Presentation Tisic 2011

Pr´sentation de quelques m´thodes et applications de
e e
clustering de graphes

Etienne Cˆme,
o
etienne.come@ifsttar.fr

8 D´cembre 2011
e

Cˆme, E. (IFSTTAR)
o Clustering de graph 8 D´cembre 2011
e 1 / 68

Outline

1 Introduction
Graphes
Probl´matique de la recherche de communaut´
e e
2 Clustering de graphes, quelques m´thodes
e
Mod`le de m´lange d’Erdos Renyi
e e
Maximisation de la modularité
Clustering spectral
3 Extraction locale de communaut´ e
Probl´matique
e
Solutions existantes
Noise cluster model
Exp´rimentation : extraction de communaut´s de blogs
e e
4 Clustering hi´rarchique / multi-ćhelles
e e
Probl´matique
e
Clustering spectral sur graphes orient´s
e
Extension hi´rarchique
e
Exp´rimentation : Identification d’aires urbaines
e
Cˆme, E. (IFSTTAR)
e 2 / 68

Introduction Graphes

Introduction, graphes
Graphe
Deux ´l´ments G = {V , E } :
ee
V : nœuds ou sommets
E : liens, arcs (orient´) ou arˆtes (non-orient´)
e e e

Cˆme, E. (IFSTTAR)
e 3 / 68


Plusieurs repr´sentations
e
Matrice d’adjacence A :

Aij = 1, si i ∼ j
A:
Aij = 0, sinon.

liste d’adjacence

Cˆme, E. (IFSTTAR)
e 4 / 68



Plusieurs variations
orient´ / non orient´
e e
valu´ / non valu´
e e

Cˆme, E. (IFSTTAR)
e 5 / 68



e e
valu´ / non valu´
e e

Cˆme, E. (IFSTTAR)
e 6 / 68



e e
valu´ / non valu´
e e

Cˆme, E. (IFSTTAR)
e 7 / 68


Beaucoup de domaines d’application
r´seaux routiers, biologiques, sociaux, ....
e
analyse de donn´es dans R p en utilisant un noyau Gaussien ou k − ppv
e
...

Cˆme, E. (IFSTTAR)
e 8 / 68


e
e
...

Cˆme, E. (IFSTTAR)
e 9 / 68


e
e
...

Cˆme, E. (IFSTTAR)
e 10 / 68


e
e
...

1
2
3
4

8

6

4

2

0

−2

−4

−6

−8

−6 −4 −2 0 2 4 6 8 10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8

Cˆme, E. (IFSTTAR)
e 11 / 68


e
e
...

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000
100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

Cˆme, E. (IFSTTAR)
e 12 / 68


e
e
...

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000
100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

Cˆme, E. (IFSTTAR)
e 13 / 68

Introduction Probl´matique de la recherche de communaut´
e e

Probl´matique
e

”A community could be loosely described as a collection of vertices within
a graph that are densely connected amongst themselves while being
loosely connected to the rest of the graph.”

regrouper les nœuds d’un graphe dans diﬀ´rents groupes ou clusters
e
⇒ de mani`re ` ”maximiser la connectivit´ intra-cluster et/ou
e a e
minimiser la connectivit´ inter-cluster”.
e
Rmq : le nombre de clusters peut ˆtre connu ou inconnu.
e

Cˆme, E. (IFSTTAR)
e 14 / 68

Clustering de graphes, quelques m´thodes
e Mod`le de m´lange d’Erdos Renyi
e e

e e

Variables :
Xij ∈ {0, 1} variable binaire encodant la pr´sence ou l’absence d’un
e
liens entre i et j :

1, si il existe un liens entre i et j
xij = (1)
0, sinon.

Zj ∈ {1, . . . , K } sont des variables latentes, d´crivant l’appartenance
e
de j ` un des K clusters possibles :
a

zj = k, si j appartient au cluster k. (2)

Cˆme, E. (IFSTTAR)
e 15 / 68

e e

e e

Mod`le g´n´ratif :
e e e
1 tirer le groupe de chaque noeud suivant les proportions γ
2 ajouter un lien entre i et j avec une probabilit´ πkl si i appartient au
e
cluster k et j appartient au cluster l.

i.i.d
Zj ∼ M(1, γ), ∀j ∈ {1, . . . , N} (3)
i.i.d
Xij |Zi = k, Zj = l ∼ B(πkl ), ∀i, j ∈ {1, . . . , N}, (4)

Cˆme, E. (IFSTTAR)
e 16 / 68

e e

e e
Param`tres :
e
γ : proportions, exemple γ = (0.1, 0.2, 0.6, 0.1)
π : matrice de liens, exemple :
 
0.1 0.01 0.01 0.005
0.005 0.2 0.01 0.01 
π= 0.005 0.001 0.1 0.01  .


0.005 0.001 0.01 0.3
Recherche de communaut´ :
e
 
α1
 α2 
π= ,
 α3 
α4

avec α >> .
Cˆme, E. (IFSTTAR)
e 17 / 68

e e

e e
Optimization :
Strat´gie alterné de type EM...
e e
! mais probl`me plus compliqu´ que EM classique (pas d’ind´pendance
e e e
conditionnellement aux donnés observés)
e e
approche variationnelle
CEM, online CEM
...

Remarques
permet une mod´lisation assez fine (pas limit´ ` la recherche de
e ea
communaut´)e
k doit ˆtre fix´ ou choisi par balayage
e e
assez lourd en temps de calcul (difficile de traiter des gros graphes)

Cˆme, E. (IFSTTAR)
e 18 / 68

e Maximisation de la modularit´
e

Maximisation de la modularit´
e

D´ﬁnition du crit`re
e e
La modularit´ Q est ´gale ` la somme des connectivit´s intra-cluster
e e a e
moins la connectivit´ intra-cluster attendue sous hypoth`se uniforme.
e e
ki kj
Q= (Aij − )δ(zi , zj ),
m
i=j

avec ki = N Aij le degr´ du nœud i et m =
j=1 e N
j=1 kj , zi le num´ro de
e
cluster du noeud i et δ la fonction de Kronecker.

Remarques
permet de travailler sans un nombre de clusters pr´d´ﬁni.
e e
assez l´ger en temps de calcul.
e

Cˆme, E. (IFSTTAR)
e 19 / 68

e Maximisation de la modularit´
e

Maximisation de la modularit´
e

Optimisation
R´cuit Simul´
e e
Optimisation gloutonne Louvain
...

Cˆme, E. (IFSTTAR)
e 20 / 68

e Clustering spectral

Clustering spectral rćursif sur graphe orient´/valu´
e e e
L, matrice Laplacienne (graphes non orient´s) :
e
L=D −A (5)
! f t Lf = i∼j (fi − fj )2 (Mesure de r´gularit´ de f sur L)
e e

L, matrice Laplacienne normalisé (graphes non orient´s) :
e e
L = D −1/2 LD −1/2 = I − D −1/2 AD 1/2 (6)

Propri´t´s :
ee
1 L et L ´tant sym´triques, leurs valeurs propres sont rélles et non
e e e
n´gatives.
e
2 0 = λ0 <= λ1 <= ... <= λn−1 .
3 Nombre de composante connexe de G = multiplicit´ de la valeur
e
propre 0.
Cˆme, E. (IFSTTAR)
e 21 / 68


D´ﬁnitions : coupe S, volume vol, ...
e

S

Coupe

S

Coupe :
¯
V = {S ∪ S} (7)
Cˆme, E. (IFSTTAR)
e 22 / 68


e

S

Coupe

S

Volume d’un noeud :
vol v = Av ,u (8)
u
Cˆme, E. (IFSTTAR)
e 23 / 68


e

S

Coupe

S

Volume d’un ensemble de noeuds :
vol S = vol v (9)
v ∈S

Cˆme, E. (IFSTTAR)
e 24 / 68


D´ﬁnition : coupe S, volume vol, ...
e

S

Coupe

S

Volume d’une coupe :
vol δS = Au,v (10)
¯
u∈S,v ∈S
Cˆme, E. (IFSTTAR)
e 25 / 68


Crit`res de coupes
e

Ration Cut :
¯ vol δS
RatioCut(S, S) = ¯ , (11)
|S|.|S|
¯
o` |S| et |S| sont respectivement les nombres de sommets de S et de S.
u ¯
Le probl`me de minimisation pour trouver la solution approxim´e se r´sout
e e e
` partir de la matrice laplacienne L et de son second plus petit vecteur
a
propre(cf. [HK92]).

Cˆme, E. (IFSTTAR)
e 26 / 68


Crit`res de coupes
e
Conductance ou constante de Cheeger :
vol δS
φG (S) = ¯ (12)
min(vol S, vol S)
On peut aussi d´finir la conductance d’un graphe :
e

φG = min φG (S) (13)
S⊂V

In´galit´ de cheeeger :
e e
φ2
G
≤ λ1 ≤ 2φG (14)
2
Ces in´galit´s permettent de consid´rer la solution relˆché obtenue `
e e e a e a
partir de la matrice laplacienne normalisé, comme le montre Chung dans
e
[Chu07].

Cˆme, E. (IFSTTAR)
e 27 / 68


Crit`res de coupes
e

Normalized Cut :
1 1
ncut(S) = vol δS(+ ¯) (15)
vol S vol S
La solution relˆch´e de la minimisation de ce crit`re se trouve ` partir de
a e e a
la matrice laplacienne normalis´e L et de son second plus petit vecteur
e
propre (cf. [SM00]).

Cˆme, E. (IFSTTAR)
e 28 / 68


Algorithme de recherche coupe optimale
1 Calcul de la matrice L ou L du graphe G (on suppose ici que le
graphe est fortement connexe)
2 Calcul du vecteur propre v1 associ´ ` la seconde plus petite valeur
ea
propre λ1
3 Tri du vecteur v1 pour obtenir une permutation p de la matrice L ou L
4 Calcul du crit`re de coupe sur chaque coupe possible de la matrice Lp
e
ou Lp apr`s permutation
e
5 Choix de la coupe I qui minimise le crit`re parmi les n − 1 coupes
e
possibles

Cˆme, E. (IFSTTAR)
e 29 / 68

Extraction locale de communaut´
e

e

Cˆme, E. (IFSTTAR)
e 30 / 68

e Probl´matique
e

Introduction

Motivations Extraction de communaut´
e
Extraire une communaut´ en partant d’un ensemble de graines
e
Algorithme ”On line”, complexit´ ∼ taille de la communaut´
e e

Solution : Noise cluster model
Mod`le g´n´ratif simple
e e e
Une communaut´ environn´e par du bruit
e e

Cˆme, E. (IFSTTAR)
e 31 / 68

e Probl´matique
e

Introduction, (exemple jouet)

Cˆme, E. (IFSTTAR)
e 32 / 68

e Probl´matique
e

Introduction, (graphe clustering)

Cˆme, E. (IFSTTAR)
e 33 / 68

e Probl´matique
e

Introduction, (graines)

Cˆme, E. (IFSTTAR)
e 34 / 68

e Probl´matique
e

Introduction, (extraction d’une communaut´)
e

Cˆme, E. (IFSTTAR)
e 35 / 68

e Probl´matique
e

Introduction, (community extraction)

Cˆme, E. (IFSTTAR)
e 36 / 68

e Probl´matique
e

Avantages

les graines permettent d’avoir un focus pour analyser le graphe
meilleure complexit´
e
exploration du graphe complet ´vit´e
e e
moins de probl`me avec des tailles de communaut´s diﬀ´rentes
e e e

Cˆme, E. (IFSTTAR)
e 37 / 68

e Solutions existantes

Solutions existantes au probl`me de l’extraction
e

Bagrow & al [BB05]
Parcours en largeur d’abord du graph en partant d’une graine ;
jusqu’a ce que le taux d’expansion tombe en-dessous d’un seuil
pr´d´ﬁni. (i.e. la proportion de liens trouv´s au niveau courant qui ne
e e e
m`nent pas ` des noeuds d´j` connus)
e a ea

Probl`mes
e
Uniquement une graˆ
ıne
Tous les noeuds d’un niveau sont inclus.

Cˆme, E. (IFSTTAR)
e 38 / 68


e
Clauset [Cla05]
optimisation gloutonne ` partir d’une graine d’un crit`re ”modularit´
a e e
locale” Qloc ;
fronti`re B : ensemble des noeuds ayant un voisin encore inconnu ;
e
”modularit´ locale” : nombre de liens entre B et l’ensemble des
e
noeuds connus C diviser par le nombre total de liens ayant au moins
une extr´mit´ dans B.
e e
i∈C,j∈B Bij + i∈B,j∈C Bij
Qloc = , (16)
i,j Bij

avec Bij = 1 si i j et l’un ou l’autre des noeuds appartient ` B.
a

Probl`mes
e
Ne peut prendre en compte qu’une graˆ
ıne
d´ﬁnition et choix du crit`re d’arrˆt
e e e
Cˆme, E. (IFSTTAR)
e 39 / 68


e

Autres solutions
[AL06] marche al´atoire et conductance
e
[SG10] optimisation combinatoire

Probl`me
e
complexit´ d´pend de la taille du graphe.
e e

Cˆme, E. (IFSTTAR)
e 40 / 68

e Noise cluster model

Noise cluster model

D´ﬁnition du mod`le
e e

i.i.d
Zi ∼ B(γ), ∀i ∈ {1, . . . , N}, (17)
i.i.d
Xij |Zi × Zj = 1 ∼ B(α), ∀i, j ∈ {1, . . . , N}, (18)
i.i.d
Xij |Zi × Zj = 0 ∼ B(β), ∀i, j ∈ {1, . . . , N}, (19)

avec zi = 1, si i appartient ` la communaut´ et 0 sinon.
a e

α β
π= ,
β β

avec α >> β.

Cˆme, E. (IFSTTAR)
e 41 / 68


Notations :
Taille de la communaut´ :
e

Nc = zi
i

Degr´s :
e

djin = xij , djout = xji , dj = (xij + xji )
i:zi =1 i:zi =1 i:zi =1

Probabilit´ a posteriori :
e

pjin = P(Zj = 1|Xij = xij , Zi = zi , ∀i ∈ {1, . . . , N}),
pjout = P(Zj = 1|Xji = xji , Zi = zi , ∀i ∈ {1, . . . , N}),
pjin,out = P(Zj = 1|Xij = xij , Xji = xji , Zi = zi , ∀i ∈ {1, . . . , N}),

Cˆme, E. (IFSTTAR)
e 42 / 68


Simpliﬁcations :
Avec ce mod`le les probabilit´s a posteriori se simpliﬁent :
e e
param`tres (α, β, γ) ;
e
nombre de liens avec la communaut´ (djin , djout , djin,out ) ;
e
taille de la communaut´ (Nc) ;
e

Exemple pour pjin

in in
αdj × (1 − α)(Nc−dj ) × γ
pjin = in in in in
αdj × (1 − α)(Nc−dj ) × γ + β dj × (1 − β)(Nc−dj ) × (1 − γ)

Cˆme, E. (IFSTTAR)
e 43 / 68


Test d’appartenance ` la communaut´
a e
Test d’appartenance ` la communaut´ : seuil sur le nombre de liens avec
a e
les membres de la communaut´.
e

{pjin > s} ⇔ {djin > dmin }, (20)

with

log s × (1 − β)Nc × (1 − γ) − log (1 − s) × (1 − α)Nc × γ
dmin =
log (α × (1 − β)) − log ((1 − α) × β)

Cˆme, E. (IFSTTAR)
e 44 / 68


alpha=0.1,beta=0.001,gamma=0.05,Nc=200

qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq

0.8
pc

0.4
q

0.0
qqqq

0 10 20 30 40 50

din

alpha=0.1,beta=0.001,gamma=0.05
10
8
dmin

6
4
2

0 100 200 300 400

Nc

Fig.: (haut) valeur de pjin en fonction de djin avec α = 0.1, β = 0.001, γ = 0.05
et Nc = 200 ; (bas) ´volution du seuil dmin par rapport ` Nc avec α = 0.1,
e a
β = 0.001, γ = 0.05 et s = 0.5.

Cˆme, E. (IFSTTAR)
e 45 / 68


Apprentissage des param`tres ”CEM on line”[ZAM08]
e

Vraisemblance classiﬁante :

Lc (X, Z, θ) = zi log(γ) + (1 − zi ) log(1 − γ)
i i

+ zi × zj × xij log(α) + zi × zj (1 − ×xij ) log(1 − α)
i,j:i=j i,j:i=j

+ (1 − zi × zj ) × xij log(β) + (1 − zi × zj ) × (1 − xij ) log(1 − β)
i,j:i=j i,j:i=j

avec Z = {z1 , . . . , zN }, X = {xij : i = j, i, j ∈ {1, . . . , N}}, et θ = (γ, α, β)
le vecteur de param`tres.
e

Cˆme, E. (IFSTTAR)
e 46 / 68


Apprentissage des param`tres ”CEM on line”[ZAM08]
e

Si la partition Z = {z1 , . . . , zN } est connue, les param`tres maximisant la
e
vraisemblance classiﬁante sont donn´es par :
e
Nc
γ =
ˆ , (21)
N
N
1
α =
ˆ 2
(zi × zj )xij , (22)
Nc
i,j=1, i=j
N
ˆ 1
β = (1 − zi × zj )xij , (23)
Nc × (N + Nc )
¯
i,j=1, i=j

avec Nc = N − Nc .
¯

Cˆme, E. (IFSTTAR)
e 47 / 68


Proc´dure d’extraction proposé
e e

Algorithme
Coupl´ un algorithme de parcours de graphe en largeur (en partant des
e
graines) avec la proc´dure suivante,
e
Pour chaque noeuds travers´ :
e
1 utiliser le test d’appartenance d´finit prć´demment (20) pour
e e e
l’ajouter ou non ` la communaut´
a e
2 mettre ` jour les param`tres (21, 22, 23), en utilisant la partition
a e
courante
Jusqu’` ce qu’aucun noeud ne passe le test d’appartenance.
a

Cˆme, E. (IFSTTAR)
e 48 / 68

e Exp´rimentation : extraction de communaut´s de blogs
e e

Exp´rimentation : extraction de communaut´s de blogs
e e

Protocole :
crawler multi-thread utilisant l’algorithme pr´c´dent ;
e e
graˆ
ınes : classement de blogs pour diﬀ´rentes cat´gories ( URLs
e e
http ://www.wikio.com)
100 ou 50 graines pour 4 communaut´s test :
e

Cˆme, E. (IFSTTAR)
e 49 / 68

e e

Extraction de communaut´s de blogs
e

Illustration (fr) Scrapbooking (fr) Cuisine(fr) Politics (en)
α
ˆ 0.01829 0.02955 0.03846 0.02004
ˆ
β 0.00094 0.00232 0.00209 0.00068
ˆ α
β/ˆ 0.05139 0.07851 0.05434 0.03393
Nc 1 360 701 622 1 808
N 37 101 13 467 16 364 84 702
dia 8 8 6 7
apl 3.059 2.749 2.71 3.014
e e ˆ ˆ
Tab.: Param`tres estim´es α, β et statistiques descriptives des communaut´s
e
extraites : dia diam`tre, apl longueur moyen des chemin entre membres de la
e
communaut´. e

Cˆme, E. (IFSTTAR)
e 50 / 68

e e

Extraction de communaut´s de blogs
e
Community Precision Vocabulary extracted
Illustration (fr) 99% (animation 34.37%, drawing 28.96%,
illustration 25.30%, sketches 24.55%,
world 20.31%,...)
Scrapbooking (fr) 98% (scrap 84.16%, scrapbooking 58.24%,
tampons 47.71%, scrapper 29.58%,
embellissements 22.53%,...)
Cooking (fr) 100% (cuisine 83.72%, recettes 79.45%, re-
cette 73.81%, chocolat 68.73%, sucre
64.14%,...)
Politics (en) 96% (senate 28.78%, conservatives
21.12%, pundit 20.11%, terrorism
19.76%, congressional 19.25%,...)
Tab.: Analyse du contenue. Pr´cision ´valu´e sur 100 blogs au hasard,
e e e
vocabulaire repr´sentatif de la communaut´.
e e

Cˆme, E. (IFSTTAR)
e 51 / 68

e e

Fig.: Illustration (fr).

Cˆme, E. (IFSTTAR)
e 52 / 68

e e

Fig.: Scrapbooking (fr).

Cˆme, E. (IFSTTAR)
e 53 / 68

e e

Fig.: Cuisine (fr).

Cˆme, E. (IFSTTAR)
e 54 / 68

e e

Fig.: Cuisine (fr).

Cˆme, E. (IFSTTAR)
e 55 / 68

e e

Fig.: Politics (en).

Cˆme, E. (IFSTTAR)
e 56 / 68

e e

Fig.: Politics (en).

Cˆme, E. (IFSTTAR)
e 57 / 68

e e

Conclusion

Conclusion
approche gloutonne simple ;
complexit´ ∼ taille de la communaut´ ;
e e
extraction de communaut´s de blogs
e

Cˆme, E. (IFSTTAR)
e 58 / 68

Clustering hi´rarchique / multi-´chelles
e e

Clustering
hi´rarchique / multi-´chelles
e e

Cˆme, E. (IFSTTAR)
e 59 / 68

e e Probl´matique
e

Probl´matique
e

Introduction
Analyse de graphe pr´sentant diff´rentes ćhelles d’analyse pertinentes :
e e e
R´gionales, Aire urbaines, ...
e

Piste ´tudié
e e
Mise en relation des pˆles urbains ´l´mentaires grˆce ` des donnés
o ee a a e
relatives au transport :
flux (domicile-travail/ćole et autres)
e
infrastructures (transports en commun et individuels)
Traitement sous forme de graphe, aspect multi-ćhelle et hi´rarchique.
e e
Recherche de communaut´s, clustering de graphe :
e
clustering spectral rćursif [Gleich06,Chung05]
e
maximisation de la modularit´ hi´rarchique [Newman04]
e e

Cˆme, E. (IFSTTAR)
e 60 / 68

e e Clustering spectral sur graphes orient´s
e

Extension aux graphes orient´s
e

Matrice laplacienne normalisé dirigé :
e e
1
L = L(G ) = I − (Π1/2 PΠ−1/2 + Π−1/2 PΠ1/2 ),
˜ (24)
2
o` P est la matrice de transition associ´ ` G ; Π est la matrice diagonale
u ea
formé par π la distribution stationnaire de la marche alátoire.
e e

Avantages :
extension des notions de coupe, volumes ...
permet de se ramener ` une matrice sym´trique
a e

Cˆme, E. (IFSTTAR)
e 61 / 68

e e Extension hi´rarchique
e

Extension aux graphes orient´s
e

Algorithme de clustering hi´rarchique
e
1 Calcul de la matrice laplacienne dirigé L du graphe G
e
2 S´paration de G en composantes connexes et application des ´tapes
e e
suivantes sur chaque composante
3 Calcul du vecteur propre v1 associ´ ` la seconde plus petite valeur
ea
propre
4 Tri du vecteur v1 pour obtenir une permutation p1 de la matrice L
5 Calcul du crit`re ncut, ou ϕ sur la matrice Lp1 apr`s permutation
e e
6 Choix de la coupe I qui minimise le crit`re choisi sur Lp1
e
7 Application rćursive des ´tapes 2 ` 7 sur les partitions engendrés
e e a e
par la coupe I , tant que les partitions obtenues sont de taille
sup´rieure ` p (la taille minimale d´finie initialement).
e a e

Cˆme, E. (IFSTTAR)
e 62 / 68

e e Exp´rimentation : Identification d’aires urbaines
e

e
Donnés
e
Matrice OD (domicile/travail, INSEE) = Graphe orient´ valu´.
e e
37 948 communes=communes, 1 560 058 arcs.

Fig.: Matrice d’adjacence ordonné alátoirement.
e e

Cˆme, E. (IFSTTAR)
e 63 / 68

e

e
Donn´es
e
Matrice OD (domicile/travail, INSEE) = Graphe orient´ valu´.
e e
37 948 communes=communes, 1 560 058 arcs.

Fig.: Matrice d’adjacence ordonn´e par clustering spectral.
e

Cˆme, E. (IFSTTAR)
e 64 / 68

e

e

Région Nord-Est de la France :
Champagne-Ardenne
Alsace
Lorraine
Franche-Comté
(+département de l'Aisne)

Flux transfrontaliers :
Belgique, Luxembourg,
Allemagne, Suisse

Fig.: Imbrication des structures de communes sur la matrice WS apr`s permutation.
e
Premier niveau : cluster de communes du Nord-Est de la France

Cˆme, E. (IFSTTAR)
e 65 / 68

e

e

Région Est de la France :
Alsace
Franche-Comté
(+départements Haute-Marne
et Vosges)

Flux transfrontaliers :
Allemagne, Suisse

e
Deuxi`me niveau : cluster de communes de l’Est de la France (zoom sur le 1er niveau)
e

Cˆme, E. (IFSTTAR)
e 66 / 68

e

e

Régions Est :
Centrée certaines communes du Doubs :
Cantons de Morteau, Montbenoit,
Russey, Vercel, Pierrefontaine les Varans,
Clerval

Et de certaines communes Suisse
au Nord de Neuchâtel

e
Troisi`me niveau : cluster de communes du Doubs (zoom sur le 2`me niveau)
e e

Cˆme, E. (IFSTTAR)
e 67 / 68

e

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In Proceedings of the 15th International Conference on World Wide Web, pages 223–232.
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22(8) E. (IFSTTAR)2000.
Cˆme, :888–905,
e 68 / 68

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