1. BAB 1
HIMPUNAN
Definisi
Himpunan adalah kumpulan benda-benda dan unsur-unsur
yang telah didefinisikan dengan jelas dan juga memiliki
sifat keterikatan tertentu.
Mengenal lambang himpunan.
Suatu himpunan dituliskan sebagai berikut :
a. Nama himpunan ditulis dengan huruf kapital.
b. Penulisan himpunan menggunakan tanda 2 kurung
kurawal dan dipisahkan dengan tanda koma
c. Himpunan yang anggotanya tak berhingga atau tak
berlanjut dinyatakan dengan 3 titik
Keanggotaan himpunan dinyatakan dengan lambang “n”
Bentuk himpunan
a. Kata-kata
Suatu himpunan dinyatakan dalam bentuk kalimat tidak
menggunakan lambing atau menuliskan syarat-syarat
keanggotaannya. Contoh: Himpunan bilangan asli
kurang dari 7.
b. Dengan mendaftar (metode tabulasi / roster)
Dengan metode ini anggota himpunan yang dinyatakan
dengan metode mendaftar disebutkan satu persatu.
Contoh: A = {1, 3, 5, 7}
1

2. Menyatakan himpunan 4 bilangan ganjil pertama secara
tabulasi.
A = {2, 4, 6, …} Metode ini digunakan untuk
menyatakan himpunan tak berhingga yang jumlah
anggotanya sangat banyak.
c. Notasi pembentuk himpunan (metode bersyarat / rule)
Cara ini mirip metode deskripsi namun pada himpunan
dinyatakan dengan notasi pembentuk himpunan.
Anggotanya dilambangkan dengan huruf (peubah)
kemudian diikuti dengan sebuah garis syarat
kanggotaan himpunan tersebut.
Bentuk umum :
{ x | …, x є … }
Contoh:
A = { x | x < 10, x є A }
Dibaca: A adalah himpunan x dengan x kurang dari
sepuluhdan x anggota bilangan asli (A).
Macam-macam himpunan
a. Himpunan berhingga
Himpunan yang himpunan jumlah anggotanya bisa
dihitung. Contoh :
A = {bilangan prima kurang dari sepuluh}
A = { 2, 3, 5, 7 }
b. Himpunan tak berhingga
Himpunan yang jumlah anggotanya tidak bisa dihitung
atau tidak terbatas.
B = { bilangan asli}
B = { 1, 2, 3, 4, … }
2

3. c. Himpunan kosong
Himpunan yang tidak memiliki anggota.
Contoh :
C = { bilangan asli negative }
C={}
d. Himpunan semesta
Himpunan dari semua objek yang sedang dibicarakan,
himpunan ini biasanya ditulis dengan symbol S.
Contoh :
D = { 1, 3, 5 }
Maka himpunan semestanya bisa berupa :
S = { bilangan asli }, S = {bilangan ganjil}, dsb.
i. Diagram venn
Menggunakan persegi panjang untuk menyatakan
himpunan semesta S.
ii. Himpunan bagian ( )
Contoh :
Jika S = { P,A,B }, P = { A,B }, dan B = {A }. Kita
dapat menuliskan A  B  P  S.
iii. Irisan (intersection)
Ialah anggota himpunan yang menjadi anggota
himpunan lain. Daerah irisan adalah daerah yang
berpotongan di antara dua himpunan.
3

4. Operasi pada himpunan
a. Komplemen
Ac = A komplemen
(Ac)c = A
b. Irisan
Contoh :
A = { 1, 2, 3, 4, 5 }
B = { 2, 3, 5, 7, 9 }
A ∩ B = { 2, 3, 5 }
c. Gabungan
Contoh :
A = { 2, 4, 6 }
B = { 4, 6, 8 }
A ∪ B = { 2, 4, 6, 8 }
Sifat-sifat pada himpunan
1. A∩B =B∩A
2. A∪B=B∪A
3. (Ac)c = A
4. A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C
5. A ∪ (B U C) = (A U B) U C
6. A ∩ (B U C) = (A ∩ B) U (A ∩ C)
7. A U (B ∩ C) = (A U B) ∩ (A U C)
8. (A ∩ B)c = Ac ∪ Bc
9. (A ∪ B)c = Ac ∩ Bc
10. n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A∩ B)
4

5. Diagram Venn
Hal-hal yang perlu diperhatikan dalam membuat Diagram
Venn:
 Himpunan semesta biasanya digambarkan dengan
bentuk persegi panjang.
 Setiap himpunan lain yang sedang dibicarakan
digambarkan dengan lingkaran atau kurva tertutup
sederhana.
 Setiap anggota masing-masing himpunan digambarkan
dengan noktah atau titik.
 Jika banyak anggota himpunannya tak berhingga, maka
masing-masing anggota himpunan tidak perlu
digambarkan dengan suatu titik.
Contoh: Jika diketahui himpunan semesta S = {a, b, c, d, e,
f, g} dan A = {b, d, f, g}, maka diagram Venn himpunan S
dan A adalah
S A
.a .
.c .b .f .e
.d .g
5

6. BAB 2
BILANGAN
Bilangan asli
yaitu himpunan bilangan positif yang bukan nol
{1, 2, 3, 4, ...}
Bilangan cacah
adalah himpunan bilangan bulat yang tidak negatif, yaitu
{0, 1, 2, 3 ...}. Dengan kata lain himpunan bilangan asli
ditambah 0. Jadi, bilangan cacah harus bertanda positif.
Bilangan bulat
terdiri dari bilangan cacah (0, 1, 2, ...) dan negatifnya (-1, -
2, -3, ...; -0 adalah sama dengan 0 dan tidak dimasukkan
lagi secara terpisah). Bilangan bulat dapat dituliskan tanpa
komponen desimal atau pecahan.
Jika a, b dan c adalah bilangan bulat, maka penjumlahan
bilangan bulat memenuhi sifat :
a. Tertutup : a+b adalah bilangan bulat
b. Komutatif : a+b = b+a
c. Asosiatif : (a+b)+c = a+(b+c)
d. 0 adalah unsur identitas penjumlahan yang memenuhi
a+0 = 0+a = a
e. –a adalah unsur invers penjumlahan yang memenuhi
a+(-a) = (-a)+a = 0
6

7. Jika a, b dan c adalah bilangan bulat, maka perkalian
bilangan bulat memenuhi sifat :
a. Tertutup : a× b adalah bilangan bulat
b. Komutatif : a × b = b × a
c. Asosiatif : (a×b)×c = a×(b×c)
d. 1 adalah unsur identitas perkalian yang memenuhi a×0
= 0×a = 0
e. JIka a≠0, maka a-1=1/a adalah unsur invers perkalian
yang memenuhi a×a-1 = a-1×a = 1
Operasi penjumlahan dan perkalian bilangan bulat
memenuhi sifat distributif yaitu
a×(b+c) = a×b+a×c
Bilangan prima
adalah bilangan asli yang lebih besar dari 1, yang faktor
pembaginya adalah 1 dan bilangan itu sendiri. 2 dan 3
adalah bilangan prima. Sepuluh bilangan prima yang
pertama adalah 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 dan 29. Jika
suatu bilangan yang lebih besar dari satu bukan bilangan
prima, maka bilangan itu disebut bilangan komposit.
Bilangan riil/Bilangan real
menyatakan bilangan yang bisa dituliskan dalam bentuk
desimal, seperti 2,4871773339… atau 3.25678.
Bilangan real meliputi bilangan rasional, dan bilangan
irasional
7

8. Bilangan rasional adalah bilangan real yang dapat
dinyatakan dalam bentuk a/b dengan a,b: adalah bilangan
bulat dan b≠0. Contohnya 42 dan −23/129.
Bilangan irasional adalah bilangan real selain rasional
seperti π (2,34…) dan √2.
Bilangan imajiner
menyatakan bilangan selain bilangan real, seperti √−1.
√−1 sering disimbolkan menjadi “ ”. Misal, 3√−1 = 3 .
8

9. BAB 3
ALJABAR
Mengalikan bentuk aljabar, contoh :
3 x a = 3a
a x a = a2
a2 x a3 = (a x a) x (a x a x a) = a5 2a3 x 4a2 = 2 x 4 x a3 x a2
= 8a5
Penjumlahan dan pengurangan (khusus
pada suku sejenis = suku dengan variabel
sama), contoh :
a + a = 2a
2a – 3a = (2 – 3)a = -1a
2a + 2b + 4a = 6a + 2b
2a2 + 3a3 – 5a2 = -3a2 + 3a3
Perkalian pada bentuk aljabar dengan
suku lebih dari satu, contoh :
a x b = ab
a x -b = -ab
-a x b = -ab
-a x –b = ab
a x a = a2
a x ab = a2b
b x ab = ab2
a2b x ab3 = a3b4
a(b + c) = ab + ac
a(b – c) = ab – ac
(a + b)(c + d) = a(c + d) + b(c + d) = ac + ad + bc + bd
9

10. Pembagian pada bentuk aljabar, contoh :
a5 : a2 = a3
8a4 : 4a2 = (8 : 4)(a4 : a2) = 2a2
Pengkuadratan bentuk aljabar, contoh :
(3a)2 = (32)(a2) = 9a2
(2a4b3)2 = (22)(a4)2(b3)2 = 4a8b6
(a + b)2= (a + b)(a + b) = a(a + b) + b(a + b) = a2 + ab + ab
+ b2 = a2 + 2ab + b2
(a – b)2 = (a – b)(a – b) = a(a – b) + b(a – b) =a2 – ab - ab –
b2 = a2 – 2ab – b2
10

11. BAB 4
ARITMATIKA SOSIAL
Istilah-istilah dalam perdagangan
1. Harga pembelian
Harga pembelian adalah harga barang dari pabrik atau
grosir atau tempat lainnya.
Harga pembelian sering kali disebut modal. Dalam
situasi tertentu, modal adalah harga pembelian ditambah
dengan ongkos atau biaya lainnya.
2. Harga penjualan
Harga penjualan adalah harga barang yang ditetapkan oleh
pedagang kepada pembeli.
3. Untung
Untung adalah selisih antara harga penjualan dengan harga
pembelian jika harga penjualan lebih tinggi dari harga
pembelian.
Untung = harga penjualan – harga pembelian
4. Rugi
Rugi adalah selisih antara harga penjualan dengan harga
pembeklian jika harga penjualan lebih rendah dari harga
pembelian.
Rugi = harga pembelian – harga penjualan
Harga penjualan, harga pembelian, untung,
dan rugi
1. Menghitung harga penjualan
Harga penjualan dapat ditentukan dengan cara berikut:
11

12. a. Jika memperoleh untung, maka harga penjualan lebih
tinggi dari harga pembelian, sehingga:
Harga penjualan = harga pembelian + untung
b. Jika mengalami rugi, maka penjualan lebih rendah dari
harga pembelian, sehingga :
Harga penjualan = harga pembelian – rugi
2. Menghitung harga pembelian
Harga pembelian atau modal dapat ditentukan
dengan cara berikut.
a. Jika memperoleh untung, berarti harga pembelian lebih
murah dari harga penjualan, sehingga :
Harga pembelian = harga penjualan – untung
b. Jika mengalami rugi, berarti harga pembelian lebih
mahal dari harga penjualan, sehingga :
Harga pembelian = harga penjualan + rugi
3. Presentase Untung dan Rugi
Presentase untung atau rugi umumnya dibandingkan
terhadap harga pembelian atau modal, kecuali jika ada
keterangan lain.
Presentase untung = × %
Presentase rugi = × %
Untuk menentukan presentase untung atau rugi, terlebih
dahulu kita tentukan untung atau rugi dalam rupiah.
12

13. Hasil perhitungan presentase untung/rugi dalam satuan
akan sama dengan presentase untung/rugi seluruhnya.
Rabat (diskon), bruto, tara, dan neto
a. Rabat artinya potongan harga, atau lebih dikenal
dengan istilah diskon. Rabat umumnya dinyatakan
dalam persen.
Harga bersih = harga semula – rabat (diskon)
b. Bruto artinya berat kotor, yaitu berat tempat suatu
barang.
Contoh: Berat susu beserta kalengnya disebut bruto.
Berat beras beserta kalengnya disebut bruto.
c. Tara artinya potongna berat, yaitu berat tempat dari
suatu barang.
Contoh: Pada kemasan susu dalam kaleng, berat kaleng
disebut tara. Pada kemasan buah dalam dus, berat dus
disebut tara.
d. Neto adalah berat bersih, yaitu berat barangnya saja.
Contoh: Pada kemasan susu dalam kaleng, berat
susunya saja disebut neto.Pada kemasan buah dalam
dus, berat dusnya saja disebut neto.
Neto = bruto - tara
Harga bersih = neto x harga per satuan berat
Penggunaan persen dalam tabungan dan
koperasi
1. Bunga Tunggal
13

14. Besar bunga tabungan maupun pinjaman pada setiap bank
dinyatakan dalam persen.
Bunga bank 18% artinya 18% untuk jangka waktu 1 tahun.
Bunga 1 tahun = persen bunga x modal
Bunga b bulan = x persen bunga x modal
12
2. Bunga Harian
Bunga harian dapat dihitung dengan rumus berikut:
= × ×
Satu bulan dihitung 30 hari, dan satu tahun dihitung 360
hari. Hari pada saat menabung, bunganya belum dihitung.
Hari pada saat pengambilan tabungan, bunganya tidak
dihitung.
14

15. BAB 5
PERSAMAAN DAN
PERTIDAKSAMAAN LINEAR SATU
PEUBAH
Kalimat Matematika
Kalimat benar dan salah
Dalam matematika terdapat istilah pernyataan kalimat
benar dan kalimat salah.
Contoh:
1. Bilangan prima adalah bilangan ganjil, merupakan
kalimat salah, karena angka 2 adalah bilangan prima
yang genap.
2. Hasil kali 3 dan 4 sama dengan hasil kali 4 dan 3,
merupakan kalimat yang benar.
Kalimat terbuka
Kalimat terbuka adalah kalimat yang belum diketahui nilai
kebenarannya baik itu benar ataupun salah.
Contoh:
x + 7 = 15 adalah kalimat terbuka. Jika x diganti dengan 8,
maka kalimat tersebut bernilai benar.
Himpunan penyelesaian kalimat terbuka
Setiap kalimat terbuka memiliki peubah (variabel) yang
jika diganti dengan salah satu atau beberapa bilangan
menjadi bernilai benar. Kumpulan angka inilah yang
disebut HIMPUNAN PENYELESAIAN. Namun terkadang
15

16. ada kalimat terbuka yang tidak memiliki himpunan
penyelesaian dan biasa disebut HIMPUNAN KOSONG.
Persamaan linear dengan satu peubah
Pengertian: kalimat terbuka yang memiliki hubungan sama
dengan dan peubahnya berpangkat satu.
Contoh dengan peubah x:
x + 3 = 5; Penyelesaian: x = 2
Contoh dengan peubah m:
2m – 4 = 10; Penyelesaian: m = 7
Menyelesaikan Persamaan Linear dapat dilakukan dengan
beberapa cara yaitu:
a. Substitusi, adalah mengganti peubah suatu persamaan
dengan bilangan anggota semestanya.
b. Menambah atau mengurangi kedua ruas dengan
bilangan sama. Dua persamaan dikatakan ekuivalen jika
persamaan itu memiliki himpunan penyelesaian yang
sama. Notasi untuk ekuivalen adalah ↔. Suatu
persamaan tetap ekuivalen jika kedua ruas ditambah
atau dikurangi dengan bilangan yang sama.
c. Menyelesaikan persamaan dengan mengalikan atau
membagi kedua ruas dengan bilangan yang sama. Suatu
persamaan tetap ekuivalen jika kedua ruas dikalikan
atau dibagi dengan bilangan yang sama.
Pertidaksamaan linear dengan satu peubah
Pengertian: dalam pertidaksamaan dikenal istilah “lebih
dari” (>) atau “kurang dari” (<) sehingga untuk sembarang
bilangan a dan b selalu berlaku hubungan:
16

17. a > b (a lebih dari b)
a < b (a kurang dari b)
a = b (a sama dengan b)
bentuk bentuk seperti 2x < 6, x + 2 > 10 adalah merupakan
pertidaksamaan linear. Peubah atau variabelnya yaitu x
berpangkat 1.
Menyelesaikan Pertidaksamaan Linear dapat dengan
beberapa cara yaitu:
d. Menambah atau mengurangi dengan bilangan yang
sama di kedua ruas
e. Mengalikan kedua ruas dengan bilangan positif atau
negative
f. Untuk pertidaksamaan berbentuk pecahan, diubah agar
tidak memuat pecahan. Dapat dengan cara mengalikan
kedua ruas dengan KPK dari penyebut-penyebutnya.
g. Himpunan penyelesaian dapat ditunjukkan pada garis
bilangan yang disebut grafik himpunan penyelesaian.
17

18. BAB 6
PERBANDINGAN
Perbandingan senilai
Perhatikan tabel di bawah ini!
Permen (buah) Harga (Rp)
2 400
5 1000
8 1600
Banyak permen dan harga merupakan contoh perbandingan
senilai. Semakin banyak jumlah permen semakin besar
harga yang harus dibayarkan.
Contoh soal perbandingan:
1. Dalam sebuah kelas terdapat 40 siswa. jika banyak
siswa laki-laki 15 orang maka perbandingan jumlah
siswa wanita dengan seluruh siswa di kelas adalah…
penyelesaian:
jumlah siswa wanita = 40 – 15 = 25 siswa
∴ jumlah siswa wanita : jumlah seluruh siswa = 25 : 40
=5:8
2. Jika 5 dolar Amerika sama dengan Rp. 47.000,- maka
Rp. 28.200 = …. US $
penyelesaian:
misal x = Rp. 28.200 dalam US dolar
18

19. 28200 5 ∙ 28200
= ↔ = =3
5 47000 47000
∴ Rp. 28.200 = 3 US $
Perbandingan berbalik nilai
Perhatikan tabel di bawah ini!
Banyak Pekerja (orang) Lama Waktu (hari)
12 25
15 20
50 6
Banyak pekerja dan lama waktu pengerjaannya merupakan
contoh perbandingan berbalik nilai. Semakin banyak
pekerja semakin pendek waktu pengerjaannya selesai.
Contoh soal perbandingan:
Dengan jumlah pekerja sebanyak 12 orang sebuah proyek
dapat menyelesaikan selama 15 hari. Agar proyek dapat
selesai selama 10 hari, maka banyak pekerja adalah…
penyelesaian:
misal x = banyak pekerja untuk 10 hari
15 12 ∙ 15
= ↔ = = 18
12 10 10
∴ Banyak pekerja yang diperlukan untuk 10 hari = 18
orang
19

20. BAB 7
SUDUT DAN PETA MATA ANGIN
Sudut
Sudut adalah gabungan dua buah sinar yang titik
pangkalnya sama. Sudut ABC (ditulis ∠ ) adalah
gabungan ⃗ dan ⃗ ( ⃗ ∪ ⃗ ) seperti terlihat pada
gambar.
⃗ dan ⃗ disebut pula kaki sudut, sedangkan titik B
disebut titik sudut. ⃗ dan ⃗ masing-masing merupakan
himpunan titik-titik. Gabungan keduanya yaitu ∠
merupakan himpunan titik-titik pula.
20

21. Ukuran sudut
Salah satu satuan ukuran sudut menggunakan satuan derajat
dimana satu derajat ditulis 1° sama dengan 1/360 dari satu
putaran penuh. Ukuran sudut adalah anggota himpunan
bilangan bukan himpunan titik. Oleh karena itu sudut dan
ukuran sudut merupakan dua konsep yang berbeda tetapi
saling berkaitan. Ukuran ∠ yang biasa digunakan
adalah jarak putar yang terkecil.
Peta mata angin
Mata Angin adalah petunjuk arah yang terdiri dari delapan
penjuru yaitu :
1. Utara : terletak diantara barat laut dan timur laut
2. Timur Laut : terletak diantara utara dan timur
3. Timur : terletak antara timur laut dan tenggara
4. Tenggara : terletak antara timur dan selatan
5. Selatan : terletak antara tenggara dan barat daya
6. Barat Daya : terletak antara selatan dan barat
7. Barat : terletak antara barat daya dan barat laut
8. Barat Laut : terletak antara barat dan utara
Besar sudut terkecil antara dua mata angin yang berdekatan
adalah:
1. Jika peta mata angin dibagi menjadi 8 arah mata angin
maka besar sudut terkecil yang dibentuknya adalah 450
2. Jika peta mata angin dibagi menjadi 16 arah peta mata
angin maka besar sudut terkecil yang dibentuk adalah
22,50
21

22. Jurusan tiga angka
Sebagai pedoman untuk jurusan tiga angka adalah arah
Utara yang dinyatakan dengan 0000 . Untuk menyatakan
besar sudut jurusan tiga angka menggunakan aturan sebagai
berikut:
1. Besar sudut dihitung dimulai dari arah Utara, kemudian
berputar searah dengan perputaran jarum jam.
2. Besar sudutnya dinyatakan dengan tiga angka, misalnya
besar suatu sudut 800 maka jurusan tiga angkanya
adalah 0800
3. Besar sudutnya harus kurang dari 3600, sebab 3600 sama
dengan arah Utara yang jurusan tiga angkanya 0000
Jika jurusan tiga angka letak kota P dari Q diketahui a0,
maka jurusan tiga angka letak kota Q dari kota P, dapat
22

23. ditentukan tanpa membuat gambar atau sketsa, yaitu
dengan cara:
1) Jika a < 1800 , maka jurusan tiga angka letak kota Q dari
P adalah (a + 180)0
2) Jika a > 1800, maka jurusan tiga angka letak kota Q dari
P adalah (a - 180)0
Contoh soal:
1) Tentukan Jurusan tiga angka untuk arah Timur Laut!
Penyelesaian:
Jurusan tiga angka untuk arah Timur Laut adalah 0450
2) jurusan tiga angka kota A dari kota B adalah 0850,
tentukan jurusan tiga angka kota B dari kota A!
Penyelesaian:
Jika jurusan tiga angka kota A dari B = 0850 maka Jurusan
tiga angka kota B dari kota A = 0850 + 1800 = 2650
23

24. 3) Jurusan tiga angka kota P dari kota Q adalah 2000,
tentukan Jurusan tiga angka kota Q dari kota P!
Penyelesaian:
Jika Jurusan tiga angka kota P dari kota Q = 2000 maka
jurusan tiga angka kota Q dari P = 2000 - 1800 = 0200
24

25. BAB 8
RELASI DAN FUNGSI
Pengertian Relasi
Contoh :
Pak Teguh mempunyai tiga orang anak, yaitu Doni, Pipit,
Dimas. Masing-masing anak mempunyai kegemaran
berolahraga yang berbeda-beda. Doni gemar berolah raga
voly dan renang. Pipit gemar berolah raga voly, Dimas
gemar berolah raga basket dan sepak bola.
Doni dan Pipit mempunyai kegemaran berolah raga yang
sama yaitu voly. Jika anak-anak Pak Teguh dikelompokkan
menjadi satu dalam himpunan A, maka anggota dari
himpunan A adalah Doni, Pipit, Dimas. Himpunan A
tersebut kita tuliskan sebagai A = {Doni, Pipit, Dimas}.
Sedangkan jenis olah raga yang digemari anak-anak Pak
Teguh dapat dikelompokan dalam himpunan B. Himpunan
B dituliskan B = {Voly, Renang, Basket, Sepak bola}.
Terdapat hubungan antara himpunan A dan himpunan B.
Hubungan tersebut berkait dengan gemar berolah raga dari
anak-anak pak Teguh yang disebut “relasi”.
Relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah aturan
yang memasangkan anggota-anggota himpunan A
dengan anggota-anggota himpunan B.
25

26. Cara menyatakan suatu relasi
Suatu relasi dapat dinyatakan dengan tiga cara, yaitu
dengan diagram panah, diagram Cartesius, dan himpunan
pasangan berurutan. Misal:
P = {Dini, Arif, Alyn, Rizky},
Q = {Matematika, IPS, Kesenian, IPA, bahasa Inggris},
dan “pelajaran yang disukai” adalah relasi yang
menghubungkan himpunan P ke himpunan Q
a. Dengan Diagram Panah
P Q
b. Dengan Diagram Cartesius
26

27. c. Dengan Himpunan Pasangan Berurutan
Relasi "pelajaran yang disukai" yang menghubungkan
himpunan P ke himpunan Q dapat dinyatakan dengan
himpunan pasangan berurutan sebagai berikut:
{(Dini, Matematika); (Dini, IPA);
(Arif, Matematika); (Arif, Inggris);
(Alyn, Matematika); (Alyn, IPA); (Alyn, Inggris);
(Rizky, IPS); (Rizky, Seni)}
Fungsi atau Pemetaan
Contoh :
Perhatikan diagram panah dibawah ini!
Setiap anggota A di pasangkan dengan tepat satu (hanya
satu) anggota B. Relasi seperti itu dinamakan fungsi atau
pemetaan
27

28. Fungsi (pemetaan) dari A ke B adalah relasi khusus yang
memasangkan setiap anggota A dengan tepat satu
anggota B.
A disebut dengan Domain (daerah asal)
A = {1, 3, 5, 7}
B disebut Kodomain (daerah kawan)
B = {0, 2, 4, 6}, sedangkan
Daerah hasil (range) = {0, 2, 6}
Banyak Fungsi (Pemetaan)
Jika banyak anggota himpunan A adalah n(A) = a dan
banyak anggota himpunan B adalah n(B) = b, maka:
i. Banyak fungsi yang mungkin dari A ke B = ba
Contoh:
Banyak fungsi dari himpunan A={1, 2}
ke B={a, b, c} adalah 32 = 9
ii. Banyak fungsi yang mungkin dari B ke A = ab
Contoh:
Banyak fungsi dari himpunan
B={a, b, c} ke A={1, 2} adalah 23 = 8
Korespondensi satu-satu
Contoh :
Perhatikan diagram
panah di samping!
Himpunan P dikatakan
berkoresponsi satu-satu
dengan himpunan Q jika
28

29. setiap anggota P dipasangkan dengan satu anggota
himpunan Q, dan setiap anggota Q dipasangkan dengan
satu anggota himpunan P
Dengan demikian, pada korespondensi satu-satu dari
himpunan P ke himpunan Q, banyak anggota himpunan P
dan himpunan Q haruslah "sama".
Banyak Korespondensi Satu-satu
Jika n(P) = n(Q) = n, maka banyak semua korespondensi
satu-satu yang mungkin antara himpunan P dan himpunan
Q adalah:
n × (n – 1) × (n – 2) × … × 3 × 2 × 1
atau
1 × 2 × 3 × … × (n – 2) × (n – 1) × n
Contoh:
n(P) = n(Q) = 4
maka banyak korespondensi satu-satu yang mungkin 4 × 3
× 2 × 1 = 244
29

30. BAB 9
TEOREMA PHYTAGORAS
Teorema Phytagoras menyatakan bahwa pada suatu
segitiga siku-siku luas persegi pada sisi miring sama
dengan jumlah luas persegi pada sisi lainnya.
Pada setiap segitiga siku-siku sisi-sisinya terdiri atas sisi
siku-siku dan sisi miring (hipotenusa). Sisi a terletak
dihadapan sudut A. Sisi b terletak di hadapan sudut B. Sisi
b terletak di hadapan sudut B.
C
b a
= +
= −
= −
A c B
Menentukan jenis segitiga
1. Jika < + maka ABC adalah segitga lancip
di A.
2. Jika > + maka ABC adalah segitga tumpul
di A.
3. Jika = + maka ABC adalah segitga siku-siku
di B.
30

31. Triple Phytagoras
Ukuran sisi-sisi segitiga siku-siku sering dinyatakan dalam
tiga bilangan asli. Tiga itu disebut triple phytagoras.
contoh:
Panjang sisi suatu segitiga siku-siku adalah 3,4 dan 5
satuan.
bilangan tersebut disebut Triple phytagoras sebab
5 =3 +4
31

32. BAB 10
PERSAMAAN GARIS LURUS
Persamaan garis lurus adalah persamaan matematika yang
jika digambarkan dalam bidang koordinat Cartesius akan
membentuk sebuah garis lurus.
Dalam koordinat Cartesius, setiap titik dinyatakan dengan
pasangan terurut (x, y) di mana koordinat x disebut absis
dan koordinat y disebut ordinat.
Gradien adalah tingkat kemiringan garis. (perbandingan
antara komponen-y (ordinat dan komponen-x (absis)
antara 2 titik pada dua garis tsb. Gradien dilambangkan
dengan m.
 Gradien garis yang melalui dua titik dicari dengan
rumus:
−
=
−
 Gradien garis yang sejajar dengan sumbu-x adalah nol.
 Garis yang sejajar dengan sumbu-y tidak mempunyai
gradien.
 Dua garis yang saling sejajar memiliki gradien yang
sama.
 Hasil kali gradien garis yang saling tegak lurus adalah
(–1).
32

33. Bentuk persamaan garis lurus
Bentuk umum
+ + =
Bentuk lainnya
=
= +
 Rumus untuk menentukan persamaan garis dari gradien
dan titik koordinat, yaitu:
− = ( − )
 Rumus untuk menentukan persamaan garis dari dua titik
koordinat, yaitu:
− −
=
− −
33

34. BAB 11
PERSAMAAN LINEAR DUA PEUBAH
Sistem persamaan linear dengan dua peubah adalah suatu
sistem persamaan yang terdiri atas dua persamaan linear
atau lebih, yang masing-masing persamaan mempunyai dua
peubah.
Contoh:
Dua persamaan linear dengan dua peubah x dan y
= +2
= 2 +1
Untuk menentukan himpunan penyelesaian sistem
persamaan linear dengan dua peubah dapat dilakukan
dengan:
 Metode grafik,
 Metode substitusi, dan
 Metode eliminasi.
Metode grafik
Untuk menentukan himpunan penyelesaian sistem
persamaan linear dua peubah dengan menggunakan metode
grafik, kita harus mencari titik potong kedua persamaan
linear tersebut. Jadi, himpunan penyelesaian sistem
persamaan dengan dua peubah merupakan titik potong
grafik sistem persamaan tersebut.
Metode Substitusi
Substitusi berarti memasukkan atau menggantikan pada
tempatnya. Untuk menentukan penyelesaian sistem
34

35. persamaan dengan dua peubah dengan menggunakan
metode substitusi kita harus memasukkan atau
menggantikan x dan y pada kedua persamaan linear
tersebut.
Contoh:
Penyelesaian sistem persamaan:
= +2
=2 +1
dapat diselesaikan dengan metode substitusi sebagai
berikut:
= +2 +2 = 2 +1
=2 +1 −2 = 1−2
− = −1 =1
= +2 =1 = 1+2 = 3.
Jadi, harga x dan y yang memenuhi persamaan di atas
adalah = 1 dan = 3 atau himpunan penyelesaiannya
adalah {1,3}.
Metode Eliminasi
Eliminasi berarti menghilangkan salah satu peubah.
Untuk menentukan penyelesaian sistem persamaan dengan
dua peubah, dengan menggunakan metode eliminasi,
adalah dengan mengurang atau menambah persamaan yang
satu dengan yang lainnya sehingga salah satu peubah
hilang.
Contoh:
Penyelesaian sistem persamaan:
= +2
=2 +1
35

36. dapat diselesaikan dnegan metode eliminasi sebagai
berikut:
Agar salah satu peubah hilang maka dilakukan
pengurangan:
= +2
=2 +1
0 = − + 1 → peubah yang hilang adalah y.
=1
= + 2 dengan = 1 maka = 1 + 2 atau = 3
= 2 + 1 dengan = 1 maka = (2 × 1) + 1 atau
= 3.
Jadi, harga x dan y yang memenuhi sistem persamaan di
atas adalah = 1 dan = 3 atau himpunan
penyelesaiannya adalah {1,3}.
36

37. BAB 12
SUDUT GARIS SEJAJAR
Gambar Istilah Sifat
tolak belakang Besar sudutnya sama
dalam Besar sudutnya sama
bersebrangan
dalam sepihak jika kedua sudut
dijumlahkan
hasilnya sama
dengan 180°
luar Besar sudutnya sama
bersebrangan
luar sepihak jika kedua sudut
dijumlahkan
hasilnya sama
dengan 180°
37

38. BAB 13
PELUANG
Peluang atau kebolehjadian atau dikenal juga sebagai
probabilitas adalah cara untuk mengungkapkan
pengetahuan atau kepercayaan bahwa suatu kejadian akan
berlaku atau telah terjadi. Probabilitas suatu kejadian
adalah angka yang menunjukkan kemungkinan terjadinya
suatu kejadian. Nilainya di antara 0 dan 1. Kejadian yang
mempunyai nilai probabilitas 1 adalah kejadian yang pasti
terjadi atau sesuatu yang telah terjadi. Misalnya matahari
yang masih terbit di timur sampai sekarang. Sedangkan
suatu kejadian yang mempunyai nilai probabilitas 0 adalah
kejadian yang mustahil atau tidak mungkin terjadi.
Misalnya seekor kambing melahirkan seekor sapi.
Adapun materi peluang yang akan dibahas di antaranya:
1. Percobaan, ruang sampel, dan kejadian
2. Peluang suatu kejadian
3. Peluang percobaan kompleks
4. Peluang Kejadian Majemuk
Percobaan, ruang sampel, dan kejadian
Percobaan adalah: suatu kegiatan yang dapat diulang
dengan keadaan yang sama untuk menghasilkan sesuatu.
Ruang Sampel adalah : Himpunan dari semua hasil yang
mungkin dari suatu kejadian (percobaan)
Titik Sampel adalah : Anggota-anggota dari ruang sampel
38

39. Kejadian atau Peristiwa adalah himpunan bagian dari
ruang sampel.
Contoh soal:
Misalkan sebuah dadu bermata enam dilemparkan satu kali
maka tentukan: hasil yang mungkin muncul, ruang sampel,
titik sampel, banyaknya kejadian mata dadu ganjil,
banyaknya kejadian mata dadu kurang dari 3?
Jawab:
Hasil yang mungkin muncul adalah mata dadu 1, 2, 3, 4, 5,
atau 6
Ruang sampel atau S = {1,2,3,4,5,6}
Titik sampel sama dengan hasil yang mungkin yaitu mata
dadu 1,2,3,4,5 dan 6
Misalkan A adalah kejadian mata dadu ganjil
Kejadian A={1,3,5}
Banyaknya kejadian mata dadu ganjil adalah n(A) =3
Misalkan B adalah Kejadian mata dadu kurang dari 3
Kejadian B={1,2}
Banyaknya kejadian mata dadu kurang dari 3 adalah
n(B)=2
39

40. BAB 14
LINGKARAN
Unsur-unsur lingkaran:
 Titik pusat lingkaran (O) adalah titik yang terletak di
tengah-tengah lingkaran.
 Jari-jari (AO) adalah garis dari titik pusat lingkaran ke
lengkungan lingkaran.
 Diameter (AOB) adalah garis lurus yang
menghubungkan dua titik pada lingkaran dan melalui
titik pusat.
 Busur (BC) adalah garis lengkung yang terletak pada
lengkungan lingkaran dan menghubungkan dua titik
pada lingkaran tersebut.
 Tali busur (DGF) adalah garis lurus dalam lingkaran
yang menghubungkan dua titik pada lengkungan
lingkaran.
 Tembereng (DEF) adalah luas daerah dalam lingkaran
yang dibatasi oleh busur dan tali busur.
40

41.  Juring (OBC) adalah luas daerah dalam lingkaran yang
dibatasi oleh dua buah jari-jari dan sebuah busur yang
diapit oleh kedua jari-jari tersebut.
 Apotema (OG) adalah garis yang menghubungkan titik
pusat lingkaran dengan tali busur lingkaran tersebut.
Keliling lingkaran
= =
Luas lingkaran
=
= 3,14 atau 22/7
=
= −
Sudut Pusat dan Sudut Keliling
 Sudut pusat adalah sudut yang dibentuk oleh dua buah
jari-jari dan menghadap suatu busur lingkaran
 Sudut keliling adalah sudut pada lingkaran yang
dibentuk oleh dua buah tali busur.
 Semua sudut keliling yang menghadap busur yang sama
memiliki besar sudut yang sama.
 Jumlah sudut keliling yang saling berhadapan sama
dengan 180°.
 Jika sudut pusat dan sudut keliling lingkaran
menghadap busur yang sama maka besar sudut pusat
adalah dua kali dari besar sudut keliling.
41

42.  Hubungan antara sudut pusat, panjang busur, dan luas
juring.
= =
360°
 Besar sudut antara dua tali busur yang berpotongan di
dalam lingkaran adalah setengah kali dari jumlah sudut-
sudut pusat yang berada di depan dan di belakangnya.
1
T ∠ = × (∠ +∠ )
2
 Besar sudut antara dua tali busur yang berpotongan
diluar lingkaran adalah setengah kali dari selisih sudut
pusat yang terletak di antara kedua kakinya.
1
∠ = × (∠ −∠ )
2
T
42

43. Sudut-sudut segi-n beraturan
360°
Besar setiap sudut pusat segi − n beraturan =
Besar setiap sudut segi − n beraturan
360° ( − 2) × 180°
180° − =
Garis Singgung Lingkaran
Sifat-sifat garis singgung lingkaran
 Garis singgung lingkaran adalah garis yang memotong
lingkaran tepat di satu titik yang disebut titik singgung
lingkaran.
 Setiap garis singgung lingkaran selalu tegak lurus
terhadap jari-jari (diameter) yang melalui titik
singgungnya.
 Dari satu titik pada lingkaran hanya dapat dibuat satu
garis singgung.
 Dari satu titik di luar lingkaran dapat dibuat dua garis
singgung lingkaran.
Garis singgung persekutuan adalah garis yang tepat
menyinggung dua lingkaran.
Dari dua lingkaran yang saling lepas dapat dibuat dua garis
singgung persekutuan luar dan dua garis singgung
persekutuan dalam.
Panjang garis singgung persekutuan luar (l) dan garis
singgung persekutuan dalam (d) dapat dicari dengan:
43

44. = −( − )
= −( + )
di mana:
l = panjang garis singgung persekutuan luar
d = panjang garis singgung persekutuan dalam
k = jarak kedua titik pusat lingkaran
R = jari-jari lingkaran pertama
r = jari-jari lingkaran kedua
Hubungan antara lingkaran dan segitiga
Rumus luas segitiga yang lain
= ( − )( − )( − )
Panjang jari-jari lingkaran dalam segitiga adalah
=
Panjang jari-jari lingkaran luar segitiga adalah
=
Dengan
L = Luas
s = ½ keliling segitiga; a, b, c = panjang sisi-sisi segitiga
44

45. BAB 15
LOGARITMA
Definisi
Logaritma bilangan b dengan bilangan pokok a sama
dengan c yang memangkatkan a sehingga menjadi b.
a
log b = c ↔ ac = b ~ “mencari pangkat”
dengan
a = bilangan pokok (a > 0 dan a ≠ 1)
b = numerus (b > 0)
c = hasil logaritma
Dari pengertian logaritma dapat disimpulkan bahwa :
a
log a = 1 ; alog 1 = 0 ; alog an = n
Sifat-sifat logaritma
a
log bc = alogb + alogc
a
log bc = c alog b
a
log b/c = alog b -alog c Hubungan alog b/c = - a log b/c
a
log b = (clog b)/(clog a) Hubungan alog b = 1 / blog a
a
log b. blog c = a log c
a
log b = b
a
log b = c aplog bp = c  Hubungan : aqlog bp = alog bp/q
= p/q alog b
Keterangan:
1. Bila bilangan pokok suatu logaritma tidak diberikan,
maka maksudnya logaritma tersebut berbilangan pokok
= 10. [ log 7 maksudnya 10log 7 ]
2. lognx adalah cara penulisan untuk (logx)n
Bedakan dengan log xn = n log x
45

46. BAB 16
TRIGONOMETRI
Pengertian
Trigonometri terdiri dari sinus (sin), cosinus (cos), tangen
(tan), cotangen (cot), secan (sec) dan cosecan (cosec).
Trigonometri merupakan nilai perbandingan yang
didefinisikan pada koordinat kartesius atau segitiga siku-
siku.
Sinus
Sinus dalam matematika adalah
perbandingan sisi segitiga yang C
ada di depan sudut dengan sisi
miring (dengan catatan bahwa b a
segitiga itu adalah segitiga siku-
siku atau salah satu sudut segitiga
itu 90o). Perhatikan segitiga di
kanan; berdasarkan definisi sinus
di atas maka nilai sinus adalah A B
c
sin A = sin B =
Nilai sinus positif di kuadran I dan II dan negatif di kuadran
III dan IV.
Kosinus
Kosinus atau cosinus (simbol: ) dalam matematika
adalah perbandingan sisi segitiga yang terletak di sudut
dengan sisi miring (dengan catatan bahwa segitiga itu
46

47. adalah segitiga siku-siku atau salah satu sudut segitiga itu
90°).
Berdasarkan definisi kosinus di atas maka nilai kosinus
adalah
cos A = cos B =
Nilai kosinus positif di kuadran I dan IV dan negatif di
kuadran II dan III.
Tangen
Tangen (bahasa Belanda: tangens; lambang tg, tan) dalam
matematika adalah perbandingan sisi segitiga yang ada di
depan sudut dengan sisi segitiga yang terletak di sudut
(dengan catatan bahwa segitiga itu adalah segitiga siku-siku
atau salah satu sudut segitiga itu 90o). Perhatikan segitiga di
kanan; berdasarkan definisi tangen di atas maka nilai
tangen adalah
tan A = tan B =
Nilai tangen positif di kuadran I dan III dan negatif di
kuadran II dan IV.
Hubungan Nilai Tangen dengan Nilai Sinus dan Cosinus
tan A =
Sekan
Sekan (lambang: sec) dalam matematika adalah
perbandingan sisi miring segitiga dengan sisi yang terletak
pada sudut (dengan catatan bahwa segitiga itu adalah
segitiga siku-siku atau salah satu sudut segitiga itu 90o).
47

48. Perhatikan segitiga di kanan; berdasarkan definisi sekan di
atas maka nilai sekan adalah
sec A = sec B =
Hubungan sekan dengan kosinus:
sec A =
Kosekan
Kosekan (disimbolkan dengan cosec atau csc) dalam
matematika adalah perbandingan sisi miring segitiga
dengan sisi yang terletak di depan sudut (dengan catatan
bahwa segitiga itu adalah segitiga siku-siku atau salah satu
sudut segitiga itu 90o). Perhatikan segitiga di kanan;
berdasarkan definisi kosekan di atas maka nilai kosekan
adalah
csc A = csc B =
Hubungan kosekan dengan sinus:
csc A =
Kotangen
Kotangen (lambang: cot, cotg, atau cotan) dalam
matematika adalah perbandingan sisi segitiga yang terletak
pada sudut dengan sisi segitiga yang terletak di depan sudut
(dengan catatan bahwa segitiga itu adalah segitiga siku-siku
atau salah satu sudut segitiga itu 90o). Perhatikan segitiga di
kanan; berdasarkan definisi kotangen di atas maka nilai
kotangen adalah
48

49. cot A = cot B =
Hubungan kotangen dengan tangen:
cot A =
Nilai Trigonometri untuk Sudut-sudut Istimewa
Α 0° 30° 45° 60° 90°
Sin α 0 1
√ √
Cos α 1 0
√ √
Tan α 0 1 √ ∞
√
49

50. BAB 17
BARISAN DAN DERET
Pola barisan bilangan
Barisan adalah urutan bilangan dengan pola tertentu
1. Barisan bilangan genap: 0,2,4,6,8,…
2. Barisan bilangan ganjil : 1,3,5,7,9,…
3. Barisan bilangan segitiga : 1,3,6,10,…
4. Barisan bilangan persegi : 1,4,9,16,…
5. Barisan bilangan segitiga Pascal:
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1…dst .
Jumlah bilangan baris ke-n segitiga Pascal = 2( )
Menentukan rumus dari suatu barisan
aritmatika
Contoh: Suatu barisan 3,7,11,15,…
 Barisan tersebut mempunyai suku pertama = a = 3
 Barisan tersebut memiliki beda = b = 4
 Suku ke-n =
= +( − )
 Jumlah suku ke-n =
= ( + ( − ))
50

51. = ( + )
Menentukan rumus dari suatu barisan
geometri
Rumus suku ke-n
= . ( )
Suku Pertama = a
Rasio antara dua suku berurutan = r
Banyaknya suku = n
Jumlah n suku
( )
= , untuk r ≥
( )
= , untuk r ≤
51

52. BAB 18
BILANGAN BASIS
Basis Bilangan dengan Metode Napier
Metode Napier yang dimaksud dalam bagian ini adalah
suatu cara dari John Napier yang dilakukan untuk
menyelesaikan soal-soal basis. Dalam metode ini kita dapat
menempatkan semua angka pada tempat yang sudah
tersediakan sehingga siswa tidak perlu mengingat perkalian
angka yan sudah lewat, karena angka akan tercantum.
Penggunaan metode ini menurut penulis dapat membantu
dalam menyelesaikan soal-soal basis yaitu dalam operasi
basis. Jika sudah dipahami penggunaan metode ini maka
akan lebih mudah dan lebih teliti. Metode Napier akan kita
simak dalam penjelasan-penjelasan di bawah ini:
1) Penjumlahan
Contoh: (3184)10 + (1582)10 = …
Dalam penjumlahan, pengurangan, maupun perkalian
memakai metode Napier, kita harus neyediakan sabaris
kotak yang banyaknya sesuai dengan banyaknya salah satu
angka terbanyak dari angka yang dijumlahkan,
52

53. dikurangkan, maupun dikalikan, kemudian angka terebut
ditaruh di atas dan di bawah kotak.
Masing-masing kotak dibagi menjadi dua dari sudut kanan
atas se sudut kiri bawah. Bagian atas untuk menempatkan
jumlah bilangan dasar dan bagian bawah untuk
menempatkan sisa. Adapun untuk mengetahui hasilnya
diperoleh dengan cara menjumlahkan bilangan-bilangan
pada jalur-jalur yang miring ke kiri. Dengan penjelasan di
atas kita akan dapatkan hasil penjumlahan sebagai berikut:
Langkah-langkah dari penjumlahan di atas adalah:
a. 4 + 2 = 0 puluhan, sisa 6
b. 8 + 8 = 1 puluhan, sisa 6
c. 1 + 5 = 0 puluhan, sisa 6
d. 3 + 1 = 0 puluhan, sisa 4
Melihat penjumlahan pada jalur-jalur miring diperoleh:
(4766)10
Jadi, (3184)10 + (1582)10 = (4766)10
Untuk melihat kebenarannya kita dapat melakukan sebagai
berikut:
53

54. Pada pengurangan dan perkalian dengan metode Napier
juga sama halnya dengan penjumlahan, hanya tandanya
saja yang berbeda.
2) Pengurangan
Contoh: (3322)5-(442)5 =…
Langkah-langkah dari pengurangan di atas adalah:
a. 2-2 = 0 limaan, sisa 0
b. 2-4, agar dapat dilakukan pengurangan dipinjamkan 1
limaan dari angka depannya, sehingga menjadi 7 . 4,
pinjaman 1 ditulis (-1)
54

55. c. 3-4 menjadi 2-4 (telah dipinjam 1 limaan)
2-4, agar dapat dilakukan pengurangan dipinjamkan 1
limaan dari angka depannya, sehingga menjadi 7 . 4,
pinjaman 1 ditulis (-1)
d. 3-0 menjadi 2-0 (telah dipinjam 1 limaan)
2 -0 = 2
Dengan melihat penjumlahan pada jalur-jalur miring
diperoleh (1230)5
Jadi, (3322)5 . (442)5 = (1230)5
3) Perkalian
Contoh: (331)5 x (04)5 =…
Langkah-langkah dari perkalian di atas adalah:
a. 1 x 0 = 0 limaan, sisa 0 d. 1 x 4 = 0 limaan, sisa 4
b. 3 x 0 = 0 limaan, sisa 0 e. 3 x 4 = 2 limaan, sisa 2
c. 3 x 0 = 0 limaan, sisa 0 f. 3 x 4 = 2 limaan, sisa 2
Dengan melihat penjumlahan pada jalur-jalur miring
diperoleh (2424)5
55

56. Jadi, (331)5 x (04)5 = (2424)5
Basis Bilangan dengan Metode Biasa
Operasi pada basis tidak lain sama dengan operasi hitung
pada pelajaran matematika lainnya , yaitu meliputi
penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian.
Pada operasi basis mempunyai syarat tertentu yaitu apabila
kedua basis akan dioperasikan maka kedua basis tersebut
harus dalam satu basis (basis yang sama).
1) Penjumlahan
Penjumlahan basis bilangan dapat dilakukan dengan cara
penjumlahan bentuk panjang atau penjumlahan bersusun.
Tetapi dalam hak ini yang kita bahas adalah penjumlahan
bersusun. Perhatikan contoh:
Contoh: Jumlahkan 3425 dan 2335
Keterangan: 2 + 3 = 5 dikelompokkan menjadi (1 x 5)
8 x 5 dikelompokkan menjadi (1 x 52) + (3 x 5)
(3 x 52) + (2 x 5) ditambah (1 x 52) = (6 x 52),
dikelompokkan menjadi (1 x 53) + (1 x 52)
2) Pengurangan
Contoh: Kurangkan 425 dengan 235
56

57. Perhatikan: 2-3 tidak mungkin, ambil (1 x 5) dari (4
x 5)
Menjadi (1 x 5) + 2 = 7 satuan, 7-4 = 3
Karena dari (4 x 5) telah diambil (1 x 5), maka yang
dikurangkan
menjadi: (3 x 5)-(2 x 5) = (1 x 5)
Hasilnya: (1 x 5) + 4 atau 145
3) Perkalian
Untuk perkalian pada basis dua (biner) perlu kita
mengingat tabel (daftar) yang cukup sederhana sebagai
berikut:
57

58. Keterangan: 4x0=0
1x0=0
4 x 3 = 12 ( 2 basis basis limaan dan 2 satuan), jadi yang
ditulis 2
satuannya dan 2 basis limaannya ditambahkan ke angka
depannya
3 x 1 = 3 (ditambah 2 dari angka depannya, 3 + 2 = 5)
58

59. BAB 19
BANGUN DATAR
Persegi
Definisi
Bangun datar yang memiliki empat buah sisi sama panjang
Keliling = 4xs
Luas = s x s
s = panjang sisi
Persegi Panjang
Definisi
Bangun datar mirip bujur sangkar namun dua sisi yang
berhadapan lebih pendek atau lebih panjang dari dua sisi
yang lain. Dua sisi yang panjang disebut panjang,
sedangkan yang pendek disebut lebar.
Keliling = 2 ( )
Luas =
59

60. p = panjang
l = lebar
Segitiga
Definisi
Suatu bangun yang dibuat dari tiga sisi yang berupa garis
lurus dan tiga sudut
Keliling = a + b + c
Luas = 1/2 (a x t)
a, b, dan c adalah panjang ketiga sisi segitiga
Lingkaran
Definisi
himpunan semua titik pada bidang dalam jarak tertentu,
yang disebut jari-jari, dari suatu titik tertentu, yang disebut
pusat
Keliling = 2π x r
Luas = π x r x r
π = 3,14 atau 22/7
60

61. r = jari – jari lingkaran (½ diameter)
Trapesium
Definisi
Trapesium ialah suatu segi empat yang memiliki tepat
sepasang sisi yang sejajar
Keliling = a + b + c + d
Luas = ½ x jumlah sisi sejajar x t
a, b, c, dan d adalah sisi – sisi trapesium
t = tinggi trapesium
6.Layang - Layang
Definisi
Layang-layang adalah bangun datar yang mirip dengan
belah ketupat, namun sisinya berbeda
Keliling = 2 x (a + b)
a dan b adalah sisi- sisi pada layang - layang
Luas = ½ x d1 x d2
61

62. d = panjang diagonal layang - layang
Jajar Genjang
Definisi
Jajar genjang memiliki masing-masing 2 sisi yang sama
besar
Keliling = 2 x (a + b)
a dan b adalah sisi- sisi pada jajar genjang
Luas = a x t
t = tinggi jajar genjang
Belah Ketupat
Definisi
Jajar genjang yang dua sisinya yang sama panjang
Keliling = 4 x a
a = panjang sisi belah ketupat
Luas = ½ x d1 x d2
d = panjang diagonal belah ketupat
62

63. BAB 20
BANGUN RUANG
Kubus
Ciri-ciri Kubus :
1. Jumlah bidang sisi ada 6 buah yang berbentuk bujur
sangkar (ABCD, EFGH, ABFE, BCGF, CDHG, ADHE,)
2. Mempunyai 8 titik sudut (A, B, C, D, E, F, G, H)
3. Mempunyai 12 rusuk yang sama panjang (AB, CD, EF,
GH, AE, BF, CG, DH, AD, BC, EH, FG)
4. Semua sudutnya siku-siku
5. Mempunyai 4 diagonal ruang dan 12 diagonal bidang (4
diagonal ruang = garis AG, BH, CE, DF ) dan 12 diagonal
bidang = garis AC, BD, EG, FH, AH, DE, BG, CF, AF,
BE, CH, DG)
Volume (V) = s x s x s = s3
Luas (L) = 6 x s x s = 6 s2
63

64. Keliling = 12 x s
Panjang diagonal bidang = s2 + s2 = 2s2 = s2
Panjang diagonal ruang = s2 + s2 + s2 = 3s2 = s3
BALOK
Ciri-ciri Balok :
1. Alasnya berbentuk segi empat
2. Terdiri dari 12 rusuk
3. Mempunyai 6 bidang sisi
4. Memiliki 8 titik sudut
5. Seluruh sudutnya siku-siku
6. Mempunyai 4 diagonal ruang dan 12 diagonal bidang
Volume = p x l x t
Luas = 2 x {(pxl) + (pxt) + (lxt) }
Keliling = 4 x (p+ l + t)
Diagonal Ruang = p2 + l 2 + t 2
64

65. Prisma Tegak segitiga siku-siku
a b
t
p
Ciri-ciri :
1. Terdiri dari 6 titik sudut
2. Mempunyai 9 buah rusuk
3 Mempunyai 5 bidang sisi
Volume = Luas alas x tinggi
Luas alas = 1/2 x alas x tinggi
Luas = 2 x 1/2 (a x b) + (a x t) + (b x t) + (p x t)
Kerucut
Ciri-ciri :
1. Mempunyai 2 bidang sisi (1 bidang sisi lingkaran dan 1
bidang sisi selimut)
2. Mempunyai 2 rusuk dan 1 titik sudut
Luas selimut = π x r x s
Luas alas = π x r 2
65

66. Luas Permukaan kerucut = Luas alas + Luas Selimut
=πxr2+πxrxs
= π r (r + s)
Volume =1/3 x Luas alas x tinggi
= 1/3 x x r x r x t
Tabung
Ciri-ciri:
1. Mempunyai 2 rusuk
2. Alas dan atapnya berupa lingkaran
3. Mempunyai 3 bidang sisi ( 2 bidang sisi lingkaran atas
dan bawah, 1 bidang selimut)
Volume tabung = luas alas x tinggi = π x r 2 x t
Luas Selimut= 2 π x r x t
Luas Permukaan Tabung = 2 x luas alas + Luas selimut
tabung
=2xπxr2+2πxrxt
=2πr(r+t)
66

67. Limas
a. Limas Segitiga
Ciri-ciri :
1. Alasnya berbentuk segitiga
2. Mempunyai 4 bidang sisi (alas dan 3 sisi tegak)
3. Mempunyai 6 rusuk
4. Mempunyai 4 titik sudut
Luas alas =1/2 alas x tinggi
Volume =1/3 Luas alas x tinggi
Luas = Luas alas + (3 x luas tegak segitiga)
A
b. Limas Segiempat
t
E D
67

68. Ciri-ciri :
1. Alasnya berbentuk segiempat (BCDE)
2. Mempunyai 5 bidang sisi (BCDE, ABC, ACD,ABE,
ADE)
3. Mempunyai 5 titik sudut ( A, B,C,D,E)
4. Mempunyai 8 rusuk (AB, AC,AD,AE,BC,CD,DE,BE)
Volume = 1/3Luas alas x tinggi
Luas alas = p x l
Luas = Luas Alas + (4 x Luas tegak segitiga)
Bola
Ciri-ciri :
1. Hanya mempunyai 1 bidang sisi
2. Tidak mempunyai sudut dan tidak mempunyai rusuk
Volume = 4/3 π r 3
Luas = 4 π r 2
68