Math

1. EI™∞°ø°π∞∫ -¶∂ƒπ∂Ã√ª∂¡∞ 1-11-06 15:37 ™ÂÏ›‰·1
ª·ıËÌ·ÙÈο
∞ °Àª¡∞™π√À

2. EI™∞°ø°π∞∫ -¶∂ƒπ∂Ã√ª∂¡∞ 1-11-06 15:37 ™ÂÏ›‰·2
™À°°ƒ∞º∂π™ πˆ¿ÓÓ˘ µ·Ó‰Ô˘Ï¿Î˘, ª·ıËÌ·ÙÈÎfi˜
÷ڿϷÌÔ˜ ∫·ÏÏÈÁ¿˜, ª·ıËÌ·ÙÈÎfi˜ - ¶ÏËÚÔÊÔÚÈÎfi˜,
∂Î·È‰Â˘ÙÈÎfi˜ π‰ÈˆÙÈ΋˜ ∂Î·›‰Â˘Û˘
¡ÈÎËÊfiÚÔ˜ ª·Úο΢, ª·ıËÌ·ÙÈÎfi˜,
∂Î·È‰Â˘ÙÈÎfi˜ π‰ÈˆÙÈ΋˜ ∂Î·›‰Â˘Û˘
™‡ÚÔ˜ ºÂÚÂÓÙ›ÓÔ˜, ™¯ÔÏÈÎfi˜ ™‡Ì‚Ô˘ÏÔ˜ ª·ıËÌ·ÙÈÎÒÓ
∫ƒπ∆∂™- ∞•π√§√°∏∆∂™ ÷ڿϷÌÔ˜ ∆Û›ÙÔ˘Ú·˜,
∞Ó. ∫·ıËÁËÙ‹˜ ∞∆∂π - ÷ÏΛ‰·˜
°ÂÒÚÁÈÔ˜ ª·Ú·Ïfi˜,
™¯ÔÏÈÎfi˜ ™‡Ì‚Ô˘ÏÔ˜ ª·ıËÌ·ÙÈÎÒÓ
÷ڛÎÏÂÈ· ∫ˆÓÛÙ·ÓÙ·ÎÔÔ‡ÏÔ˘,
ª·ıËÌ·ÙÈÎfi˜, ∂Î·È‰Â˘ÙÈÎfi˜ µ/ıÌÈ·˜ ∂Î·›‰Â˘Û˘
∂π∫√¡√°ƒ∞º∏™∏ ∫ÏÂÈÒ °ÎÈ˙ÂÏ‹, ∑ˆÁÚ¿ÊÔ˜
πfiÏË ∫˘ÚÔ‡ÛË, °Ú·Ê›ÛÙÚÈ·
ºπ§√§√°π∫∏ ∂¶πª∂§∂π∞ µ·Ú‚¿Ú· ¢ÂÚÓÂÏ‹, ºÈÏfiÏÔÁÔ˜,
∂Î·È‰Â˘ÙÈÎfi˜ µ/ıÌÈ·˜ ∂Î·›‰Â˘Û˘
À¶∂À£À¡√™ ∆√À ª∞£∏ª∞∆√™ ∫∞π ∞ı·Ó¿ÛÈÔ˜ ™ÎÔ‡Ú·˜,
∆√À À¶√∂ƒ°√À ∫∞∆∞ ∆∏ ™À°°ƒ∞º∏ ™‡Ì‚Ô˘ÏÔ˜ ¶·È‰·ÁˆÁÈÎÔ‡ πÓÛÙÈÙÔ‡ÙÔ˘
∂•øºÀ§§√ ª·ÓÒÏ˘ ÿÚÔ˜, ∑ˆÁÚ¿ÊÔ˜
¶ƒ√∂∫∆À¶ø∆π∫∂™ ∂ƒ°∞™π∂™
™ÙË Û˘ÁÁÚ·Ê‹ ÙÔ˘ ÚÒÙÔ˘ ̤ÚÔ˘˜ (1/3) ¤Ï·‚ ̤ÚÔ˜ Î·È Ë £ÂÔ‰ÒÚ· ∞ÛÙ¤ÚË, ∂Î·È‰Â˘ÙÈÎfi˜ ∞/ıÌÈ·˜ ∂Î·›‰Â˘Û˘
° ∫.¶.™. / ∂¶∂∞∂∫ II / ∂Ó¤ÚÁÂÈ· 2.2.1. / ∫·ÙËÁÔÚ›· ¶Ú¿ÍÂˆÓ 2.2.1.·:
«∞Ó·ÌfiÚʈÛË ÙˆÓ ÚÔÁÚ·ÌÌ¿ÙˆÓ ÛÔ˘‰ÒÓ Î·È Û˘ÁÁÚ·Ê‹ Ó¤ˆÓ ÂÎ·È‰Â˘ÙÈÎÒÓ ·Î¤ÙˆÓ»
¶∞π¢∞°ø°π∫√ π¡™∆π∆√À∆√
¢ËÌ‹ÙÚÈÔ˜ °. µÏ¿¯Ô˜
√ÌfiÙÈÌÔ˜ ∫·ıËÁËÙ‹˜ ÙÔ˘ ∞.¶.£.
¶Úfi‰ÚÔ˜ ÙÔ˘ ¶·È‰·ÁˆÁÈÎÔ‡ πÓÛÙÈÙÔ‡ÙÔ˘
¶Ú¿ÍË Ì ٛÙÏÔ: «™˘ÁÁÚ·Ê‹ Ó¤ˆÓ ‚È‚Ï›ˆÓ Î·È ·Ú·ÁˆÁ‹
˘ÔÛÙËÚÈÎÙÈÎÔ‡ ÂÎ·È‰Â˘ÙÈÎÔ‡ ˘ÏÈÎÔ‡ Ì ‚¿ÛË
ÙÔ ¢∂¶¶™ Î·È Ù· ∞¶™ ÁÈ· ÙÔ °˘ÌÓ¿ÛÈÔ»
∂ÈÛÙËÌÔÓÈÎfi˜ À‡ı˘ÓÔ˜ ŒÚÁÔ˘
∞ÓÙÒÓÈÔ˜ ™. ªÔÌ¤ÙÛ˘
™‡Ì‚Ô˘ÏÔ˜ ÙÔ˘ ¶·È‰·ÁˆÁÈÎÔ‡ πÓÛÙÈÙÔ‡ÙÔ˘
∞Ó·ÏËÚˆÙ¤˜ ∂ÈÛÙËÌÔÓÈÎÔ› À‡ı˘ÓÔÈ ŒÚÁÔ˘
°ÂÒÚÁÈÔ˜ ∫. ¶·ÏËfi˜
™‡Ì‚Ô˘ÏÔ˜ ÙÔ˘ ¶·È‰·ÁˆÁÈÎÔ‡ πÓÛÙÈÙÔ‡ÙÔ˘
πÁÓ¿ÙÈÔ˜ ∂. ÷Ù˙Ë¢ÛÙÚ·Ù›Ô˘
ªfiÓÈÌÔ˜ ¶¿Ú‰ÚÔ˜ ÙÔ˘ ¶·È‰·ÁˆÁÈÎÔ‡ πÓÛÙÈÙÔ‡ÙÔ˘
ŒÚÁÔ Û˘Á¯ÚËÌ·ÙÔ‰ÔÙÔ‡ÌÂÓÔ 75% ·fi ÙÔ ∂˘Úˆ·˚Îfi ∫ÔÈÓˆÓÈÎfi ∆·ÌÂ›Ô Î·È 25% ·fi ÂıÓÈÎÔ‡˜ fiÚÔ˘˜.

3. EI™∞°ø°π∞∫ -¶∂ƒπ∂Ã√ª∂¡∞ 1-11-06 15:37 ™ÂÏ›‰·3
À¶√Àƒ°∂π√ ∂£¡π∫∏™ ¶∞π¢∂π∞™ ∫∞𠣃∏™∫∂Àª∞∆ø¡
¶∞π¢∞°ø°π∫√ π¡™∆π∆√À∆√
πˆ¿ÓÓ˘ µ·Ó‰Ô˘Ï¿Î˘
÷ڿϷÌÔ˜ ∫·ÏÏÈÁ¿˜
¡ÈÎËÊfiÚÔ˜ ª·Úο΢
™‡ÚÔ˜ ºÂÚÂÓÙ›ÓÔ˜
ª·ıËÌ·ÙÈο
∞ °Àª¡∞™π√À
√ƒ°∞¡π™ª√™ ∂∫¢√™∂ø™ ¢π¢∞∫∆π∫ø¡ µπµ§πø¡
∞£∏¡∞

4. EI™∞°ø°π∞∫ -¶∂ƒπ∂Ã√ª∂¡∞ 1-11-06 15:37 ™ÂÏ›‰·4

5. EI™∞°ø°π∞∫ -¶∂ƒπ∂Ã√ª∂¡∞ 1-11-06 15:37 ™ÂÏ›‰·5
Σ το ∆ηµοτικό σχολείο ολοκληρώθηκε ο πρώτος κύκλος της βασικής
εκπαίδευσης. Στο Γυµνάσιο, θα στηριχτούµε στις γνώσεις που
αποκτήσαµε µέχρι τώρα, θα τις αξιοποιήσουµε και θα προσπαθήσουµε
να τις αναπτύξουµε και να τις διευρύνουµε.
Στην πορεία αυτή, ίσως διαπιστώσουµε ότι οι γνώσεις που διαθέτουµε δεν
επαρκούν πάντα. Πρέπει, λοιπόν, να συµπληρωθούν κατάλληλα και µετά
να προχωρήσουµε στο επόµενο βήµα, στο νέο προβληµατισµό και τέλος
στην καινούρια γνώση. Έτσι, µε τη δική µας προσπάθεια και παράλληλα
µε τη βοήθεια και την καθοδήγηση του καθηγητή µας, θα καταφέρουµε,
όλοι µαζί µέσα στην τάξη, να αναπτύξουµε τις δυνατότητές µας,
προσθέτοντας, όχι µόνο γνώσεις αλλά και νέους τρόπους να τις
αποκτούµε.
Τα Μαθηµατικά τα γνωρίζουµε ως ένα σχολικό µάθηµα. ∆εν πρέπει όµως
να µείνουµε µόνο σ’ αυτό. Όσα περισσότερα Μαθηµατικά ξέρουµε και
χρησιµοποιούµε, τόσο καλύτερα ερµηνεύουµε τον κόσµο µας και τελικά
¶ƒ√§√°√™ τον κατανοούµε. Είναι ένας κώδικας απαραίτητος για την κατανόηση του
κόσµου µας, που λειτουργεί όπως η “γλώσσα” προγραµµατισµού στους
υπολογιστές. Όσες περισσότερες “λέξεις” ξέρει κανείς από αυτή τη
“γλώσσα”, δηλαδή τα Μαθηµατικά, τόσο καλύτερα αξιοποιεί τις
δυνατότητες του µυαλού του. Επίσης, τα Μαθηµατικά δεν είναι απλά ένα
εργαλείο για τη βελτίωση των ατοµικών επιδόσεων, αλλά ένας βασικός
µοχλός που βοηθάει την κοινωνική ανάπτυξη.
Το βιβλίο αυτό φιλοδοξεί να αποτελέσει ένα βήµα προς τις κατευθύνσεις
αυτές. Είναι γραµµένο σύµφωνα µε το ∆ιαθεµατικό Ενιαίο Πλαίσιο
Προγραµµάτων Σπουδών (∆ΕΠΠΣ) και το νέο Αναλυτικό Πρόγραµµα
Σπουδών (ΑΠΣ) για τα Μαθηµατικά του Γυµνασίου, καθώς και τις
συγκεκριµένες προδιαγραφές και οδηγίες του Παιδαγωγικού Ινστιτούτου.
Σηµαντικό χαρακτηριστικό του βιβλίου αυτού είναι ότι η παρουσίαση της
θεωρίας περιορίζεται συχνά, για να αφήσει στους µαθητές τη δυνατότητα
να αναπτύξουν, µε τη βοήθεια των καθηγητών τους, τη διαίσθηση, τη
δοκιµή, την έρευνα και τέλος την αναγκαία σύνθεση.

6. EI™∞°ø°π∞∫ -¶∂ƒπ∂Ã√ª∂¡∞ 1-11-06 15:37 ™ÂÏ›‰·6
Οι δραστηριότητες που προτείνονται και προηγούνται της θεωρίας, έχουν
στόχο να υπάρξει ο προβληµατισµός και η αναζήτηση που θα µας
οδηγήσει στην ανάγκη να αναπτύξουµε την κατάλληλη θεωρία. Έτσι,
γίνεται φανερό ότι η θεωρία είναι αποτέλεσµα µιας συγκεκριµένης
αναζήτησης και όχι αυτοσκοπός. Οδηγός σ’ αυτό το βηµατισµό θα είναι
και πάλι ο συνάδελφος καθηγητής του Γυµνασίου, που χωρίς τη δική του
ουσιαστική συµβολή τίποτα δεν ολοκληρώνεται.
Πιστεύουµε ότι οι γονείς των µαθητών της Α Γυµνασίου γνωρίζουν καλά,
ότι σ’ αυτή την ηλικία το σηµαντικότερο δεν είναι η συνεχής
συσσώρευση γνώσεων – που φαίνονται ατελείωτες και συχνά µένουν
στείρες – αλλά ο τρόπος που αποκτάται σε κάθε περίπτωση η
απαραίτητη γνώση. Αν στον τρόπο αυτό προστεθεί και η µέθοδος
εµπέδωσης και αξιοποίησής της, τότε αυτή η γνώση παίρνει διαστάσεις
του πολύτιµου αγαθού και της κοινωνικής αξίας, που παραµένει ο τελικός
στόχος κάθε εκπαιδευτικής διαδικασίας.
Στην εποχή µας, που όλα µεταβάλλονται ταχύτατα – και µαζί τους οι
θεωρίες, οι απόψεις και οι θέσεις – κανείς δεν ισχυρίζεται ότι ένα
σχολικό βιβλίο µπορεί να συνθέσει όλες τις απόψεις και να περιλάβει,
στο σύνολό της, την εκπαιδευτική εµπειρία τόσων αιώνων.
Ως συγγραφείς του βιβλίου, θα είµαστε ευτυχείς αν οι συνάδελφοι
καθηγητές, αλλά και όλοι οι ενδιαφερόµενοι, στείλουν στο Παιδαγωγικό
Ινστιτούτο τις κρίσεις και τις παρατηρήσεις τους, ώστε να γίνει κατά το
δυνατόν καλύτερο τούτο το βιβλίο. Το ποσοστό της “αλήθειας” που αυτό
περιέχει θα διευρυνθεί όταν η προσπάθεια γίνει πιο συλλογική. Γι’ αυτή
την “αλήθεια” που, όπως λέει ο Ελύτης:
“Αιώνες τώρα µε ρωτούν οι µάγοι
µα οι αστέρες αποκρίνονται κατά προσέγγιση”.
Οι συγγραφείς

7. EI™∞°ø°π∞∫ -¶∂ƒπ∂Ã√ª∂¡∞ 1-11-06 15:37 ™ÂÏ›‰·7
¶∂ƒπ∂Ã√ª∂¡∞
ª∂ƒ√™ ∞ ∞ƒπ£ª∏∆π∫∏ - ∞§°∂µƒ∞
K∂º∞§∞π√ 1Ô - √È Ê˘ÛÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ› . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1. º˘ÛÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ› - ¢È¿Ù·ÍË º˘ÛÈÎÒÓ - ™ÙÚÔÁÁ˘ÏÔÔ›ËÛË . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2. ¶ÚfiÛıÂÛË, ·Ê·›ÚÂÛË Î·È ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÌfi˜ Ê˘ÛÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3. ¢˘Ó¿ÌÂȘ Ê˘ÛÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.4. ∂˘ÎÏ›‰ÂÈ· ‰È·›ÚÂÛË - ¢È·ÈÚÂÙfiÙËÙ· . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.5. ÷ڷÎÙ‹Ú˜ ‰È·ÈÚÂÙfiÙËÙ·˜ - ª∫¢ - ∂∫¶ - ∞Ó¿Ï˘ÛË ·ÚÈıÌÔ‡ Û ÁÈÓfiÌÂÓÔ ÚÒÙˆÓ ·Ú·ÁfiÓÙˆÓ 27
∞Ó·ÎÂÊ·Ï·›ˆÛË . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
∂·Ó·ÏËÙÈΤ˜ ∂ÚˆÙ‹ÛÂȘ ∞˘ÙÔ·ÍÈÔÏfiÁËÛ˘ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
K∂º∞§∞π√ 2Ô - ∆· ÎÏ¿ÛÌ·Ù· . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.1. ∏ ¤ÓÓÔÈ· ÙÔ˘ ÎÏ¿ÛÌ·ÙÔ˜. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.2. πÛÔ‰‡Ó·Ì· ÎÏ¿ÛÌ·Ù· . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.3. ™‡ÁÎÚÈÛË ÎÏ·ÛÌ¿ÙˆÓ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.4. ¶ÚfiÛıÂÛË Î·È ·Ê·›ÚÂÛË ÎÏ·ÛÌ¿ÙˆÓ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.5. ¶ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÌfi˜ ÎÏ·ÛÌ¿ÙˆÓ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.6. ¢È·›ÚÂÛË ÎÏ·ÛÌ¿ÙˆÓ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
∞Ó·ÎÂÊ·Ï·›ˆÛË . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
K∂º∞§∞π√ 3Ô - ¢Âη‰ÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ› . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.1. ¢Âη‰Èο ÎÏ¿ÛÌ·Ù· - ¢Âη‰ÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ› - ¢È¿Ù·ÍË ‰Âη‰ÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ - ™ÙÚÔÁÁ˘ÏÔÔ›ËÛË . . . . 56
3.2. ¶Ú¿ÍÂȘ Ì ‰Âη‰ÈÎÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ - ¢˘Ó¿ÌÂȘ Ì ‚¿ÛË ‰Âη‰ÈÎfi ·ÚÈıÌfi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.3. ÀÔÏÔÁÈÛÌÔ› Ì ÙË ‚Ô‹ıÂÈ· ˘ÔÏÔÁÈÛÙ‹ ÙÛ¤˘. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.4. ∆˘ÔÔÈË̤ÓË ÌÔÚÊ‹ ÌÂÁ¿ÏˆÓ ·ÚÈıÌÒÓ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.5. ªÔÓ¿‰Â˜ ̤ÙÚËÛ˘ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
∞Ó·ÎÂÊ·Ï·›ˆÛË . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
∂·Ó·ÏËÙÈΤ˜ ∂ÚˆÙ‹ÛÂȘ ∞˘ÙÔ·ÍÈÔÏfiÁËÛ˘ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
K∂º∞§∞π√ 4Ô - ∂ÍÈÛÒÛÂȘ Î·È ¶ÚÔ‚Ï‹Ì·Ù· . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.1. ∏ ¤ÓÓÔÈ· Ù˘ Â͛ۈÛ˘ - √È ÂÍÈÛÒÛÂȘ: ·+x=‚, x–·=‚, ·–x=‚, ·x=‚, ·:x=‚ Î·È x:·=‚. . . . . . . 72
4.2. ∂›Ï˘ÛË ÚÔ‚ÏËÌ¿ÙˆÓ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.3. ¶·Ú·‰Â›ÁÌ·Ù· Â›Ï˘Û˘ ÚÔ‚ÏËÌ¿ÙˆÓ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
∞Ó·ÎÂÊ·Ï·›ˆÛË . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
K∂º∞§∞π√ 5Ô - ¶ÔÛÔÛÙ¿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
5.1. ¶ÔÛÔÛÙ¿. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
5.2. ¶ÚÔ‚Ï‹Ì·Ù· ÌÂ ÔÛÔÛÙ¿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
∂·Ó·ÏËÙÈΤ˜ ∂ÚˆÙ‹ÛÂȘ ∞˘ÙÔ·ÍÈÔÏfiÁËÛ˘ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
K∂º∞§∞π√ 6Ô - ∞Ó¿ÏÔÁ· ÔÛ¿ - ∞ÓÙÈÛÙÚfiʈ˜ ·Ó¿ÏÔÁ· ÔÛ¿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
6.1. ¶·Ú¿ÛÙ·ÛË ÛËÌ›ˆÓ ÛÙÔ Â›Â‰Ô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
6.2. §fiÁÔ˜ ‰‡Ô ·ÚÈıÌÒÓ - ∞Ó·ÏÔÁ›· . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
6.3. ∞Ó¿ÏÔÁ· ÔÛ¿ - π‰ÈfiÙËÙ˜ ·Ó·ÏfiÁˆÓ ÔÛÒÓ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
6.4. °Ú·ÊÈ΋ ·Ú¿ÛÙ·ÛË Û¯¤Û˘ ·Ó·ÏÔÁ›·˜. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
6.5. ¶ÚÔ‚Ï‹Ì·Ù· ·Ó·ÏÔÁÈÒÓ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
6.6. ∞ÓÙÈÛÙÚfiʈ˜ ·Ó¿ÏÔÁ· ÔÛ¿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
∞Ó·ÎÂÊ·Ï·›ˆÛË . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
∂·Ó·ÏËÙÈΤ˜ ∂ÚˆÙ‹ÛÂȘ ∞˘ÙÔ·ÍÈÔÏfiÁËÛ˘ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
K∂º∞§∞π√ 7Ô - £ÂÙÈÎÔ› Î·È ·ÚÓËÙÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ› . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
7.1. £ÂÙÈÎÔ› Î·È ·ÚÓËÙÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ› (ƒËÙÔ› ·ÚÈıÌÔ›) - ∏ ¢ı›· ÙˆÓ ÚËÙÒÓ - ∆ÂÙÌË̤ÓË ÛËÌ›Ԣ . . . . 114
7.2. ∞fiÏ˘ÙË ÙÈÌ‹ ÚËÙÔ‡ - ∞ÓÙ›ıÂÙÔÈ ÚËÙÔ› - ™‡ÁÎÚÈÛË ÚËÙÒÓ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
7.3. ¶ÚfiÛıÂÛË ÚËÙÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
7.4. ∞Ê·›ÚÂÛË ÚËÙÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
7.5. ¶ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÌfi˜ ÚËÙÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
7.6. ¢È·›ÚÂÛË ÚËÙÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
7.7. ¢Âη‰È΋ ÌÔÚÊ‹ ÚËÙÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
7.8. ¢˘Ó¿ÌÂȘ ÚËÙÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ Ì ÂÎı¤ÙË Ê˘ÛÈÎfi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
7.9. ¢˘Ó¿ÌÂȘ ÚËÙÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ Ì ÂÎı¤ÙË ·Î¤Ú·ÈÔ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
7.10. ∆˘ÔÔÈË̤ÓË ÌÔÚÊ‹ ÌÂÁ¿ÏˆÓ Î·È ÌÈÎÚÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
∞Ó·ÎÂÊ·Ï·›ˆÛË . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
∂·Ó·ÏËÙÈΤ˜ ∂ÚˆÙ‹ÛÂȘ ∞˘ÙÔ·ÍÈÔÏfiÁËÛ˘ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

8. EI™∞°ø°π∞∫ -¶∂ƒπ∂Ã√ª∂¡∞ 1-11-06 15:37 ™ÂÏ›‰·8
ª∂ƒ√™ µ °∂øª∂∆ƒπ∞
∫∂º∞§∞π√ 1Ô - µ·ÛÈΤ˜ ÁˆÌÂÙÈΤ˜ ¤ÓÓÔȘ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
1.1. ™ËÌÂ›Ô - ∂˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· - ∂˘ı›· - ∏ÌÈ¢ı›· - ∂›Â‰Ô - ∏ÌÈÂ›Â‰Ô . . . . . . . . . . . . . . . . 148
1.2. °ˆÓ›· - °Ú·ÌÌ‹ - ∂›‰· Û¯‹Ì·Ù· - ∂˘ı‡ÁÚ·ÌÌ· Û¯‹Ì·Ù· - ÿÛ· Û¯‹Ì·Ù· . . . . . . . . . . . . . . . 153
1.3. ª¤ÙÚËÛË, Û‡ÁÎÚÈÛË Î·È ÈÛfiÙËÙ· ¢ı˘ÁÚ¿ÌÌˆÓ ÙÌËÌ¿ÙˆÓ - ∞fiÛÙ·ÛË ÛËÌ›ˆÓ
- ª¤ÛÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
1.4. ¶ÚfiÛıÂÛË Î·È ·Ê·›ÚÂÛË Â˘ı˘ÁÚ¿ÌÌˆÓ ÙÌËÌ¿ÙˆÓ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .163
1.5. ª¤ÙÚËÛË, Û‡ÁÎÚÈÛË Î·È ÈÛfiÙËÙ· ÁˆÓÈÒÓ - ¢È¯ÔÙfiÌÔ˜ ÁˆÓ›·˜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
1.6. ∂›‰Ë ÁˆÓÈÒÓ - ∫¿ıÂÙ˜ ¢ı›˜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
1.7. ∂ÊÂÍ‹˜ Î·È ‰È·‰Ô¯ÈΤ˜ ÁˆÓ›Â˜ - ÕıÚÔÈÛÌ· ÁˆÓÈÒÓ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
1.8. ¶·Ú·ÏËڈ̷ÙÈΤ˜ Î·È Û˘ÌÏËڈ̷ÙÈΤ˜ ÁˆÓ›Â˜ - ∫·Ù·ÎÔÚ˘Ê‹Ó ÁˆÓ›Â˜ . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
1.9. £¤ÛÂȘ ¢ıÂÈÒÓ ÛÙÔ Â›Â‰Ô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
1.10. ∞fiÛÙ·ÛË ÛËÌ›Ԣ ·fi ¢ı›· - ∞fiÛÙ·ÛË ·Ú·ÏÏ‹ÏˆÓ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
1.11. ∫‡ÎÏÔ˜ Î·È ÛÙÔȯ›· ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
1.12. ∂›ÎÂÓÙÚË ÁˆÓ›· - ™¯¤ÛË Â›ÎÂÓÙÚ˘ ÁˆÓ›·˜ Î·È ÙÔ˘ ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯Ô˘ ÙfiÍÔ˘ - ª¤ÙÚËÛË ÙfiÍÔ˘ . . . . 190
1.13. £¤ÛÂȘ ¢ı›·˜ Î·È Î‡ÎÏÔ˘ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
∞Ó·ÎÂÊ·Ï·›ˆÛË . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
∂·Ó·ÏËÙÈΤ˜ ∂ÚˆÙ‹ÛÂȘ ∞˘ÙÔ·ÍÈÔÏfiÁËÛ˘ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
∫∂º∞§∞π√ 2Ô - ™˘ÌÌÂÙÚ›· . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
2.1. ™˘ÌÌÂÙÚ›· ˆ˜ ÚÔ˜ ¿ÍÔÓ· . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
2.2. ÕÍÔÓ·˜ Û˘ÌÌÂÙÚ›·˜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
2.3. ªÂÛÔοıÂÙÔ˜ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
2.4. ™˘ÌÌÂÙÚ›· ˆ˜ ÚÔ˜ ÛËÌÂ›Ô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
2.5. ∫¤ÓÙÚÔ Û˘ÌÌÂÙÚ›·˜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
2.6. ¶·Ú¿ÏÏËϘ ¢ı›˜ Ô˘ Ù¤ÌÓÔÓÙ·È ·fi Ì›· ¿ÏÏË Â˘ı›· . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
∫∂º∞§∞π√ 3Ô - ∆Ú›ÁˆÓ· - ¶·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌ· - ∆Ú·¤˙È· . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
3.1. ™ÙÔȯ›· ÙÚÈÁÒÓÔ˘ - ÕıÚÔÈÛÌ· ÁˆÓÈÒÓ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
3.2. ∂›‰Ë ÙÚÈÁÒÓˆÓ - π‰ÈfiÙËÙ˜ ÈÛÔÛÎÂÏÔ‡˜ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
3.3. ¶·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌÔ - √ÚıÔÁÒÓÈÔ - ƒfiÌ‚Ô˜ - ∆ÂÙÚ¿ÁˆÓÔ - ∆Ú·¤˙ÈÔ - πÛÔÛÎÂϤ˜ ÙÚ·¤˙ÈÔ . . . . 225
3.4. π‰ÈfiÙËÙ˜ ·Ú·ÏÏËÏÔÁÚ¿ÌÌÔ˘ - √ÚıÔÁˆÓ›Ô˘ - ƒfiÌ‚Ô˘ - ∆ÂÙÚ·ÁÒÓÔ˘ - ∆Ú·Â˙›Ô˘ -
IÛÔÛÎÂϤ˜ ÙÚ·Â˙›Ô˘ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
∂·Ó·ÏËÙÈΤ˜ ∂ÚˆÙ‹ÛÂȘ ∞˘ÙÔ·ÍÈÔÏfiÁËÛ˘ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
ª∂ƒ√™ ° ¶∞ƒ∞ƒ∆∏ª∞
Àԉ›ÍÂȘ - ∞·ÓÙ‹ÛÂȘ ·Û΋ÛÂˆÓ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
∞.1.√È Ê˘ÛÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ› . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
∞.2.∆· ÎÏ¿ÛÌ·Ù· . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
∞.3.¢Âη‰ÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ› . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
∞.4.∂ÍÈÛÒÛÂȘ Î·È ÚÔ‚Ï‹Ì·Ù· . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
∞.5.¶ÔÛÔÛÙ¿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
∞.6.∞Ó¿ÏÔÁ· ÔÛ¿ - ∞ÓÙÈÛÙÚfiʈ˜ ·Ó¿ÏÔÁ· ÔÛ¿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
∞.7.£ÂÙÈÎÔ› Î·È ∞ÚÓËÙÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ› . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
µ.1.µ·ÛÈΤ˜ ÁˆÌÂÙÚÈΤ˜ ¤ÓÓÔȘ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
µ.2.™˘ÌÌÂÙÚ›· . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
µ.3.∆Ú›ÁˆÓ· - ¶·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌ· - ∆Ú·¤˙È· . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
∞ÏÊ·‚ËÙÈÎfi ¢ÚÂÙ‹ÚÈÔ fiÚˆÓ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248

9. KEº.1.-A§°.(9-32)-(20,5 à 28) 1-11-06 16:40 ™ÂÏ›‰·9
ª∂ƒ√™ ∞
º˘ÛÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ›
1.1 º˘ÛÈÎÔ› ∞ÚÈıÌÔ› - ¢È¿Ù·ÍË - ™ÙÚÔÁÁ˘ÏÔÔ›ËÛË
ñ
ñ
ñ
ñ
∫·Ù·ÓÔÒ ÙÔ˘˜ Ê˘ÛÈÎÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜
∞ÓÙÈÛÙÔȯ›˙ˆ ÙÔ˘˜ Ê˘ÛÈÎÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ Ì ÛËÌ›· ÙÔ˘ ¿ÍÔÓ·
™˘ÁÎÚ›Óˆ Ê˘ÛÈÎÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜
™ÙÚÔÁÁ˘ÏÔÔÈÒ Ê˘ÛÈÎÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜
1o
∫
1.2. ¶ÚfiÛıÂÛË - ∞Ê·›ÚÂÛË Î·È ¶ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÌfi˜ Ê˘ÛÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ
ñ ¶ÚÔÛı¤Ùˆ, ·Ê·ÈÚÒ Î·È ÔÏÏ·Ï·ÛÈ¿˙ˆ Ê˘ÛÈÎÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜
ñ °ÓˆÚ›˙ˆ ÙȘ ȉÈfiÙËÙ˜ ÙˆÓ Ú¿ÍÂˆÓ Î·È ÙȘ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÒ ÛÙÔÓ ˘ÔÏÔÁÈÛÌfi Ù˘ ÙÈÌ‹˜
ÌÈ·˜ ·Ú¿ÛÙ·Û˘
ñ ∂ÎÙÂÏÒ ÙȘ Ú¿ÍÂȘ Û ÌÈ· ·ÚÈıÌËÙÈ΋ ·Ú¿ÛÙ·ÛË Ì ÙËÓ ÚÔ‚ÏÂfiÌÂÓË ÚÔÙÂÚ·ÈfiÙËÙ·
∂
1.3. ¢˘Ó¿ÌÂȘ Ê˘ÛÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ
ñ ∫·Ù·ÓÔÒ ÙËÓ ¤ÓÓÔÈ· Ù˘ ‰‡Ó·Ì˘ ·Ó Î·È ‰È·‚¿˙ˆ ‰˘Ó¿ÌÂȘ
ñ ÀÔÏÔÁ›˙ˆ ‰˘Ó¿ÌÂȘ Ì ÌÈÎÚfi ÂÎı¤ÙË Î·È ÁÈ· ÙȘ ‰˘Ó¿ÌÂȘ ÙÔ˘ 10 ÂÊ·ÚÌfi˙ˆ ÙȘ
ÈÛfiÙËÙ˜: 10Ó = 10 ... 0 (Ó ÌˉÂÓÈο), 2 10Ó = 20 ... 0 (Ó ÌˉÂÓÈο) Î.Ï.
ñ ∂Ê·ÚÌfi˙ˆ ÙËÓ ÚÔÙÂÚ·ÈfiÙËÙ· ÙˆÓ Ú¿ÍÂˆÓ ÛÙÔÓ ˘ÔÏÔÁÈÛÌfi ·Ú·ÛÙ¿ÛÂˆÓ Ì ‰˘Ó¿ÌÂȘ
º
Î·È ·ÚÂÓı¤ÛÂȘ
1.4. ∂˘ÎÏ›‰ÂÈ· ‰È·›ÚÂÛË - ¢È·ÈÚÂÙfiÙËÙ·
ñ °ÓˆÚ›˙ˆ ÙËÓ Ù·˘ÙfiÙËÙ· Ù˘ ¢ÎÏ›‰È·˜ ‰È·›ÚÂÛ˘
ñ ÀÔÏÔÁ›˙ˆ ÙÔ ËÏ›ÎÔ Î·È ÙÔ ˘fiÏÔÈÔ Ù˘ ¢ÎÏ›‰È·˜ ‰È·›ÚÂÛ˘ ‰‡Ô ·ÎÂÚ·›ˆÓ ηÈ
Áڿʈ ÙËÓ ÈÛfiÙËÙ· ·˘Ù‹˜
∞
ñ ∫·Ù·ÓÔÒ fiÙÈ ÔÈ ÂÎÊÚ¿ÛÂȘ: “√ ¢ Â›Ó·È ÔÏÏ·Ï¿ÛÈÔ ÙÔ˘ ‰”, “√ ‰ Â›Ó·È ‰È·ÈÚ¤Ù˘ ÙÔ˘ ¢”
Î·È “√ ¢ ‰È·ÈÚÂ›Ù·È Ì ÙÔÓ ‰” Â›Ó·È ÈÛÔ‰‡Ó·Ì˜ Ì ÙËÓ ¤ÎÊÚ·ÛË: “∏ ¢ÎÏ›‰ÂÈ· ‰È·›ÚÂÛË ÙÔ˘
¢ Ì ÙÔÓ ‰ Â›Ó·È Ù¤ÏÂÈ·”
1.5. ÷ڷÎÙ‹Ú˜ ‰È·ÈÚÂÙfiÙËÙ·˜ - ª.∫.¢. - ∂.∫.¶. - ∞Ó¿Ï˘ÛË ·ÚÈıÌÔ‡ Û ÁÈÓfiÌÂÓÔ
ÚÒÙˆÓ ·Ú·ÁfiÓÙˆÓ.
§
ñ °ÓˆÚ›˙ˆ ÔÈÔÈ ·ÚÈıÌÔ› ϤÁÔÓÙ·È ÚÒÙÔÈ Î·È ÔÈÔÈ Û‡ÓıÂÙÔÈ
ñ °ÓˆÚ›˙ˆ Î·È ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÒ Ù· ÎÚÈÙ‹ÚÈ· ‰È·ÈÚÂÙfiÙËÙ·˜ Ì ÙÔ 2, ÙÔ 4, ÙÔ 5 Î·È ÙÔ 10
ηıÒ˜ Î·È Ì ÙÔ 3 Î·È ÙÔ 9
ñ ∞ӷχˆ ‰‡Ô ‹ ÂÚÈÛÛfiÙÂÚÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ Û ÁÈÓfiÌÂÓÔ ÚÒÙˆÓ ·Ú·ÁfiÓÙˆÓ Î·È
‚Ú›ÛΈ Ì’ ·˘ÙfiÓ ÙÔÓ ÙÚfiÔ ÙÔ ª.∫.¢. Î·È ÙÔ ∂.∫.¶. ·˘ÙÒÓ
∞
π
√
¶À£∞°√ƒ∞™ √ ™∞ªπ√™
(580 - 500 .X.)

10. KEº.1.-A§°.(9-32)-(20,5 à 28) 1-11-06 16:40 ™ÂÏ›‰·10
- 10 - ª∂ƒ√™ ∞ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô - √È Ê˘ÛÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ›
– £¤ÏÂȘ Ó· ¤¯ÂȘ ‹ Ó· ͤÚÂȘ;
ÚÒÙËÛÂ Ô ı›Ԙ ÙÔÓ ·ÓË„Èfi ÙÔ˘
Ï›ÁÔ ÚÈÓ ÙÔÓ ·Ô¯·ÈÚÂÙ‹ÛÂÈ ÛÙÔ
·ÂÚÔ‰ÚfiÌÈÔ.
To ·ÁfiÚÈ ÎÔ›Ù·Í ÙÔ ıÂ›Ô ÙÔ˘ ÌÂ
ÌÂÁ¿ÏË ·ÔÚ›· ÚÔÛ·ıÒÓÙ·˜
Ó· ηٷϿ‚ÂÈ ÙÈ ÂÓÓÔÔ‡Û Ì ÙËÓ
ÂÚÒÙËÛ‹ ÙÔ˘.
– £¤ÏÂȘ Ó· ¤¯ÂȘ Ú¿ÁÌ·Ù· ‹
Ó· ͤÚÂȘ ÁÈ’ ·˘Ù¿;
Û˘ÌÏ‹ÚˆÛÂ Ô ı›Ԙ ÙÔ˘.
¶ÚÈÓ ·ÎfiÌ· ÚÔÏ¿‚ÂÈ ÙÔ ·È‰› Ó·
··ÓÙ‹ÛÂÈ, Ô ı›Ԙ ÙÔ˘ Û˘Ó¤¯ÈÛÂ:
– ¶ÂÚ¿Û·Ì fiÌÔÚÊ· ÛÙȘ ‰È·ÎÔ¤˜. ∆ÒÚ· Â›Ó·È ™Â٤̂ÚÈÔ˜, ÂÁÒ Á˘Ú›˙ˆ ÛÙË
‰Ô˘ÏÂÈ¿ ÌÔ˘ ÎÈ ÂÛ‡ ·Ú¯›˙ÂȘ ÙÔ °˘ÌÓ¿ÛÈÔ. £· Û ͷӷ‰Ò ÙÔ˘ ¯ÚfiÓÔ˘ ÙÔ Î·ÏÔη›ÚÈ
Î·È ı· Â›Û·È ¤Ó· ¯ÚfiÓÔ Î·È Ì›· Ù¿ÍË ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ˜. ŒÈ·Û ÙÔ ·ÁfiÚÈ ·fi ÙÔ˘˜
ÒÌÔ˘˜ Î·È ÎÔÈÙÒÓÙ·˜ ÙÔ ÛÙ· Ì¿ÙÈ· ÚfiÛıÂÛÂ:
– ¢Â ı¤Ïˆ Ó· ÌÔ˘ ··ÓÙ‹ÛÂȘ ÙÒÚ·. £· Û ͷӷڈًۈ ÙÔ˘ ¯ÚfiÓÔ˘. Œ¯ÂȘ,
ÏÔÈfiÓ, ηÈÚfi Ó· ÙÔ „¿ÍÂȘ, Ó· οÓÂȘ ˘Ôı¤ÛÂȘ, Ó· ÊÙÈ¿ÍÂȘ ÈÛÙÔڛ˜ Î·È Èı·Ó¿
ÛÂÓ¿ÚÈ·, Ó· ÛÎÂÊÙ›˜. ∫˘Ú›ˆ˜ ·˘Ùfi: Ó· ÛÎÂÊÙ›˜, ›Â, ÛÊ›ÁÁÔÓÙ¿˜ ÙÔ˘ Ù· ¯¤ÚÈ·.
“¶·Ú·Î·ÏÔ‡ÓÙ·È ÔÈ ÂÈ‚¿Ù˜ Ù˘ Ù‹Û˘ ÁÈ· ¶·Ú›ÛÈ Ó· ÚÔÛ¤ÏıÔ˘Ó ÛÙÔÓ ¤ÏÂÁ¯Ô ÙˆÓ
ÂÈÛÈÙËÚ›ˆÓ”, ·ÎÔ‡ÛÙËÎÂ Ë ·Ó·ÁÁÂÏ›· ·fi Ù· ÌÂÁ¿ÊˆÓ·.
– ∫·È ÎÔ›Ù·, ·Ó ‰ÂÓ ¤¯ÂȘ Û›ÁÔ˘ÚË ·¿ÓÙËÛË, ‰ÂÓ ÂÈÚ¿˙ÂÈ. ∏ ‰È·‰ÚÔÌ‹ ·˘Ù‹
ÌÔÚ› Ó· ·Í›˙ÂÈ ÂÚÈÛÛfiÙÂÚÔ. ∆Ô Ì˘·Ïfi ÌÔÚ› Ó· ÊÙÈ¿ÍÂÈ ÌfiÓÔ ÙÔ˘ ¤Ó·Ó
ÔÏfiÎÏËÚÔ ÎfiÛÌÔ. “∫·Ï‹ ÔÚ›·, ·ÁfiÚÈ ÌÔ˘”
– ∫·Ïfi Ù·Í›‰È, ı›Â...
¢ƒ∞™∆∏ƒπ√∆∏∆∂™ °π∞ ∆∏¡ ∆∞•∏
∏ Ù ¿ Í Ë Â › Ó · È Ë › ‰ È · ¤ Ó · Ù · Í › ‰ È . ∂›Ó·È ÌÈ· ‰È·‰ÚÔÌ‹ ·fi ÛΤ„Ë Û ÛΤ„Ë, ·fi Ì›·
ÁÓÒÌË Û ÌÈ· ¿ÏÏË, ·fi ÌÈ· ¤ÎÊÚ·ÛË Û ¤Ó· Û˘ÏÏÔÁÈÛÌfi. ∞fi„ÂȘ Ô˘ Û˘ÌʈÓÔ‡Ó,
ÁÓÒ̘ Ô˘ ÂÈÓ·È ‰È·ÊÔÚÂÙÈΤ˜, ȉ¤Â˜ Ô˘ ‰È·ÌÔÚÊÒÓÔÓÙ·È, Û˘Óı¤ÙÔ˘Ó Ó¤Â˜ ÁÓÒÛÂȘ
Î·È ÚÔÛı¤ÙÔ˘Ó ÂÌÂÈڛ˜. ∏ ıˆڛ· ·Ó·Ù‡ÛÛÂÙ·È ÌÂÙ¿ ·fi ÙÔ Û¯ÂÙÈÎfi
ÚÔ‚ÏËÌ·ÙÈÛÌfi Î·È ÙÔ ‰È¿ÏÔÁÔ Ô˘ Á›ÓÂÙ·È Ì¤Û· ÛÙËÓ Ù¿ÍË. ∂›Ó·È Ë ÙÂÏÈ΋ ı¤ÛË
ÛÙËÓ ÔÔ›· ηٷϋÁÔ˘ÌÂ, ·ÊÔ‡ ‰ÔÎÈÌ¿ÛÔ˘ÌÂ Î·È Â·ÏËı‡ÛÔ˘Ì ÙË ÛΤ„Ë Ì·˜.
∞ÎÚÈ‚Ò˜ ÁÈ ·˘Ùfi ÚÔËÁÔ‡ÓÙ·È ÔÈ Û¯ÂÙÈΤ˜ ‰Ú·ÛÙËÚÈfiÙËÙ˜. ª¤Û· ·’ ·˘Ù¤˜ ı·
ÚÔ‚ÏËÌ·ÙÈÛÙÔ‡ÌÂ Î·È ı· ÂÎÊÚ¿ÛÔ˘Ì ÙËÓ ¿Ô„‹ Ì·˜. ¢Â ÛËÌ·›ÓÂÈ fiÙÈ Û fiÏ· ı·
¤¯Ô˘Ì ··ÓÙ‹ÛÂȘ Î·È fiÙÈ fiÏ· ı· Ù· ÌÔÚ¤ÛÔ˘Ì ÌfiÓÔÈ Ì·˜. °È’ ·˘Ùfi Â›Ó·È Î·È ÔÈ
¿ÏÏÔÈ. ∞ÚΛ Ó· Ì¿ıÔ˘Ì Ӓ ·Îԇ̠ÙË ÁÓÒÌË ÙÔ˘˜. ∏ ÛΤ„Ë ÙˆÓ ¿ÏÏˆÓ ı· ¿ÂÈ ÙË
‰È΋ Ì·˜ ¤Ó· ‚‹Ì· ·Ú·¤Ú·. ™’ ·˘Ùfi Ì·˜ Û˘ÓÙÔÓ›˙ÂÈ Î·È Ì·˜ ‚ÔËı¿ÂÈ Ô Î·ıËÁËÙ‹˜
Ì·˜. ŸÏÔÈ Ì·˙› Î·È ÔÌ·‰Èο ı· ηٷʤÚÔ˘Ì ÂÚÈÛÛfiÙÂÚ·. ∞˜ ·Ú¯›ÛÔ˘Ì ÏÔÈfiÓ.

11. KEº.1.-A§°.(9-32)-(20,5 à 28) 1-11-06 16:40 ™ÂÏ›‰·11
ª∂ƒ√™ ∞ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô - √È Ê˘ÛÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ› - 11 -
∞.1.1. º ˘ Û È Î Ô › · Ú È ı Ì Ô › - ¢ È ¿ Ù · Í Ë º ˘ Û È Î Ò Ó - ™ Ù Ú Ô Á Á ˘ Ï Ô  Ô › Ë Û Ë
Afi ÙÔ ¢ËÌÔÙÈÎfi Û¯ÔÏÂ›Ô Ì¿ı·Ì ÙËÓ ¤ÓÓÔÈ· ÙÔ˘ Ê˘ÛÈÎÔ‡ ·ÚÈıÌÔ‡. ™ÙËÓ ·Ú¿ÁÚ·ÊÔ ·˘Ù‹
Á›ÓÂÙ·È Â·Ó¿ÏË„Ë Ù˘ ¤ÓÓÔÈ·˜, Ù˘ ‰È¿Ù·Í˘ Î·È Ù˘ ÛÙÚÔÁÁ˘ÏÔÔ›ËÛ˘ ÙˆÓ Ê˘ÛÈÎÒÓ
·ÚÈıÌÒÓ. ª¤Û· ·fi ÙȘ ‰Ú·ÛÙËÚÈfiÙËÙ˜, Ô˘ ·ÎÔÏÔ˘ıÔ‡Ó, ı· ÚÔÛ·ı‹ÛÔ˘Ì ӷ
Í·Ó·ı˘ÌËıԇ̠·˘Ù¿ Ô˘ ¤¯Ô˘Ì ̿ıÂÈ Î·È Ó· Ù· ‰È·Ù˘ÒÛÔ˘Ì Ì ÈÔ ÔÚÁ·ÓˆÌ¤ÓË ÛΤ„Ë.
¢ƒ∞™∆∏ƒπ√∆∏∆∞ 1 Ë
¢È¿ÏÂÍ ¤Ó· ÙÚÈ„‹ÊÈÔ ·ÚÈıÌfi. µÚ˜ ÙÔ˘˜ ¤ÍÈ ‰È·ÊÔÚÂÙÈÎÔ‡˜ ÙÚÈ„‹ÊÈÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ Ô˘
ÚÔ·ÙÔ˘Ó fiÙ·Ó ÂÓ·ÏÏ¿ÍÂȘ Ù· „ËÊ›· ÙÔ˘ ·ÚÈıÌÔ‡ Ô˘ ‰È¿ÏÂ͘ Î·È ÁÚ¿„ ·˘ÙÔ‡˜
Ì fiÏÔ˘˜ ÙÔ˘˜ ‰˘Ó·ÙÔ‡˜ ÙÚfiÔ˘˜.
➣ ¶ÔÈÔ˜ Â›Ó·È Ô ÌÈÎÚfiÙÂÚÔ˜ Î·È ÔÈÔ˜ Ô ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ˜;
➣ °Ú¿„ fiÏÔ˘˜ ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ Ô˘ ‚ڋΘ Ì ÛÂÈÚ¿ ·‡ÍÔ˘Û·, ‰ËÏ·‰‹ ·fi ÙÔ
ÌÈÎÚfiÙÂÚÔ ÚÔ˜ ÙÔ ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ.
➣ ™ÙË Û˘Ó¤¯ÂÈ·, ÁÚ¿„ ÙÔ˘˜ ›‰ÈÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ Ì Êı›ÓÔ˘Û· ÛÂÈÚ¿.
¢ƒ∞™∆∏ƒπ√∆∏∆∞ 2 Ë 100Æ
°È· Ó· ‚·ıÌÔÏÔÁ‹ÛÔ˘Ì ¤Ó· ıÂÚÌfiÌÂÙÚÔ ·ÎÔÏÔ˘ıԇ̠ÌÈ· Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤ÓË
̤ıÔ‰Ô: ∆Ô ·Ê‹ÓÔ˘Ì ÛÙÔÓ ¿ÁÔ ·ÚÎÂÙ‹ ÒÚ· Î·È ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô Ô˘ ı· ÛÙ·ı›
Ô ˘‰Ú¿ÚÁ˘ÚÔ˜ ÛËÌÂÈÒÓÔ˘Ì ÙÔ Ìˉ¤Ó (0Æ). ™ÙË Û˘Ó¤¯ÂÈ· ÙÔ ·Ê‹ÓÔ˘Ì ̤۷
Û ÓÂÚfi Ô˘ ‚Ú¿˙ÂÈ Î·È ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô Ô˘ ı· ÛÙ·ı› Ô ˘‰Ú¿ÚÁ˘ÚÔ˜
ÛËÌÂÈÒÓÔ˘Ì ÙÔ ÂηÙfi (100Æ).
➣ ™Î¤„Ô˘ Î·È ‰È·Ù‡ˆÛ ¤Ó· ÙÚfiÔ Ì ÙÔÓ ÔÔ›Ô ı· ÌÔÚÔ‡Û˜ Ó·
ÛËÌÂÈÒÛÂȘ Î·È fiϘ ÙȘ ÂӉȿÌÂÛ˜ ÂӉ›ÍÂȘ. 0Æ
£˘ÌfiÌ·ÛÙ - ª·ı·›ÓÔ˘ÌÂ
√È ·ÚÈıÌÔ› 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ..., 98, 99, 100, ..., 1999, 2000, 2001, ... ÔÓÔÌ¿˙ÔÓÙ·È
Ê˘ÛÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ›.
∫¿ıÂ Ê˘ÛÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜ ¤¯ÂÈ ¤Ó·Ó ÂfiÌÂÓÔ Î·È ¤Ó· ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓÔ Ê˘ÛÈÎfi
·ÚÈıÌfi, ÂÎÙfi˜ ·fi ÙÔ 0 Ô˘ ¤¯ÂÈ ÌfiÓÔ ÂfiÌÂÓÔ, ÙÔ 1.
√È Ê˘ÛÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ› ¯ˆÚ›˙ÔÓÙ·È Û ‰‡Ô ηÙËÁÔڛ˜: ÙÔ˘˜ ¿ÚÙÈÔ˘˜ ‹ ˙˘ÁÔ‡˜ ηÈ
ÙÔ˘˜ ÂÚÈÙÙÔ‡˜ ‹ ÌÔÓÔ‡˜.
ÕÚÙÈÔÈ Ï¤ÁÔÓÙ·È ÔÈ Ê˘ÛÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ› Ô˘ ‰È·ÈÚÔ‡ÓÙ·È Ì ÙÔ 2 Î·È ÂÚÈÙÙÔ› ÂΛÓÔÈ Ô˘ ‰ÂÓ
‰È·ÈÚÔ‡ÓÙ·È Ì ÙÔ 2.
∆Ô ‰Âη‰ÈÎfi Û‡ÛÙËÌ· ·Ú›ıÌËÛ˘ ‰›ÓÂÈ ÙË ‰˘Ó·ÙfiÙËÙ· Ó· Û¯ËÌ·Ù›˙Ô˘Ì ÙÔ ·ÂÚÈfiÚÈÛÙÔ
Ï‹ıÔ˜ ÙˆÓ Ê˘ÛÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÒÓÙ·˜ ÌfiÓÔ Ù· ‰¤Î· ÁÓˆÛÙ¿ „ËÊ›·:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 .
H ‰˘Ó·ÙfiÙËÙ· ·˘Ù‹ ˘¿Ú¯ÂÈ ÁÈ·Ù› Ë ·Í›· ÂÓfi˜ „ËÊ›Ô˘ ηıÔÚ›˙ÂÙ·È ÌfiÓÔ ·fi ÙË
ı¤ÛË Ô˘ η٤¯ÂÈ, ‰ËÏ·‰‹ ÙË ‰Âη‰È΋ Ù¿ÍË ÙÔ˘ (ÌÔÓ¿‰Â˜, ‰Âο‰Â˜, ÂηÙÔÓÙ¿-
‰Â˜, ¯ÈÏÈ¿‰Â˜, ‰Âο‰Â˜ ¯ÈÏÈ¿‰Â˜, ÂηÙÔÓÙ¿‰Â˜ ¯ÈÏÈ¿‰Â˜, ...).
™ÙÔ ÂÍ‹˜ ı· ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÔ‡ÌÂÙ· ·Ú·Î¿Ùˆ ۇ̂ÔÏ·:
ÙÔ = Ô˘ ÛËÌ·›ÓÂÈ “›ÛÔ˜ Ì”,
ÙÔ < Ô˘ ÛËÌ·›ÓÂÈ “ÌÈÎÚfiÙÂÚÔ˜ ·fi” ηÈ
ÙÔ > Ô˘ ÛËÌ·›ÓÂÈ “ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ˜ ·fi”.
ªÔÚԇ̠¿ÓÙ· Ó· Û˘ÁÎÚ›ÓÔ˘Ì ‰‡Ô Ê˘ÛÈÎÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ ÌÂٷ͇ ÙÔ˘˜.
∂Ô̤ӈ˜ ¤¯Ô˘Ì ÙË ‰˘Ó·ÙfiÙËÙ· Ó· ‰È·Ù¿ÍÔ˘Ì ÙÔ˘˜ Ê˘ÛÈÎÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ ·fi
ÙÔ ÌÈÎÚfiÙÂÚÔ ÚÔ˜ ÙÔ ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ, ‰ËÏ·‰‹ Ì ·‡ÍÔ˘Û· ÛÂÈÚ¿ ÌÂÁ¤ıÔ˘˜.
°È· ·Ú¿‰ÂÈÁÌ·: 0<1<2<3< .... <10<11<12< ... <297< ... <1000< ...

12. KEº.1.-A§°.(9-32)-(20,5 à 28) 1-11-06 16:40 ™ÂÏ›‰·12
- 12 - ª∂ƒ√™ ∞ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô - √È Ê˘ÛÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ›
∏ ‰˘Ó·ÙfiÙËÙ· ·˘Ù‹, Ù˘ ‰È¿Ù·Í˘ ÙˆÓ Ê˘ÛÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ, ÂÈÙÚ¤ÂÈ Ó· ÙÔ˘˜ ÙÔÔıÂÙ‹-
ÛÔ˘Ì ¿Óˆ Û ÌÈ· ¢ı›· ÁÚ·ÌÌ‹
Ì ÙÔÓ ·Ú·Î¿Ùˆ ÙÚfiÔ:
¢È·Ï¤ÁÔ˘Ì ·˘ı·›ÚÂÙ· ¤Ó· ÛËÌ›Ô
0 1
O A B ° ¢ ∂
?
√ Ù˘ ¢ı›·˜, Ô˘ ÙÔ Ï¤Ì ·Ú¯‹,
ÁÈ· Ó· ·Ú·ÛÙ‹ÛÔ˘Ì ÙÔÓ ·ÚÈıÌfi 0. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
ªÂÙ¿ ‰ÂÍÈ¿ ·fi ÙÔ ÛËÌÂ›Ô √
‰È·Ï¤ÁÔ˘Ì ¤Ó· ¿ÏÏÔ ÛËÌÂ›Ô ∞, O A B ° ¢ ∂
Ô˘ ·ÚÈÛÙ¿ÓÂÈ ÙÔÓ ·ÚÈıÌfi 1. ∆fiÙÂ, Ì ÌÔÓ¿‰· ̤ÙÚËÛ˘ ÙÔ √∞, ‚Ú›ÛÎÔ˘Ì ٷ ÛËÌ›·
Ô˘ ·ÚÈÛÙ¿ÓÔ˘Ó ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜: 2, 3, 4, 5, ...
™ÙÚÔÁÁ˘ÏÔÔ›ËÛË
¢ƒ∞™∆∏ƒπ√∆∏∆∞ 3 Ë
™ÙȘ 13 πÔ˘Ó›Ô˘ 2004, ·ÎÔ‡ÛÙËΠÛÙȘ Âȉ‹ÛÂȘ fiÙÈ ·fi Ù· 450 ÂηÙÔÌ̇ÚÈ· ÔÏÈÙÒÓ Ù˘
∂˘Úˆ·˚΋˜ ŒÓˆÛ˘, „ËÊ›˙Ô˘Ó Ù· 338 ÂηÙÔÌ̇ÚÈ· ÁÈ· Ó· ÂÎϤÍÔ˘Ó 732 ‚Ô˘ÏÂ˘Ù¤˜
ÙÔ˘ ∂˘ÚˆÎÔÈÓÔ‚Ô˘Ï›Ô˘.
➣ °È·Ù› ‰ÂÓ ·Ó·Ê¤ÚıËΠÙÔ ·ÎÚÈ‚¤˜ Ï‹ıÔ˜ ÙˆÓ 454.018.512 ÔÏÈÙÒÓ Ù˘ ∂.∂.,
ηıÒ˜ Î·È Ô ·ÎÚÈ‚‹˜ ·ÚÈıÌfi˜ ÙˆÓ 337.922.145 Ô˘ ›¯·Ó ‰Èη›ˆÌ· „‹ÊÔ˘;
➣ °È·Ù›, ·ÓÙ›ıÂÙ·, ÛÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË ÙˆÓ 732 Â˘Úˆ‚Ô˘Ï¢ÙÒÓ, ·Ó·Ê¤ÚıËÎÂ Ô ·ÎÚÈ‚‹˜
·ÚÈıÌfi˜;
➣ ¶fiÙ ÂÈÙÚ¤ÂÙ·È Ó· ¯ÚËÛÈÌÔÔÈԇ̠·˘Ù‹ ÙË ‰È·‰Èηۛ· ÚÔÛ¤ÁÁÈÛ˘ ÂÓfi˜
Ê˘ÛÈÎÔ‡ ·ÚÈıÌÔ‡;
™ÎÂÊÙfiÌ·ÛÙÂ
∏ ‰Ú·ÛÙËÚÈfiÙËÙ· ·˘Ù‹ Ì·˜ Ô‰ËÁ› Ó· ÚÔ‚ÏËÌ·ÙÈÛÙԇ̠ÁÈ·Ù› Û ·ÚÈıÌÔ‡˜, fiˆ˜ ÙÔ ·ÎÚÈ‚¤˜
Ï‹ıÔ˜ ÙˆÓ ÔÏÈÙÒÓ Ù˘ ∂.∂., ‰Â ¯ÚÂÈ¿˙ÂÙ·È Ó· ·Ó·ÊÂÚıԇ̠̠·ÎÚ›‚ÂÈ·, ÂÓÒ Û ¿ÏÏÔ˘˜, fiˆ˜
Ô ·ÚÈıÌfi˜ ÙˆÓ Â˘Úˆ‚Ô˘Ï¢ÙÒÓ, ··ÈÙÂ›Ù·È ·ÎÚ›‚ÂÈ·. ¶fiÙÂ, ÁÂÓÈÎfiÙÂÚ·, Ë ·ÎÚÈ‚‹˜ ‰È·Ù‡ˆÛË
ÂÓfi˜ ·ÚÈıÌÔ‡ Â›Ó·È ·Ó·Áη›·;
™ÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË ÙÔ˘ Ï‹ıÔ˘˜ ÙˆÓ ÔÏÈÙÒÓ ‹ ÙˆÓ „ËÊÔÊfiÚˆÓ Ù˘ ∂.∂., ·˘Ùfi Ô˘ ΢ڛˆ˜
ÂӉȷʤÚÂÈ Â›Ó·È Ë “Ù¿ÍË ÌÂÁ¤ıÔ˘˜”, .¯. Ù· ÂηÙÔÌ̇ÚÈ·. ∂ÓÒ ÁÈ· ÙÔ˘˜ Â˘Úˆ‚Ô˘ÏÂ˘Ù¤˜ Ô
·ÎÚÈ‚‹˜ ·ÚÈıÌfi˜ Â›Ó·È ··Ú·›ÙËÙÔ˜, .¯. ÛÙȘ „ËÊÔÊÔڛ˜.
∞fi Ù· ·Ú·¿Óˆ Â›Ó·È Ê·ÓÂÚfi fiÙÈ ¯ÚÂÈ¿˙ÂÙ·È ÌÈ· ‰È·‰Èηۛ· Ô˘ Ì·˜ ‚ÔËı¿ÂÈ Ó· ÂÎÊÚ¿ÛÔ˘ÌÂ,
Ì ÙÚfiÔ ÎÔÈÓ¿ ·Ô‰ÂÎÙfi, ¤Ó· Ê˘ÛÈÎfi ·ÚÈıÌfi ÁÈ· ÙÔÓ ÔÔ›Ô ‰ÂÓ ··ÈÙÂ›Ù·È ·ÎÚ›‚ÂÈ·. °È·
·Ú¿‰ÂÈÁÌ· ÙÔ ‡„Ô˜ ÂÓfi˜ ‚Ô˘ÓÔ‡ Ô˘ Â›Ó·È 1987 m., ϤÌÂ, Û˘Ó‹ıˆ˜, 2000 m. ∂ÓÒ Ô ·ÚÈıÌfi˜
ÂÓfi˜ ÙËÏÂÊÒÓÔ˘, ÙÔ ∞ºª ‹ Ô Ù·¯˘‰ÚÔÌÈÎfi˜ Έ‰ÈÎfi˜ ·Ó·Ê¤ÚÔÓÙ·È ¿ÓÙ· Ì ·ÎÚ›‚ÂÈ·.
£˘ÌfiÌ·ÛÙ - ª·ı·›ÓÔ˘ÌÂ
¶ÔÏϤ˜ ÊÔÚ¤˜ ·ÓÙÈηıÈÛÙԇ̠¤Ó· Ê˘ÛÈÎfi ·ÚÈıÌfi Ì ÌÈ· ÚÔÛ¤ÁÁÈÛ‹ ÙÔ˘,
‰ËÏ·‰‹ οÔÈÔ ¿ÏÏÔ Ï›ÁÔ ÌÈÎÚfiÙÂÚÔ ‹ Ï›ÁÔ ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚfi ÙÔ˘. ∆Ë ‰È·‰Èηۛ· ·˘Ù‹
ÙËÓ ÔÓÔÌ¿˙Ô˘Ì ÛÙÚÔÁÁ˘ÏÔÔ›ËÛË.
°È· Ó· ÛÙÚÔÁÁ˘ÏÔÔÈ‹ÛÔ˘Ì ¤Ó· Ê˘ÛÈÎfi ·ÚÈıÌfi:
— ¶ÚÔÛ‰ÈÔÚ›˙Ô˘Ì ÙË Ù¿ÍË ÛÙËÓ ÔÔ›· ı· Á›ÓÂÈ Ë ÛÙÚÔÁÁ˘ÏÔÔ›ËÛË.
— ∂ÍÂÙ¿˙Ô˘Ì ÙÔ „ËÊ›Ô Ù˘ ·Ì¤Ûˆ˜ ÌÈÎÚfiÙÂÚ˘ Ù¿Í˘.
— ∞Ó ·˘Ùfi Â›Ó·È ÌÈÎÚfiÙÂÚÔ ÙÔ˘ 5 (‰ËÏ·‰‹ 0, 1, 2, 3 ‹ 4), ÙÔ „ËÊ›Ô ·˘Ùfi Î·È fiÏ·
Ù· „ËÊ›· ÙˆÓ ÌÈÎÚfiÙÂÚˆÓ Ù¿ÍÂˆÓ ÌˉÂÓ›˙ÔÓÙ·È.
— AÓ Â›Ó·È ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ ‹ ›ÛÔ ÙÔ˘ 5 (‰ËÏ·‰‹ 5, 6, 7, 8 ‹ 9), ÙÔ „ËÊ›Ô ·˘Ùfi Î·È fiÏ·
Ù· „ËÊ›· ÙˆÓ ÌÈÎÚfiÙÂÚˆÓ Ù¿ÍÂˆÓ ÌˉÂÓ›˙ÔÓÙ·È Î·È ÙÔ „ËÊ›Ô Ù˘ Ù¿Í˘ ÛÙÚÔÁÁ˘-
ÏÔÔ›ËÛ˘ ·˘Í¿ÓÂÙ·È Î·Ù¿ 1.

13. KEº.1.-A§°.(9-32)-(20,5 à 28) 1-11-06 16:40 ™ÂÏ›‰·13
ª∂ƒ√™ ∞ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô - √È Ê˘ÛÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ› - 13 -
¶∞ƒ∞¢∂π°ª∞ - ∂º∞ƒª√°∏
¡· ÛÙÚÔÁÁ˘ÏÔÔÈËı› Ô ·ÚÈıÌfi˜ 9.573.842 ÛÙȘ (·) ÂηÙÔÓÙ¿‰Â˜, (‚) ¯ÈÏÈ¿‰Â˜ (Á) ÂηÙÔÌ̇ÚÈ·.
§‡ÛË
(·) ∆¿ÍË ÛÙÚÔÁÁ˘ÏÔÔ›ËÛ˘: ÂηÙÔÓÙ¿‰Â˜.
¶ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓË Ù¿ÍË: 4 < 5 . ŸÏ· Ù·
ÚÔ˜ Ù· ‰ÂÍÈ¿ „ËÊ›· ÌˉÂÓ›˙ÔÓÙ·È. 9.573.842 ➜ 9.573.800
(‚) ∆¿ÍË ÛÙÚÔÁÁ˘ÏÔÔ›ËÛ˘: ¯ÈÏÈ¿‰Â˜
¶ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓË Ù¿ÍË: 8 > 5 . ŸÏ· Ù·
ÚÔ˜ Ù· ‰ÂÍÈ¿ „ËÊ›· ÌˉÂÓ›˙ÔÓÙ·È Î·È
ÙÔ „ËÊ›Ô Ù˘ Ù¿Í˘ Á›ÓÂÙ·È: 3 + 1 = 4 9.573.842 ➜ 9.574.000
(Á) ∆¿ÍË ÛÙÚÔÁÁ˘ÏÔÔ›ËÛ˘: ÂηÙÔÌ̇ÚÈ·
¶ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓË Ù¿ÍË: 5 = 5 . ŸÏ· Ù·
ÚÔ˜ Ù· ‰ÂÍÈ¿ „ËÊ›· ÌˉÂÓ›˙ÔÓÙ·È Î·È
ÙÔ „ËÊ›Ô Ù˘ Ù¿Í˘ Á›ÓÂÙ·È 9 + 1 = 10 9.573.842 ➜ 10.000.00
∞™∫∏™∂π™ ∫∞𠶃√µ§∏ª∞∆∞
1. °Ú¿„ Ì „ËÊ›· ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ Ô˘ ‰›ÓÔÓÙ·È ·Ú·Î¿Ùˆ ÛÂ Ê˘ÛÈ΋ ÁÏÒÛÛ·:
(·) ‰È·ÎfiÛÈ· ¤ÓÙÂ, (‚) ÂÙ·ÎfiÛÈ· ÙÚÈ¿ÓÙ· ‰‡Ô (Á) ›ÎÔÛÈ ¯ÈÏÈ¿‰Â˜ ÔÎÙ·ÎfiÛÈ· ‰¤Î· ÙÚ›·.
2. °Ú¿„ ÛÂ Ê˘ÛÈ΋ ÁÏÒÛÛ· ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜: (·) 38.951, (‚) 5.000.812, (Á) 120.003.
3. ¶ÔÈÔÈ Â›Ó·È ÔÈ ÙÚÂȘ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓÔÈ ·ÚÈıÌÔ› ÙÔ˘ 289 Î·È ÔÈÔÈ ÔÈ ‰‡Ô ÂfiÌÂÓÔÈ;
4. ∆ÔÔı¤ÙËÛ Û ·‡ÍÔ˘Û· ÛÂÈÚ¿ ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜: 3.515, 4.800, 3.620, 3.508, 4.801.
5. ∆ÔÔı¤ÙËÛ ÙÔ Î·Ù¿ÏÏËÏÔ Û‡Ì‚ÔÏÔ: <, =, >, ÛÙÔ ÎÂÓfi ÌÂٷ͇ ÙˆÓ ·ÎfiÏÔ˘ıˆÓ ·ÚÈıÌÒÓ:
(·) 45...45 (‚) 38...36, (Á) 456...465, (‰) 8.765...8.970, (Â) 90.876...86.945, (ÛÙ) 345...5.690
6. ∫·Ù·Û··Û ¤Ó·Ó ¿ÍÔÓ· Ì ·Ú¯‹ ÙÔ ÛËÌÂ›Ô √ Î·È ÌÔÓ¿‰· √∞ ›ÛÔ Ì 2 cm.
∆ÔÔı¤ÙËÛ ٷ ÛËÌ›· µ, °, ¢, ∂ Û ·ÔÛÙ¿ÛÂȘ 6 cm, 10 cm, 12 cm Î·È 14 cm
·ÓÙ›ÛÙÔȯ·. ¶ÔÈÔÈ ·ÚÈıÌÔ› ·ÓÙÈÛÙÔÈ¯Ô‡Ó ÛÙ· ÛËÌ›· ·˘Ù¿;
7. ∆ÔÔı¤ÙËÛ ¤Ó· “x” ÛÙËÓ ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯Ë ı¤ÛË ™ø™∆√ §∞£√™
(·) ŒÓ·˜ ÂÓÙ·„‹ÊÈÔ˜ ·ÚÈıÌfi˜ ¤¯ÂÈ 6 „ËÊ›· Î·È Ì ÚÒÙÔ „ËÊ›Ô ÙÔ 0
(‚) ™ÙÔÓ ·ÚÈıÌfi 5780901 ÙÔ Ìˉ¤Ó ‰ËÏÒÓÂÈ ·Ô˘Û›· ‰Âο‰ˆÓ Î·È ¯ÈÏÈ¿‰ˆÓ
(Á) ¢¤Î· ¯ÈÏÈ¿‰Â˜ Â›Ó·È Ì›· ‰Âο‰· ¯ÈÏÈ¿‰·
(‰) ™Â ÌÈ· ÂÓÙ·‹ÌÂÚË ÂΉÚÔÌ‹ ı· Á›ÓÔ˘Ó ¤ÓÙ ‰È·Ó˘¯ÙÂÚ‡ÛÂȘ
(Â) ∞fi ÙÔÓ ·ÚÈıÌfi 32 ˆ˜ ÙÔÓ ·ÚÈıÌfi 122 ˘¿Ú¯Ô˘Ó 90 ·ÚÈıÌÔ›
(ÛÙ) ™Â ÔÎÙÒ Ë̤Ú˜ ·fi Û‹ÌÂÚ·, Ô˘ Â›Ó·È ¶¤ÌÙË,ı· Â›Ó·È ¶·Ú·Û΢‹
(˙) ∞fi ÙËÓ 12Ë ÛÂÏ›‰· ÙÔ˘ ‚È‚Ï›Ô˘ ̤¯ÚÈ Î·È ÙËÓ 35Ë Â›Ó·È 24 ÛÂÏ›‰Â˜
(Ë) ¢ÂÓ ˘¿Ú¯ÂÈ Ê˘ÛÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜ ÌÂٷ͇ ÙˆÓ ·ÚÈıÌÒÓ 2 Î·È 3
√È ÂfiÌÂÓ˜ Ù¤ÛÛÂÚȘ ÂÚˆÙ‹ÛÂȘ K § ª ¡
·Ó·Ê¤ÚÔÓÙ·È ÛÙÔ Û¯‹Ì· 0 150
(ı) ™ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ∫ ·ÓÙÈÛÙÔȯ› Ô ·ÚÈıÌfi˜ 370
(È) ™ÙÔ ÛËÌÂ›Ô § ·ÓÙÈÛÙÔȯ› Ô ·ÚÈıÌfi˜ 1050
(È·) ™ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ª ·ÓÙÈÛÙÔȯ› Ô ·ÚÈıÌfi˜ 1200
(È‚) ™ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ¡ ·ÓÙÈÛÙÔȯ› Ô ·ÚÈıÌfi˜ 1875
8. ™ÙÚÔÁÁ˘ÏÔÔ›ËÛ ÛÙËÓ ÏËÛȤÛÙÂÚË ÂηÙÔÓÙ¿‰· ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜: 345, 761, 659, 2.567,
9.532, 123.564, 34.564, 31.549 Î·È 8.765.
9. ™ÙÚÔÁÁ˘ÏÔÔ›ËÛ ÙÔÓ ·ÚÈıÌfi 7.568.349 ÛÙȘ ÏËÛȤÛÙÂÚ˜: (·) ‰Âο‰Â˜, (‚) ÂηÙÔÓÙ¿‰Â˜,
(Á) ¯ÈÏÈ¿‰Â˜, (‰) ‰Âο‰Â˜ ¯ÈÏÈ¿‰Â˜, (Â) ÂηÙÔÓÙ¿‰Â˜ ¯ÈÏÈ¿‰Â˜.

14. KEº.1.-A§°.(9-32)-(20,5 à 28) 1-11-06 16:40 ™ÂÏ›‰·14
- 14 - ª∂ƒ√™ ∞ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô - √È Ê˘ÛÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ›
∞.1.2. ¶ Ú fi Û ı Â Û Ë , · Ê · › Ú Â Û Ë Î · È  Ô Ï Ï ·  Ï · Û È · Û Ì fi ˜ Ê ˘ Û È Î Ò Ó · Ú È ı Ì Ò Ó
¶·Ú·Î¿Ùˆ ı· ·Û¯ÔÏËıԇ̠̠ÙȘ “Ú¿ÍÂȘ” ÙˆÓ Ê˘ÛÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ. ∆Ô Ô˘ÛÈ·ÛÙÈÎfi “Ú¿ÍË”
ÚÔ·ÙÂÈ ·fi ÙÔ Ú‹Ì· “Ú¿ÙÙˆ” Î·È ‰ËÏÒÓÂÈ ÌÈ· ‰Ú¿ÛË ‹ ÂÓ¤ÚÁÂÈ·. √È ·ÚÈıÌÔ› Ô˘ ¤¯Ô˘ÌÂ
ÁÓˆÚ›ÛÂÈ Ì¤¯ÚÈ ÙÒÚ· ˘ÏÔÔÈÔ‡Ó ·Ó¿ÁΘ ̤ÙÚËÛ˘. ™‡ÓıÂÙ˜ ÌÂÙÚ‹ÛÂȘ ÚÔ·ÙÔ˘Ó ·fi ·Ϥ˜
ÌÂÙÚ‹ÛÂȘ Ì ÙË ‰È‰Èηۛ· ÙˆÓ ڿ͈Ó, fiˆ˜ ÁÈ· ·Ú¿‰ÂÈÁÌ· Ù˘ ÚfiÛıÂÛ˘ Î·È Ù˘ ·Ê·›ÚÂÛ˘.
¢ƒ∞™∆∏ƒπ√∆∏∆∞ 1 Ë
√ ‰ÈÏ·Ófi˜ ›Ó·Î·˜ ‰›ÓÂÈ Ù· ·ıÚÔ›ÛÌ·Ù·, ‰ËÏ·‰‹ Ù· + 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
·ÔÙÂϤÛÌ·Ù· Ù˘ ÚfiÛıÂÛ˘ ÙˆÓ ÌÔÓÔ„‹ÊÈˆÓ 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Ê˘ÛÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ. 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
➣ ∆È ·Ú·ÙËÚ›˜ ÁÈ· ÙËÓ ÚfiÛıÂÛË Ì ÙÔ 0; 2 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
➣ ¶fiÛÔÈ ·ÚÈıÌÔ› ÌÔÚÔ‡Ó Ó· ÚÔÛÙÂıÔ‡Ó Î¿ı ÊÔÚ¿; 3 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
➣ ¢‡Ô ·ÚÈıÌÔ› ¤¯Ô˘Ó ¿ıÚÔÈÛÌ· 12 Î·È ‰È·ÊÔÚ¿ 2. 4 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
ªÔÚ›˜ Ó· ‚ÚÂȘ ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ ·˘ÙÔ‡˜; 5 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
➣ ™‡ÁÎÚÈÓ ٷ ·ıÚÔ›ÛÌ·Ù· 3 + 6 Î·È 6 + 3 Î·È ÌÂÙ¿ Ù· 6 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
·ıÚÔ›ÛÌ·Ù· (5+4) + 2 Î·È 5 + (4+2) 7 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
➣ ¢È·Ù‡ˆÛ ٷ Û˘ÌÂÚ¿ÛÌ·Ù¿ ÛÔ˘. 8 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
11 12 13 14 15 16 17 18
➣ ºÙÈ¿Í ¤Ó· ·ÚfiÌÔÈÔ ›Ó·Î· ÁÈ· ÙÔÓ ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÌfi, 9 9 10
‰È·Ù‡ˆÛ ٷ ·ÓÙ›ÛÙÔȯ· ÂÚˆÙ‹Ì·Ù· Î·È ÚÔÛ¿ıËÛ ӷ ‰ÒÛÂȘ ÙȘ ηٿÏÏËϘ ··ÓÙ‹ÛÂȘ.
™ÎÂÊÙfiÌ·ÛÙÂ
¶·Ú·ÙËÚԇ̠fiÙÈ Î¿ı ÊÔÚ¿ ÌÔÚԇ̠ӷ ÚÔÛı¤ÛÔ˘Ì ‰‡Ô ÌfiÓÔ ·ÚÈıÌÔ‡˜, Û˘ÓÂÒ˜
·fi Ù· ˙¢Á¿ÚÈ· ÙˆÓ ·ÚÈıÌÒÓ Ô˘ ¤¯Ô˘Ó ¿ıÚÔÈÛÌ· 12, ‰ËÏ·‰‹ 9+3, 8+4, 7+5, 6+6 ,
ÂΛÓÔ Ô˘ ¤¯ÂÈ ‰È·ÊÔÚ¿ 2 Â›Ó·È ÙÔ ˙¢Á¿ÚÈ ÙˆÓ ·ÚÈıÌÒÓ 7 Î·È 5.
∂›Û˘, ·Ú·ÙËÚԇ̠fiÙÈ: 0+1=1+0=1, 0+2=2+0=2, 0+3=3+0=3 , Î.Ô.Î.
∏ Û‡ÁÎÚÈÛË ÙˆÓ ·ıÚÔÈÛÌ¿ÙˆÓ 3+6=9 Î·È 6+3=9 , fiˆ˜ Î·È ¿ÏÏˆÓ Ù¤ÙÔÈˆÓ ·ıÚÔÈÛÌ¿ÙˆÓ
.¯. 7+1=8 Î·È 1+7=8 Î.Ï., Ì·˜ Ô‰ËÁÔ‡Ó ÛÙË ‰È·Ù‡ˆÛË Ù˘ ·ÓÙÈÌÂÙ·ıÂÙÈ΋˜ ȉÈfiÙËÙ·˜.
∂›Û˘, Ë Û‡ÁÎÚÈÛË ÙˆÓ ·ıÚÔÈÛÌ¿ÙˆÓ: (5+4)+2=11 Î·È 5+(4+2)=11 , ·ÏÏ¿ Î·È ¿ÏψÓ
·ıÚÔÈÛÌ¿ÙˆÓ, fiˆ˜ .¯. (9+1)+3=13 Î·È 9+(1+3)=13 Î.Ï., Ì·˜ Ô‰ËÁÔ‡Ó ÛÙË ‰È·Ù‡ˆÛË
Ù˘ ÚÔÛÂÙ·ÈÚÈÛÙÈ΋˜ ȉÈfiÙËÙ·˜. ∂Ô̤ӈ˜, ÌÔÚԇ̠ӷ ‰È·Ù˘ÒÛÔ˘Ì ÙȘ ȉÈfiÙËÙ˜ Ù˘
ÚfiÛıÂÛ˘ Î·È ·ÓÙ›ÛÙÔȯ· ÙÔ˘ ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÌÔ‡ ÙˆÓ Ê˘ÛÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ.
¢ƒ∞™∆∏ƒπ√∆∏∆∞ 2 Ë
™Â fiÏÔ ÙÔ Ì‹ÎÔ˜ ÙÔ˘ ÂıÓÈÎÔ‡ ‰ÚfiÌÔ˘ ∞ı‹Ó·˜ - ∞ÏÂÍ·Ó‰ÚÔ‡ÔÏ˘ ˘¿Ú¯Ô˘Ó ¯ÈÏÈÔÌÂÙÚÈΤ˜
ÂӉ›ÍÂȘ. √È ÂӉ›ÍÂȘ ·˘Ù¤˜ ÁÚ¿ÊÔ˘Ó: ÛÙË §·Ì›· 214, ÛÙË §¿ÚÈÛ· 362, ÛÙËÓ ∫·ÙÂÚ›ÓË 445,
ÛÙË £ÂÛÛ·ÏÔÓ›ÎË 514, ÛÙËÓ ∫·‚¿Ï· 677, ÛÙËÓ •¿ÓıË 732, ÛÙËÓ ∫ÔÌÔÙËÓ‹ 788 Î·È ÛÙËÓ
∞ÏÂÍ·Ó‰ÚÔ‡ÔÏË 854.
➣ ªÔÚ›˜ Ó· ‚ÚÂȘ ÙȘ ÌÂٷ͇ ÙˆÓ fiÏÂˆÓ ·ÔÛÙ¿ÛÂȘ;
62
¢ƒ∞™∆∏ƒπ√∆∏∆∞ 3 Ë
16
√ ™‡ÚÔ˜ ˘ÔÏfiÁÈÛ Ì ÙÔ Ì˘·Ïfi ÙÔ˘ ÙÔ ÂÌ‚·‰fiÓ ÙÔ˘
‰ÈÏ·ÓÔ‡ Û¯‹Ì·ÙÔ˜ Î·È ÙÔ ‚ڋΠ1600 ÙÂÙÚ·ÁˆÓÈο
¯ÈÏÈÔÛÙ¿.
38
➣ ÀÔÏfiÁÈÛÂ Î·È Û˘ ÙÔ ÂÌ‚·‰fiÓ Î·È ‰ÒÛ ÌÈ· ÂÍ‹ÁËÛË
ÁÈ· ÙÔ ÙÈ ·ÎÚÈ‚Ò˜ ¤Î·Ó˜ ÁÈ· Ó· ÙÔ ‚ÚÂȘ.
16

15. KEº.1.-A§°.(9-32)-(20,5 à 28) 1-11-06 16:40 ™ÂÏ›‰·15
ª∂ƒ√™ ∞ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô - √È Ê˘ÛÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ› - 15 -
£˘ÌfiÌ·ÛÙ - ª·ı·›ÓÔ˘ÌÂ
¶ÚfiÛıÂÛË Â›Ó·È Ë Ú¿ÍË Ì ÙËÓ ÔÔ›· ·fi ‰‡Ô 13 + 5 = 18
Ê˘ÛÈÎÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ · Î·È ‚, ÙÔ˘˜ ÚÔÛıÂÙ¤Ô˘˜ ,
¶ÚÔÛıÂÙ¤ÔÈ ÕıÚÔÈÛÌ·
‚Ú›ÛÎÔ˘Ì ¤Ó· ÙÚ›ÙÔ Ê˘ÛÈÎfi ·ÚÈıÌfi Á, Ô˘ Â›Ó·È ÙÔ
¿ıÚÔÈÛÌ¿ ÙÔ˘˜ Î·È ÁÚ¿ÊÔ˘ÌÂ: · + ‚ = Á
π‰ÈfiÙËÙ˜ Ù˘ ÚfiÛıÂÛ˘:
∆Ô 0 fiÙ·Ó ÚÔÛÙÂı› Û ¤Ó· Ê˘ÛÈÎfi ·ÚÈıÌfi ‰ÂÓ ÙÔÓ
ÌÂÙ·‚¿ÏÏÂÈ. ·+0=0+·=·
ªÔÚԇ̠ӷ ·ÏÏ¿˙Ô˘Ì ÙË ÛÂÈÚ¿ ÙˆÓ ‰‡Ô ÚÔÛıÂ-
Ù¤ˆÓ ÂÓfi˜ ·ıÚÔ›ÛÌ·ÙÔ˜ (∞ÓÙÈÌÂÙ·ıÂÙÈ΋ ȉÈfiÙËÙ·) ·+‚=‚+·
ªÔÚԇ̠ӷ ·ÓÙÈηıÈÛÙԇ̠ÚÔÛıÂÙ¤Ô˘˜ Ì ÙÔ
¿ıÚÔÈÛÌ¿ ÙÔ˘˜ ‹ Ó· ·Ó·Ï‡Ô˘Ì ¤Ó· ÚÔÛıÂÙ¤Ô Û ·+(‚+Á)=(·+‚)+Á
¿ıÚÔÈÛÌ· (¶ÚÔÛÂÙ·ÈÚÈÛÙÈ΋ ȉÈfiÙËÙ·).
.
∞Ê·›ÚÂÛË Â›Ó·È Ë Ú¿ÍË Ì ÙËÓ ÔÔ›·, fiÙ·Ó ‰›ÓÔÓÙ·È ‰‡Ô
·ÚÈıÌÔ›, ª (ÌÂȈ٤Ԙ) Î·È ∞ (·Ê·ÈÚÂÙ¤Ô˜) ‚Ú›ÛÎÔ˘Ì ¤Ó·Ó ª=∞+¢
·ÚÈıÌfi ¢ (‰È·ÊÔÚ¿), Ô ÔÔ›Ô˜ fiÙ·Ó ÚÔÛÙÂı› ÛÙÔ ∞ ‰›ÓÂÈ ÙÔ ª.
Î·È ÁÚ¿ÊÔ˘ÌÂ
™ÙÔ˘˜ Ê˘ÛÈÎÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ Ô ·Ê·ÈÚÂÙ¤Ô˜ ∞ Ú¤ÂÈ Ó· ›ӷÈ
¿ÓÙ· ÌÈÎÚfiÙÂÚÔ˜ ‹ ›ÛÔ˜ ÙÔ˘ ÌÂÈˆÙ¤Ô˘ ª. ™Â ·ÓÙ›ıÂÙË ¢ = ª - ∞
ÂÚ›ÙˆÛË Ë Ú¿ÍË Ù˘ ·Ê·›ÚÂÛ˘ ‰ÂÓ Â›Ó·È ‰˘Ó·ÙfiÓ Ó·
ÂÎÙÂÏÂÛÙ›.
¶ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÌfi˜ Â›Ó·È Ë Ú¿ÍË Ì ÙËÓ ÔÔ›· ·fi ‰‡Ô
7 6 = 42
Ê˘ÛÈÎÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ · Î·È ‚, ÙÔ˘˜ ·Ú¿ÁÔÓÙ˜, ‚Ú›ÛÎÔ˘Ì ¤Ó·
ÙÚ›ÙÔ Ê˘ÛÈÎfi ·ÚÈıÌfi Á, Ô˘ Â›Ó·È ÙÔ ÁÈÓfiÌÂÓfi ÙÔ˘˜: · ‚ = Á. ¶·Ú¿ÁÔÓÙ˜ °ÈÓfiÌÂÓÔ
π‰ÈfiÙËÙ˜ ÙÔ˘ ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÌÔ‡:
∆Ô 1 fiÙ·Ó ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÙ› Ì ¤Ó· Ê˘ÛÈÎfi ·ÚÈıÌfi ‰ÂÓ · 1=1 ·=·
ÙÔÓ ÌÂÙ·‚¿ÏÏÂÈ.
ªÔÚԇ̠ӷ ·ÏÏ¿˙Ô˘Ì ÙË ÛÂÈÚ¿ ÙˆÓ ·Ú·ÁfiÓÙˆÓ · ‚=‚ ·
ÂÓfi˜ ÁÈÓÔ̤ÓÔ˘ (∞ÓÙÈÌÂÙ·ıÂÙÈ΋ ȉÈfiÙËÙ·)
ªÔÚԇ̠ӷ ·ÓÙÈηıÈÛÙԇ̠·Ú¿ÁÔÓÙ˜ Ì ÙÔ
ÁÈÓfiÌÂÓfi ÙÔ˘˜ ‹ Ó· ·Ó·Ï‡Ô˘Ì ¤Ó· ·Ú¿ÁÔÓÙ· Û · (‚ Á)=(· ‚) Á
ÁÈÓfiÌÂÓÔ (¶ÚÔÛÂÙ·ÈÚÈÛÙÈ΋ ȉÈfiÙËÙ·)
∂ÈÌÂÚÈÛÙÈ΋ ȉÈfiÙËÙ· ÙÔ˘ ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÌÔ‡ ˆ˜ ÚÔ˜
ÙËÓ ÚfiÛıÂÛË : · (‚+Á)=· ‚+· Á
∂ÈÌÂÚÈÛÙÈ΋ ȉÈfiÙËÙ· ÙÔ˘ ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÌÔ‡ ˆ˜ ÚÔ˜
ÙËÓ ·Ê·›ÚÂÛË: · (‚-Á)=· ‚-· Á

16. KEº.1.-A§°.(9-32)-(20,5 à 28) 1-11-06 16:40 ™ÂÏ›‰·16
- 16 - ª∂ƒ√™ ∞ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô - √È Ê˘ÛÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ›
∏ ÚÒÙË ÂÌÊ¿ÓÈÛË ÙˆÓ Û˘Ì‚fiÏˆÓ + Î·È — ¯ÚÔÓÔÏÔÁÂ›Ù·È ·fi Ù· Ù¤ÏË ÙÔ˘ 15Ô˘ ·ÈÒÓ·, ·ÏÏ¿ Ë ÁÂÓÈÎÂ˘Ì¤ÓË
¯Ú‹ÛË ÙÔ˘˜ ÂÌÊ·Ó›˙ÂÙ·È ÙÔÓ 19Ô ·ÈÒÓ·. ∞Ú¯Èο ÁÈ· ÙËÓ ·Ê·›ÚÂÛË ¯ÚËÛÈÌÔÔÈ‹ıËΠÙÔ Û‡Ì‚ÔÏÔ « : ».
§¤ÁÂÙ·È fiÙÈ Ë Î·Ù·ÁˆÁ‹ ÙˆÓ Û˘Ì‚fiÏˆÓ ·˘ÙÒÓ ÔÊ›ÏÂÙ·È ÛÙÔ˘˜ ÂÌfiÚÔ˘˜ Ô˘ Ù· ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÔ‡Û·Ó ÁÈ· Ó·
‰ËÏÒÛÔ˘Ó fiÙÈ ¤Ó· ‚¿ÚÔ˜ ‚Ú¤ıËΠÈÔ Ôχ ‹ ÈÔ Ï›ÁÔ, ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·, ·fi ÙÔ Î·ÓÔÓÈÎfi.
∆· ۇ̂ÔÏ· x Î·È = ηıÈÂÚÒıËÎ·Ó ·fi ÕÁÁÏÔ˘˜ Ì·ıËÌ·ÙÈÎÔ‡˜ ÙÔ 1632 Î·È ÙÔ 1557 ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·.
¶∞ƒ∞¢∂π°ª∞∆∞ - ∂º∞ƒª√°∂™
1. ¡· ˘ÔÏÔÁÈÛÙÔ‡Ó Ù· ÁÈÓfiÌÂÓ·: (·) 35 10, (‚) 421 100, (Á) 5 1.000, (‰) 27 10.000
§‡ÛË
(·) 35 10 = 350
(‚) 421 100 = 42 .100
(Á) 5 1 .000 = 5.000
(‰) 27 10.000 = 270.000
∞fi Ù· ·Ú·¿Óˆ ‰È·ÈÛÙÒÓÔ˘Ì fiÙÈ ÁÈ· Ó· ÔÏÏ·Ï·ÛÈ¿ÛÔ˘Ì ¤Ó· ·ÚÈıÌfi Â› 10,
100, 1.000, ... ÁÚ¿ÊÔ˘Ì ÛÙÔ Ù¤ÏÔ˜ ÙÔ˘ ·ÚÈıÌÔ‡ ÙfiÛ· ÌˉÂÓÈο fiÛ· ¤¯ÂÈ Î¿ı ÊÔÚ¿ Ô
·Ú¿ÁÔÓÙ·˜ 10, 100, 1.000 ....
2. ¡· ÂÎÙÂÏÂÛÙÔ‡Ó ÔÈ ·ÎfiÏÔ˘ı˜ Ú¿ÍÂȘ:
(·) 89 7 + 89 3, (‚) 23 49 + 77 49, (Á) 76 13 – 76 3, (‰) 284 99
§‡ÛË
(·) 89 7 + 89 3 = 89 (7 + 3) = 89 10 = 890
(‚) 23 49 + 77 49 = (23 + 77) 49 = 100 49 = 490
(Á) 76 13 – 76 3 = 76 (13–3) = 76 10 = 760
(‰) 284 99 = 284 (100 – 1) = 284 100 – 284 1 = 28.400 – 284 = 28.116
3. ¡· ÂÚÌËÓ¢ÙÔ‡Ó Ì ÁˆÌÂÙÚÈÎfi ÙÚfiÔ ÔÈ ÂÈÌÂÚÈÛÙÈΤ˜ ȉÈfiÙËÙ˜:
(· + ‚) Á = · Á + ‚ Á Î·È (· – ‚) Á = · Á – ‚ Á
§‡ÛË ∞ · ‚
B ∂ ∑
¢‡Ô ÔÚıÔÁÒÓÈ· ·Ú·ÏÏËÏfi-
ÁÚ·ÌÌ· (ÌϤ Î·È Î›ÙÚÈÓÔ)
¤¯Ô˘Ó Ì›· ‰È¿ÛÙ·ÛË Ì ÙÔ ›‰ÈÔ Á
Ì‹ÎÔ˜ Á. °È· ·˘Ùfi ÙÔ ÏfiÁÔ
ÌÔÚÔ‡ÌÂ, ·Ó Ù· “ÎÔÏÏ‹- £ ∏
ÛÔ˘Ì”, fiˆ˜ Ê·›ÓÂÙ·È ÛÙÔ ¢ ∂Ì‚·‰fiÓ ∞µ°¢ = · Á ° ∂Ì‚·‰fiÓ ∂∑∏£=‚ Á
Û¯‹Ì·, Ó· ÊÙÈ¿ÍÔ˘Ì ¤Ó·
ÙÚ›ÙÔ, ÙÔ ∞∑∏¢, Ì ÂÌ‚·‰fiÓ ›ÛÔ Ì ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ÙˆÓ ÂÌ‚·‰ÒÓ ÙÔ˘˜. ∞Ó ‚¿ÏÔ˘Ì ÙÔ
ÌÈÎÚfiÙÂÚÔ ¿Óˆ ÛÙÔ ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ, fiˆ˜ Ê·›ÓÂÙ·È ÛÙÔ Û¯‹Ì·, ı· ·ÔÎÙ‹ÛÔ˘Ì ¤Ó· ¿ÏÏÔ,
ÙÔ ∞∂£¢, Ô˘ ı· ¤¯ÂÈ ÂÌ‚·‰fiÓ ›ÛÔ Ì ÙË ‰È·ÊÔÚ¿ ÙˆÓ ÂÌ‚·‰ÒÓ ÙˆÓ ‰‡Ô ·Ú¯ÈÎÒÓ.
·+‚ ·–‚
∞ B∂ ∞ ∂ B∑
∑
Á Á
¢ °£ ∏ ¢ £ °∏
∂Ì‚. ∞ZH¢ = ∂Ì‚. ∞µ°¢ + ∂Ì‚. ∂∑∏£ ∂Ì‚. ∞∂£¢ = ∂Ì‚. ∞µ°¢ – ∂Ì‚. ∂∑∏£
√fiÙÂ: (·+‚) Á = · Á + ‚ Á √fiÙÂ: (·–‚) Á = · Á – ‚ Á

17. KEº.1.-A§°.(9-32)-(20,5 à 28) 1-11-06 16:40 ™ÂÏ›‰·17
ª∂ƒ√™ ∞ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô - √È Ê˘ÛÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ› - 17 -
π™∆√ƒπ∫O ™∏ª∂πøª∞
MÂÚÈΤ˜ ÊÔÚ¤˜ ¤Ó·˜ ·Ïfi˜ Û˘ÏÏÔÁÈÛÌfi˜ οÔÈÔ˘ ·ÓıÚÒÔ˘ ·Í›˙ÂÈ ÈÔ Ôχ ·’ fiÏÔ
ÙÔ ¯Ú˘Û¿ÊÈ ÙÔ˘ ÎfiÛÌÔ˘. M οÔȘ ¤Í˘Ó˜ ȉ¤Â˜ ÎÂÚ‰›˙ÔÓÙ·È Ì¿¯Â˜, Á›ÓÔÓÙ·È
ÌÓËÌÂÈÒ‰Ë ¤ÚÁ· Î·È ‰ÔÍ¿˙ÔÓÙ·È ¿ÓıÚˆÔÈ, ÂÓÒ ·Ú¿ÏÏËÏ· ·Ó·Ù‡ÛÛÂÙ·È Ë ÂÈÛÙ‹ÌË,
ÂÍÂÏ›ÛÛÂÙ·È Ë Ù¯ÓÔÏÔÁ›·, ‰È·ÌÔÚÊÒÓÂÙ·È Ë ÈÛÙÔÚ›· Î·È ·ÏÏ¿˙ÂÈ Ë ˙ˆ‹.
ŒÓ· ÌÈÎÚfi ·Ú¿‰ÂÈÁÌ· Â›Ó·È Ë “¤Í˘ÓË ÚfiÛıÂÛË” Ô˘ ÛΤÊÙËΠӷ οÓÂÈ Ô °Î¿Ô˘˜
(Karl Friedrich Gauss, 1777 - 1850), fiÙ·Ó Û ¤Ó· ¯ˆÚÈfi Ù˘ °ÂÚÌ·Ó›·˜ Á‡Úˆ ÛÙ· 1789, ÛÙËÓ ÚÒÙË
Ù¿ÍË ÙÔ˘ Û¯ÔÏ›Ԣ, ¿Ú¯ÈÛ ӷ Ì·ı·›ÓÂÈ ÁÈ· ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ Î·È ÙȘ ·ÚÈıÌËÙÈΤ˜ Ú¿ÍÂȘ. ŸÙ·Ó Ô
‰¿ÛηÏÔ˜ ˙‹ÙËÛ ·fi ÙÔ˘˜ Ì·ıËÙ¤˜ ÙÔ˘ Ó· ˘ÔÏÔÁ›ÛÔ˘Ó ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ·:
1+2+3+....+98+99+100, ÚÈÓ ÔÈ ˘fiÏÔÈÔÈ ·Ú¯›ÛÔ˘Ó ÙȘ Ú¿ÍÂȘ, Ô ÌÈÎÚfi˜ °Î¿Ô˘˜ ÙÔ Â›¯Â ‹‰Ë
˘ÔÏÔÁ›ÛÂÈ. √ ‰¿ÛηÏÔ˜ ¤ÎÏËÎÙÔ˜ ÙÔÓ ÚÒÙËÛ Ò˜ ÙÔ ‚Ú‹ÎÂ. ∆fiÙ ÂΛÓÔ˜ ¤ÁÚ·„ ÛÙÔÓ ›Ó·Î·:
(1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + ... + (48 + 53) + ( 50 + 51) =
= 101 + 101 + 101 + ... + 101 + 101 + 101 = 101 50 = 5.050
50 ÊÔÚ¤˜
¶ÚÔÛ¿ıËÛ ӷ ˘ÔÏÔÁ›ÛÂȘ Ì ÙÔÓ ÙÚfiÔ ÙÔ˘ °Î¿Ô˘˜ ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· 1+2+3+...+ 998 + 999 + 1000
Î·È Ó· ÌÂÙÚ‹ÛÂȘ ÙÔ ¯ÚfiÓÔ Ô˘ ¯ÚÂÈ¿ÛÙËΘ. ¶fiÛÔ ¯ÚfiÓÔ ı· ¤Î·Ó˜ ¿Ú·Á ӷ ÙÔ ˘ÔÏÔÁ›ÛÂȘ ÌÂ
ηÓÔÓÈ΋ ÚfiÛıÂÛË;
∞™∫∏™∂π™ ∫∞𠶃√µ§∏ª∞∆∞
1. ™˘ÌÏ‹ÚˆÛ ٷ ·Ú·Î¿Ùˆ ÎÂÓ¿:
(·) H ȉÈfiÙËÙ· · + ‚ = ‚ + · ϤÁÂÙ·È ........................................................................
(‚) ∏ ȉÈfiÙËÙ· · + ‚ + Á = · + (‚ + Á) = (· + ‚) + Á ϤÁÂÙ·È ...............................
(Á) √ ·ÚÈıÌfi˜ Ô˘ ÚÔÛÙ›ıÂÙ·È Û ·ÚÈıÌfi Î·È ‰›ÓÂÈ ¿ıÚÔÈÛÌ· ÙÔÓ · Â›Ó·È ................
(‰) ∆Ô ·ÔÙ¤ÏÂÛÌ· Ù˘ ·Ê·›ÚÂÛ˘ ϤÁÂÙ·È ................................................................
(Â) ™Â ÌÈ· ·Ê·›ÚÂÛË ÔÈ ·ÚÈıÌÔ› ª, ∞ Î·È ¢ Û˘Ó‰¤ÔÓÙ·È Ì ÙË Û¯¤ÛË: ............................
(ÛÙ) ∏ ȉÈfiÙËÙ· · ‚ = ‚ · ϤÁÂÙ·È ............................................................................
(˙) ∏ ȉÈfiÙËÙ· · (‚ Á) = (· ‚) Á ϤÁÂÙ·È .............................................................
(Ë) ∏ ȉÈfiÙËÙ· · (‚ + Á) = · ‚ + · Á ϤÁÂÙ·È ......................................................
2. ™˘ÌÏ‹ÚˆÛ ٷ ÁÈÓfiÌÂÓ·: (·) 52 =5.200, (‚) 37 =370, (Á) 490 =4.900.000
3. ™˘ÌÏ‹ÚˆÛ ٷ ÎÂÓ¿ Ì ÙÔ˘˜ ηٿÏÏËÏÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜, ÒÛÙ ӷ ÚÔ·„Ô˘Ó ÛˆÛÙ¿
·ıÚÔ›ÛÌ·Ù·:
5 82 4 5 5 5
+ 7 5 1 + 5 2 + 5 2
(·) (‚) (Á)
1 73 1 0 4 93
1+2+3+4 14
4. AÓÙÈÛÙÔ›¯ÈÛ οı ÁÚ·ÌÌ‹ ÙÔ˘ ÚÒÙÔ˘ ›Ó·Î· Ì 1+2+3 4 24
¤Ó· ·fi Ù· ·ÔÙÂϤÛÌ·Ù· Ô˘ ˘¿Ú¯Ô˘Ó ÛÙÔ 1 2+3 4 10
‰Â‡ÙÂÚÔ ›Ó·Î·.
1 2 3 4 15

18. KEº.1.-A§°.(9-32)-(20,5 à 28) 1-11-06 16:40 ™ÂÏ›‰·18
- 18 - ª∂ƒ√™ ∞ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô - √È Ê˘ÛÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ›
5. ∆ÔÔı¤ÙËÛ ¤Ó· “x” ÛÙËÓ ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯Ë ı¤ÛË
(·) 157 + 33 = 190 200 180
(‚) 122 + 25 + 78 = 200 250 225
(Á) 785 – 323 = 462 458 562
(‰) 7.321 – 4.595 = 2.724 2.627 2.726
(Â) 60 – (18 – 2) = 60+18–2 (60–18)–2 60–18+2
(ÛÙ) 52 – 11 – 9 = 52–(11+9) (52–11)–9 52–20
(˙) 23 10 = 230 240 2.300
(Ë) 97 100 = 970 9.700 9.800
(ı) 879 1000 = 87900 879000 880000
ÀÔÏfiÁÈÛ ٷ ·Ú·Î¿Ùˆ ÁÈÓfiÌÂÓ·, ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÒÓÙ·˜ ÙËÓ ÂÈÌÂÚÈÛÙÈ΋ ȉÈfiÙËÙ·:
6. (·) 3 13, (‚) 7 11, (Á) 45 12, (‰) 12 101, (Â) 5 110, (ÛÙ) 4 111, (˙) 34 99, (Ë) 58 98.
14
YÔÏfiÁÈÛ ÙÔ ÂÌ‚·‰fiÓ ÙÔ˘ Û¯‹Ì·ÙÔ˜, ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÒÓÙ·˜
7. ηٿÏÏËÏ· ÙËÓ ÂÈÌÂÚÈÛÙÈ΋ ȉÈfiÙËÙ·.
2
2 2
3 3
2 2
AÁÔÚ¿Û·Ì ‰È¿ÊÔÚ· Û¯ÔÏÈο ›‰Ë Ô˘ ÎfiÛÙÈ˙·Ó: 156 Q, 30 Q, 38 Q, 369 Q Î·È 432 Q.
8. (·) ÀÔÏfiÁÈÛ Úfi¯ÂÈÚ· ·Ó ·ÚÎÔ‡Ó 1.000 Q ÁÈ· Ó· ÏËÚÒÛÔ˘Ì ٷ ›‰Ë Ô˘ ·ÁÔÚ¿Û·ÌÂ.
(‚) µÚ˜ fiÛ· ·ÎÚÈ‚Ò˜ ¯Ú‹Ì·Ù· ı· ÏËÚÒÛÔ˘ÌÂ.
9. √ ¡›ÎÔ˜ η٤‚ËΠÁÈ· „ÒÓÈ· Ì 160 Q. ™Â ¤Ó· Ì·Á·˙› ‚ڋΠ¤Ó· Ô˘Î¿ÌÈÛÔ Ô˘
ÎfiÛÙÈ˙ 35 Q, ¤Ó· ·ÓÙ·ÏfiÓÈ Ô˘ ÎfiÛÙÈ˙ 48 Q Î·È ¤Ó· ۷οÎÈ Ô˘ ÎfiÛÙÈ˙ 77 Q. ∆Ô˘
ÊÙ¿ÓÔ˘Ó Ù· ¯Ú‹Ì·Ù· ÁÈ· Ó· Ù· ·ÁÔÚ¿ÛÂÈ fiÏ·;
10. ™Â ¤Ó· ·ÚÙÔÔÈÂ›Ô ¤ÊÙÈ·Í·Ó Ì›· ̤ڷ 120 ÎÈÏ¿ ¿ÛÚÔ
„ˆÌ›, 135 ÎÈÏ¿ ¯ˆÚÈ¿ÙÈÎÔ, 25 ÎÈÏ¿ ÛÈοψ˜ Î·È 38 ÎÈÏ¿
ÔχÛÔÚÔ. ¶Ô˘Ï‹ıËÎ·Ó 107 ÎÈÏ¿ ¿ÛÚÔ „ˆÌ›, 112 ÎÈÏ¿
¯ˆÚÈ¿ÙÈÎÔ, 19 ÎÈÏ¿ ÛÈοψ˜ Î·È 23 ÎÈÏ¿ ÔχÛÔÚÔ. ¶fiÛ·
ÎÈÏ¿ „ˆÌ› ¤ÌÂÈÓ·Ó ·Ô‡ÏËÙ·;
11. √ ÕÚ˘ ÁÂÓÓ‹ıËΠÙÔ 1983 Î·È Â›Ó·È 25 ¯ÚfiÓÈ· ÌÈÎÚfiÙÂÚÔ˜
·fi ÙÔÓ ·Ù¤Ú· ÙÔ˘.
(·) ¶fiÛˆÓ ¯ÚÔÓÒÓ Â›Ó·È Ô ÕÚ˘ Û‹ÌÂÚ·;
(‚) ¶fiÙ ÁÂÓÓ‹ıËÎÂ Ô ·Ù¤Ú·˜ ÙÔ˘;
12. ‘∂Ó· Û¯ÔÏÂ›Ô ¤¯ÂÈ 12 ·›ıÔ˘Û˜ ‰È‰·Ûηϛ·˜. √È 7 ¯ˆÚ¿Ó ·fi 20 ‰ÈÏ¿ ıÚ·Ó›· Î·È ÔÈ
˘fiÏÔÈ˜ ·fi 12 ‰ÈÏ¿ ıÚ·Ó›·. ™ÙÔ Û¯ÔÏÂ›Ô ÂÁÁÚ¿ÊËηÓ: ÛÙËÓ ∞’ Ù¿ÍË 80 ·È‰È¿,
ÛÙËÓ µ’ Ù¿ÍË 58 ·È‰È¿ Î·È ÛÙËÓ °’ Ù¿ÍË 61 ·È‰È¿. ∂·ÚÎÔ‡Ó ÔÈ ·›ıÔ˘Û˜ ÁÈ· Ù· ·È‰È¿
·˘ÙÔ‡ ÙÔ˘ °˘ÌÓ·Û›Ô˘;

19. KEº.1.-A§°.(9-32)-(20,5 à 28) 1-11-06 16:40 ™ÂÏ›‰·19
ª∂ƒ√™ ∞ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô - √È Ê˘ÛÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ› - 19 -
π™∆√ƒπ∫∏ ∞¡∞¢ƒ√ª∏
∞Ú¯Èο Ô ¿ÓıÚˆÔ˜ ¤Î·Ó ÌfiÓÔ ÙÔ ‰È·¯ˆÚÈÛÌfi: ¤Ó·, ‰‡Ô, ÔÏÏ¿. ªÂ ÙËÓ ÚfiÔ‰Ô ÙÔ˘
ÔÏÈÙÈÛÌÔ‡, ÙËÓ ·Ó¿Ù˘ÍË ÙˆÓ Ù¯ÓÒÓ Î·È ÙÔ˘ ÂÌÔÚ›Ô˘ ‰È·ÌÔÚÊÒÓÂÈ ÙȘ ¤ÓÓÔȘ ÙˆÓ
·ÚÈıÌÒÓ. ™’ ·˘Ùfi ‚Ô‹ıËÛ·Ó Î·È Ù· Ê˘ÛÈο ÚfiÙ˘· ·Ú›ıÌËÛ˘, fiˆ˜ .¯. Ù· ‰¿ÎÙ˘Ï· ÙÔ˘
ÂÓfi˜ ¯ÂÚÈÔ‡ (·Ú›ıÌËÛË ‚¿ÛË ÙÔ 5) ‹ ÙˆÓ ‰‡Ô ¯ÂÚÈÒÓ (‚¿ÛË ÙÔ 10). ªÂÙ¿, Ù· ÚÒÙ· ·˘Ù¿
·ÚÈıÌËÙÈο Û˘ÛÙ‹Ì·Ù·, Û˘ÌÏËÚÒÓÔÓÙ·È Ì ÙȘ Ú¿ÍÂȘ Ù˘ ÚfiÛıÂÛ˘ Î·È Ù˘
·Ê·›ÚÂÛ˘.
∆· ·ÔÙÂϤÛÌ·Ù· Ù˘ ·Ú›ıÌËÛ˘ ηٷÁÚ¿ÊÔÓÙ·Ó Ì ÙË ‚Ô‹ıÂÈ· ¯·Ú·ÁÒÓ ¿Óˆ Û ͇Ϸ
‹ ÎfiηϷ ‹ Ì ÎfiÌÔ˘˜ Û ۯÔÈÓÈ¿. ∆Ô ·Ú¯·ÈfiÙÂÚÔ Â‡ÚËÌ· ·Ó¿ÁÂÙ·È ÛÙÔ˘˜
ÚÔ˚ÛÙÔÚÈÎÔ‡˜ ¯ÚfiÓÔ˘˜ Î·È Â›Ó·È ÙÔ ÎfiηÏÔ Ô‰ÈÔ‡ ÂÓfi˜ ÌÈÎÚÔ‡ χÎÔ˘ Ì‹ÎÔ˘˜ 18
ÂηÙÔÛÙÒÓ Ô˘ ‚Ú¤ıËÎÂ, ÙÔ 1937, ÛÙËÓ fiÏË µÂÛÙfiÓÈÙÛ Ù˘ ªÔÚ·‚›·˜ (ÂÈÎfiÓ·).
∏ ·Ó¿ÁÎË ˘ÔÏÔÁÈÛÌÔ‡ ÌÂÁÂıÒÓ ··ÈÙ› Û‡ÁÎÚÈÛË Ì ¤Ó· ÛÙ·ıÂÚfi ˘fi‰ÂÈÁÌ·, ÙË ÌÔÓ¿‰·
̤ÙÚËÛ˘. √È ÚÒÙ˜ ÌÔÓ¿‰Â˜ ·ÓÙÈÛÙÔÈ¯Ô‡Ó ¿ÏÈ Û ̤ÏË ÙÔ˘ ÛÒÌ·ÙÔ˜, fiˆ˜ ·Ï¿Ì˜,
‰¿¯Ù˘ÏÔ˘˜, fi‰È·, ÔÚÁÈ¿, ‹¯Ë. ∞fi Ù· Ê˘ÛÈο ÚfiÙ˘·, ÙȘ ¯·Ú·Á¤˜, ÙÔ˘˜ ÎfiÌÔ˘˜, Ù·
‚fiÙÛ·Ï· ÂÚ¿Û·Ì ̤۷ Û ÂÚ›Ô‰Ô ¯ÈÏÈ¿‰ˆÓ ÂÙÒÓ ÛÙ· ۇ̂ÔÏ· Ô˘ ·Ú›ÛÙ·Ó·Ó
·ÚÈıÌÔ‡˜. ∆· ۇ̂ÔÏ· ·˘Ù¿ ‹Ù·Ó ‰È·ÊÔÚÂÙÈο ÛÙÔ˘˜ ‰È¿ÊÔÚÔ˘˜ ·Ú¯·›Ô˘˜ ÔÏÈÛÙÈÛÌÔ‡˜.
∏ ÂÓÔÔ›ËÛË ÙÔ˘ Û˘Ì‚ÔÏÈÛÌÔ‡ ÙˆÓ ·ÚÈıÌÒÓ Ô˘ ˘¿Ú¯ÂÈ Û‹ÌÂÚ· ¯ÚÂÈ¿ÛÙËΠ¯ÈÏÈ¿‰Â˜
¯ÚfiÓÈ· ÁÈ· Ó· Á›ÓÂÈ.
∏ ÈÛÙÔÚ›· ÙÔ˘ ÌˉÂÓfi˜ Î·È Ô Û˘Ì‚ÔÏÈÛÌfi˜ ÙÔ˘ ·ÎÔÏÔ˘ı› ‰È·ÊÔÚÂÙÈ΋ ÔÚ›·. ∫È ·˘Ùfi ÁÈ·Ù› Ë ·Ó¿ÁÎË
‡·Ú͢ ͯˆÚÈÛÙÔ‡ Û˘Ì‚fiÏÔ˘ ÁÈ· ÙÔ “ Ù›ÔÙ·” ÂÌÊ·Ó›ÛÙËΠÔχ ·ÚÁfiÙÂÚ·.
√È ™Ô˘Ì¤ÚÈÔÈ Î·È ÔÈ µ·‚˘ÏÒÓÈÔÈ ¿ÊËÓ·Ó ¤Ó· ÎÂÓfi ‰È¿ÛÙËÌ· ÁÈ· Ó· ‰ËÏÒÛÔ˘Ó ÙËÓ ·Ô˘Û›· ·ÚÈıÌËÙÈÎÔ‡
„ËÊ›Ô˘ Û οÔÈ· ı¤ÛË. √È ·Ú·ÓÔ‹ÛÂȘ Î·È Ù· Ï¿ıË Ô˘ ÚԤ΢Ù·Ó ÙÔ˘˜ Ô‰‹ÁËÛ·Ó ÛÙËÓ
˘ÈÔı¤ÙËÛË ÙÔ˘ ÂȉÈÎÔ‡ Û˘Ì‚fiÏÔ˘ ‹ ‹ ηٿ ÙËÓ ¶ÂÚÛÈ΋ ÂÚ›Ô‰Ô.
∆Ô Û‡Ì‚ÔÏÔ ·˘Ùfi ÙÔ ÙÔÔıÂÙÔ‡Û·Ó ÌfiÓÔ ÌÂٷ͇ ‰‡Ô „ËÊ›ˆÓ Î·È fi¯È ÛÙÔ Ù¤ÏÔ˜ ÂÓfi˜ ·ÚÈıÌÔ‡. ∞fi
ÙÔÓ 3Ô - 12Ô ·ÈÒÓ· Ì.Ã. ÙÔ Ìˉ¤Ó Â›Ó·È ÌÈ· ÎԢΛ‰·. √ Ì·ıËÌ·ÙÈÎfi˜ Î·È ·ÛÙÚÔÓfiÌÔ˜ µÚ·¯Ì·ÁÎÔ‡Ù·,
ÙÔ 628 Ì.Ã. ÔÓÔÌ¿˙ÂÈ ÙÔ Ìˉ¤Ó ˆ˜ “ÙÔ Ù›ÔÙ·”. ∆ÔÓ 9Ô ·ÈÒÓ· Û˘Ó·ÓÙ¿Ì ÂÈÁÚ·Ê‹ Ì ۷ʋ
Û˘Ì‚ÔÏÈÛÌfi ÁÈ· ÙÔ Ìˉ¤Ó.
√È πÓ‰Ô› ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÔ‡Ó ÙÔ Û‡Ì‚ÔÏÔ ÙÔ˘ ÌˉÂÓfi˜ Î·È ˆ˜ ÙÂÏÂ˘Ù·›Ô „ËÊ›Ô ·ÚÈıÌÔ‡. ŒÙÛÈ Â›¯·Ó 10
ÈÛfiÙÈÌ· „ËÊ›· Ù·: ñ ‹ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 Î·È 9.
√ ÕÚ·‚·˜ Ì·ıËÌ·ÙÈÎfi˜ ∞Ï-ÃÔ˘·Ú›˙ÌÈ (787 - 850 Ì.Ã.), ÛÙÔ ¤ÚÁÔ ÙÔ˘ “∞ÏÁfiÚÈıÌÔÈ ÙˆÓ πÓ‰ÈÎÒÓ
·ÚÈıÌÒÓ” ÁÚ¿ÊÂÈ ÙÔ 820 Ì.Ã. ÁÈ· ÙÔ Ìˉ¤Ó: “ŸÙ·Ó ÌÈ· ·Ê·›ÚÂÛË ‰ÂÓ ·Ê‹ÓÂÈ Ù›ÔÙ·, ÙfiÙÂ, ÁÈ· Ó· ÌË
Ì›ÓÂÈ ¿‰ÂÈ· Ë ı¤ÛË Ú¤ÂÈ Ó· Ì·›ÓÂÈ ¤Ó·˜ ÌÈÎÚfi˜ ·ÎÏÔ˜, ÁÈ·Ù› ‰È·ÊÔÚÂÙÈο ÔÈ ı¤ÛÂȘ ı·
ÏÈÁÔÛÙ¤„Ô˘Ó Î·È ÌÔÚ› .¯. Ë ‰Â‡ÙÂÚË Ó· ıˆÚËı› ˆ˜ ÚÒÙË” .
√ ŒÏÏËÓ·˜ Ì·ıËÌ·ÙÈÎfi˜ ∫Ï·‡‰ÈÔ˜ ¶ÙÔÏÂÌ·›Ô˜ (100 - 178 Ì.Ã.) ¯ÚËÛÈÌÔÔÈ› ÙÔ Û‡Ì‚ÔÏÔ 0 ÁÈ· Ó·
·Ú·ÛÙ‹ÛÂÈ ÙÔ Ìˉ¤Ó, ÛÙÔ ‚È‚Ï›Ô ÙÔ˘ “ªÂÁ¿ÏË ª·ıËÌ·ÙÈ΋ ™‡ÓÙ·ÍË” ‹ “∞ÏÌ·Á¤ÛÙË”
(150 Ì.Ã.). ∆Ô ÂÈÓfiËÛ ·fi ÙÔ ·Ú¯ÈÎfi ÁÚ¿ÌÌ· Ù˘ Ϥ͢ “Ô˘‰¤Ó” Ô˘ ÛËÌ·›ÓÂÈ Î·Ó¤Ó· („ËÊ›Ô).

20. KEº.1.-A§°.(9-32)-(20,5 à 28) 1-11-06 16:40 ™ÂÏ›‰·20
- 20 - ª∂ƒ√™ ∞ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô - √È Ê˘ÛÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ›
A.1.3. ¢ ˘ Ó ¿ Ì Â È ˜ Ê ˘ Û È Î Ò Ó · Ú È ı Ì Ò Ó
¢ƒ∞™∆∏ƒπ√∆∏∆∞ 1 Ë
∞fi fiÛ· ÙÂÙÚ¿ÁˆÓ· ·ÔÙÂÏÔ‡ÓÙ·È Ù· Ù¤ÛÛÂÚ· ÚÒÙ· Û¯‹Ì·Ù· Î·È ·fi fiÛÔ˘˜
·‚Ô˘˜ Ù· ÂfiÌÂÓ· ÙÚ›·;
(1)
(2)
(3)
(4) (5) (6) (7)
™ÎÂÊÙfiÌ·ÛÙÂ
¶·Ú·ÙËÚԇ̠fiÙÈ ¤¯Ô˘ÌÂ: (1) 4=2 2=2 2 , (2) 9=3 3=3 2 , (3) 16=4 4=4 2 , (4) 25=5 5=5 2
K·È ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·: (5) 8=2 2 2=2 3 , (6) 27=3 3 3=3 3 , (7) 64=4 4 4=4 3
√È ÂÚÈÙÒÛÂȘ (1) ¤ˆ˜ Î·È (4) ·ÊÔÚÔ‡Ó Ù· ÙÂÙÚ¿ÁˆÓ· ÙˆÓ Ê˘ÛÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ 2, 3, 4 Î·È 5.
√È ÂÚÈÙÒÛÂȘ (5) ¤ˆ˜ Î·È (7) ·ÊÔÚÔ‡Ó ÙÔ˘˜ ·‚Ô˘˜ ÙˆÓ Ê˘ÛÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ 2, 3 Î·È 4.
£˘ÌfiÌ·ÛÙ - ª·ı·›ÓÔ˘ÌÂ
¶ÔÏϤ˜ ÊÔÚ¤˜ Û˘Ó·ÓÙ¿Ì ÁÈÓfiÌÂÓ· ÙˆÓ ÔÔ›ˆÓ fiÏÔÈ ÔÈ ·Ú¿ÁÔÓÙ˜ Â›Ó·È ›ÛÔÈ. ™ÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË
·˘Ù‹, ¯ÚËÛÈÌÔÔÈԇ̠ÔÓÔ̷ۛ˜ Î·È Û˘Ì‚ÔÏÈΤ˜ ÂÎÊÚ¿ÛÂȘ fiˆ˜ Ê·›ÓÂÙ·È ·Ú·Î¿Ùˆ.
∆Ô ÁÈÓfiÌÂÓÔ · · · ... ·, Ô˘ ¤¯ÂÈ Ó ·Ú¿ÁÔÓÙ˜
›ÛÔ˘˜ Ì ÙÔ ·, ϤÁÂÙ·È ‰‡Ó·ÌË ÙÔ˘ · ÛÙË Ó ‹ ÓÈÔÛÙ‹
H
‰‡Ó·ÌË ÙÔ˘ · Î·È Û˘Ì‚ÔÏ›˙ÂÙ·È Ì ·Ó. ·Ó=· · · . . . ·
Ó ·Ú¿ÁÔÓÙ˜
√ ·ÚÈıÌfi˜ · ϤÁÂÙ·È ‚¿ÛË Ù˘ ‰‡Ó·Ì˘ Î·È Ô Ó
ϤÁÂÙ·È ÂÎı¤Ù˘.
∏ ‰‡Ó·ÌË ÙÔ˘ ·ÚÈıÌÔ‡ ÛÙË ‰Â˘Ù¤Ú·, ‰ËÏ·‰‹ ÙÔ ·2, ·2
ϤÁÂÙ·È Î·È ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ ÙÔ˘ ·.
∏ ‰‡Ó·ÌË ÙÔ˘ ·ÚÈıÌÔ‡ ÛÙËÓ ÙÚ›ÙË, ‰ËÏ·‰‹ ÙÔ ·3, ·3
ϤÁÂÙ·È Î·È Î‡‚Ô˜ ÙÔ˘ ·.
∆Ô ·1, ‰ËÏ·‰‹ Ë ÚÒÙË ‰‡Ó·ÌË ÂÓfi˜ ·ÚÈıÌÔ‡ ·
H
· =·
1
Â›Ó·È Ô ›‰ÈÔ˜ Ô ·ÚÈıÌfi˜ ·.
H
1 =1Ó
√È ‰˘Ó¿ÌÂȘ ÙÔ˘ 1, ‰ËÏ·‰‹ ÙÔ 1Ó, Â›Ó·È fiϘ ›Û˜ Ì 1.