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数列の和と収束
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数列の和と収束
1.
数列 an は0
< 𝑎 𝑛 < 1 𝑛 = 1,2,3 … を満たすとし, 𝑏 𝑛 を𝑏 𝑛 = 𝑖=1 𝑛 1 − 𝑎𝑖 𝑛 = 1,2,3 … により定める。以下の問に答えよ。 1 0 < 𝑥 < 1の時、次の不等式が成り立つことを示せ。|log(1-x)|≦x/(1-x) (2) an = 1 2n+1 の時、 lim 𝑛→∞ 𝑏 𝑛 = 0であることを示せ。 (3) 𝑛=1 ∞ 𝑎 𝑛 が収束する時、数列 𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑛 が収束することを示せ。
2.
数列 an は0
< 𝑎 𝑛 < 1 𝑛 = 1,2,3 … を満たすとし, 𝑏 𝑛 を𝑏 𝑛 = 𝑖=1 𝑛 1 − 𝑎𝑖 𝑛 = 1,2,3 … により定める。以下の問に答えよ。 1 0 < 𝑥 < 1の時、次の不等式が成り立つことを示せ。|log(1-x)|≦ 𝑥 1−𝑥 証明 |log(1-x)|≦ 𝑥 1−𝑥 ⇆(1-x)log(1-x)+x≧0なので(1-x)log(1-x)+x≧0を示す。 f(x)= (1-x)log(1-x)+x f’(x)=-log(1-x)>0 よってf(x)は(0,1)で単調増加したがってf(x)≧f(0)=0 (2) an = 1 2n+1 の時、 lim 𝑛→∞ 𝑏 𝑛 = 0であることを示せ。 証明 an = 1 2n+1 →0<an<1 よって(1-an)(1+an)=1-an 2 < 1 →1-an<1/(1 + an)が任意のn∈Nで成り立つ。 この時0<bn= 𝑖=1 𝑛 1 − 𝑎𝑖 < 𝑖=1 𝑛 1 1+𝑎 𝑖 であるが 𝑖=1 𝑛 1 1+𝑎 𝑖 < 1 1+ 𝑖=1 𝑛 𝑎 𝑖 = 1 1+ 𝑖=1 𝑛 2𝑖+1 −1 →0なので lim 𝑛→∞ 𝑏 𝑛 = 0である。
3.
数列 an は0
< 𝑎 𝑛 < 1 𝑛 = 1,2,3 … を満たすとし, 𝑏 𝑛 を𝑏 𝑛 = 𝑖=1 𝑛 1 − 𝑎𝑖 𝑛 = 1,2,3 … により定める。以下の問に答えよ。 (3) 𝑛=1 ∞ 𝑎 𝑛 が収束する時、数列 𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑛 が収束することを示せ。 証明 まず、0<𝑎 𝑛<1⇆0<1-𝑎 𝑛<1より𝑏 𝑛+1=(1−𝑎 𝑛) 𝑏 𝑛 < 𝑏 𝑛よって𝑏 𝑛は単調減少。よって {log(𝑏 𝑛)}も単調減少。 𝑛=1 ∞ 𝑎 𝑛=αに収束するので、 lim 𝑛→∞ 𝑎 𝑛 = 0である。 よって十分大きいN∈Nでn≧Nならば|𝑎 𝑛|<1/2 1/(1-𝑎 𝑛)<2とできる。 𝑛=1 ∞ 𝑎 𝑛 /(1 − 𝑎 𝑛)=Mとおくと0<𝑎 𝑛<1より 𝑛=1 ∞ 𝑎 𝑛が単調増加であることに注意すれあ ば(1)より N≧Nならば |log 𝑏 𝑛|=| 𝑛=1 ∞ log(1 − 𝑎 𝑛)|≦ 𝑛=1 ∞ |log(1 − 𝑎 𝑛)|≦ 𝑛=1 ∞ 𝑎 𝑛 /(1 − 𝑎 𝑛)=M+ 𝑛=𝑁 ∞ 𝑎 𝑛 /(1 − 𝑎 𝑛)=M+2 𝑛=1 ∞ 𝑎 𝑛<M+2α よって{|log 𝑏 𝑛|}は有界。すなわち{log 𝑏 𝑛}は下に有界。 下に有界な単調減少数列は収束するので{log𝑏 𝑛}も単調減少であることと{log 𝑏 𝑛}は下に 有界であることから{log𝑏 𝑛}も収束する。
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