1. ESTENSIONE DEL CAMPO
NUMERICO
Fabio Sammarini
4 ottobre 2011

2. La conta

3. LE PRIME DUE CLASSI DELLA
SCUOLA PRIMARIA SONO CRUCIALICRUCIALI
PER IL PROSEGUIMENTO
DELL’APPRENDIMENTO
Generalmente i bambini che in terza
contano sulle dita sono quelli che in
prima sono …. “persi”persi” …..
26/07/13 3

4. Il bambino che arriva in classe prima
….. generalmente ha anche frequentato la scuola
dell’Infanzia …….
26/07/13 4
ha comunque già avuto esperienze
matematiche

5. 26/07/13 5
IL BAMBINO POSSIEDE GIÁ DUE CONCETTI
LA CONTA
(tipo poesia)
SUBITIZING
•Conta con inizio di ragionamento (oltre
il 20….) … problema di memoria sulle
diverse decine (60 e 70 che si
confondono)
•Conta che si fonda unicamente sulla
memoria (…. 12, 13, 14, 15, 17, 18, …..)

6. 26/07/13 6
LA CONTA è
indispensabile per
poi contare le
quantità
LA CORRISPONDENZA e
CONSERVAZIONE DELLA
QUANTITÀ (ma anche dello
spazio, del volume…)
NON è INSEGNABILE, dipende dalla
maturazione dell’individuo e quindi
dalla “costruzione interna” di questo
concetto
Ad un certo punto il bambino capisce
che la grandezza, la posizione nello
spazio, ecc…. NON SONO
DETERMINANTI RISPETTO ALLA
QUANTITÀ
ASPETTO ORDINALE E
CARDINALE insieme perché
mentre conto sto ordinando
Se la conta non c’è occorre
costruirla ma ….. In senso
progressivo ….. Non
regressivo!

7. 26/07/13 7
SUBITIZING
È un aspetto evidenziato da
psicologi che lavorano con
bambini di 3/5 anni
CONSISTE NELL’INDIVIDUARE
PICCOLE QUANTITÀ SENZA
NECESSARIAMENTE SAPER
CONTARE
Alcuni bambini sperimentano
quotidianamente alcune piccole
quantità …………
Ad esempio: se siamo tre in
famiglia, ogni giorno
apparecchio per tre
mettendo tre piatti, tre
bicchieri, tre posate, ….
Quindi se vede
può sapere che sono TRE senza
saperlesaperle contare
Questa competenza (SUBITIZING) precedeprecede la
capacità di contare

8. 26/07/13 8
L’obiettivo di lavorare con i
numeri entro il 20 non deve
essere statico e vincolante ….
GIOCHI PER CONQUISTARE
L’OBIETTIVO DELLA CONTA
(contare per contare)
•Conta i tuoi passi
•Conta i miei passi (fatti a velocità diverse)
•Conta i battiti della matita sul banco (con gli
occhi chiusi): scrivi il numero sul foglio con il
simbolo o con il disegno)
•POI …… conta regressiva

9. 26/07/13 98 febbraio 2006 Ampliamento del campo numerico 9
CONTEGGIO CON GRANDI COLLEZIONI
(LA DECINA)
Contare grandi collezioni di oggetti
(tappi, carte, pupazzetti, figurine …)
Lavoro a piccoli gruppiLavoro a piccoli gruppi
Conta tutti i i tappi
così potrò segnare
il totale
Ho contato con le mie
dieci dita tutti i tappi,
ma ora non riesco ad
andare avanti.

10. 26/07/13 10

11. 26/07/13 11
TABELLA PER REGISTRARE LE IPOTESI

12. 26/07/13 12
Quante castagne sono? … automobili, tazze, persone, piante,…..
Quanti sassolini sono? … bicchieri, bambini, legnetti,…
Quantificare una
collezione è una
tra le più
ricorrenti
situazioni a cui
siamo confrontati
(non solo a
scuola, ma nel
corso di tutta la
vita).
SITUAZIONE:scrivi sul foglio la quantità di oggetti
appoggiati sui tavoli. RICORDA: non puoi toccare gli oggetti

13. 26/07/13 13
10
10
10
10
PROGRESSIVAMENTE …. Metto in evidenza dieci oggetti
su ogni tavolo!
SITUAZIONE:prova di nuovo ad indovinare la quantità!
Confermi ancora quanto hai scritto prima?
Si procede in
questo modo
fino a quando
gli allievi non
confermano in
modo
definitivo le
loro ipotesi

14. 26/07/13 14
Quante castagne sono?
Usando la variabile “bicchiere” cosa cambia nell’attività?
Che opportunità sono offerte all’allievo?
10
Possiamo
considerare questa
situazione come
“fondamentale”?

15. 26/07/13 15

16. 26/07/13 16
“Come possiamo accelerare la conta,..ed essere anche più
sicuri?”
“….formando dei gruppi.”
INDIVIDUATE LA
QUANTITA’ NEL PIU’
BREVE TEMPO
POSSIBILE E
SPEGATE COME
AVETE FATTO

17. 26/07/13 17
“Facciamo dei gruppi di 5 stelle.”

18. 26/07/13 18
“Facciamo dei gruppi di 10 stelle.”

19. 26/07/13 19
L’obiettivo di lavorare con i
numeri entro il 20 non deve
essere statico e vincolante ….
L’esigenza di raggruppare per 10 NON DEVE
essere la prima da stimolare
Il bambino può anche raggruppare ….
Per 5 Per 2
Raggruppamenti più vicini
alla realtà del bambino

20. 26/07/13 20
Raggruppo per 5
Ho 17 caramelle da dividere. Decido di darne 5
ciascuno. Quanti bambini posso accontentare?
Raggruppo per 2
Ogni bambino deve avere 2 caramelle. Siamo in 21.
Quante caramelle devo acquistare?

21. La linea dei
numeri

22. 26/07/13 22
L’obiettivo di lavorare con i
numeri entro il 20 non deve
essere statico e vincolante ….
ATTIVITÀ NEL MESOSPAZIO
con la linea dei numeri
1
2
5
1
2
3
5
4
8
9
Blocco per non
incorrere nell’errore
di pensare i numeri
come circolari
Numeri scritti in piccolo per
costringere i bambini a muoversi per
cercare il numero

23. 26/07/13 23

24. 26/07/13 24
Attività in grandi spazi per
“favorire la costruzione di rappresentazioni”“favorire la costruzione di rappresentazioni”
Giochi con i numeri fino a 20

25. 26/07/13 25
Attività in grandi spazi per
“favorire la costruzione di rappresentazioni”“favorire la costruzione di rappresentazioni”
Gioco della corsa al 20
spirale

26. 26/07/13 26
Attività in grandi spazi per
“favorire la costruzione di rappresentazioni”“favorire la costruzione di rappresentazioni”
Gioco dei legnetti o dei
bicchieri come segnaposto
LINEA DEI NUMERI

27. 26/07/13 27
• I numeri sono: o tutti COPERTI
o tutti SCOPERTI
• La maestra pesca un numero
• I bambini devono andare a COPRIRE (o
SCOPRIRE) il numero pescato.
• L’insegnante riesce a rendersi conto di chi “va
a colpo sicuro”, di che “va avanti quando il
numero è indietro”, ecc …..

28. 26/07/13 28
• In seguito posso dividere i bambini a coppie,
usando tante linee e tanti sacchettini:
uno pesca (fa la maestra)
l’altro corre e posiziona il numero
poi si scambiano
ULTERIORE SVILUPPO DELL’ATTIVITÀ
•Tante linee, tante strade colorate ( anche da 15 a 32 …..,
non necessariamente da 1 a …. )
•Classe divisa in squadre/coppie
•Vince la squadra/coppia che posiziona per prima il numero
pescato dal compagno/maestra

29. Indovina il numero che ho pensato
(Rappresentazione della retta numerica)

30. 26/07/13 30
12 15 18 19 25
Linea dei numeri con …. Le
mollette
ASPETTO
ORDINALE

31. 26/07/13 31
Fiori: mettere i petali necessari!
ASPETTO
CARDINALE
12
8
5
15
26
3
10

32. Stime progressive - PenneEs. x docenti STIME PROFRESSIVE  …”PENNE” SE3-5 1
“1 kg di penne”
Stima iniziale e aggiustamenti
progressivi.
Quale è stata la differenza tra la
stima iniziale e il numero esatto?
100
1000

33. Scriviamo i numeri fino a 500
Osservazioni per l’insegnante:
Questo materiale serve per
un’attività collettiva legata
all’estensione del campo
numerico.
• Si ritagliano i cartellini e poi gli
allievi ne pescano uno alla volta e
scrivono su una striscia i numeri
indicati.
• Quando tutte le strisce sono
completate, si compone la “linea
dei numeri”con la quale è
possibile fare parecchie attività.
Pesca un cartellino e scrivi uno dopo l’altro i numeri su una striscia.

34. La banca dei
numeri

35. ATTIVITÀ NUMERICHE FONDATE SUL VALORE
POSIZIONALE DELLE CIFRE
Le attività proposte si appoggiano su una
“scatola di numeri” chiamata Banca dei
numeri che, a seconda dei livelli degli
allievi, può essere composta da numeri
entro il 100 oppure entro il 1 000
L’obiettivo prioritarioL’obiettivo prioritario nell’uso della
Banca dei numeri (e di tutte le attività
correlate) consiste nel mettere l’allievo
in situazioni sempre più complesse nelle
quali egli possa costantemente
mantenere il controllo numerico della
situazione.

36. Ce la fai a battere la clessidra?
Consegna:
- Ritaglia tutti questi numeri
seguendo bene le righe.
- Costruisci i numeri da 1 a 20.
- Ora cerca di farlo il più
velocemente possibile dopo
aver mescolato bene tutti i
cartellini.
- Ce la fai a battere la
clessidra? (2 minuti)

37. ESEMPI DI ATTIVITÀ
Questa attività può essere svolta
oralmente (in un momento di lavoro
individuale) o a partire dal testo.
Non è sempre vero che un allievo che
sa scrivere correttamente dei numeri
sappia poi costruirli con la Banca deiBanca dei
numeri.numeri.
in questo caso (quando non ci fosse
padronanza del valore posizionale
delle cifre) la prima attività
dell’allievo può concernere in un
lavoro di scoperta
COSTRUISCI IL NUMEROCOSTRUISCI IL NUMERO
- Come poi costruire il numero 367
utilizzando ciò che contiene questa
scatola?
- Costruisci i seguenti numeri:
902 318
385
39
88
560806
712
- Dopo averli costruiti mettili in fila dal più
grande al più piccolo.
- Costruisci un altro numero che possa
stare tra questi due (es. 318 e 385).
- ecc. …

38. 1. Usando la Banca dei numeri, costruisci questi tre numeri:
2. Dopo averli costruiti esegui la somma.
“Annota sul tuo quaderno ciò che fai”
3. Ora scomponi i tuoi numeri e, utilizzando tutte le parti (tutti i cartellini), componi
altri numeri.
ESEMPI DI ATTIVITÀ
Scomponi dei numeri per costruirne altri cheScomponi dei numeri per costruirne altri che
sommati danno lo stesso risultato.sommati danno lo stesso risultato.
35 113
321
Oss: è questa una mediazione (da parte del docente)
che favorisce la costruzione di algoritmi spontanei
creando un collegamento diretto tra i momenti di
calcolo mentale e di calcolo scritto
(Non c’è, in questo caso, nessun
passaggio di decina o di centinaio.)

39. 4. Adesso, calcola di nuovo la somma.
(333+121+15=469)
5. Confronta il risultato con quello di prima. Come sono? …………
Come mai trovi lo stesso risultato anche se i numeri sono diversi?
6. Cerca altre addizioni, utilizzando sempre tutti i cartellini.
Scrivi tutto ciò che hai scoperto.
ESEMPI DI ATTIVITÀ
Scomponi dei numeri per costruirne altri cheScomponi dei numeri per costruirne altri che
sommati danno lo stesso risultato.sommati danno lo stesso risultato.
Uso di variabili numeriche:Uso di variabili numeriche:
Le difficoltà di questo lavoro dipendono
dalla quantità e dalle caratteristiche dei
numeri. Il docente deve adattare il
compito ai singoli allievi, proponendo
progressivamente dei numeri sempre più
complessi che contengano prima il
passaggio di decina, poi quello di centinaia
e, infine, entrambi

40. Giochi

41. IL GIOCO DEL 5

42. Il “Gioco del 5”, oltre a
mirare alla padronanza
nell’ordinare i primi dieci
numeri, permette di
sviluppare in modo
importante la capacità di
anticipazione e un
“pensiero strategico”.

43. La costruzione del gioco
per i bambini è
semplicissima:
- Gruppetti di quattro
bambini (se si devono
formare gruppi di tre si
può giocare ugualmente).
- Ogni allievo riceve dieci
carte, non troppo grandi
(le carte sono uguali per
tutti gli allievi).
- Ognuno, con un colore
diverso, scrive su ogni
carta, ben in grande, i
numeri da 1 a 10.

44. Come si gioca?
Tutte le carte vengono
sparse sul tavolo, con i
numeri rivolti in basso, e
mescolate.
Poi ogni allievo ne
riprende dieci.
Ognuno gira le sue carte,
le ordina davanti a sé,
raggruppando le carte
dello stesso colore, ma in
modo che siano ben visibili
anche dagli altri giocatori.

45. Regole del gioco
- Inizia il gioco chi ha il 5 nero (o del colore che si decide prima di girare le carte).
- A turno, si aggiungono le altre carte, una alla volta, crescendo o decrescendo dal 5.
- Ad ogni suo turno il giocatore può “attaccare” una sola carta.
- Dice “passo” se non ha una carta giocabile.
- Non si può “passare” quando si ha una carta che può essere giocata.
- Vince (4 punti) chi per primo riesce a liberarsi di tutte le carte: 3 punti al secondo, 2
al terzo e 1 punto all’ultimo.

46. GIOCHI CON I
GRANDI NUMERI

47. GIOCHI CON I GRANDI NUMERI
• 1 000 passi:1 000 passi:
attività all’aperto, l’obiettivo è
quello di scrivere tutti i numeri
fino a 1000, ogni passo un
numero.
Fasi:
- scegliere una strada lunga (con
poco traffico, un marciapiede).
- dividersi tra gli allievi della
classe 1000 numeri (problema
interessante da risolvere).
- con cosa scriviamo?
(vantaggi/svantaggi)
- procedura: come facciamo?
SCOPO: marcare un vissuto comuneSCOPO: marcare un vissuto comune
sul quale ritornare ed agganciaresul quale ritornare ed agganciare
altre attività (misure, chilometro,altre attività (misure, chilometro,
tempo,…)tempo,…)

48. GIOCHI CON I GRANDI NUMERI
• 1 000 nodi:1 000 nodi:
esperienza simile a quella dei passi
ma che si può svolgere in aula.
Fasi:
- definire i vari pacchetti di numeri
che ognuno dovrà costruire
- definire le regole:
es. ad ogni spanna faccio un nodo,
nei nodi che segnano le decine
inserisco una perlina o un anello o
un nastrino colorato.
Nei nodi che segnano le centinaia
inserisco un altro segno più vistoso Nella distribuzione deiNella distribuzione dei
pacchetti non è necessariopacchetti non è necessario
che ognuno abbia un trattoche ognuno abbia un tratto
preciso.preciso.

49. MANGIANUMERI

50. Mangianumeri
Le attività proposte tramite queste schede si ricollegano a due temi
fondamentali:
- Valore posizionale delle cifre
- Sottrazioni

52. MODELLO DI LEZIONE CHE INCLUDE
LA DIFFERENZIAZIONE
OBIETTIVI:
1. Differenziare tra livelli cognitivi dei bambini
2. Differenziare le possibilità di soluzione (ognuno ha il
proprio stile cognitivo)
OBIETTIVI COGNITIVI sono legati:
• alla suddivisione in parti uguali
• alle relazioni tra parte e intero

53. LEZIONE INTRODUTTIVA
Oggi vi darò alcune cose da dividere in parti uguali.
Per fare questo dobbiamo imparare a disegnare nello
stesso modo, con gli stessi simboli.
Disegniamo i bambini così e vediamo in 30 secondi quanti
bambini riuscite a disegnare
Ora disegniamo una torta e due bambini
Ora scegliamo un colore diverso e dividiamo la torta in parti
uguali tra i due bambini
Ora fate due frecce per farmi capire quale parte va ad ogni
bambino
IN QUESTO MODO STO COSTRUENDO LA
STESSA RAPPRESENTAZIONE CON TUTTA
LA CLASSE

54. Ora disegnate 3 torte e due bambini
SOLUZIONI POSSIBILI:
• Molti bambini NON riusciranno a capire la seconda soluzione.
• Come portare l’allievo a rappresentare così?
• Il problema NON verrà affrontato adesso……..:
1. Prima metto gli allievi nella condizione di poter osservare anche la prima
soluzione utilizzata da alcuni compagni (vedi uso della lavagna
luminosa!!!!):si potranno già vedere degli spostamenti
2. Poi si potranno presentare alcune situazioni in cui gli oggetti NON si
possono dividere materialmente, ad esempio, invece delle torte userò delle
biglie, delle palline, delle figurine (situazioni in cui l’intero è una parte) MA
NON A LIVELLO PRATICO, dando oggetti da tagliare, PERCHE’ DEVO
RIMANERE A LIVELLO SIMBOLICO …. STO COSTRUENDO UNA
RAPPRESENTAZIONE SIMBOLICA

55. PROGRESSIONE
• Foglio bianco su cui far disegnare bambini il più velocemente possibile
• Presentare situazioni che costringano l’allievo a frazionare
• A seconda delle variabili in gioco aumentano o diminuiscono gli ostacoli
cognitivi (numero bambini e/o torte)
• L’essenziale non è la riuscita nel compito ma lo sviluppo della
rappresentazione
• Osservare le difficoltà emergenti
• Rimettere in gioco le soluzioni emerse dai bambini
• Lezione di rilancio alla classe
• Invece delle torte usare le biciclette, le figurine,… Cosa succede? I bambini
le tagliano?

57. Situazioni di partizioneSituazioni di partizione
esempi di soluzioneesempi di soluzione

58. Dividiamo in parti ugualiDividiamo in parti uguali
(Una progressione di situazioni che “mette in gioco” il tema della partizione.)
Gli obiettivi cognitivi
sono legati alla
suddivisione in partiparti
ugualiuguali e alle relazioni
tra parti e interoparti e intero

59. Dividiamo in parti ugualiDividiamo in parti uguali
• Modifiche della distribuzione
spaziale e della dimensione dei
bambini (conservazione e invarianza)
• Modifiche della forma degli
oggetti
• Uso di materiali concreti:
tavolette, cerchietti di carta,
corde ….
• (possibilità di verificare le
procedure di partizione e
l’uguaglianza delle parti)

60. MISURA

61. Situazione 1 – fase A
Obiettivo: Lo scopo di questo primo momento è di rendersi conto
che il numero naturale non è più sufficiente per risolvere
determinate situazioni.
In sintesi, si tratta di una lezione-situazione attraverso la quale
l’insegnante provoca l’ostacolo, rende cioè possibile, per
l’allievo, l’incontro con la necessità (motivata dalla situazione
stessa) di costruire “qualcosa di nuovo”. Situazioni di questo
genere danno senso e “appartengono” al nuovo sapere, alla
nuova conoscenza-competenza (concetto, procedura,...) in atto,
in fase cioè di costruzione.
Per il docente si tratta anche di sperimentare, intenzionalmente, una
situazione nella quale sappiamo in precedenza che difficilmente gli allievi
potranno riuscire. Ci si potrebbe chiedere: ma perché farlo se la classe
può riuscire solo parzialmente?

62. CONSEGNA
Il listello che tutti avete ricevuto, ci servirà oggi come unità di
misura.
Per comodità gli daremo un nome: ci sono proposte? …. breve
discussione …..
Bene, allora questa unità di misura si chiamerà per tutti noi DONG.
Ora attenti bene: immaginiamo di vivere in un paese dove non si
conosce nessun’altra unità di misura convenzionale al di fuori del
DONG, quindi né i centimetri, né i metri, né i millimetri,… e tutto
deve venir pertanto misurato in DONG.
Ciò che vi chiedo è di iniziare, e lo potete fare a coppie, a misurare
delle lunghezze all’interno dell’aula. Misurate ciò che volete:
quaderno, libri, banco, finestra, porta,…. cercando di essere il più
precisi possibile,… ma, attenti(!) sempre e unicamente in DONG.
DONG
Il foglio è diviso in tre colonne:
1. “oggetto”, cosa misuro
2. MISURA
3. Controllo
Abbiamo scelto una lunghezza dei “DONG” di 16 cm.
Sul foglio che avete ricevuto scrivete
(1) cosa avete misurato (ad esempio “larghezza del banco”) e poi
(2) la misura precisa.
Dovete scrivere bene poiché fra un quarto d’ora circa dovrete passare il foglio a dei compagni per un
primo controllo (3).
Anche se lavorate a coppie, ognuno scrive sul suo foglio (il controllo sarà poi individuale).

63. Esempi di misure scritte dagli allievi
Tracce delle misure emerse durante la situazione 1A.
Osservazioni a posteriori:
- …..

64. Situazione 1 – fase B (soltanto in caso di “necessità”)
Obiettivo: questa “faseB” (la situazione rimane la stessa) viene
proposta alla classe se le risposte iniziali sono state “povere” e
parecchio imprecise. Per raggiungere una sufficiente precisione è
infatti necessario suddividere il DONG in parti equivalenti,
generalmente in mezzi, quarto ottavi, 16esimi, …32esimi, …
64esimi. Se necessario, si può “provocare” questa partizione
attraverso delle piegature ripetute di una striscia di carta della
lunghezza di un DONG (a metà, metà della metà,…).
Questa “faseB” può anche essere proposta semplicemente come
consolidamento quando un numero esiguo di allievi soltanto ha
raggiunto l’espressione di misure corrette e precise. In questo
caso le procedure adottate vengono prima discusse e mostrate
cosicché possano venir spontaneamente abbandonate quelle
meno efficaci (del tipo: “2 dong e un po’ ”; “1 dong, mezzo dong
e un pochino”;…)

65. Discussione (prima dell’inizio della lezione)
Quali difficoltà avete incontrato ieri?......... discussione……. (verosimilmente uscirà il
problema legato alla difficoltà di misurare in modo preciso la “parte restante”).
Alcuni di voi hanno suddiviso il DONG in parti,… vediamo un
po’…. .
Bene, ma come si potrebbe suddividerlo in parti più precise? (sempre
restando nel gioco, ossia senza poter ricorrere all’aiuto delle misure
convenzionali, in particolare dei cm e mm). Vediamo se qualcuno di voi ha
qualche idea: …….
(Nel caso in cui la discussione fosse povera l’insegnante potrebbe sollecitare la
riflessione). Provate a ritagliare una striscia qualunque di carta lunga come il
DONG. Come potreste fare per suddividerla in parti uguali, per esempio a metà?,
…. (a questo punto ben difficilmente non usciranno delle partizioni piccole e precise).
In questo caso, l’impossibilità ad usare centimetri e millimetri è un esempio di vincolo didattico.

66. CONSEGNA
Bene, adesso che tutti hanno uno strumento di misura
più preciso, riproviamo a misurare degli oggetti,
delle lunghezze, come avete fatto ieri.
Annotate sempre sul foglio la vostra misura, e
l’oggetto, in modo che il compagno che controllerà lo
possa trovare senza difficoltà.
Il foglio è diviso in tre colonne:
1. “oggetto”, cosa misuro
2. MISURA
3. Controllo
DONG
Striscia di carta

67. Esempi di misure scritte dagli allievi
Tracce delle misure emerse durante la situazione 1B.
Osservazioni a posteriori:
- …..

68. Situazione 2
Obiettivo:
Si qui gli allievi hanno incontrato il problema e l’hanno risolto suddividendo
l’unità (la quantità 1) in parti equivalenti e creando delle misure espresse tutte
secondo la stessa unità, cioè in DONG. Per fare ciò hanno utilizzato delle frazioni
(in particolare, immaginiamo, quelle multiple di 2). Ora, e questo è l’obiettivo
chiave di questa seconda situazione, si tratta di favorire l’emergere di frazioni
espresse in decimi e centesimi.
Naturalmente questo secondo (terzo) momento,
deve essere preceduto e seguito da una discussione collettiva,
centrata sui momenti di comunicazione, argomentazione e, quando
necessario, di validazione.

69. Discussione (prima dell’inizio della lezione)
Quali difficoltà avete incontrato ieri? .. è andata
meglio? .. siete riusciti ad essere precisi?... ….
Oggi, la situazione sarà un po’ diversa,
cambieremo paese, non userete più il DONG,
bensì questo nuovo listello, questo (lungo 10 cm) , che
chiameremo …. Qualcuno ha un’idea?
… bene, …che chiameremo allora TANG.

70. CONSEGNA
Ancora una volta avete il vostro foglio e il vostro
strumento di misura, il TANG.
TANG
Visto che noi lavoriamo usando un sistema che
funziona di 10 in 10, ecc... (vedi decine,
centinai, migliaia,…), per “comodità”, e anche
per fare un’esperienza, il vostro Tang cercherete
di dividerlo in 10 e in 100 parti uguali. Per fare
queste suddivisioni in modo preciso potete usare
per un momento la vostra riga o la squadra.1
Il foglio è diviso in tre colonne:
1. “oggetto”, cosa misuro
2. MISURA
3. Controllo
[1] A questo punto gli allievi scoprono che il loro TANG misura esattamente 10 centimetri, cioè 1Tang= 1 dm.
Questa “vicinanza” serve loro (vedremo perché), anche se al momento è imposto un vincolo che consiste nel dover esprimere tutte
le misure unicamente in “Tang”. Infatti, per gli allievi, sarebbe sicuramente più facile esprimere le misure in centimetri e millimetri.
Ma qui siamo proprio a un punto chiave nella costruzione del concetto di numero decimale dove, ad esempio rispetto al numero
24,56, una sola è (e deve essere!) l’unità di riferimento (vedi osservazioni circa il valore posizionale delle cifre).
Sarebbe anche possibile consegnare ad ogni allievo un TANG già suddiviso, usando dei materiali già esistenti (decimetri suddivisi in
dieci e cento parti), però riteniamo che costruirlo (un lavoretto comunque di soli 5 min) sia un’esperienza utile (dipende
naturalmente anche dalle precedenti attività svolte durante l’introduzione delle misure convenzionali).

71. Esempi di misure scritte dagli allievi
Tracce delle misure emerse durante la situazione 2.
Osservazioni a posteriori:
- …..

72. Situazione 3
Obiettivo:
Esercitare e consolidare quanto sin qui appreso in vari ambiti: lunghezze, pesi, capacità, valore.
Discussione (prima dell’inizio della lezione)
Tramite le esperienze con i Dong e con i Tang avete appreso a misurare in modo preciso
le “parti restanti”, quelle più piccole di un Dong o di un Tang.
Vediamo di riassumere come avete fatto e soprattutto cosa avete usato per queste
misurazioni. (… si discute)……….. (verosimilmente sull’uso delle frazioni)…. .
Fase di istituzionalizzazione  Bene, avete quindi scritto delle misure composte da una
parte intera e da una parte frazionaria. E la parte frazionaria si riferiva sempre alla stessa
ed unica unità di misura.
Oggi cercheremo di consolidare quanto appreso e di correggere eventuali errori,
aiutandoci a coppie. Le coppie la faremo per sorteggio, con le carte da gioco.

73. CONSEGNA
Ciò che dovete fare è tutto scritto sui tre fogli che ora vi consegno.
Desidero vedervi lavorare con il dovuto rispetto, soprattutto aspettando il momento
opportuno per lavorare con la bilancia, i liquidi e gli stampini dei soldi.
Oggi però le regole cambiano, potete usare gli strumenti di misura che credete più
opportuni.
Si tratta di collaborare, discutere, confrontare le idee, aiutarsi, analizzare i risultati,
correggere eventuali errori.
Questo terzo momento può essere organizzato nei modi più diversi (molte sono le variabili su cui poter agire). Nel nostro caso si è scelto
di lavorare “a tutto campo”, dalle lunghezze, ai pesi, alle capacità, ai soldi. Però si potrebbe suddividere questo momento in modo del
tutto diverso, a dipendenza della classe, limitando ad esempio una prima esercitazione solo alle misure di lunghezza e di valore. Poi
aggiungere un secondo momento per le misure di peso e di capacità. Si potrebbe anche immaginare, a dipendenza dei risultati e del
tempo a disposizione, di affrontare ogni campo di misurazione separatamente. Il fatto comunque di considerare tutti questi diversi campi
è essenziale in quanto implicitamente si comunica che quanto si sta imparando ha un valore generale. (Rimane l’ostacolo delle misure di
tempo che verrà affrontato in un tempo successivo, dopo aver consolidato il numero decimale in queste prime misurazioni.)

74. Tracce-osservazioni relative al lavoro degli allievi
durante la situazione 3.
Osservazioni a posteriori:
- …..
- …..

75. Situazione 4 - lezione “classica”
Obiettivo:
Insegnamento, istituzionalizzazione ed esercitazione della scrittura decimale.
Discussione (prima dell’inizio della lezione)
… siamo allora d’accordo: le parti più piccole dell’unità si possono misurare o costruire in modo
esatto grazie ai frazionamenti che voi avete fatto delle unità.
(Puntualizzazione) In tutte le esperienze sin qui vissute abbiamo usato tante diverse frazioni che possiamo
dividere in due gruppi, quelle non decimali e quelle decimali.
Provate un po’ a ricordare, … potete anche consultare il vostro materiale….
Da questo lato della lavagna scriveremo le frazioni NON decimali e da quest’altra parte quelle
decimali.
Questo è un momento in cui l’insegnante deve insegnare. La scrittura decimale, come tutte le convenzioni, non può essere appresa per raziocinio (ciò
che invece è avvenuto nelle situazioni precedenti) e pertanto richiama alla necessità di un processo di trasmissione culturale: l’allievo adatta alla
nuova scrittura insegnata le “strutture” da lui costruite e quanto con ragionamento ha precedentemente appreso. Non c’è infatti un ragionamento che
giustifica la scrittura convenzionale, caso mai una spiegazione (infatti si sarebbe potuto scrivere in tanti altri modi!).
Frazioni NON-decimali Frazioni decimali
½ 3/8 5/6
7/16 ¼
3/10 5/100
7/100 38/100

76. Fase di istituzionalizzazione  Bene, avete quindi scritto delle misure composte da una
parte intera e da una parte frazionaria. Ricordiamo anche, ed è molto importante, che la
parte frazionaria in questi casi si riferisce sempre ad una ed una sola(!) unità.
Quanto avete fatto è perfettamente corretto però a volte un po’ complesso da scrivere.
Dovete sapere che esiste un modo molto semplice per scrivere esattamente le stesse cose,
grazie ad una “invenzione” fatta circa cinque secoli fa:
- Invece di scrivere 8 e 3/10 si può infatti scrivere semplicemente 8,3
- Invece di scrivere 6 e 2/10 e 5/100 si può scrivere semplicemente 5,25
Naturalmente sapendo esattamente che quel 2 vale 2/10 e che quel 5 vale 5/100.
Finora conoscevate unità, decine, centinaia, migliaia, unità di migliaia,…ecc,
Ora abbiamo allargato il nostro concetto di numero non più verso il “grande”, ma verso il
“piccolo”: avete conosciuto i decimi e i centesimi e, più in là, incontrerete anche i
millesimi.

77. Vediamo quindi di fare adesso una sintesi sul valore posizionale delle cifre.
Prendiamo ad esempio il numero 3546,72 e vediamo quanto vale ognuna delle cifre.
Provate prima su di un foglio, per conto vostro, poi guarderemo subito assieme.
3546,72
La virgola (che nelle calcolatrici è un punto!)
separa la parte intera dalla parte decimale del
numero.
500
6
3000
40
7
10
2
100

78. CONSEGNA
Se per tutti è chiaro, adesso vi propongo questo
esercizio.
Guardate il foglio che vi ho dato.
Nella prima colonna scrivete le misurazioni con le
frazioni in decimi e/o centesimi che avete utilizzato
sin qui nei vostri lavori. Guardate nei fogli che
avete utilizzato si qui.
Poi , nella colonna accanto, scrivete la stessa
misura, però utilizzando la scrittura decimale che
abbiamo imparato oggi.

79. Tracce-osservazioni relative al lavoro degli allievi
durante la situazione 4.
Osservazioni a posteriori:
- ….
- …..

80. Situazione 5
Obiettivo:
Ricapitolazione ed esercitazione. Poi e una situazione-problema che affronta il tema
dell’equivalenza tra, ad esempio, 4 e 2/10 e 5/100 e 4 e 25/100
Discussione-ricapitolazione
Vediamo di rievocare mentalmente il percorso delle lezioni che ci
hanno portato alla comprensione e alla scrittura dei numeri
decimali. ………

81. CONSEGNA  esercizio
Oggi ci concentreremo dapprima solo sui
numeri.
Non importa quindi se si di tratta di Dong, di
franchi, di metri o di chilometri,… o
quant’altro, guardiamo unicamente i numeri.
Iniziamo con un esercizio facile se avete
capito bene quanto avete imparato ieri.
Dovete semplicemente ricopiare nella casella
destra i numeri decimali che io ho scritto su
questa lavagna e, uno alla volta, riscriverlo a
sinistra come lo avreste scritto prima di
imparare la scrittura decimale, ossia parte
intera e frazioni. E’ il lavoro inverso rispetto a
quanto avete fatto sull’ultimo foglio che vi ho
dato.

82. CONSEGNA  situazione-problema
(Dopo aver corretto l’esercizio attraverso lo scambio di fogli)
Ora. a coppie, dovete cercare una risposta a questa situazione:
Alla lavagna ho scritto due misure, queste:
3 e 2 /10 e 5/100 3 e 25/100
Queste due misure come sono? Una è più grande dell’altra oppure sono
equivalenti?
Non basta però la risposta, dovete dimostrare, spiegarne il perché.
Appena avete terminato consegnate il vostro foglio con la risposta, la spiegazione e i
vostri nomi, e riprendete con l’attività di laboratorio.

83. Tracce-osservazioni relative al lavoro degli allievi
durante la situazione 5 (esercizio).
Osservazioni a posteriori:
- ….
- …..
Tracce-osservazioni relative al lavoro degli allievi
durante la situazione 5 (situazione-problema).
Osservazioni a posteriori:
- ….
- …..

84. Situazioni 6…, 7…, 8…, 9…, 10…, …
Le prime 5 situazioni sono servite per arrivare al numero decimale e per introdurne
la scrittura.
Con le situazioni che seguono si vuole far sì che gli allievi possano man mano
acquisire una sempre migliore padronanza del numero decimale, sia attraverso delle
esercitazioni, dei compiti precisi, sia attraverso situazioni particolari e
didatticamente significative (vedi ad esempio l’uso della scrittura frazionaria
nell’eseguire delle addizioni e sottrazioni con i numeri decimali, oppure scoprire
perché in un numero decimale la parte decimale deve forzatamente sempre essere
inferiore a 1,…)
Grazie alle frazioni si è giunti al numero decimale, però dobbiamo stare attenti e
considerare che la programmazione dell’insegnante deve a questo punto tener
presente due esigenze diverse (anche se complementari): da un lato continuare la
riflessione e l’apprendimento delle frazioni e, dall’altro, acquisire dimestichezza con
i numeri decimali. Lo statuto dei decimi e dei centesimi nel numero decimale è
infatti diverso dallo statuto e dall’utilizzo che si può fare in genere delle frazioni (fra
le quali anche quelle in decimi e centesimi!).
Per fare un solo esempio possiamo dire che si può sia avere 2/10 nel numero 3,25 (e
in questo caso 2/10 si riferisce quindi al valore posizionale della cifra 2 nel numero
3,25), ma, in una situazione completamente diversa (e qui abbiamo unicamente a che
vedere con il concetto di frazione e non più di decimale) potrei essere nella
condizione di calcolare, ad esempio, quant’è 2/10 di 30, o di 120, o di una qualunque
quantità, misura o insieme.

85. Resta quindi chiaro che il problema della
coordinazione e della relativizzazione-
contestualizzazione delle conoscenze, in
relazione alle diverse situazioni, non si risolve
con l’introduzione del numero decimale, anzi.
… Ma qui stiamo entrando in un ulteriore
“oggetto” d’apprendimento (a dimostrazione
comunque che siamo dentro un “reticolo” per
cui un “oggetto” attira l’altro,…)
Lo schema accanto sintetizza queste
riflessioni:
I.D. 9 febbraio 2008

86. Riferimenti bibliografici
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