makalah transfortasi linier dalam analisa kompleks

1. TUGAS ANALISA KOMPLEKS
TRANSFORMASI ELEMENTER
OLEH :
KELOMPOK 8:
- SUHAIDA 1202030105
- GITA YULANDA 1202030188
- ANUGERAH ANGGRAENI 1202030115
KELAS : VI C PAGI PEND. MATEMATIKA
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH SUMATERA UTARA
MEDAN
2014/2015

2. TRANSFORMASI ELEMENTER
A. Pendahuluan
Pada bab ini akan membicarakan arti geometri fungsi kompleks. Suatu
fungsi dapat dipikirkan sebagai suatu proses bahwa sebagian dari bidang Z
dipetakan ke bagian bidang W . Hal ini menjelaskan istilah pemetaan dan
transformasi sebagai nama lain untuk suatu fungsi f memetakan 0z ke 0w
dengan 0w adalah peta 0z dibawah f dan 0z adalah prapeta dari 0w .Keadaan
seperti ini yang mendasari pembahasan mengenai transformasi elementer.
B. Transformasi Linear
Transformasi yang berbentuk  babazzfw ,,)( C disebut
transformasi linear . sebelum membicarakan lebih jauh mengenai
transformasi linear, perhatikan beberapa gejala berikut.
(1) Misalkan izzf )( dengan iyxz  , maka
)(zf
2
1,)(

 danArgiiixyiyxiiz
Fungsi izzf )( , bila dituliskan dalam bentuk pengaitannya diperoleh
izz 
ixyivuiyx 
Hal ini memperlihatkan bahwa setiap titik (x,y) dibidang Z
ditransformasikan oleh izzf )( ke bidang W dititik ( -y,x ), diperoleh
dengan rotasi 





2
,0

(2) Misalkan izzf 2)(  dengan iyxz  , maka
22),(222)(22)(  iixyixyiyxiizzf dan
2
)2(

iArg
Fungsi izzf 2)(  bila ditulis dalam bentuk pengaitannya diperoleh
izz 2
)(2 ixyivuiyx 

3. Hal ini memperlihatkan bahwa setiap titik (x,y) dibidang Z
ditransformasikan oleh izzf 2)(  ke bidang W di titik )2,2( xy
diperoleh dengan rotasi 





2
,0

di dilatasi oleh factor 2.
Secara umum fungsi 0,)(  aazzfw mentransformasikan z ke bidang
W dengan cara :
(1) Merotasikan z sebesar Arg a atau R (0,
𝜋
2
) dan
(2) Didilatasi oleh factor a atau dilatasi D (o,|a|)
Faktor dilatasi a menentukan jenis transformasi z ke bidang W , yaitu :
(1) Jika 1a , maka z ditransformasikan ke bidang W dengan rotasi
 Arga,0
(2) Jika 1a , maka z ditransformasikan ke bidang W dengan rotasi
 Arga,0 kemudian didilatasi ( diperbesar ) oleh factor 1a
(3) Jika 1a , maka z ditransformasikan ke bidang W dengan rotasi
 Arga,0 kemudian didilatasi ( diperkecil ) oleh factor 1a
Transformasi bazw  dapat dipikirkan sebagai dua transformasi berurutan,
yaitu :
azs  dan bsw 
Jadi, Transformasi linear  babazw ,; C mentransformasikan z ke bidang
W dengan cara :
(1) Merotasikan z sebesar  Arga,0
(2) Dilatasi oleh faktor a
(3) Translasi sejauh  21 ,bbb 
Transformasi linear  babazw ,; C, bila dituliskan dalam bentuk
pengaitannya diperoleh seperti berikut:
z  
ariolehfaktodandilatasArgarotasi ),0(
az  
   21 ,bbejauhbtranslasis
az+b
Contoh :

4. Tentukan peta dari kurva 2
xy  oleh transformasi linear  iizw  1(2
Penyelesaian :
2
0cot)2(

 arciArg dan .22 i Transformasi linear )1(2 iizw  bila
ditulis dalam bentuk pengaitannya, diperoleh
z  






2
,0

R
iz   2ehfaktordilatasiol
iz2 )1(2)1(
iiziejauhtranslasis
  
Kurva 2
xy  bila ditulis dalam bilangan kompleks 2
ixxz  diperoleh
(1) iyxwixxz
R
 






2
,0
2


























2'
'
2
cos
2
sin
2
sin
2
cos
x
x
y
x


= 










 
2
01
10
x
x
= 







x
x2
Jadi, iyyixxwixxz  222
Dengan demikian kurva 2
xy  dirotasi sejauh 





2
,0

petanya adalah
2
yx 
(2)Kurva 2
yx  didilatasi oleh factor 2, diperoleh
iyyixxwixxz  222
2
1
2
Jadi, kurva 2
yx  didilatasi oleh factor 2, petanya adalah 2
2
1
yx 
(3)Kurva 2
2
1
yx  ditranslasi oleh vector (1, -1 ) diperoleh
   121222 22
 xixwxixz
=    iyy 


 11
2
1 2

5. Jadi, kurva 2
2
1
yx  ditranslasi oleh vector ( 1, -1 ) petanya adalah
  11
2
1 2
 yx
Dari (1), (2) dan (3) diperoleh peta dari kurva 2
xy  oleh transformasi linear
)1(2 iizw 
Ke bidang W adalah 1)1(
2
1 2
 vu
Catatan :
Misalkan Argazw , aa  dan 1a . Jika iyxz  dan
Raayxiaaa  2121 ,,,; , diperoleh 2
2
1
1
sin,cos a
a
a
aa
a
a
a  dan
  iyxiaaaz  21
=   yaxaiyaxa 1221 
= 







yaxa
yaxa
12
21
= 










 
y
x
aa
aa
12
21
= 










 
y
x
aa
aa
cossin
sincos
Matriks 




 
aa
aa
cossin
sincos
disebut matriks transformasi rotasi  ,0 .
Dengan demikian jika z C dirotasi sejauh  ,0 ,petanya adalah











 
y
x
aa
aa
cossin
sincos