UNIDAD 5 ESTATICA

1. UNIDAD 5
MOMENTO DE INERCIA
5.1 CONCEPTOS GENERALES
El momento de inercia (símbolo I) es una medida de la inercia rotacional de un cuerpo.
Cuando un cuerpo gira en torno a uno de los ejes principales de inercia, la inercia rotacional
puede ser representada como una magnitud vectorial llamada momento de inercia. Sin
embargo, en el caso más general posible la inercia rotacional debe representarse por medio de
un conjunto de momentos de inercia y componentes que forman el llamado tensor de inercia.
La descripción tensorial es necesaria para el análisis de sistemas complejos, por ejemplo en
movimientos giroscópicos.
El momento de inercia refleja la distribución de masa de un cuerpo o de un sistema de
partículas en rotación, respecto a un eje de giro. El momento de inercia solo depende de la
geometría del cuerpo y de la posición del eje de giro; pero no depende de las fuerzas que
intervienen en el movimiento.
La inercia es la propiedad de la materia de resistir a cualquier cambio en su movimiento, ya
sea en dirección o velocidad. Esta propiedad se describe claramente en la Primera Ley del
Movimiento de Newton lo cual dice: “Un objeto en reposo tiende a permanecer en reposo, y un
objeto en movimiento tiende a continuar moviéndose en línea recta, a no ser que actúe sobre
ellos una fuerza externa”.
Un momento es la resultante de una fuerza por una distancia, este efecto hace girar elementos
en torno a un eje o punto El momento es constante, se puede tomar en cualquier punto del
plano y siempre dará el mismo resultado, siendo la distancia la perpendicular, entre el punto y
la dirección de la fuerza.

2. 5.2 MOMENTO DE INERCIA DE UN AREA POR INTEGRACION
Por ejemplo, considérese una viga de sección transversal uniforme la cual está sometida a dos
pares iguales y opuestos que están aplicados en cada uno de los extremos de la viga. Se dice
que una viga en tales condiciones está en flexión pura y en la mecánica de materiales se
demuestra que en las fuerzas internas en cualquier sección de la viga son fuerzas distribuidas
cuyas magnitudes varían linealmente con la distancia y que hay entre el elemento de área y un
eje que pasa a través del centroide de la sección. Dicho eje representado por x como en la
figura 9.1, se conoce como el eje neutro. Las fuerzas en un lado del eje neutro son fuerzas de
compresión, mientras que las fuerzas en el otro lado son fuerzas de tensión; sobre el propio
eje neutro de las fuerzas son iguales a cero.
La magnitud de la resultante R de las fuerzas elementales F que actúan sobre toda la sección
está dada por la fórmula
La última integral obtenida se conoce como el primer momento Qx de la sección con respecto
del eje x; dicha cantidad es igual a YA y por lo tanto, es igual a cero puesto que el centroide de
la sección está localizado sobre el eje x. Por consiguiente el sistema de fuerzas F se reduce a
un par. La magnitud m de dicho par debe ser igual a la suma de los momentos Mx = yF = Ky2 A
de las fuerzas elementales. Integrando sobre toda la sección se obtiene:
La última integral se conoce como segundo momento o momento de inercia, de la sección de
la viga con respecto del eje x y se representa con Ix. El segundo momento se obtiene
multiplicando cada elemento de área dA por el cuadrado de su distancia desde el eje x e
integrándolo sobre la sección de la viga. Como cada producto y2 dA es positivo, sin importar el
signo de y, o cero, la integral Ix siempre será positiva. Otro ejemplo de un segundo momento,
o momento de inercia de un área lo proporciona el siguiente problema de hidrostática:
Una compuerta circular vertical utilizada para cerrar el escurridero de un gran depósito está
sumergidabajo agua como muestra la figura. ¿Cuál es la resultante de las fuerzas ejercidas por
el agua sobre la compuerta y cuál es el momento de la resultante con respecto de la línea de
intersección del plano de la compuerta y la superficie del agua ( eje x)?.
Si la compuerta fuera rectangular, la resultante de las fuerzas de presión se podría determinar
a partir de la curva de presión tal y como se hizo en los capítulos anteriores. Sin embargo
puesto que la compuerta es circular, se debe utilizar un método más general. Representado
por y la profundidad de un elemento de área A y por el ángulo gamma al peso específico del
agua, la presión en el elemento es p = y y la magnitud de la fuerza elemental ejercida sobre A
es F = pA =yA.
Por lo tanto, la magnitud de la resultante de las fuerzas elementales está dada por:
Y puede obtenerse el primer momento QX = ydA del área de la compuerta con respecto del eje
x. El momento Mx de la resultante debe ser igual a la suma de los momentos Mx = yF = y2 A de
las fuerzas elementales. Integrando sobre el área de la compuerta, se tiene que
Aquí, nuevamente, la integral obtenida representa el segundo momento o momento de
inercia, Ix del área con respecto del eje x.

4. 5.3 TEOREMA DE EJES PARALELOS
El momento de inercia de cualquier objeto sobre un eje a través de su centro de masa es el
momento de inercia mínimo sobre un eje en esa dirección del espacio. El momento de inercia
sobre un eje paralelo a ese eje que pasa por el centro de masa está dado por
La expresión añadida al momento de inercia sobre el centro de masa se reconoce como el
momento de inercia de una masa puntual. El momento de inercia en torno a un eje paralelo es
la suma del momento de inercia del objeto sobre su centro de masa, más el momento de
inercia de todo el objeto -tratado como una masa puntual en el centro de masa- sobre ese eje
paralelo.
5.4 RADIO DE GIRO
Se define el radio de giro como la distancia desde el eje de giro a un punto donde podríamos
suponer concentrada toda la masa del cuerpo de modo que el momento de inercia respecto a
dicho eje se obtenga como el producto de la masa del cuerpo por el cuadrado del radio de giro.
5.5 MOMENTO DE INERCIA DE UN ÁREA COMPUESTA
Consideremos una área compuesta A formada por varias áreas componentes A1, A2, An. Como
la integral que representa el momento de inercia de A puede subdividirse en integrales
calculadas sobre A1, A2, An. El momento de inercia de A con respecto a un eje dado se
obtendrá sumando los momentos de inercia de las áreas A1, A2, An.
Pasos para calcular el momento de inercia de áreas compuestas
Dividir el área compuesta en varias partes que sean simples

5. Determinar las áreas de las partes, designarlas por .
Determinar las coordenadas del centro de masas de estas partes con respecto a
los ejes X e Y. Y calcular el cdm de toda la figura formada por todas las áreas
parciales anteriores.
Calcular las distancias de los cdm de cada área respecto al cdm total de la figura.
Calcular los momentos de inercia de las partes respecto a sus ejes de centro de masas (que
serán paralelos a x e y). Designar como: e , para el área i-ésima.
Calcular el momento de inercia de cada parte respecto a los ejes x e y aplicando el teorema
del eje paralelo, es decir, el teorema de
Steiner: y
Calcular los momentos de inercia del área compuesta a partir de los momentos
anteriores: e
5.6 PRODUCTOS DE INERCIAS DE UN ÁREA
El producto de inercia de un área está definido respecto a un par de ejes perpendiculares
entre sí, en el plano de dicha área. Así, para la figura mostrada, definimos el producto de
inercia respecto a los ejes x e y de la siguiente manera:
∫ 𝑥𝑦𝑑𝐴
De esta definición vemos que cada elemento diferencial de área dA es multiplicado por el
producto de sus coordenadas. Como consecuencia, los productos de inercia puedes ser
positivos, negativos, o cero, dependiendo de su posición respecto a los ejes coordenadas.
De esta definición vemos que cada elemento diferencial de área dA es multiplicado por el
producto de sus coordenadas. Como consecuencia, los productos de inercia puedes ser
positivos, negativos, o cero, dependiendo de su posición respecto a los ejes coordenadas.
Positivo o negativo
Si toda el área se encuentra en el primer cuadrante, el producto de las coordenadas será
siempre positivo, y por ende el producto de inercia resultante también lo será. Ahora, si la
totalidad del área se encuentra en el segundo cuadrante, ya que cada elemento diferencial
poseerá una coordenada y positiva y una coordenada x negativa, el producto de inercia será

6. negativo. De la misma forma para el tercer cuadrante, ambas coordenadas negativas
generarán un producto de inercia positivo. Finalmente para el cuarto cuadrante, uno negativo.
Ejes de simetría
Un caso especial se encuentra cuando uno de los ejes corresponde a un eje de simetría del
área. Por ejemplo
consideremos este ejemplo,
simétrico con respecto al eje
x.
Para cada elemento diferencial dA, siempre existen otro elemento dA con la misma
coordenada x, pero con coordenadas y iguales y opuestas en
signo. Por ello, la suma de sus productos de inercia se cancelan
mutuamente en la integración. Ya que esto ocurre para toda el
area, el producto de inercia total será cero.