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積位相とコンパクト
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積位相とコンパクト
1.
R2 の部分集合族 O
を で定める. また, とおく. O = {U ×R; U はRの通常の位相に関する開集合} I={t∈R;0<t<1}, J={t∈R;0≤t≤1} (1) Oは開集合系の公理を満たすことを示せ. (2) 位相空間(R2,O)はハウスドルフ空間か. (3) 部分集合I ×I, I ×J, J ×I, J ×J は位相空間 (R2,O)のコンパクト集合か. (4) I ×I, I ×J, J ×I, J ×J の(R2,O)における閉包を求めよ. (答のみでよ い.)
2.
R2 の部分集合族 O
を で定める. また, O = {U ×R; U はRの通常の位相に関する開集合} I={t∈R;0<t<1}, J={t∈R;0≤t≤1}とおく. (1) Oは開集合系の公理を満たすことを示せ. 証明 自明 (2) 位相空間(R2,O)はハウスドルフ空間か. 答え ハウスドルフ 全ての異なる2点xyの距離以下の半径の近傍をx、yを中心に作れば良い。 (3) 部分集合I ×I, I ×J, J ×I, J ×J は位相空間(R2,O)のコンパクト集合か. J ×J以外コンパクトでない。(ハイネボレルの定理と[斎藤]集合と位相p159より (4) I ×I, I ×J, J ×I, J ×J の(R2,O)における閉包を求めよ. (答のみでよい.) 答え J ×J
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