עריכה: רברוך אליהו, אורט תל נוף שימוש במשפט פיתגורס ופונקציות טריגונומטריות במשולש ישר זווית

1. ‫מבוא‬
‫זוית‬ ‫ישר‬ ‫משולש‬
‫פיתגורס‬
‫טריגונומטריות‬ ‫פונקציות‬

2. (‫)מ.י.ז‬ ‫זוית‬ ‫ישר‬ ‫משולש‬
‫ניצב‬
‫ניצב‬
‫יתר‬
‫אנו‬ ‫במשולש‬ ‫הישרה‬ ‫הזוית‬ ‫את‬ ‫היוצרות‬ ‫לצלעות‬
‫קוראים‬‫ניצבים‬.
‫קוראים‬ ‫אנו‬ ‫הנותרת‬ ‫השלישית‬ ‫לצלע‬‫יתר‬.
!!‫לזכור‬ ‫כדאי‬
‫הוא‬ ‫במשולש‬ ‫החדות‬ ‫הזויות‬ ‫שתי‬ ‫סכום‬900
.
= ‫ישרה‬ ‫זוית‬90

3. (‫)מ.י.ז‬ ‫זוית‬ ‫ישר‬ ‫משולש‬
‫לזוית‬ ‫בהתאם‬ ‫צלע‬ ‫כל‬ ‫ליד‬ ‫ורשום‬ ‫למחברת‬ ‫המשולשים‬ ‫את‬ ‫העתק‬
.‫יתר‬ ‫או‬ ‫ליד‬ ‫ניצב‬ ,‫מול‬ ‫ניצב‬ :‫המסומנת‬

4. ‫פיתגורס‬ ‫משפט‬
‫ניצב‬
‫ניצב‬
‫יתר‬
:‫במילים‬ ‫פיתגורס‬ ‫משפט‬
‫היתר‬ ‫לריבוע‬ ‫שווה‬ ‫הניצבים‬ ‫ריבועי‬ ‫סכום‬
‫בריבוע‬ ‫יתר‬ = ‫בריבוע‬ ‫ניצב‬ + ‫בריבוע‬ ‫ניצב‬
‫הניצבים‬ ‫אורכי‬ ‫בין‬ ‫הקשר‬ ‫את‬ ‫מגדיר‬ ‫פיתגורס‬ ‫משפט‬
.‫זוית‬ ‫ישר‬ ‫במשולש‬ ‫והיתר‬
‫ניתן‬ ‫צלעות‬ ‫שתי‬ ‫אורכי‬ ‫לנו‬ ‫נתונים‬ ‫כאשר‬ ‫באמצעותו‬
‫השלישית‬ ‫הצלע‬ ‫של‬ ‫אורכה‬ ‫את‬ ‫לחשב‬

5. ‫פיתגורס‬ ‫משפט‬
:‫באותיות‬ ‫פיתגורס‬ ‫משפט‬
C2
=a2
+b2
‫נבנה‬ ‫אם‬ ,‫המחשה‬ ‫לשם‬‫ריבוע‬‫מצלעות‬ ‫אחת‬ ‫כל‬ ‫על‬
,‫הזוית‬ ‫ישר‬ ‫המשולש‬‫הריבועים‬ ‫שטחי‬ ‫סכום‬‫שנבנה‬
‫יהיה‬ ‫הניצבים‬ ‫על‬‫הריבוע‬ ‫לשטח‬ ‫לשווה‬‫שנבנה‬‫על‬
‫היתר‬.
‫יתר‬c
‫ניצב‬a
‫ניצב‬b

6. ‫דוגמאות‬ - ‫פיתגורס‬ ‫משפט‬
a=4
b=3
c=?a2
+b2
=c2a2
+b2
=c2
‫ערכי‬ ‫את‬ ‫בנוסחא‬ ‫נציב‬a, b42
+32
=c2
‫שמאל‬ ‫אגף‬ ‫את‬ ‫נחשב‬16+9=c2
25=c2
‫של‬ ‫ערכו‬ ‫את‬ ‫למצוא‬ ‫כדי‬c‫פעולה‬ ‫נבצע‬
‫שורש‬ ‫הוצאת‬ ‫של‬
25=c
5=c
:‫המחשבון‬ ‫באמצעות‬ ‫שורש‬ ‫הוצאת‬
‫המספר‬=

7. ‫דוגמאות‬ - ‫פיתגורס‬ ‫משפט‬
4
b=?
12
a2
+b2
=c2a2
+b2
=c2
‫ערכי‬ ‫את‬ ‫בנוסחא‬ ‫נציב‬a, c42
+b2
=122
:‫נחשב‬16+b2
=144
b2
=144-16
‫של‬ ‫ערכו‬ ‫את‬ ‫למצוא‬ ‫כדי‬c‫פעולה‬ ‫נבצע‬
‫שורש‬ ‫הוצאת‬ ‫של‬
b= 128
B=11.31
‫את‬ ‫נבודד‬b2
:‫שמאל‬ ‫באגף‬
b2
=128 :‫נחשב‬
:‫המחשבון‬ ‫באמצעות‬ ‫שורש‬ ‫הוצאת‬
‫המספר‬=

8. ‫דוגמאות‬ - ‫פיתגורס‬ ‫משפט‬
X
8
15
a2
+b2
=c2a2
+b2
=c2 ‫את‬ ‫מצא‬X
1..‫והיתר‬ ‫הניצבים‬ ‫את‬ ‫במשולש‬ ‫סמן‬
2..‫פיתגורס‬ ‫של‬ ‫בנוסחא‬ ‫הערכים‬ ‫את‬ ‫הצב‬
3..‫הריבועים‬ ‫ערכי‬ ‫את‬ ‫חשב‬
4.‫את‬ ‫לבודד‬ ‫כדי‬ ‫אגף‬ ‫העבר‬X
5.‫את‬ ‫חשב‬X
:‫הפתרון‬ ‫שלבי‬

9. ‫תרגילים‬ - ‫פיתגורס‬ ‫משפט‬
X8
10
a2
+b2
=c2
‫את‬ ‫מצא‬X‫מהמשולשים‬ ‫אחד‬ ‫בכל‬
1..‫והיתר‬ ‫הניצבים‬ ‫את‬ ‫במשולש‬ ‫סמן‬
2..‫פיתגורס‬ ‫של‬ ‫בנוסחא‬ ‫הערכים‬ ‫את‬ ‫הצב‬
3..‫הריבועים‬ ‫ערכי‬ ‫את‬ ‫חשב‬
4.‫את‬ ‫לבודד‬ ‫אגף‬ ‫העבר‬X‫הצורך‬ ‫לפי‬
5.‫את‬ ‫חשב‬X
:‫הפתרון‬ ‫שלבי‬
X
6
11
X
9
5

10. ‫טריגונומטריות‬ ‫לפונקציות‬ ‫מבוא‬
.‫זוית‬ ‫ישר‬ ‫למשולש‬ ‫שקשורות‬ ‫הגדרות‬ ‫נחדד‬ ‫לנושא‬ ‫הכניסה‬ ‫לפני‬
‫ליד‬ ‫ניצב‬
‫מול‬ ‫ניצב‬
‫יתר‬
‫אלפא‬ ‫באות‬ ‫החדות‬ ‫הזויות‬ ‫אחת‬ ‫את‬ ‫נסמן‬α
α
‫יקרא‬ ‫הזוית‬ ‫מול‬ ‫שנמצא‬ ‫הניצב‬‫מול‬ ‫ניצב‬
‫יקרא‬ ‫הזוית‬ ‫ליד‬ ‫שנמצא‬ ‫הניצב‬‫ליד‬ ‫ניצב‬

11. ‫זוית‬ ‫ישר‬ ‫במשולש‬ ‫צלעות‬ ‫זיהוי‬ ‫תרגול‬
‫את‬ ‫מהמשולשים‬ ‫אחת‬ ‫בכל‬ ‫וסמן‬ ‫למחברת‬ ‫המשולשים‬ ‫את‬ ‫העתק‬
:‫המתאימה‬ ‫בהגדרה‬ ‫הצלעות‬
.‫ליד‬ ‫ניצב‬ ,‫מול‬ ‫ניצב‬ ,‫יתר‬
α
α
α
α
α

12. ‫הסינוס‬ - ‫טריגונומטריות‬ ‫פונקציות‬
.‫הזוית‬ ‫שמול‬ ‫לניצב‬ ‫היתר‬ ‫בין‬ ‫הקשר‬ ‫את‬ ‫מגדירה‬ ‫הסינוס‬ ‫פונקצית‬
=αsin ‫מול‬ ‫ניצב‬
‫יתר‬
‫מול‬ ‫ניצב‬
‫יתר‬
α

13. ‫הסינוס‬ ‫פונקצית‬ - ‫דוגמא‬ ‫תרגיל‬
:‫תרגיל‬
‫את‬ ‫מצא‬X.‫הנתון‬ ‫במשולש‬
=αsin ‫מול‬ ‫ניצב‬
‫יתר‬
250
12
X
‫שלב‬1(‫יתר‬ ,‫ליד‬ ‫ניצב‬ ,‫מול‬ ‫)ניצב‬ ‫המשולש‬ ‫גבי‬ ‫על‬ ‫נציין‬ –
‫שלב‬2‫הבעיה‬ ‫לפתרון‬ ‫המתאימה‬ ‫הפונקציה‬ ‫את‬ ‫נזהה‬ –
‫שלב‬3.‫המתאימה‬ ‫הפונקציה‬ ‫את‬ ‫נרשום‬ –
‫שלב‬4‫ואת‬ ‫המספרים‬ ‫את‬ ‫נציב‬ –X.‫בנוסחא‬
‫שלב‬5.‫נחשב‬ –
‫הבא‬ ‫בשקף‬ ‫הפתרון‬

14. ‫הסינוס‬ ‫פונקצית‬ - ‫דוגמא‬ ‫תרגיל‬ ‫פתרון‬
‫מציאת‬ – ‫התרגיל‬ ‫פתרון‬X:
=αsin ‫מול‬ ‫ניצב‬
‫יתר‬
‫מול‬ ‫ניצב‬
‫יתר‬
250
12
X
‫שלב‬1–
‫ליד‬ ‫ניצב‬
‫שלב‬2‫הסינוס‬ ‫פונקצית‬ – ‫ויתר‬ ‫מול‬ ‫ניצב‬ –
‫שלב‬3–
‫שלב‬4–
‫שלב‬5–
=αsin
12
25sin
x
=
x=•1225sin
sin2512 X=5.07 :‫לחישוב‬ ‫במחשבון‬ ‫שימוש‬
‫מול‬ ‫ניצב‬
‫יתר‬

15. ‫הקוסינוס‬ - ‫טריגונומטריות‬ ‫פונקציות‬
.‫הזוית‬ ‫שליד‬ ‫לניצב‬ ‫היתר‬ ‫בין‬ ‫הקשר‬ ‫את‬ ‫מגדירה‬ ‫הקוסינוס‬ ‫פונקצית‬
=αcos ‫ליד‬ ‫ניצב‬
‫יתר‬
‫ליד‬ ‫ניצב‬
‫יתר‬
α

16. ‫הקוסינוס‬ ‫פונקצית‬ - ‫דוגמא‬ ‫תרגיל‬
:‫תרגיל‬
‫את‬ ‫מצא‬X.‫הנתון‬ ‫במשולש‬
350
19
X
‫שלב‬1(‫יתר‬ ,‫ליד‬ ‫ניצב‬ ,‫מול‬ ‫)ניצב‬ ‫המשולש‬ ‫גבי‬ ‫על‬ ‫נציין‬ –
‫שלב‬2‫הבעיה‬ ‫לפתאון‬ ‫המתאימה‬ ‫הפונקציה‬ ‫את‬ ‫נזהה‬ –
‫שלב‬3.‫המתאימה‬ ‫הפונקציה‬ ‫את‬ ‫נרשום‬ –
‫שלב‬4‫ואת‬ ‫המספרים‬ ‫את‬ ‫נציב‬ –X.‫בנוסחא‬
‫שלב‬5.‫נחשב‬ –
=αcos ‫ליד‬ ‫ניצב‬
‫יתר‬

17. ‫הסינוס‬ ‫פונקצית‬ - ‫דוגמא‬ ‫תרגיל‬ ‫פתרון‬
‫מציאת‬ – ‫התרגיל‬ ‫פתרון‬X:
=αcos ‫ליד‬ ‫ניצב‬
‫יתר‬
‫מול‬ ‫ניצב‬
‫יתר‬
350
19
X
‫שלב‬1–
‫ליד‬ ‫ניצב‬
‫שלב‬2‫הקוסינוס‬ ‫פונקצית‬ – ‫ויתר‬ ‫ליד‬ ‫ניצב‬ –
‫שלב‬3–
‫שלב‬4–
‫שלב‬5–
=αcos
X
19
=35cos
=35cos X
cos3519 X=15.56 :‫לחישוב‬ ‫במחשבון‬ ‫שימוש‬
‫ליד‬ ‫ניצב‬
‫יתר‬
19

18. ‫הטנגס‬ - ‫טריגונומטריות‬ ‫פונקציות‬
.‫הזוית‬ ‫שליד‬ ‫לניצב‬ ‫הזוית‬ ‫מול‬ ‫הניצב‬ ‫בין‬ ‫הקשר‬ ‫את‬ ‫מגדירה‬ ‫הקטנגס‬ ‫פונקצית‬
=αtan ‫מול‬ ‫ניצב‬
‫ליד‬ ‫ניצב‬
‫ליד‬ ‫ניצב‬
‫מול‬ ‫ניצב‬
α

19. ‫הטנגנס‬ ‫פונקצית‬ - ‫דוגמא‬ ‫תרגיל‬
:‫תרגיל‬
‫את‬ ‫מצא‬X.‫הנתון‬ ‫במשולש‬
240
8
X
‫שלב‬1(‫יתר‬ ,‫ליד‬ ‫ניצב‬ ,‫מול‬ ‫)ניצב‬ ‫המשולש‬ ‫גבי‬ ‫על‬ ‫נציין‬ –
‫שלב‬2‫הבעיה‬ ‫לפתאון‬ ‫המתאימה‬ ‫הפונקציה‬ ‫את‬ ‫נזהה‬ –
‫שלב‬3.‫המתאימה‬ ‫הפונקציה‬ ‫את‬ ‫נרשום‬ –
‫שלב‬4‫ואת‬ ‫המספרים‬ ‫את‬ ‫נציב‬ –X.‫בנוסחא‬
‫שלב‬5.‫נחשב‬ –
=αtan ‫מול‬ ‫ניצב‬
‫ליד‬ ‫ניצב‬

20. ‫הטנגנס‬ ‫פונקצית‬ - ‫דוגמא‬ ‫תרגיל‬ ‫פתרון‬
‫מציאת‬ – ‫התרגיל‬ ‫פתרון‬X:
=αtan ‫מול‬ ‫ניצב‬
‫ליד‬ ‫ניצב‬
‫מול‬ ‫ניצב‬
‫יתר‬
240
8
X
‫שלב‬1–
‫ליד‬ ‫ניצב‬
‫שלב‬2‫הקוסינוס‬ ‫פונקצית‬ – ‫ויתר‬ ‫ליד‬ ‫ניצב‬ –
‫שלב‬3–
‫שלב‬4–
‫שלב‬5–
=αtan
8
8
=24tan
24tanX=
8:24 tan=17.96 :‫לחישוב‬ ‫במחשבון‬ ‫שימוש‬
‫מול‬ ‫ניצב‬
‫ליד‬ ‫ניצב‬
X

21. ‫טריגונומטריות‬ ‫פונקציות‬
=αsin ‫מול‬ ‫ניצב‬
‫יתר‬
=αcos ‫ליד‬ ‫ניצב‬
‫יתר‬
=αtan ‫מול‬ ‫ניצב‬
‫ליד‬ ‫ניצב‬
‫סמ"י‬
‫כל"י‬
‫טמב"ל‬
(‫יתר‬ ‫מול‬ ‫)סינוס‬
(‫יתר‬ ‫ליד‬ ‫)קוסינוס‬
(‫ליד‬ ‫מול‬ ‫)טנגנס‬
‫ניצב‬
‫מול‬
‫יתר‬
α
‫ליד‬ ‫ניצב‬
‫יתר‬
α
‫ליד‬ ‫ניצב‬
‫ניצב‬
‫מול‬
α
‫לזכור‬ ‫לנו‬ ‫יעזור‬ ‫טמבל‬ ‫כלי‬ ‫סמי‬ ‫אז‬ ‫זוכרים‬ ‫לא‬ ‫אנחנו‬ ‫ואם‬

22. ‫תרגול‬
‫את‬ ‫חשב‬X:‫הבאים‬ ‫מהמשולשים‬ ‫אחד‬ ‫בכל‬
X
X X
X
X
X
8
40
55 30
15
12
46
21
9
24
72
114

23. ‫אליהו‬ ‫ברוך‬