基底変換、固有値・固有ベクトル、そしてその先

プログラマのための線形代数再入門 3
∼基底変換、固有値・固有ベクトル、そしてその先∼
2015/05/22 第3回プログラマのための数学勉強会
@taketo1024

(復習) 線形変換は空間の平行と比率を保つ変換

もっと複雑な変換も考えてみよう

(例1) 直線 y = x/2 への正射影

x軸への正射影はあんな簡単だったんだから
これももっと簡単にできるはず。

y = x/2 方向に X軸、直交する方向に Y軸を取り、
XY座標系でのベクトルを
~v =
✓
X
Y
◆
XY
と書けば、この座標系での f の表現行列は
B =
✓
1 0
0 0
◆
との関係がわかれば、元の xy 座標系における...

「座標系を定めること」＝「基底を定めること」
「基底」とは座標の基準となるベクトルの組
~v = X ~u1 + Y ~u2 =
✓
X
Y
◆
XY
（基底の取り方は色々あるが、その個数は空間に対して一意で、それを「次元」という）

これまでは「標準基底」：
を使って、
と表してきた。
~e1 =
✓
1
0
◆
xy
, ~e2 =
✓
0
1
◆
xy
~v = x~e1 + y ~e2 =
✓
x
y
◆
xy

y = x/2 方向と、それに直交する：
~u1 =
✓
2
1
◆
xy
, ~u2 =
✓
1
2
◆
xy
を基底として、新たに XY 座標系をとる。
(
~u1 = 2~e1 + ~e2
~u2 = ~e1 + 2~e2

~v = x~e1 + y ~e2
= X ~u1 + Y ~u2
= X(2~e1 + ~e2) + Y ( ~e1 + 2~e2)
= (2X Y )~e1 + (X + 2Y )~e2
より、
✓
x
y
◆
xy
=
✓
X
Y
◆
X...

~v =
✓
x
y
◆
xy
=
✓
X
Y
◆
XY
のとき、
✓
x
y
◆
=
✓
2 1
1 2
◆ ✓
X
Y
◆
となっていることが分かった！特に、
8
>>>><
>>>>:
~u1 =
1
0
!
XY
=
2
1
!
xy
...

逆に、
これで座標変換のルールが完全に分かった！
✓
X
Y
◆
=
✓
2 1
1 2
◆ 1 ✓
x
y
◆
=
1
5
✓
2 1
1 2
◆ ✓
x
y
◆

XY座標系での f の行列表示は B =
✓
1 0
0 0
◆
で、
より、xy 座標系での f の行列表示は、 A = UBU 1

実際に計算すると、
前に求めたのと同じ結果になる！

図式にすると分かりやすい：
考えやすい座標に移して変換を施し、元の座標に戻しただけ。

「良い基底」を取ると変換がグッと簡単になる！

(例2) 直線 y = x/2 に関する反転

(例3) y = x/2 方向に 2倍、y = 2x 方向に 3倍する変換

二つの基底 {~e1, ~e2} { ~u1, ~u2} があり、
(
~u1 = a1 ~e1 + a2 ~e2
~u2 = b1 ~e1 + b2 ~e2
で、ベクトルが二つの基底で、
✓
x
y
◆
=
✓
a1 b1
a2 b2
◆ ...

基底変換の行列を U ,
それぞれの基底での f の行列表示を A, B とすると、
A = UBU 1 となる！

「うまい基底」が取れると、線形変換は簡単に表現できる。
→ どんな変換に対してもそんな基底は取れるだろうか？
→ 固有値・固有ベクトル問題へ！

(例) で表される線形変換 f を考えるA =
✓
5 6
2 2
◆
f をもっと分かりやすく表現できる「うまい基底」はあるだろうか？

互いに平行でない ~u1, ~u2 に対して、
(
f( ~u1) = a ~u1
f( ~u2) = b ~u1
となっていれば、{ ~u1, ~u2} を基底として、
B =
✓
a 0
0 b
◆
とできる。

~u =
✓
x
y
◆
f(~u) = a~u
,
✓
5 a 6
2 2 a
◆ ✓
x
y
◆
=
✓
0
0
◆
✓
x
y
◆
6=
✓
0
0
◆
det
✓
5 a 6
2 2 a
◆
= 0
が、となっているとすると、
ならば...

に対して、 f(~u) = a~u であるならば、
と、それぞれ方向が1通りに定まったので…

f は方向を変えず、方向を2倍する変換だった！
✓
3
2
◆ ✓
2
1
◆
この方向に基底を取れば、行列は B =
✓
1 0
0 2
◆
となる。

f によって方向の変わらないベクトルを固有ベクトルといい、
その方向における拡大の倍率を固有値という。
固有ベクトルを基底に取ることができれば、変換はとても簡単に表せる。
（いつも取れるとは限らない）

まとめ
• 線形変換に対して基底を上手く取れば、行列は簡単に表現できる。
• 特に固有ベクトルで基底が取れれば、行列は偏倍変換の形になる。
• 一般の基底に対しては、基底変換でその行列を書き換えれば OK。

今日伝えたかったこと：この図式の素晴らしさ
難しい問題を視点を変えることで簡単に解く、数学の営みそのもの。

これまで「ベクトル」は、足し算とスカラー倍ができる矢印のことだった。
これからは、足し算とスカラー倍ができるものを全て「ベクトル」と呼ぶ！
（公理化＝数学的開き直り）

実は矢印以外の「ベクトル」は既にたくさん知っている：
• 実数、複素数はそれ自体ベクトル
• (m, n) 型行列は、mn 次元のベクトル
• n 次多項式は n+1 次元のベクトル
• 数列もベクトル（一般に無限次元）
• 関数もベクトル（...

総まとめ
• 線形代数では「線形性」を持つ空間や変換を扱う。
• ベクトルは数の組、変換は行列として具体的に表現できる。
• 変数の数が多くても「線形」であればまとめて簡単に扱える！

「線形感覚」が身につくと、
個別に理解していたことの多くが統一的に見られるようになる。

Thanks!
Twitter: @taketo1024 
Blog: http://taketo1024.hateblo.jp

基底変換、固有値・固有ベクトル、そしてその先

Taketo Sano