777

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение
«Средняя общеобразовательная школа № 46»
муниципального образования города Братска
Прямая и плоскость
Авторская педагогическая разработка
комбинаторного типа
Учебно-методическое пособие
Автор разработки:
Баторова Наталия Семеновна
Учитель математики высшей категории
Братск
2019

2
Содержание
Пояснительная записка………………………………………………………………….……...…..3
ПРЯМАЯ………………………………………………………………………………………...…..4
1. Уравнения прямой……………………..………………………………………………….….......4
1.1. Уравнение прямой с угловым коэффициентом…………………………………….…..4
1.2. Уравнение прямой в отрезках……………………………………………….………......5
1.3. Общее уравнение прямой…………………………………………………………...…...6
1.4. Уравнение прямой через две точки ………………………………………………….....6
2. Расстояние от точки до прямой………………………………………………………………….7
3. Угол между двумя прямыми………………………………………………………………….....7
4. Взаимное расположение прямых………………………………………………………………..8
4.1. Признак параллельности прямых………………………………………………….....…8
4.2. Признак перпендикулярности прямых……………………………………………….…9
4.3. Совпадающие прямые……………………………………………………………………9
4.4. Пересекающиеся прямые ………………………………………………………………..9
5. Прямая и три точки……………………………………………………………………………..10
Решение типовых задач……………………………………………………………………….…..10
Задания для самостоятельной работы…………………………………………………………....15
ПЛОСКОСТЬ…………………………………………….………………………...………………18
6. Уравнения плоскости…………………………….............................………………………......18
6.1. Уравнение плоскости в отрезках…………………………………………………........18
6.2. Общее уравнение плоскости……………………………………………………...…....19
6.3. Уравнение плоскости через три точки…………………………………………….......19
7. Расстояние от точки до плоскости……………………..…………………………………..….19
8. Угол между двумя плоскостями………………………………………………………………20
9. Взаимное расположение плоскостей……………………………………………………..…...20
9.1. Признак параллельности плоскостей………………………………………………….20
9.2. Признак перпендикулярности плоскостей………………………………………….…21
9.3. Совпадающие плоскости.………………………………………………...………….....21
9.4. Пересекающиеся плоскости…………………………………………………...…….....22
10. Точка и плоскость……………………………………………………………………………...22
Решение типовых задач……………………………………………………………………...…....22
Задания для самостоятельной работы…………………………………………………………....25
ОТВЕТЫ……………………………………………………………………………………………28
ЛИТЕРАТУРА…………………………………………………………………………...………...30
ПРИЛОЖЕНИЕ А. …………………………………………………………………………...…...31
ПРИЛОЖЕНИЕ Б…………………………………………………………………………...….….32
.

3
Пояснительная записка
Цель данного учебно-методического пособия – развитие у обучающихся
вычислительных навыков и пространственных представлений для обеспечения целостного и
системного усвоения образовательной программы.
Задачи:
- способствовать развитию и формированию универсальных учебных действий;
- способствовать формированию понятий о прямой и плоскости;
- научить ориентироваться в многообразии уравнений и формул;
-способствовать развитию навыков построений различных пространственных
расположений;
- содействовать развитию внимания и познавательных способностей;
- способствовать формированию и развитию образного и логического мышления;
- учить выделять общее и частное на основе сравнений;
- развитие вычислительных навыков и навыков геометрических построений;
- способствовать формированию общих компетенций.
История развития геометрии как самостоятельной науки насчитывает несколько
веков, и процесс развития не останавливается. Создание и развитие евклидовой геометрии не
только способствовало открытию новых горизонтов в математике, но и внесло огромный
вклад в развитие современного учения и пространстве.
В связи с многообразием, сложностью и непрерывным дополнением типов задания и
свойств прямых и плоскостей, изучаемых в курсе геометрии, разработка структурированного
методического материала очень актуальна.
С появлением новых федеральных государственных образовательных стандартов
большинство учебной литературы содержит недостаточный объем учебного, справочного и
практического материала.
Поэтому в данное пособие включены все темы раздела «Прямые и плоскости»
рабочей программы дисциплины математика.
Пособие включает теоретические сведения о прямых и плоскостях, различные
способы решения задач, типовые задачи и задания для самостоятельного решения. В
приведенных разделах предлагаются задания на вычисления и построения.
Теоретический материал имеет четкую и простую для понимания иерархию,
единообразие используемой терминологии и символьных спецобозначений. Задания для
самостоятельной работы соответствуют типовым задачам и имеют различную степень
сложности.
В пособии приведен теоретический материал базового и профильного уровней
сложности.
Данное пособие носит практикориентированный характер: значимость пособия
заключается в развитии вычислительных навыков и геометрических построений, которые
способствуют формированию и развитию общих и компетенций технического и социально-
экономического профиля.
В результате выполнения практических задач обучающиеся должны ориентироваться
в многообразии геометрических формул, уметь выявлять необходимые признаки и
применять формулы на практике.
Предназначено для аудиторных занятий и самостоятельной работы обучающихся всех
направлений подготовки, также может использоваться учителем при подготовке к занятиям
по данной теме.

4
ПРЯМАЯ
Прямая это геометрическое понятие, означающее линию, путь которой равен
расстоянию между двумя точками.
Если основой построения геометрии служит понятие расстояния между двумя
точками пространства, то прямую линию можно определить как линию, путь вдоль которой
равен расстоянию между двумя точками.
В декартовых координатах каждая прямая определяется уравнением первой степени.
Существуют различные способы аналитического задания прямой:
- уравнение с угловым коэффициентом;
- общее уравнение;
- уравнение через две точки;
- уравнение в отрезках.
1. Уравнения прямой
1.1. Уравнение с угловым коэффициентом
Уравнение прямой l может быть задано в виде:
b
kx
y
l +
=
: , (1)
где 
tg
k = – коэффициент угла  наклона прямой от оси ОХ, b – отрезок, который
отсекает прямая по оси ОУ, считая от начала координат.
Уравнение вида (1) называется уравнением прямой с угловым коэффициентом.
Возможные случаи расположения прямой показаны на рисунке 1.
Рисунок 1. – Возможные расположения прямой
На рисунках 1а и 1б показаны случаи, когда угол наклона прямой является острым, на
рисунках 1в и 1г – тупым.
Если в уравнении (1) коэффициент k=0, то прямая параллельна оси ОХ (рисунок 2).
Рисунок 2. – Прямая, параллельная оси ОХ.

5
Если в уравнении (1) коэффициент b=0, то прямая проходит через начало координат
(рисунок 3).
Рисунок 3. – Прямая, проходящая через начало координат, при k >0
Для построения прямой, заданной уравнением (1), удобно строить таблицу значений
функции. При этом достаточно двух точек с координатами ( )
1
1; y
x и ( )
2
2 ; y
x . Аргумент x
выбирается произвольно с учетом области допустимых значений функции, значение
функции y находится при помощи подстановки выбранного значения x в уравнение функции.
1.2. Уравнение прямой в отрезках
1
: =
+
b
y
a
x
l , (2)
где а и b – отрезки, отсекаемые по осям ОХ и ОУ соответственно. Причем, 0

a ,
0

b .
Возможные случаи расположения прямой показаны на рисунке 4.
Рисунок 4. – Возможные расположения прямой
Данный тип уравнения наиболее удобен для построения. Если же прямая задана
другим типом уравнения, то его можно привести к виду в отрезках с помощью элементарных
преобразований.
Например, если прямая задана уравнением с угловым коэффициентом: b
kx
y +
= , то
алгоритм преобразования может быть следующий:
- собрать слагаемые, содержащие неизвестные, в левой части уравнения, свободный
коэффициент перенести в правую часть;
- разделить уравнение на число, стоящее в правой части уравнения (чтобы получить

6
справа единицу);
- преобразовать левую часть уравнения так, чтобы в числителях дробей были только
неизвестные.
Пример.
Привести уравнение 3
6 −
= x
у к виду в отрезках.
Переносим переменные влево, константу вправо:
3
6 −
=
− x
у .
Делим уравнение на -3:
1
3
6
3
=
−
−
−
x
у
.
Для удобства построения слагаемое, содержащее x поставим на первое место:
1
3
1
2
=
−
у
x
.
Преобразуем первое слагаемое следующим образом:
1
3
2
1
=
−






у
x
.
В полученном уравнении
2
1
=
a , 3
−
=
b .
1.3. Общее уравнение прямой
0
: =
+
+ C
By
Ax
l , (3)
где А, В, С – некоторые числа. Причем любое из этих чисел может быть равно нулю.
В зависимости от значений постоянных А, В, С возможные следующие частные
случаи:
Если А=0, В  0, С  0, то прямая параллельна оси ОХ.
Если В=0, А  0, С  0, то прямая параллельна оси ОУ.
Если С=0, А 0, В  0, то прямая проходит через начало координат.
Если В= С =0, А  0, то прямая совпадает с осью ОУ.
Если А =С=0, В 0, то прямая совпадает с осью ОХ.
Уравнение вида (3) называется общим уравнением прямой.
Чтобы выполнить построение прямой, заданной уравнением (3), его следует привести
к виду (1) или виду (2) при помощи элементарных преобразований.
Чтобы привести прямую к виду с угловым коэффициентом, следует выполнить
следующее преобразование:
B
Ax
C
y
+
−
= .
Чтобы привести прямую к уравнению в отрезках, можно следовать алгоритму,
приведенному в п. 1.1.2.
Если прямая задана с помощью общего уравнения, то удобно производить некоторые
вычисления, в частности, нахождение расстояния от точки до прямой.
1.4. Уравнение прямой через две точки
Возьмем две точки: ( )
1
1
1 ; y
x
M и ( )
2
2
2 ; y
x
M , через которые проходит прямая.
Тогда уравнение:

7
1
2
1
1
2
1
x
x
x
x
y
y
y
y
−
−
=
−
−
(4)
называется каноническим уравнением прямой, или уравнением прямой, проходящей
через две точки.
Уравнение (4) также может быть записано в виде:
2
1
2
2
1
2
x
x
x
x
y
y
y
y
−
−
=
−
−
.
Каноническое уравнение прямой можно привести к виду (1) или (2) с помощью
элементарных преобразований и построить данную прямую.
2. Расстояние от точки до прямой
Пусть прямая l задана общим уравнением: 0
: =
+
+ C
By
Ax
l , задана точка M на
плоскости: ( )
0
0 ; y
x
М .
Расстоянием считается кратчайший путь от точки до прямой, т.е. перпендикуляр,
опущенный из этой точки на прямую (рисунок 5).
Рисунок 5. – Расстояние от точки до прямой
Тогда расстояние d от точки M до прямой l находится по формуле:
2
2
0
0
B
A
C
y
B
x
A
d
+
+

+

= (5)
При этом соблюдается условие неотрицательности расстояния ( 0

d ).
Если 0
=
d , то это означает, что точка принадлежит прямой.
3. Угол между двумя прямыми
1. Пусть заданы две прямые: 1
1
1 : b
x
k
y
l +
= и 2
2
2 : b
x
k
y
l +
= .
При этом 1
1 
tg
k = - коэффициент угла наклона первой прямой, 2
2 
tg
k = -
коэффициент угла наклона второй прямой,   - угол между прямыми 1
l и 2
l (рисунок 6).
Рисунок 6. – Угол между двумя прямыми

8
Угол между прямыми определяется как модуль разности двух углов: 2
1 

 −
= .
Тогда ( )
2
1 

 −
= tg
tg .
Пользуясь известными формулами тригонометрии, получаем:
( )
2
1
2
1
2
1
1 






tg
tg
tg
tg
tg
tg

+
−
=
−
= .
Получаем формулу коэффициента угла между двумя прямыми:
2
1
2
1
1 k
k
k
k
tg

+
−
=
 (6)
Если значения правой части выражения (6) получается положительное, то угол между
прямыми острый, в противном случае – тупой.
2. Пусть две прямые заданы уравнениями общего вида: 0
: 1
1
1
1 =
+
+ C
y
B
x
A
l и
0
: 2
2
2
2 =
+
+ C
y
B
x
A
l . Тогда угол между прямыми можно находить по формуле:
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
cos
B
A
B
A
B
B
A
A
+

+

+

=
 (7)
Если значения правой части выражения (7) получается положительное, то угол между
прямыми острый, в противном случае – тупой.
Чтобы найти величину угла в градусах, можно воспользоваться четырехзначными
математическими таблицами Брадиса:
- Приложение А для формулы (6)
- Приложение Б для формулы (7).
Также при вычислениях можно пользоваться инженерным калькулятором.
4. Взаимное расположение прямых
Возможны четыре различных случая расположения двух прямых в пространстве:
– прямые пересекаются, т.е. лежат в одной плоскости и имеют одну общую точку;
– прямые параллельные, т.е. лежат в одной плоскости и не пересекаются;
– прямые скрещивающиеся, т.е. не лежат в одной плоскости;
– прямые совпадают.
4.1. Признак параллельности прямых
1. Пусть две прямые заданы уравнениями с угловым коэффициентом: 1
1
1 : b
x
k
y
l +
= и
2
2
2 : b
x
k
y
l +
= .
Необходимым и достаточным условием параллельности двух прямых является
условие равенства угловых коэффициентов:
2
1 k
k = . (8)
: 1
1
1
1 =
+
+ C
y
B
x
A
l и
0
: 2
2
2
2 =
+
+ C
y
B
x
A
l .
Прямые будут параллельны, если выполняется условие:
2
1
2
1
2
1
C
C
B
B
A
A

= . (9)

9
Если прямые 1
l и 2
l параллельны, то это обозначают: 2
1 || l
l .
4.2. Признак перпендикулярности прямых
1. Если две прямые заданы уравнениями с угловым коэффициентом: 1
1
1 : b
x
k
y
l +
= и
2
2
2 : b
x
k
y
l +
= .
Необходимым и достаточным условием перпендикулярности двух прямых является
условие обратной пропорциональности угловых коэффициентов:
2
1
1
k
k −
= . (10)
: 1
1
1
1 =
+
+ C
y
B
x
A
l и
0
: 2
2
2
2 =
+
+ C
y
B
x
A
l .
Прямые будут перпендикулярны, если выполняется условие:
0
2
1
2
1 =

+
 B
B
A
A . (11)
l и 2
l перпендикулярны, то это обозначают: 2
1 l
l ⊥ .
4.3. Совпадающие прямые
1. Пусть две прямые заданы уравнениями с угловым коэффициентом: 1
1
1 : b
x
k
y
l +
= и
2
2
2 : b
x
k
y
l +
= .
Условием совпадения двух прямых является условие одновременного равенства
коэффициентов:



=
=
2
1
2
1
b
b
k
k
. (12)
2. Если две прямые заданы общими уравнениями: 0
: 1
1
1
1 =
+
+ C
y
B
x
A
l и
0
: 2
2
2
2 =
+
+ C
y
B
x
A
l .
Необходимым и достаточным условием пересечения двух прямых является условие
непропорциональности коэффициентов при неизвестных:
2
1
2
1
2
1
C
C
B
B
A
A
=
= (13)
l и 2
l совпадают, то это обозначают: 2
1 l
l = .
Если прямые заданы другими типами уравнений, то их следует привести к виду (1)
или (3) с помощью элементарных преобразований.
4.4. Пересекающиеся прямые
1. Если две прямые заданы уравнениями с угловым коэффициентом: 1
1
1 : b
x
k
y
l +
= и
2
2
2 : b
x
k
y
l +
= , и не выполняется ни одно из условий (8), (10) или (12), то прямые будут
пересекаться.

10
2. Если две прямые заданы общими уравнениями: 0
: 1
1
1
1 =
+
+ C
y
B
x
A
l и
0
: 2
2
2
2 =
+
+ C
y
B
x
A
l .
Необходимым и достаточным условием пересечения двух прямых является условие
непропорциональности коэффициентов при неизвестных:
2
1
2
1
B
B
A
A
 (14)
l и 2
l перпендикулярны, то это обозначают: 2
1 l
l  .
5. Прямая и три точки
Известно утверждение: через две любые точки можно провести прямую и притом
только одну.
Возникает вопрос, можно ли провести прямую через три любые точки.
Пусть даны точки А( )
1
1; y
x , В( )
2
2 ; y
x и С( )
3
3 ; y
x .
Существует несколько способ определить, принадлежат ли они одной прямой:
1. Составить уравнение прямой, проходящей через две точки А и В с помощью
формулы (4). В полученное уравнение прямой подставить координаты третьей точки. Если
получится верное равенство, то третья точка принадлежит полученной прямой, т.е. все три
точки лежат на одной прямой.
2. Составить общее уравнение прямой через точки А и В с помощью формулы
(4) и найти расстояние от точки С до полученной прямой с помощью формулы (5). Если
расстояние равно нулю, то три точки лежат на одной прямой.
3. Составить уравнение прямой через точки А и В и уравнение прямой через точки В и
С. Если полученные уравнения совпадают, то три точки лежат на одной прямой.
Решение типовых задач
1. Составить уравнение прямой, проходящей через две точки А и В, если:
а) А(1;3), В(4;8)
Воспользуемся формулой (4), получим:
1
4
1
3
8
3
−
−
=
−
− x
y
.
Упростим полученное выражение:
3
1
5
3 −
=
− x
y
.
Воспользовавшись свойством пропорции, получим: ( ) ( )
1
5
3
3 −
=
− x
y .
Раскроем в полученном выражении скобки: 5
5
9
3 +
=
− x
y .
Приведем подобные слагаемые и выразим переменную y :
3
14
3
5
3
14
5
+
=
+
= x
x
y - уравнение с угловым коэффициентом.
б) А(-5;4), В(1;-7)
Воспользуемся формулой (4), получим:
5
1
5
4
7
4
+
+
=
−
−
− x
y
.
6
5
11
4 +
=
−
− x
y
.

11
По свойству пропорции получаем: ( ) ( )
5
11
4
6 +
−
=
− x
y .
Раскроем в полученном выражении скобки: 55
11
24
6 −
−
=
− x
y .
Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения и приведем
подобные слагаемые: 0
31
6
11 =
+
+ y
x - уравнение общего вида.
2. Найти расстояние d от точки М до прямой l , если:
а) М(4;8), 0
7
2
6
: =
−
+ y
x
l .
Воспользуемся формулой (5):
10
2
33
10
4
33
40
33
4
36
7
16
24
2
6
7
8
2
4
6
2
2
=

=
=
+
−
+
=
+
−

+

=
d .
б) М(-2;1), 0
2
3
8
: =
+
− x
y
l .
Для удобства применения формулы (5) поставим слагаемое, содержащее
x на первое место, слагаемое, содержащее y - на второе. Получим:
0
2
8
3
: =
+
+
− y
x
l .
Найдем расстояние:
73
16
64
9
2
8
6
8
)
3
(
2
1
8
)
2
(
3
2
2
=
+
+
+
=
+
−
+

+
−

−
=
d .
в) М(2;5), 0
18
6
: =
−
x
l .
Заметим, что данное уравнение не содержит переменную y .
1
6
6
6
6
36
18
12
6
18
2
6
2
=
=
−
=
−
=
−

=
d .
3. Найти угол между прямыми 1
l и 2
l , если:
а) 4
8
:
1 +
= x
y
l , 2
3
:
2 −
= x
y
l .
Так как прямые заданы уравнениями с угловым коэффициентом, то
воспользуемся формулой (6):
2
,
0
5
1
25
5
24
1
5
3
8
1
3
8
1 2
1
2
1
=
=
=
+
=

+
−
=

+
−
=
k
k
k
k
tg .
Полученное значение >0, значит угол острый. Пользуясь таблицей для
тангенсов в Приложении А, получаем o
11

 .
б) 0
2
3
5
:
1 =
−
+ y
x
l , 0
1
8
7
:
2 =
+
− y
x
l .
Так как прямые заданы общими уравнениями, то воспользуемся
формулой (7):
=
−
+

+
−

+

=
+

+

+

=
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
)
8
(
7
3
5
)
8
(
3
7
5
cos
B
A
B
A
B
B
A
A

=
+

+
−
=
64
49
9
25
24
35
18
.
0
62
11
113
34
11



= .

12
Полученное значение положительное, значит угол острый. Пользуясь
таблицей для косинусов в Приложении Б, получаем o
79

 .
4. Определить взаимное расположение прямых 1
l и 2
l , если:
а) 4
8
:
1 +
= x
y
l , 2
3
:
2 −
= x
y
l .
Прямые заданы в виде уравнений с угловым коэффициентом.
8
1 =
k , 3
2 =
k .
Проверим условие (8): 3
8  , значит, прямые не параллельны.
Проверим условие (10):
3
1
8 −
 , значит, прямые
не перпендикулярны.
Следовательно, прямые пересекаются: 2
1 l
l  .
б) 0
2
6
8
:
1 =
+
− y
x
l , 0
2
5
4
:
2 =
+
− y
x
l
Прямые заданы общими уравнениями.
Проверим условие параллельности (9):
2
1
2
1
2
1
C
C
B
B
A
A

= .
Получим:
2
2
5
6
4
8

−
−
 .
Условие (9) не выполняется, значит, прямые не параллельны.
Проверим условие перпендикулярности (11): 0
2
1
2
1 =

+
 B
B
A
A .
Получим: 0
30
32
)
5
(
)
6
(
4
8 
+
=
−

−
+
 .
Условие (11) не выполняется.
Значит, прямые не перпендикулярны. Они пересекаются: 2
1 l
l  .
в) 0
1
2
3
:
1 =
+
− y
x
l , 0
2
4
6
:
2 =
+
− y
x
l .
2
1
4
2
6
3
=
−
−
= .
Условие (9) не выполняется, но выполняется условие (14),значит, 2
1 l
l = .
5. Построить прямую l , если:
а) 3
2
: +
−
= x
y
l
Прямую вида (1) удобнее всего строить по двум точкам 1
x и 2
x .
Полагаем 0
1 =
x , 2
2 =
x . Тогда 0
1
=
у , 1
2
−
=
у .
Наносим на координатную плоскость полученные точки
и соединяем их прямой линией (рисунок 7):
Рисунок 7. – График прямой 3
2 +
−
= x
y

13
б) 1
3
2
: =
−
y
x
l .
Так как в правой части уравнения стоит 1, то выражение стандартного
вида. По оси ОХ откладывается точка 2, по оси ОУ – точка -3. Эти две
точки соединяются (рисунок 8).
3
2
=
−
y
x
в) 3
2
3
: −
=
−
y
x
l .
Так как в правой части уравнения стоит число, отличное от 1, то всё
уравнение следует разделить на -3. Получим:
( )
1
9 3
2
=
+
−
y
x
.
По оси ОХ откладывается точка -9, по оси ОУ – точка
3
2
. Эти две точки
соединяются (рисунок 9).
2
3
−
=
−
y
x
г) 0
4
2
3
: =
−
− y
x
l .
Перенесем свободный коэффициент в правую часть уравнения:
4
2
3 =
− y
x .
Поделим всё выражение на 4:
1
4
2
4
3
=
−
y
x
.
Избавимся от коэффициентов в числителях дробей:
( ) ( )
1
2
4
3
4
=
−
y
x

( )
1
2
3
4
=
−
y
x
.
По оси ОХ откладывается точка
3
4
, по оси ОУ – точка -2. Эти две точки
соединяются (рисунок 10).

14
4
2
3 =
−
− y
x
6. Привести уравнение прямой l к виду в отрезках, если:
а) Привести уравнение 3
6 −
= x
у к виду в отрезках.
Переносим переменные влево, константу вправо:
3
6 −
=
− x
у .
Делим уравнение на -3:
1
3
6
3
=
−
−
−
x
у
.
Слагаемое, содержащее x поставим на первое место:
1
3
1
2
=
−
у
x
.
Преобразуем первое слагаемое следующим образом:
1
3
,5
0
=
−
у
x
.
б) 0
4
2
3
: =
−
− y
x
l .
Перенесем свободный коэффициент в правую часть уравнения:
4
2
3 =
− y
x .
Поделим всё выражение на 4:
1
4
2
4
3
=
−
y
x
.
Избавимся от коэффициентов в числителях дробей:
( ) ( )
1
2
4
3
4
=
−
y
x

( )
1
2
3
4
=
−
y
x
.
в) 2
3
2
−
=
−
y
x
Делим всё выражение на -2, получаем:
1
6
4
=
+
−
y
x
.
7. Определить аналитически, лежат ли точки А, В, С на одной прямой, если:
а) А(1;1), В(2;3), С(3;5)
Составим уравнение прямой, проходящей через две точки А и В с помощью
формулы (4):
1
2
1
1
3
1
−
−
=
−
− x
y

1
1
2
1 −
=
− x
y
 ( )
1
2
1 −
=
− x
y  0
1
2 =
+
− x
y .
В полученное уравнение подставляем координаты точки С:

15
0
1
3
2
5 =
+

−
0
1
6
5 =
+
−
0
0 = - верное равенство, значит, точки лежат на одной прямой.
б) А(1;2), В(4;6), С(9;4)
Составим общее уравнение прямой через точки А и В с помощью формулы
(4):
1
4
1
2
6
2
−
−
=
−
− x
y

3
1
4
2 −
=
− x
y
 ( ) ( )
1
4
1
3 −
=
− x
y  0
1
3
4 =
+
+
− y
x
и найти расстояние от точки С до полученной прямой с помощью
формулы (5):
0
5
3
4
5
23
25
23
9
16
1
12
36
3
)
4
(
1
4
3
9
4
2
2

=
=
−
=
+
+
+
−
=
+
−
+

+

−
=
d .
Полученное расстояние не равно нулю, значит, точки не лежат на одной
прямой.
в) А(-1;3), В(2;1), С(5;-1)
Составить уравнение прямой через две точки А и В с помощью формулы
(4) и приведем уравнение к общему виду:
1
2
1
3
1
3
+
+
=
−
− x
y

3
1
2
3 +
=
−
− x
y
 ( ) ( )
1
2
1
3 +
−
=
− x
y  0
1
3
2 =
+
+ y
x .
Аналогично получаем уравнение прямой через точки В и С:
2
5
2
1
1
1
−
−
=
−
−
− x
y

3
2
2
1 −
=
−
− x
y
 ( ) ( )
2
2
1
3 −
−
=
− x
y  0
1
3
2 =
+
+ y
x .
Полученные уравнения совпадают, значит, три точки лежат на одной
прямой.
Задания для самостоятельной работы
8. Составить уравнение прямой, проходящей через две точки А и В, если:
а) А(0;3), В(5;8)
б) А(-3;4), В(3;-7)
в) А(10;-4), В(6;-2)
г) А(-3;4), В(3;-7)
д) А(8;-1), В(-4;-5)
е) А(-4;0), В(0;2)
ж) А(-2;4), В(8;-3)
з) А(0,1;2), В(2;5)
и) А( 2
1
;4), В( 8
3
;2)
к) А(2;0,7), В( 4
1
;0)
9. Найти расстояние d от точки М до прямой l , если:
а) М(3;8), 0
7
6
5
: =
+
− y
x
l .
б) М(1;-2), 0
1
3
6
: =
+
+ y
x
l .
в) М(-5;-1), 0
3
9
8
: =
−
− y
x
l .
г)М(1;-8), 0
4
4
2
: =
−
−
− y
x
l .
д) М(4;0), 0
2
7
: =
−
+
− y
x
l .
е) М(5;1), 0
20
9
3
: =
+
+ y
x
l .
ж)М(1;-7), 0
12
5
3
: =
−
+ x
y
l .
з) М(4;0), 0
2
7
: =
−
+
− x
y
l .
и) М(6;1), 0
11
6
: =
+ y
x
l .
к) М(0;-7), 0
2
: =
+ y
x
l .
л) М(-5;-2), 0
8
5
: =
+
− y
x
l .
м) М(1;6), 0
18
: =
+ y
x
l .
н) М(0;-7), 0
9
2
: =
+
− y
x
l .
о) М(1;-2), 0
2
6
: =
+
x
l .
п) М(8;-3), 0
40
15
: =
−
x
l .
р) М(0;-2), 0
8
2
: =
+
y
l .

16
10. Найти угол между прямыми 1
l и 2
l , если:
а) 4
2
:
1 +
−
= x
y
l , 6
3
:
2 +
= x
y
l .
б) 5
8
:
1 −
= x
y
l , 5
3
:
2 −
= x
y
l .
в) 8
6
:
1 −
= x
y
l , 1
9
:
2 +
−
= x
y
l .
г) 2
7
:
1 −
−
= x
y
l , 2
5
:
2 +
−
= x
y
l .
д) 3
8
:
1 +
= x
y
l , 4
3
:
2 −
= x
y
l .
е) 8
2
:
1 −
−
= x
y
l , 8
9
:
2 −
−
= x
y
l .
ж) 0
7
6
5
:
1 =
−
+ y
x
l 0
9
3
2
:
2 =
+
+
− y
x
l .
з) 0
2
7
:
1 =
+
− y
x
l , 0
1
5
4
:
2 =
+
+ y
x
l .
и) 0
2
5
9
:
1 =
−
− y
x
l , 0
7
8
3
:
2 =
−
−
− y
x
l .
к) 0
6
3
:
1 =
+
− y
x
l , 0
4
3
9
:
2 =
−
− y
x
l .
л) 0
2
4
7
:
1 =
−
+ y
x
l , 0
3
2
:
2 =
−
− y
x
l .
м) 0
8
6
:
1 =
−
+
− y
x
l , 0
7
2
3
:
2 =
+
− y
x
l .
l и 2
l , если:
а) 4
8
:
1 +
= x
y
l , 2
8
:
2 −
= x
y
l .
б) 7
5
:
1 −
= x
y
l , 4
5
:
2 −
= x
y
l .
в) 2
8
:
1 −
−
= x
y
l , 1
8
:
2 +
−
= x
y
l .
г) 5
6
:
1 +
= x
y
l , x
y
l 4
6
:
2 −
= .
д) 5
:
1 +
= x
y
l , 2
2
,
0
:
2 −
−
= x
y
l .
е) 6
2
:
1 −
= x
y
l , 2
: 2
1
2 −
−
= x
y
l .
ж) 6
: 7
3
1 −
−
= x
y
l , 2
: 3
7
2 −
= x
y
l .
з) 6
3
:
1 −
= x
y
l , 2
: 3
1
2 −
= x
y
l .
и) 8
2
:
1 +
= x
y
l , 5
2
:
2 −
−
= x
y
l .
к) x
y
l 4
8
:
1 +
= , x
y
l 4
5
:
2 +
= .
л) 6
6
:
1 −
= x
y
l , 2
: 6
1
2 −
= x
y
l .
м) 6
2
:
1 −
= x
y
l , 6
2
:
2 −
= x
y
l .
н) x
y
l 2
:
1 −
= , 2
: 2
1
2 −
= x
y
l .
о) 6
2
:
1 −
= x
y
l , 2
: 2
1
2 −
−
= x
y
l .
п) 5
:
1 =
y
l , x
y
l 2
5
:
2 +
−
= .
р) 1
6
:
1 +
= x
y
l , 2
3
:
2 −
= x
y
l .
l и 2
l , если:
а) 0
1
2
2
:
1 =
+
− y
x
l , 0
2
5
5
:
2 =
+
− y
x
l .
б) 0
5
2
7
:
1 =
−
+
− y
x
l , 0
1
3
4
:
2 =
−
+ y
x
l .
в) 0
2
6
:
1 =
+
− y
x
l , 0
1
5
,
0
3
:
2 =
+
− y
x
l .
г) 0
8
7
3
:
1 =
+
− y
x
l , 0
2
3
7
:
2 =
+
+
− y
x
l .
д) 0
2
8
6
:
1 =
−
+
− y
x
l , 0
9
6
8
:
2 =
−
+ y
x
l .
е) 0
8
6
2
:
1 =
−
+ y
x
l , 0
4
3
:
2 =
−
+ y
x
l .
ж) 0
6
2
7
:
1 =
+
− y
x
l , 0
1
5
7
:
2 =
+
− y
x
l .
з) 0
7
3
9
:
1 =
+
+ y
x
l , 0
7
6
5
:
2 =
+
+ y
x
l .
и) 0
1
5
7
:
1 =
+
− y
x
l , 0
1
2
6
:
2 =
+
−
− y
x
l .
к) 0
1
7
4
:
1 =
+
− y
x
l , 0
2
7
4
:
2 =
+
− y
x
l .
л) 0
8
2
3
:
1 =
−
−
− y
x
l , 0
16
4
6
:
2 =
+
+ y
x
l .
13. Построить прямую l , если:
а) 3
5
,
0
: +
= x
y
l
б) 1
4
: −
−
= x
y
l
в) 1
8
5
: =
−
y
x
l .

17
г) 1
8
2
: =
+
−
y
x
l
д) 1
3
4
: −
=
−
y
x
l
е) 1
6
: =
+
y
x
l .
ж) 2
3
1
: =
−
−
y
x
l .
з) 3
2
5
: −
=
+
−
y
x
l .
и)
2
1
4
2
: =
−
y
x
l .
к)
3
1
3
6
: −
=
−
−
y
x
l .
л) 0
4
2
3
: =
−
− y
x
l .
м) 0
3
7
3
: =
+
+
− y
x
l
н) 0
1
2
8
: =
−
− x
y
l
о) 0
6
3
5
: =
+
− y
x
l
п) 0
6
8
2
: =
−
+ y
x
l
р) 0
2
10
5
: =
+
−
− x
y
l
с) 5
,
0
2
,
4
: +
−
= x
y
l
т) x
y
l 7
,
0
4
1
: +
=
14. Привести уравнение прямой l к виду в отрезках, если:
а) 0
1
2
4
: =
−
+ y
x
l
б) 0
3
3
3
: =
+
+
− y
x
l
в) 0
4
8
2
: =
−
+ y
x
l
г) 0
6
3
3
: =
+
+ y
x
l
д) 0
16
8
2
: =
−
+
− y
x
l
е) 0
6
2
: =
−
− y
x
l
ж) 0
6
,
0
3
,
0
2
,
0
: =
−
+ y
x
l
з) 0
4
2
3
2
1
: =
−
+ y
x
l
и) 1
2
6
4
: −
=
+
+
− y
x
l
к) 2
2
5
.
0
2
: =
−
− y
x
l
15. Определить аналитически, лежат ли точки А, В и С на одной прямой, если:
а) А(2;5), В(4;3), С(1;3)
б) А(4;3), В(7;3), С(9;1)
в) А(-5;1), В(2;-7), С(1;8)
г) А(8;2), В(6;0), С(5;3)
д) А(4;1), В(7;2), С(10;3)
е) А(1;-2), В(3;-4), С(5;-6)
ж) А(8;0), В(-2;3), С(2;4)
з) А(3;2), В(-2;1), С(8;4)
и) А(4;-1), В(0;2), С(1;1)
к) А(2;1), В(-8;7), С(9;5)
л) А(-3;4), В(-2;5), С(-1;6)
м) А(1;1), В(0;0), С(-3;-3)
н) А(6;1), В(2;-7), С(4;1)

18
ПЛОСКОСТЬ
Плоскость это геометрическая поверхность, положение которой определяется тремя
точками, не лежащими на одной прямой и совпадающими с этой поверхностью.
При систематическом изложении геометрии понятие плоскости обычно принимается
за одно из исходных понятий, которое косвенным образом определяется аксиомами
геометрии.
6. Уравнения плоскости
В декартовых координатах каждая плоскость определяется уравнением первой
степени.
Выделяют следующие способы аналитического задания плоскости:
- уравнение в отрезках.
- общее уравнение;
- уравнение через три точки;
6.1. Уравнение плоскости в отрезках
Уравнение плоскости может быть задано в виде:
1
=
+
+
c
z
b
y
a
x
, (15)
где а, b, с – отрезки, отсекаемые по осям ОХ, ОУ и OZ соответственно. Причем,
0

a , 0

b , 0

c .
Некоторые случаи расположения плоскости показаны на рисунке 11.
Рисунок 11. – Некоторые случаи расположения плоскости 1
=
+
+
c
z
b
y
a
x
Всего возможно 9 вариантов расположения плоскости для различных сочетаний
параметров a, b и c.

19
6.2. Общее уравнение плоскости
Уравнение плоскости может быть задано в виде:
0
: =
+
+
+ D
Cz
By
Ax
p , (16)
где А, В, С, D – некоторые числа.
Причем любое из этих чисел может быть равно нулю.
В зависимости от значений постоянных А, В, С, D возможные следующие частные
случаи общего уравнения плоскости:
1) 0
=
+
+ D
Cz
By - параллельна оси ОХ;
2) 0
=
+
+ D
Cz
Ax - параллельна оси ОУ;
3) 0
=
+
+ D
By
Ax - параллельна оси ОZ;
4) 0
=
+ D
Cz - параллельна плоскости ХОУ;
5) 0
=
+ D
By - параллельна плоскости XOZ;
6) 0
=
+ D
Ax - параллельна плоскости УOZ;
7) 0
=
+
+ Cz
By
Ax - проходит через начало координат;
8) 0
=
+ Cz
By - проходит через ось ОХ;
9) 0
=
+Cz
Ax - проходит через ось ОУ;
10) 0
=
+ By
Ax - проходит через ось OZ;
11) 0
=
z - плоскость ХОУ;
12) 0
=
y - плоскость XOZ;
13) 0
=
x - плоскость УOZ.
Для построения плоскости, заданной в виде (16) удобно приводить уравнение к виду
(15) с помощью элементарных преобразований.
6.3. Уравнение плоскости через три точки
Возьмем три точки: ( )
1
1
1
1 ;
; z
y
x
M , ( )
2
2
2
2 ;
; z
y
x
M , ( )
3
3
3
3 ;
; z
y
x
M через которые
проходит плоскость.
Введем вспомогательную переменную 1
p :
( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( )
1
1
2
1
3
1
1
2
1
3
1
1
2
1
3
1 z
z
x
x
y
y
y
y
z
z
x
x
x
x
y
y
z
z
p −
−
−
+
−
−
−
+
−
−
−
=
(17.1)
и вспомогательную переменную 2
p :
( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( )
1
1
2
1
3
1
1
2
1
3
1
1
2
1
3
2 z
z
y
y
x
x
y
y
x
x
z
z
x
x
z
z
y
y
p −
−
−
+
−
−
−
+
−
−
−
=
(17.2)
тогда определим плоскость p следующим образом:
0
2
1 =
−
= p
p
p (17)
Уравнение (17) называется уравнением плоскости, проходящей через три точки.
Каноническое уравнение плоскости можно привести к виду (15) с помощью
элементарных преобразований и построить данную плоскость.
7. Расстояние от точки до плоскости
Пусть плоскость p задана общим уравнением: 0
: =
+
+
+ D
Cz
By
Ax
p , задана точка
M на плоскости с координатами: ( )
0
0
0 ;
; z
y
x
М .

20
Расстоянием считается кратчайший путь от точки до прямой, т.е. перпендикуляр,
опущенный из этой точки на прямую (рисунок 12).
Рисунок 12. – Расстояние от точки до плоскости
Тогда расстояние d от точки M до плоскости p находится по формуле:
2
2
2
0
0
0
C
B
A
D
z
C
y
B
x
A
d
+
+
+

+

+

= (18)
При этом соблюдается условие неотрицательности расстояния ( 0

d ).
Если 0
=
d , то это означает, что точка принадлежит плоскости.
8. Угол между двумя плоскостями
Если две плоскости 1
p и 2
p пересекаются, то они пересекаются по прямой, которую
обозначим буквой l (рисунок 13.). Прямая l делит каждую плоскость на две полуплоскости.
Рисунок 13. – Угол между двумя плоскостями
Две пересекающиеся плоскости образуют две пары смежных углов. Меньший из
смежных углов называется углом между плоскостями.
Если один из этих углов равен 90°, то и остальные равны по 90°, а соответствующие
плоскости называются перпендикулярными.
Если две плоскости параллельны, то углы между ними равны нулю.
9. Взаимное расположение плоскостей
9.1. Признак параллельности плоскостей
1. Если две плоскости 1
p и 2
p заданы общими уравнениями:
0
: 1
1
1
1
1 =
+
+
+ D
z
C
y
B
x
A
p и 0
: 2
2
2
2
2 =
+
+
+ D
z
C
y
B
x
A
p , то плоскости будут параллельны,
если выполняется условие:

21
2
1
2
1
2
1
2
1
D
D
C
C
B
B
A
A

=
= (19)
p и 2
p заданы уравнениями в отрезках: 1
:
1
1
1
1 =
+
+
c
z
b
y
a
x
p и
1
:
2
2
2
2 =
+
+
c
z
b
y
a
x
p , то плоскости будут параллельны, если выполняется условие:
2
1
2
1
2
1
c
c
b
b
a
a
=
= (20)
Если плоскости 1
p и 2
p параллельны, то это обозначают: 2
1 || p
p .
9.2. Признак перпендикулярности плоскостей
p и 2
0
: 1
1
1
1
1 =
+
+
+ D
z
C
y
B
x
A
p и 0
: 2
2
2
2
2 =
+
+
+ D
z
C
y
B
x
A
p , то плоскости будут
перпендикулярны, если выполняется условие:
0
2
1
2
1
2
1 =

+

+
 С
С
B
B
A
A (21)
p и 2
:
1
1
1
1 =
+
+
c
z
b
y
a
x
p и
1
:
2
2
2
2 =
+
+
c
z
b
y
a
x
p , то плоскости следует привести к общим уравнениям и для определения
параллельности плоскостей воспользоваться условием (21).
p и 2
p перпендикулярны, то это обозначают: 2
1 p
p ⊥ .
9.3. Совпадающие плоскости
p и 2
0
: 1
1
1
1
1 =
+
+
+ D
z
C
y
B
x
A
p и 0
: 2
2
2
2
2 =
+
+
+ D
z
C
y
B
x
A
p , то плоскости будут совпадать,
если выполняется условие:
2
1
2
1
2
1
2
1
D
D
C
C
B
B
A
A
=
=
= (22)
p и 2
:
1
1
1
1 =
+
+
c
z
b
y
a
x
p и
1
:
2
2
2
2 =
+
+
c
z
b
y
a
x
p , то плоскости будут совпадать, если выполняется условие:





=
=
=
.
,
,
2
1
2
1
2
1
c
c
b
b
a
a
(23)
p и 2
p совпадают, то это обозначают: 2
1 p
p = .

22
9.4. Пересекающиеся плоскости
p и 2
0
: 1
1
1
1
1 =
+
+
+ D
z
C
y
B
x
A
p и 0
: 2
2
2
2
2 =
+
+
+ D
z
C
y
B
x
A
p , то плоскости будут пересекаться,
если не выполняется ни одно из условий (19), (21) или (22).
p и 2
:
1
1
1
1 =
+
+
c
z
b
y
a
x
p и
1
:
2
2
2
2 =
+
+
c
z
b
y
a
x
p , то плоскости будут пересекаться, если не выполняется ни одно из
условий (20) или (23).
p и 2
p пересекаются, то это обозначают: 2
1 p
p  .
10. Точка и плоскость
Пусть дана плоскость 0
: =
+
+
+ D
Cz
By
Ax
p и точка ( )
0
0
0 ;
; z
y
x
М .
Чтобы определить, принадлежит ли точка плоскости необходимо подставить
координаты точки в уравнение плоскости. Если выполняется следующее условие:
0
0
0
0 =
+

+

+
 D
z
C
y
B
x
A , (24)
то точка принадлежит плоскости.
Также можно использовать условие 0
=
d в п. 2.2.
Решение типовых задач
16. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки А, В, С, если:
А(1;2;7), В(-4;6;1), С(5;3;4)
Воспользуемся формулой (17.1):
( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( )
7
1
4
2
3
2
7
1
1
5
1
2
6
7
4
1 −
−
−
−
+
−
−
−
+
−
−
−
= z
y
x
p .
Получим:
( ) ( ) ( )
7
)
5
(
1
2
)
6
(
4
1
4
3
1 −

−

+
−

−

+
−


−
= z
y
x
p .
Раскроем скобки:
35
5
48
24
12
12
1 +
−
+
−
+
−
= z
y
x
p .
Приведем подобные слагаемые:
95
5
24
12
1 +
−
−
−
= z
y
x
p .
Аналогично воспользуемся формулой (17.2) получим 2
p :
( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( )
7
2
6
1
5
2
1
4
7
4
1
7
1
2
3
2 −
−
−
+
−
−
−
−
+
−
−
−
= z
y
x
p
( ) ( ) ( )
7
4
4
2
)
5
(
)
3
(
1
)
6
(
1
2 −


+
−

−

−
+
−

−

= z
y
x
p
112
16
30
15
6
6
2 −
+
−
+
+
−
= z
y
x
p
136
16
15
6
2 −
+
+
−
= z
y
x
p
Составим уравнение плоскости p :
)
136
16
15
6
(
95
5
24
12
2
1 −
+
+
−
−
+
−
−
−
=
−
= z
y
x
z
y
x
p
p
p .
Получим:
231
21
39
6
136
16
15
6
95
5
24
12 +
−
−
−
=
+
−
−
+
+
−
−
−
= z
y
x
z
y
x
z
y
x
p .
Получаем: 0
231
21
39
6
: =
+
−
−
− z
y
x
p - уравнение плоскости в общем виде.
17. Найти расстояние d от точки М до плоскости p , если:

23
а) М(7;-5;2), 0
3
5
4
2
: =
−
+
− z
y
x
p .
Применим формулу (18):
5
3
41
45
41
25
16
4
3
10
20
14
5
)
4
(
2
3
2
5
)
5
(
4
7
2
2
2
2
=
=
+
+
−
+
+
=
+
−
+
−

+
−

−

=
d .
б) М(6;1;-9), 0
2
4
9
2
: =
+
−
+ x
y
z
p .
Заметим, что в уравнении плоскости переменные можно расположить в
порядке, более удобном для применения формулы (18). Получим:
0
2
2
9
4
: =
+
+
+
− z
y
x
p .
Тогда расстояние d вычисляется следующим образом:
101
31
101
31
4
81
16
2
18
9
24
2
9
)
4
(
2
)
9
(
2
1
9
6
4
2
2
2
=
−
=
+
+
+
−
+
−
=
+
+
−
+
−

+

+

−
=
d .
в) М(2;1;-3), 0
2
4
8
: =
−
+ z
y
p .
В уравнении плоскости отсутствует переменная x , значит, коэффициент
перед ней равен нулю. Получаем уравнение плоскости:
0
2
4
8
0
: =
−
+
+ z
y
x
p .
Тогда расстояние d вычисляется следующим образом:
17
3
17
2
6
68
6
4
64
2
12
8
0
)
2
(
8
0
2
)
3
(
4
1
8
2
0
2
2
2
=
=
−
=
+
−
−
+
=
−
+
+
−
−

+

+

=
d .
18. Определить взаимное расположение плоскостей 1
p и 2
p , если:
а) 0
2
4
8
4
:
1 =
−
+
− z
y
x
p , 0
8
2
4
2
:
1 =
−
+
− z
y
x
p .
8
2
2
4
4
8
2
4
−
−

=
−
−
= - условие выполняется, значит, плоскости
параллельны.
б) 1
3
2
5
:
1 =
−
+
z
y
x
p , 1
8
4
3
:
2 =
−
+
z
y
x
p .
8
3
4
2
3
5
−
−
=
= - условие не выполняется, значит, плоскости не
параллельны. Также, очевидно, не выполняется условие (23).
Приведем уравнения к общему виду, чтобы применить условие (21). Для
этого приведем все дроби каждого уравнения к общему знаменателю:
0
30
10
15
6
:
1 =
−
−
+ z
y
x
p , 0
24
3
6
8
:
2 =
−
−
+ z
y
x
p .
Проверяем условие (21):
0
378
240
90
48
)
24
(
)
10
(
6
15
8
6 
=
+
+
=
−

−
+

+
 .
Выражение не равно нулю, значит, плоскости не перпендикулярны.
Следовательно, плоскости пересекаются.
в) 1
1
2
6
:
1 =
−
+
z
y
x
p , 2
5
,
0
1
3
:
2 =
−
+
z
y
x
p .

24
Приведем уравнение плоскости 2
p к стандартному виду (в правой части
уравнения должна стоять единица). Получим:
1
1
2
6
:
2 =
−
+
z
y
x
p .
Заметим, что выполняется условие (23).
Значит, плоскости совпадают.
19. Привести уравнение плоскости p к виду в отрезках, если:
а) 0
12
6
2
4
: =
−
+
− z
y
x
p .
Удобно использовать алгоритм, приведенный в п. 1.1.2.
Переносим свободный коэффициент в правую часть уравнения:
12
6
2
4 =
+
− z
y
x .
Делим всё выражение на свободный коэффициент, получаем:
1
12
6
12
2
12
4
=
+
−
z
y
x
.
Сокращаем дроби и получаем:
1
2
6
3
=
+
−
z
y
x
.
б) 5
1
5
7
: −
=
−
+
−
z
y
x
p .
В данном примере необходимо получить в правой части уравнения
единицу. Для этого всё выражение делим на число, стоящее в правой
части ( на -5):
1
)
5
(
1
)
5
(
5
)
5
(
7
: =
−

−
−

+
−

−
z
y
x
p .
1
5
25
35
: =
+
−
z
y
x
p .
20. Построить плоскость p , если:
а) 1
1
2
6
: =
+
−
z
y
x
p
Уравнение плоскости записано в стандартном виде. Для построения
необходимо отложить по оси ОХ координату 6, по оси ОУ координату -
2, по оси OZ координату 1. Полученные точки соединяем (рисунок 14):
Рисунок 14. – плоскость 1
1
2
6
=
+
−
z
y
x
б) 0
24
6
8
4 =
+
−
+ z
y
x

25
Переносим свободный коэффициент в правую часть уравнения:
24
6
8
4 −
=
−
+ z
y
x .
Делим всё выражение на свободный коэффициент, получаем:
1
24
6
24
8
24
4
=
−
−
−
+
−
z
y
x
.
Сокращаем дроби и получаем:
1
4
3
6
=
+
−
−
z
y
x
.
Уравнение плоскости записано в стандартном виде. Для построения
необходимо отложить по оси ОХ координату -6, по оси ОУ координату -
3, по оси OZ координату 4. Полученные точки соединяем (рисунок 15):
Рисунок 15.- плоскость 0
24
6
8
4 =
+
−
+ z
y
x
21. Определить, принадлежит ли точка М плоскости p , если:
а) 0
5
9
8
3
: =
−
−
+ z
y
x
p , ( )
3
;
1
;
8
М .
Подставим координаты точки М в уравнение плоскости. Получим:
0
32
32
5
27
8
24
5
3
9
1
8
8
3 =
−
=
−
−
+
=
−

−

+
 .
Выражение равно нулю, значит, точка принадлежит плоскости.
б) 0
1
2
7
4
: =
+
−
− z
y
x
p , ( )
2
;
5
;
3 −
М .
Найдем расстояние от точки М плоскости p по формуле (18):
0
69
44
69
44
4
49
16
1
4
35
12
)
2
(
)
7
(
4
1
2
2
)
5
(
7
3
4
2
2
2

=
=
+
+
+
−
+
=
−
+
−
+
+

−
−

−

=
d .
Полученное выражение не равно нулю, значит, точка нет принадлежит
плоскости.
Задания для самостоятельной работы
22. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки А, В, С, если:
а) А(3;2;5), В(1;-5;7), С(6;3;-2)
б) А(8;3;-2), В(0;-9;3), С(-8;1;-5)
в) А(0;4;6), В(7;8;4), С(1;-2;9)
г) А(1;2;7), В(-4;6;1), С(5;3;4)
д) А(4;8;1), В(2;-3;7), С(4;-2;8)
е) А(8;-4;0), В(0;5;-5), С(4;0;-4)
23. Найти расстояние d от точки М до плоскости p , если:
а) М(3;8;2), 0
1
7
6
5
: =
−
+
− z
y
x
p .
б) М(1;-2;4), 0
3
3
6
: =
−
+
+ z
y
x
p .

26
в) М(-5;-1;5), 0
10
3
9
8
: =
+
−
− z
y
x
p .
г) М(1;-8;0), 0
6
8
4
2
: =
+
−
−
− z
y
x
p .
д) М(4;0;-7), 0
9
2
7
: =
−
−
+
− z
y
x
p .
е) М(5;1;2), 0
20
9
3
: =
−
+
+ z
y
x
p .
ж) М(1;-7;3), 0
12
5
3
: =
−
+ x
y
p .
з) М(4;0;-8), 0
2
7
: =
−
+
− x
y
p .
и) М(2;1;4), 0
2
: =
−
+ z
x
y
p .
к) М(-5;3;-6), 0
6
3
9
: =
−
−
+
− x
z
y
p .
л) М(-8;0;-7), 0
8
2
3
: =
−
−
+ z
x
y
p .
м) М(7;1;3), 0
8
2
7
: =
−
+ x
y
p .
н) М(3;2;9), 0
2
2
8
3
: =
−
−
+ y
x
z
p .
о) М(-4;3;8), 0
7
: =
+
− x
y
p .
п) М(11;3;1), 0
6
2
: =
+
− y
x
p .
24. Определить взаимное расположение плоскостей 1
p и 2
p , если:
а) 0
1
7
6
5
:
1 =
−
+
− z
y
x
p , 0
4
7
6
5
:
2 =
+
+
− z
y
x
p
б) 0
9
2
5
3
:
1 =
+
−
+
− z
y
x
p , 0
2
2
5
3
:
2 =
−
−
+
− z
y
x
p
в) 1
4
3
6
:
1 =
+
−
−
z
y
x
p , 1
8
6
12
:
2 =
+
−
−
z
y
x
p
г) 1
9
4
2
:
1 =
+
+
z
y
x
p , 1
18
8
4
:
2 −
=
−
−
−
z
y
x
p
д) 0
1
8
5
3
:
1 =
−
−
+ z
y
x
p , 0
4
4
4
:
2 =
+
+
+ z
y
x
p
е) 0
15
6
7
:
1 =
−
+
− z
y
x
p , 0
8
7
7
5
:
2 =
+
+
+
− z
y
x
p
ж) 0
4
8
3
:
1 =
+
− z
y
x
p , 0
3
6
7
2
:
2 =
−
+
+ z
y
x
p
з) 0
1
7
6
5
:
1 =
−
+
− z
y
x
p , 0
1
7
6
5
:
2 =
+
+
− z
y
x
p
и) 0
1
7
6
5
:
1 =
−
+
− z
y
x
p , 0
2
14
12
10
:
2 =
−
+
− z
y
x
p
к) 1
8
4
2
:
1 =
+
−
z
y
x
p , 1
9
6
8
:
2 =
+
−
−
z
y
x
p
л) 1
1
3
8
:
1 =
+
+
−
z
y
x
p , 2
2
6
16
:
2 =
+
+
−
z
y
x
p
25. Привести уравнение плоскости p к виду в отрезках, если:
а) 0
10
3
9
8
: =
+
−
− z
y
x
p
б) 0
8
2
3
: =
−
−
+ z
x
y
p
в) 4
6
3
9
: =
−
−
+
− x
z
y
p
г) 2
3
8
: =
−
+ y
z
x
p
д) 2
2
6
12
: =
+
−
−
z
y
x
p
е) 2
2
5
3
: =
+
−
z
y
x
p
ж) 3
2
6
16
:
2 −
=
+
+
−
z
y
x
p
26. Построить плоскость p , если:
а) 0
3
6
7
2
: =
−
+
+ z
y
x
p
б) 0
2
14
12
10
: =
−
+
− z
y
x
p
в) 1
1
9
12
3
: =
−
+
− z
y
x
p
г) 2
1
4
2
: =
−
+
+
− z
y
x
p

27
д) 2
2
6
2
: −
=
+
+
−
z
y
x
p
е) 1
4
2
8
: =
+
−
z
y
x
p
ж) 1
5
7
2
: −
=
−
−
−
z
y
x
p
з) 1
1
6
10
: =
−
−
−
z
y
x
p
и) 1
1
6
10
: =
−
−
−
z
y
x
p
к)
( ) ( )
3
5
:
3
1
2
3
=
+
−
z
y
x
p
л)
( ) 3
1
4
5 2
1
=
+
+
−
z
y
x
м)
( ) ( ) 6
1
3 9
1
3
1
=
−
+
z
y
x
н)
( ) ( ) 4
1
4 8
1
2
1
=
−
−
z
y
x
27. Определить, принадлежит ли точка М плоскости p , если:
а) М(-5;-1;5), 0
10
3
9
8
: =
+
−
− z
y
x
p .
б) М(7;3;-4), 0
11
11
4
3
: =
+
+
+ z
y
x
p .
в) М(-2;2;1), 0
1
3
8
7
: =
+
−
+ z
y
x
p .
г) М(5;0;-4), 0
3
3
5
2
: =
−
+
− z
y
x
p .
д) М(8;4;8), 1
4
2
8
: =
+
−
z
y
x
p .
е) М(-3;0;2), 2
8
7
6
: =
−
−
z
y
x
p .
ж) М(4;-14;-5), 1
5
7
2
: −
=
−
−
−
z
y
x
p .

28
ОТВЕТЫ
ПРЯМАЯ
8. а) 0
3 =
+
− y
x
б) 0
11
2 =
+
− y
x
в) 0
2 =
−
+ y
x
г) 0
9
6
11 =
+
+ y
x
д) 0
11
3 =
−
− y
x
е) 0
4
2 =
+
− y
x
ж) 0
26
10
7 =
−
+ y
x
з) 0
5
,
3
9
,
1
3 =
−
+
− y
x
и) 0
2
2
1
8
1
=
−
− y
x
к)
0
3
,
4
75
,
1
3
,
0 =
+
− y
x
9. а)
61
26
б)
5
3
1
в)
145
34
г)
5
13
д)
2
6
е)
10
3
44
ж)
34
28
з)
2
5
2
и)
157
47
к)
5
14
л)
89
9
м)
13
5
24
н)
85
63
о) 3
1
1
п) 3
2
10
р) 1
10. а) 1
=

tg , o
45
=

б) 2
,
0
=

tg , o
11


в) 28
,
0
−


tg , o
106


г) 06
,
0
−


tg , o
103


д) 2
,
0
=

tg , o
11


е) 7
,
0


tg , o
20


ж) 28
,
0


tg , o
16


з) 39
,
0
−


tg , o
111


и) 15
,
0


tg , o
9


к) 6
,
0
=

tg , o
31


л) 89
,
0
−


tg , o
112


м) 68
,
0
−


tg , o
114


11.
а) 2
1 || l
l
б) 2
1 || l
l
в) 2
1 || l
l
г) 2
1 l
l 
д) 2
1 l
l 
е) 2
1 l
l ⊥
ж) 2
1 l
l ⊥
з) 2
1 l
l 
и) 2
1 l
l 
к) 2
1 l
l 
л) 2
1 || l
l
м) 2
1 l
l =
н) 2
1 l
l ⊥
о) 2
1 l
l ⊥
п) 2
1 l
l 
р) 2
1 l
l 
12. а) 2
1 || l
l
б) 2
1 l
l 
в) 2
1 l
l =
г) 2
1 l
l 
д) 2
1 l
l 
е) 2
1 l
l =
ж) 2
1 l
l 
з) 2
1 l
l 
и) 2
1 l
l 
к) 2
1 || l
l
л) 2
1 l
l =
14. а)
( ) ( )
1
2
1
4
1
=
+
y
x
б) 1
1
1
=
−
y
x
в)
( )
1
2 2
1
=
+
y
x
г) 1
2
2
=
−
−
y
x
д) 1
2
8
=
+
−
y
x
е) 1
3
6
=
+
y
x
ж) 1
2
3
=
+
y
x
з)
( )
1
8 3
8
=
+
y
x
и)
( ) ( )
1
2
1
4
3
=
−
y
x
к) 1
4
1
=
+
y
x
15. а) нет
б) нет
в) нет
г) нет
д) да
е) да
ж) нет
з) нет
и) нет
к) нет
л) да
м) да
н) нет

ПЛОСКОСТЬ
22. а) 0
220
19
8
47 =
−
+
− z
y
x
б) 0
204
88
52
23 =
−
−
− z
y
x
в) 0
368
46
23 =
+
−
− y
x
г) 0
231
21
39
6 =
+
−
−
− z
y
x
д) 0
64
20
14
17 =
−
+
+
− z
y
x
е) 0
20
3
4 =
−
−
+ z
y
x
23. а)
110
20
б)
46
1
в)
154
36
г)
41
18
д)
54
25
е)
91
12
ж)
34
31
з)
2
5
2
и)
6
5
к)
91
66
л)
14
2
м)
53
13
н)
77
43
о)
2
5
4
п)
37
15
24. а) 2
1 || p
p
б) 2
1 || p
p
в) 2
1 || p
p
г) 2
1 || p
p
д) 2
1 p
p 
е) 2
1 p
p ⊥
ж) 2
1 p
p 
з) 2
1 p
p =
и) 2
1 p
p =
к) 2
1 p
p 
л) 2
1 p
p =
25. а)
( ) ( ) ( )
1
3
10
9
10
4
5
=
+
+
−
z
y
x
б)
( )
1
4
8 3
8
=
−
+
z
y
x
в)
( )
1
6
2 5
2
=
+
+
−
z
y
x
г)
( ) ( )
1
2
3
2
4
1
=
+
−
z
y
x
д) 1
4
12
24
=
+
−
−
z
y
x
е) 1
4
10
6
=
+
−
z
y
x
ж) 1
6
18
48
=
−
−
z
y
x
27. а) нет
б) да
в) да
г) нет
д) да
е) нет
ж) да

30
ЛИТЕРАТУРА
1. Брадис, В.М. Четырехзначные математические таблицы / В.М. Брадис. – М.: Дрофа, 1999.
– 96 с.
2. Калбергенов, Г.Е. Математика в таблицах и схемах / Г.Е. Калбергенов – М.: «Лист»,
2009. – 112 с.
3. Кутасов, А.Д. Пособие по математике для поступающих в вузы / А.Д. Кутасов, Т.С.
Пиголкина, В.И. Чехлов, Т.А. Яковлева – М.: Наука, 2001. – 480 с.
4. Погорелов, А.В. Геометрия. 10-11 классы / А.В. Погорелов. – М.: Просвещение, 2011. –
175 с.
5. Взаимное расположение прямых на плоскости. [Электронный ресурс]: Режим доступа:
http:// mathhelpplanet.com/static.php?p=vzaimnoe-raspolozhenie-pryamyh – Загл. с экрана.
6. Взаимное расположение плоскостей. [Электронный ресурс]: Режим доступа:
http://mathhelpplanet.com/ static.php?p=vzaimnoe-raspolozhenie-ploskostyei – Загл. с экрана.
7. Нормальное уравнение прямой. Расстояние от данной точки до данной прямой.
[Электронный ресурс]: Режим доступа: http://www.pm298.ru/reshenie/tochpr.php - Загл. с
экрана.
8. Расстояние от точки до плоскости. [Электронный ресурс]: Режим доступа:
http://www.nuru.ru/mat/ alg/a015.htm - Загл. с экрана.

31
ПРИЛОЖЕНИЕ А
Таблица 1. Двузначные значения тангенсов

 
tg 
 
tg 
 
tg
0 o
0,00 31 o
0,60 62 o
1,88
1 o
0,02 32 o
0,62 63 o
1,96
2 o
0,03 33 o
0,65 64 o
2,05
3 o
0,05 34 o
0,67 65 o
2,15
4 o
0,07 35 o
0,70 66 o
2,25
5 o
0,08 36 o
0,73 67 o
2,36
6 o
0,11 37 o
0,75 68 o
2,48
7 o
0,12 38 o
0,78 69 o
2,60
8 o
0,14 39 o
0,81 70 o
2,75
9 o
0,16 40 o
0,84 71 o
2,90
10 o
0,17 41 o
0,87 72 o
3,08
11 o
0,19 42 o
0,90 73 o
3,27
12 o
0,21 43 o
0,93 74 o
3,49
13 o
0,23 44 o
0,97 75 o
3,73
14 o
0,25 45 o
1,00 76 o
4,01
15 o
0,27 46 o
1,04 77 o
4,33
16 o
0,29 47 o
1,07 78 o
4,71
17 o
0,31 48 o
1,11 79 o
5,15
18 o
0,32 49 o
1,15 80 o
5,67
19 o
0,34 50 o
1,19 81 o
6,31
20 o
0,36 51 o
1,23 82 o
7,11
21 o
0,38 52 o
1,28 83 o
8,14
22 o
0,40 53 o
1,33 84 o
9,51
23 o
0,42 54 o
1,38 85 o
11,43
24 o
0,45 55 o
1,43 86 o
14,30
25 o
0,47 56 o
1,48 87 o
19,08
26 o
0,49 57 o
1,54 88 o
28,64
27 o
0,51 58 o
1,60 89 o
57,29
28 o
0,53 59 o
1,66 90 o
-
29 o
0,55 60 o
1,73
30 o
0,58 61 o
1,80

32
ПРИЛОЖЕНИЕ Б
Таблица 2. Трехзначные значения косинусов

 
cos 
 
cos 
 
cos
0 o
1 31 o
0,857 62 o
0,469
1 o
0,9998 32 o
0,848 63 o
0,454
2 o
0,9994 33 o
0,839 64 o
0,438
3 o
0,9986 34 o
0,829 65 o
0,422
4 o
0,9976 35 o
0,819 66 o
0,407
5 o
0,996 36 o
0,809 67 o
0,391
6 o
0,994 37 o
0,799 68 o
0,375
7 o
0,992 38 o
0,788 69 o
0,358
8 o
0,990 39 o
0,777 70 o
0,342
9 o
0,987 40 o
0,776 71 o
0,326
10 o
0,985 41 o
0,755 72 o
0,309
11 o
0,982 42 o
0,743 73 o
0,292
12 o
0,978 43 o
0,731 74 o
0,276
13 o
0,974 44 o
0,719 75 o
0,259
14 o
0,970 45 o
0,707 76 o
0,242
15 o
0,966 46 o
0,695 77 o
0,225
16 o
0,961 47 o
0,682 78 o
0,208
17 o
0,956 48 o
0,669 79 o
0,191
18 o
0,951 49 o
0,656 80 o
0,174
19 o
0,946 50 o
0,643 81 o
0,156
20 o
0,940 51 o
0,629 82 o
0,139
21 o
0,934 52 o
0,616 83 o
0,122
22 o
0,937 53 o
0,602 84 o
0,105
23 o
0,921 54 o
0,588 85 o
0,087
24 o
0,914 55 o
0,574 86 o
0,070
25 o
0,906 56 o
0,559 87 o
0,052
26 o
0,899 57 o
0,545 88 o
0,035
27 o
0,891 58 o
0,530 89 o
0,018
28 o
0,883 59 o
0,515 90 o
0
29 o
0,875 60 o
0,500
30 o
0,866 61 o
0,485

777

Recomendados

Recomendados

Mais conteúdo relacionado

Mais procurados

Mais procurados (7)

Semelhante a 777

Semelhante a 777 (20)

Mais de ssusera868ff

Mais de ssusera868ff (20)

777