Matematicas i-14

Matemáticas I
Primer semestre

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5ª edición
Agosto de 2014
Impreso en México
Dirección y realización del proyecto
'U 3RUÀULR 5 7UHMR =R]DD
'LUHFWRU *HQHUDO GHO ROHJLR GH %DFKLOOHUHV
GHO (VWDGR GH XFDWiQ
Planeación y coordinación
3 .DULQH ÉYLOD 5RVDGR
'LUHFWRUD $FDGpPLFD
Metodología y estrategia didáctica
/LF /RUHQ]R (VFDODQWH 3pUH]
-HIH GHO 'HSDUWDPHQWR GH 6HUYLFLRV $FDGpPLFRV
Agradecimientos a:
/(0 *DEULHOD (VWKHU 0RQWHUR 0HGLQD
0 /LJLD 9HUyQLFD 0DQ]DQHUR 9i]TXH]
ISBN: 978-607-8378-91-3
Matemáticas I
Primer semestre

3
Matemáticas I
/$ 5()250$ ,17(*5$/ '( /$ ('8$,Ð1 0(',$ 683(5,25
La Educación Media Superior (EMS) en México enfrenta desafíos que podrán ser aten-
GLGRV VyOR VL HVWH QLYHO HGXFDWLYR VH GHVDUUROOD FRQ XQD LGHQWLGDG GHÀQLGD TXH SHUPLWD
a sus distintos actores avanzar ordenadamente hacia los objetivos propuestos. Es im-
portante saber que la EMS en el país está compuesta por una serie de subsistemas
que operan de manera independiente, sin correspondencia a un panorama general
DUWLFXODGR VLQ TXH H[LVWD VXÀFLHQWH FRPXQLFDFLyQ HQWUH HOORV (O UHWR HV HQFRQWUDU
los objetivos comunes de esos subsistemas para potenciar sus alcances y de esta
manera lograr entre todos reglas claras de operación. Es importante para el desarro-
llo de la EMS, que ustedes docentes y estudiantes conozcan los ejes que la regulan,
cómo opera y los retos que enfrenta en la actualidad para asumir a partir de dicho
conocimiento una actitud diferente que nos permita coadyuvar en este esfuerzo.
Los diferentes subsistemas de la EMS han realizado cambios en sus estruc-
WXUDV TXH SUHWHQGLHURQ GDU OD SHUWLQHQFLD HÀFDFLD FDOLGDG QHFHVDULDV SDUD TXH OD
población a la que atiende (jóvenes entre los 15 y 21 años aproximadamente) adqui-
riera conocimientos y habilidades que les permitan desarrollarse de manera satisfac-
toria, ya sea en sus estudios superiores o en el trabajo y, de manera más general, en
la vida. En esta misma línea, no se debe perder de vista el contexto social de la EMS:
de ella egresan individuos en edad de ejercer sus derechos y obligaciones como
ciudadanos, y como tales deben reunir, en adición a los conocimientos y habilidades
TXH GHÀQLUiQ VX GHVDUUROOR SHUVRQDO XQD VHULH GH DFWLWXGHV YDORUHV TXH WHQJDQ XQ
impacto positivo en su comunidad y en el país en su conjunto.
Es en este contexto que las autoridades educativas del país han propuesto
la Reforma Integral de la Educación Media Superior (RIEMS), cuyos objetivos consis-
ten en dar identidad, calidad, equidad y pertinencia a la EMS, a través de mecanismos
que permitan articular los diferentes actores en un Sistema Nacional de Bachillerato
dentro del cual se pueda garantizar además de lo anterior, tránsito de estudiantes,
LQWHUFDPELR GH H[SHULHQFLDV GH DSUHQGL]DMH VX FHUWLÀFDFLyQ
Lo anterior será posible a partir del denominado Marco Curricular Común
(MCC) de la RIEMS, el cual se desarrolla considerando el modelo de competencias, y
que incluye: Competencias Genéricas, Competencias Disciplinares (básicas y exten-
didas) y Competencias Profesionales (básicas y extendidas). Esta estructura permite
observar de manera clara, los componentes comunes entre los diversos subsistemas,
así como aquellos que son propios de cada uno y que, por consiguiente, los hace dis-
tintos. Lo anterior muestra cómo la RIEMS respeta la diversidad del nivel educativo
del país, pero hace posible el Sistema Nacional del Bachillerato, conformado por las
distintas instituciones y subsistemas que operan en nuestro país.
%DFKLOOHUDWR 8QLYHUVLWDULR %DFKLOOHUDWR *HQHUDO %DFKLOOHUDWRV 7HFQROyJLFRV
Competencias Genéricas
Competencias Disciplinares Básicas
Competencias Disciplinares extendidas dfsfsd
Competencias Profesionales Básicas Competencias Profesionales Básicas
Competencias Profesionales Extendidas Competencias Profesionales
Extendidas

4
Una competencia es la integración de habilidades, conocimientos y acti-
WXGHV HQ XQ FRQWH[WR HVSHFtÀFR (VWD HVWUXFWXUD UHRUGHQD HQULTXHFH ORV SODQHV
programas de estudio existentes y se adapta a sus objetivos; no busca reemplazarlos,
VLQR FRPSOHPHQWDUORV HVSHFLÀFDUORV 'HÀQH HVWiQGDUHV FRPSDUWLGRV TXH KDFHQ
PiV ÁH[LEOH SHUWLQHQWH HO FXUUtFXOR GH OD (06
Nuestro subsistema pertenece al conjunto de los que ofrecen bachillerato
JHQHUDO HO FXDO HQ OD GHÀQLFLyQ GHO 0 GH OD UHIRUPD LQWHJUDO GHEHUi GHVDUUROODU
en los estudiantes capacidades que les permitan adquirir competencias genéricas,
competencias disciplinares básicas y extendidas, además de competencias profesio-
nales básicas.
Las competencias genéricas son las que todos los bachilleres deben estar
HQ FDSDFLGDG GH GHVHPSHxDU ODV TXH OHV SHUPLWHQ FRPSUHQGHU HO PXQGR H LQÁXLU
en él; les capacitan para continuar aprendiendo de forma autónoma a lo largo de sus
vidas y para desarrollar relaciones armónicas con quienes les rodean, así como parti-
FLSDU HÀFD]PHQWH HQ ORV iPELWRV VRFLDO SURIHVLRQDO SROtWLFR 'DGD VX LPSRUWDQFLD
GLFKDV FRPSHWHQFLDV VH LGHQWLÀFDQ WDPELpQ FRPR FRPSHWHQFLDV FODYH FRQVWLWXHQ
HO SHUÀO GHO HJUHVDGR GHO 6LVWHPD 1DFLRQDO GH %DFKLOOHUDWR $ FRQWLQXDFLyQ VH OLVWDQ
las once competencias genéricas, agrupadas en sus categorías correspondientes:
6H DXWRGHWHUPLQD FXLGD GH Vt
1) Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en
cuenta los objetivos que persigue.
2) Es sensible al arte y participa en la apreciación e interpretación de sus
expresiones en distintos géneros.
3) Elige y practica estilos de vida saludables.
6H H[SUHVD FRPXQLFD
4) Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos
mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados.
3LHQVD FUtWLFD UHÁH[LYDPHQWH
5) Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de
métodos establecidos.
6) Sustenta una postura personal sobre temas de interés y relevancia gene-
UDO FRQVLGHUDQGR RWURV SXQWRV GH YLVWD GH PDQHUD FUtWLFD UHÁH[LYD
$SUHQGH GH IRUPD DXWyQRPD
7) Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida.
7UDEDMD HQ IRUPD FRODERUDWLYD
8) Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos.
3DUWLFLSD FRQ UHVSRQVDELOLGDG HQ OD VRFLHGDG
9) Participa con una conciencia cívica y ética en la vida de su comunidad,
región, México y el mundo.
10) Mantiene una actitud respetuosa hacia la interculturalidad y la diversidad
de creencias, valores, ideas y prácticas sociales.
11) Contribuye al desarrollo sustentable de manera crítica, con acciones
responsables.

5
Matemáticas I
Las competencias disciplinares son las nociones que expresan conocimien-
tos, habilidades y actitudes que consideran los mínimos necesarios de cada campo
GLVFLSOLQDU SDUD TXH ORV HVWXGLDQWHV VH GHVDUUROOHQ GH PDQHUD HÀFD] HQ GLIHUHQWHV
contextos y situaciones a lo largo de la vida. Las competencias disciplinares pueden
ser básicas o extendidas.
Las competencias disciplinares básicas procuran expresar las capacidades
que todos los estudiantes deben adquirir, independientemente del plan y programas
de estudio que cursen y la trayectoria académica o laboral que elijan al terminar sus
estudios de bachillerato. Las competencias disciplinares básicas dan sustento a la
IRUPDFLyQ GH ORV HVWXGLDQWHV HQ ODV FRPSHWHQFLDV JHQpULFDV TXH LQWHJUDQ HO SHUÀO
de egreso de la EMS y pueden aplicarse en distintos enfoques educativos, conteni-
dos y estructuras curriculares; se organizan en los campos disciplinares siguientes:
Matemáticas, Ciencias Experimentales (Física, Química, Biología y Ecología), Ciencias
Sociales y Humanidades (Historia, Sociología, Política, Economía, Administración,
Lógica, Ética, Filsofía y Estética) y Comunicación (Lectura y Expresión oral y escrita,
Literatura, Lengua extranjera e Informática).
Para la asignatura Matemáticas I se tienen las siguientes competencias dis-
ciplinares básicas:
1) Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de
procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para
la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales.
2) Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques.
3) Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos ma-
temáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales.
4) Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéri-
FRV JUiÀFRV DQDOtWLFRV R YDULDFLRQDOHV PHGLDQWH HO OHQJXDMH YHUEDO PD-
temático y el uso de las tecnologías de la información y la comunicación.
5) Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o
natural para determinar o estimar su comportamiento.
6) XDQWLÀFD UHSUHVHQWD FRQWUDVWD H[SHULPHQWDO R PDWHPiWLFDPHQWH ODV PDJ-
nitudes del espacio y las propiedades físicas de los objetos que lo rodean.
7) Elige un enfoque determinista o uno aleatorio para el estudio de un pro-
ceso o fenómeno, y argumenta su pertinencia.
8) ,QWHUSUHWD WDEODV JUiÀFDV PDSDV GLDJUDPDV WH[WRV FRQ VtPERORV PDWH-
PiWLFRV FLHQWtÀFRV
3URSyVLWR
La guía didáctica para Matemáticas I permitirá al estudiante utilizar distintos proce-
dimientos algebraicos para representar relaciones entre magnitudes constantes y va-
riables, y resolver problemas, por ejemplo, de variación proporcional como la deter-
minación de tiempos de trabajo en equipos de producción en línea, durabilidad de
raciones alimenticias en una población, ventajas comparativas de ofertas de productos
en almacenes; o bien, resolver problemas concernientes al uso óptimo de palancas
para mover objetos pesados, mezclas de productos para obtener otro con un precio
intermedio; obtención de costos unitarios de dos o tres mercancías; comparación del
ritmo de producción de artículos; obtención de valores mínimos o máximos en rela-
ción con la producción, el costo o la ganancia por la venta de algún producto, etcétera.

6
(VWUDWHJLD GLGiFWLFD
Para contribuir al desarrollo de las sesiones de aprendizaje en el aula, se estableció
una estrategia que permita integrar los elementos del programa de la asignatura,
con los materiales de apoyo y la actividad de docentes y estudiantes.
6H OH GHQRPLQD HVWUDWHJLD HQ HO VHQWLGR GH VX ÁH[LELOLGDG D TXH QR SUH-
tende ser un algoritmo que el docente deba seguir al pie de la letra, sino que debe
adaptarlo a las características propias del contexto en el que se desarrollan las sesio-
nes de aprendizaje.
La estrategia consta de siete pasos o etapas, mismas que deberán cono-
cerse en las primeras sesiones, para un mejor desarrollo de las mismas. Los pasos se
listan y describen a continuación:
‡ Dinamización y motivación.
‡ Contextualización.
‡ Problematización.
‡ Desarrollo de criterios: conocimientos, habilidades, actitudes y valores.
‡ Síntesis de resultados de aprendizaje.
‡ Realimentación.
‡ Evaluación de la competencia
'LQDPL]DFLyQ PRWLYDFLyQ
En el proceso de construcción del aprendizaje, es indispensable para el facilitador
tener evidencia de los aprendizajes previos que el alumno ha adquirido, y considerar
que es a partir de los mismos que se desarrollarán los nuevos.
RQWH[WXDOL]DFLyQ
En el desarrollo de competencias se hace necesario el aprendizaje contextual, es
GHFLU SUHVHQWDU HOHPHQWRV D WUDYpV GH HVFHQDULRV TXH OH VHDQ VLJQLÀFDWLYRV D ORV HV-
tudiantes. La contextualización deberá realizarse al inicio de cada bloque en los que
se organizan los contenidos en los programas de estudio.
3UREOHPDWL]DFLyQ
(Q HO PRGHOR GH FRPSHWHQFLDV TXH OD 5,(06 HVWDEOHFH HO FRQWHQLGR WRPD XQ VLJQLÀFD-
do primordial al acercarnos a él a través de su aplicación en la vida cotidiana. Por tanto,
la problematización debe estar presente a lo largo de toda la estrategia en el aula.
'HVDUUROOR GH FULWHULRV FRQRFLPLHQWRV KDELOLGDGHV DFWLWXGHV YDORUHV
Etapa en la cual el facilitador, a partir de la Base Orientadora de la Acción (BOA), faci-
lita el quehacer del estudiante en la adquisición de competencias. En esta etapa de la
estrategia, estudiantes y docentes deben estar pendientes del proceso de asimilación.
Galperin lo describe como un proceso de etapas y no como un fenómeno inmediato.
Las distintas etapas del proceso de asimilación que el alumno experi-
menta para desarrollar el aprendizaje son: la etapa de motivación, que debe fomen-

7
Matemáticas I
tarse y mantenerse durante todo el curso, recordemos que si un alumno no está
motivado, difícilmente aprenderá. La segunda etapa de este proceso es la formación
de la BOA, esta incluye la forma que el facilitador utiliza para que el alumno desa-
rrolle una competencia. La RIEMS sugiere la creatividad como método o forma de
HQVHxDQ]D SDUD FXPSOLU WDOHV ÀQHV
La BOA puede llevarse a cabo de varias formas, cubriendo tres aspectos
importantes: la orientación al alumno, que como ya dijimos debe estar precedida por
una buena carga de motivación, dicha orientación puede ser de dos tipos: completa,
en la que el maestro le proporciona al alumno todos los aspectos de un contenido; e
incompleta en la cual se dejan ciertos aspectos de un contenido para que el alumno
pueda descubrir o investigar por sí mismo. La generalidad es otro aspecto impor-
tante en la constitución del BOA; esta puede ser concreta o generalizada, es decir, el
docente puede mostrar hechos concretos relativos a algún contenido o puede abar-
car el mismo contenido pero por medio de hechos generales, que tengan alguna
relación con el concepto que se expone al alumno.
El modo de obtención es el último de los aspectos que incluye la BOA.
Este se presenta de dos formas: pre-elaborada e independiente. En la primera, el
alumno llega a obtener el aprendizaje de manera conjunta con el facilitador; y en la
segunda, los alumnos adquieren el conocimiento en forma independiente.
6tQWHVLV GH UHVXOWDGRV GH DSUHQGL]DMH
Actividad que permite integrar los aprendizajes del estudiante a través de evidencias
de conocimiento, desempeño, producto y actitud, de manera que el docente cuente
con estrategias para la evaluación formativa logrando involucrar al estudiante en
procesos de coevaluación.
5HDOLPHQWDFLyQ
Al término de cada bloque en los que se organizan las unidades de competencia en
cada asignatura, el facilitador y los estudiantes, ante la evidencia recopilada en la
etapa anterior, pueden establecer estrategias que permitan mayor grado de claridad
HQ OD UHFROHFFLyQ GH HYLGHQFLDV H LQFOXVR TXH ORV DSUHQGL]DMHV VHDQ UHDÀUPDGRV SRU
los estudiantes.
(YDOXDFLyQ GH OD FRPSHWHQFLD
Para llevar a cabo la evaluación sumativa de las competencias que se indican en los pro-
gramas de estudio, se contempla esta etapa la cual debe verse como parte del proceso,
es decir, no debe en ningún momento separarse de la formativa. La mejor forma de
lograr esta unidad será integrando un portafolio de evidencias de aprendizaje.

8
6LPERORJtD HPSOHDGD HQ OD JXtD
1. Dinamización y motivación
2. Contextualización
3. Problematización
4. Desarrollo de criterios
5. Síntesis
6. Realimentación
7. Evaluación de la competencia

9
Matemáticas I
Bloque I.
Resuelves problemas aritméticos y algebraicos 12
6HVLyQ $ Los números reales 15
Los reales positivos 15
Los números naturales (N) 16
Los números enteros (Ζ) 16
Los números racionales
o fraccionarios (Q+) 17
ODVLÀFDFLyQ GH
los números reales 21
6HVLyQ % El orden de las operaciones 26
Jerarquía de las operaciones 26
6HVLyQ Valores numéricos
en una expresión algebraica 32
Lenguaje algebraico 34
Bloque II.
Utiliza magnitudes y números reales 46
6HVLyQ $ Comparación
entre números reales 49
Razón y tasa 49
6HVLyQ % Las proporciones y sus clases 54
Proporciones 54
6HVLyQ Proporcionalidad
directa e inversa 60
Bloque III.
Realiza sumas y sucesiones de números 68
6HVLyQ $ Sucesiones y series aritméticas 71
Sucesión aritmética 72
Serie aritmética 75
6HVLyQ % Sucesiones y series geométricas 81
Sucesión geométrica 81
ODVLÀFDFLyQ GH XQD
sucesión geométrica 82
Serie geométrica 83
Contenido

10
Bloque IV.
Realizas transformaciones algebraicas I 92
6HVLyQ $. Operaciones de polinomios
con una variable 95
ODVLÀFDFLyQ GH
expresiones algebraicas 96
Leyes de los exponentes 97
Operaciones con polinomios
de una variable 98
Suma 98
Resta 99
Multiplicación 100
Multiplicación de polinomios
por polinomios 102
6HVLyQ % Productos notables 108
Binomio al cuadrado 108
Binomios conjugados 110
Producto de binomios
con un término común 112
6HVLyQ Factorización
de expresiones algebraicas 116
Factor común 116
Factor común por
agrupación de términos 118
Trinomio cuadrado perfecto 119
Diferencia de cuadrados perfectos 120
Bloque V.
Realizas transformaciones algebraicas II 128
6HVLyQ $ Factorización de trinomios 131
Trinomio de la forma x2
+bx+c 131
Trinomio de la forma ax2
+bx+c 133
6HVLyQ % Fracciones algebraicas simples 139
División de polinomios 140
Bloque VI.
Resuelves ecuaciones lineales I 148
6HVLyQ $ Ecuaciones lineales 151
'HÀQLFLRQHV EiVLFDV
Clases de ecuaciones 153
Resolución de una ecuación 153
Problemas de aplicación
de ecuaciones lineales 156
6HVLyQ % Relación entre la función
y la ecuación lineal 162
Despeje de variables 163
6HVLyQ *UiÀFD GH OD IXQFLyQ OLQHDO
*UDÀFDQGR IXQFLRQHV OLQHDOHV

11
Matemáticas I
Bloque VII.
Resuelves ecuaciones lineales II 180
6HVLyQ $ Ecuación lineal
de dos incógnitas 182
6HVLyQ % Resolución de un
sistema lineal 2×2 por determinantes 196
6HVLyQ Interpretación
JUiÀFD GH XQ VLVWHPD
de ecuaciones lineales 201
Bloque VIII.
Resuelves ecuaciones lineales III 214
6HVLyQ $ Sistemas
de ecuaciones de 3×3 216
6HVLyQ % Resolución
de un sistema lineal 3×3
por determinantes 222
6HVLyQ Aplicación
de los sistemas de 3×3 228
Bloque IX.
Resuelves ecuaciones cuadráticas I 238
6HVLyQ $ Ecuaciones
cuadráticas incompletas 240
Ecuación cuadrática
con una incógnita 241
Ecuación cuadrática incompleta 241
Raíces de una ecuación cuadrática 242
Formas de resolver
una ecuación cuadrática 244
Métodos de resolución
de ecuaciones
cuadráticas incompletas 244
6HVLyQ % Ecuaciones
cuadráticas completas 249
Métodos de resolución de ecuaciones
cuadráticas completas 249
Resolución de problemas
de aplicación 253
6HVLyQ Raíces reales y complejas
en las ecuaciones cuadráticas 258
Raíces real y compleja 258
Cantidades reales 258
Cantidades imaginarias 259
Bloque X.
Resuelves ecuaciones cuadráticas II 268
6HVLyQ $ La función cuadrática 270
'HÀQLFLyQ GH IXQFLyQ FXDGUiWLFD
La función cuadrática de
la forma estándar y=a(x-h)2
+k 275
6HVLyQ % Interpretación
JUiÀFD GH ODV UDtFHV
de una ecuación cuadrática 280
%LEOLRJUDItD 296

BI
'HVHPSHxRV GHO HVWXGLDQWH DO FRQFOXLU HO EORTXH
‡ ,GHQWLÀFD IRUPDV GLIHUHQWHV GH UHSUH-
sentar números positivos, decimales en
distintas formas (enteros, fracciones,
porcentajes) y de los demás números
reales.
‡ Jerarquiza operaciones numéricas al
realizarlas.
‡ Realiza operaciones aritméticas, siguiendo
el orden jerárquico al efectuarlas.
‡ Calcula porcentajes, descuentos e intere-
ses en diversas situaciones.
‡ Emplea la calculadora como instrumento
GH H[SORUDFLyQ YHULÀFDFLyQ GH UHVXOWDGRV
‡ Representa relaciones numéricas y alge-
braicas entre los elementos de diversas
situaciones.
‡ Soluciona problemas aritméticos y
algebraicos.
5HVXHOYHV SUREOHPDV
DULWPpWLFRV DOJHEUDLFRV
12

RPSHWHQFLDV JHQpULFDV D GHVDUUROODU
4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos con-
textos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas
apropiados.
4.1 Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas,
PDWHPiWLFDV R JUiÀFDV
5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir
de métodos establecidos.
5.2 Ordena información de acuerdo a categorías, jerarquías y relaciones.
RPSHWHQFLDV GLVFLSOLQDUHV D GHVDUUROODU
‡ Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplica-
ción de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y
variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales,
hipotéticas o formales.
‡ Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes
enfoques.
13

14 Matemáticas I
Dinamización y motivación
Es importante determinar qué tanto has aprendido a lo largo de tu formación como estudiante
en tu paso por la primaria y la secundaria.
A continuacióQ VH WH SODQWHDQ VLWXDFLRQHV TXH LPSOLFDQ LGHQWLÀFDU FRQRFLPLHQWRV SUH-
vios sobre conceptos numéricos y operaciones básicas. Resuelve correctamente lo que se indica.
1. Localiza en la recta numérica los puntos asociados a los siguientes números:

2. Indica cuáles de las siguientes proposiciones son verdaderas:

D

F es la quinta parte de H: __________________________
E

:_______________________________________
3. Expresa en decimal y como porcentaje las siguientes fracciones:
D

4. Determina el resultado de efectuar la siguiente operación:
5. Resuelve el siguiente problema matemático:
Un contratista ocupa a 28 personas entre albañiles y electricistas para la construcción de: tres
salones, un baño y un audiovisual en una escuela. De los cuales 9 ganan $150 por día, 12 de
ellos $230 por día y los demás $285, en función al tipo de trabajo a realizar. ¿Qué cantidad de
dinero requiere el contratista para pagarles 12 días de trabajo a todos los empleados?
De acuerdo con los resultados obtenidos en la actividad desarrollada, estás en condiciones
de establecer los objetivos y metas a alcanzar, de acuerdo a la unidad de competencia establecida.
Es muy importante trabajar en equipo cuando así sea requerido, socializando los
resultados obtenidos en las actividades desarrolladas. Deberás entregar los productos solici-
tados en cada una de las actividades sugeridas. Algo muy valioso e importante es el respeto a
la participación de los compañeros y al tiempo establecido para las sesiones.

15 BIResuelves problemas aritméticos y algebraicos
Contextualización
Día con día nos enfrentamos a situaciones en que es necesario recurrir al uso de números:
por la mañana escuchamos en los noticieros el reporte del clima, donde nos informamos de
la temperatura y de las condiciones del tiempo, lo cual está asociado a una escala numérica.
Tú mismo tienes que llevar el control del dinero que te dan tus padres para trasladarte a la
escuela o para comprar algo que comer durante el descanso. En todos los casos se encuentran
presentes los números y las operaciones que con ellos se pueden realizar.
$KRUD RUJDQL]DGRV HQ HTXLSRV GH R DOXPQRV LGHQWLÀTXHQ HVFULEDQ ODV IRUPDV
de representación de los números, de acuerdo a las siguientes preguntas:
D

¿Qué tipo de números usamos cuando vamos a comprar a la tienda?
E

En nuestra vida diaria, ¿dónde usamos números fraccionarios?
F

¿Qué tipo de números usamos al señalar nuestra edad?
G

Menciona otros ejemplos donde utilices números positivos.
6HVLyQ $ Los números reales
Los reales positivos
Problematización
En una distribuidora de productos para panadería, el cliente calculó el total de la compra y
le agregó el 16 % del IVA, pero hizo esto multiplicando el total por 1.16. Al empleado no le
pareció correcta esta forma de cálculo y obtuvo el 16 % de la venta y lo sumó al total. ¿Quién
calculó correctamente lo que se tenía que pagar? ¿Por qué?
Desarrollo de criterios
La aritmética nació en la época prehistórica gracias
a que nuestros antepasados pasaron de ser nóma-
das a sedentarios. El hombre, al ir evolucionando,
tuvo la necesidad de contar sus animales, frutos,
pertenencias y hasta a sus propios habitantes. Al
principio utilizaba piedras, dibujos en sus cavernas,
palitos, nudos en cuerdas, marcas en los árboles,
etc. Posteriormente fue inventando aparatos para
realizar sus mediciones, por ejemplo el del tiempo,
y así organizar las actividades que realizaba a lo
largo de un día (25 000-5 000 A.C).
3RU HVWD UD]yQ YDULRV ÀOyVRIRV PD-
temáticos se dieron a la tarea de crear una serie
de números bien establecidos para poder usarlos
en nuestra vida cotidiana. Dichos números son los
números naturales, los cuales surgen ante la nece-
sidad natural de contar. De ahí proviene el nombre
GH HVWD FODVLÀFDFLyQ

16 Matemáticas I
Los números naturales ()
Los números naturales son los que aprendimos desde niños. Con ellos indicamos nuestra
edad, cuántos dulces o juguetes teníamos y, a medida que fuimos creciendo, las asociaciones
que hacemos se van haciendo más profundas, por ejemplo:
D

¿Cuántas materias tiene el primer semestre de bachillerato que cursas?
E

¿De cuántas personas se integra tu grupo?
F

¿Cuántos aciertos y errores tienes en una evaluación o en el número de tareas
que realizas?
Una característica de los números naturales es el orden que existe entre ellos: el pri-
PHU Q~PHUR TXH IRUPD SDUWH GH HVWD FODVLÀFDFLyQ HV HO D FRQWLQXDFLyQ OH VLJXH HO FRPR
resultado de sumar 1+1), después el 3 (1+1+1 o 2+1) y así sucesivamente. Con ello entende-
PRV TXH FDGD Q~PHUR GH HVWD FODVLÀFDFLyQ HV PDRU TXH HO DQWHULRU R TXH HO DQWHULRU HV PHQRU
que el sucesor. En este punto se introducen nuevos símbolos ( mayor que) y ( menor que), los
cuales sirven para representar esta diferencia entre dos números naturales.
Ejemplo
12345
El 2 mayor que 1, el 3 mayor que 2, el 4 mayor que 3 y el 5 mayor que 4.
Si asociamos los números naturales con puntos indicados en una línea recta, ten-
dríamos que todo número natural situado a la derecha de otro siempre será mayor que el
número anterior:
1 2 3 4 5 6 7 8 9
$ FRQWLQXDFLyQ WH SUHVHQWDPRV XQD GHÀQLFLyQ GH HVWH WLSR GH Q~PHURV
Números naturales: son aquellos que utilizamos de forma ordinaria para contar.
Se les conoce también como números enteros positivos y se representan con la letra ,
describiéndose de la siguiente forma: ={1, 2, 3, 4, 5, ...}.
Los números enteros (')
Continuamos la historia…
¿Cómo crees que representaban en la Antigüedad a los animales o personas que se perdían y
no los encontraban, o que eran exterminados por alguna enfermedad?
Ante esta necesidad de simbolizar lo perdido, nació una nueva representación de números.
6L ELHQ ORV Q~PHURV QDWXUDOHV QRV DXGDQ D FXDQWLÀFDU REMHWRV OD DXVHQFLD GH HOORV WDPELpQ
tendría que ser considerada. De esta manera surgió el 0 (cero). En este caso, la cultura maya
fue la primera en emplearlo.
,QFRUSRUDQGR HO Q~PHUR D QXHVWUD FODVLÀFDFLyQ VXUJHQ ORV Q~PHURV HQWHURV QR
negativos, los cuales se representan de la siguiente manera:
Z+u{o} = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6…}
Si se incorpora el cero a la recta numérica, ésta se amplía y surge una observación
que debes tomar muy en cuenta:

'={..., 5, 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}.
Este grupo de números enteros queda representado en la recta numérica de la
siguiente manera:
10 2 3 4 5 6 7 8-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
NOTA: Recordemos que tanto los enteros positivos como los enteros negativos son
LQÀQLWRV
1 2 3 4 5 6 7 8 90
N
{ }Z+u o
/RV Q~PHURV QDWXUDOHV IRUPDQ SDUWH HQ OD FODVLÀFDFLyQ GH ORV Q~PHURV HQWHURV QR
negativos. Para cada número siempre habrá uno mayor a la derecha, y en ambos casos se
SXHGH FRQWDU VLQ QLQJ~Q OtPLWH SRU OR TXH VH GLFH TXH HVWH FRQMXQWR GH Q~PHURV HV LQÀQLWR
Otro tipo de números enteros que aparecen en muchas situaciones de nuestra vida
cotidiana son los números negativos, que nos permiten contar nuevos tipos de cantidades, como,
por ejemplo, los niveles por debajo del mar, las temperaturas por debajo de 0 grados, nuestros
VDOGRV GHXGRUHV R FXDQGR VHxDODPRV HO VyWDQR R SODQWD VXEWHUUiQHD HQ XQ HGLÀFLR HWF
Dichos números enteros negativos, unidos a los naturales y al cero, forman una
QXHYD FODVLÀFDFLyQ GH ORV Q~PHURV UHDOHV
$ FRQWLQXDFLyQ WH SUHVHQWDPRV VX GHÀQLFLyQ
Números enteros estos números se componen de los números naturales, el cero y
los números enteros negativos. Este conjunto se presenta con la letra ' y se describe como:
Los números racionales
o fraccionarios (+)
Cuando contamos personas u objetos, los números enteros nos facilitan esta tarea; sin embargo,
¿qué sucede cuando tenemos que dividir objetos en partes, por ejemplo, al repartir un pastel
HQWUH YDULRV LQYLWDGRV D XQD ÀHVWD DO GLVWULEXLU HO LQJUHVR REWHQLGR HQ ORV JDVWRV GH OD FDVD R DO
dividir un terreno en partes iguales para heredar o vender? Cuando esta situación se presenta,
aparecen en escena los números racionales, también conocidos como fraccionarios. El nombre
de número racional deriva de ración o parte de un todo.
Los números fraccionarios son aquéllos que se pueden representar como el cociente
de dos números enteros, y los elementos que lo integran reciben el nombre de:

a y b son números enteros y b es diferente de cero.

18 Matemáticas I
Una fracción puede representar la parte de un total o conjunto de elementos, por ejemplo:
Un terreno de forma rectangular tiene 10 metros de frente por 25 metros de fondo.
Hay una construcción que ocupa todo el frente y 15 metros de fondo, el resto forma parte del
SDWLR 6L UHSUHVHQWDPRV HO WHUUHQR OD FRQVWUXFFLyQ WHQGUtDPRV XQD ÀJXUD FRPR OD VLJXLHQWH
25 m
10 m
La parte que ocupa la construcción sería
15
25
3
5
o
Es decir, 15 metros de 25 o 3 de 5 partes del terreno.
/DV IUDFFLRQHV VH SXHGHQ FODVLÀFDU GH OD VLJXLHQWH PDQHUD
‡ )UDFFLyQ SURSLD. Son las fracciones cuyo numerador es menor que el denominador.
‡ )UDFFLyQ LPSURSLD. Es aquella fracción cuyo denominador es menor que el numerador.
‡ )UDFFLyQ XQLWDULD. Es aquélla cuyo resultado es la unidad, por lo que tanto el nu-
merador como el denominador son iguales.
‡ )UDFFLyQ HTXLYDOHQWH. Son números fraccionarios que, al dividirse, tienen el mismo re-
sultado aunque los numeradores y denominadores sean distintos entre ellos.
2
5
14
35
y
3
8
15
40
y
7RGD IUDFFLyQ FXHQWD FRQ LQÀQLWDV IUDFFLRQHV HTXLYDOHQWHV ODV FXDOHV VH REWLHQHQ
multiplicando o dividiendo sus términos por y entre el mismo número, respectivamente.
Los números racionales o fraccionarios, que incluyen a los enteros y éstos a los na-
turales, generan, al dividirse, otra forma de representarlos, la cual se conoce como números
decimales, los cuales pueden ser números decimales exactos, números decimales periódicos puros
o números decimales periódicos mixtos.
1RWD: Si observas bien
la tercera y cuarta frac-
ción del ejemplo, te
darás cuenta de que, al
dividir estos números,
lo que se obtiene son
números enteros. Los
números enteros per-
tenecen al conjunto de
los números racionales.

Para convertir un número fraccionario a decimal, basta con dividir los números
enteros que aparecen en el numerador y el denominador.
1~PHUR GHFLPDO H[DFWR (Q HVWH FDVR OD SDUWH GHFLPDO WLHQH XQ Q~PHUR ÀQLWR GH FLIUDV
Ejemplo de números decimales exactos:
2
5
0 4
3
4
0 75
1
2
0 5
8
5
1 6= = = =. ,
Si deseamos convertir un número decimal exacto a fracción, basta con tomar la
parte entera con su correspondiente parte decimal multiplicado por 100 como numerador, y
FRPR GHQRPLQDGRU HO Q~PHUR OXHJR VH VLPSOLÀFD (MHPSOR
1~PHUR GHFLPDO SHULyGLFR SXUR /D SDUWH GHFLPDO FRPSOHWD VH UHSLWH LQGHÀQLGDPHQWH
Ejemplo de números decimales periódicos puros:
1
3
0 3333 0 3
23
99
0 232323 0 23. ... . , . ... .= = = =
Para convertir este tipo de números a fracciones, siempre y cuando la parte entera
sea igual a cero, se toma la parte decimal periódica como numerador y el denominador será
tantos nueves como dígitos tenga la parte periódica. Ejemplo:

0 23
23
99
. =
En caso de que la parte entera sea diferente de cero, se suma la parte entera a la
fracción que se forme siguiendo el procedimiento anterior. Ejemplo:
1~PHUR GHFLPDO SHULyGLFR PL[WR. La parte decimal contiene dígitos al principio
del número que no se repiten, y otra parte decimal que sí se repite. Para hacer la conversión
de este número a una fracción, la parte entera se suma a una fracción, cuyo numerador estará

20 Matemáticas I
formado por la parte decimal periódica mixta menos la parte no periódica, y el denominador
será una cifra que tendrá tantos nueves como dígitos tenga la parte periódica y tantos ceros
como dígitos tenga la parte no periódica. Ejemplo:
6 94444 6 94 6
94 9
90
6
17
18
125
18
. ... .= = = =+ +
-
15 82323 15 823 15
823 8
990
15
815
990
3133
198
. ... .= = +
-
+= =
0 1
1
2 3 4
7
2
4
2
5
4
0.5
2.3
0
3
4
1
2
1
4
1
8
1
16
Tanto los números decimales como las fracciones, positivos, pueden representarse en
la recta numérica. Dichos números están localizados entre dos números enteros y se ubican en la
recta numérica de la siguiente manera:
Recordemos que los números racionales son también llamados fracciones y que
éstas, se representan como números decimales. Todos estos tipos de números tienen sus co-
rrespondientes números negativos y juntos forman el grupo de números racionales.
Números racionales. Un número racional es un número que se expresa en la
forma p/q donde p y q son enteros y q es distinto de cero.
Un número racional también puede ser expresado en forma de porcentajes,
SRU HMHPSOR HO VLJQLÀFD GH FDGD SDUWHV LJXDOHV HQ TXH XQ HQWHUR SXHGH VHU
dividido, es decir, representa una cantidad que corresponde proporcionalmente a una
parte de 100.
Es posible convertir números fraccionarios a decimales y determinar el porcentaje
que representa de un entero.

Ejemplo: Con ayuda de la calculadora, encuentra de manera individual el 35 % de 459.
Solución:
Otra forma de encontrar el porcentaje es buscar su decimal y luego multiplicarlo
por la cantidad dada.
Otro conjunto de números que veremos a continuación es del de los números irra-
FLRQDOHV FXD GHÀQLFLyQ HV OD VLJXLHQWH
1~PHURV LUUDFLRQDOHV /RV Q~PHURV LUUDFLRQDOHV VH LGHQWLÀFDQ FRQ OD OHWUD 4Ž
Este conjunto surge de aquellos números que no se pueden expresar como división de
GRV HQWHURV $ HVWH FRQMXQWR GH Q~PHURV VH OH GHQRPLQD WDPELpQ GHFLPDOHV LQÀQLWRV QR
periódicos.
A continuación te presentamos algunos ejemplos de números irracionales:
Q
Q
Q
e e

Donde S=3.1415926535897932384626433832795...
e=2.7182818284590452353602874713527...
Nota: No todas las raíces son números irracionales, por ejemplo

Nota: e es el llamado número de Euler.
ODVLÀFDFLyQ GH ORV Q~PHURV UHDOHV
Retomando todos los grupos de números vistos en esta sesión y uniendo tanto positivos
como negativos y el cero, formamos el conjunto de los números reales, los cuales abarcan
toda la recta numérica.
10 2 3 4 5-5 -4 -3 -2 -1
Negativos
Enteros
Naturales
Racionales
Irracionales
9/4
3/2
e= 2.7182
“– “
“– “
Positivos

22 Matemáticas I
Números reales. Estos números se obtienen al añadir a los números racionales
los números irracionales. Este conjunto de números reales se representa con la letra .
El esquema siguiente resume el sistema de los números reales:
Números reales
Números racionales
Números enteros
Números naturales
Cero
Números enteros negativos
Cocientes no enteros
Números irracionales
Positivos
Negativos
Positivos
Negativos
Otra forma de representarlo es a través de un diagrama:
Q´
N
Z
Q
Números reales
Como podrás observar, el conjunto de los números reales contiene a los irracionales
y a los racionales, y estos últimos contienen a su vez a los enteros y los enteros a los naturales.
Actividad de aprendizaje 1
Organizados en equipos de 3 o 4 alumnos, resuelvan correctamente el siguiente ejercicio, con
EDVH HQ OD FODVLÀFDFLyQ GH ORV Q~PHURV UHDOHV
1. En la recta numérica localiza los puntos asociados a los números siguientes:
5 3 7
2
3
0 3
1
2
4
5
2. En los paréntesis señala con una V si se trata de proposiciones verdaderas o con una F
si son falsas:
$

Todos los enteros son racionales. ( )
%

Existen números menores de cero. ( )
0

Todos los números reales son irracionales. ( )
D) Cero es un número positivo. ( )
(

Todos los racionales son enteros. ( )
)

Todos los números irracionales son reales. ( )
3. Expresa en su forma decimal cada uno de los siguientes números racionales. Asimismo,
señala si la cantidad es periódica o no periódica.
1~PHUR 'HFLPDO 3RUFHQWDMH
Síntesis
1) Ubica los siguientes números en sus conjuntos correspondientes:
2 5
3
4
4
12
3
0 2 3 14
13
3
7 0. , ..07
N =
Z =
Q =
4Ž
R =
2) Un grupo de excursionistas realizará un viaje a un sitio que se encuentra aproxi-
madamente a 400 kilómetros de distancia del lugar de partida. Luego de revisar
mapas y analizar el recorrido, concluyen que harán 2/5 del total por una autopista
de cuota, 3/8 por carreteras federales y el resto por caminos de terracería. ¿Cuán-
tos kilómetros recorrerán en cada tipo de carretera?
{ }
{ }
{ }
{ }
{ }

24 Matemáticas I
Rúbrica para registrar el logro de competencias genéricas
8$ 0DWHPiWLFDV , 6HPHVWUH 3ULPHUR
ÉUHD GH
RQRFLPLHQWR
0DWHPiWLFDV
DWHJRUtD
RPSHWHQFLD
JHQpULFD
$WULEXWRV
,QGLFDGRUHV GH
GHVHPSHxR
1LYHOHV GH ORJUR
5HJXODU %XHQR ([FHOHQWH
1. Se
autodetermina y
cuida de sí.
1. Se conoce
y valora a sí
mismo y aborda
problemas y
retos teniendo
en cuenta los
objetivos que
persigue.
1.1 Enfrenta las
GLÀFXOWDGHV TXH
se le presentan
y es consciente
de sus valores,
fortalezas y
debilidades.
Realiza preguntas
sobre las dudas
que se le
presentan.
Retroalimenta
sus procesos de
aprendizaje.
2. Se expresa y
comunica.
4. Escucha,
interpreta y
emite mensajes
pertinentes
en distintos
contextos
mediante la
utilización de
medios, códigos
y herramientas
apropiados.
4.1 Expresa ideas
y conceptos
mediante
representaciones
lingüísticas,
matemáticas o
JUiÀFDV
Se expresa de
manera lógica y
creativa.
Representa
relaciones
entre diversos
conceptos.
Observaciones:

Rúbrica para registrar el logro de
competencias disciplinares
8QLGDG DFDGpPLFD
FXUULFXODU
0DWHPiWLFDV ,
%ORTXH , 5HVXHOYHV SUREOHPDV DULWPpWLFRV DOJHEUDLFRV
RPSHWHQFLDV
GLVFLSOLQDUHV GHO iUHD GH
PDWHPiWLFDV 'HVHPSHxRV ,QGLFDGRUHV
1LYHOHV GH ORJUR
1. Construye e interpreta
modelos matemáticos
mediante la aplicación
de procedimientos
aritméticos, algebraicos,
geométricos y
variacionales, para la
comprensión y análisis
de situaciones reales,
Formula y resuelve
problemas matemáticos,
aplicando diferentes
enfoques.
,GHQWLÀFD IRUPDV
diferentes de
representar
números positivos,
decimales en
distintas formas
(enteros, fracciones,
porcentajes), y de
los demás números
reales.
,GHQWLÀFD IRUPDV GLVWLQWDV
de representación de
números positivos.
,GHQWLÀFD Q~PHURV
decimales en distintas
formas (enteros, fracciones,
porcentajes).
Escribe números decimales
en forma de enteros,
fracciones y porcentajes.
,GHQWLÀFD IRUPDV GLVWLQWDV
de representación de
números reales.
Soluciona
problemas
aritméticos y
algebraicos.
Utiliza los sistemas, reglas
y principios medulares que
subyacen a una serie de
fenómenos relacionados
con los números reales.
Emplea la
calculadora como
instrumento de
exploración y
YHULÀFDFLyQ GH
resultados.
Utiliza la calculadora como
herramienta de exploración
de resultados.
Observaciones:

26 Matemáticas I
6HVLyQ % El orden
de las operaciones
Problematización
Un ingeniero contrata a un albañil por $250.00 por día. Con el propósito de que permanezca
hasta que acabe la obra, le dará $100.00 al día si por causa de la lluvia no puede trabajar. Des-
pués de 23 días el albañil recibe $4 550.00. ¿Cuántos días trabajó y cuántos días no trabajó?
Nos estamos adentrando en el uso de los números para realizar operaciones que resultan
muy prácticas en nuestra vida cotidiana. En ocasiones efectuamos cálculos de manera escrita
e inclusive utilizando la calculadora, pero resulta que las operaciones no son correctas, ¿te has
preguntado por qué pasa esto? A manera de ejemplo vamos a efectuar una serie de opera-
ciones, tanto de manera escrita como con la calculadora. Anotaremos nuestra respuesta en la
libreta y la daremos a conocer al grupo uno por uno, mientras que el facilitador escribirá los
UHVXOWDGRV H[SXHVWRV HQ OD SL]DUUD VDFDUi OD IUHFXHQFLD GH FDGD UHVSXHVWD SDUD ÀQDOPHQWH
dar la respuesta correcta.
Jerarquía de las operaciones
Cuando se realizan operaciones combinadas de suma, resta, multiplicación y división, en las
que no hay signos de agrupación, el procedimiento que se emplea es el siguiente:
1) Se efectúan las operaciones de multiplicación y división. Cuando hay dos operado-
res (+, -, u, y) de la misma jerarquía, se procede de izquierda a derecha. Ejemplo:
2) A continuación se efectúa la suma y la resta de izquierda a derecha:
Cuando en una operación intervienen signos de agrupación, el procedimiento se
puede resumir de la siguiente forma:
1o
Se deben eliminar los signos de agrupación a través de las operaciones indicadas,
comenzando por los que se ubican más hacia el interior de la expresión.
2o
Se efectúan las operaciones de multiplicación y división en el orden que aparezcan
(de izquierda a derecha).
3o
Finalmente se llevan a cabo las sumas y las restas en el orden en el que se presenten
(de izquierda a derecha).

Como ejemplo te presentamos la siguiente operación:
1) Efectúa las siguientes operaciones en tu libreta sin utilizar la calculadora y anota
tus respuestas en el siguiente cuadro:
2SHUDFLyQ 7X UHVSXHVWD
5HVSXHVWD
FRUUHFWD
D

4+8×10y2=
2) Efectúa las siguientes operaciones utilizando la calculadora, anota tus respuestas
en la siguiente tabla:
2SHUDFLyQ 7X UHVSXHVWD
5HVSXHVWD
FRUUHFWD
D

50+15y5×3-9y3×4+6×4y6
3) Una vez que tu maestro anote los resultados y la frecuencia de los mismos en la
pizarra, contesta las siguientes preguntas en tu cuaderno:
D

¿Todos los resultados son iguales?
E

¿Cuántos resultados se obtuvieron en la primera y segunda operación realizada?
F

¿Por qué?
A continuación, te proponemos una serie de ejercicios que te permitirá llevar a
cabo operaciones aritméticas siguiendo un orden jerárquico de ejecución.
Resuelve las siguientes expresiones:
D

(30y3) + (8×2)=
c) (25×2) (12y3)=
d) (10+5)×(3×2)=
e) (20y5)+(8y2)=
f) (7×2)+(10+6)y(5-3)=

28 Matemáticas I
El orden de las operaciones está señalado por los signos de agrupación, los cuales ya
conoces, pero vale la pena recordarlos:
‡ Paréntesis ( )
‡ Corchetes [ ]
‡ Llaves { }
Los signos de agrupación se usan de la siguiente manera:
‡ Para indicar que una expresión funciona como número único. Ejemplo: 4(10 5),
donde (10y5) es un número único, toda vez que puede ser sustituido por el número
2, que es el valor de su operación.
‡ Para sustituir el signo de multiplicación. Por ejemplo: 4(5) = (4)5 = (4)(5)= 4x5.
‡ Para señalar cuál es el orden que debe seguirse para resolver una operación.
Cuando una expresión se encuentra entre paréntesis, indica que las operaciones
que están dentro de ellos deben realizarse primero. Si en una expresión se utiliza
más de un paréntesis se deberá proceder primero con los que se encuentren más
hacia el centro de la expresión.
(MHPSOR
500 - {(6-1)8y4×3+16y(10-2)}-5=
500 - {(5) 8y4×3+16y8`-5
500 - {40y4×3+2}-5
500 - {30+2}-5
500 - 32 - 5
468 - 5= 463
1) Con base en la jerarquía del orden de ejecución, e incluyendo los signos de agru-
pación, resuelve las siguientes operaciones aritméticas en tu libreta:
D 2[4+3(2)]+20=
E {9-[8y4]+9-6}=
F 2[8-8(7-3)+2(5)]=
G [48y6]5-10=
H 3[30y10]-9=
I 4{[15y3]-8-5}y8=
J 150-[18+(5-3)+(6-2)]=
K 800+{20-3×4+5[18-(6-1)3+(5-2)4]}=
L [(9-4)y5+(10-2)y4]+9×6y18+2=
Ahora bien, ¿cómo se traduce este tipo de conocimientos en una aplicación práctica?
Como un ejemplo de ello te presentamos la siguiente situación:
Una cadena de restaurantes solicita el suministro de medio millón de folletos pu-
blicitarios. En el primer envío le fueron entregados 125 450 folletos; posteriormente le llegaron
3 750 folletos menos que en el primero y, por último, en el tercer envío, recibió 10 350 folletos
más que en el segundo. ¿Cuántos folletos le faltaron?

6ROXFLyQ
Folletos solicitados: 500 000
1er envío: 125 450
2º envío: (125 450 - 3 750)
3er envío: [(125 450 - 3 750) + 10 350]
Para poder determinar cuántos folletos faltan debemos restar a la cantidad de fo-
lletos solicitados los que fueron enviados. De tal manera que la expresión nos quede de la
siguiente manera:
500000 - {125450 + (125450 - 3750) + [( 125450 - 3750) + 10350]}
Realizando las operaciones indicadas y considerando la jerarquía de las operaciones,
tenemos que:
500 000 - {125 450 + (125 450 - 3 750) + [( 125 450 - 3 750) + 10 350]}=
500 000 - {125 450 + (121 700) + [(121 700) + 10 350]}=
500 000 - {125 450 + (121 700) + [132 050]}=
500 000 - {379 200}= 120 800
Por lo tanto, a la cadena de restaurantes le falta por recibir 120 800 folletos publicitarios.
1) Resuelve los siguientes problemas en tu cuaderno:
D Un hospital adquirió 60 sillas de ruedas a $360.00 cada una. y equivocada-
mente vendió 30 de ellas a $280.00. Calcula en cuánto tiene que vender las
30 sillas restantes para recuperar su inversión.
E Los ahorros de David equivalen a $298 675.00 y de esa cantidad decide
tomar una parte para pagar el enganche de un automóvil, por lo que le
quedan $202,300.00 a favor. Posteriormente juega a la lotería y gana $125
630.00, cantidad que incorpora a sus ahorros. Meses más tarde, planea
casarse con su novia y compra una casa. Si su saldo actual en el banco
es de $799.00, ¿cuánto le costó la casa y cuánto dio de enganche para el
automóvil?
F Isaac compró una propiedad en $450 370.00 y una moto en $26 380.00.
Después de un tiempo, decide vender la propiedad en $480 900.00 y la
motocicleta en $23 600.00. ¿Cuánto dinero obtuvo? O, en caso contrario,
¿cuánto dinero perdió en dichas transacciones?
G Un artesano vende una guitarra en $3 690.00. Su hijo le explica que si la
hubiera vendido en $200.00 más, habría ganado $1 500.00. ¿Qué cantidad
invirtió en la realización de dicha guitarra?

30 Matemáticas I
Síntesis
1) Con base en la jerarquía del orden de ejecución e incluyendo los signos de agru-
pación, resuelve las siguientes operaciones en tu libreta:
D
E
F
G
H
ÉUHD GH
RQRFLPLHQWR
0DWHPiWLFDV
DWHJRUtD
RPSHWHQFLD
JHQpULFD
$WULEXWRV
,QGLFDGRUHV GH
GHVHPSHxR
1LYHOHV GH ORJUR
1. Se
autodetermina y
cuida de sí.
1. Se conoce
y valora a sí
mismo y aborda
problemas y
retos teniendo
en cuenta los
objetivos que
persigue.
1.1 Enfrenta las
GLÀFXOWDGHV TXH VH
le presentan y es
consciente de sus
valores, fortalezas
y debilidades.
Realiza preguntas
sobre las dudas
que se le
presentan.
Retroalimenta
sus procesos de
aprendizaje.
2. Se expresa y
comunica.
4. Escucha,
interpreta y
emite mensajes
pertinentes
en distintos
contextos
mediante la
utilización de
medios, códigos
y herramientas
apropiados.
4.1 Expresa ideas
y conceptos
mediante
representaciones
lingüísticas,
matemáticas o
JUiÀFDV
Se expresa de
manera lógica y
creativa.
Representa
relaciones
entre diversos
conceptos.
Observaciones:

Rúbrica para registrar el logro de
competencias disciplinares
8QLGDG DFDGpPLFD
FXUULFXODU
0DWHPiWLFDV ,
%ORTXH , 5HVXHOYH SUREOHPDV DULWPpWLFRV DOJHEUDLFRV
RPSHWHQFLDV
PDWHPiWLFDV 'HVHPSHxRV ,QGLFDGRUHV
1LYHOHV GH ORJUR
Construye e interpreta
de procedimientos
geométricos y
Jerarquiza
operaciones
numéricas al
realizarlas.
Jerarquiza operaciones
numéricas al ejecutarlas.
Realiza operaciones
aritméticas,
siguiendo el orden
jerárquico al
efectuarlas.
Realiza operaciones
aritméticas, siguiendo una
jerarquía en el orden de
ejecución.
Formula y resuelve
enfoques.
Soluciona
problemas
aritméticos y
algebraicos.
y principios medulares
que subyacen a una
serie de fenómenos
relacionados con los
números reales.
Emplea la
calculadora como
instrumento de
exploración y
YHULÀFDFLyQ GH
resultados.
Utiliza la calculadora
como herramienta de
exploración de resultados.
Observaciones:

32 Matemáticas I
6HVLyQ Valores numéricos
en una expresión algebraica
Problematización
La sociedad de padres de familia, en coordinación con las autoridades educativas, desea construir
un andador alrededor de un jardín de 10 por 10 metros que posee la escuela. Para ello, pretende
acondicionar terreno alrededor del jardín, pero no más de 96 m2
. ¿Qué ancho deberá tener el
andador para no rebasar los 96 m2
estipulados?
$QWHV GH GDU SDVR DO GHVDUUROOR GH OD SUHVHQWH VHVLyQ FRQYHQGUtD UHÁH[LRQDU VREUH DOJXQRV FRQR-
cimientos adquiridos con anterioridad. En la secundaria, con toda seguridad, trabajaste algunas
fórmulas en Física, Química y Matemáticas, principalmente en Geometría, por ejemplo:
3DUD KDOODU HO iUHD GH ÀJXUDV SODQDV FRPR FXDGUDGRV UHFWiQJXORV WULiQJXORV
círculos, así como la circunferencia, empleaste fórmulas como:
A = l2
, A = (b)(h), A =
A = r2
En el caso de la longitud de la circunferencia C =2 r, tenías que considerar datos
que te pudieran ayudar a efectuar el cálculo respectivo; si se trataba de un cuadrado necesita-
bas el valor de un lado, en el caso del rectángulo el valor de la base y la altura, al igual que en
un triángulo; y para el área del círculo y la circunferencia, bastaba con saber el valor del radio.
Ahora bien, no siempre todas las áreas determinadas eran iguales. Esto dependía
SULQFLSDOPHQWH GH ORV GDWRV ORV FXDOHV FDPELDQ R YDUtDQ GHSHQGLHQGR GHO WDPDxR GH OD ÀJXUD
A pesar de ello, las fórmulas son las mismas, pero a los datos, por ser cambiantes, se les ha
llamado variables. ¿Te has preguntado el nombre que recibe la acción de cambiar letras por
números en una fórmula o cómo se llaman las expresiones matemáticas que se forman con
números y letras, en las cuales intervienen operaciones de distinta índole, como son la suma,
resta, multiplicación, división, potenciación y radicación?
Así como una expresión algebraica está compuesta por números y letras, los ope-
radores matemáticos (+, -, x, y), sirven para generalizar una regla, por ejemplo: para hallar el
área de un rectángulo siempre se multiplicará la longitud de la base por la altura, aunque éstas
cambien dependiendo del tamaño del rectángulo. Aquí no ahondaremos más en las expresio-
nes algebraicas, ya que en otra sesión abarcaremos con mayor amplitud el tema, pero, ¢TXp
HV HO YDORU QXPpULFR GH XQD H[SUHVLyQ DOJHEUDLFD
Precisamente al proceso de sustituir los valores asignados para las letras (literales)
de una expresión algebraica efectuando las operaciones indicadas y obteniendo un número
correspondiente, se le denomina valor numérico de una expresión algebraica.
(MHPSOR
D

Determina el área de un triángulo si la base es igual a 5 y la altura igual a 4.
Sustituyendo las literales b y h por sus valores respectivos, tenemos que:
A
b h
u
( )( ) ( )( )
2
5 4
2
20
2
10 2
= = = =
El valor numérico de la expresión es 10 si la b=5 y h=4.

E

¿Cuánto vale la expresión 3a2
bc3
, cuando a=1, b=2 y c=4?
3 3 1 2 4 3 1 2 64 3842 3 2 3
a bc ( ) ( )( ) ( )( ) ===
El valor numérico para 3a2
bc3
es 384, si a=1, b=2 y c=4.
Sin embargo, si los valores de a, b y c cambian, también cambiará el valor numé-
rico de la expresión algebraica.
F

¿Cuánto vale la expresión 4 6
2
x+ cuando x=5?
4 6
2
4 5 6
2
20 6
2
26
2
13
x
= = = =
+ + +
El valor numérico de la expresión algebraica
4 6
2
×+
es 13 si x=5.
G

¿Cuánto vale la expresión 5xy + 7y cuando x=2 y y=3?
5 7 5 2 3 7 3 30 21 51xy y ( )( ) ( )+ + +
El valor numérico de la expresión algebraica 5xy + 7y es 51 si x=2 y y=3.
H

¿Cuánto vale la expresión
5 3
2
w z
w z
-
+
cuando w=4.2 y z=3.6?
5 3
2
5 4 2 3 3 6
4 2 2 3 6
21
+
- -
+
-
+
= = = =
10 8
4 2 7 2
10 2
11
w z
w z
( . . )
( . . )
. .
.44
0 89. ...
El valor numérico de la expresión
5 3
2
w z
w z
-
+
es 0.89 si y sólo si y=4.2 y z=3.6.
1) A continuación te presentamos diversas actividades en las que debes obtener el
valor numérico de distintas expresiones algebraicas. Resuélvelas en tu libreta y
comparte con el grupo los resultados obtenidos.
D 2 2+x a cuando x=6 y a=4
E 2 3 42
x x- + cuando x=1
F 3 1+ 2( )x x– cuando x=3
G 4 2 2
xy– –y x cuando x=3 y y=2
H 7 3 53 2
x x x+ – cuando x=5
I ab a b2 2
– + cuando a=9 y b=1
J 3 8
5 15
3
x
y
–
–
cuando x=4 y y=3
K
a
b
b
a
2 2
2
2
+ cuando a=7 y b=2

34 Matemáticas I
2) 'HWHUPLQD HO iUHD HO SHUtPHWUR GH ODV VLJXLHQWHV ÀJXUDV 3DUD HOOR VXVWLWXH ORV
valores de las literales dadas en las fórmulas correspondientes.
)LJXUD )yUPXODV 'DWRV 3HUtPHWUR ÉUHD
a
P = 6l
A =
l = 3 cm
a = 2 cm
l = 12 cm
a = 8 cm
a
b P = 2a + 2b
A = ah
a = 10 cm
b = 7 cm
h = 3 cm
a = 15 cm
b = 9 cm
h = 7 cm
Lenguaje algebraico
Antes de continuar, tenemos que adentrarnos en la forma de expresar un problema según el
lenguaje algebraico. Comenzaremos con situaciones sencillas y, a medida que avancemos en
los siguientes bloques, profundizaremos más en este tema.
El perímetro de un rectángulo tiene por fórmula P = 2b + 2h, pero ¿cómo se llega
a esta conclusión? Veamos el siguiente esquema:
b
b
h h
6HD 3 SHUtPHWUR VXPD GH WRGRV ORV ODGRV GH XQD ÀJXUD

E EDVH K DOWXUD
tenemos que:
P = b + h + b + h, tomando en cuenta que tenemos dos veces b y dos veces h, la
expresión en su forma abreviada sería P = 2b + 2h.
Lo que en el lenguaje normal se traduce como: “el perímetro de un rectángulo es
igual al doble de la base más el doble de su altura”.
RPR SRGUiV YHU HQ HO SDVDGR HMHPSOR UHSUHVHQWDPRV XQD ÀJXUD JHRPpWULFD GHV-
tacando sus elementos, luego se procedió a formular algebraicamente cómo se representa su
SHUtPHWUR ÀQDOPHQWH VH WUDGXMR D XQ OHQJXDMH QRUPDO GRQGH WHQHPRV SDODEUDV FODYHV FRPR
perímetro (P), es igual (=), suma (+), el doble de la base (2b), el doble de la altura (2h).

Si queremos pasar del lenguaje común al lenguaje algebraico, tenemos que tomar en
cuenta las palabras claves que te permitan formar una expresión algebraica. Para ello, debes
comprender cómo los valores desconocidos están representados por literales (letras) y que los
operadores matemáticos (+, -, u, y) se pueden enunciar de distinta manera. El siguiente cuadro
te dará una idea de lo que estamos hablando:
RQFHSWR RSHUDGRUHV ([SUHVLRQHV XWLOL]DGDV
Valores conocidos a, b, c, d... primeras letras del alfabeto
Valores desconocidos u, v, w, x, y, z, últimas letras del alfabeto
= “es”, “igual a”.
+
Adiciona, suma, gana, aumenta, más, incrementa, crece,
etcétera.
-
Sustrae, resta, diferencia, menos, disminuye, baja, pierde,
decrece, etcétera.
u
Multiplica, producto, dos veces, el doble, duplo, triple,
cuádruplo, etcétera.
y
Divide, dividido por, cociente, razón, mitad, entre, tercera
parte, cuarta parte, etcétera.
Potencia El cuadrado, el cubo, elevado a, etcétera.
Veamos un ejemplo:
La suma de dos cantidades cualesquiera.
a + b, también x + y
El cociente de la suma de dos cantidades cualesquiera y su diferencia:
a b
a b–
+
también puede representarse como
x y
x y–
+
Un número aumentado en 4:
a + 4, también x + 4
El doble de un número:
2a, también 2x
El cuadrado de la diferencia de dos números:
(a-b)2
, también (x-y)2

36 Matemáticas I
No es tan complicado. Con un poco de práctica podrás dominar todas las variantes
que se te puedan presentar. Antes de aplicar este conocimiento a situaciones concretas, es
necesario que practiques; para ello, te proponemos la siguiente actividad:
1) Escribe los siguientes enunciados en su expresión algebraica:
D La diferencia de dos números:
E El producto de dos números cualesquiera:
F El cociente de la suma de dos números entre otro número:
G El triple del cuadrado de un número:
H El cubo de un número:
I La raíz cuadrada del producto de dos números:
J La tercera parte del cubo de un número:
K El producto de la suma por la diferencia de dos números:
L El cuadrado de la suma de dos números:
2) Formen equipos de tres alumnos para que juntos resuelvan los siguientes proble-
mas en sus cuadernos:
El ritmo que alcanza un corazón humano durante la práctica de algún deporte
depende de la edad de la persona que se ejercita. Considerando que la tasa de
pulsos mínima (T.P.M.) esté dada por el cociente obtenido al dividir 72 veces la
diferencia de 220 y la edad de la persona entre 100, realiza lo siguiente:
D Por medio de una expresión algebraica, representa la tasa de pulsos mínima.
E Jaime tiene 18 años. Diariamente sale a correr por 40 minutos. ¿Cuál es su
tasa de pulsos mínima durante el ejercicio que realiza?
Síntesis
1) Determina cuál es el valor numérico de las siguientes expresiones algebraicas:
D
2 1
4 1
2
2
a
a
ca–
+
+ cuando a=4, c=2.
E
x
x
x2 2
9
3 9
–
+
+ cuando x=3.
F ( )( )c d c d
cd
– + cuando c=5, d=2.
G
( )a b ab
ca
2 2
–
cuando a=1, b=2, c=3.
H r
r
r
2
360
.
( (+ cuando r=3.

2) Escribe los siguientes enunciados en su expresión algebraica:
D El producto de tres números disminuido en cinco unidades:
E Cinco veces la suma de un número y cuatro unidades:
F La diferencia del triple de un número y una unidad:
G La suma de los cuadrados de dos números:
H La raíz cúbica de la tercera parte de un número:
3) Escribe las siguientes expresiones algebraicas en un lenguaje común:
D
E
x y
2
+
F ( )x y 2
2– +
G
H x y2 2
+
4) Luis y Armando van rentar una casa en la playa para pasar sus vacaciones en com-
pañía de su familia durante una semana. La renta tiene un costo de $9 500.00 por
toda la semana. La aportación de Luis para el alquiler de la casa es de $2 500.00
menos que el doble de lo que aporta Armando. ¿Cuánto aporta cada uno?

38 Matemáticas I
ÉUHD GH RQRFLPLHQWR 0DWHPiWLFDV
DWHJRUtD
RPSHWHQFLD
JHQpULFD
$WULEXWRV
,QGLFDGRUHV GH
GHVHPSHxR
1LYHOHV GH ORJUR
1. Se autodetermina y
cuida de sí.
1. Se conoce
y valora a sí
mismo y aborda
problemas y
retos teniendo
en cuenta los
objetivos que
persigue.
1.1 Enfrenta las
GLÀFXOWDGHV TXH VH
le presentan y es
consciente de sus
valores, fortalezas
y debilidades.
Realiza preguntas
sobre las dudas
que se le
presentan.
Retroalimenta
sus procesos de
aprendizaje.
2. Se expresa y comunica.
4. Escucha,
interpreta y
emite mensajes
pertinentes
en distintos
contextos
mediante la
utilización de
medios, códigos
y herramientas
apropiados.
4.1 Expresa ideas
y conceptos
mediante
representaciones
lingüísticas,
matemáticas o
JUiÀFDV
Se expresa de
manera lógica y
creativa.
Representa
relaciones
entre diversos
conceptos.
Observaciones:

Rúbrica para registrar el logro
de competencias disciplinares
8QLGDG DFDGpPLFD
FXUULFXODU
0DWHPiWLFDV ,
RPSHWHQFLDV
PDWHPiWLFDV
'HVHPSHxRV ,QGLFDGRUHV
1LYHOHV GH ORJUR
de procedimientos
geométricos y
Representa
relaciones
numéricas y
algebraicas entre
los elementos de
diversas situaciones.
Calcula el valor numérico
de una expresión
algebraica.
Emplea expresiones
numéricas para
representar relaciones.
Emplea expresiones
algebraicas, usando
literales, para representar
relaciones entre las
magnitudes.
Describe expresiones
verbales mediante formas
algebraicas y viceversa.
Formula y resuelve
enfoques.
Soluciona
problemas
aritméticos y
algebraicos.
y principios medulares
que subyacen a una
serie de fenómenos
relacionados con los
números reales.
Emplea la
calculadora como
instrumento de
exploración y
YHULÀFDFLyQ GH
resultados.
Utiliza la calculadora
como herramienta de
exploración de resultados.
Observaciones:

40 Matemáticas I
Realimentación
Resuelve las siguientes situaciones:
1. Localiza en la recta real los puntos asociados a los números siguientes:
Q
2. En la recta real repinta con color:
D

Negro, la semirrecta positiva
E

Rojo, la semirrecta negativa
F

Azul, el origen
3. Dados los números:
Q
¿Cuáles son números naturales?________________________________________
¿Cuáles son números enteros?________________________________________
¿Cuáles son números racionales?_______________________________________
¿Cuáles son números irracionales?_______________________________________
4. De los siguientes diagramas, ¿cuál es el que muestra la relación correcta entre los con-
juntos considerados?
D E F
=
1
Q
5
=
5
Q
1
=
1
5
Q
5. (Q FDGD XQR GH ORV VLJXLHQWHV FDVRV LGHQWLÀFD HO Q~PHUR TXH QR HV UDFLRQDO
D

6. (Q FDGD XQR GH ORV FDVRV LGHQWLÀFD HO Q~PHUR TXH HV LUUDFLRQDO
D

G

7. ,GHQWLÀFD HO Q~PHUR TXH QR HV GHFLPDO SHULyGLFR HQ FDGD XQR GH ORV VLJXLHQWHV FDVRV
D

8. Expresa en forma decimal cada uno de los números racionales:
D

9. Expresa como cociente de dos enteros cada uno de los siguientes números decimales:
D

10. Con base en la jerarquía del orden de ejecución e incluyendo los signos de agrupación,
resuelve las siguientes operaciones:
D

42 Matemáticas I
11. Escribe en lenguaje algebraico las siguientes expresiones verbales:
([SUHVLyQ YHUEDO ([SUHVLyQ DOJHEUDLFD
El cociente de la suma de dos
números entre otro número
La suma de dos números divida
entre su diferencia
El cuadrado de un número
aumentado en tres unidades
El cubo de un número
disminuido en seis unidades
El triple del cuadrado de un
número
La raíz cuadrada del producto
de dos números
12. Las expresiones algebraicas pueden enunciarse empleando el lenguaje común. Es conve-
niente ejercitarlo para su correcta traducción.
([SUHVLyQ DOJHEUDLFD ([SUHVLyQ YHUEDO

2
3
3 3

3
13. Un terreno de forma rectangular tiene 20 metros de frente por 50 metros de fondo y se
va a bardear. La altura de la barda será de 2 metros. Un albañil cotiza la colocación de
bloques o ladrillos a $20.00 el metro cuadrado. Si al frente tendrá un acceso de sólo 5
metros, ¿cuánto costará bardear el resto del terreno?
14. Una microempresa tiene ventas al mes por un monto de $25 200.00. De esa cantidad, el
64 % se destina a diversos gastos. ¿Cuál ha sido la ganancia del mes?
15. De los 620 alumnos de una escuela preparatoria, 403 son mujeres. Determina el porcen-
taje de varones que hay.
16. El encargado de pagar la nómina en una tienda solicita al banco efectivo en billetes de dis-
tintas denominaciones. El banco le entrega tres sobres con el dinero. El primer y segundo
sobre tienen $3 500.00 en total. El segundo y tercer sobre contienen $3 000.00, y el primer y
tercer sobre juntos hacen la cantidad de $2 500.00. ¿Cuánto tiene cada sobre?

43
Evaluación de la competencia
ÉUHD GH
RQRFLPLHQWR
0DWHPiWLFDV
DWHJRUtD
RPSHWHQFLD
JHQpULFD
$WULEXWRV
,QGLFDGRUHV GH
GHVHPSHxR
1LYHOHV GH ORJUR
1. Se
autodetermina y
cuida de sí.
1. Se conoce
y valora a sí
mismo y aborda
problemas y
retos teniendo
en cuenta los
objetivos que
persigue.
1.1 Enfrenta las
GLÀFXOWDGHV TXH VH
le presentan y es
consciente de sus
valores, fortalezas
y debilidades.
Realiza preguntas
sobre las dudas
que se le
presentan.
Retroalimenta
sus procesos de
aprendizaje.
2. Se expresa y
comunica.
4. Escucha,
interpreta y
emite mensajes
pertinentes
en distintos
contextos
mediante la
utilización de
medios, códigos
y herramientas
apropiados.
4.1 Expresa ideas
y conceptos
mediante
representaciones
lingüísticas,
matemáticas o
JUiÀFDV
Se expresa de
manera lógica y
creativa.
Representa
relaciones
entre diversos
conceptos.
Observaciones:

44 Matemáticas I
Rúbrica para registrar el logro de competencias disciplinares
8QLGDG DFDGpPLFD
FXUULFXODU
0DWHPiWLFDV ,
RPSHWHQFLDV
GLVFLSOLQDUHV GHO
iUHD GH PDWHPiWLFDV
1LYHOHV GH ORJUR
1. Construye e
interpreta modelos
matemáticos
mediante la
aplicación de
procedimientos
aritméticos,
algebraicos,
geométricos y
variacionales, para
la comprensión y
análisis de situaciones
reales, hipotéticas o
formales.
,GHQWLÀFD IRUPDV
diferentes de
representar números
positivos, decimales
en distintas formas
(enteros, fracciones,
porcentajes), y de
los demás números
reales.
,GHQWLÀFD IRUPDV GLVWLQWDV GH
representación de números
positivos.
,GHQWLÀFD Q~PHURV GHFLPDOHV
en distintas formas (enteros,
fracciones, porcentajes).
Escribe números decimales
en forma de enteros,
fracciones y porcentajes.
,GHQWLÀFD IRUPDV GLVWLQWDV GH
representación de números
reales.
Jerarquiza
operaciones
numéricas al
realizarlas.
Jerarquiza operaciones
numéricas al ejecutarlas.
Realiza operaciones
aritméticas,
siguiendo el orden
jerárquico al
efectuarlas.
Realiza operaciones
aritméticas, siguiendo una
jerarquía en el orden de
ejecución.
Representa
relaciones numéricas
y algebraicas entre
los elementos de
diversas situaciones.
Calcula el valor numérico de
una expresión algebraica.
Emplea expresiones
numéricas para representar
relaciones.
Emplea expresiones
algebraicas, usando literales,
para representar relaciones
entre las magnitudes.
Describe expresiones
verbales mediante formas
algebraicas y viceversa.

8QLGDG DFDGpPLFD
FXUULFXODU
0DWHPiWLFDV ,
RPSHWHQFLDV
GLVFLSOLQDUHV GHO
iUHD GH PDWHPiWLFDV
1LYHOHV GH ORJUR
Formula y resuelve
problemas
matemáticos,
enfoques.
Soluciona problemas
aritméticos y
algebraicos.
y principios medulares que
subyacen a una serie de
fenómenos relacionados con
los números reales.
Emplea la
calculadora como
instrumento de
exploración y
YHULÀFDFLyQ GH
resultados.
Utiliza la calculadora como
herramienta de exploración
de resultados.
Observaciones:

BII
'HVHPSHxRV GHO HVWXGLDQWH DO FRQFOXLU HO EORTXH
‡ Ubica en la recta numérica números reales
y sus respectivos simétricos.
‡ Combina cálculos de porcentajes, descuen-
tos, intereses, capitales, ganancias, pérdidas,
ingresos, amortizaciones, utilizando distin-
tas representaciones, operaciones y propie-
dades de números reales.
‡ Utiliza razones, tasas, proporciones, varia-
ciones y modelos de variación proporcio-
nal directa e inversa.
‡ Construye modelos aritméticos, algebraicos
R JUiÀFRV DSOLFDQGR ODV SURSLHGDGHV GH
los números reales.
8WLOL]DV PDJQLWXGHV
Q~PHURV UHDOHV
46

RPSHWHQFLDV JHQpULFDV D GHVDUUROODU
4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en dis-
tintos contextos mediante la utilización de medios, códi-
gos y herramientas apropiados.
4.1 Expresa ideas y conceptos mediante representaciones
OLQJtVWLFDV PDWHPiWLFDV R JUiÀFDV
5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a proble-
mas a partir de métodos establecidos.
5.2 Ordena información de acuerdo a categorías, jerarquías
y relaciones.
RPSHWHQFLDV GLVFLSOLQDUHV D GHVDUUROODU
1. Construye e interpreta modelos matemáticos mediante
la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos,
geométricos y variacionales, para la comprensión y análi-
sis de situaciones reales, hipotéticas o formales.
2. Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando
diferentes enfoques.
,QWHUSUHWD WDEODV JUiÀFDV PDSDV GLDJUDPDV WH[WRV FRQ
VtPERORV PDWHPiWLFRV FLHQWtÀFRV
47

48 Matemáticas I
4848
Dinamización y motivación
En el presente bloque se pretende que ingreses al campo de magnitudes y números reales (razo-
nes, proporciones y variación directa e inversa) a través de las unidades de competencia, que se
encuentran en la portadilla de este bloque y que tal vez ya leíste. Para que empieces a poner
en práctica estas unidades de competencia, planteamos las siguientes situaciones, donde apli-
carás los conceptos sobre razones y proporciones que aprendiste desde tu formación básica, y
con los que seguramente te habrás ya enfrentado en la escuela, en tu casa o en la calle. Nuestra
intención es que no solamente puedas dar con la respuesta correcta (como seguramente consi-
gues hacer en la vida cotidiana), sino también explicar la fundamentación de tu razonamiento.
‡ 6LWXDFLyQ . Esteban trabaja en una ferretería. El otro día el encargado le pidió
que almacenara 45 litros de pintura roja en botes de ¾ de litro. ¿Cuántos botes
de ¾ de litro tuvo que llenar Esteban?
‡ 6LWXDFLyQ . Guadalupe terminó en 15 minutos el platillo que su mamá le sirvió, y
durante su consumo comió 6 tortillas. ¿Cada cuánto tiempo consumió una tortilla?
‡ 6LWXDFLyQ . La llave principal de la toma de agua de la casa de Juan se abre com-
pletamente para llenar una cubeta de 20 litros, lo cual demora 5 minutos. ¿Cuál es
la cantidad de litros de agua que sale de la llave por minuto?
‡ 6LWXDFLyQ (Q OD DVLJQDWXUD GH 0DWHPiWLFDV , HO SRUFHQWDMH GH FDOLÀFDFLyQ DVLJ-
QDGR D ODV ÀUPDV HQ OD OLEUHWD FRPR SDUWH GH ODV HYLGHQFLDV HV GHO VL HO WRWDO
GH ÀUPDV HV GH W~ REWXYLVWH VyOR ¢TXp SRUFHQWDMH WH FRUUHVSRQGH GH OD
FDOLÀFDFLyQ

49 BIIUtilizas magnitudes y números reales
6HVLyQ $ Comparación
entre números reales
Problematización
Una mañana muy temprano, antes de salir rumbo a la escuela, Emmanuel encendió la tele y es-
cuchó en el noticiero lo siguiente: En Chihuahua, la lluvia se precipitó durante las 23 horas del
sábado. En total cayeron 190 milímetros de agua en tan sólo 5 horas, cantidad récord para esta
FLXGDG OR TXH RFDVLRQy HO GHUUXPEDPLHQWR GH XQD FDQWLGDG D~Q QR HVSHFLÀFDGD GH YLYLHQGDV
negocios. ¿Cuál crees que fue la tasa de caída del agua?
Razón y tasa
En nuestra vida tenemos que hacer comparaciones con diferentes cosas y situaciones para
GDUOH XQ VLJQLÀFDGR D QXHVWUDV DFWLYLGDGHV (Q PDWHPiWLFDV ODV FRPSDUDFLRQHV VRQ GH PXFKD
LPSRUWDQFLD SRUTXH QRV SHUPLWHQ UHODFLRQDU GLIHUHQWHV FDQWLGDGHV FRQ OD ÀQDOLGDG GH LQWHU-
SUHWDU VLJQLÀFDWLYDPHQWH XQD VLWXDFLyQ R IHQyPHQR
El concepto de razón es básico en matemáticas; por ejemplo, si alguien te pidiera
descifrar cuántas veces es mayor tu papá o tu mamá que tú, tendrías que dividir la edad de
tu papá o mamá entre tu edad. Si le damos valores numéricos (39 años a tu papá y 15 a ti), la
FRPSDUDFLyQ HQWUH ODV FDQWLGDGHV UD]yQ

VHUtD GH ¢3HUR VDEHV FXiO HV HO VLJQLÀFDGR
GH HVWH Q~PHUR 6LJQLÀFD TXH WX SDSi WLHQH DxRV SRU FDGD DxR WXR OR FXDO FRPR SXHGHV
ver, no resultó nada complicado de descifrar.
Otro ejemplo sería el de un automóvil que recorre una distancia de 160 km en 2
horas. ¿Cuál es la velocidad del automóvil?, ¿cómo la calcularías? Sin duda, debido a tus cursos
de Física de la secundaria, ya sabes que la fórmula es v=d/t, por lo que, para saber cuál es la
velocidad, sólo tienes que dividir 160 km/2 h , lo que da 80 km/h.
3DUD TXH FRPSUHQGDV ORV FRQFHSWRV GH UD]yQ WDVD OHH OD VLJXLHQWH GHÀQLFLyQ
Razón: una razón es la comparación entre dos cantidades que tienen las mismas
unidades, y que se puede representar mediante un cociente o división.
Existen tres formas de presentar una razón:
D

Como dos números separados por la letra a: 23 a 4.
F

Como dos números separados por dos puntos: 23:4.

50 Matemáticas I
Tasa: cuando se comparan cantidades de distintas unidades o de distinto tipo, se
le llama tasa y se puede escribir como fracción.
Por ejemplo:
6L HQ OD ODWD GH XQ ERWH GH SLQWXUD GH / VH HVSHFLÀFD TXH VLUYH SDUD SLQWDU XQD
VXSHUÀFLH GH P2
, entenderíamos que por cada m2
que pintemos, necesitaríamos cinco litros
de pintura, es decir:

Después de haber analizado estos conceptos, te proponemos realizar la siguiente
actividad para que pongas en práctica tus saberes:
En parejas resuelve los siguientes ejercicios:
1) En un juego de basquetbol, los Lakers de Los Ángeles acertaron 12 tiros libres
de 20 intentos y, los equipos Celtics de Boston, 17 de 23 intentos. Determina qué
equipo es más efectivo en los tiros libres.
2) El jamaiquino Usain Bolt es el hombre más rápido del mundo, ya que en 2009,
en Berlín, Alemania, corrió los 100 m planos en sólo 9.58 segundos. ¿Cuál es su
velocidad en m/s?
Síntesis
Organizados en parejas, resuelvan correctamente los siguientes ejercicios:
1) Catalina va al supermercado con $50.00 y tiene que comprar tortillas ($4.85), hue-
vos ($12.50), mantequilla ($5.15), harina ($10.90), frijoles ($7.65) y aceite ($13.75).
¿Cuánto le sobró o le faltó?
2) Una tableta de una medicina pesa de onza. ¿Cuál es el peso de de tableta?
3) Una botella cuya capacidad es litros contiene agua hasta sus partes. ¿Qué
cantidad de agua contiene?

4) Un granjero colocó una cerca alrededor de su parcela para que no entraran los
animales a comerse sus verduras. La parcela es de forma cuadrada y cada lado
mide 10 m.
Si puso los postes cada de metro, ¿cuántos postes colocó?
5) Un rectángulo tiene de área 7/3 cm2
y sabemos que uno de sus lados mide 2/5
cm. ¿Cuánto medirá el otro lado?
6) La Tierra gira alrededor del Sol a 29.7 kilómetros por segundo. Marte lo hace a
0.81 veces la velocidad de la Tierra. ¿Cuál de los dos planetas gira más rápido?
¿Por qué? ¿A qué velocidad gira Marte?
7) Con base en la siguiente tabla, realiza lo que se te solicita a continuación. Recuer-
GD VLPSOLÀFDU ODV IUDFFLRQHV FXDQGR HVWR VHD SRVLEOH
(TXLSR
GH EDVTXHWERO
(TXLSR
GH YROHLERO
$OXPQDV 17 31
$OXPQDV 28 19
7RWDO 45 50
D Escribe la razón de alumnas a alumnos en el equipo de basquetbol.
E Escribe la razón del número total de personas entre el equipo de basquet-
bol y el equipo de voleibol.

52 Matemáticas I
ÉUHD GH
FRQRFLPLHQWR
0DWHPiWLFDV
DWHJRUtD
RPSHWHQFLD
JHQpULFD
$WULEXWRV
,QGLFDGRUHV GH
GHVHPSHxR
1LYHOHV GH ORJUR
1. Se
autodetermina y
cuida de sí.
1. Se conoce
y valora a sí
mismo y aborda
problemas y
retos teniendo
en cuenta los
objetivos que
persigue.
1.1 Enfrenta las
GLÀFXOWDGHV TXH VH
le presentan y es
consciente de sus
valores, fortalezas
y debilidades.
Realiza preguntas
sobre las dudas
que se le
presentan.
Retroalimenta
sus procesos de
aprendizaje.
2. Se expresa y
comunica.
4. Escucha,
interpreta y
emite mensajes
pertinentes
en distintos
contextos
mediante la
utilización de
medios, códigos
y herramientas
apropiados.
4.1 Expresa ideas
y conceptos
mediante
representaciones
lingüísticas,
matemáticas o
JUiÀFDV
Se expresa de
manera lógica y
creativa.
Representa
relaciones
entre diversos
conceptos.
Observaciones:

8QLGDG DFDGpPLFD
FXUULFXODU
0DWHPiWLFDV ,
%ORTXH ,, 8WLOL]DV PDJQLWXGHV Q~PHURV UHDOHV
RPSHWHQFLDV
GLVFLSOLQDUHV GHO iUHD
GH PDWHPiWLFDV 'HVHPSHxRV ,QGLFDGRUHV
1LYHOHV GH ORJUR
de procedimientos
aritméticos,
algebraicos,
geométricos y
Formula y resuelve
problemas
matemáticos,
enfoques.
Interpreta tablas,
JUiÀFDV PDSDV
diagramas y textos con
símbolos matemáticos
FLHQWtÀFRV
Utiliza razones,
tasas, proporciones
y variaciones,
modelos de variación
proporcional directa e
inversa.
Comprendo el
concepto de razón,
tasa y proporción.
Utilizo razones y
tasas.
Observaciones:

54 Matemáticas I
6HVLyQ % Las proporciones
y sus clases
Problematización
En el departamento de ropa para caballeros de un centro comercial, los pantalones
marca Cimarrón tienen un costo de $150, pero la tienda decide hacer una rebaja del 20 % a
estos pantalones. ¿Cuál es el descuento en pesos?
Proporciones
(Q OD VHVLyQ $ DQDOL]DPRV ORV FRQFHSWRV GH UD]RQHV WDVDV TXH VH GHÀQtDQ FRPR OD FRPSDUD-
ción entre dos cantidades con las mismas unidades y entre distintas unidades, respectivamente.
Ahora, en esta sesión aprenderemos el concepto y las propiedades de las proporciones para que
tengas el sustento en las aplicaciones.
Al inicio de este bloque te planteamos las siguientes situaciones:
‡ (Q OD DVLJQDWXUD GH 0DWHPiWLFDV , HO SRUFHQWDMH DVLJQDGR D ODV ÀUPDV HQ OD OLEUHWD
FRPR SDUWH GH ODV HYLGHQFLDV HV GHO 6L HO WRWDO GH ÀUPDV HV GH W~ REWX-
YLVWH ÀUPDV ¢TXp SRUFHQWDMH WLHQHV HQ HVWD HYLGHQFLD OLEUHWD

‡ Durante las vacaciones de verano, Flor viaja con sus padres y hermanos a Chetumal.
Durante el recorrido pasan por el municipio de Oxkutzcab y se detienen en el
mercado municipal a comprar frutas. A ella le gustan las naranjas dulces y su papá
le da $15 para que las compre. Si cada montón de naranjas (3 naranjas) cuesta $5
pesos, ¿cuántos montones puede comprar?
¿Recuerdas cómo resolviste estos problemas? Como puedes notar, en este tipo de
situaciones se conocen tres valores y uno es desconocido. ¿Recuerdas el nombre del procedi-
miento que usabas en la secundaria para resolverlas?
Estamos seguros de que la mayoría lo recuerda, pero para los que no, el procedi-
miento se conoce como UHJOD GH WUHV. Esta regla es una aplicación del tema que analizaremos
en breve, y que se llama SURSRUFLRQHV.
En esta sesión aprenderemos el concepto y las propiedades de las proporciones para
que tengas el sustento en las aplicaciones de la sesión 3, que trata de variación directa e inversa.
3DUD WHQHU XQD LGHD PiV FODUD VREUH OR TXH HV XQD SURSRUFLyQ WHQHPRV OD VLJXLHQWH GHÀQLFLyQ
3URSRUFLyQ: es la igualdad entre dos razones (o tasas). Una proporción se
escribe de la forma:
a
b
c
d
= o a:b = c:d, y se lee “a es a b como c es a d”.

En cualquiera de las formas enunciadas, las literales a y d son los extremos y, b y c,
los medios.
Un ejemplo de proporción sería el siguiente:
x
4
6
3
=
Propiedades de las proporciones
Las siguientes propiedades te ayudarán en la resolución de ejercicios y problemas sobre
proporciones:
1) En toda proporción el producto de los medios es igual al producto de los extremos.
Sí
a
b
c
d
= =entonces ad bc
2) En toda proporción un extremo cualquiera es igual al producto de los medios
entre el extremo conocido.
En
a
b
c
d d
o d
a
= = =entonces a
bc bc
3) En toda proporción un medio es igual al producto de los extremos entre el medio
conocido.
En
a
b
c
d
ad
c
o c
ad
b
= = =entonces b
7H UHFRUGDPRV TXH HQ OD VHVLyQ DQWHULRU XQD UD]yQ VH GHÀQtD FRPR OD FRPSDUDFLyQ
entre dos cantidades que tienen las mismas unidades. Debe quedarte claro que una propor-
ción es una aplicación del concepto de razón, pero para más de dos cantidades, donde nor-
malmente hay una cantidad desconocida.
Después de haber analizado este importante concepto, te proponemos realizar las
siguientes actividades para que pongas en práctica tus conocimientos. Tienes que trabajar en
equipos, por lo que te sugerimos que te solidarices con tus compañeros para llegar a la reso-
lución correcta de todas las actividades.
Organizados en equipos de 3 personas, resuelvan los siguientes problemas:
1)
D
x
E
x
F
x

G x
x

56 Matemáticas I
2) Una antena proyecta una sombra de 50.4 metros ( ) y, un poste de 2.54 metros ( )
de altura una de 4.21 metros ( ). ¿Cuánto mide la antena ( )?
A B
E
D
C
sombra de la antena sombra del poste
3) La tabla contiene diferentes cantidades de litros de gasolina y sus respectivos pre-
cios. Complétenla y realicen lo que se indica posteriormente.
/LWURV GH JDVROLQD 1 3 9
7RWDO D SDJDU 21 42 420
4) Para pintar una barda mezclé 8 litros de pintura amarilla con 18 litros de pintura
D]XO SHUR OD PH]FOD IXH LQVXÀFLHQWH 6L PH VREUDURQ OLWURV GH SLQWXUD DPDULOOD
¿con cuánta pintura azul debo mezclarla para obtener el mismo tono?
5) Para preparar un tipo de chocolate, hay que comprar 3 kg de azúcar por cada 6
kg de cacao. ¿Cuánto cacao hay que comprar para 2, 5, 10 y 25 kg de azúcar? Es-
criban sus respuestas en la siguiente tabla y respondan las preguntas posteriores:
.LORV GH D]~FDU .LORV GH FDFDR
2
3 6
5
10
25
‡ ¿Existe un número que al multiplicarse por cualquier cantidad de kilogramos de
azúcar dé como resultado los kilogramos de cacao correspondientes?¿Cuál es?
‡ ¿Cuántos kilogramos de cacao se necesitan por cada kilogramo de azúcar?

‡ ¢4Xp UHODFLyQ HQFXHQWUDQ HQWUH HO IDFWRU FRQVWDQWH TXH LGHQWLÀFDURQ HO Q~PHUR
de kilogramos de cacao por cada kilogramo de azúcar?
‡ Utilicen el factor constante para calcular los kilogramos de cacao necesarios para
7, 18, 35, 42 y 64 kilogramos de azúcar.
6) Tres amigos obtienen un premio de $1 000.00 en la lotería. ¿Cómo deben repar-
tirlo si uno de ellos aportó $12.00, el otro $8.00 y el tercero $15.00 para comprar
el boleto?
7) Cuatro amigos ganaron un premio de $15 000.00 en un sorteo y se lo repartieron
proporcionalmente a lo que cada uno aportó para la compra del boleto, que costó
$100.00. Al primero le tocaron $2 100.00, al segundo $5 700.00, al tercero $3 300.00
y al cuarto el resto de los $15 000.00. ¿Cuánto aportó cada amigo para la compra
del boleto?
Síntesis
En equipos resuelvan el siguiente problema:
1) 6H TXLHUH KDFHU XQD UHSURGXFFLyQ D HVFDOD GH OD ÀJXUD TXH VH PXHVWUD D FRQWLQXD-
FLyQ GH PDQHUD TXH HO ODGR TXH PLGH FP PLGD FP HQ OD ÀJXUD UHSURGXFLGD
¿Cuánto deben medir los demás lados? Utilicen la tabla para anotar las medidas.
9 cm
5 cm
2 cm
11 cm
0HGLGDV GH ORV ODGRV
GH OD ÀJXUD RULJLQDO
0HGLGDV GH ORV ODGRV
GH OD ÀJXUD UHSURGXFLGD
5 cm 12 cm
2 cm
9 cm
11cm

58 Matemáticas I
2) En un almacén de autos nuevos la razón entre el número de autos y de ruedas es
2:5. Si hay 50 autos, ¿cuántas ruedas hay?
3) En un supermercado la razón entre los plátanos y las sandías es 3:5. Si el total de
frutas es 120, ¿cuántos plátanos y cuántas sandías hay?
4) Por tres kilogramos de azúcar se pagan $49.50. ¿Cuánto se pagará por 14 kilo-
gramos?
5) Un procedimiento para conocer el tiempo de vida de un árbol es contar las capas
internas del tronco. Generalmente un roble tarda 13 años para formar tres capas.
Si un tronco tiene 50 capas, ¿Cuál es la edad aproximada del roble en cuestión?
ÉUHD GH
FRQRFLPLHQWR
0DWHPiWLFDV
DWHJRUtD RPSHWHQFLD JHQpULFD $WULEXWRV
,QGLFDGRUHV GH
GHVHPSHxR
1LYHOHV GH ORJUR
1. Se
autodetermina y
cuida de sí.
1. Se conoce y valora a sí mismo
y aborda problemas y retos
teniendo en cuenta los objetivos
que persigue.
1.1 Enfrenta las
GLÀFXOWDGHV TXH VH
le presentan y es
consciente de sus
valores, fortalezas
y debilidades.
Realiza preguntas
sobre las dudas
que se le
presentan.
Retroalimenta
sus procesos de
aprendizaje.
2. Se expresa y
comunica.
4. Escucha, interpreta y emite
mensajes pertinentes en
distintos contextos mediante la
utilización de medios, códigos y
herramientas apropiados.
4.1 Expresa ideas
y conceptos
mediante
representaciones
lingüísticas,
matemáticas o
JUiÀFDV
Se expresa de
manera lógica y
creativa.
Representa
relaciones
entre diversos
conceptos.
Observaciones:

8QLGDG DFDGpPLFD
FXUULFXODU
0DWHPiWLFDV ,
RPSHWHQFLDV
GLVFLSOLQDUHV
GHO iUHD GH
PDWHPiWLFDV
1LYHOHV GH ORJUR
1. Construye e
interpreta modelos
matemáticos
mediante la
aplicación de
procedimientos
aritméticos,
algebraicos,
geométricos y
variacionales, para
la comprensión
y análisis de
situaciones reales,
hipotéticas o
formales.
2. Formula y
resuelve problemas
matemáticos,
enfoques.
3. Interpreta tablas,
JUiÀFDV PDSDV
diagramas y textos
con símbolos
matemáticos y
FLHQWtÀFRV
Utiliza
razones, tasas,
proporciones
y variaciones,
modelos de
variación
proporcional
directa e inversa.
Comprendo el concepto
de proporción.
Interpreto las
propiedades de las
proporciones.
Utilizo razones, tasas y
proporciones.
Aplico las propiedades
fundamentales de las
proporciones.
Observaciones:

60 Matemáticas I
6HVLyQ Proporcionalidad
directa e inversa
Problematización
SLQWRUHV WUDEDMDQGR KRUDV GLDULDV SLQWDQ XQ HGLÀFLR HQ GtDV ¢XiQWRV GtDV GHPRUDUiQ
SLQWRUHV HQ SLQWDU HO PLVPR HGLÀFLR WUDEDMDQGR KRUDV GLDULDV
¿7H KDV ÀMDGR TXH HQ RFDVLRQHV PHGLDQWH XQ VLPSOH FiOFXOR PDWHPiWLFR SXHGHV FRQRFHU HO
resultado de algún problema en particular? Te pondré un ejemplo: vas a la tienda y compras 5
latas de algún refresco y con 35 pesos. Si posteriormente debes volver a ir a comprar 8 latas,
¿cuánto dinero tendrías que llevar?
Por medio de simples multiplicaciones y divisiones puedes realizar el cálculo y hallar
la respuesta, es decir, si por 5 latas pagaste 35 pesos, eso quiere decir que cada lata costó 7
pesos. Ahora bien, si cada lata cuesta 7 pesos, ¿cuánto costarían 8 latas? Realizando la multi-
SOLFDFLyQ WHQHPRV TXH ‡ R VHD ODWDV FRVWDUtDQ SHVRV $ HVWH JUXSR GH GLYLVLRQHV
PXOWLSOLFDFLRQHV SDUD KDOODU XQ UHVXOWDGR HVSHFtÀFR

VH OH FRQRFH FRPR UD]RQHV y SURSRUFLRQHV.
Tomemos otro ejemplo. Si un señor se tarda 16 días en sembrar árboles en su patio
trasero, ¿cuántos días se tardarían el señor y su esposa en plantar la misma cantidad de árboles?
Dado que una persona tarda 16 días, dos personas tardarían la mitad, es decir, 8 días.
¢7H ÀMDVWH FyPR HQ RFDVLRQHV PLHQWUDV PiV DXPHQWD XQD YDULDEOH OOiPHVH UHIUHVFRV
dinero, personas, días, etcétera) más aumenta también otra variable? Como en el primer caso,
mientras más refrescos quieras comprar, más dinero costarán. En contraste, en algunas ocasiones
conforme más aumente una variable, más disminuye otra. Como en el segundo caso, más
SHUVRQDV LQYHUWLUtDQ PHQRV GtDV HQ UHDOL]DU OD VLHPEUD GH iUEROHVତ$ FRQWLQXDFLyQ VH SUHVHQWDQ
los diversos tipos de proporciones:
Proporcionalidad directa
Una proporción es directa si cuando aumenta una variable la otra aumenta también, o bien,
si al disminuir una variable, la otra disminuye también.
(MHPSOR
Si 7 camisas cuestan 28 pesos, ¿cuánto costarán 10 camisas?
Hay que hallar el costo en pesos de 10 camisas. Para abreviar la palabra “costo en
pesos de 10 camisas” llamémosle a esta variable simplemente “x”; así en lo sucesivo llamare-
mos x, a las variables cuyo valor sea desconocido.

7 camisas
28 pesos
1 camisas
x pesos
=
0
7 x 1 28
7x 28
pesos
( )( ) = ( )( )
=
=
=
0
0
280
7
40
x
10 camisas costarían 40 pesos.
(MHPSOR
Si 30 motocicletas en un taller representan 2/3 del total, ¿cuántas motocicletas
representarían 1/3?
Primero representamos la relación, para posteriormente hallar el valor del total de
motocicletas:
30
3x
2
=
donde x es el total de motocicletas:
3 3 2
9 2x
0
0
90
2
45
( )( ) = ( )( )
=
=
=
x
x
x
45 es el total de motocicletas en el taller. Ahora bien, 1/3 de esas motocicletas
representaría 15 motocicletas, ya que los 2/3 serían 30 y los 3/3, es decir, un entero correspon-
dería a las 45 motocicletas.
En esta relación tenemos que si una variable aumenta, la otra también, y que si una
variable disminuye, la otra lo hará de igual forma. Ésta es la proporción directa. ¿Qué otros
ejemplos de relaciones directas puedes encontrar?
Proporcionalidad inversa
Una proporción es inversa si, cuando aumenta una variable, la otra disminuye; o bien, si al
disminuir una variable, la otra aumenta.
En otras palabras, podemos decir que el comportamiento de la segunda variable es inverso al
de la primera. Caso contrario es el de las proporciones directas, en donde el comportamiento
de las variables es igual.
(MHPSOR
5 muchachos arreglan un local para unos XV años en 4 horas. ¿Cuántos muchachos
serían necesarios para poder arreglar el local en una hora suponiendo que todos los chavos
trabajasen al mismo ritmo?
Si tenemos que 5 muchachos arreglan el local en 4 horas, se nos pide que hallemos
cuántos lo harían en una:
(5 jóvenes)(4 horas) = (x muchachos) (1 hora)
20 = x
20 muchachos arreglarían el local en una sola hora.
Dicha relación es inversa, ya que mientras más muchachos ayuden, menos horas se
requerirán para el arreglo del local.

62 Matemáticas I
1) La empleada de una perfumería obtiene el 12 % de cada venta que realiza.
Si logra vender 9 perfumes a $750 cada uno, ¿cuál es su comisión?
2) Un médico examina a un enfermo y encuentra que su corazón late unifor-
memente 20 veces en 12 segundos. ¿Cuántos latidos detectará el médico
en un minuto?
3) En una fábrica 15 obreros elaboran un pedido de mercancía en 8 días de
trabajo. ¿Cuántos obreros tendrán que aumentarse para entregar el pedi-
do en tres días?
4) Con de litro de gasolina, una podadora puede segar el pasto de m
en un terreno. ¿Qué cantidad de gasolina se requiere para segar m ?
Síntesis
Resuelve correctamente los siguientes problemas:
1) Un tanque de agua tarda 90 minutos en llenarse con dos surtidores.
¿Cuántos surtidores se deben emplear para llenarlo en 30 minutos?
2) Eduardo gana $209 700 despues de recibir un aumento. ¿Cuál fue el por-
centaje de ese aumento, si el sueldo anterior era de $181 550?
3) Un avión en condiciones normales de vuelo consume 10 toneladas de
combustible en un recorrido de 2500 km. ¿Cuántas toneladas consumirá
en un viaje de 3200 km en las mismas condiciones de vuelo?
4) Saúl demora 20 días en pintar una casa. ¿Cuánto demorarán Saúl, Gerardo,
Alberto y Efraín en pintar la misma casa si todos tienen el mismo ritmo de
trabajo?
5) Una compresora tiene capacidad de de caballos de fuerza y tarda
PLQXWRV HQ LQÁDU XQD OODQWD ¢XiO VHUi OD FDSDFLGDG GH XQD FRPSUHVRUD
que tarda PLQXWRV HQ LQÁDU OD PLVPD OODQWD

ÉUHD GH
FRQRFLPLHQWR
0DWHPiWLFDV
DWHJRUtD
RPSHWHQFLD
JHQpULFD
$WULEXWRV
,QGLFDGRUHV GH
GHVHPSHxR
1LYHOHV GH ORJUR
1. Se
autodetermina y
cuida de sí.
1. Se conoce
y valora a sí
mismo y aborda
problemas y
retos teniendo
en cuenta los
objetivos que
persigue.
1.1 Enfrenta las
GLÀFXOWDGHV TXH VH
le presentan y es
consciente de sus
valores, fortalezas
y debilidades.
Realiza preguntas
sobre las dudas
que se le
presentan.
Retroalimenta
sus procesos de
aprendizaje.
2. Se expresa y
comunica.
4. Escucha,
interpreta y
emite mensajes
pertinentes
en distintos
contextos
mediante la
utilización de
medios, códigos
y herramientas
apropiados.
4.1 Expresa ideas
y conceptos
mediante
representaciones
lingüísticas,
matemáticas o
JUiÀFDV
Se expresa de
manera lógica y
creativa.
Representa
relaciones
entre diversos
conceptos.
Observaciones:

64 Matemáticas I
8QLGDG DFDGpPLFD
FXUULFXODU
0DWHPiWLFDV ,
RPSHWHQFLDV
GLVFLSOLQDUHV
GHO iUHD GH
PDWHPiWLFDV
1LYHOHV GH ORJUR
1. Construye e
interpreta modelos
matemáticos
mediante la
aplicación de
procedimientos
aritméticos,
algebraicos,
geométricos y
variacionales, para
la comprensión
y análisis de
situaciones reales,
hipotéticas o
formales.
2. Formula y
resuelve problemas
matemáticos,
enfoques.
3. Interpreta tablas,
JUiÀFDV PDSDV
diagramas y textos
con símbolos
matemáticos y
FLHQWtÀFRV
Utiliza
razones, tasas,
proporciones
y variaciones,
modelos de
variación
proporcional
directa e inversa.
Reconozco variaciones
directas e inversas, y
aplico las propiedades
de las proporciones a
ejercicios y problemas
asociados a la vida
cotidiana.
Utilizo variaciones.
Utilizo modelos de
variación proporcional
directa e inversa.
Observaciones:

Realimentación
En forma individual, resuelve los siguientes ejercicios:
1. Encuentra el valor de x en las siguientes proporciones:
D
x
E x
F
x
G
x
x
2. En un grupo de 30 alumnos, 4 de ellos tienen playera de color azul, 5 de color verde, 6 de
color rojo y el resto de color café.
D ¿Cuál es la razón entre los alumnos que tienen playera de color café y el
total de alumnos?
E ¿Cuál es la razón entre los alumnos que tienen playera de color rojo y de
color verde?
3. Una costurera produce 40 camisas del tipo “vestir” por cada 60 unidades del tipo “popu-
lar”. ¿Cuál es la razón del número de unidades del tipo “popular” respecto al de “vestir”?
4. La razón entra la edad de Omar y la de su hijo es 5:2. Si Omar tiene 36 años, ¿cuántos
años tiene su hijo?
5. Un tráiler recorre cierta distancia en 9 horas a una velocidad de 52 kph. ¿Qué velocidad
deberá tomar para hacer el mismo recorrido en 6 horas?
6. La gerente de una cafetería pide 750 platos para postre. ¿Cuál será el costo de la orden si
compra al mayoreo 6 tazas por $45?
7. En un internado hay 420 niños y comida para 30 días. ¿Cuánto duraría esa misma comida
si fueran 630 niños?
8. Un sastre compró 5m de tela y pagó por ella $125. Si necesita 9 m de la misma tela,
¿cuánto debe pagar?
9. Para efectuar el mantenimiento de los patios de la escuela, que mide 60 m2
, se dieron
cita 4 padres de familia, quienes realizaron el mantenimiento en 3 horas. Si para limpiar
el patio más grande se reunieron 10 padres de familia y trabajaron durante 4 horas, ¿cuál
HV OD VXSHUÀFLH TXH WLHQH GLFKR SDWLR
10. Nueve operarios le dan servicio a 20 máquinas en 60 días, ¿Cuántas máquinas pueden ser
atendidas por 12 operarios en 36 días?

66 Matemáticas I
ÉUHD GH
FRQRFLPLHQWR
0DWHPiWLFDV
DWHJRUtD
RPSHWHQFLD
JHQpULFD
$WULEXWRV
,QGLFDGRUHV GH
GHVHPSHxR
1LYHOHV GH ORJUR
1. Se
autodetermina y
cuida de sí.
1. Se conoce
y valora a
sí mismo
y aborda
problemas y
retos teniendo
en cuenta los
objetivos que
persigue.
1.1 Enfrenta las
GLÀFXOWDGHV TXH
se le presentan
y es consciente
de sus valores,
fortalezas y
debilidades.
Realiza
preguntas sobre
las dudas que
se le presentan.
Retroalimenta
sus procesos de
aprendizaje.
2. Se expresa y
comunica.
4. Escucha,
interpreta y
emite mensajes
pertinentes
en distintos
contextos
mediante la
utilización
de medios,
códigos y
herramientas
apropiados.
4.1 Expresa ideas
y conceptos
mediante
representaciones
lingüísticas,
matemáticas o
JUiÀFDV
Se expresa de
manera lógica y
creativa.
Representa
relaciones
entre diversos
conceptos.
Observaciones:
Evaluación de la competencia

Matematicas i-14

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