書籍：Rによるデータサイエンス(http://www.amazon.co.jp/dp/4627096011)の１２章「時系列」の内容に沿った資料です。 第17回R勉強会＠東京（#TokyoR）(http://atnd.org/events/19835)に使用。

1. Rによるデータサイエンス
第12章：時系列
@teramonagi
1

2. 本はこれです
2

3. 12.1
基本概念と
データの操作
3

4. 時系列とは
時間と共に変動する
現象を時間の順序
で記録したデータ
4

5. Rではts型が基本
5

6. データの形式と属性
> class(lh)
[1] "ts"
> lh
Time Series:
Start = 1
End = 48
Frequency = 1
[1] 2.4 2.4 2.4 2.2 2.1 1.5 2.3 2.3 2.5 2.0 1.9 1.7 2.2 1.8 3.2
3.2 2.7 2.2（以下省略）
※女性の血液中の黄体ホルモンを10分間隔で測定したデータ・・・だそうです
6

7. データの形式と属性
> start(UKgas)
[1] 1960 1
> end(UKgas)
[1] 1986 4
> frequency(UKgas)
[1] 4
> UKgas
Qtr1 Qtr2 Qtr3 Qtr4
1960 160.1 129.7 84.8 120.1
1961 160.1 124.9 84.8 116.9
1962 169.7 140.9 89.7 123.3
1963 187.3 144.1 92.9 120.1
※1960年から1986年までのイギリスのガス消費量の時系列データ・・・だそうです
7

8. データの形式と属性
1年を単位として四
> start(UKgas)
[1] 1960 1
> end(UKgas)
[1] 1986 4
半期ごとにデータ
> frequency(UKgas)
[1] 4
> UKgas
Qtr1 Qtr2 Qtr3 Qtr4
があるので４
1960 160.1 129.7 84.8 120.1
1961 160.1 124.9 84.8 116.9
1962 169.7 140.9 89.7 123.3
1963 187.3 144.1 92.9 120.1
※1960年から1986年までのイギリスのガス消費量の時系列データ・・・だそうです
8

9. Window関数で部分抽出
> window(UKgas, c(1975, 2), c(1979, 3))
Qtr1 Qtr2 Qtr3 Qtr4
1975 321.8 177.7 409.8
1976 593.9 329.8 176.1 483.5
1977 584.3 395.4 187.3 485.1
1978 669.2 421.0 216.1 509.1
1979 827.7 467.5 209.7
9

10. グラフにしてみる
> plot(UKgas, col=“blue”, lwd=3)
1000
UKgas
600
200
1960 1965 1970 1975 1980 1985
Time
10

11. データの作成方法
> x <- ts(1:24, start = c(2010, 1), frequency = 12)
> class(x)
[1] "ts"
>x
Jan Feb Mar Apr May Jun Jul Aug Sep Oct
Nov Dec
2010 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
2011 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
11

12. データの作成方法
> x <- ts(1:24, start = c(2010, 1), frequency = 4)
>x
Qtr1 Qtr2 Qtr3 Qtr4
2010 1 2 3 4
2011 5 6 7 8
2012 9 10 11 12
2013 13 14 15 16
2014 17 18 19 20
2015 21 22 23 24
12

13. ラグ処理
ts.plot(UKgas,lag(UKgas,k=3),col=c(4,2),lwd=3)
1000
600
200
1960 1965 1970 1975 1980 1985
Time
13

14. 差分処理
plot(diff(UKgas), col = "blue", lwd = 3)
200
diff(UKgas)
0
-400
1960 1965 1970 1975 1980 1985
Time
14

15. ラグ処理と差分処理の関係
diff(UKgas, lag = 2)
||
UKgas - lag(UKgas, k=-2)
15

16. 12.2
自己共分散と
自己相関
16

17. データ分析でよく使う統計
平均、分散、相関係数
時系列の時は・・・？
平均、自己共分散、自己相関
17

18. y1 , y2 ,, yn 
という時系列が
手元にあったとして・・・
18

19. （標本）平均
n
1
   yt
ˆ
n t 1
19

20. （標本）自己共分散
n
ˆ 
Ck
1
1  yt    yt k   
ˆ ˆ
n t k 
20

21. （標本）自己相関
ˆ
Ck
ˆ 
Rk
ˆ
C0
21

22. 自己相関のPLOT
acf(UKgas, ci = 0.9)
Series UKgas
1.0
0.6
ACF
0.2
-0.2
0 1 2 3 4 5
Lag
22

23. 自己相関のPLOT
横軸＝年 acf(UKgas, ci = 0.9)
Series UKgas
1年周期をもつの
1.0
0.6
ACF
で１、２等にピーク
0.2
-0.2
0 1 2 3 4 5
Lag
23

24. 自己相関のPLOT
acf(diff(UKgas, lag = 4), ci = 0.9)
Series diff(UKgas, lag = 4)
1.0
0.6
ACF
0.2
-0.2
0 1 2 3 4 5
Lag
24

25. （標本）相互共分散
n
ˆ 
Ck
1
1  yt    ytk   
ˆ ˆ
n t k 
※y’・μ’はまた別な時系列とその標本平均だとする
25

26. （標本）相互相関
ˆ
Ck
ˆ 
Rk
ˆ
C0
26

27. イギリスで肺関連（気管支炎、肺気腫、喘息）
の病気による死者数推移
ts.plot(mdeaths, fdeaths, col = 2:3, lwd = 2)
legend("topleft", c("male", "female"), col = 2:3, lty = 1)
27

28. その相互相関
ccf(mdeaths, fdeaths)
28

29. 12.3
スペクトル分析
29

30. スペクトル分析
||
周期性の解析
30

31. パワースペクトル密度関数

p f    Ck e  2ikf
k  
自己共分散Ckのフーリエ変換
31

32. ピリオドグラム
n 1
p j   Ck
ˆ e  2ikf j
ˆ
k   n 1
 j n
 f j  , n  0,1,2 
 n 2
（標本）自己共分散Ck
のフーリエ変換
32

33. 周波数で物を見る
33

34. 波の重ね合わせ
で物を見る
34

35. 波の単位
||
sin, cos, tan
35

36. 波の単位
||
sin, cos, tan
※tanは波ではないですよね？
36

37. 波の単位
||
sin, cos, tan
※例としてcosだけで・・・
37

38. １つの波の例：cos関数
#cosを何回繰り返すのか
REP <- 5
#cosの周期(この逆数が周波数,0.2)
T <- 5
#サンプリングする個数
N <- 100
#データ生成
x <- (REP * T) * (1:N) / N
y <- ts(cos(2 * pi * x / T),start=1,frequency=(N/(REP*T)))
Plot(y)
38

39. frequency=(N/(REP*T))
||
単位時間あたり
のデータ数 39

40. １つの波の例：cos関数
40

41. ピリオドグラム描く
spec.pgram(y, log = "no“)
41

42. １つの波の例：cos関数
周波数0.2(=1/5=1/周期）
の位置にだけピーク
42

43. 12.4
ランダムウォークと
単位根
43

44. ランダムウォークと単位根
44

45. ランダムウォークと単位根
これ見て下さい
45

46. 12.5
ARモデル
46

47. ARモデル
p
yt   ai yt i  et
i 1
ai :自己回帰係数

p : 次数order 
e
 t  
: 残差 N 0,  2

47

48. と
を決めたい
48

49. ar関数で推定
> (lh.ar <- ar(lh))
Call:
ar(x = lh)
Coefficients:
1 2 3
0.6534 -0.0636 -0.2269
Order selected 3 sigma^2 estimated as
0.1959
49

50. ar関数で推定
> lh.ar$order
[1] 3
> lh.ar$ar
[1] 0.653 -0.063 -0.226
50

51. ar関数で推定
yt  0.653 yt 1  0.064 yt 2  0.227 yt 3
51

52. ar関数で推定
Box-Pierce, Ljung-Box検定
> Box.test(lh.ar$res, type="Ljung")
Box-Ljung test
data: lh.ar$res
X-squared = 0.0257, df = 1, p-value =
0.8728
残差が独立か否かチェック
52

53. 予測
> (lh.pr <- predict(lh.ar, n.ahead=10))
$pred
Time Series:
Start = 49
End = 58
Frequency = 1
[1] 2.461588 2.272267 2.199151 2.262914 2.352194 2.423066 2.449223 2.441544 2.418779 2.398456
$se
Time Series:
Start = 49
End = 58
Frequency = 1
[1] 0.4425687 0.5286675 0.5525786 0.5527502 0.5592254 0.5665903 0.5688786 0.5689385 0.5692396
[10] 0.5697534
53

54. 予測
> pred.upper <- lh.pr$pred + 2 * lh.pr$se
> pred.lower <- lh.pr$pred - 2 * lh.pr$se
> ts.plot(lh, lh.pr$pred, pred.upper, pred.lower,
+ gpars=list(col=c(1,2,3,3),lwd=3))
54

55. 12.6
ARMA/ARIMA
モデル
55

56. ARMA/ARIMAモデル
p q
yt   ai yt i  et   b j et  j
i 1 j 1
ai :自己回帰係数

p : 次数order 
e
 t  
: 残差 N 0,  2

56

57. テキストのコード、
Rっぽくねぇ
57

58. arima関数で推定
> p <- 1:4
> d <- 0:1
> q <- 0:4
> lh.ari.all <- apply(expand.grid(p, d, q), 1, function(x)arima(lh, order = x))
> Reduce(function(x,y)if(x$aic<y$aic){x}else{y}, lh.ari.all)
Call:
arima(x = lh, order = x)
Coefficients:
ar1 ar2 ar3 intercept
0.6448 -0.0634 -0.2198 2.3931
s.e. 0.1394 0.1668 0.1421 0.0963
sigma^2 estimated as 0.1787: log likelihood = -27.09, aic = 64.18
58

59. 12.7
その他のモデル
59

60. GARCHモデル
ai :自己回帰係数

p : 次数order 
e
 t  
: 残差 N 0,  2

q r
ht      e 2
i t i    j ht  j
i 1 j 1
60

61. Not 時系列自体
But 分散のモデル
61

62. garchFit関数で推定
install.packages("fGarch")
library(fGarch)
UKg.d <- diff(UKgas)
UKg.m <-
garchFit(formula=~arma(1,1)+garch(1,1),dat
a=UKg.d)
条件付き平均をarma(1,1)
条件付き分散をgarch(1,1) とモデリング
62

63. Ukg.mはS4クラス
@fit：推計パラメーター・標準誤差等
@fitted：フィットさせた値（予測値）
@residuals：残差
その他にも元データ、条件付分散、callオブジェクト等あり
63

64. メソッドもあり
plot:各種描画（選択）
show：オブジェクトの要約
summary : オブジェクトの要約
predict：予測値の算出
residuals：残差の表示
volatility：条件付き標準偏差計算
coef：推計パラメーター
formula：推計モデル
64

65. 12.8
成分の分解
65

66. 成分の分解
観測値＝トレンド＋周期変動＋残差
plot(stl(UKgas, s.window = "periodic"))
66

67. 12.9
多変量時系列
67

68. Y1, Y2 ,, Yn 
というベクトルの時系列
が手元にあったとして・・・
68

69. サンプルデータ
・実質GNPの対数値(季節調整済み）
・実質M1の対数値(季節調整済み）
library(tseries)
data(USeconomic)
USe.d <- diff(USeconomic[,1:2])
ts.plot(USe.d, lty=1:2, col = 1:2)
legend("bottomleft", colnames(USe.d), lty = 1:2, col = 1:2)
69

70. サンプルデータ
70

71. ベクトル自己回帰（VAR）モデル
> (USe.ar <- ar(USe.d, order.max = 2, aic=FALSE))
Call:
ar(x = USe.d, aic = FALSE, order.max = 2)
$ar
,,1
[,1] [,2]
[1,] 0.5446 -0.1888
[2,] 0.1981 0.1295
,,2
[,1] [,2]
[1,] 0.1231 0.04513
[2,] 0.1371 0.07110
$var.pred
[,1] [,2]
[1,] 1.063e-04 1.506e-05
[2,] 1.506e-05 8.494e-05
71

72. ベクトル自己回帰（VAR）モデル
こんなモデルでました
M t  0.54M t 1  0.12M t 2  0.19Gt 1  0.05Gt 1  Et
Gt  0.20M t 1  0.14M t 2  0.13Gt 1  0.07Gt 2  Et
M : log(M 1)の1階差分値
G : log(GNP)の1階差分値
72

73. 12.10
カオス時系列
73

74. カオス時系列
74

75. カオス時系列
こんなんが
簡単にでるらしい
75

76. その他参考パッケージ
– ade, its:時系列の操作例、モデルさk製に関する
関数
– fracdiff:長期記憶時系列のモデル
– tsfa：時系列因子分析
– GeneTS：マイクロアレイ時系列解析パッケージ
– tsboot(boot),
dynlm(dynlm),tsd/decdif/deccensus(pastecs)
– 統計数理研究所のTIMSAC(TIMe Series Analysis
and Control program)
76