積分と漸化式

1. 自然数nに対して 𝐼 𝑛 = 0
∞
𝑥 𝑛
𝑒−2𝑥
𝑑𝑥とする。
( 1 ) 上の広義積分が存在することを証明せよ。
( 2 ) 𝐼 𝑛+2と𝐼 𝑛の関係を求めよ 。
(3) 𝐼2𝑛を計算せよ。必要ならば等式
𝜋
2
= 0
∞
𝑒−𝑥2
𝑑𝑥 を使っても良い。
n=0 n=1 n=2 n=3 n=4 n=5

2. 自然数nに対して 𝐼 𝑛 = 0
∞
𝑥 𝑛 𝑒−2𝑥 𝑑𝑥とする。
( 1 ) 上の広義積分が存在することを証明せよ。
証明
𝐼 𝑛 = 0
∞
𝑥 𝑛 𝑒−2𝑥 𝑑𝑥＝ 0
1
𝑥 𝑛 𝑒−2𝑥 𝑑𝑥+ 1
∞
𝑥 𝑛 𝑒−2𝑥 𝑑𝑥
0≦x≦１の時、𝑥 𝑛 𝑒−2𝑥≦1だから 0
1
𝑥 𝑛 𝑒−2𝑥 𝑑𝑥は収束する。
1≦xの時、(𝑥 𝑛
𝑒−2𝑥
)’={(n+2)-2𝑥2
} 𝑥 𝑛+1
𝑒−𝑥2
よりx=
𝑛+2
2
で最大値(1+n/2)exp(-(1+n/2))=N(n)を取る。
よって 1
∞
𝑥 𝑛 𝑒−𝑥 𝑑𝑥≦ 1
∞
𝑁(𝑛)/𝑥2 𝑑𝑥 = N n
よって広義積分は存在する。
( 2 ) 𝐼 𝑛+2と𝐼 𝑛の関係を求めよ 。
計算
𝐼 𝑛+2 = 0
∞
𝑥 𝑛+2
𝑒−𝑥
𝑑𝑥＝ 0
∞
𝑥 𝑛+1
(−
1
2
𝑒−𝑥2
)′𝑑𝑥 = lim
𝑡→∞
([−
1
2
𝑥 𝑛+1
𝑒 𝑡2 +
𝑛+1
2 0
𝑡
𝑥 𝑛
𝑒−𝑥2
𝑑𝑥])
ここで𝑒 𝑡2
=1+
1
1!
𝑡2
+
1
2!
𝑡4
+ ⋯ +
1
n!
t2n
+ ⋯ ≧
1
𝑛!
𝑡2𝑛
よりtn+1
e−t2
≦
𝑛!
𝑡 𝑛+1 → 0
よって𝐼 𝑛+2＝
𝑛+1
2
𝐼 𝑛
(3) 𝐼2𝑛を計算せよ。必要ならば等式
𝜋
2
= 0
∞
𝑒−𝑥2
𝑑𝑥 を使っても良い。
計算
(2)より𝐼2𝑛 =
2n−1
2
I2 n−1 = ⋯ =
2𝑛−1 !!
2 𝑛 𝐼0 =
2𝑛−1 !!
2 𝑛
𝜋
2