Abra Μathabra

Γιώργος Λαγουδάκος, Μελίσσια 2019

Περιεχόμενα
Εισαγωγή
1. Επιλέγοντας έναν αριθμό … Σελ. 1
2. Ρίχνοντας τρία ζάρια Σελ. 3
3. Ο αριθμός 1089 Σελ. 5
4. Παίζοντας με τα χαρτιά Σελ. 7
5. Το πιο απλό «μαθηματικό» τρικ Σελ. 9
6. Πιο γρήγορος και από κομπιουτεράκι Σελ. 11
7. Επιλέγοντας από 27 χαρτιά το σωστό Σελ. 13
8. Το μαγικό κατάλοιπο Σελ. 17
9. Βρίσκοντας το μήνα και το έτος γέννησης Σελ. 20
10. Εξαφανίζοντας ένα ολόκληρο τετράγωνο Σελ. 22
11. Fitch Cheney trick … κάτι σαν σήματα Μορς Σελ. 24
12. Η μαγική Άλγεβρα Σελ. 28
13. Τα μαγικά των πολλαπλασίων του 9 Σελ. 30
14. Luca’s Pacioli trick Σελ. 32
15. Μαγικά με το ημερολόγιο Σελ. 35
16. Μαγικά με ένα ζάρι και ένα ρολόι Σελ. 37
17. Μαγικό με τον αριθμό του τηλεφώνου Σελ. 39
18. Η δύναμη της συνδυαστικής Σελ. 41
19. Luca’s Pacioli trick Νο2 Σελ. 44
20. Όταν η μαγεία συναντά … το τρίγωνο του Pascal ! Σελ. 46
21. Ένα μαγικό με ολίγη κλεψιά … Σελ. 50
22. Απλό μαγικό με σπίρτα Σελ. 52
23. Το μυστηριώδες εννέα Σελ. 54
24. Τοπολογικό τρικ Σελ. 56
25. Μαγικό με σπίρτα Σελ. 57
26. Μαντεύοντας έναν αριθμό Σελ. 59
27. Βρίσκοντας τα ζευγάρια Σελ. 61
28. Ανακατεύοντας τρία αντικείμενα Σελ. 64
29. Βρίσκοντας την ηλικία κάποιου Σελ. 66
30. Τρικ με τη βοήθεια του Descartes Σελ. 68
31. Ένα μαγικό για μεγάλο ακροατήριο Σελ. 69
32. Ένα ακόμα μαγικό με το ημερολόγιο Σελ. 69
33. Ένα κόλπο με νομίσματα Σελ. 73
34. Μαγικό με τράπουλα … Σελ. 75
35. Ένα απλούστατο μαγικό με το χρόνο … Σελ. 77
36. Ένας και μοναδικός κυκλικός αριθμός Σελ. 77

37. Ένα μαγικό με αρκετές πιθανότητες επιτυχίας Σελ. 79
38. Όταν ο Jack συλλαμβάνει τον κακό Σελ. 81
39. Γρήγορες προσθέσεις στο ημερολόγιο Σελ. 83
40. Υπολογίζοντας αθροίσματα όρων της ακολουθίας Fibonacci Σελ. 85
41. Ένα μαγικό με διανύσματα Σελ. 87
42. Κάθε αριθμός είναι μαγικός Σελ. 91
43. Το μαγικό των γενεθλίων Σελ. 92
44. Φτιάχνοντας μαγικά τετράγωνα Σελ. 94
45. Ένα απλό κόλπο με χαρτιά Σελ. 95
46. Παιχνίδι με άρτιους και περιττούς Σελ. 97
47. Φτιάχνοντας ένα ρολόι με νομίσματα Σελ. 98
48. Ταιριάζοντας τα φύλλα της τράπουλας Σελ. 101
49. Καιρός για στοιχήματα Σελ. 102
50. Το μαγικό άθροισμα Σελ. 103
51. Chinese remainder trick (theorem) Σελ. 105
52. Τι μέρα γεννήθηκες ; Σελ. 108
Διδακτική αξιοποίηση Σελ. 113
Οι κάρτες του 1ου μαγικού Σελ. 117
Τα σχήματα του 10ου μαγικού Σελ. 119
Ο πίνακας του 31ου μαγικού Σελ. 121
Calendar 2020 Σελ. 123
Ο πίνακας του 39ου μαγικού Σελ. 125
Οι πίνακες του 50ου μαγικού Σελ. 127
Βιβλιογραφία Σελ. 129

Τα Μαθηματικά των Μαγικών
Άμπρα Mathάμπρα.
Τι μας έρχεται στον νου;
Σίγουρα κάτι που έχει να κάνει με μαγεία. Μοιάζει με το γνωστό ξόρκι κάθε Μάγου
στον κινηματογράφο στα κόμικς στα βιβλία, αλλά αυτό το Math τι δουλειά έχει;
Οτιδήποτε το μαγικό οφείλεται σε εξαπάτηση ή σε κάποιο επιστημονικό δεδομένο
που απλώς ο θεατής αγνοεί. Έτσι ο λαγός μπορεί να εξαφανίζεται μέσα στο καπέλο
του Μάγου αλλά αυτό οφείλεται απλώς σε παραπλάνηση μαζί με αρκετή δόση
τεχνολογίας. Το ανακάτεμα διαφόρων υγρών και η πρόκληση ενός κρότου με
παράλληλη παρουσία καπνού ή και φωτιάς οφείλεται σε χημική αντίδραση που
πάλι ο θεατής αγνοεί.
Αν το κοινό είναι απαίδευτο τότε τα μαγικά προκαλούν δέος και o Mάγος κάτι
ανάμεικτο από φόβο ως θαυμασμό. Αν το κοινό είναι υποψιασμένο τότε τα μαγικά
είναι μια ψυχαγωγική ενασχόληση για να περάσει ευχάριστα η ώρα και παράλληλα
πρόκληση να κατανοήσουμε και τελικά να απαντήσουμε την ερώτηση «πως γίνεται
αυτό το κόλπο;»
Στο βιβλίο που κρατάτε έγινε μία επιλογή από «μαγικά» τρικ που το χαρακτηριστικό
τους είναι ότι βασίζονται στα Μαθηματικά. Στα τρικ αυτά δεν κλέβουμε δεν
στήνουμε τα χαρτιά δεν πειράζουμε τα ζάρια, αλλά το αποτέλεσμα μπορεί να
φαίνεται περίεργο αλλά απλά είναι μαθηματικό.
Για παράδειγμα υπάρχει το εξής κόλπο …
Δίνεις στο κοινό σου τα χαρακτηριστικά κοκάλινα ντόμινο και ζητάς να φτιαχτεί μία
ανοικτή αλυσίδα χρησιμοποιώντας όλα τα πλακάκια. Εσύ ο μέγας Μάγος δεν
βλέπεις την αλυσίδα, καθώς φτιάχνεται έχεις γυρισμένη την πλάτη σου. Όταν
τελειώσουν εσύ απλά ανακοινώνεις τον αριθμό που υπάρχει στην αρχή και στο
τέλος της αλυσίδας. Μαγεία !
Κι’ όμως πρόκειται για εξαπάτηση. Στην αρχή έχεις κρατήσει ένα ντόμινο όχι διπλό.
Οι δύο ενδείξεις του ντόμινο που κράτησες είναι και οι δύο ενδείξεις αρχής και
τέλους που υπάρχουν στην αλυσίδα.
Τέτοια παραδείγματα υπάρχουν αρκετά, στο βιβλίο αυτό όμως θα ασχοληθούμε
μόνο με εκείνα τα κόλπα που έχουν λογική μαθηματική εξήγηση.
Όπως το εξής :

Έχεις στο τραπέζι δύο χαρτονομίσματα ένα των 5 ευρώ και ένα των 10 ευρώ. Τα
χρήματα αυτά τα παίρνουν δύο φίλοι σου η Άννα και ο Βασίλης χωρίς να ξέρεις
ποιος πήρε τι. Ζητάς στην Άννα να διπλασιάσει το ποσό που έχει και από τον Βασίλη
να τα τριπλασιάσει. Μετά σου ανακοινώσουν το άθροισμα των χρημάτων που
έχουν και εσύ ο μέγας Μάγος απλά λες ποιος έχει ποιο ποσό.
Ουσιαστικά πρόκειται για μία απλή εφαρμογή των ιδιοτήτων των άρτιων και
περιττών αριθμών, ιδιότητες που είναι γνωστές από τον καιρό του Ευκλείδη.
Ο μέγας Μάγος γνωρίζει τα αποτελέσματα :
2Χ5+3Χ10=40 και 3Χ5+2Χ10=35
Οπότε άρτιο άθροισμα οδηγεί στο συμπέρασμα ότι η Άννα έχει 5 ευρώ και ο
Βασίλης 10 ευρώ, ενώ περιττό άθροισμα οδηγεί στο αντίστροφο συμπέρασμα.
Τα μαγικά που υπάρχουν στο βιβλίο που κρατάτε είναι πιο δύσκολα από το
παράδειγμα που σας έδωσα και θα πρωταγωνιστήσουν βασικοί κλάδοι των
Μαθηματικών όπως η Θεωρία Αριθμών, η Γεωμετρία, η Άλγεβρα, η Συνδυαστική
κ.α. Μη φοβάστε όμως τα μαθηματικά που χρειάζονται είναι Γυμνασίου άντε το
πολύ Λυκείου και προπάντων Λογικής. Το σημαντικό είναι να μάθετε να τα
παρουσιάζετε στους φίλους και να χαίρεστε, αλλά και να ασχοληθείτε με τα
μαθηματικά που βρίσκονται πίσω από τα μαγικά αυτά ...
Ο στόχος μας είναι να παρουσιάσουμε τα Μαθηματικά των Μαγικών
αναδεικνύοντας έτσι την Μαγεία των Μαθηματικών.
Γ. Λαγουδάκος
Καλή ανάγνωση !

Τα Μαθηματικά των Μαγικών …
Γ. Λαγουδάκος σελ. 1
1.Επιλέγοντας έναν αριθμό …
Δείτε πρ οσεκτικά τ ις παρακά τω κάρτ ες.
Είναι χρ ωματ ισμένες κάρτες που στην μια μεριά έχει η κά θε μία
ορισ μέν ους αριθμούς κα ι στην ά λλη τ ίποτε , μόν ο τ ο χρ ώμα τ ους.
Το παιχν ίδι παίζετα ι ως εξής.
Σου ζητώ να δια λέξεις έναν αρ ιθμό από αυτ ούς που είναι
σημειω μέν ους στις κάρτ ες και να γνωρ ίζεις σ ε ποιες κάρ τ ες
υπάρχει ο αρ ιθμός που διάλεξες. Μετά γυρίζω τις κά ρτες
ανάποδα κα ι σ ου ζητώ να μου δείξεις σε ποιες κάρτ ες υ πάρχει ο
αριθμός που διά λεξες . Μετά Ω!! τι θαύμ α σ ου λέω τον αρ ιθμό!!!
Για παρά δειγ μα ας υ ποθέσ ουμε ότι διά λεξες τ ον α ριθμό 9 .
Γυρνάμε τις κά ρτες και μου δείχνεις τις κάρ τες « πράσ ιν ο» και
«γκρι» . Τότ ε εγώ είμα ι σε θέση να μαντέψω ότι ο αρ ιθμός είνα ι
πράγματ ι το 9 .
Πως εξηγείται αυτή η ικα νότητ α που έ χω ν α μαντεύω του ς
αριθμούς;
Μπορώ να σ ου πω ότι η λύση βασίζ εται στο δυα δικό σύστ ημα
γραφής των αρ ιθμών . Ακόμη μπορ ώ να σ ου πω ότ ι υπάρ χει
αντίστοιχο παιχνίδι με πέντ ε κάρτες , που η πέμπτη κάρτα ξεκιν ά
από τ ον αριθ μό 16 κα ι οι κά ρτες περιέχουν α ριθμούς από τ ο 1 ως
το 31.
Αν καταλάβ εις τι πα ίζεται τ ότε φτιά ξε έξι κάρ τες που να
περιέχουν αριθ μούς α πό τ ο 1 ως το 63 . Ένα είναι σίγ ουρ ο τ ότε
ολόκληρη η παρ έα θα παρα δεχτεί τις μα ντικές ικαν ό τητές σου.

Η αιτιολόγηση …
Αν παρατηρήσ ου με προσ εκτικά θα δούμε ότι στις κάρτ ες
γράφονται οι αριθ μοί από το 1 ως τ ο 15 με τη βοήθεια του
δυα δικού συστήμα τος γραφής των αριθ μών .
Η πρ ώτη κάρτα ξεκινά με τ ο 0
1 2= η δεύτ ερη με τ ο 1
2 2= , η τρίτη
με το 2
4 2= και η τέτα ρτη με τ ο 3
8 2= . Οι υ πόλοιποι αριθμοί
γράφονται κατάλλη λα στ ις τ έσσερεις κά ρτες. Για παρά δειγμα τ ο
3 επειδή γράφετα ι 1 +2 1 θα γραφεί στις δύ ο πρ ώτες κάρτ ες. Το 5
γράφεται 4+1=2 2 +1 άρ α θα γραφεί στη ν 1 η κα ι στην 3 η κά ρτα.
Ένα ά λλο παρά δειγ μα για να το κατ αλάβ ου με ο αρ ιθμός 1 1
γράφεται 8+2+1 άρα θα γραφεί στην 1 η – 2η και 4η κάρτα .
Αν υ ποθέσ ουμε ότ ι έχεις δια λέξει τ ον
αριθμό 13 τ ότε θα δείξεις τις κάρτ ες
«πράσινη » - «καφέ » - και «γκρ ι» . Εγώ
γνωρίζω ότι ο αρ ιθμός θα προκύπτει ως
άθροισ μα τ ων αριθμών 2 0 =1, 2 1 =2 , 2 2 =4 ,
23 =8 ανά λογα σ ε πια α πό τ ις « πράσινη »-
«μπλε» - «καφέ» - «γ κρι» αντ ίστοιχα κάρτα
θα δείξεις . Άρα από τις συγκεκριμέν ες
κάρτες πρ οκύ πτει ο αριθ μός : 1 +4 +8=13 .
Στις «πίσω» πλευ ρές των καρτ ών μπορ εί να
είναι σημειω μέν οι οι αριθ μοί 0,1 ,2,3 ώστ ε να είναι ακόμα
ευκολότερ η η πρόβ λεψη . (Δες τις κάρτες που υ πάρ χουν σ το
τελευταίο μέρ ος τ ου β ιβλίου )
Το παιχνίδι με 5 κάρτες

2. Ρίχνοντας τρία ζάρια …
Λες στ ον φίλο σ ου να ρ ίξει τρία ζάρια και να
κάνει τις εξής πρά ξεις.
Την ένδειξη όποιου ζαριού θ έλει την πολλα πλασ ιάζει επί 2 και
μετά στο γινόμεν ο πρ οσθέτ ει 5.
Ότι έχει βρ ει τ ο πολλαπλασιάζει επί 5 και μετά στ ο αποτ έλεσμα
προσθ έτει την έν δειξη τ ου δεύτερου ζαρ ιού .
Το α ποτ έλεσμα που έχει κα ταλή ξει τ ο πολλα πλασιάζει επί 10 και
μετά πρ οσθέτ ει και την ένδειξη τ ου τρίτου ζαριού .
Το τελικό α ποτ έλεσμα τ ο α νακοιν ώνει στ ον Μάγ ο και αυτ ός λέει
τις εν δείξεις των τριών ζ αριών!
Για παρά δειγ μα ας υ ποθέσ ουμε ότι ρ ίξα με τρία ζάρια κάν αμε τις
πράξεις που μας έχουν υποδείξει και ότι το α ποτέλεσμα που
τελικά βρή καμε είνα ι τ ο 794 …
Ο Μάγος α πλά θα πει ότ ι οι ενδείξεις των ζαριών ήταν 5 , 4 , 4.
Μπορείς ν α τ ο επιβεβαιώσεις κάν οντ ας τις πράξεις ξεκιν ώντας
με οποια δήποτε ένδειξη θ έλεις …

Η αιτιολόγηση
Ας υ ποθέσουμε ότι οι εν δείξεις τ ων ζαριών είναι χ ,ψ , ζ
Ακολουθ ούμε τις οδηγίες κα ι έχου με :
2χ /
2χ+5 /
(2χ+5)5 /
(2χ+5)5 +ψ /
((2χ+5)5 +ψ)10 /
((2χ+5)5 +ψ)10 +ζ /
Ή μετά α πό πρά ξεις 100 χ + 10 ψ + ζ +250
Άρα 10 0χ+10 ψ+ζ +250 =794
Ή 1 00χ+10 ψ+ζ =544 (1)
Επειδή οι εν δείξεις του ζαριού είναι {1,2 ,3,4 ,5,6 }
Ουσιαστικά στ ο πρ ώτο μέλος της (1) έχου με την δεκα δική μορφή
γραφής τ ου 544, άρα χ=5 , ψ=4 , ζ =4.

3.Ο αριθμός 1089
Ζητάς από έναν φίλο σ ου να σκεφθεί έναν τριψήφιο αριθ μό που
το πρ ώτο ψηφίο να είνα ι μεγα λύτ ερο α πό τ ο τελευτα ίο κα τά δύο
του λάχιστ ον μονά δες …
Μετά να γρά ψει τ ον τριψήφιο ανά στρ οφα … δη λαδή τ ο ψηφίο
των μονάδων να γ ίνει ψηφίο εκατ οντά δω ν και τ ο ψηφίο τ ων
εκατ οντάδων να γίνει ψηφίο μονά δων . Το ψηφίο των δεκάδων
δεν αλλάζει θέση .
Τους τριψήφιους αυτ ούς αριθ μούς τ ους αφαιρ ού με, α πό τ ον
μεγα λύτερ ο τ ον μικρότ ερ ο.
Από την αφαίρεση προκύπτει ένας νέος τριψήφιος αριθμός.
Γράφου με πά λι τ ον ανάστρ οφό τ ου , όπως πριν κα ι πρ οσθ έτου με
τους τριψήφιους αριθμούς .
Το άθρ οισμα θα είναι ένας τετρα ψήφιος αριθ μός .
Το θεα ματικό κα ι συγ χρ όνως μαθη ματικό είνα ι ότ ι ζητά με α πό
τον φίλο μας να αν οίξει τ ο μεγάλο λεξικό τ ης Νέας Ελλη νικής
Γλώσσας τ ου Μπα μπινιώτη (εκδόσεις : Κέντρ ο Λ εξικολογ ίας) στη
σελίδα που αντιστ οιχεί στα τρία πρώτα ψηφία τ ου τετρα ψήφιου
που βρή κε.
Μετά να βρει τ ο λή μμα που αν τιστ οιχεί στο τελευταίο ψη φίο του
τετραψήφιου α ριθμού που βρή κε.
Τότ ε εσύ α πλά λες την λέξη – λή μμα στ ο οποίο ο φίλος σ ου έχει
καταλή ξει !
Λες «α κράτεια»
Αυτή είνα ι η λέξη , με όποιον τρ ιψήφιο αρ ιθμό και αν αρ χικά
σκεφθεί.

Αν ο τριψήφιος αριθμός είν αι ο αβγ τ ότε αυτ ός γρ άφεται
α 100 β 10 γ +  + .
Όταν γρά ψου με τον α νάστροφ ό τ ου έχου με τον α ριθμό
γ 100 β 10 α +  + . Αφα ιρώντας τ ους δύ ο αριθ μούς έχουμε
(α γ) 100 (γ α)−  + − .
Επειδή α >γ για να εκφράζ ει ο όρ ος (γ -α) ψηφίο μονάδων
γράφου με (α γ 1) 100 90 (γ α 10)− −  + + − + .
Ο ανάστρ οφ ος αρ ιθμός είνα ι ο (γ α 10) 100 90 (α γ 1)− +  + + − − .
Προσθέτ οντας τους δύ ο α ριθμούς κατα λήγ ουμε στον αρ ιθμό
900+180 +9 =1089 .
Δηλαδή πάντα ανεξάρτητα α πό ποιον τριψήφιο ξεκινήσ ου με
καταλήγ ου με στον αρ ιθμό 1089.
Οπότε το 9 ο λή μμα στη σελίδα 10 8 ενός λεξικού ( εν ός
οποιου δή ποτ ε λεξικού που πρ οφαν ώς θα τ ο έχεις πρ οηγουμέν ως
ανοίξει στην σελίδα 108) πά ντα θα είναι εκ τ ων πρ οτ έρων
γνωστό!

4. Παίζοντας με τα χαρτιά …
Ζητώ α πό τ ον φίλο μου να δια λέξει 3 φύλλα από τα 52 μιας
τράπουλας .
Χωρίζω την τρά πουλα σε τ έσσερες στοίβες Α , Β , Γ , Δ .
Ζητώ να τ οποθετήσ ει το πρώτ ο φύλλο πάν ω στην Α στ οίβ α.
Ζητώ να βάλει μερικά φύ λλα α πό τη ν Β στ οίβα πάνω στα
προηγούμεν α.
Μετά τ οποθετ ώ τ ο δεύτερο άγν ωστο φύ λλο πά νω στην Β σ τοίβ α .
Ζητώ να τ οποθετήσ ει ο φίλος μου μερ ικά φύλλα από την στοίβα
Γ πά νω στη δεύ τερη στοίβα .
Τοποθ ετώ τ ο τ ρίτ ο ά γνωστ ο φύ λλο πάνω στα φύλλα που
απομέν ουν στην Γ στοίβα.
Τοποθ ετώ κα ι τα χαρτιά της Δ στ οίβας πά νω στα χαρτιά τ ης
τρίτης στ οίβας .
Παίρνω όλα τα φύλλα της τ ρίτης στοίβας όπως έχει τ ώρα
φτιαχτεί και τα βάζω πάνω στη δεύτερ η στ οίβα .
Παίρνω όλα τα φύλλα της δεύτερης στοίβας όπως έχει τώ ρα
φτιαχτεί και τα βάζω πάνω στη πρ ώτη στοίβα.
Παίρνω τα τέσσερα πρώτα φύ λλα της τράπου λας και τα β άζω α πό
πίσω στις τελευτα ίες θέσεις .
Τώρα αρχίζουν τα μαγικά .
Όπως είναι η τ ράπου λα ένα φύλλο το αν οίγ ω και ένα τ ο κρατώ
κλειστό.
Τα αν οικτά φύλλα τα βγάζ ω έξω.
Το ίδιο κάνω ά λλη μία φορ ά, ένα φύ λλο αν οικτ ό και ένα κλειστ ό.
Τα αν οικτά φύλλα βγαίν ουν έξω .
Άλλη μία φ ορά, αν οικτό κα ι κλειστ ό φ ύλλο και τα α νοικτά φύλλα
βγαίνουν έξω.
Μία τελευτα ία φορά κα ι ω! τ ι μαγ ικό τα τρ ία φ ύλλα που μέν ουν
είναι τα φύλλα που διά λεξε αρχικά ο φίλος μου.

Το μυστικό είνα ι οι στ οίβες να έχουν α ριθμό χαρτ ιών 10 , 15 , 15
και η τ ελευταία 9 .
Με τ ον τ ρόπο που έχω βά λλει τα άγνωστα φύ λλα στην τρά πουλα
τα χαρτ ιά θα είναι στην 1 0η , 26η κα ι 42 η θ έση.
Βάζοντας τέσσερα φύ λλα στ ο τέλος τα άγνωστα φύ λλα θα
βρίσκοντ αι στις θ έσεις 6η , 22η και 38η .
Για τ έσσερεις φ ορές βγάζου με ένα παρά ένα κα ι κάποιο φ ύλλο
εκτός της τρά πουλας φανερ ών οντάς τ ο.
Την πρώτ η φ ορά ξεκινάμε α πό τ ο φύλλο που βρίσκεται στ ην 1η
θέση κα ι διώχν ου με όλα τα φύλλα που βρίσκοντα ι σ ε περ ιττές
θέσεις. Άρ α τα φύ λλα μας που βρίσκονται στις θέσεις 6η , 22η
και 3 8η παρα μέν ουν μέσα στα «ά γνωστα» φύ λλα .
Την δεύ τερη φορά φ εύγ ουν από τα φύλλα που βρίσκοντα ι αρχικά
σε άρτ ιες θ έσεις ξεκινώντας από τ ο φ ύ λλο 52 μετά το 48 κ.ο.κ.
δηλα δή τα φύλλα με αρ ιθμό θ έσης 4ν με ν [1,13] .
Τώρα απομέν ουν ως άγνωστα φύ λλα αυ τά που στην α ρχική
στοίβα είχαν αριθμό αρίθ μησης
2,6,10 ,14,18 ,22,26,30 ,34,38 ,42,46,50 . Πα ρατηρείστε ότ ι τ α
«άγνωστα» φύλλα μας που βρ ίσκονται στις θέσεις 6,22,38
βρίσκοντ αι μέσα …
Την επόμενη φορ ά φαν ερών ου με τα φύλλα 2,10 ,18,26 ,34 ,42,50 .
Οπότε μένουν τ α φύ λλα 6 ,14,22,30 ,38,46 .
Τέλος βγάζου με τα φύλλα 46,30 ,14 και ω! τ ου θαύ ματ ος
παραμέν ουν τα φ ύλλα 6, 22 και 38 . Τα άγνωστα σε μας αρ χικά
φύλλα .

5. Το πιο απλό «μαθηματικό» τρικ …
Ζητάς από τον φίλο σου να γρά ψει έναν τετρα ψήφιο αριθ μό, π.χ.
1234
Εσύ σε ένα χαρτί γράφ εις τ ον αρ ιθμό 21 232 χωρ ίς να τ ον
παρ ουσιάσεις ώστ ε να κάνεις την τ ελευταία στιγ μή τη μεγ άλη
έκπλη ξη!
Ζητάς από τον φίλο σου να γρά ψει και άλλον έναν τετ ραψήφιο
αριθμό κάτω α πό τ ον πρ οηγ ού μεν ο, π.χ. 6389 .
Από κάτω γράφεις τ ον αριθ μό 361 0.
Ζητάς να γ ράψει και ά λλον έν αν τ ετρα ψήφιο αριθμό, π.χ. 2894
Από κάτω γράφεις 71 05.
Μετά ζητάς α πό τον φίλο σ ου να πρ οσθέσ ει του πέντ ε
τετραψήφιους αρ ιθμούς που έχουμε γρά ψει, δηλα δή για τ ο
παράδειγ μά μας :
1234+6389 +3610 +2894 +7105 =… =21232!
Ακριβώς ο αριθμός που εσύ ως μέγας μάγ ος τ ον είχ ες α πό τα
πριν βρει!

Παρατηρείστε ότι ο πρώ τος τετρ αψήφ ιος ήταν ο 123 4. Ο αριθμός
που έγρα ψα πρ οκύ πτει α πό αυτ όν με τ ον εξής α πλό τρ όπο γράφω
μπρ οστά ένα 2 και μετά από τ ον πενταψήφιο που πρ οκύ πτει
αφαιρώ 2. Δη λαδή 21234 -2=2132.
Τώρα παρ ατηρείστ ε και κάτ ι α κόμα , όταν ο φ ίλος μου γρά φει
έναν τ ετρα ψήφιο εγώ γράφω εκείνον ώστε με τ ον πρ οηγ ούμεν ο
να έχει άθρ οισμα 999 9, δη λα δή μου είπε 6389 και εγώ έγ ραψα
3610, μου είπε 2894 και εγώ έγρα ψα 7105 . Με τ ον τρ όπο αυτό τ ο
άθροισ μα τ ων πέντε τετρα ψήφιων θα είναι ο αριθμός που εγώ
«μαγικά» έχω πρ οβλέψει.
Ας δώσ ουμε μια πιο μαθηματ ική εξήγηση :
Έστω ο αρχικό τετρα ψήφιος ότ ι είνα ι ο αβγδ ( τα α,β ,γ,δ είναι
ψηφία) . Ο αριθμός που τελικά θα πρ οκύ ψει ως άθρ οισ μα είναι ο
2αβγδ 2 2 10000 αβγδ 2 2 9999 αβγδ− =  + − =  +
Πράγματι, έχοντας πρ οβ λέψει ο δεύτερ ος και τρίτ ος
τετραψήφιος , όπως ο τ έταρτ ος και πέμπτος να έχουν άθρ οισμα
9999, τ ο άθρ οισμα τ ων πέντε τετρα ψήφιων είνα ι
αβγδ 9999 9999 2 9999 αβγδ+ + =  + . Ο αριθ μός δηλα δή που έχω
μαντέψει!

6. Πιο γρήγορος και από κομπιουτεράκι !
Ζητάς από τον φίλος σ ου να σου πει έναν τετρα ψήφιο αριθμό
π.χ. τ ον 3562
Μετά ά λλον έναν π.χ. τ ον 5728
Στη συ νέχεια λες και εσύ με τη σειρά σου έναν τετρα ψήφιο
αριθμό π.χ. τ ον 4271
Στο χα ρτί σημειών εις τ ις πρά ξεις :
Ζητάς από τον φίλο σου χρησιμοποιώντας τ ο κομπιουτερά κι ν α
υπολογίσει τα γ ιν όμενα Α και Β κα ι μετά τ ο άθροισμα Γ τ ων δύ ο
γινομέν ων.
Το μαγ ικό είνα ι ότ ι εσύ θα υ πολογίσ εις τ ο α ποτ έλεσμα τω ν
πράξεων αυτ ών πολύ πιο γρήγ ορα … κυριολεκτ ικά στη στ ιγμή.
Απλώς γράφοντας τ ον αριθ μό 35 .616 .438, που είναι ο σω στός!

Το μυστικό είνα ι ο τετ ραψήφ ιος που επιλέγ εις εσύ .
Πρέπει μαζί με τ ον δεύτερο τετραψήφιο να δίνει άθροισμα 9999 .
Πράγματι πα ρατηρείστε. Ο δεύτ ερ ος τ ετρα ψήφιος ήταν ο 5728
και ο τετρ αψήφ ιος που επέλεξα ήταν ο 4271 .
Οπότε έχου με να υ πολογίσ ουμε τ ην τ ιμή της παρ άστασης :
( )
( )
 +  =  + =  =
 − = − = + − =
+ + + − = + =
3562 5728 3562 4271 3562 5728 4271 3562 9999
3562 10000 1 35620000 3562 35610000 10000 3562
35610000 3562 6437 1 3562 35610000 6438 35616438
Παρατηρείστε ότι ο τ ελικός οκτ αψήφ ιος αριθ μός αρ χίζει με
τέσσερα ψηφία που είνα ι ίδια με τ ο α ρχικό τετραψήφιο
ελαττ ωμέν ο κατά ένα (3562 -1 =3561 ) και ακολουθ ούν τέσσ ερα
ψηφία που σχη ματίζ ουν τ ον αριθμό 6438 ο οποίος μαζί με τ ον
3561 έχει άθρ οισ μα 999 999.
Άλλο ένα παρά δειγμα : αν έχου με να υπολ ογ ίσουμε την
παράσταση : 2563 4372 2563 5627 ... +  = τ ο αποτέλεσ μα θα είναι
25.627.437.

7. Επιλέγοντας από 27 χαρτιά το σωστό –
τρεις εκδοχές …
Εκδοχή πρώτ η …
Δίνεις μία τρά που λα α πό 27 χαρτιά να την ανακατέψει ο φίλο ς
σου και συγχρόν ως ν α δια λέξει ένα χαρτί α πό α υτά.
Αφού τ ο τοποθετήσει ξανά μέσα στη ν τρ άπου λα το φύ λλο που
επέλεξε , αν οίγ εις ένα -ένα τα χαρτ ιά φτ ιάχν οντας τρεις σ τοίβες .
Ζητάς να σ ου πει σε ποια α πό τ ι ς στ οίβ ες είναι τ ο χαρτί που
διά λεξε.
Μαζεύεις – κατάλληλα – τα χαρτιά κα ι επανα λα μβάνεις τ ην
δια δικασ ία δη λαδή , την υπόδειξη της στ οίβας κα ι τ ο κατά λληλο
μάζεμα ά λλες δύ ο φ ορές .
Μετά είσαι σ ε θ έση ν α βρ εις το χα ρτί απλώς μετρώντας φ ύλλα!
Όπως κατα λάβατε το μυστ ικό βρ ίσκεται στ ο πω ς μαζ εύεις τα
φύλλα α πό τ ις τρ εις στοίβες.
Για παρά δειγ μα αν και στα τρία μαζ έματα η στοίβα στη ν οποία
έχει υ ποδειχθ εί ότ ι βρ ίσκετα ι τ ο ζητ ούμενο φύ λλο μαζ εύεται
δεύτ ερη τότ ε τ ο 14 ο φύλλο της τρά πουλας είναι τ ο ζητ ού μενο
χαρτί.
Αν τη ν 1η φ ορά μαζεύ εται πρώτη , τ ην 2η φ ορά δεύτερη και την
3η τρίτη τ ότε τ ο χαρτ ί θα είναι τ ο 6ο .
Επειδή υ πάρχου ν 3! 1 2 3 6=   = τρ όποι να μαζευτ ούν τα φύλλα,
υπάρχουν και 6 διαφ ορετ ικές περιπτώσ ε ις εξέλιξης τ ου
παιχν ιδιού.
Πως μπορεί κάποιος να τ ις θυ μάται όλες α υτές τις περιπτ ώσεις;
Με την βοήθ εια του πίνα κα :
1η σ τοίβα 2η σ τοίβα 3η σ τοίβα
Μαζεύετα ι 3 η 0 0 0

Δηλαδή αν τ ο κατά λλη λο μάζεμα γ ίνετα ι ώστε η στ οίβα που
υποδεικνύ εται μαζεύετα ι … :
• πάντα πρ ώτη τότ ε μετά α πό τη ν ολοκλήρ ωση της
δια δικασ ίας τ ο φύλλο θα βρίσ κεται στην θέση
(2+6 +18) +1 =27η θέση τ ης τρά πουλας.
• Στην α ρχή δεύτερ η, μετά τ ρίτη και στ ο τέλος τρίτη , το
φύλλο θα βρ ίσκετα ι στη θέση (1 +0 +0) +1 =2η θέση της
τράπουλας .
Παρατηρείστε ότι α πλώς πρ οσθέτ ουμε τ ους αντίστ οιχους
αριθμούς και στ ο τ έλος μία μον άδα ακόμα.
Αν μου πείτε ότι είνα ι δύσ κολο να α πομνη μονεύσω όλους αυτ ούς
τους αριθμούς … σας κατα λαβαίνω , γι’ αυτ ό υ πάρχουν τα
μαθηματικά. Συγκεκριμένα θα χρησιμοποιήσ ου με τ ο τρ ια δικό
σύστημα γ ραφής τ ων α ριθμών. Κάτι αντίστ οιχο με το δυα δικό
που ή δη έχου με συναντήσ ει.
Στο τριαδικό σύστη μα κάθε αριθ μό τ ον γράφ ουμε με τη β οήθεια
των ψηφίων 0,1 ,2 σ ε τρ εις θέσεις όπου η πρ ώτη δη λών ει πόσ ες
μονά δες έχουμε, η δεύτερη πόσα 3άρια και η τ ελευταία πόσα
9άρια. Για παρά δειγ μα ο αριθ μός 19 γράφετ αι
2 1 0
319 18 1 2 9 0 3 1 1 2 3 0 3 1 3 [201]= + =  +  +  =  +  +  =
Με τ ον τ ρόπο α υτό ο πίνακας μας πα ίρνει τη μορφή :
1η σ τοίβα
(1=3 0 )
2η σ τοίβα
(3=3 1 )
3η σ τοίβα
(9=3 2 )
Παρατηρείστε ότι εκεί που ήτα ν τ ο 18 τώρα έχουμε γρά ψει 2
εννοώντας 2
2 3 18 = , παρ όμοια εκεί που ήταν γραμμέν ο 6 τώρα
έχουμε γρά ψει 2 ενν οώντας 2 3 6 =
Οπότε αν το μάζεμα τω ν φύ λλων έχει γίν ει : 2η - 1 η - 2η , εμείς
θα θυμόμαστε 121 που αντιστ οιχεί στην τρια δική μορφή γ ραφής
του αριθ μού 1 +6 +9 =16 άρα το φύ λλο θα βρ ίσκετα ι στη ν 1 7 η
θέση.

Εκδοχή δεύτερη …
Το θεα ματικό στην περίπτωση αυτή είναι ότι δεν αγ γίζεις εσύ
την τρά πουλα , μόν ο ο φίλος σ ου. Δη λαδή …
Διαλέγ ει ένα χα ρτί, ανα κατεύ ει την τρά πουλα κα ι σ χηματ ίζει την
πρώτη στ οίβα.
Κάνει τ ο πρ ώτο μάζεμα κα ι εσύ πρ οσέχεις σε ποια α πό τ ις τρεις
περιπτώσ εις αντιστ οιχεί. Η στ οίβα που έχει υ ποδειχθεί μπήκε
στην αρχή στη μέση ή στ ο τέλος όπως μαζευ όταν ;
Το σκην ικό επαν αλα μβάνετα ι τρ εις φορ ές πρ οσέχοντας πά ντα
πως μαζεύ οντα ι τ α φύ λλα.
Στο τέλος είναι εύκολο για σένα αφ ού γνωρ ίζεις τον α λγ όριθμο
να βρεις τ ο φύλλο.
Ας υ ποθέσουμε ότι τα μαζ έματα ήταν 3η – 1η – 1η τ ότε αυ τό
αντιστοιχεί στ ον τρια δικό αρ ιθμό 0 22 δη λαδή τ ο φύλλο θ α
βρίσκεται στη θέση (0 +6 +18) +1 =25ο φύ λλο.
Εκδοχή τρ ίτη …
Η θεαματικότερ η !
Ζητάς πά λι να επιλεχθ εί ένα χαρτ ί, να ανακα τευθεί η τρά πουλα
και να σ χηματ ισθούν οι τρεις στ οίβ ες για πρώτη φ ορά .
Τότ ε ζητάς από τ ον φίλο σου ή α πό κάποιον άλλον να σ ου πει
έναν α ριθμό από τ ο 1 έως τ ο 27 .
Ας υ ποθέσουμε ότι σ ου λένε τον αρ ιθμό 15. Τότ ε αφα ιρείς ένα
και τ ον αρ ιθμό 14 τ ον γράφεις σε τρ ιαδική μορφή . Γράφ εται
14=9 +3 +2 δη λαδή 212 ( αφ ού 0 2
314 2 3 9 2 3 1 3 2 3 [212]= + + =  +  +  = )
Οπότε τα μαζέματα - που τ ώρα γίν ονται α πό σένα - θα είνα ι 1η -2η -
1η .
Τελικά ω! δια μαγ είας το ζητ ούμεν ο φύ λλο θα το αναζητή σουμε
στην 15η θέση της τ ράπου λας, ακρ ιβώς στ ον αρ ιθμό που
ειπώθηκε α πό τ ο κοιν ό ως επιθυμία.

Ας αιτ ιολογήσ ουμε μία περίπτωση α πό τις 6 που υ πάρχου ν κα ι
αφήνου με σε σας ως άσκηση τις υ πόλοιπες!
Υποθέσ ουμε ότι τα μαζέματα ήταν 3η – 2η – 3η που αντισ τοιχεί
στον τρια δικό 010 δη λα δή στ ον αριθ μό 3 κα ι ά ρα τ ο φύ λλο θα
αναζητηθεί στ ην 4 η θέση .
Γιατί να συ μβαίν ει αυτ ό;
Την 1η φορά μαζεύ ου με την στοίβα που βρίσκεται το φύ λλο
τελευταία , οπότ ε το φύ λλο μας θα είνα ι ένα από τα 9 φύ λλα που
τώρα βρ ίσκονται στ ην αρχή της τρά πουλας ( αφού τ α φύ λλα
μαζεύ ονται αν οικτά και η τράπου λα μοιράζ εται με κλειστ ά τα
φύλλα – άρα η σειρά έχει αλλά ξει)
Με την 2η δη μιουργία στ οιβώ ν τα 9 αυτά φύ λλα θα βρεθ ούν στις
τρεις τ ελευταίες θ έσεις κάθε στ οίβας, δηλα δή θα έχουν
μοιραστεί ανά τρ ία στ ις τρ εις στοίβες.
Στο δεύτ ερο μάζεμα –( 2η ), τα 3 πλέον φύλλα ανάμεσα σ τα
οποία είναι κα ι το ζητ ούμενο φύ λλο μαζ εύ ονται μαζί με τ α
υπόλοιπα 6 χαρτιά της στοίβας τ ους στη μέση της τρά που λας.
Θα βρίσ κοντ αι λοιπόν στ ις θέσ εις 10 η – 11η – 12η
Με την δη μιουργ ία γ ια τρίτη φορά στ οιβ ών τ α χαρτιά μας, ένα
σε κάθ ε στ οίβα , θ α βρεθ ούν στην 4 η θέση από τ ο τ έλος σε κάθε
στοίβα ή στη 6η θέση α πό την αρ χή.
Τέλος η στ οίβα θα μαζευτεί τελευταία (3η ) .
Με τ ον τ ρόπο α υτό τ ο φύλλο μας θα βρεθ εί στην 4 η θ έση της
τράπουλας αφ ού μετά τ ο μάζ εμα όλα τα φύλλα είναι κλειστά και
τα αν οίγ ου με ένα - ένα.
Είναι πρόκληση για τ ον καθένα ν α κάνει μία γεν ική απόδειξη τ ου
αλγορίθμου κα ι ν α μην σπάσει τ ο πρόβ λημα σε 6 ειδικές
περιπτώσ εις.
Αλλά α υτ ό τ ο αφήνω σε εσάς μαθη ματικό -μαγ ικοί μου !

8. Τα μαγικό κατάλοιπο ...
Όταν έχουμε έναν οποια δή ποτ ε α ριθμό τ ότε πρ οσθέτ οντα ς τα
ψηφία τ ου και μετά πρ οσθέτ οντας τα ψηφ ία τ ου αθρ οίσ ματος
και μετά πρ οσθέτοντας τα ψηφία τ ου νέου αριθ μού και α υτό τ ο
κάνου με συν εχώς κα ι συ νεχώς έως ότ ου κατα λή ξουμε σ ε ένα και
μονα δικό ψηφίο ο αρ ιθμός αυ τός λέγετα ι κατάλοιπο του αρχικού
αριθμού.
Για παρά δειγ μα ας πάρ ουμε το
σειριακό αριθ μό 324631 0871 τ ου
διπλαν ού 20εύρου τ ότ ε :
3+2 +4+6+3 +1 +0 +8 +7+1 = 35
και 3 +5 =8
Άρα τ ο κατάλο ιπο τ ου 324631 0871
είναι 8
Μία βασική μαθηματική ιδιότητα του αρ ιθμού αυτ ού είνα ι ότι
ισούτα ι με τ ο υπόλοιπο της δια ίρεσης του αρ χικού αρ ιθμού με τ ο
9.
Δηλαδή για τ ον αριθ μό 32463 10871 ισχύ ει και
3246310871 9 360701207 8=  +
Ας δούμε τ ώρα το μαγικό !
Ζητάς από το φίλο σ ου να καταγ ράψει τ ο σειρια κό αρ ιθμό από
ένα ν όμισμα που έχει στ ο πορτ οφ όλι τ ου .
Μετά να γρά ψει έναν νέο α ριθμό με ψηφία τα ίδια με αυτ ά τ ου
αρχικού αριθ μού, α πλά ανα κατεμένα .
Έπειτα του ζητάς να αφαιρέσ ει τ ους δύ ο αυτ ούς αριθμούς (α πό
το μεγα λύτ ερ ο τ ο μικρ ότερ ο) .
Η διαφορά που πρ οκύ πτει είνα ι ένας τ ρίτ ος αρ ιθμός .
Του ζητάς να δια γράψει ένα α πό τα μη μηδενικά ψηφία τ ης
διαφ οράς και μετά να σ ου πει ανακατεμένα τα υπόλοιπα ψηφία ,
έστω και ανακα τεμένα .
Ω! τ ου θαύμα τος εσύ είσαι σε θέση να μαντέψεις το ψηφίο που
διέγρ αψε!

Για παρά δειγ μα , ας πούμε ότ ι έχουμε τον αρ ιθμό 324631 0871,
εσύ δεν τ ον γνωρ ίζεις.
Ανακατεύει τα ψηφία του και γράφει τ ον αριθ μό 8763 321 104.
Αφαιρεί τ ους δύο αρ ιθμούς και βρίσκει 5517010233 .
Υποθέτ ουμε ότ ι διαγ ράφει τ ο ψηφίο 7 και σ ου λέει έναν αριθ μό
που πρ οκύ πτει α πό τα ψηφία που α πομένουν, για παράδειγμα
μπορεί ν α σ ου πει : 150013523 .
Τότ ε εσύ α πλά λες τ ον αριθμό 7!
Πως τ ο βρ ίσκεις;
Βρίσκεις τ ο κατά λοιπο τ ου αριθμού που σ ου δίνετα ι.
Δηλαδή : 1 +5 +0+0 +1 +3 +5 +2+3=20 / 2 +0=2
Μετά α πλά αφαιρ είς από το 9 τ ο κατά λοιπο και έχεις 9 -2 =7!

Ας δούμε μερικές ιδιότητες του κατα λοίπου .
1. Το κατά λοιπο ενός αριθ μού δεν α λλάζ ει αν αναδιατά ξουμε
τα ψηφία του.
Νομίζω ότι αυτ ό είν αι εύκολο να α ποδειχθεί. Για παρά δειγμα τ ο
κατάλοιπο τ ων αριθμών 3246310871 κα ι 8763 321104 είνα ι τ ο
ίδιο.
2. Όταν κάνουμε μία αφαίρ εση τ ότε υ πάρ χει ένας α πλός
τρόπος για να δού με αν είναι σωστή .
Για παρά δειγ μα αν εκτ ελού με την αφαίρεση ανά μεσα σε
δύ ο πολύ μεγά λους αρ ιθμούς Α,Β και γράφ ουμε : Α -Β =Δ
τότε αν συμβ ολίσ ουμε με ΚΑ , ΚΒ , Κ Δ , τα κατά λοιπα τ ων
αριθμών Α,Β ,Δ αντίστ οιχα ισχύει και Κ Α -ΚΒ =ΚΔ (1 ) ! .
Την ιδιότητ α α υτή χρησιμοποιούσαν οι λογιστ έ ς πριν
εφευρεθ ούν τα κομπιουτ εράκια .
3. Στην περ ίπτ ωση όπου αφαιρ ούμε δύ ο αριθ μούς με το ίδιο
κατάλοιπο τ ότε η διαφ ορά έχει κατά λοιπο 9 (και όχι 0 ),
αφού όπως είπα με τ ο κατάλοιπο ταυτίζετα ι με τ ο υπόλοιπο
της διαίρεσης τ ου αριθ μού με τ ο 9 .
Για τ ο παρά δειγμα μας αφ ού οι δύ ο αριθ μοί που αφαιρ ού με
έχουν πρ οκύ ψει από ανα διάτα ξη των ψηφίων τ ου ίδιου α ριθμού
θα έχουν τ ο ίδιο κατάλοιπο. Άρ α η διαφ ορά τ ους θα έχει
κατάλοιπο 9 .
Όταν ο φίλος μας διαγράφει ένα μη μη δεν ικό ψηφ ίο Χ τ ότ ε για
το κατά λοιπο τ ου αριθμού Γ που τελικά μας φα νερώ νει (γ ια τ ο
παράδειγ μά μας 150013523) ισ χύει ότι : Γ ΓΚ x 9 x 9 K+ =  = − !

9.Βρίσκοντας τον μήνα και το έτος
γέννησης …
Με τ ο συγ κεκρ ιμένο μαγικό θα είμαι σε θέση να βρ ω τον μήνα
και τ ον έτ ος γέννησης οποιου δή ποτ ε.
Ας υ ποθέσουμε ότι έχω απέναντι μου έναν μαθητή μου.
Του ζητώ να πολλαπλασιάσει τ ον μή να γ έννησης του επί 2 .
Στο γιν όμεν ο που βρήκε να πρ οσθέσει 5 .
Μετά να πολλα πλασιάσει τ ο αποτέλεσ μα επί 50.
Αν έχουν περάσει τα γενέθλιά του να πρ οσθέσει 1769 ειδάλλως
να προσθέσ ει 1768 .
Στο τέλος να αφα ιρέσει την η λικία του και να μου πει το
αποτ έλεσμα που βρή κε.
Ας υ ποθέσουμε ότι ο σ υγκεκριμέν ος μαθητής έκαν ε σ ωστ ά όλες
τις πράξεις και βρήκε τελικό αποτέλεσ μα 2610. Τότ ε εσύ φυσικά
του λες ότι γεννήθηκε Ιούνιο του 2010!

Ας υ ποθέσουμε ότι ο μήνας γέννησης είναι Χ κα ι τ ο έτ ος Ψ τ ότε
ακολουθώντας την σειρά τ ων πρά ξεων που περιγρά ψα με
καταλήγ ου με στο α ποτέλεσμα :
(2Χ 5) 50 1769 Ψ+  + − ή (2Χ 5) 50 1768 Ψ+  + − αν δεν έχει γιορτάσ ει
ακόμα τ α γ ενέθ λια του.
Ας κά νου με μερικές πρά ξεις α κόμα …
100Χ 250 1769 Ψ ή 100Χ 250 1768 Ψ+ + − + + −
Τελικά έχου με …
100Χ 2019 Ψ ή 100Χ 2018 Ψ+ − + − άρα
Στο τελικό α ποτέλεσμα 2610 που μας λέει τα ψηφία τ ων δεκάδων
και μονάδων δεν επη ρεάζονται από τ ον παράγ οντα 100 Χ. Είναι
ψηφία της ημερ ομηνίας γένν ησης. Επειδή είν αι μαθητής και δεν
μπορεί ν α έχει γ εννηθεί τ ο 1910 , τ ο έτ ος γ έννησης είνα ι τ ο 2 010
και α πό την διαφ ορά 26 -20=6 ΄έχουμε ότι γεν νήθηκε στ ον 6ο
μήνα.
Ιούλιο τ ου 2010 λοιπόν …
Για να εξασκηθ ού με … ας υ ποθέσουμε ότι τ ο ίδιο έκανα και με
τον πεθερ ό μου και ως τελικό αριθ μό ειπώθηκε ο 2340. Π οιον
μήνα και ποιο έτ ος γεννήθη κε;
Το μέρ ος 40 τ ου τελικού αριθ μού είνα ι η δεκα ετία τ ου χρ όν ου
γέννησής τ ου . Άρα αφ ού είνα ι μεγά λος άνθρ ωπος θα γ ενν ήθηκε
το 1940 και μά λιστα τ ον Μά ρτιο αφ ού 23-19=4!
Προσοχή όμως τ ο τρ ικ αυτ ό για να το εφα ρμόσεις τ ο 20 20 θα
πρέπει να αντικαταστήσεις τ ους αριθ μούς 1769 κα ι 1768 με τους
1770 κα ι 17 69 αν τίστ οιχα . Αν θέλει να τ ο παρ ουσιάσ εις τ ο 2 021
οι αριθ μοί τ ώρα θα γ ίν ουν 1771 και 1770 κ.ο.κ.
Καλές πρ οβλέψεις …

10. Εξαφανίζοντας ένα ολόκληρο
τετράγωνο !
Παρατηρείστε τα παρακάτ ω σ χήματα …
Mε απλή ανα διάτα ξη των σχη μάτων κα τόρθ ωσα να εξαφα νίσω
ένα ολόκληρ ο τετρ άγων ο;
Στο τέλος τ ου βιβ λίου σας δίν ω τη ν παρακά τω σελίδα και σας
προτρέπω να κόψετε τα σχήματα ώστε να επιβεβαιώσετε το
μαγικό !

Παρατηρείστε τ ις
λεπτομέρ ειες α πό τα δύο
«τετράγων α».
Αν μετρήσ ου με τις γων ίες
θα διαπιστώσ ουμε ότι οι
ΑΒ και ΒΓ δεν είν αι στην
ίδια ευθεία , όπως και οι
ΔΕ με την ΕΖ.
Επειδή ο
ΑΒΓ 178.76=
και ο
ΔΕΖ 181.24=
το πρ ώτο «τ ετράγω νο»
έχει μεγα λύτερ ο εμβαδόν
από τ ο δεύτερ ο.
Πόσο;
Κατά ένα μικρ ό
τετραγωνά κι όσ ο αυτ ό
που εξαφαν ίσαμε …

11. Fitch Cheney trick … κάτι σαν σήματα Μορς
Το μαγικό που θα περιγράψουμε το δημιούργησε ο William Fitch Cheney Jnr (1904-1974)
που το 1927 πήρε το πρώτο PhD στα Μαθηματικά στο MIT.
Το μαγικό ξεκινά …
Συμμετέχουν ο μάγος, ο συνεργάτης του και κάποιος θεατής.
Στην αρχή ο μάγος δεν είναι παρών.
Ο συνεργάτης δίνει μία τράπουλα 52 χαρτιών στον θεατή, όπου αυτός
την ανακατεύει και μετά επιλέγει 5 χαρτιά.
Τα χαρτιά αυτά τα βλέπει ο συνεργάτης του μάγου. Αυτός με τη σειρά
του επιλέγει ένα από αυτά και το δίνει στον θεατή. Τα υπόλοιπα
τέσσερα τα τοποθετεί στη σειρά, άλλα φανερά και άλλα κρυμμένα.
Τότε κάνει την εμφάνισή του ο Μάγος. Μετά από μία σύντομη ματιά
είναι σε θέση να πει ποιο χαρτί έχει στην κατοχή του ο θεατής !
Για παράδειγμα, ας υποθέσουμε ότι ο θεατής έχει επιλέξει : J, K,
2, 6 και 9.
Ο συνεργάτης , δίνει στον θεατή το J και τα υπόλοιπα χαρτιά τα
βάζει στη σειρά με τον εξής τρόπο : 9  / κλειστό χαρτί / K / κλειστό
χαρτί.
Τώρα κάνει την μεγάλη είσοδο ο Μάγος !
Ρίχνει μια βιαστική ματιά στα χαρτιά και λέει στον θεατή ότι κρατά το
J !
Ένα άλλο παράδειγμα.
Ας υποθέσουμε ότι μπαίνοντας ο μάγος βλέπει …
Τότε λέει ότι το χαρτί που κρατά ο θεατής είναι 9
καρό !

Είναι προφανές ότι ανάμεσα στον Μάγο και στον συνεργάτη του έχει
συμφωνηθεί μία μορφής επικοινωνία.
Η γλώσσα με την οποία επικοινωνούν βασίζεται σε μερικές
μαθηματικές αρχές.
1η αρχή : Όταν ο θεατής έχει διαλέξει τα 5 χαρτιά τότε αποδεικνύεται
ότι 2 τουλάχιστον από αυτά θα είναι του ίδιου σχήματος και
χρώματος. (αρχή περιστεροφωλιάς)
2η αρχή : Ας θεωρήσουμε τα 13 χαρτιά ενός
χρώματος μίας τράπουλας τοποθετημένα σε
έναν δεξιόστροφο κύκλο.
Παρατηρείστε ότι ξεκινώντας από το 9 για να
φθάσουμε στο J θέλουμε να μετακινηθούμε
δύο θέσεις. Αλλά ξεκινώντας από το J για να
φθάσουμε στο 9 ( κινούμενοι δεξιόστροφα)
θέλουμε 11 θέσεις.
Επιλέγουμε πάντα τη κίνηση με τη μικρότερη
μετακίνηση. Δηλαδή στο παράδειγμά μας από το
9 (ΑΡΧΗ) προς το J (ΤΕΛΟΣ)
3η αρχή : Στον θεατή δίνουμε το ΤΕΛΟΣ και βάζουμε ως πρώτο φύλλο
την ΑΡΧΗ ανοικτό (να φαίνεται χρώμα και σχήμα).
4η αρχή : ο αριθμός των χαρτιών που παρεμβάλλονται από τ ην ΑΡΧΗ
(9) μέχρι το άγνωστο φύλλο, δηλαδή 2 χαρτιά θα παρουσιαστεί στον
μάγο γράφοντας ο συνεργάτης του τον αριθμό 2 με τη βοήθεια του
δυαδικού συστήματος δηλαδή ως [010]2 με την μορφή κλειστού
φύλλου/ ανοικτού φύλλου – οποιουδήποτε – στο παράδειγμά μας το
K / κλειστό χαρτί.
Τα χαρτιά που παρουσιάζονται στον μάγο είναι τα : 9  / κλειστό χαρτί
/ K / κλειστό χαρτί (θεωρούμε ότι το κλειστό χαρτί αντιστοιχεί στο 0
και το ανοικτό στο 1).
Άρα ο Μάγος καταλαβαίνει ότι το άγνωστο χαρτί είναι  και μάλιστα
αυτό που βρίσκεται [010]2 θέσεις μετά δηλαδή ο 1 2
0 2 1 2 0 2 2 +  +  = .
Άρα θα είναι το χαρτί 9+2=11 δηλαδή το J

Στο 2ο παράδειγμα ( με τις εικόνες) , ο Μάγος καταλαβαίνει ότι το
χαρτί είναι καρό και είναι μετά το 5, [100]2 θέσεις, δηλαδή
2 1 ο
1 2 0 2 0 2 4 +  +  = θέσεις.
Άρα είναι το 5+4=9 καρό.
Το τρικ αυτό έχει και μία δεύτερη πιο θεαματική εκδοχή όπου στο
τέλος υπάρχουν 4 ανοικτά φύλλα και ο Μάγος μελετώντας τα είναι σε
θέση να καταλάβει ποιο χαρτί κρατά ο θεατής.
Η γλώσσα επικοινωνίας ανάμεσα στον Μάγο και τον συνεργάτη του
στηρίζεται στις ίδιες πάνω κάτω αρχές με μικρές διαφοροποιήσεις …
Δηλαδή πάλι υπάρχουν δύο τουλάχιστον φύλλα του ίδιου χρώματος.
Το πρώτο από τα αριστερά ανοικτό φύλλο έχει το ίδιο χρώμα και
σχήμα με το φύλλο που κρατά ο θεατής.
Η απόσταση μεταξύ των φύλλων ορίζεται
όπως πριν. Αποδεικνύεται ότι ο αριθμός των
μετακινήσεων που μπορούν να εμφανιστούν
στο τρικ είναι από 1 έως το πολύ 6.
Άρα πρέπει να βρεθεί τρόπος να επικοινωνίας
ανάμεσα στο συνεργάτη και το Μάγο για τους
αριθμούς 1,2,3,4,5 και 6.
Το δυαδικό σύστημα δίνει τη λύση αφού
προηγουμένως έχουμε συμφωνήσει στα εξής
δύο θέματα :
1ο . Όλα τα φύλλα της τράπουλας ιεραρχούνται σύμφωνα με το
παρακάτω σχήμα :
A♣ < 2♣ < . . . < K♣ <A♥ < . . . <K♥ <A♠ <. . . < K♠ < A♦ < . . . < K♦
Δηλαδή το χαρτί με τη μικρότερη αξία είναι το Α σπαθί και το χαρτί με
την μεγαλύτερη αξία το Βασιλιάς καρό.
2ο . Οπότε τα τρία φύλλα που απομένουν για να επικοινωνήσει ο
συνεργάτης με τον Μάγο ιεραρχούνται. Υπάρχει το χαμηλό φύλλο
(Low) το μεσαίο φύλλο (Median) και το Υψηλό φύλλο (High). Τρία
φύλλα L,M,H μπορούν να αναδιαταχτούν με 3!=6 τρόπους οπότε οι
αναγκαίοι αριθμοί 1 έως 6 σχηματοποιούνται με τη βοήθεια της
αντιστοίχισης LMH=1 / LHM=2 / MLH=3 / ΜHL=4 / HLM=5 / HML=6

Άρα για τα φύλλα J, K, 2, 6 και 9.
• Ο συνεργάτης επιλέγει τα φύλλα ίδιου σχήματος και χρώματος
J και 9
• Από το 9 στο J μετακινούμαστε 2 φύλλα ενώ από το J στο
9 μετακινούμαστε 11 φύλλα. Επιλέγουμε τη μικρότερη
μετακίνηση και ως ΑΡΧΗ θεωρούμε το 9 και ως ΤΕΛΟΣ το J.
• Το J δίνεται στον θεατή ως «κρυμμένο» φύλλο.
• Το 9 είναι το πρώτο «ανοικτό» φύλλο
• Τα επόμενα 3 φύλλα είναι τα K, 2, 6. Σύμφωνα με την
ιεράρχηση των φύλλων μιας τράπουλας θα είναι L=6 < M=
K<H=2
• Επειδή θέλουμε να δηλώσουμε ότι το άγνωστο φύλλο είναι αυτό
που βρίσκεται μετά το 9 μετακινούμενοι 2 φύλλα , θα
γράψουμε LHM. Δηλαδή τα χαρτιά 62 K
Όταν έρθει ο Μάγος θα δει : 962 K
Τι θα καταλάβει;
1ο . Το κρυμμένο φύλλο είναι κούπα (ότι είναι το 9 )
2ο . Από το 9 θα μετακινηθώ 2 φύλλα διότι ο συνδυασμός :
62 K αντιστοιχεί στο LHM άρα στον αριθμό2.
3ο . Το κρυμμένο χαρτί είναι το J.
Ένα δεύτερο παράδειγμα.
Ας υποθέσουμε ότι ο Μάγος βλέπει :
3♠ / Α♥ / 4♦ / J♠
Τότε καταλαβαίνει ότι το κρυμμένο χαρτί είναι μπαστούνι ♠
Σύμφωνα με την ιεράρχηση των φύλλων μια ς τράπουλας ισχύει ότι
L= Α♥ < M= J♠ < H= 4♦
Επειδή έχει γραφτεί LHM που αντιστοιχεί στο 2 γνωρίζουμε ότι θα
μετακινηθούμε από το 3♠ 2 θέσεις άρα το κρυμμένο χαρτί είναι
το 5♠ .

12. Η μαγική Άλγεβρα
Σκέψου δύο άνισους αριθμούς από το 1 ως το 10.
Πρόσθεσέ τους.
Πολλαπλασίασε το άθροισμα επί 10.
Πρόσθεσε τον μεγαλύτερο από τους δύο αρχικούς αριθμούς.
Αφαίρεσε τον μικρότερο από τους δύο αρχικούς αριθμούς.
Πες μου το αποτέλεσμα
122 …
Οι αριθμοί που σκέφτηκες είναι οι 7 και 5.
Το έχουμε ξαναδεί το τι πρέπει να κάνουμε ( Δες 2 ο μαγικό )
Ονομάζουμε χ και ψ τους δύο αριθμούς με χ<ψ τότε αν
ακολουθήσουμε τα βήματα των οδηγιών θα καταλήξουμε στην σχέση :
(χ ψ) (ψ χ)+ + −10
Στο παράδειγμα μας θα είναι (χ ψ) (ψ χ)+ + − =10 122
Αυτό που πρέπει τώρα να σκεφτούμε είναι ότι ο όρος ψ -χ αντιστοιχεί
στο ψηφίο των μονάδων και ο συντελεστή χ+ψ θα αποδίδει τα
υπόλοιπα ψηφία του τελικού αριθμού.
Άρα ψ-χ=2 και χ+ψ=12.
Από δω και πέρα τα πράγματα είναι εύκολα …
Παρατήρησε ότι
(χ ψ) (ψ χ)
ψ
+ + −
=
2
καθώς και ψ (ψ χ) χ− − = , οπότε
πρακτικά ένα τέτοιο μαγικό μπορείς να το δουλέψεις
χρησιμοποιώντας και τους τύπους δηλαδή για το παράδειγμά μας …
που βρήκαμε αποτέλεσμα 122
Ο μεγαλύτερος αριθμός είναι το (12+2)/2=7 και ο μικρότερος 7-2=5.
Προσπάθησε να κάνεις το δικό σου μαγικό αν οι διαφορετικοί αριθμοί
που σκεφτόμαστε είναι από το 1 ως το 100 και στο 3 ο βήμα
πολλαπλασιάζουμε επί 100 αντί για 10
Αν για παράδειγμα ακολούθησα τις οδηγίες και βρήκα αποτέλ εσμα
4824 πως μπορείς να μαντέψεις τους δύο αρχικούς αριθ μούς;

Χρησιμοποιώντας απλώς τους ίδιους τύπους αλλά με μία μικρή
διαφορά…
Αν συμβολίσουμε και πάλι χ,ψ με χ<ψ τους αριθμούς θα καταλήξουμε
στην παράσταση : (χ ψ) (ψ χ)+ + −100 .
Τώρα ο παράγοντας ψ-χ θα αντιστοιχεί με τα δύο τελευταία ψηφ ία
του , τετραψήφιου αριθμού που βρήκαμε ως αποτέλεσμα και ο χ+ψ θα
αντιστοιχεί στα ψηφία των χιλιάδων και εκατοντάδων.
Άρα θα είναι ψ-χ=24 και χ+ψ=48
Ή εργαζόμενοι με τους τύπους όπως πριν θα έχουμε για το
αποτέλεσμα 4824 …
(48+24)/2=72/2=36 και 48-36=12 που πράγματι είναι οι αριθμοί με
τους οποίους ξεκινήσαμε ( μπορείς να το επαληθεύσεις)
Δουλεύει το τρικ με τριψήφιους αριθμούς και μετά με
πολλαπλασιασμό επί 1000. Αν ναι τότε α υτό πράγματι είναι μαγικό!
Για φαντάσου να ζητάς να σκεφθούν δύο διαφορετικούς αριθμούς από
το 1 ως το 1000, μετά να τους προσθέσουν, ύστερα να
πολλαπλασιάσουν το άθροισμα επί 1000 και μετά να προσθέσουν τον
μεγαλύτερο και να αφαιρέσουν τον μικρότερο από τους αρχικούς
αριθμούς και να σου πούνε το αποτέλεσμα …
Ακούγοντας εσύ το αποτέλεσμα 485479 να λες απλά και φυσικά …3
και 482!

13. Τα μαγικά των πολλαπλασίων του 9 …
Ας θεωρήσουμε τους αριθμούς :
3145 που είναι τα πρώτα τέσσερα ψηφία του αριθμού π
2178 που είναι τα πρώτα τέσσερα ψηφία του αριθμού e
2358 που τα ψηφία συμπίπτουν με διαδοχικού όρους της ακολουθίας
Fibonacci
9999 που είναι ο μεγαλύτερος τετραψήφιος αριθμός.
• Πάρε όποιον αριθμό από αυτούς θέλεις.
• Σχημάτισε έναν άλλον τετραψήφιο αριθμό χρησιμοποιώντας τα
ψηφία του αριθμού που διάλεξες.
• Πολλαπλασίασε τον νέο αριθμό με έναν οποιοδήποτε τριψήφιο
αριθμό θέλεις. Θα σχηματιστεί ένας αριθμός με 6 ή 7 ψηφία.
• Κύκλωσε όποιο μη μηδενικό ψηφίο θέλεις από τον α ριθμό αυτό
και κράτα τον κρυφό.
• Πες μου έναν οποιοδήποτε αριθμό που σχηματίζεται από τα
υπόλοιπα ψηφία. Ο αριθμός αυτός θα είναι ένας αριθμός με 5 ή
6 ψηφία.
Εγώ επειδή είμαι και πολύ μεγάλος Μάγος θα σου πω το ψηφίο που
κράτησες κρυφό !
Για παράδειγμα …
Ας υποθέσουμε ότι διαλέγεις το 2178 …
και σχηματίζεις τον αριθμό 7281 …
τον αριθμό αυτόν το πολλαπλασιάζεις με ένα οποιοδήποτε τριψήφιο
αριθμό, ας πούμε τον 125. Χρησιμοποιώντας κομπιουτεράκι
βρίσκουμε 910125 …
κρύβεις το μη μηδενικό ψηφίο 5 …
και μου λες έναν αριθμό που μπορείς να σχηματίσεις από τα ψηφία
9/1/0/1/2 , για παράδειγμα μου λες τον αριθμό 10921 τότε …
είμαι σε θέση να σου πω ότι μου έκρυψες το ψηφίο 5!
Γιατί;
Θα σου δώσω μία βοήθεια …
Αποδεικνύεται ότι ένας αριθμός που το άθροισμα των ψηφίων του
είναι πολλαπλάσιο του 9 διαιρείται με το 9.

Καταρχήν οι τρεις αριθμοί που δίνονται όλοι του διαιρούνται με το 9
(γιατί;)
Άρα μία οποιαδήποτε αναδιάταξη των ψηφίων τους αφήνει
αναλλοίωτη την ιδιότητα αυτή του αριθμού.
Τον αριθμό αυτόν αν τον πολλαπλασιάσουμε με οποιαδήποτε αριθμό
πάλι θα είναι πολλαπλάσιος του 9.
Άρα ο τελικός αριθμός ανεξάρτητα αν ο τρόπος σχηματισμού του
φαίνεται τυχαίος θα είναι πάντα πολλαπλάσιο του 9.
Βγάζοντας έξω ένα μη μηδενικό ψηφίο του τότε προκύπτει ένας
αριθμός που το άθροισμα των ψηφίων του θα υπολείπεται κατά κάτι
ώστε να είναι και αυτό πολλαπλάσιο του 9.
Οπότε στο παράδειγμά μας, λέγοντας τον αριθμό 10921, επειδή
Σ=1+0+9+2+1=13
έχουμε ότι Σ+χ=πολ9 ή 13+χ=πολ9 άρα χ=5
Στην περίπτωση που το άθροισμα των ψηφίων του αριθμού που μας
δίνουν είναι πολλαπλάσιο του 9 τότε προφανώς το μη μηδενικό ψηφίο
που έχει κρυφτεί θα είναι το 9.
Για να αποδείξουμε όμως μαθηματικά και όχι μαγικά την βασική
πρόταση στην οποία στηρίζεται το τρικ.
Ας υποθέσουμε ότι έχουμε τον αριθμό χψζω με χ+ψ+ζ +ω=9.
Ο αριθμός αυτός γράφεται :
χψζω χ ψ ζ ω χ( ) ψ( ) ζ( ) ω
χ ψ ζ χ ψ ζ ω ( χ χ ζ) (χ ψ ζ ω) πολ
=  +  +  + = + + + + + + =
+ + + + + + = + + + + + + =
1000 100 10 999 1 99 1 9 1
999 99 9 9 111 11 9

14. Luca’s Pacioli trick
Σκέψου έναν αριθμό
Πρόσθεσε σε αυτόν το μισό του.
Το άθροισμα αυτό είναι ακέραιος ή όχι;
Αν δεν είναι στρογγυλοποίησέ το .., αν είναι ακέραιος άφησε το όπως
είναι.
Πρόσθεσε στον αριθμό αυτό ή στην στρογγυλοποίησή του το μισό του.
Ο αριθμός αυτός είναι ακέραιος ή όχι;
Αν δεν είναι στρογγυλοποίησέ τον …, αν είναι ακέραιος άφησέ τον
όπως είναι.
Τον αριθμό στον οποίο κατέληξες διαίρεσέ τον με το 9 και πες μου το
πηλίκο.
Τώρα είμαι σε θέση να σου πω τον αριθμό που σκέφτηκες.
Ένα παράδειγμα …
Ας υποθέσουμε ότι σκέφτηκες έναν αριθμό που όταν προσθέσεις
αρχικά το μισό του καταλήγεις σε άθροισμα που δεν ακέραι ος, οπότε
τον στρογγυλοποιείς.
Μετά στον αριθμό αυτόν προσθέτεις το μισό του και πάλι καταλήγεις
σε ένα αποτέλεσμα που δεν είναι ακέραιος οπότε και πάλι το
στρογγυλοποιείς.
Διαιρείς τον αριθμό στον οποίο κατέληξες με το 9 και το πηλίκο που
βρίσκεις είναι ο αριθμός 7 τον οποίο και μου τον ανακοινώνεις.
Τότε εγώ ο μεγάλος Μάγος απλά σου λέω ότι ο αρχικός αριθμός που
σκέφτηκες είναι ο 31 !
Πως λειτουργεί το μαγικό αυτό που έχοντας τις πληροφορίες αν δύο
αθροίσματα είναι ακέραιοι αριθμοί ή όχι και ένα πηλίκο μ ιας
διαίρεσης είμαι σε θέση να βρω τον αρχικό κρυφό αρ ιθμό;
Για την διευκόλυνση των σκέψεων σου θα σου πω ότι επειδή
διαιρούμε δύο φορές με το 2 άρα τελικά με το 4 (προσθέτω δύο φορές
το μισό ενός αριθμού) ο αρχικός αριθμός βολεύει να τον γράψω με
βάση τη διαίρεσή του με το 4.
Άρα μπορεί να γραφεί με την μορφή χ π υ= +4 με υ { , , , } 0 1 2 3

Η αιτιολόγηση…
Ας δούμε την εξέλιξη του «μαγικού» ανάλογα τη μορφή του άγνωστου
αριθμού χ.
Αν χ=4π τότε : 1ο βήμα χ π π π
χ
+ = + = 
1
4 2 6
2ο βήμα π π π+ = 6 3 9
3ο βήμα ο αριθμός στον οποίο καταλήξαμε
διαιρούμενο με το 9 αποδίδει πηλίκο π
Αν χ=4π+1 τότε : 1ο βήμα χ π π , π ,
χ
+ = + + + = + 
1
4 1 2 0 5 6 1 5 ,
άρα γράφεται 6π+2
2ο βήμα π π π+ + + = + 6 2 3 1 9 3
διαιρούμενο με το 9 αποδίδει πηλίκο π και
υπόλοιπο 3
Αν χ=4π+2 τότε : 1ο βήμα χ π π π
χ
+ = + + + = + 
1
4 2 2 1 6 3 ,
2ο βήμα π π , π ,+ + + = + 6 3 3 1 5 9 4 5
υπόλοιπο 5
Αν χ=4π+3 τότε : 1ο βήμα χ π π , π ,
χ
+ = + + + = + 
1
4 3 2 1 5 6 4 5 ,
2ο βήμα π π , π ,+ + + = + 6 5 3 2 5 9 7 5
υπόλοιπο 8

Τα συμπεράσματα αυτά μπορούμε να σχηματοποιήσουμε με την
βοήθεια του παρακάτω πίνακα :
Κρυφός
αριθμός
1ο άθροισμα 2ο άθροισμα Τελικός
αριθμός
4π   9π
4π+1   9π+3
4π+2   9π+5
4π+3   9π+8
Οπότε όταν ανακοινωθεί το πηλίκο π.χ. π=7 και με τη βοήθεια των
πληροφοριών ότι το πρώτο άθροισμα δεν είναι ακέραιος αλλά και το
δεύτερο άθροισμα δεν είναι ακέραιος, τότε …
Καταλαβαίνουμε ότι είμαστε στη τέταρτη περίπτωση, άρα ο κρυφός
αριθμός είναι ο  + = + =4 7 3 28 3 31 !.
Μαγικό ή απλώς ένα πολύ ωραίο μαθηματικό !

15. Μαγικά με το ημερολόγιο …
Λες στον φίλο σου να διαλέξει έναν
οποιαδήποτε μήνα του χρόνου από
ένα ημερολόγιο σαν το διπλανό.
Μετά σχηματίσει ένα τετράγωνο
4Χ4. Για παράδειγμα αν επιλέξουμε
τον μήνα Φεβρουάριο υπάρχει
τετράγωνο 4Χ4 με άκρα τις ημέρες
3-6-27-24.
Τότε ο Μάγος κάνει μία πρόβλεψη
και τη σημειώνει.
Στη συνέχεια ζητάς από τον φίλο
σου να κυκλώσει μία οποιαδήποτε
μέρα του τετραγώνου σβήνοντας
παράλληλα τις άλλες μέρες που
βρίσκονται στην ίδια στήλη και
σειρά με αυτήν που επίλεξε.
Μετά κυκλώνει μια μέρα από αυτές
που έχουν απομείνει και σβήνει
πάλι όλες τις άλλες μέρες που βρίσκονται στην ίδια σειρά και στήλη
με αυτήν που έχει επιλέξει.
Την διαδικασία αυτή την επαναλαμβάνει έως ότου έχει τελικά
κυκλώσει τέσσερεις ημερομηνίες.
Του λες να προσθέσει τους τέσσερις αριθμούς - ημερομηνίες.
Η πρόβλεψη που έχει γίνει αρχικά συμπίπτει με το άθροισμα που
βρέθηκε!
Για παράδειγμα αν έχουν κυκλωθεί, με τον τρόπο που
περιγράψαμε, οι αριθμοί 5,11,20 και 24, το άθροισμα
τους είναι 60, όση και η πρόβλεψη που έχει κάνει
εξαρχής ο Μάγος.

Σε ένα ημερολόγιο δύο γειτονικές ημερομηνίες που βρίσκονται στην
ίδια σειρά προφανώς διαφέρουν κατά 1. Ενώ δύο ημερομηνίες που
βρίσκονται στην ίδια στήλη η μία κάτω από την άλλη διαφέρουν κατά
7. Έχοντας υπόψιν μας αυτά ένα οποιοδήποτε τετράγωνο 4Χ4 όπως
αυτό που επιλέγουμε στο τρικ μπορεί να προκύψει από την πρώτη
ημερομηνία.
3 4 5 6
0 3 4 5 6
7 10 11 12 13
14 17 18 19 20
21 24 25 26 27
Δηλαδή όπως παρουσιάζεται στον παραπάνω πίνακα :
αν έξω από τον πίνακα γράψουμε σε γραμμή τέσσερις αριθμούς
ξεκινώντας από την 1η ημερομηνία δηλαδή 3/4/5/6
και μία επιπλέον στήλη με στοιχεία 0/7/14/21 τότε
όλα τα στοιχεία του 4Χ4 πίνακα προκύπτουν ως άθροισμα των
αντίστοιχων στοιχείων της γραμμής και στήλης που επιπλέον
γράψαμε.
Όταν κάποιος επιλέγει με τον ιδιαίτερο τρόπο που περιγράψαμε
τέσσερις αριθμούς το άθροισμα τους είναι ουσιαστικά ΠΑΝΤΑ το
άθροισμα των στοιχείων 3+4+5+6+0+7+14+21 ή
(0+3)+(4+7)+(5+14)+(6+21)=3+11+19+27
Παρατηρώντας το τελευταίο άθροισμα μπορούμε να διαπιστώσουμε
ότι είναι άθροισμα 4 όρων αριθμητικής προόδου με α 1=3 και ω=8 άρα
θα ισούται με
α α
Σ α α
+
=  = + = + =1 4
4 1 44 3 27 30
2
Το σημαντικό είναι ότι επειδή πάντα το α1 είναι ο αριθμός που
βρίσκεται στο ένα άκρο του τετραγώνου και ο α4 είναι ο αριθμός που
βρίσκεται στην απέναντι κορυφή, ο Μάγος για να βρει το άθροισμα
προσθέτει απλώς τους αριθμούς που βρίσκονται στις δύο κορυφές.
Αυτή είναι η περίφημη πρόβλεψη του Μάγου.
Αν παρατηρήσετε στο ίδιο αποτέλεσμα καταλήγουμε και αν
προσθέσουμε τις τιμές που βρίσκονται στις άλλες δύο απέναντι
κορυφές, άρα δεν έχει σημασία ποιες τιμές θα πάρου με …

16. Μαγικά με ένα ζάρι και ένα ρολόι …
Ο φίλος σου ρίχνει ένα ζάρι και σημειώνει την ένδειξη του χωρίς εσύ
να τη δεις.
Συγχρόνως σκέφτεται έναν αριθμό ας πούμε μικρότερο του 50 ( το
τρικ λειτουργεί και αν ο αριθμός είναι μεγαλύτερος).
Μετά ξεκινά από την ώρα που έχει δείξει ως ένδειξη το ζάρι και
μετακινείται δεξιόστροφα στην αρχή και μετά αριστερόστροφα τόσες
θέσεις όσες και ο αριθμός που σκέφτηκε. Όταν ολοκληρώσει τις δύο
κινήσεις αθροίζει τις δύο «ώρες» στις οποίες έχει καταλήξει και το
άθροισμα σου το ανακοινώνει.
Εσύ απλά λες την ένδειξη του ζαριού.
Για παράδειγμα ας υποθέσουμε ότι η ένδειξη
του ζαριού είναι 2 και σκέφτεσαι τον αριθμό
19.
Αν μετακινηθούμε στην αρχή δεξιόστροφα
και μετά αριστερόστροφα 19 θέσεις θα
φθάσεις στις «ώρες» 9 και 7. Το άθροισμα
τους 16 είναι ο αριθμός που ανακοινώνεις
στον Μάγο.
Αυτό μετά από ελάχιστο χρόνο σου λέει ότι ο αριθμός του ζαριού
είναι το 2!

Οι τελικές θέσεις στις οποίες καταλήγουμε μετά τις δύο κινήσεις
( δεξιόστροφη και αριστερόστροφη) είναι πάντα συμμετρικές ως προς
την αρχική θέση, άρα ως προς την ένδειξη του ζαριού. Άρα η ένδειξη
θα βρεθεί ως ο μέσος όρος τους ή ως το μισό του αθροίσματός τους.
Αν όμως το άθροισμα είναι μεγαλύτερο του 12 ο τύπος που θα δίνει
την αρχική ένδειξη θα είναι
Σ
χ
−
=
12
2
.
Στο παράδειγμά μας επειδή το άθροισμα είναι μεγαλύτερο του 12 η
ένδειξη θα είναι : χ
−
= =
16 12
2
2
.
Τόσο απλά !

17. Μαγικό με τον αριθμό του τηλεφώνου !
Ή πως μπορείς να δώσεις τον αριθμό τηλεφώνου σου στον Μάγο χωρίς
να το ξέρει κανένας άλλος !
Ας υποθέσουμε ότι το τηλέφωνό σου είναι το 6823555, δεν βάζουμε
μπροστά το 210 γιατί είναι γνωστό.
Τότε προσθέτεις το 1ο και 2ο νούμερο και λες το άθροισμα,
προσθέτεις το 2ο και 3ο νούμερο και λες το άθροισμα,
προσθέτεις το 6ο και 7ο νούμερο και λες το άθροισμα και τέλος
προσθέτεις το 7ο και 1ο νούμερο και λες το άθροισμα
Δηλαδή για το παράδειγμά μας ανακοινώνεις τα επτά αθροίσματα :
14/10/5/8/10/10/11
Ακολούθως ο Μάγος χρησιμοποιώντας μία αλγοριθμική διαδικασία θα
καταλήξει στον αριθμό του τηλεφώνου σου!
Για το πως αυτό που μπορώ να πω είναι ότι η δια δικασία δεν είναι
τίποτε άλλο από την επίλυση ενός συστήματος επτά εξισώσεων με
επτά αγνώστους …

Ο Μάγος εφαρμόζει την παρακάτω διαδικασία …
Προσθέτει 1ο – 3ο – 5ο – 7ο άθροισμα δηλαδή : 14+5+10+11=40
Προσθέτει 2ο – 4ο – 6ο άθροισμα δηλαδή : 10+8+10=28
Αφαιρεί τα δύο αθροίσματα μεταξύ τους δηλαδή : 40-28 =12
Διαιρεί τη διαφορά με το 2, δηλαδή 12:2=6
Τον αριθμό αυτόν το αφαιρεί από το 7ο άθροισμα και μετά ακολουθεί
την διαδικασία που παρουσιάζεται στο παρακάτω πίνακα ( ξεκινώντας
τις σημειωμένες αφαιρέσεις από το τέλος προς την αρχή) :
14 10 5 8 10 10 11
-8 -2 -3 -5 -5 -5 -6
6 8 2 3 5 5 5
Παρατηρείστε ότι ο αριθμός του τηλεφώνου παρουσιάστηκε στην
τελευταία γραμμή του πίνακα.
Όμως όσο μαγικό φαίνεται το τρικ, τόσος μαγικός φαίνεται και ο
αλγόριθμός που περιγράψαμε που είναι το μαθηματικό κομμάτι της
αιτιολόγησης;
Ας γράψουμε το άγνωστο τηλέφωνο με τη βοήθεια μεταβλητών,
δηλαδή αβγδεζη
Από τα αθροίσματα που μας δίνουν καταλήγουμε στο σύστημα :
α+β=14 (1), β+γ=10 (2), γ+δ=5 (3), δ+ε=8 (4), ε+ζ=10 (5), ζ+η=10
(6), η+α=11 (7).
Από (1)+(3)+(5)+(7) έχουμε : 2α+β+γ+δ+ε+ζ+η=40
Από (2)+(4)+(6) έχουμε : β+γ+δ+ε+ζ+η=28
Αφαιρώντας κατά μέλη έχουμε : 2α=12 άρα α=12:2=6 (8)
Από (7)-(8) έχουμε ότι η=5 (9)
Από (6)-(9) έχουμε ότι ζ=5 (10)
Από (5)-(10) έχουμε ότι ε=5 (11) κ.ο.κ. ……
Οπότε καταλήγουμε στο ότι α=6, β=8, γ=2, δ=3, ε=5, ζ=5, η=5 άρα ο
αριθμός του τηλεφώνου είναι ο 6823555!

18. Η δύναμη της συνδυαστικής …
Στο τραπέζι υπάρχουν 24 κέρματα. Έρχονται τρεις φίλοι που θα τους
λέμε από εδώ και πέρα Άννα , Βασίλης και Γιάννης. Η Άννα ως πρώτη
παίρνει 1 κέρμα ο Βασίλης 2 και ο Γιάννης 3. Οπότε παραμένουν
αδιάθετα 18 κέρματα.
Υπάρχουν επίσης και τρία αντικείμενα ας τα ονομάσουμε 1 , 2 κ αι 3. Ο
κάθε ένας από τους τρεις φίλους μπορεί να πάρει όποιο αντικείμενο
θέλει αρκεί να ακολουθήσει κάποιους κανόνες.
Για παράδειγμα όποιος πάρει το 1ο αντικείμενο πρέπει να πάρει από
το σωρό των κερμάτων και όσο κέρματα ήδη έχει . Όποιος πάρει το 2ο
αντικείμενο πρέπει να πάρει δύο φ ορές τα κέρματα που ήδη έχει και
τέλος όποιος πάρει το 3ο αντικείμενο πρέπει να πάρει τέσσερις φορές
τα κέρματα που ήδη έχει από το σωρό των κερμάτων που υπάρχουν
στο τραπέζι.
Ο Μάγος φεύγει από την αίθουσα και οι τρεις φί λοι παίρνουν από ένα
αντικείμενο ακολουθώντας τις οδηγίες. Στο τέλος ανακοινώνουν στον
Μάγο τον αριθμό των κερμάτων που παραμένουν αδιάθετα και αυτός
τους λέει ποιος πήρε ποιο αντικείμενο. Έτσι απλά !
Ένα παράδειγμα. Ας υποθέσουμε ότι ο Βασίλης διαλέγει το 2ο
αντικείμενο οπότε παίρνει και 2Χ2=4 κέρματα. Αν η Άννα παίρνει το 3ο
αντικείμενο τότε παίρνει και 1Χ4=4 κέρματα. Τέλος ο Γιάννης παίρνει
το 1ο αντικείμενο και 3 κέρματα. Συνολικά από το σωρό των 18
κερμάτων μένουν 18-4-4-3=7 κέρματα.
Ο Μάγος ακούει απλώς τον αριθμό 7 και αμέσως λέει στον καθ’ ένα
από τους τρεις φίλους του ποιο αντικείμενο αυτός έχει πάρει.
Μα πως γίνεται αυτό !

Για να καταλάβουμε όλες τις δυνατές εξελίξεις του μαγικού θ α
χρησιμοποιήσουμε ένα τρόπο παρουσίασης που χρησιμοποιείται στις
πιθανότητες και λέγεται δενδρόγραμμα.
Μελετήστε τον παρακάτω πίνακα …
1ο 2ο 3ο Κέρματα
Α
Β
Γ
Γ
Β
18-1-4-12=1
18-1-6-8=3
Β
Α
Γ
Γ
Α
18-2-2-12=2
18-2-6-4=6
Γ
Α
Β
Β
Α
18-3-2-8=5
18-3-4-4=7
Ουσιαστικά έχουν καταγραφεί όλες οι δυνατ ές εξελίξεις του μαγικού.
Οπότε γνωρίζοντας τον τελικό αριθμό που στο παράδειγμά μας είναι ο
7, βρισκόμαστε στην τελευταία περίπτωση εύκολα διαπιστώνουμε ότι
το 1ο αντικείμενο το πήρε ο Γιάννης το 2ο ο Βασίλης και το 3ο η Άννα.

Μία παρόμοια εκδοχή του προηγούμενου μαγικού είναι και η εξής :
Δίνουμε σε τρεις φίλους μας τις παρακάτω κάρτες …
Τους δίνουμε την επιλογή να επιλέξουν ένα χρώμα από τα Κόκκινο –
Άσπρο και Μπλε και να ακολουθήσουν τις οδηγίες που τους δίνει η
κάρτα τους. Η επιλογή ποιο χρώμα θέλουν, γίνεται χωρίς την
παρουσία του Μάγου ο οποίος φεύγει από το δωμάτιο αφήνοντας και
17 νομίσματα για τις ανάγκες του μαγικού.
Οι παίκτες ακολουθούν τους κανόνες και όταν τελειώσουν μπορεί να
έχουν μείνει κάποια από τα χρήματα ή καθόλου. Το πόσα χρήματα
έχουν απομείνει είναι η τελική και μοναδική πληροφορία που δίνουν
στον Μάγο και αυτός, αφού σκεφθεί λίγο λέει ποιος έχει επιλέξει ποιο
χρώμα !
Την δικαιολόγηση την αφήνω σε
σας αγαπητοί μου, αλλά για να
σας βοηθήσω θα σας πω ότι η
λύση αποτυπώνεται στον διπλανό
πίνακα.
Χρήματα που
απομένουν
Χρώμα επιλογής
(1ο υ-2ο υ-3ο υ)
0 ΚΟΚ-ΑΣΠ-ΜΠΛ
1 ΑΣΠ-ΚΟΚ-ΜΠΛ
2 ΚΟΚ-ΜΠΛ-ΑΣΠ
3 ΜΠΛ-ΚΟΚ-ΑΣΠ
4 ΑΣΠ-ΜΠΛ-ΚΟΚ
5 ΑΣΠ-ΜΠΛ-ΚΟΚ
6 ΜΠΛ-ΑΣΠ-ΚΟΚ
Αν διαλέξεις το
κόκκινο τότε πάρε 1
νόμισμα
άσπρο τότε πάρε 2
νομίσματα
μπλε τότε πάρε 3
νομίσματα
κόκκινο τότε πάρε
2 νομίσματα
νομίσματα
νομίσματα
κόκκινο τότε πάρε 4
νομίσματα
νομίσματα
νομίσματα
Κάρτα 1ου παίκτη Κάρτα 2ου παίκτη Κάρτα 3ου παίκτη

19. Luca’s Pacioli trick Νο2
Ας υποθέσουμε ότι έχουμε 8 χαρτιά τοποθετημένα σε δύο σειρές.
Ο φίλος μας διαλέγει ένα από τα χαρτιά αυτά και μας λέει απλώς σε
ποια σειρά είναι.
Μαζεύουμε τα χαρτιά με τον εξής τρόπο. Από τα δεξιά προς τα
αριστερά, στήλη-στήλη ξεκινώντας από το χαρτί που δεν βρίσκεται
στην ίδια σειρά που μας υποδείχθηκε.
Τοποθετούμε πάλι τα χαρτιά σε δύο σειρές, ξεκινώντας τώρα από το
τελευταίο χαρτί που μαζέψαμε και ανοίγοντας ένα-ένα τα χαρτιά.
Πάλι μας δηλώνεται η γραμμή στην οποία βρίσκεται το χαρτί που έχει
επιλεγεί και μαζεύουμε τα χαρτιά με τον ίδιο τρόπο όπως πριν.
Πάλι τοποθετούμε τα χαρτιά σε δύο σειρές, ξεκινώντας από το
τελευταίο χαρτί που μαζέψαμε.
Ζητάμε για τρίτη φορά να μας υποδειχθεί σε ποια σειρά βρίσκεται το
«άγνωστο» χαρτί.
Τότε απλώς δείχνουμε το πρώτο χαρτί (από τα αριστερά) τ ης σειράς
που μας υπόδειξαν …
Ας δούμε ένα παράδειγμα που αντί για χαρτιά έχουμε οκτώ αριθμούς
από το 1 έως το 8.
1 2 3 4
5 6 7 8
και ας υποθέσουμε ότι ο φίλος μας επιλέγει ως άγνωστο
χαρτί το 3. Σας μας απλώς λέει ότι το χαρτί βρίσκεται στην 1η σειρά.
Μαζεύουμε τα χαρτιά με την εξής σειρά 8/4/7/3/6/2/5/1 και
σχηματίζουμε δύο σειρές ανοίγοντας τα τελευταία πρώτα .
Άρα θα έχουμε τις σειρές :
1 5 2 6
3 7 4 8
, ο φίλος θα μας πει ότι το
άγνωστο χαρτί βρίσκεται στην 2η σειρά οπότε θα μαζέψουμε τα χαρτιά
με την εξής σειρά : 6/8/2/4/5/7/1/3 και θα σχηματίζουμε δύο σειρές
ανοίγοντας πρώτα τα φύλλα που πήραμε τ ελευταία, δηλαδή θα
έχουμε :
3 1 7 5
4 2 8 6
Ο φίλος θα μας πει ότι το χαρτί βρίσκεται στην πρώτη γραμμή και
εμείς θα υποδείξουμε το πρώτο φύλλο της γραμμής αυτής, άρα το 3!

Ας υποθέσουμε ότι έχουμε οκτώ αριθμούς τοποθετημένους σε δύο
σειρές όπως στη διπλανή διάταξη :
1 2 3 4
5 6 7 8
Η πρώτη υπόδειξη περιορίζει τους άγνωστους αριθμούς σε ένα από
την κάθε τετράδα που υπάρχει σε κάθε σειρά. Για παράδειγμα αν
υποδειχθεί η 1η σειρά τότε οι υποψήφιοι άγνωστοι αριθμοί θα είναι
οι {1,2,3,4}. Με τον συγκεκριμένο τρόπο που μαζεύουμε τα χαρτιά και
με τον συγκεκριμένο τρόπο που σχηματίζονται οι σειρές για δεύ τερη
φορά θα έχουμε την παρακάτω διάταξη :
8/4/7/3/6/2/5/1 ,
1 5 2 6
3 7 4 8
Παρατηρείστε ότι όλοι οι αριθμοί βρίσκονται τώρα στη 1 η και 3η
στήλη.
Η υπόδειξη της σειράς για δεύτερη φορά περιορίζει τους υποψήφιους
ως αγνώστους αριθμούς σε δύο.
Ας υποθέσουμε ότι μας υποδεικνύεται η 1η σειρά τότε θα έχουμε τη
διάταξη :
8/6/4/2/7/5/3/1 ,
1 3 5 7
2 4 6 8
Παρατηρείστε ότι οι «υποψήφιοι» αριθμοί βρίσκονται τώρα στην 1η
στήλη, οπότε η υπόδειξη της νέας σειράς αποκαλύπτει τον «άγνωστο»
αριθμό ως τον 1ο της σειρά που υποδείχθηκε.
Υπάρχει και μία δεύτερη εκδοχή του μαγικού με 16 χαρτιά που
τοποθετούνται σε δύο σειρές. Πάλι ο φίλος μας διαλέγ ει έναν αριθμό
και μας λέει σε ποια σειρά βρίσκεται.
Το μάζεμα γίνεται από τα αριστερά προς τα δεξιά, στήλη-στήλη
ξεκινώντας από το χαρτί που δεν βρίσκεται στην σειρά που μας έχει
υποδειχθεί. Πάλι τοποθετούμε τα χαρτιά σε δύο σειρές, ξεκινώντας
από το πρώτο χαρτί που μαζέψαμε.
Πάλι μας υποδεικνύεται μία σειρά και μαζεύουμε τα χαρτιά από
αριστερά προς τα δεξιά, στήλη-στήλη ξεκινώντας από το χαρτί που
βρίσκεται στην σειρά που μας έχει υποδειχθεί. Τοποθετούμε τα
χαρτιά σε δύο σειρές, ξεκινώντας από το πρώτο χαρτί που μαζέψαμε.
Όταν μας υποδειχθεί η σειρά για 3η φορά το «άγνωστο» φύλλο
βρίσκεται στη δεύτερη θέση από το τέλος! (γιατί;)

Abra Μathabra

Recomendados

Recomendados

Mais conteúdo relacionado

Semelhante a Abra Μathabra

Semelhante a Abra Μathabra (20)

Mais de Γιώργος (George) Λαγουδάκος (Lagoudakos)

Mais de Γιώργος (George) Λαγουδάκος (Lagoudakos) (10)

Abra Μathabra