1. Батлав.............................. Сургалтын албаны дарга Г. Мөнхзаяа
Лекц №5
Хоёрдугаар эрэмбийн хялбар тэгшитгэлүүд
Конус гадаргуу ба хавтгайн огтлолцлыг конус огтлол гэнэ.Конусын оройг
дайраагүй үндсэн 4 огтлолыг авч үзье.
Эллипс
Тодорхойлолт: Фокус гэж нэрлэгдэх 2 цэг хүртэлх зайн нийлбэр нь тогтмол байх
хавтгайн цэгүүдийн олонлогийг эллипс гэнэ.Эллипсийн тэгшитгэлийг зохиоѐ.Фокусуудыг
F1; F2 гэе. F1F2 -г дайрсан шулууныг Ох тэнхлэг болгон авч F1F2 хэрчмийн дундаж цэг
дээр координатын эх байхаар сонгоѐ. F1F2 =2c гэе. F1  c;0; F2 c;0
Y
M(x,y)
F1 F2 X
M(x,y) нь эллипсийн дурын цэг байг.тогтмол тоог 2а гэе.
F1M  F2 M  2a  x  c2  y 2  x  c2  y 2  2a
x  c2  y 2  2a  x  c2  y 2 тэгшитгэлийн 2 талыг кв зэрэгт дэвшүүлбэл
x  c2  y 2  4a2  4a x  c2  y 2  x  c2  y 2  a2  xc  a x  c2  y 2 /1/

/1/-г кв зэрэгт дэвшүүлбэл a 4  2a 2 xc  xc   a 2 x  c   y 2
2 2

 
 a2  c2 x2  a2 y 2  a2 a2  c2  энд a 2  c 2  b2 гэж тэмдэглээд тэгшитгэлийн 2 талыг
x2 y 2
a 2b 2 -д хуваавал   1 /2/ эллипсийн тэгшитгэл
a 2 b2
Ox : y=0  x  a
1|Боловсруулсан багш Г. Эрдэнэчимэг

2. Oy: x=0  y  b  координатын тэнхлэгүүдийг  a;0; a;00; b; 0;b цэгүүдээр
огтолно. Эдгээрийг эллипсийн оройн цэгүүд гэнэ.
/2/-д x,y нь квадрат зэрэгтэй тул координатын тэнхлэгүүдийн хувьд тэгшхэмтэй.
B b
A
-a a
-b
OA –г их хагас тэнхлэг,ОВ-г бага хагас тэнхлэг гэнэ.О-эллипсийн төв
/1/ -ийн 2 талыг а-д хуваавал a 
c
x x  c 2  y 2  r2  r2  a 
c
x
a a
c c
r1  r2  2a  r1  a  x болно.   гэж тэмдэглэе. r1  a  x; r2  a  x /3/
a a
/3/-г М цэгийн фокусын радиусууд гэнэ.  -г эллипсийн эксцентриситет гэнэ. c  a    1
байна.  нь эллипсийн хэлбэрийг тодорхойлно.   0 үед эллипс тойрог хэлбэрт дөхнө.
  1 үед эллипс илүү зууван болно.
Тойрог Бид өмнө нь a, b  цэгт төвтэй R радиустай тойргийн тэгшитгэлийг бичсэн
билээ.Ийм тойргийн тэгшитгэл нь x  a    y  b  R 2
2 2
Гипербол
ТОД Хавтгай дээр өгөдсөн фокус хэмээн нэрлэгдэх 2 цэг хүртэлх зайн ялгавар нь
абсолют хэмжигдэхүүнээрээ тогтмол байх /фокусуудын хоорондох зайнаас бага / хавтгайн
цэгүүдийн олонлогийг гипербол гэнэ.
2|Боловсруулсан багш Г. Эрдэнэчимэг

3. y
M
X
F1 (-c,0) F2 (c,0)
r1  r2  2a гэе.
x  c2  y 2  x  c2  y 2  2a 2 талыг нь квадрат зэрэгт дэвшүүлбэл
x  c2  y 2  x  c2  y 2  4a x  c2  y 2  4a 2
xc  a 2  a x  c2  y 2 a 2  xc  a x  c2  y 2
xc 2  2a2 xc  a4  a2 x2  2 xca 2  a2c2  a2 y 2  c2  a2 x2  a2 y 2  a2 c2  a2 
x2 y 2
Энд c 2  a 2  b2 гэвэл  1 /4/ Гиперболын тэгшитгэл
a 2 b2
Хэлбэрийг нь тогтооѐ.x,y нь квадрат зэрэгтэй оролцож байгаа тул координатын
тэнхлэгүүдийн хувьд тэгшхэмтэй.(0,0) –г гиперболын төв гэнэ.y=0  x  a  Ох
y2
тэнхлэгийг (a,0),(-a,0) цэгүүдээр огтолно.x=0    1  Oy тэнхлэгийг огтлохгүй.
b2
а-г гиперболын бодит хагас тэнхлэг,в-г хуурмаг хагас тэнхлэг гэнэ.
I мөчид байгуулъя.
b
Y= x шулууныг сонирхоѐ.
a
b
Y-y = x 
a
b 2
a
2 b
x a  x x a 
a
2 2 b
 a2
a x x a
2 2
 
ab
x  x2  a2
3|Боловсруулсан багш Г. Эрдэнэчимэг

4. x   үед Y-y  0  Y  y
b
гиперболын график координатын эхээс холдох тутам Y= x шулуунд ойртоно.Ийм
a
b
чанартай шулууныг асимптот гэнэ. y   x шулуунуудыг гиперболын асимптотууд гэнэ.
a
c y 2 x2
  -г гиперболын эксцентриситет гэнэ.   1 2  2  1 -хосмог гипербол гэнэ.
a b a
Хосмог гиперболын оройнууд болон фокусууд Oy тэнхлэг дээр оршино.
Жишээ-2
16 x 2  9 y 2  144
а/ хагас тэнхлэгүүд a  3; b  4
б/ фокусын координатууд c= a 2  b 2 =5  5,0;  5;0
c 5
в/ эксцентриситет  
a 3
4
г/ асимптотуудын тэгшитгэл y=  x
3
a 3 9 9
д/ директрисүүдийн тэгшитгэл x x  x
 5 5 5
3
228
Жишээ 3 . Директрисүүдийн хоорондох зай ба 2c=26
13
a 114 a 2 114
    a 2  114  a  114
 13 c 13
x2 y2
b  c  a  169  114  55 
2 2 2
 1
114 55
4|Боловсруулсан багш Г. Эрдэнэчимэг

5. Парабол Фокус гэж нэрлэгдэх өгөгдсөн цэг болон директрис хэмээх өгөгдсөн
шулуунаас ижил зайд байх хавтгайн цэгийн олонлогийг парабол гэнэ.
Фокус нь директрис дээр оршихгүй гэж үзнэ.Фокусаас директрис хүрэх зайг р гэе. Үүнийг
параболын параметр гэнэ.Зурагт үзүүлснээр координатын тэнхлэгийг сонгоѐ.
y
K M(x,y) x
p p
 O F( ,0)
2 2
p
x=  нь директрис болно.F- фокус
2
2
p  p p2 p2
KM=MF  x    x    y  x  px 
2 2
 x  px 
2
 y 2  y 2  2 px /5/
2  2 4 4
параболын хялбар тэгшитгэл
Хэлбэрийг нь тогтооѐ.y2 оролцсон учир Ох тэнхлэгийн хувьд тэгшхэмтэй.Энэ тэгшитгэлд
x  0 байна. x   үед y   . Ох нь тэгшхэмийн тэнхлэг болно.Ө.х фокусын тэнхлэг.
x 2  2 py байж болно.Oy –параболын тэгшхэмийн тэнхлэг болно.
5|Боловсруулсан багш Г. Эрдэнэчимэг

6. II эрэмбийн муруйн ерөнхий тэгшитгэлийг хялбарчлах
1. Координатын тэнхлэгүүдийн параллель зөөлт Ax 2  Cy 2  Dx  Ey  F  0 /6/
тэгшитгэлийг хялбарчлах.
Өгөгдсөн координатын системд P(x,y) цэг байг.
y y’
P(x,y)
x’
O’(h,k)
x
O(0,0)
(h,k) цэгт координатын эх нь байх ,координатын тэнхлэгүүд нь өгөгдсөн системийн
координатын тэнхлэгүүдтэй параллель байх координатын систем авч үзье.
’
x =x-h;y’=y-k  x=x’+h; y=y’+k
Жишээ-1. (3,6) цэгт фокустай,y=2 директристэй параболын тэгшитгэлийг бич.
y y’
4
x’
2
y=2
0 3
(3,4) цэгт эх нь байх O’x’y’ координатын систем авч үзье.p=4 (x’ )2=8y’  (x-3)2=8(y-4)
6|Боловсруулсан багш Г. Эрдэнэчимэг

7. Жишээ –2.
x2+y2-4x+6y-3=0
(x-2)2+(y+3)2=3+4+9  (x-2)2+(y+3)2=16=42
энэ нь (2,-3) цэгт төвтэй 4 радиустай тойргийн тэгшитгэл.
Жишээ-3.
16x2-9y2-64x-54y-161=0
16(x-2)2-9(y+3)2=144 
x  22   y  3  1 нь (2,-3) дээр төвтэй,a=3,b=4 байх гипербол.
9 16
c2  9  16  25  c  5  F1' (5,0); F2' (5,0)  F1 (3;3); F2 (7,3)
Жишээ-4.
5x2+9y2-30x+18y+9=0
5(x-3)2+9(y+1)2=45
x  32   y  12  1 гэсэн эллипс байна.
9 5
a  3, b  5; c 2  a 2  b2  c  2  F1 1;1; F2 5;1
y
x
7|Боловсруулсан багш Г. Эрдэнэчимэг

8. Тэнхлэгийг эргүүлэх Ax 2  Bxy  Cy 2  Dx  Ey  F  0 /7/ тэгшитгэлийн график
Ax 2  Bxy  Cy 2  Dx  Ey  F  0 тэгшитгэлийг координатын системийг хувиргаж Bxy
гишүүнийг зайлуулж ,өмнөх хэлбэрт шилжүүлж бодно.Өгөгдсөн координатын системд
P( x, y) цэг байг.Өгөгдсөн координатын системтэй ерөнхий эхтэй түүний тэнхлэгүүдийг 
өнцгөөр эргүүлэхэд үүсэх Oxy системийг авч үзье.
y
P(x,y)
y L
B x
K
x
O S
x  OB  BK  OB  LP  x cos  y sin
y  LS  SB  y cos  x sin
 x   x cos   y sin 
 /8/
 y    x sin   y cos 
Oxy координатын системийг Oxy системийг -  өнцгөөр эргүүлэхэд үүссэн гэж үзэж
болно.
 x  x cos    y sin     x  x cos  y sin 
  /9/
 y   x sin     y cos    y  x sin   y cos
Ax2  Bxy  Cy2  Dx  Ey  F   0 тэгшитгэлд B -г 0 болгох  өнцгийг олох
хэрэгтэй.
A( x cos  y sin )2+B( x cos  y sin )( x sin  y cos )+C( x sin  y cos )2+D(
x cos  y sin )+E( x sin  y cos )+F=0
B
 B  _ A sin 2  B cos 2   B sin 2   C sin 2  0  tg 2  /10/
AC
Үүгээр B =0 болно.Ө.х өмнөх хэлбэрийн тэгшитгэлд шилжинэ.Үүний тулд
1. tg 2  ?
8|Боловсруулсан багш Г. Эрдэнэчимэг

9. 1 1
2. cos 2 2  sin 2 2  1  1  tg 2 2   cos 2   cos 2  ?
cos 2
2
1  tg 2 2
1  cos 2 1  cos 2
3. cos  ; sin    sin , cos  ?
2 2
Үүнийг /9/ томьѐонд орлуулна.
Координатын системийг эргүүлэх хувиргалт хийхэд /7/ тэгшитгэлийн зарим коэффициент
өөрчлөгдөхгүй үлддэг.Үүнийг эргүүлэх хувиргалтын инвариантууд гэнэ.
Теорем: Координатын тэнхлэгийг эргүүлэхэд /7/ тэгшитгэл
Ax2  Bxy  Cy2  Dx  Ey  F   0 тэгшитгэлд шилжинэ.Энэ эргүүлэлт
дараах инвариантуудтай.
1. F  F ; 2. A  C  A  C 3. B 2  4 AC  B2  4 AC Энд B =0
учир B 2  4 AC   4 AC Энэ хэмжигдэхүүнийг /7/ тэгшитгэлийн дискриминант гэнэ.
tr: Ax2  Cy2  Dx  Ey  F   0 тэгшитгэлийн график
1. A  C бол тойрог
2. AC  0 бол парабол
3. AC  0 бол эллипс
4. AC  0 бол гипербол байна.
Дискриминантын хувьд /7/ тэгшитгэл
1. B2  4 AC  0 бол эллипс
2. B2  4 AC  0 бол гипербол
3. B 2  4 AC  0 бол парабол
Жишээ 2 x 2  10 xy  12 y 2  7 x  18 y  15  0
D  100  96  0 учир гипербол
9|Боловсруулсан багш Г. Эрдэнэчимэг