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Entrega actividad n° 1 (valor 5%) iii corte matemática i sc- sthefanny morales

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  1. 1. INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGIA “ANTONIO JOSE DE SUCRE” EXTENSION SAN CRISTOBAL Aplicación de la Derivada: (Trabajo escrito) Autor: Sthefanny Morales C.I. V- 30.443.089 Extensión: San Cristóbal Asignatura: Matemática 1-SC Julio, 2021
  2. 2. Introducción La obtención de la tangente a una curva en uno de sus puntos y el cálculo de la velocidad instantánea de un móvil son problemas históricos que dieron lugar, en su momento, a la noción de derivada. Sin embargo fueron los problemas de optimización los que aportaron mayor impulso a la búsqueda de una teoría que diera generalidad a todos los problemas particulares que se habían planteado. La ciencia, la técnica, las propias matemáticas e, incluso, la vida cotidiana están plagadas de problemas de optimización. La derivación constituye una de las operaciones de mayor importancia cuando tratamos de funciones reales de variable real puesto que nos indica la tasa de variación de la función en un instante determinado o para un valor determinado de la variable, si ésta no es el tiempo. Un aspecto importante en el estudio de la derivada de una función es que la pendiente o inclinación de la recta tangente a la curva en un punto representa la rapidez de cambio instantáneo. Así pues, cuanto mayor es la inclinación de la recta tangente en un punto, mayor es la rapidez de cambio del valor de la función en las proximidades del punto. Además de saber calcular la derivada de una función en un punto, es conveniente ser capaz de determinar rápidamente la función derivada de cualquier función. La derivada nos informará de con qué celeridad va cambiando el valor de la función en el punto considerado.
  3. 3. Índice  Derivadas…………………………………………………………………01 pág.  Aplicación de las derivadas y sus tipos 1. Tasa de variación  Tasa de variación media…………………………….…………02 pág.  Tasa de variación instantánea… 2. Punto crítico……………………………………………….……….03 pág. 3. Determinación de valores mínimos y máximos…………………04 pág. 4. Método de newton…………………………………………………05 pág. 5. Aplicación en el ámbito del comercio………………………….…06 pág. 6. Aproximación lineal………………………………………….……..07 pág. 7. Otras aplicaciones…  Teorema de las Derivadas  Teorema de Rolle…………………………………………………….08 pág.  Teorema de LaGrange………………………………………………..09 pág.  Teorema de Cauchy………………………………………………….10 pág.  Teorema de Bolzano………………………………………………….11 pág.  Conclusión…………………………………………………………………12 pág.  Bibliografía…………………………………………………………………13 pág.
  4. 4. Derivada: La derivada de una función es la razón de cambio instantánea con la que varía el valor de dicha función matemática, según se modifique el valor de su variable independiente. La derivada de una función, se calcula como el límite de la rapidez de cambio media de la función en cierto intervalo, cuando el intervalo considerado para la variable independiente se torna cada vez más pequeño. La derivada es el resultado de un límite y representa la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en un punto. La derivada es un concepto que tiene variadas aplicaciones. Se aplica en aquellos casos donde es necesario medir la rapidez con que se produce el cambio de una magnitud o situación. Es una herramienta de cálculo fundamental en los estudios de Física, Química y Biología, o en ciencias sociales como la Economía y la Sociología. Por ejemplo, cuando se refiere a la gráfica de dos dimensiones de , se considera la derivada como la pendiente de la recta tangente del gráfico en el punto . Se puede aproximar la pendiente de esta tangente como el límite cuando la distancia entre los dos puntos que determinan una recta secante tiende a cero, es decir, se transforma la recta secante en una recta tangente. Con esta interpretación, pueden determinarse muchas propiedades geométricas de los gráficos de funciones, tales como monotonía de una función (si es creciente o decreciente) y la concavidad o convexidad. 01.
  5. 5. Algunas funciones no tienen derivada en todos o en alguno de sus puntos. Por ejemplo, una función no tiene derivada en los puntos en que se tiene una tangente vertical, una discontinuidad o un punto anguloso. Afortunadamente, gran cantidad de las funciones que se consideran en las aplicaciones prácticas son continuas y su gráfica es una curva suave, por lo que es susceptible de derivación. Las funciones que son diferenciables (derivables si se habla en una sola variable), son aproximables linealmente. Aplicación de las derivadas y sus tipos: La determinación de las derivadas no está limitada solamente a un punto de vista teórico para que de esta forma los estudiantes puedan entender distintos temas de las matemáticas, sino que hay una serie de aplicaciones vitales de las derivadas en ejemplos de la vida real. Las derivadas encuentran un lugar vital en la ingeniería, física e incluso en los negocios y la economía, etc. Algunas de las aplicaciones más notables de las derivadas se explican a continuación: a) Tasa de variación: Esta es la aplicación más utilizada de las derivadas. Encuentra su aplicación en muchos problemas de la física. La tasa de variación en la localización de un punto te dará la velocidad de ese punto. De manera similar la tasa de cambio de la velocidad de un punto se conoce como la aceleración del mismo.  La tasa de variación media se corresponde con la pendiente de la recta que une los puntos de la función de abscisas a y a, a + Δx, es decir, la tangente del ángulo α. 02.
  6. 6.  La tasa de variación instantánea de f(x) en un punto de abscisa a es el límite del valor de la tasa de variación media cuando el incremento de x tiende a cero. La T.V.I es la derivada de la función en ese punto: b) Punto Crítico: El punto crítico tiene una cantidad vasta de aplicaciones que incluyen la termodinámica, la física de la materia condensada, etc. Un punto crítico es aquel donde la derivada de la función es cero, no existe en absoluto. 03.
  7. 7. c) Determinación de valores mínimos y máximos: A este proceso se le denomina optimización. Existen una serie de problemas que requieren la determinación de los valores mínimos y máximos de alguna función tal como la determinación del menor costo, aproximación del menor tiempo, cálculo de mayor ganancia, etc. Puede existir un mínimo local / punto máximo que se denomina mínimo relativo / máximo punto o mínimo global / máximo punto que se le llama como mínimo absoluto / punto máximo. El máximo absoluto es uno, para todos los puntos del dominio de la función. Mientras que un punto máximo relativo es uno, para todos los puntos en un período abierto en las proximidades de x igual a c. 04.
  8. 8. d) Método de Newton: Una aplicación digna de notar de las derivadas es el método de Newton, este es utilizado para rastrear las raíces de una ecuación en una cascada de etapas para que en cada paso de la solución encontremos una solución mejor y más adecuada como raíz de la ecuación. Este envuelve también el uso de algunos términos de las Series Taylor. El método numérico de Newton es una aplicación del cálculo diferencial que se utiliza para hallar los ceros de una función derivable de enésimo grado con la 05.
  9. 9. precisión deseada. Los procedimientos para hallar las raíces o ceros de funciones lineales o cuadráticas a partir de los coeficientes de la ecuación son sencillos y exactos. Aunque existen fórmulas para hallar las raíces de ecuaciones de tercer y cuarto grado, dichas formulas son muy complicadas y nada prácticas. Un teorema, atribuido a Abel, establece que no es posible encontrar una fórmula general, en términos de los coeficientes de la ecuación, que permita hallar los ceros exactos de una función polinomial de grado cinco o mayor. Esto significa que, en general, sólo se pueden hallar aproximaciones para los ceros de funciones de grado mayor que cuatro aplicando métodos numéricos. e) Aplicaciones en el ámbito del comercio: Existe una gran cantidad de lugares en el comercio donde las derivadas son requeridas. Dado que el objetivo final del comercio es el de maximizar las ganancias y minimizar las pérdidas, la teoría de máximos y mínimos puede utilizarse aquí para evaluar la respuesta correcta y así aumentar la productividad 06.
  10. 10. total del comercio. También resulta conveniente analizar el costo promedio de un artículo lo que puede ayudar al aumento de la ganancia. f) Aproximación lineal: En una serie de ramas de la física, como es el caso de la óptica, la Aproximación lineal juega un papel vital. En este utilizamos una función lineal con el fin de encontrar la aproximación de cualquier función general. Esta es más comúnmente conocida como una aplicación de la recta tangencial al gráfico de cualquier función lineal. 07.
  11. 11. Otras aplicaciones: Y otras aplicaciones, como facilitar la representación gráfica de funciones o hallar aproximadamente los valores de una función mediante la diferencial. La diferencial de una función en un punto a es el incremento que hubiera tenido esa función al incrementar la variable independiente x a otro punto a + h pero, en vez de seguir por la curva de la función, se hubiera seguido por la tangente a dicha curva en a. Teorema de las derivadas: 1. TeoremadeRolle: El teorema de Rolle consiste en que si una función f(x) verifica que es continua en un intervalo cerrado [a, b] y derivable en el intervalo abierto (a, b). Si los valores de la función en los extremos son iguales f(a) = f(b), entonces hay, al 08.
  12. 12. menos, un punto del intervalo c ∈ (a, b) en el que su derivada primera se anula, f’(a) = 0. El teorema de Rolle se utiliza para demostrar el teorema de LaGrange. De hecho, el teorema de Rolle es un caso particular del teorema de LaGrange cuando se cumpla que f(a) = f(b). Del teorema de Rolle surgen las importantes series de Taylor. 2. TeoremadelValor Medio (Teoremade LaGrange): El teorema del Valor Medio o teorema de LaGrange enuncia que si una función f(x) es continua en un intervalo cerrado [a, b], existe al menos un punto perteneciente al intervalo abierto, que es a su vez derivable, c &fisin; (a, b), en el se cumple que: El teorema del valor medio es una generalización del teorema de Rolle, puesto que no requiere que los extremos del intervalo sean iguales. 09.
  13. 13. 3. TeoremadeCauchy: El teorema de Cauchy establece que dadas dos funciones f(x) y g(x) continuas en el intervalo [a, b] y derivables en (a, b). Si g(a) ≠ g(b), existe al menos un punto c perteneciente a (a, b), siempre que g’(c) ≠ 0 tal que se cumple: El primer término de la igualdad es una constante, a la que llamaremos k. El teorema de Cauchy se denomina también teorema Generalizado del Valor Medio. 10.
  14. 14. 4. TeoremadeBolzano: El teorema de Bolzano enuncia que, dada una función f(x), continua y derivable en un intervalo cerrado [a, b] y se cumple que si f(a) y f(b) son de distinto signo, existe, al menos, un punto c perteneciente a este intervalo, c ∋ (a, b), para el que f(c) = 0. El planteamiento del teorema se ve claramente en el gráfico siguiente:  Corolario: Si una función tiene más de una raíz real, entonces entre dos raíces consecutivas la función toma valores o positivos o negativos: 11.
  15. 15. Conclusión: La derivada tiene muchas aplicaciones en la vida diaria, con la derivada se puede calcular: con la derivada implica se calcula la “razón de cambio” o en palabras más simples, velocidad. También nos ayuda a encontrar valores máximos y mínimos para problemas físicos reales (bajo el mismo principio de razón de cambio). También es empleada en la construcción de un edificio, con una función que relacione los costos del edificio con el tamaño del mismo. Muchas son las aplicaciones de la derivada en profesiones como la ingeniería, la economía, la administración etc. Las derivadas sirven para solucionar problemas de física y todas las materias que se basan en ella como estática, cinemática, calor, mecánica, ondas, corriente eléctrica, magnetismo, etc. Aplicable también en la economía para hallar valores mínimos y máximos los cuales son importantes para proyectar en economía. Sirven para explicar el comportamiento de la curva de una función trigonométrica. Es decir tiene un número sin fin de aplicaciones en las cuales toma un papel importante. 12.
  16. 16. Bibliografía:  Jesús (2009). “Aplicaciones de las derivadas”. Disponible en: https://www.derivadas.es/aplicaciones-de-la-derivada/  “La Derivada”. Disponible en: https://actividadesinfor.webcindario.com/derivadasaplicaciones.htm  Ávila, J. “DERIVADA DE UNA FUNCIÓN”. Disponible en: http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/Derivada_ de_una_funcion/Derivada_de_una_funcion.htm  Requena B. (2020) “Aplicación de las derivadas”. Disponible en: https://www.universoformulas.com/matematicas/analisis/aplicaciones- derivadas/ 13.

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