31. 正規分布の平均の点推定
1
• 標本平均が
不偏性
µ
ˆ = ∑ Xi
n i
一致性
有効性 (BLUE)
最尤性
• のすべての意味で、一番良い推定量である。
32. 正規分布の分散の点推定
• 平均 μ が既知の場合
2 1 n
σ = ∑ ( X i − µ )2
n i =1
• 平均 μ が未知の場合
最尤推定
不偏推定 2 1 n
σ = ∑ ( X i − X )2
n i =1
2 1 n
σ = ∑
n − 1 i =1
( X i − X )2
33. 不偏分散
n
E[ S ] = E[ ∑ ( X i − X ) 2 ]
2
i =1
n
= E[∑ {( X i − µ ) − ( X − µ )}2 ]
i =1
n
= E[ ∑ ( X i − µ ) 2 − n ( X − µ ) 2 ]
i =1
n
= E[∑ (X i − µ ) 2 ] − nE[( X − µ ) 2 ]
i =1
σ2 1 2 1 n
= nσ 2 − n
n
U = 2
n −1
S = ∑
n − 1 i =1
(X i − X ) 2
= (n − 1)σ 2
1 1
E[U ] =
2
E[ S ] =
2
(n − 1)σ 2 = σ 2
n −1 n −1