行列とSupノルム

1. Aをn次実対称行列とする。研ぎの問いに答えよ。
(1)Aの固有値は実数であることを示しなさい。
(2)ベクトルu,vをそれぞれAの固有値λ,μに対応する固有ベクトルとする。
λ≠μの時、uとvは直交することを示しなさい。
(3)Aの固有値が全て非負ならば、任意のベクトルxに対してない席(Ax,x)は非負であることを示せ。
(4)|x|= (𝑥, 𝑥)とし、 𝐴 = 𝑆𝑢𝑝 𝑥 =1 𝐴𝑥 とおく。この時
𝐴 = max{ 𝜇 ：μは𝐴の固有値}
が成り立つことを示せ。

2. Aをn次実対称行列とする。問いに答えよ。
(1)Aの固有値は実数であることを示しなさい。
証明
Aの固有値をμ、その固有ベクトルをvとしてエルミート内積を考えると
A*=t 𝐴=tA=Aより
μ(v,v)=(μv,v)=(Av,v)=tvA*v=tvAv=(v,Av)=(v, 𝜇v)＝ 𝜇(v,v)
よってμは実数。
(2)ベクトルu,vをそれぞれAの固有値λ,μに対応する固有ベクトルとする。
λ≠μの時、uとvは直交することを示しなさい。
証明
λ(v,u)=(Av,u)=(v,tAu)=(v,Au)=(v,μu)=μ(v,u)
(λ –μ)(v,u)=0から(v,u)=0 よって直交する。
(3)Aの固有値が全て非負ならば、任意のベクトルxに対してない席(Ax,x)は非負であることを示せ。
証明
Aの固有値をμi≧0とする。
Aが実対称行列であることからAを対角化する直交行列Pが存在して
tPAPのii成分にμiが並ぶようにできる。
この時y=tPx x=Pyとすると(Ax,x)=txtAx=tytPAPy=Σμiyi
2
≧0
よって(Ax,x)≧0
(4)|x|= (𝑥, 𝑥)とし、 𝐴 = 𝑆𝑢𝑝 𝑥 =1 𝐴𝑥 とおく。この時
𝐴 = max{ 𝜇 ：μは𝐴の固有値}
が成り立つことを示せ。
Aの固有値をμ1≧μ2≧…≧μnとする。
|x|=1とすると(3)のようにPを直交座標でy＝ tAxとすると、
|y|=|x|＝1となる。
𝐴 = 𝑆𝑢𝑝 𝑥 =1 𝐴𝑥 ＝ Σ𝜇𝑖
2
𝑦𝑖
2
≦|𝜇 𝑛 | Σ𝑦𝑖
2
=|𝜇 𝑛 ||y|=|μn|
よって 𝐴 = max{ 𝜇 ：μは𝐴の固有値}