Las Derivadas y su aplicación

1. INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGIA
“ANTONIO JOSE DE SUCRE”
EXTENSION SAN CRISTOBAL
Aplicación de la Derivada:
(Trabajo escrito)
Autor:
Sthefanny Morales
C.I. V- 30.443.089
Extensión: San Cristóbal
Asignatura: Matemática 1-SC
Julio, 2021

2. Introducción
La obtención de la tangente a una curva en uno de sus puntos y el cálculo de
la velocidad instantánea de un móvil son problemas históricos que dieron lugar,
en su momento, a la noción de derivada. Sin embargo fueron los problemas de
optimización los que aportaron mayor impulso a la búsqueda de una teoría que
diera generalidad a todos los problemas particulares que se habían planteado. La
ciencia, la técnica, las propias matemáticas e, incluso, la vida cotidiana están
plagadas de problemas de optimización.
La derivación constituye una de las operaciones de mayor importancia cuando
tratamos de funciones reales de variable real puesto que nos indica la tasa de
variación de la función en un instante determinado o para un valor determinado de
la variable, si ésta no es el tiempo.
Un aspecto importante en el estudio de la derivada de una función es que la
pendiente o inclinación de la recta tangente a la curva en un punto representa la
rapidez de cambio instantáneo. Así pues, cuanto mayor es la inclinación de la
recta tangente en un punto, mayor es la rapidez de cambio del valor de la función
en las proximidades del punto. Además de saber calcular la derivada de una
función en un punto, es conveniente ser capaz de determinar rápidamente la
función derivada de cualquier función. La derivada nos informará de con qué
celeridad va cambiando el valor de la función en el punto considerado.

3. Índice
 Derivadas…………………………………………………………………01 pág.
 Aplicación de las derivadas y sus tipos
1. Tasa de variación
 Tasa de variación media…………………………….…………02 pág.
 Tasa de variación instantánea…
2. Punto crítico……………………………………………….……….03 pág.
3. Determinación de valores mínimos y máximos…………………04 pág.
4. Método de newton…………………………………………………05 pág.
5. Aplicación en el ámbito del comercio………………………….…06 pág.
6. Aproximación lineal………………………………………….……..07 pág.
7. Otras aplicaciones…
 Teorema de las Derivadas
 Teorema de Rolle…………………………………………………….08 pág.
 Teorema de LaGrange………………………………………………..09 pág.
 Teorema de Cauchy………………………………………………….10 pág.
 Teorema de Bolzano………………………………………………….11 pág.
 Conclusión…………………………………………………………………12 pág.
 Bibliografía…………………………………………………………………13 pág.

4. Derivada:
La derivada de una función es la razón de cambio instantánea con la que varía
el valor de dicha función matemática, según se modifique el valor de su variable
independiente. La derivada de una función, se calcula como el límite de la rapidez
de cambio media de la función en cierto intervalo, cuando el intervalo considerado
para la variable independiente se torna cada vez más pequeño.
La derivada es el resultado de un límite y representa la pendiente de la recta
tangente a la gráfica de la función en un punto. La derivada es un concepto que
tiene variadas aplicaciones. Se
aplica en aquellos casos donde
es necesario medir la rapidez
con que se produce el cambio
de una magnitud o situación.
Es una herramienta de cálculo
fundamental en los estudios
de Física, Química y Biología,
o en ciencias sociales como
la Economía y la Sociología.
Por ejemplo, cuando se refiere
a la gráfica de dos dimensiones de , se considera la derivada como la pendiente
de la recta tangente del gráfico en el punto .
Se puede aproximar la pendiente de esta tangente como el límite cuando la
distancia entre los dos puntos que determinan una recta secante tiende a cero, es
decir, se transforma la recta secante en una recta tangente. Con esta
interpretación, pueden determinarse muchas propiedades geométricas de los
gráficos de funciones, tales como monotonía de una función (si es creciente o
decreciente) y la concavidad o convexidad.
01.

5. Algunas funciones no tienen derivada en todos o en alguno
de sus puntos. Por ejemplo, una función no tiene derivada en
los puntos en que se tiene una tangente vertical,
una discontinuidad o un punto anguloso. Afortunadamente,
gran cantidad de las funciones que se consideran en las
aplicaciones prácticas son continuas y su gráfica es una curva suave, por lo que
es susceptible de derivación. Las funciones que son diferenciables (derivables si
se habla en una sola variable), son aproximables linealmente.
Aplicación de las derivadas y sus tipos:
La determinación de las derivadas no está limitada solamente a un punto de
vista teórico para que de esta forma los estudiantes puedan entender distintos
temas de las matemáticas, sino que hay una serie de aplicaciones vitales de las
derivadas en ejemplos de la vida real. Las derivadas encuentran un lugar vital en
la ingeniería, física e incluso en los negocios y la economía, etc. Algunas de las
aplicaciones más notables de las derivadas se explican a continuación:
a) Tasa de variación:
Esta es la aplicación más utilizada de las derivadas. Encuentra su aplicación
en muchos problemas de la física. La tasa de variación en la localización de un
punto te dará la velocidad de ese punto. De manera similar la tasa de cambio de
la velocidad de un punto se conoce como la aceleración del mismo.
 La tasa de variación media se
corresponde con la pendiente de la
recta que une los puntos de
la función de abscisas a y a, a + Δx, es
decir, la tangente del ángulo α.
02.

6.  La tasa de variación instantánea de f(x) en un punto de abscisa a es
el límite del valor de la tasa de variación media cuando el incremento
de x tiende a cero. La T.V.I es la derivada de la función en ese punto:
b) Punto Crítico:
El punto crítico tiene una cantidad vasta de aplicaciones que incluyen la
termodinámica, la física de la materia condensada, etc. Un punto crítico es aquel
donde la derivada de la función es cero, no existe en absoluto.
03.

7. c) Determinación de valores mínimos y máximos:
A este proceso se le denomina optimización. Existen
una serie de problemas que requieren la determinación
de los valores mínimos y máximos de alguna función tal
como la determinación del menor costo, aproximación
del menor tiempo, cálculo de mayor ganancia, etc.
Puede existir un mínimo local / punto máximo que se
denomina mínimo relativo / máximo punto o mínimo
global / máximo punto que se le llama como mínimo
absoluto / punto máximo. El máximo absoluto es uno, para todos los puntos del
dominio de la función. Mientras que un punto máximo relativo es uno, para todos
los puntos en un período abierto en las proximidades de x igual a c.
04.

8. d) Método de Newton:
Una aplicación digna de notar de las derivadas es el método de Newton, este
es utilizado para rastrear las raíces de una ecuación en una cascada de etapas
para que en cada paso de la solución encontremos una solución mejor y más
adecuada como raíz de la ecuación. Este envuelve también el uso de algunos
términos de las Series Taylor.
El método numérico de Newton es una aplicación del cálculo diferencial que
se utiliza para hallar los ceros de una función derivable de enésimo grado con la
05.

9. precisión deseada. Los procedimientos para hallar las raíces o ceros de
funciones lineales o cuadráticas a partir de los coeficientes de la ecuación son
sencillos y exactos. Aunque existen fórmulas para hallar las raíces de ecuaciones
de tercer y cuarto grado, dichas formulas son muy complicadas y nada prácticas.
Un teorema, atribuido a Abel, establece que no es posible encontrar una fórmula
general, en términos de los coeficientes de la ecuación, que permita hallar los
ceros exactos de una función polinomial de grado cinco o mayor. Esto significa
que, en general, sólo se pueden hallar aproximaciones para los ceros de
funciones de grado mayor que cuatro aplicando métodos numéricos.
e) Aplicaciones en el ámbito del comercio:
Existe una gran cantidad de lugares en el comercio donde las derivadas son
requeridas. Dado que el objetivo final del comercio es el de maximizar las
ganancias y minimizar las pérdidas, la teoría de máximos y mínimos puede
utilizarse aquí para evaluar la respuesta correcta y así aumentar la productividad
06.

10. total del comercio. También resulta conveniente analizar el costo promedio de un
artículo lo que puede ayudar al aumento de la ganancia.
f) Aproximación lineal:
En una serie de ramas de la física, como es el caso de la óptica, la
Aproximación lineal juega un papel vital. En este utilizamos una función lineal con
el fin de encontrar la aproximación de cualquier función general. Esta es más
comúnmente conocida como una aplicación de la recta tangencial al gráfico de
cualquier función lineal.
07.

11. Otras aplicaciones:
Y otras aplicaciones, como facilitar la representación gráfica de funciones o
hallar aproximadamente los valores de una función mediante la diferencial.
La diferencial de una función en un punto a es el incremento que hubiera
tenido esa función al incrementar la variable independiente x a otro
punto a + h pero, en vez de seguir por la curva de la función, se hubiera seguido
por la tangente a dicha curva en a.
Teorema de las derivadas:
1. TeoremadeRolle:
El teorema de Rolle consiste en que si una función f(x) verifica que
es continua en un intervalo cerrado [a, b] y derivable en el intervalo abierto (a, b).
Si los valores de la función en los extremos son iguales f(a) = f(b), entonces hay, al
08.

12. menos, un punto del intervalo c ∈ (a, b) en el que su derivada primera se
anula, f’(a) = 0.
El teorema de Rolle se utiliza para demostrar el teorema de LaGrange. De
hecho, el teorema de Rolle es un caso particular del teorema de LaGrange cuando
se cumpla que f(a) = f(b). Del teorema de Rolle surgen las importantes series de
Taylor.
2. TeoremadelValor Medio (Teoremade LaGrange):
El teorema del Valor Medio o teorema de LaGrange enuncia que si
una función f(x) es continua en un intervalo cerrado [a, b], existe al menos un
punto perteneciente al intervalo abierto, que es a su vez derivable, c &fisin; (a, b),
en el se cumple que:
El teorema del valor medio es una generalización del teorema de Rolle,
puesto que no requiere que los extremos del intervalo sean iguales.
09.

13. 3. TeoremadeCauchy:
El teorema de Cauchy establece que dadas
dos funciones f(x) y g(x) continuas en el intervalo [a, b] y derivables en (a, b).
Si g(a) ≠ g(b), existe al menos un punto c perteneciente a (a, b), siempre
que g’(c) ≠ 0 tal que se cumple:
El primer término de la igualdad es una constante, a la que llamaremos k.
El teorema de Cauchy se denomina también teorema Generalizado del Valor
Medio.
10.

14. 4. TeoremadeBolzano:
El teorema de Bolzano enuncia que, dada una función f(x), continua y
derivable en un intervalo cerrado [a, b] y se cumple que si f(a) y f(b) son de distinto
signo, existe, al menos, un punto c perteneciente a este intervalo, c ∋ (a, b), para
el que f(c) = 0.
El planteamiento del teorema se ve claramente en el gráfico siguiente:
 Corolario:
Si una función tiene más de una raíz real, entonces
entre dos raíces consecutivas la función toma valores o
positivos o negativos:
11.

15. Conclusión:
La derivada tiene muchas aplicaciones en la vida diaria, con la derivada se
puede calcular: con la derivada implica se calcula la “razón de cambio” o en
palabras más simples, velocidad. También nos ayuda a encontrar valores
máximos y mínimos para problemas físicos reales (bajo el mismo principio de
razón de cambio). También es empleada en la construcción de un edificio, con una
función que relacione los costos del edificio con el tamaño del mismo. Muchas son
las aplicaciones de la derivada en profesiones como la ingeniería, la economía, la
administración etc.
Las derivadas sirven para solucionar problemas de física y todas las materias
que se basan en ella como estática, cinemática, calor, mecánica, ondas, corriente
eléctrica, magnetismo, etc. Aplicable también en la economía para hallar valores
mínimos y máximos los cuales son importantes para proyectar en economía.
Sirven para explicar el comportamiento de la curva de una función trigonométrica.
Es decir tiene un número sin fin de aplicaciones en las cuales toma un papel
importante.
12.

16. Bibliografía:
 Jesús (2009). “Aplicaciones de las derivadas”.
Disponible en: https://www.derivadas.es/aplicaciones-de-la-derivada/
 “La Derivada”.
Disponible en:
https://actividadesinfor.webcindario.com/derivadasaplicaciones.htm
 Ávila, J. “DERIVADA DE UNA FUNCIÓN”.
Disponible en:
http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/Derivada_
de_una_funcion/Derivada_de_una_funcion.htm
 Requena B. (2020) “Aplicación de las derivadas”.
Disponible en:
https://www.universoformulas.com/matematicas/analisis/aplicaciones-
derivadas/
13.