LIMITES

1. 
Límites
Límite de la variable independiente
Definición de límite de la variable independiente
 “c”: constante
 “x”: variable independiente
 "δ": un valor positivo y tan pequeño como se quiera
 En símbolos:
x c
δ
δ
c +δ
c -δ
x-c
limx = c Û x -c <d

2. 
Límites
Límite de la función
Definición de límite de la función
 “L”: constante
 “f(x)”: función
 “ε": un valor positivo y tan pequeño como se quiera
 En símbolos:
lim f (x) = L Û f (x)- L <eÙ x -c <d
L+ε
L-ε
f(x)

3. 
Límites
En símbolos:
Ejemplo:

4. 
Límites
Límites laterales
Lim
x®a
+ f (x) =
Limx®a- f (x) =
límite lateral derecho ( es el límite de la función cuando “x” se
acerca a “a” desde la derecha o por valores mayores que “a”)
límite lateral izquierdo( es el límite de la función cuando “x” se
acerca a “a” desde la izquierda o por valores menores que “a”)

5. 
Límites
Límites laterales

6. 
Límites
Límites laterales
Lim
x®a
+ f (x) = existe
Limx®a- f (x) = existe
Limx®a+ f (x) = Limx®a- f (x)
Para que una función tenga límites se deben cumplir dos condiciones:

7. 
Límites
Límites laterales
Ejemplos:
Limx®2- f (x) = 0
Limx®2+ f (x) = 4
Limx®4- f (x) = 6
Limx®4+ f (x) = 6
Sí existe el
límite
NO existe el
límite

8. 
Límites
Límites laterales
Ejemplos:
Limx®2- f (x) = 2
Limx®2+ f (x) = 2
Limx®4- f (x) = 4
Limx®4+ f (x) = 0
No existe el
límite
Existe el límite

9. 
Límites
Límites laterales
Ejemplos: y= tg (x)
Limx®0,5p- tg (x) = +¥
Limx®0,5p+ tg (x) = -¥
No existe los
límites laterales
por lo tanto no
existe el limite

10. 
Límites
Operación de tomar límite
Consiste en reemplazar el valor al que tiende la variable independiente en la
función y resolver algebraicamente según corresponda.
Ejemplos:

11. 
INDETERMINACIONES
En ese caso donde el resultado de tomar límite es 0/0 decimos que el límite está
indeterminado: significa que no se puede determinar si existe o no existe
Las indeterminaciones son :
Otro caso que se puede presentar es el siguiente:

12. 
INDETERMINACIONES
OPERACIÓN DE TOMAR
LÍMITE
Una constante: el límite existe
∞: el límite no existe
Una indeterminación : ?
Debo salvar la
indeterminación

13. 
INDETERMINACIONES
¿ Cómo salvar una indeterminación?
Existen distintas formas Métodos algebraicos
TEOREMA GENERAL DE LOS LIMITES INDETERMINADOS
Si dos funciones permanecen iguales para cualquier
valor de la variable, excepto para un valor “c”,
entonces sus límites son iguales para xc

14. 
INDETERMINACIONES
TEOREMA GENERAL DE LOS LIMITES INDETERMINADOS
Analicemos las funciones

15. 
INDETERMINACIONES
Las gráficas de las funciones son iguales excepto para x=3 entonces sus límites son
iguales para x 3
Entonces para salvar la indeterminación debemos por métodos algebraicos válidos,
transformar la función en otra equivalente.

16. INDETERMINACIONES
Otros ejemplos:
Como el resultado es una indeterminación y la variable tiende a una constante, puedo
operar algebraicamente factoreando el numerador y luego simplificando.
El límite existe y es =-2

17. 
INDETERMINACIONES
Otro tipo de indeterminación:
la variable tiende a ∞
En este tipo de indeterminación se debe proceder algebraicamente de otra
manera, para salvar la indeterminación

18. 
INDETERMINACIONES
Otro tipo de indeterminación:
la variable tiende a ∞
En este tipo de indeterminación se debe proceder algebraicamente de otra
manera, para salvar la indeterminación

19. 
INDETERMINACIONES
Para salvar la indeterminación, debemos dividir numerador y denominador por
la variable x elevada al mayor exponente que se presente en el numerador y el
denominador.
Ejemplo:

20. 
INDETERMINACIONES
Otro ejemplo:

21. 
LIMITES NOTABLES
Se denominan así a aquellos límites , que si bien parecen indeterminados, se pueden
demostrar que en realidad existen.
Un tipo de límite notable es el siguiente:

22. 
LIMITES NOTABLES
Ejemplo:
Comparo el término variable del binomio con el exponente. Debería tener como
exponente 1/2x. Si a todo el límite lo elevo a 2/2 no cambia ya que sería como
elevarlo a 1.
Como potencia de potencia, los exponentes se multiplican
Al ser un producto, puedo reescribir los factores

23. 
LIMITES NOTABLES
Ordenando el limite:
Dentro del corchete ya quedó como límite notable, por lo tanto
ese corchete es igual a “e”, como eso está elevado a 10, el
resultado es e10