Knut Morris Pratt Algorithm

KKnnuutthh--MMoorrrriiss--PPrraatttt
AAllggoorriitthhmm
PPrreeppaarreedd bbyy:: MMaayyaannkk AAggaarrwwaall
NNiitteesshh MMaaaann

TThhee pprroobblleemm ooff SSttrriinngg MMaattcchhiinngg
GGiivveenn aa ssttrriinngg ‘‘SS’’,, tthhee pprroobblleemm ooff ssttrriinngg
mmaattcchhiinngg ddeeaallss wwiitthh ffiinnddiinngg wwhheetthheerr aa
ppaatttteerrnn ‘‘pp’’ ooccccuurrss iinn ‘‘SS’’ aanndd iiff ‘‘pp’’ ddooeess
ooccccuurr tthheenn rreettuurrnniinngg ppoossiittiioonn iinn ‘‘SS’’ wwhheerree
‘‘pp’’ ooccccuurrss..

…….. aa OO(mmnn) aapppprrooaacchh
OOnnee ooff tthhee mmoosstt oobbvviioouuss aapppprrooaacchh ttoowwaarrddss tthhee
ssttrriinngg mmaattcchhiinngg pprroobblleemm wwoouulldd bbee ttoo ccoommppaarree
tthhee ffiirrsstt eelleemmeenntt ooff tthhee ppaatttteerrnn ttoo bbee sseeaarrcchheedd
‘‘pp’’,, wwiitthh tthhee ffiirrsstt eelleemmeenntt ooff tthhee ssttrriinngg ‘‘SS’’ iinn wwhhiicchh
ttoo llooccaattee ‘‘pp’’.. IIff tthhee ffiirrsstt eelleemmeenntt ooff ‘‘pp’’ mmaattcchheess
tthhee ffiirrsstt eelleemmeenntt ooff ‘‘SS’’,, ccoommppaarree tthhee sseeccoonndd
eelleemmeenntt ooff ‘‘pp’’ wwiitthh sseeccoonndd eelleemmeenntt ooff ‘‘SS’’.. IIff
mmaattcchh ffoouunndd pprroocceeeedd lliikkeewwiissee uunnttiill eennttiirree ‘‘pp’’ iiss
ffoouunndd.. IIff aa mmiissmmaattcchh iiss ffoouunndd aatt aannyy ppoossiittiioonn,,
sshhiifftt ‘‘pp’’ oonnee ppoossiittiioonn ttoo tthhee rriigghhtt aanndd rreeppeeaatt
ccoommppaarriissoonn bbeeggiinnnniinngg ffrroomm ffiirrsstt eelleemmeenntt ooff ‘‘pp’’..

How ddooeess tthhee OO(mmnn) aapppprrooaacchh
wwoorrkk
BBeellooww iiss aann iilllluussttrraattiioonn ooff hhooww tthhee pprreevviioouussllyy
ddeessccrriibbeedd OO(mmnn) aapppprrooaacchh wwoorrkkss..
SSttrriinngg SS aa bb cc aa bb aa aa bb cc aa bb aa cc
Pattern p aa bb aa aa

SStteepp 11::ccoommppaarree pp[[11]] wwiitthh SS[[11]]
SS aa bb cc aa bb aa aa bb cc aa bb aa cc
p aa bb aa aa
Step 2: compare p[2] with S[2]
S aa bb cc aa bb aa aa bb cc aa bb aa cc
p aa bb aa aa

SStteepp 33:: ccoommppaarree pp[[33]] wwiitthh SS[[33]]
SS
aa bb cc aa bb aa aa bb cc aa bb aa cc
p aa bb aa aa
Mismatch occurs here..
Since mismatch is detected, shift ‘p’ one position to the left and
perform steps analogous to those from step 1 to step 3. At position
where mismatch is detected, shift ‘p’ one position to the right and
repeat matching procedure.

SS aa bb cc aa bb aa aa bb cc aa bb aa cc
p aa bb aa aa
Finally, a match would be found after shifting ‘p’ three times to the right side.
Drawbacks of this approach: if ‘m’ is the length of pattern ‘p’ and ‘n’ the length
of string ‘S’, the matching time is of the order O(mn). This is a certainly a very
slow running algorithm.
What makes this approach so slow is the fact that elements of ‘S’ with which
comparisons had been performed earlier are involved again and again in
comparisons in some future iterations. For example: when mismatch is
detected for the first time in comparison of p[3] with S[3], pattern ‘p’ would be
moved one position to the right and matching procedure would resume from
here. Here the first comparison that would take place would be between p[0]=‘a’
and S[1]=‘b’. It should be noted here that S[1]=‘b’ had been previously involved
in a comparison in step 2. this is a repetitive use of S[1] in another comparison.
It is these repetitive comparisons that lead to the runtime of O(mn).

The Knuth-MMoorrrriiss--PPrraatttt AAllggoorriitthhmm
KKnnuutthh,, MMoorrrriiss aanndd PPrraatttt pprrooppoosseedd aa lliinneeaarr
ttiimmee aallggoorriitthhmm ffoorr tthhee ssttrriinngg mmaattcchhiinngg
pprroobblleemm..
AA mmaattcchhiinngg ttiimmee ooff OO((nn)) iiss aacchhiieevveedd bbyy
aavvooiiddiinngg ccoommppaarriissoonnss wwiitthh eelleemmeennttss ooff ‘‘SS’’
tthhaatt hhaavvee pprreevviioouussllyy bbeeeenn iinnvvoollvveedd iinn
ccoommppaarriissoonn wwiitthh ssoommee eelleemmeenntt ooff tthhee
ppaatttteerrnn ‘‘pp’’ ttoo bbee mmaattcchheedd.. ii..ee..,,
bbaacckkttrraacckkiinngg oonn tthhee ssttrriinngg ‘‘SS’’ nneevveerr ooccccuurrss

CCoommppoonneennttss ooff KKMMPP aallggoorriitthhmm
 TThhee pprreeffiixx ffuunnccttiioonn,, ΠΠ
TThhee pprreeffiixx ffuunnccttiioonn,,ΠΠ ffoorr aa ppaatttteerrnn eennccaappssuullaatteess
kknnoowwlleeddggee aabboouutt hhooww tthhee ppaatttteerrnn mmaattcchheess
aaggaaiinnsstt sshhiiffttss ooff iittsseellff.. TThhiiss iinnffoorrmmaattiioonn ccaann bbee
uusseedd ttoo aavvooiidd uusseelleessss sshhiiffttss ooff tthhee ppaatttteerrnn ‘‘pp’’.. IInn
ootthheerr wwoorrddss,, tthhiiss eennaabblleess aavvooiiddiinngg bbaacckkttrraacckkiinngg
oonn tthhee ssttrriinngg ‘‘SS’’..
 TThhee KKMMPP MMaattcchheerr
WWiitthh ssttrriinngg ‘‘SS’’,, ppaatttteerrnn ‘‘pp’’ aanndd pprreeffiixx ffuunnccttiioonn ‘‘ΠΠ’’ aass
iinnppuuttss,, ffiinnddss tthhee ooccccuurrrreennccee ooff ‘‘pp’’ iinn ‘‘SS’’ aanndd
rreettuurrnnss tthhee nnuummbbeerr ooff sshhiiffttss ooff ‘‘pp’’ aafftteerr wwhhiicchh
ooccccuurrrreennccee iiss ffoouunndd..

TThhee pprreeffiixx ffuunnccttiioonn,, ΠΠ
FFoolllloowwiinngg ppsseeuuddooccooddee ccoommppuutteess tthhee pprreeffiixx ffuuccnnccttiioonn,, ΠΠ::
CCoommppuuttee--PPrreeffiixx--FFuunnccttiioonn ((pp))
11 mm  lleennggtthh[[pp]] ////’’pp’’ ppaatttteerrnn ttoo bbee mmaattcchheedd
22 ΠΠ[[11]]  00
33 kk  00
44 ffoorr qq  22 ttoo mm
55 ddoo wwhhiillee kk >> 00 aanndd pp[[kk++11]] !!== pp[[qq]]
66 ddoo kk  ΠΠ[[kk]]
77 IIff pp[[kk++11]] == pp[[qq]]
88 tthheenn kk  kk ++11
99 ΠΠ[[qq]]  kk
1100 rreettuurrnn ΠΠ

EExxaammppllee:: ccoommppuuttee ΠΠ ffoorr tthhee ppaatttteerrnn ‘‘pp’’ bbeellooww::
pp aa bb aa bb aa cc aa
Initially: m = length[p] = 7
Π[1] = 0
k = 0
Step 1: q = 2, k=0
Π[2] = 0
Step 2: q = 3, k = 0,
Π[3] = 1
Step 3: q = 4, k = 1
Π[4] = 2
qq 11 22 33 44 55 66 77
ΠΠ 00 00
qq 11 22 33 44 55 66 77
ΠΠ 00 00 11
qq 11 22 33 44 55 66 77
pp aa bb aa bb aa cc AA
ΠΠ 00 00 11 22

SStteepp 44:: qq == 55,, kk ==22
ΠΠ[[55]] == 33
SStteepp 55:: qq == 66,, kk == 33
ΠΠ[[66]] == 11
SStteepp 66:: qq == 77,, kk == 11
ΠΠ[[77]] == 11
AAfftteerr iitteerraattiinngg 66 ttiimmeess,, tthhee pprreeffiixx
ffuunnccttiioonn ccoommppuuttaattiioonn iiss
ccoommpplleettee:: 
qq 11 22 33 44 55 66 77
ΠΠ 00 00 11 22 33
qq 11 22 33 44 55 66 77
ΠΠ 00 00 11 22 33 00
qq 11 22 33 44 55 66 77
ΠΠ 00 00 11 22 33 00 11
qq 11 22 33 44 55 66 77
pp aa bb AA bb aa cc aa
ΠΠ 00 00 11 22 33 00 11

TThhee KKMMPP MMaattcchheerr
TThhee KKMMPP MMaattcchheerr,, wwiitthh ppaatttteerrnn ‘‘pp’’,, ssttrriinngg ‘‘SS’’ aanndd pprreeffiixx ffuunnccttiioonn ‘‘ΠΠ’’ aass iinnppuutt,, ffiinnddss aa mmaattcchh ooff pp iinn SS..
FFoolllloowwiinngg ppsseeuuddooccooddee ccoommppuutteess tthhee mmaattcchhiinngg ccoommppoonneenntt ooff KKMMPP aallggoorriitthhmm::
KKMMPP--MMaattcchheerr((SS,,pp))
11 nn  lleennggtthh[[SS]]
22 mm  lleennggtthh[[pp]]
33 ΠΠ  CCoommppuuttee--PPrreeffiixx--FFuunnccttiioonn((pp))
44 qq  00 ////nnuummbbeerr ooff cchhaarraacctteerrss mmaattcchheedd
55 ffoorr ii  11 ttoo nn ////ssccaann SS ffrroomm lleefftt ttoo rriigghhtt
66 ddoo wwhhiillee qq >> 00 aanndd pp[[qq++11]] !!== SS[[ii]]
77 ddoo qq  ΠΠ[[qq]] ////nneexxtt cchhaarraacctteerr ddooeess nnoott mmaattcchh
88 iiff pp[[qq++11]] == SS[[ii]]
99 tthheenn qq  qq ++ 11 ////nneexxtt cchhaarraacctteerr mmaattcchheess
1100 iiff qq == mm ////iiss aallll ooff pp mmaattcchheedd??
1111 tthheenn pprriinntt ““PPaatttteerrnn ooccccuurrss wwiitthh sshhiifftt”” ii –– mm
1122 qq  ΠΠ[[ qq]] //// llooookk ffoorr tthhee nneexxtt mmaattcchh
NNoottee:: KKMMPP ffiinnddss eevveerryy ooccccuurrrreennccee ooff aa ‘‘pp’’ iinn ‘‘SS’’.. TThhaatt iiss wwhhyy KKMMPP ddooeess nnoott tteerrmmiinnaattee iinn sstteepp 1122,,
rraatthheerr iitt sseeaarrcchheess rreemmaaiinnddeerr ooff ‘‘SS’’ ffoorr aannyy mmoorree ooccccuurrrreenncceess ooff ‘‘pp’’..

IIlllluussttrraattiioonn:: ggiivveenn aa SSttrriinngg ‘‘SS’’ aanndd ppaatttteerrnn ‘‘pp’’ aass
ffoolllloowwss::
SS bb a cc bb aa bb aa bb aa bb aa cc aa cc aa
p aa bb aa bb aa cc aa
Let us execute the KMP algorithm to find
whether ‘p’ occurs in ‘S’.
For ‘p’ the prefix function, Π was computed previously and is as follows:
qq 11 22 33 44 55 66 77
ΠΠ 00 00 11 22 33 00 11

Initially: n = size of S = 15;
m = size of p = 7
Step 1: i = 1, q = 0
comparing p[1] with S[1]
bb aa cc bb aa bb aa bb aa bb aa cc aa aa bb
aa bb aa bb aa cc aa
Step 2: i = 2, q = 0
comparing p[1] with S[2]
S
p
P[1] does not match with S[1]. ‘p’ will be shifted one position to the right.
S
P[1] matches S[2]. Since there is a match, p is not shifted.

SStteepp 33:: ii == 33,, qq == 11
Comparing p[2] with S[3]
S
S
p
S
p
p[2] does not match with S[3]
Backtracking on p, comparing p[1] and S[3]
Step 4: i = 4, q =co 0m paring p[1] with S[4] p[1] does not match with S[4]
Step 5: i = 5, q c=o 0m paring p[1] with S[5] p[1] matches with S[5]

SStteepp 77:: ii == 77,, qq == 22
SStteepp 66:: ii == 66,, qq == 11
S
p
Comparing p[2] with S[6] p[2] matches with S[6]
S
p
SStteepp 88:: ii == 88,, qq == 33
S
p

SStteepp 99:: ii == 99,, qq == 44
p
SStteepp 1100:: ii == 1100,, qq == 55
p[5] matches with S[9]
p
Backtracking on p, comparing p[4] with S[10] because after mismatch q = Π[5] = 3
SStteepp 1111:: ii == 1111,, qq == 44
p[6] doesn’t match with S[10]
S
S
S
p

SStteepp 1122:: ii == 1122,, qq == 55
S
p
S
p
SStteepp 1133:: ii == 1133,, qq == 66
Pattern ‘p’ has been found to completely occur in string ‘S’. The total number of shifts
that took place for the match to be found are: i – m = 13 – 7 = 6 shifts.

RRuunnnniinngg -- ttiimmee aannaallyyssiiss
 CCoommppuuttee--PPrreeffiixx--FFuunnccttiioonn ((ΠΠ))
11 mm  lleennggtthh[[pp]] ////’’pp’’ ppaatttteerrnn ttoo bbee
mmaattcchheedd
22 ΠΠ[[11]]  00
33 kk  00
44 ffoorr qq  22 ttoo mm
55 ddoo wwhhiillee kk >> 00 aanndd pp[[kk++11]] !!== pp[[qq]]
66 ddoo kk  ΠΠ[[kk]]
77 IIff pp[[kk++11]] == pp[[qq]]
88 tthheenn kk  kk ++11
99 ΠΠ[[qq]]  kk
1100 rreettuurrnn ΠΠ
IInn tthhee aabboovvee ppsseeuuddooccooddee ffoorr ccoommppuuttiinngg tthhee
pprreeffiixx ffuunnccttiioonn,, tthhee ffoorr lloooopp ffrroomm sstteepp 44
ttoo sstteepp 1100 rruunnss ‘‘mm’’ ttiimmeess. SStteepp 11 ttoo sstteepp
33 ttaakkee ccoonnssttaanntt ttiimmee. HHeennccee tthhee rruunnnniinngg
ttiimmee ooff ccoommppuuttee pprreeffiixx ffuunnccttiioonn iiss ΘΘ((mm)).
 KKMMPP MMaattcchheerr
11 nn  lleennggtthh[[SS]]
22 mm  lleennggtthh[[pp]]
33 ΠΠ  CCoommppuuttee--PPrreeffiixx--FFuunnccttiioonn((pp))
44 qq  00
55 ffoorr ii  11 ttoo nn
66 ddoo wwhhiillee qq >> 00 aanndd pp[[qq++11]] !!== SS[[ii]]
77 ddoo qq  ΠΠ[[qq]]
88 iiff pp[[qq++11]] == SS[[ii]]
99 tthheenn qq  qq ++ 11
1100 iiff qq == mm
1111 tthheenn pprriinntt ““PPaatttteerrnn ooccccuurrss wwiitthh sshhiifftt”” ii ––
mm
1122 qq  ΠΠ[[ qq]]
TThhee ffoorr lloooopp bbeeggiinnnniinngg iinn sstteepp 55 rruunnss ‘‘nn’’ ttiimmeess,,
ii.ee.,, aass lloonngg aass tthhee lleennggtthh ooff tthhee ssttrriinngg ‘‘SS’’.
SSiinnccee sstteepp 11 ttoo sstteepp 44 ttaakkee ccoonnssttaanntt ttiimmee,,
tthhee rruunnnniinngg ttiimmee iiss ddoommiinnaatteedd bbyy tthhiiss ffoorr
lloooopp. TThhuuss rruunnnniinngg ttiimmee ooff mmaattcchhiinngg
ffuunnccttiioonn iiss ΘΘ((nn)).

Knut Morris Pratt Algorithm

Recomendados

Recomendados

Mais conteúdo relacionado

Mais de thinkphp

Mais de thinkphp (9)

Último

Último (9)

Knut Morris Pratt Algorithm