1. ONDAS
ESTACIONARIAS
Ondas longitudinales y transversales. Ondas
senoidales. Principio de superposición.
Propiedades ondulatorias. Ondas estacionarias.
Ondas estacionarias en cuerdas.

2. ENERGÍA DEL MOVIMIENTO
ONDULATORIO
2
2 2
maxP F Aµ ω=
( ) ( )2 2 2
P x,t F A sen kx tµ ω ω= −
 El movimiento ondulatorio transporta
energía de una región a otra. En el caso
de una onda mecánica senoidal que se
transporta a través de una cuerda de
densidad lineal de masa µ y bajo la
tensión de la fuerza F:
 Siendo la potencia máxima:
 Y la potencia media:
 15.20 Un alambre de piano con
masa de 3,00 g y longitud de 80,0
cm se estira con una tensión de
25,0 N. Una onda con frecuencia
de 120,0 Hz y amplitud 1,6 mm
viaja por el alambre. a) calcule la
potencia media que transporta l
onda. b) ¿Qué sucede con la
potencia media si se reduce a la
mitad la amplitud de la onda?
 Solución:
 a)
 b) Disminuye en 4 veces.
P vs t en la
coordenada x = 0
Periodo T
2 2
med
1
P F A
2
µ ω=
( ) ( )
3
22 3
med
med
1 3,00 10
P 25,0 2 120 1,6 10 W
2 0,800
P 0,2228 W 0,22 W
π
−
−×
= × ×
= =

3. INTENSIDAD DE LAS ONDAS
3
 Otros tipos de ondas como las ondas
sonoras y las ondas sísmicas,
transportan energías en tres
dimensiones.
 En este caso se define la Intensidad
(I) como la potencia media por
unidad de área de una superficie
perpendicular a la dirección de
propagación de la onda y se mide en
W/m2
.
 Si la potencia de la fuente es
P, la intensidad media I1
sobre una superficie esférica
de radio r1 es:
 La intensidad media I2 sobre
una superficie esférica de
radio mayor r2 debe ser
menor.
 Si no se absorbe energía
entre las dos esferas, la
potencia es la misma en cada
superficie:
Intensidad I1
r1
2
1
1
4 r
P
I
π
=
Fuente de las ondas
I2 < I1: misma
potencia distribuida
en un área mayor
r2
2
1
2
2
2
2
2
1
2
1
4
4
r
r
rP
rP
I
I
==
π
π

4. REFLEXIÓN DE ONDAS
4
2
1
2
57
110
01
r
,
,
,
=
 15.22 Imagine que encuentra un
objeto extraño que radia ondas
sonoras uniformemente en todas
direcciones. Suponga que el sonido
proviene de una fuente puntual y
que pueden despreciarse todas las
reflexiones. Está caminando
lentamente hacia la fuente. Cuando
está a 7,5 m de ella, la intensidad es
de 0,11 W/m2
. Comúnmente, se
considera que una intensidad de 1,0
W/m2
es el umbral del dolor. ¿Cuánto
más podrá acercarse a la fuente
antes que la intensidad de sonido
alcance ese umbral?
 Solución.
De donde r1 = 2,5 m . Así que solo se
puede mover 5,0 m .
 Reflexión. Una onda que
llega a la frontera del medio
de propagación se refleja
parcial o totalmente.
Pulso incidente
El pulso reflejado
se invierte
(a) Extremo fijo
Pulso incidente
El pulso reflejado
no se invierte
(b) Extremo libre

5. INTERFERENCIA DE ONDAS
5
 Cuando dos pulsos viajan en direcciones
opuestas se combinan en el espacio, se
interfieren y se produce un pulso
resultante. La interferencia puede ser:
 Constructiva, cuando los
desplazamientos individuales son en la
misma dirección.
 Destructiva, cuando los desplazamientos
son en direcciones opuestas.
Ver video de interferencia
 Combinar los
desplazamientos de los
pulsos individuales en cada
punto para obtener el
desplazamiento real es un
aplicación del principio de
superposición, es decir
cuando dos ondas cuyas
funciones son y1(x,t) y y2(x,t)
interfieren, la función de
onda y(x,t) que describe el
movimiento resultante es:
( ) ( ) ( )1 2y x,t y x,t y x,t= +

6. ONDAS ESTACIONARIAS EN UNA
CUERDA
6
 Cuando una onda viajera de forma
senoidal se refleja en un extremo fijo de
una cuerda tensada, las ondas
incidentes y reflejadas (con la misma
frecuencia y amplitud) se combinan
(superponen) para formar una onda
estacionaria (que no parece moverse)
con nodos y antinodos.
 Los nodos son puntos que nunca se
mueven (interferencia destructiva).
 Los antinodos son puntos en los cuales
la amplitud de movimiento es máxima
(interferencia constructiva).
 Aplicando el principio de
superposición para la onda incidente
que viaja hacia la izquierda:
 y la onda reflejada que viaja hacia la
derecha:
 Entonces,
 Considerando
 Obtenemos la ecuación de una onda
estacionaria con un extremo fijo en x
= 0:
oscilador
onda incidente onda reflejada
( ) ( ) ( )y x,t A cos kx t cos kx tω ω= − + + −  
( ) ( )1y x,t Acos kx tω= − +
( ) ( )2y x,t Acos kx tω= −
( )cos a b cos a cos b a b± = m sen sen
( ) ( )y x,t 2A kx tω= sen sen

7. ONDAS ESTACIONARIAS EN UNA
CUERDA
7
..3,2,1,0,
22
3
2
2
2
0 =
λ
=
λλλ
= n
n
x ,.....,,,
 Como en los nodos el máximo
desplazamiento vertical es cero:
sen kx = 0, kx = 0, π, 2π, 3π, ….
 En los antinodos:
sen kx = ±1, kx = π/2, 3π/2,
5π/2, ….
4
3
λ
4
5
λ
4
7
λ
4
λ
Antinodos
Nodos
2
λ λ
2
3
λ
...5,3,1,
44
5
4
3
4
=
λ
=
λλλ
= n
n
x ,.....,,

8. MODOS NORMALES DE UNA
CUERDA
8
 Si ambos extremos de una
cuerda con longitud L están
fijos, solo puede haber ondas
estacionarias si L es múltiplo
entero de λ/2.
 15.37 Un alambre de 40,0 g
está estirado de modo que sus
extremos están fijos en puntos
separados 80,0 cm. El alambre
vibra en su modo fundamental
con frecuencia de 60,0 Hz y
amplitud en los antinodos de
0,300 cm .a) Calcule la rapidez
de propagación de ondas
transversales en el alambre. b)
Calcule la tensión en el
alambre.
 Solución.
a. v = λf =(2×0,800)(60,0) m/s = 96,0
m/s
b. F = µv2
= (0,0400/0,800)(96,0)2
N =
461N
2
λ1
=L
L
Frecuencia fundamental, f1
Segundo armónico, f2
Tercer armónico, f3
2
λ
2 2
=L
2
λ
3 3
=L
2
λn
nL =
µ
==
F
LL
v
f
2
1
2
1
L
v
ff == 12 2
L
v
ff
2
33 13 ==
1
2
nf
L
v
nfn == n =1, 2, 3, ..

9. EJERCICIO
9
 15.39 La forma de un hilo tenso que está
atado por ambos extremos y oscila en su
tercer armónico se describe con la ecuación:
Donde el origen está al extremo izquierdo del
hilo, el eje x está a lo largo del hilo y el eje y
es perpendicular al hilo.
a) Dibuje el patrón de onda estacioaria.
b) Calcule la amplitud de de las dos ondas
viajeras que constituyen esta onda
estacionaria.
c) ¿Qué longitud tiene el hilo?
d) Calcule la longitud de onda, frecuencia,
periodo y rapidez de las ondas viajeras.
e) Calcule la rapidez transversal máxima de un
punto del hilo.
f) ¿Qué ecuación y(x,t) tendría el hilo si vibrara
en su octavo armónico?
 Solución
 Asi:
b. A ondas viajeras = 2,80 cm
χ. λ = 2π/k = 2π/(3,40) m = 1,848 m ;
L = 3λ/2 = 2,77 m
δ. λ = 1,85 m ;
f = ω/2π = 50,0/ 2π = 7,96 Hz ;
T = 0,126 s ;
v = λ f = 14,7 m/s
e) Derivando la posición dy/dt, se obtiene el
valor máximo
vmax = Aω = (5,60)(50,0) cm/s = 2,80 m/s
d. f3 = 3 f1 ; f1 = 2,65 Hz ; f8 = 8(2,65 Hz) =
21,2 Hz ; ω3 = 133 rad/s
k = 2π/(v/f8) = 9,06 rad/m
( ) ( ) ( ) ( )y x,t 5,60 cm sen 0,0340rad/cm x sen 50,0 rad/s t=       
( ) ( ) ( ) ( )y x,t 5,60 cm sen 0,0906 rad/cm x sen 133 rad/s t=       

10. ECUACIÓN DE ONDA
y( x,t ) Asen( kx t )ω= ±
31/01/15
10
JorgeMoy,YuriMilachay
Si es - la onda se propaga hacia la derecha
Si es + la onda se propaga hacia la izquierda
Amplitud
Número de onda (rad/m)
Frecuencia angular
(rad/s)

11. REFLEXIÓN DE ONDAS
11
 Extremo fijo: cuando la onda
se refleja en una frontera fija,
observe que la onda se
invierte al regresar.
 Extremo libre: cuando la
onda se refleja en una
frontera sin restricciones
(observe el efecto látigo) al
regresar lo hace con la
misma fase es decir no se
invierte.

12. INTERFERENCIA
12
 Tiene lugar cuando dos
ondas se encuentran en la
misma región. Pueden tener
dos tipos de interferencia:
 Interferencia constructiva:
En este caso las ondas
suman sus efectos y la
amplitud de la onda
resultante es mayor a las
originales.
 Interferencia destructiva: En
este caso las ondas restan
sus efectos y la amplitud de
la onda resultante es menor
a las originales.
http://www.phy.ntnu.edu.tw/ntnujava/index.php?topic=19

13. ONDAS ESTACIONARIAS
 Onda estacionaria: Es el resultado de la superposición de dos
ondas viajeras de la misma frecuencia que se mueven en sentidos
opuestos. El resultado de esta superposición es la formación de
cuadros de interferencia destructiva (partículas en reposo)
llamados nodos, y cuadros de interferencia constructiva (máxima
amplitud) denominados anti nodos.
13

14. ONDAS ESTACIONARIAS
31/01/15JorgeMoy,YuriMilachay
14
 La cuerda de una guitarra:
onda estacionaria
 Si se acciona la cuerda de una
guitarra, un pulso de onda se
enviará al extremo donde la
cuerda se ata (y también al otro
extremo).
 Este pulso de onda se reflejará
y se encontrará con el pulso
reflejado del otro extremo (para
instrumentos como el violín,
donde la cuerda puede
accionarse continuamente,
también pueden encontrarse
nuevos pulsos de la onda que se
envían).
 Estas ondas reflejadas
estarán interfiriendo entre sí
constructiva o
destructivamente.
 http://www.youtube.com/watch?
v=u6IsXBeIqmM&feature=related
 http://www.edumedia-
sciences.com/es/a541-cuerda-
vibrante-guitarra

15. ONDAS ESTACIONARIAS EN CUERDAS
31/01/15JorgeMoy,YuriMilachay
15
 Modo Fundamental (primer
armónico):
Hay nodos en los extremos de la
cuerda.
Esto hace que sólo la mitad de la
onda progresiva completa esté ahí. Si
la longitud de la cuerda es L,
L = λ/2
que combinado con
v = λ f ⇒ λ = v / f
Da,
f1 = v/2L
 Segundo armónico
L = λ,
De donde f2 = v/L = 2f1 .
En general,
fn = n(v/2L) = nf1

16. 31/01/15JorgeMoy,YuriMilachay
16

17. EJERCICIOS
17
1. Una cuerda de violín está fijada
en ambos extremos. La misma
puede oscilar de diferentes
maneras.
a) Si la cuerda tiene 0,400 m de
longitud, calcular la longitud de
onda del segundo armónico.
b) Si la frecuencia fundamental
para la cuerda es 440 Hz,
calcule la rapidez de
propagación de la onda.
c) El violinista desea tocar una
nota de la frecuencia
fundamental 524 Hz. Esto se
hace utilizando un dedo para
acortar la longitud de vibración
efectiva de la cuerda. Calcule la
longitud efectiva de la cuerda.
2. La porción de una cuerda de
violonchelo que está entre el
puente y el extremo superior
del bastidor mide 60,0 cm y
tiene una masa de 2,00 g . La
cuerda produce una nota A4
(440 Hz) al tocarse. A) ¿A qué
distancia x del puente debe una
ejecutante poner un dedo para
tocar una nota D5 (587 Hz)? En
ambos casos la cuerda vibra en
modo fundamental.

18. EJERCICIOS
18
3. Se genera una onda estacionaria en
un hilo fijo en ambos extremos, que
vibra a su frecuencia fundamental.
Entonces se aumenta la tensión del
hilo y se genera una nueva onda
estacionaria que vibra a su
frecuencia fundamental. ¿Cuál de
las siguientes afirmaciones sobre la
nueva onda estacionaria
fundamental comparada con la
anterior es correcta?
a) La velocidad de onda aumenta y la
longitud de onda disminuye
b) La velocidad de onda aumenta y la
frecuencia aumenta
c) La velocidad de onda disminuye y la
frecuencia aumenta
d) La velocidad de onda disminuye y la
frecuencia disminuye
4. Existe una onda estacionaria en
una cuerda fijada en ambos
extremos. En un determinado
instante de tiempo, la cuerda está
como se indica. Dos puntos de la
cuerda se identifican por P y
Q. ¿Qué punto alcanzará primero la
posición de equilibrio (línea
horizontal)?

19. ONDAS ESTACIONARIAS EN
TUBOS
19
 Tubo Abierto en ambos
extremos
Una onda estacionaria puede
producirse en una columna de
aire dentro de un instrumento
en forma de tubo (órgano de
iglesia). Aquí las oscilaciones
son longitudinales - paralelas al
tubo, pero además pueden
ilustrarse con un gráfico que
muestra el desplazamiento de
las moléculas de aire de su
posición de equilibrio como una
función del lugar en el tubo
Se demuestra, igual que en el caso
de las cuerdas que:
fn = n(v/2L) = nf1, n = 1,2,3,...
 Por ejemplo al soplar con cierto
ángulo en tubos de PVC, se
puede obtener resonancia en los
diversos armónicos:

20. ONDAS ESTACIONARIAS EN TUBOS
20
 Tubos abierto en un extremo y
cerrado en el otro
Ahora la situación será
diferente.
Se demuestra que:
fn = n(v/4L) = nf1, n = 1, 3, 5,...
Por ejemplo cuando se produce
resonancia soplando en una
tapa de lapicero:

21. EJERCICIOS
21
1. Dos columnas de aire son
idénticas excepto que una de
ellas está en un tubo abierto en
ambos extremos, mientras que
la otra está en uno cerrado en
un extremo. Cuando oscilan a
su frecuencia fundamental,
¿Cuál de las siguiente
cantidades es igual para la
onda sonora asociada con cada
columna?
a) Longitud de onda.
b) Frecuencia.
c) Velocidad de onda.
d) Número de antinodos de
desplazamiento.
2. Un tubo de órgano de 1 m de
longitud está abierto en un
extremo y cerrado en el otro.
Ignorando los efectos de los
extremos, ¿Cuál es la longitud
de onda de su nota
(armónico)fundamental?
3. Un tubo de órgano de 1,00 m de
longitud está abierto en un
extremo y cerrado en el otro. Si
la frecuencia fundamental del
tubo es f = 440 Hz, ¿Cuál será
la frecuencia y la longitud de
onda de su tercer armónico?
Considere que la rapidez del
sonido en el tubo es de 345 m/s.