθ i^

El campo eléctrico de un elemento dq es.
dEx = K (λ R dα) x / (x2
+ R2
)3/2
dEx = (K dq / r2
) Cosθ ; dq = λ dl = λ (R
dα) r = (x2
+ R2
)½
; Cosθ =
x / r
Ex = K Q x / (x2
+ R2
)3/2
Ex = K λ R x / (x2
+ R2
)3/2
∫ dα
α varia
entre 2π y 0
Ex = K * Q * x / (x2
+ R2
) 3/2
El campo eléctrico de la contribución
de todos los elementos dq es.
Ex = ∫(K λ R x / (x2
+
R2
)3/2
dα)
θ
+
+
r
Y
Z
X
Ex
x
dl
dα

Encontrar la intensidad del campo eléctrico de una placa
no conductora sobre el eje central en un punto z, la placa
tiene una densidad superficial de carga σ uniformemente
distribuida.
Tenemos el campo eléctrico de un hilo a una distancia z.
Ez = λ/(2πε0z). Dividimos la placa en hilos luego
sumamos todos los hilos y encontramos el campo
eléctrico de la placa.
Ejemplo 2.14 Campo eléctrico de una placa carga
uniformemente
X
Y
Z
x
y
Q
+

La tira tiene un área dA, el elemento de carga dq genera
un elemento de campo dE, y se encuentra a una
distancia r del punto donde se va a encontrar el campo
eléctrico.
Z
X
α
θ
+ + +
+ + +
r
dEz
α
θ
dA = y dx
dq
dx y
α
θ
Y
Ey = 0 ; Ex = 0
dE
dEx

θθ
Z
⊕
Y
r
dE
dEz
θ
α
θ
α
Vista en dos dimensiones
dx
Ey = 0 ; Ex = 0
dEx

La distribución superficial de carga para la placa
σ = Q / A
para un elemento infinitesimal
σ = dq / dA = dq / (y dx)
⇒ σ dx = dq / y = λ
+ + +
y
dq
λ = dq / y
Este dA tiene un elemento infinitesimal de carga dq,
entonces, la densidad lineal de carga es: λ = dq / y

X
Z
Ez
dEz = (σz /(2πε0)) (dx/r2
)
dEz = (λ /(2πε0 r))
Cosθ
λ = σdx ;
Cosθ = z / r
r =
(x2
+z2
)1/2
dEz = (σz/(2πε0))(dx/(x2
+ z2
))
Tenemos el campo eléctrico de
una tira, ahora, sumamos la
contribución de todos los
elementos para encontrar el
campo eléctrico
dEz = dE Cosθ k^

X
Y
Z
dEz = (σz /(2πε0)) (dx / (x2
+z2
))
Ez = ∫ (σz/(2πε0)) (dx/(x2
+z2
))
Ez = (σz/(2πε0)) ∫ (dx/(x2
+z2
))
Ez = (σz/(2πε0))(1/z Artan(x/z))
Ez = σ / (2ε0)

R
Q
R
Ejemplo 2.15 Campo eléctrico de un disco cargado
uniformemente
da
2πa
2π a da
Q
R
a
Encontrar la intensidad del campo eléctrico sobre el eje
central de un disco de radio R con una densidad
superficial de carga σ uniformemente distribuida.
El elemento infinitesimal de área dA esta a una distancia
a del centro.
Se divide el disco en elementos de área dA, cada uno de
estos dA tiene un elemento de carga dq.

+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
Se desea encontrar el campo eléctrico en un
punto a una distancia x del eje central del disco
Escogemos un elemento de área dA, de radio a,
que se encuentra a una distancia r del punto
donde se va a evaluar el campo eléctrico y que
genera un elemento de campo dE.
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
a
Y
Z
X
dq
dA = 2πada
r
dE
Y
Z
dEy
dEx
θ
θ
Ez = 0 ; Ey = 0
x

dEx = Kxσ2πada / (x2
+a2
) 3/2
Campo eléctrico de un elemento, ahora,
sumamos la contribución de todos los
elementos.
dEx = (Kdq/r2
)
Cosθ dq = σ dA=
σ (2πada) r =
(x2
+a2
)1/2
Cosθ = x / r
Ex = ∫ Kxσ2πada / (x2
+ a2
)3/2
sea u = (x2
+a2
)
⇒ du = 2 a da
Ex = Kxσπ ∫
du / u3/2
x = R ; x = 0
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
a
Exx
^dEx = dE Cosθ i
Ex = (σ /(2ε0))∗{1− x / (x2
+ R2
)1/2
}

Tanα = (qE) / WTanα = (σq) / (W 2ε0)α = Artan{(σq) / (W 2ε0)} = 30°Tanα = q (σ/2ε0) / WTanα = Fe / W
W
Fe
Una pequeña esfera de masa (m) de 2 gr tiene una carga
q de 20*10-9
C y esta sujeto al extremo de un hilo de seda
de 10 cm longitud. El otro extremo del hilo esta sujeto a
una gran placa conductora vertical que tiene una carga
superficial σ de 10*10-6
C/m2
. Hállese el ángulo que
forma el hilo con la vertical.
Ejemplo 2.16
Τ
σ
l
+
α
α

Weber, Wilhelm Eduard (1804-1891), físico alemán
especializado en electrodinámica. Weber escribió en 1824
un tratado sobre el movimiento ondulatorio junto con su
hermano, colaboró con Gauss en el estudio del
geomagnetismo, durante ese tiempo conectó con dos
laboratorios mediante el telégrafo eléctrico desarrolló
varios instrumentos para medir la corriente eléctrica, en
especial el electro-dinamómetro para mediciones
absolutas.
Wilhelm Eduard WeberEn su trabajo más importante determinó, junto con
Kohlrausch, la relación entre las unidades de carga
electrostáticas y electromagnéticas (constante de Weber).
Esta relación resultó ser igual a la velocidad de la luz, y
fue utilizada más tarde por James Clerk Maxwell para
defender su teoría electromagnética. La unidad SI del
flujo magnético se denominó weber.

El campo electrostático debido a una distribución
continua de carga siempre puede encontrarse usando la
ley de Coulomb aunque el calculo requerido pueda ser
complicado.
La ley de Gauss es una afirmación general sobre las
propiedades de los campos eléctricos y no esta restringida
a los campos electrostáticos como la ley de Coulomb.
Cuando una distribución de carga tiene suficiente
simetría, la ley de Gauss puede proporcionar un camino
elegante para determinar el campo electrostático en unos
pocos pasos simples.
El flujo Φ es una propiedad de cualquier campo
vectorial, resulta conveniente considerar el flujo de un
campo vectorial determinado como si fuese una medida
del flujo o intensidad de penetración de los vectores de
campo a través de una superficie fija imaginaria en el
campo.
Carl Gauss expreso el concepto de líneas de campo en
forma cuantitativa e introdujo una cantidad llamada flujo
para elaborar la imagen de las líneas que “fluyen” a
través de una superficie cerrada.
2.13 Flujo eléctrico

El flujo eléctrico Φ se representa por medio de líneas de
campo eléctrico Ν que atraviesan algunas superficies
(Φ = Ν). Cuando la superficie que se esta cruzando
encierra una carga neta. el numero de líneas que traspasan
la superficie es directamente proporcional a la carga
dentro de la superficie Φ α Q
El flujo eléctrico es directamente proporcional al campo
eléctrico y al área normal An de la superficie atravesada
por las líneas de un campo eléctrico uniforme..
Φ α E An = En A = E A Cosθ = A E•

E
A
A
θ θ
Consideremos una región del espacio donde existe un
campo eléctrico uniforme E. Colocamos dentro del
campo una superficie plana en distintas posiciones para
observar cual es el flujo eléctrico neto que atraviesa la
superficie.
El flujo eléctrico puede ser positivo, negativo o nulo.
Φ = E An = En A = E A Cosθ = A E•

Se tiene una superficie regular de área cerrada, dividida
en elementos infinitesimales dA inmersa dentro de un
campo eléctrico uniforme E. Se desea encontrar el flujo
neto que atraviesa la superficie.
El flujo eléctrico Φe que atraviesa la superficie cerrada A es :
Φe ≈ ΣΦi = ΣEn dA = ΣEn dA= ΣE dA Cosθ
Φe = ΣE • dA
Φe = E • dA∫
Área
dA
θ
θ
θ
θ
E

Φe ≈ ΣΦi = ΣEn dA = ΣEn dA= ΣE dA Cosθ
Φe = ΣE • dA
Φe = E • dA∫
A
dA
θ
E
Considere una superficie irregular de área cerrada,
dividida en elementos infinitesimales dA colocada en un
campo eléctrico uniforme E. Se desea encontrar el flujo
neto que atraviesa la superficie.
El flujo eléctrico Φe que atraviesa la superficie cerrada
irregular A es:

+
Φe = ∫ E • dA
El flujo eléctrico Φe que atraviesa cualquier superficie
cerrada es independiente de la superficie que encierra a la
carga.
Supongamos que tenemos una carga positiva Q con sus
líneas de campo. Cerramos la carga en diferentes
superficies cerradas.

Consideremos un cilindro cerrado hipotético de radio R
inmerso en un campo eléctrico uniforme E, siendo el eje
del cilindro paralelo al campo. ¿cuál es el valor del en
esta superficie cerrada?
Ejemplo 2.17
E
E A A
A
Φ = E An + E An + E A⊥
Φ = E A Cos 180° + E A Cos 0° + E A Cos
90° Φ = −E A + E A + 0 = 0

Ejemplo 2.18Una superficie cerrada tiene dimensiones a = b = 0.4 m y
c = 0.6 m el campo eléctrico por toda la región no
es uniforme y esta dado por E = (3 + 2x2
)i N/C donde x
esta metros. ¿cuál es la carga neta encerrada por la
superficie?
X
Y
Z
a c
X
Y
Z
a
b
a

X
Y
Z
a
b
a
Flujo eléctrico que
entra Φ = ∫s E • dA
= E A Φe = (3.0 +
2.0x2
) (ab) Φe = {3.0 +
2.0 (0.4)2
} (0.4*0.4) Φe =
0.5312 (N/C)m2

c
b
a
X
Y
Z
a
Flujo eléctrico que
sale
Φ = ∫s E • dA = E A
Φs = (3.0 + 2.0x2
) (ab)
Φs = {3.0 + 2.0(0.4 + 0.6)2
} (0.4*0.4)
Φs = 0.8 (N/C) m2

X
Y
Z
a c
X
Y
Z
a
b
a
Φn = Φs − Φe = 0.2688 (N/C)m2
Φn = Q / εο ⇒ Q = εο Φn = 2.38 PC

Una carga puntual Q se localiza en el eje de un disco de
radio R a una distancia b del plano del disco. Muestre
que si un cuarto del flujo eléctrico (Φ/4) de la carga pasa
por el disco entonces R = 3√b.
r
Ejemplo 2.19
R
+
b
E
R
a
α
α
Cos α = b/r r = (b2
+a2
)1/2
Seleccionamos un elemento
de área dA = 2πada
dA = 2πada
Φe = ∫ E • dA = Q/εο

Φe = ∫(KQ / r2
)• (2πa da) ; r = (b2
+a2
)1/2
Φe = ∫ (KQ / (b2
+a2
)) (2πa da)
Cosα; Cosα = b / r = b / (b2
+a2
)1/2
Φe = ∫ (KQ / (b2
+a2
))
(2πada) (b / (b2
+a2
)1/2
) Φe = (KQπ b)
∫ (2a da) / (b2
+a2
)3/2
sea u =
a2
+b2
⇒ du = 2ada Φe =
(KQπ b) ∫ (du/u3/2
)) ; a = R y a = 0
Φe = (2KQπ b) {1 / b – 1 / (R2
+b2
)1/2
}
Como (Φe / 4) = (Q / εο) (1/4) ⇒
4Q / εο = (2KQπb)(1 / b – 1 / (R2
+b2
)1/2
)
(1 / 4εο) = (2Kπ){1− b / (R2
+b2
)1/2
}
{1- b / (R2
+b2
)1/2
} = 1/2

b /(R2
+b2
)½
= ½ : b2
/(R2
+b2
) = 1/4
4b2
= R2
+b2
; R = 3√b

Johann Karl Friederich GaussGauss, Carl Friedrich (1777-1855), matemático alemán
conocido por sus muy diversas contribuciones al campo
de la física, especialmente por sus estudios del
electromagnetismo. Junto con el físico alemán Wilhelm
Eduard Weber, Gauss realizó una intensa investigación
sobre el magnetismo.
Entre sus más importantes trabajos están los de la
aplicación de las matemáticas al magnetismo y a la
electricidad; una unidad de inducción magnética recibe
su nombre. También llevó a cabo investigaciones en el
campo de la óptica, especialmente en los sistemas de
lentes.
Descubrió el método de los mínimos cuadrados, lo que le
permitió calcular la órbita de Ceres; formulo métodos de
calculo que sirvieron a Leverrier y Adams en el
descubrimiento de Neptuno. Trabajo en el magnetismo
terrestre; calculo la ubicación de los polos magnéticos y
diseño una escala de unidades para medir esta clase de
fenómenos y contribuyo al progreso de la telegrafía
electromagnética.

Φe = ∫ E • dA =
E(r) A Φe = (1/(4πεο))(Q /
r2
)*(4π r2
) Φe = Q / εο
+
2.14 Ley GaussEncerramos la carga Q en una esfera (superficie
hipotética cerrada) de radio r y de elementos
infinitesimales dA
Sea una carga Q positiva que genera un campo eléctrico
E.
dA
dA
Φe = ∫ E • dA = Q / εο

El campo eléctrico (E) de una partícula puntual es
inversamente proporcional a la distancia (r) al cuadrado.
E ∝ 1/ r2
⇒ E = (1 /
4π εο) (Q / r2
) El área (A)
de una esfera es directamente proporcional a su radio r al
cuadrado. A ∝ r2
⇒ A = 4π r2
2
El producto E A = Q / εο, es independiente de la
superficie que encierra a la carga neta, entonces el flujo
depende únicamente de la carga neta encerrada.
Se selecciona el elemento infinitesimal de área (dA)
paralelo al campo eléctrico (E) para que la magnitud de
este sea constante sobre esa parte de la superficie.
Ley de Gauss
∫ E • dA = Q / εο.

+
Ejemplo 2.20 Campo eléctrico de una partícula puntual
El campo eléctrico E esta dirigido en todas direcciones,
encerramos la carga (Q) en una superficie hipotética
cerrada de tal manera que el campo eléctrico sea el mismo
en cualquier punto de la superficie.
dA
La ley de Gauss es:
∫ E • dA = Q / εο
Donde E es el campo debido a la carga puntual Q u objeto
cargado, dA es un elemento de la superficie hipotética y
Q es la carga neta encerrada en la superficie.
∫ E • dA = ∫ E Cosθ dA = E(r) Α = Q / εο
E(r) (4π r2
) = Q /
εο E(r) = Q /
(4π r2
εο) = KQ / r2
E(r) = KQ / r2
r^

+
Si colocamos una carga de prueba q positiva dentro del
campo generado por la carga Q a una distancia r.
+
E(r) q = (KQ q / r2
) r = F^
E(r) = (KQ / r2
) r^
Encontramos la ley de Coulomb a partir de la ley de Gauss

Ejemplo 2.21 Campo eléctrico debido a una hilo cargado
+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
Envolvemos el hilo en una superficie (gaussiana
hipotética) cilíndrica de radio r, longitud L, de tal
manera que el área transversal sea perpendicular a las
líneas de campo.
Queremos encontrar el campo eléctrico de un hilo
que tiene una densidad lineal de carga λ a una
distancia r.
E = λ / (2π εο r)
dA
En las tapas transversales el flujo es cero, puesto
que, E ⊥ A, únicamente hay flujo eléctrico por el
área lateral.
⇒ E A = Q/εο ⇒ E(2π r L) = λ L / εο∫ E • dA = Q / εο
Sea un hilo que tiene una densidad lineal de carga
λ, que produce un campo eléctrico perpendicular al
eje del hilo.

Ejemplo 2.22 Campo eléctrico de una placa cargada
uniformemente
Se desea encontrar el campo eléctrico producido por una
placa plana no conductora que tiene una densidad superficial
de carga uniforme σ.
E
σ
E = σ / 2εο
S. hipotética 1S. Gaussiana 2
∫ E • dA = Q / εο. = E 2 A = σ A / εο
Consideremos una placa plana con una distribución
uniforme de carga σ que engendra un campo eléctrico E y
unas líneas de campo perpendiculares a la superficie.
Construimos superficies (cilindros hipotéticos) a lado y
lado de la placa, de tal manera que el área transversal sea
paralelo a las líneas de campo.

Colocamos cerca de la superficie del
balón dos esferas conductoras
descargadas e introducimos una tercera
esfera conductora cargada
positivamente.
Prueba experimental de la ley de Gauss
+ + +
Supongamos que tenemos un balón de cobre
eléctricamente neutro con un orificio en la parte superior
y aislado de tierra.

+ + +
A medida que la esfera cargada se introduce en el
balón. las esferas conductoras y el balón
permanecen eléctricamente neutros.

+
+
+ +
+
+
++
+
++
+
+
+
-- + +
Cuando la esfera cargada hace contacto con el balón, se
transfieren electrones del balón hacia la esfera quedando
este con defecto de electrones y la esfera eléctricamente
neutra, en tanto que, en las esferas conductoras se
produce una inducción de carga.
Esto muestra que cualquier carga
transferida a un conductor reside en
su superficie en equilibrio
electroestático.

+
+
+ +
+
+
++
+
++
+
+
+
+
-- + +
Retiramos la esfera, la carga en el balón
se distribuyo inmediatamente en su
superficie y las esferas permanecen con
carga inducida.

+
+
+ +
+
+
++
+
++
+
+
+
+
-- + +

+
+
+ +
+
+
++
+
++
+
+
+
+
-- + +
Ahora podemos llevar el balón y cada una de las esferas
por separado a un electroscopio para constatar
efectivamente la presencia de carga eléctrica.

A hora con el balón cargado y aislado de tierra,
vamos a introducir dos pequeñas esferas
conductoras descargadas
Si llevamos las esferas a un
electroscopio podemos observar que
estas permanecen descargadas, es
decir, en el interior del balón
conductor no hay carga neta para
inducir carga en las esferas
conductoras.
Colocamos las esferas en el interior del balón y
luego las retiramos
+
+
+ +
+
+
++
+
++
+
+
+
+

Cuando una carga neta se coloca sobre un conductor, esta
se distribuye por si sola sobre la superficie de una
manera tal, que el campo eléctrico interior es cero,
entonces dentro de un conductor en equilibrio
electrostático la ley de Gauss indica que no puede haber
carga neta dentro del conductor.
CONCLUSION

b) E = σ / (2εο) + σ / (2 εο) = σ / εοc) E = σ / (2εο) – σ / (2εο) = 0a) E = σ / (2εο) − σ / (2εο) = 0
Se tienen dos laminas conductoras con densidad
superficial σ de cargas iguales pero de diferente signo.
Calcule el campo eléctrico a) a la derecha de las placas b)
en el centro de las placas c) a la izquierda de las placas.
+
+
+
+
+
-
-
-
-
-
Ejemplo 2.23
E = 0 E = σ /εο E = 0

2.15 Auto-evaluación

Dibuje la suma vectorial de la intensidad del campo
eléctrico en el punto
Ejercicio 2.1
+
-
+

Dos cargas positivas de igual magnitud están en los
puntos (-a,0) y (a,0). Encuentre la magnitud y la
dirección del campo en el punto (0,a ). Si las cargas son
de +5 µC, y a es 50 cm. Cual es la magnitud y la
dirección del campo
Ejercicio 2.2
R) 63639.6 N/C y 90°

Se tienen tres cargas de igual magnitud Q que forman un
triángulo equilátero de lado L. Si Q1 es negativa y esta en
el punto (0,0), Q2 es positiva y se encuentra en (L,0) m y
Q3 es negativa y esta en (L/2,L√3/2) m. Encuentre a) La
del triángulo. b) Si Q = 2 µC y L = 50 cm Cual es la
del triángulo.
Ejercicio 2.3
R) 4.32*105
N/C y – 30°

Se tienen tres cargas Q1 es positiva y esta en el origen, Q2
es negativa y esta en el punto (0,a). Q3 es negativa y esta
en el punto (a,0) a) ¿cuál es la magnitud y la dirección
del campo en el punto (a,a)? b) Si Q1 es +1 nC, Q2 es -2
nC y Q3 es -3 nC si a es 2 cm. ¿cuál es la magnitud y la
dirección del campo eléctrico en el punto (2,2) m?
Ejercicio 2.4
R) 70128.02 N/C y α = 58.11°

Una carga Q1 negativa esta en el punto (-a,0) mientras Q2
es positiva y esta en el punto (a,0). Encuentre a) La
intensidad del campo eléctrico la dirección en el punto
(2a,a) y b) Si a es 10 cm, Q1 es 20 nC, Q2 es 10 nC ¿cuál
es la magnitud y la dirección del campo eléctrico en el
punto (20,10) cm.
Ejercicio 2.5
R) 3000.05 N/C y α = 60.56°

Se tienen dos cargas puntuales negativas separadas una
distancia r. ¿En que punto diferente del infinito a lo largo
de la recta que une las cargas el campo neto es cero. Si q1
= -1 nC, q2 = -16 nC y la separación de las cargas es un
metro. ¿En que punto diferente del infinito a lo largo de
la recta que une las cargas el campo neto es cero?¿cuál es
la magnitud y la dirección del campo eléctrico?
Ejercicio 2.6
E1 =(Kq1/r12
) i = 225 i N/C ; E2 = (Kq2/r22
) i = -225 i N/C^ ^^ ^

Una esfera conductora de masa m, carga +Q, se suspende
de una cuerda de masa despreciable y longitud l. Se
coloca dentro de un campo eléctrico uniforme dirigido en
la dirección –i y forma un ángulo θ con la vertical
cuando esta en equilibrio. ¿Cual es la carga de la
partícula? ¿Cual es la tensión en la cuerda?. Si la masa es
de 10 gramos, el campo eléctrico es de 2000 N/C y el
ángulo cuando esta en equilibrio es de 37° ¿Cual es la
carga de la partícula? ¿Cual es la tensión en la cuerda?.
Ejercicio 2.7
R) Q = 3.69*10-6
C y T = 0.123 N

de signo opuesto existe un campo eléctrico uniforme de
2000 N/C dirigido verticalmente hacia abajo, separadas
una distancia y de 2 cm y de longitud x de 3 cm. Se lanza
un protón en un punto equidistante entre las placas con
una velocidad inicial de 6*104
m/s. ¿Sale de las placas,
en que posición y con que velocidad o pega en la placa,
en que posición y con que velocidad?
Ejercicio 2.8

Ejercicio 2.9Una hilo aislante cargado uniformemente, de longitud l
de 50 cm se dobla en forma de semicírculo, si el hilo tiene
la mitad de carga positiva de +50 nC y la mitad de carga
negativa de –50 nC, encuentre la magnitud del campo
en el centro del semicírculo.
R) E = 11309.7 N/C

Ejercicio 2.10Una barra aislante como la figura tiene una longitud de
70 cm de largo, una carga negativa de –50 nC
distribuida uniformemente a lo largo de su longitud. a)
¿cuál es la densidad lineal de carga? b) ¿calcule el campo
eléctrico en un punto a una distancia de 5 cm del
extremo de la barra?
dL
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
R) Ex = –12000 N/C

Ejercicio 2.11
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
x
En la figura, la barra aislante tiene una longitud de 70 cm
de longitud, a una distancia de 20 cm del eje que pasa por
el centro de la barra se genera un campo eléctrico de
12000 N/C. a) ¿cuál es la densidad superficial de carga?
b) ¿cuál es la carga?
R) Q = 93.33 nC

Ejercicio 2.12Un anillo tiene una densidad lineal de carga λ de –25
nC/m y un radio R de 10 cm. ¿Encuentre el valor del
campo a una distancia R de 10 cm del eje que pasa por el
centro del anillo?.
R) Ex = −4998.89 N/C

Ejercicio 2.13Un pedazo de 10 gr de estireno tiene una carga neta q de
–0.700 µC y flota sobre el centro de una lamina
horizontal de caucho que tiene una densidad de carga
uniforme en su superficie. ¿cuál es la carga en la unidad
de área de la lamina de caucho?. Si la carga Q de la
lamina es de 5 µC ¿cuál es el área de la lamina?
R) σ = -2.48 µC/m2
y A = = 2.02 m2

Un disco cargado uniformemente tiene una densidad
superficial de carga σ de 10*10-9
C/m2
y un radio R.
¿calcule el campo eléctrico a una distancia R sobre el eje
central del disco?.
Ejercicio 2.14
R) Ex = 165.63 N/C

Ejercicio 2.15
Considérese una caja triangular cerrada que descansa
dentro de un campo eléctrico horizontal con una
magnitud de 2000N/C como en la figura si h = a =10 cm,
θ = 60°. Calcule el flujo eléctrico a través a) del
cuadrado ( superficie vertical) b) la superficie inclinada c)
toda la caja.
E
a
h
x
H
θ
R) a) Φe = -20 Nm2
/C b) Φs = 20 Nm2
/C c) ∆Φ = = 0

Ejercicio 2.16
R
h
Un cono de radio R = .10 cm y altura h = 50 cm, esta en
un campo eléctrico uniforme E de 2000 N/C horizontal
penetra el cono como en la figura. Determine el flujo
eléctrico que penetra el cono.
R) Φ = − 100 Nm2
/C

Ejercicio 2.17
2Q
-3Q
4Q
Cuatro superficies cerradas una roja, una verde, una
amarilla y una azul, como aparece en la figura si Q es 2
nC. Encuentre el flujo neto.
Φv = 0

2.16 Solucionario

S 2.1
+
-
+

Σ Ey = 2(KQ/r2
)
Senα r = (a2
+a2
)1/2
=
a√2 Senα = a/r = a /
(21/2
a) = √2/2 ΣEy = 2 (KQ /
2a2
) (√2/2) ΣEy = √2 KQ /
(2a2
) Σey = 63639.6
N/C φ = Artan
(0/63939.6) = 90°
S 2.2
+ +
a a
a
rr
E
ΣEx = 0
α α
Ey
y
Ey

S 2.3
L/2
φ
L
E1x
E1y
E2
E3
E2y
E2x
φ
φ
r1 = r2 = r3 = r
Cosφ = (L/2) / r
r = L / (2
Cosφ) r = L /
√3
ΣEx = – E1x – E2x
Ex = –2(KQ /r2
) Cos
30 Ex = –2(3KQ /
L2
) (√3 / 2) Ex = –(3√3 KQ) /
L2
Ex = –3.7412*105
N/CΣEy = – E1y + E2y + E3
ΣEy = E3 = KQ/r2
ΣEy = 3 KQ/ L2
ΣEy = 2.16*105
N/C
φ φ
φ
r1
r3
r2
-Q1 + Q2
- Q3
E1
E = 4.32*105
N/C : α = −30°

S 2.4
aa√2
aθ
a
a
a√2
+ -
-
E1
E2
E3
E1y
E2y
θ
Cosθ = √2 /2
Senθ = √2 /2
ΣEx = E1x – E2
ΣEx = (KQ1 / r12
) Cosθ – KQ2 / r22
ΣEx = (KQ1 / 2a2
)(√2 /2) – KQ2 /a2
ΣEx = – 37045 N/C
ΣEy = E1y – E3
ΣEy = KQ1 / r12
Senθ – KQ3 / r22
ΣEy = (KQ1 / 2a2
)(√2 /2) – KQ3 /a2
ΣEy = – 59545 N/C
La magnitud y la dirección del campo
eléctrico son;
E = 70128.02 N/C y α =
58.11°

r2 = √((2a−a)2
+a2
)1/2
= a√2 = 0.14 cm
Cosα = a/(a √2) = 1/√2 ) ; Senα = a/(a√2) = 1/√2)
⇒ α = 45°
r1 = √((2a−(−a))^2+a2
)1/2
= a√10 = 0.32 cm
Cosθ = 3a/(a√10) = 3/√10); θ =
18.43° Senθ = a/(a √10) =
1/√10); θ =18.43°
La magnitud y la dirección del campo eléctrico es;
E = 3000.05 N/C y φ = 60.56°
ΣEx = E2x – E1x = (KQ2/ r2^2) Cosα – (KQ1 / r1^2) Cosθ
ΣEx = KQ2 / (2a^2) (1/√2) – KQ1 / (10a^2) (3/√10)
ΣEx = 1474.35 N/C
S 2.5ΣEy = E2y – E1y = (KQ2/ r22
) Senα – (KQ1 / r12
) Senθ
ΣEy = KQ2 / (2 a2
) (1/√2) – KQ1 / (10a2
) (1/√10)
ΣEy = 2612.77 N/C
r2
r1
- +
E1
E2
E2x
E2y
E1y
E1x
α
θ

q1 / r1
2
= q2 / r22
E2 = E1r = r2 + r1r1 = r √q1 / (√q2 + √q1) = 0.20 m√q1 / r1 = √q2 / (r − r1)r √q1 − r1 √q1 = r1 √q2Kq1 / r12
= Kq2 / r22
r √q1 = r1 √q2 + r1 √q1q1 / r12
= q2 / (r − r1)2
r2 = r – r1 = 0.80 m
S 2.6
Si q1 < q2
r1
r -
q1
-
q2
r2
r2 r1
r
E1E2
E1 = 225 i N/C ; E2 = -225 i N/C^ ^

S 2.7
m,Q
l
m,Q
l
θ
-E i^
T
Tx
Ty
θ
F = EQ
W
T Senθ – EQ = 0 ∴ T Senθ = EQ
T Cosθ – W = 0 ∴ T
Cosθ = mg Tanθ = EQ /
mg, entonces, Q =
mg Tanθ / E = 3.69 µC T
= EQ / Senθ = 0.123 N

Como pega en la placa, vamos a encontrar el tiempo que
emplea el protón en recorrer 1 cm verticalmente, con ese
tiempo hallamos lo que avanza horizontalmente.
(y/2) = ½(Eqp/mp) t2
,
entonces
t = √(2(y/2) mp / Eqp)
t = 323.1 ns
x(323.1
ns) = vo t x(323.1 ns ) =
1.94 cm
x = vo t, entonces,
t = x / vo = 500 ns
y(500ns) = ½(Eqp/mp) t2
y(500ns)
= −2.4 cm pega en la
placa ya que; 2.4 cm > 1.0
cm
Como la velocidad inicial en y (voy) es cero ⇒ la velocidad
vertical al incidir en la placa es:
vy(323.2 ns) = voy – (Eq/mp) t = –(Eq/mp) t = – 61911.4 m/s
Vamos a encontrar el tiempo que emplea el protón en
recorrer los 3 cm horizontalmente, si para este tiempo y < 1
cm sale de las placas
S 2.8
y
- - - - - - - - - -
x
+ + + + + + + + + +
pega en la placa en;
r = (1.94 i - 1 j )
cm
^^
vo
La velocidad al pegar en la placa es
v =
(6*104
i – 6.19 104
j ) m/s
^ ^

Ey = -(2Kλ /r) ∫ Cosα dα
α varia
entre π/2 y 0
Ey = -2K
(Q/l)/r) Senα
l = π r;α varia entre π/2 y 0
^j
^j
S 2.9
dEy = (− dE Cosα − dE Cosα)^j
dEy = −2 dE Cosα^j
dEy = −2(Kdq/r2
) Cosα
dq = λ dl = λ (rdα)
^j
+
+
+
+
+
+
+
−
−
−
−
−
−
−
+
dq-−
Ey = −(2KQ/(πr2
))^j
dq+
r
r
dE+
dE−
dEx
dEy
dEx
dEy
α α
dEx = (dEx − dEx) = 0^i
Ey = -∫(2K(λrdα)/r2
) Cosα ^j
E = 11309.7 N/C

S 2.10
E
dL
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
a) La densidad lineal de carga es;
λ = Q / L = -71.43*10-9
C/m.
Ex = – K Q / (d (L+d )) i = –12000 N/C i^ ^
b) El campo eléctrico es;

S 2.11
Por tanto; λ = E (2πε0 x) = 133.33*10-9
C/m
λ = Q / L, entonces, Q = λ L = 93.33 nC
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
x
Ex = λ / (2πε0 x) i^
El campo eléctrico es;
E

S 2.12
r
La magnitud del campo a una distancia x es;
:Ex = KQx / (x2
+ R2
)3/2
,
para x = R:
Ex = KQR / (R2
+ R2
)3/2
= KQR / (2R2
)3/2
,
Ex = KQ / (23/2
)* R2
) = −4998.89 N/C
Ex
Como la densidad lineal de carga λ = Q / L,
entonces, Q = λ L = λ (2πR) = −15.71 nC

S 2.13
+σ
Fg = mg
FE = Eq
El pedazo de estireno flota cuando:
Fg = FE, entonces, mg =
Eq mg = (σ/2εo)q
σ = 2εo mg / q =
-2.48 µC/m2
La densidad
superficial de área es: σ = Q
/A, entonces, A = Q / σ = 2.02 m2

S 2.14
El campo eléctrico a una distancia x es;
Ex = (σ /(2ε0)) * {1 − x/
(x2
+R2
)1/2
} Cuando x = R ,
tenemos; Ex =
(σ /(2ε0))*{1 − R/(2R2
)1/2
} Ex =
(σ /(2ε0))*{1 − R/((2^½)
(R2
)1/2
)} Ex = (σ /(2ε0))*{1 −
(1/2)1/2
} = 165.63 N/C
σ
R E

S 2.15
Φ = E A = E A Cosθ•El flujo viene dado por;
a) El flujo que entra es; Φe = E (a*h)1 *Cos180°= −20 Nm2
/C
b)
El flujo que sale es; Φs = E (a * H)2 *Cos60° = 20 Nm2
/C
c) ∆Φ = Φe = Φs = 0
x = h*tan θ = 0.1732 m ; H = √(x2
+ h2
) = 0.20 m
E
a
h
x
H
θ
θ
A2
A1

S 2.16
R
h
Φ = E An = E A= E A Cosθ•
Φ = E A cos θ = E (2(½ Rh)) cos 180° = − 100 Nm2
/C

S 2.17
2Q
-3Q
4Q
ΦR = ΣQ/ε0 = (4Q–3Q+2Q) / ε0 = 3Q / ε0 = 678.58 Nm2
/C
ΦAm = ΣQ/ε0 = (–3Q+2Q) / ε0 = –Q / ε0 = –226.19
Nm2
2/C ΦAz = ΣQ/ε0 = (–3Q+2Q) / ε0 = –Q / ε0 = –
226.19 Nm2
/C Φv = ΣQ/ε0 = 0 / ε0 = 0

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