1. 「０がn個続いたあと1がn個続く」
を正規表現にできるか？
01, 0011, 000111, .....
2013.3.28 たぬき

2. おはなしの流れ
全ての正規表現には等価な有限オートマトンがあ
る。
有限オートマトンには必要条件がある。
さっきの問題は有限オートマトンの必要条件を満た
さない。よって、正規表現にはできない。

3. 有限オートマトン
有限オートマトンとは計算機のモデルである。
有限個の状態があり、入力信号によって状態間を遷移する。
ひとつの開始状態といくつかの受理状態がある。
0
1 1 状態 {A, B, C}
信号 {0, 1}
A B C 開始状態 A
0 0 受理状態 {C}
受理するもの ：011, 1101, 00101101, ...
受理しないもの：0, 110, 00110, ....

4. 正規表現のオートマトン変換
全ての正規表現は有限オートマトンへ変換できる。
時間が限られているので、正確な定義と証明は飛ばす。
※証明は「計算理論の基礎 第一巻」など参照。
ここでは幾つか正規表現をオートマトンに変換してみる。

5. 正規表現→オートマトン(1)
0*1 like検索
[0,1]*010[0,1]*
1 0 1 0
0 0,1 1
1 0 0,1
0,1

6. 正規表現→オートマトン(2)
0*1*001
0,1
0
0
0
1 1
1
1 0 1 0 0,1
1
0 0 1
0
1
正規表現は必ずオートマトンに変換できる

7. 必要条件：ポンピング補題
あるルールに従っている文字列の集合Aがオートマトンで表せる
とする。オートマトンの状態数をpとする。
そのとき、Aの集合に含まれる文字列のうち、長さpを超えるもの
は全て、以下の条件を満たす3つの文字列片x,y,zに分解できる。
1) 各i≧0について、x(y^i)z ∈ A
2) yの長さは0より大きい
3) xyの長さはpより小さいか等しい

8. ポンピング補題 簡易証明
状態の数pより長い任意文字列sは、必ず同一の状態を通るはず
（sによる行き先はpより多いのだから）。
よって、通る遷移にループが生まれているはず。
このループがyにあたると考えると……。
【補題内容】
1) 各i≧0について、x(y^i)z ∈ A
2) yの長さは0より大きい
3) xyの長さはpより小さいか等しい

9. 背理法による証明（方針）
「任意の整数nに対し、0がn個続いた後に1がn個続く」
を正規表現にできたとしよう。
すると、これはオートマトンにできるはずだ。
オートマトンにできるなら、ポンピング補題を満たすはずだ。

10. 背理法による証明（実装1）
「任意の整数nに対し、0がn個続いた後に1がn個続く」ことを表す
オートマトンの状態がp個だったとする。
ここで、0がp個続いたあと1がp個続く文字列sを考える。
sは明らかに上記条件を満たしている。
また、sの長さはpより大きい。
ポンピング補題より、sはxyzの3つの文字列に分けられ、以下を満た
すはずである。
1) 各i≧0について、x(y^i)z ∈ A
2) yの長さは0より大きい
3) xyの長さはpより小さいか等しい

11. 背理法による証明（実装2）
ここでyが0だけからなるとする。するとxyyzなどは0と1の数があわ
ず、以下を満たさない。
1) 各i≧0について、x(y^i)z ∈ A
1だけからなるとする場合も、同様に成り立たない。
0と1の組み合わせからなる場合、yyの内部で0より前に1が現れる
ようになり、成り立たない。
よって、「任意の整数nに対し、0がn個続いた後に1がn個続く」こは
ポンピング補題を満たさない。
→オートマトンにできない→正規表現にできない Q.E.D