1. ΓΙΩΡΓΟΣ
Μη Ευκλείδειες Γεωμετρίες
ΜΕΛΙΣΣΙΑ 2016
Η ΙΣΤΟΡΙΑ
ΤΗΣ ΑΜΦΙΣΒΗΤΗΣΗΣ
ΤΟΥ 5ΟΥ
ΑΙΤΗΜΑΤΟΣ
ΤΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ
ΤΟΥ ΕΥΚΛΕΙΔΗ
Γ.ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣ

2. ΜΗ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΕΣ
1ΓΙΩΡΓΟΣ ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣ
Εισαγωγή
Στην αλληγορία του σπηλαίου ο
Πλάτωνας περιγράφει ένα κόσμο
όπου οι άνθρωποι ζουν μέσα σε
ένα σπήλαιο με την πλάτη προς
το εσωτερικό του σπηλαίου. Το
φως μπαίνει από το άνοιγμα της
σπηλιάς και όσα συμβαίνουν έξω
από το σπήλαιο προβάλλονται
στο εσωτερικό με σκιές. Οι
άνθρωποι αναρωτιούνται το τί
συμβαίνει στον έξω κόσμο και
δίνουν απαντήσεις που πολύ
απέχουν από την
πραγματικότητα. Κάποια στιγμή ένα ανήσυχο πνεύμα κάνει το μεγάλο βήμα.
Βγαίνει έξω από το σπήλαιο παρατηρεί και καταλαβαίνει. Όταν αποφασίζει να
επιστρέψει μέσα στη σπηλιά και να εξηγήσει στους συμπολίτες του το τι
πραγματικά συμβαίνει αυτοί δεν τον πιστεύουν. Έχουν συνηθίσει σε ό,τι είναι
καθιερωμένο και διστάζουν να αμφισβητήσουν.
Στην ιστορία των επιστημών το ίδιο συμβαίνει. Όταν κάποιος κατορθώνει να βγει
έξω από τα καθιερωμένα, οι υπόλοιποι θα δυσκολευτούν να καταλάβουν τα νέα,
που τους φέρνει. Αλλά αυτή είναι η μοίρα των πρωτοπόρων. Ανοίγουν δρόμους και
ίσως κάποια στιγμή τα όσα νέα και καινούργια φέρνουν θα γίνουν με την σειρά
τους καθιερωμένα και στοιχεία ενός νέου πολιτισμού. Έως ότου και πάλι κάποιος
άλλος βρεθεί και αμφισβητήσει.
Συμμετέχοντας σε αυτό αέναο παιχνίδι της εξέλιξης θα παρακολουθήσουμε μία
όμορφη ιστορία των Μαθηματικών. Την Ιστορία της αμφισβήτησης του 5ου
αιτήματος των “Στοιχείων” του Ευκλείδη. Μπροστά μας θα παρελάσουν
προσωπικότητες όπως :
ο Πρόκλος, ο Πτολεμαίος , ο Hayyam ,ο Tusi, ο Wallis , o Saccheri, o Lambert,
o Legendre, o Gauss, o Bolyai , o Lobachevski , o Riemann, o Beltrami , o Klein ,
o Poincare, o Hilbert, o Einstein, o Minkowski, o Friedman, o Hubble,
μαθηματικοί και φυσικοί που επηρέασαν την ανθρωπότητα με τις σκέψεις και τα
έργα τους.
Καλή ανάγνωση…

3. ΜΗ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΕΣ
2ΓΙΩΡΓΟΣ ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣ
1. Τα «Στοιχεία» του Ευκλείδη.
Κάτι εκπληκτικό συνέβη το 300 π.χ.
Ο «πρύτανης του πανεπιστημίου της Αλεξάνδρειας »
Ευκλείδης ,συγκέντρωσε όλα τα επιτεύγματα της
Ελληνικής μαθηματικής επιστήμης σε δεκατρία
βιβλία και συνέγραψε τα λεγόμενα «Στοιχεία».
Όμως ο τρόπος που έγραψε το βιβλίο αυτό είναι ο
ίδιος με αυτόν που μέχρι σήμερα θεωρείται ως ο
ιδανικός τρόπος συγγραφής οποιουδήποτε
επιστημονικού πονήματος.
Αρχικά, έδινε τους όρους (ορισμούς), μετά το απολύτως
αναγκαίο αριθμό αξιωμάτων (αιτήματα), έπειτα τις λεγόμενες
κοινές έννοιες, αναπόδεικτες ως προφανείς προτάσεις και
ακολούθως προτάσεις που αποδεικνύονται από τα
προηγούμενα , τα λεγόμενα θεωρήματα ,τελειώνοντας κάθε
φορά την αποδεικτική διαδικασία με τις περίφημες εκφράσεις
του :
ὅπερ ἔδει ποιῆσαι, όταν επρόκειτο για κατασκευή, ή
ὅπερ ἔδει δεῖξαι, όταν επρόκειτο για απόδειξη.
Το παρακάτω σχήμα δείχνει τον τρόπο της αποδεικτικής διαδικασίας, που
χρησιμοποιείται στα Στοιχεία του Ευκλείδη. Οι αριθμοί δηλώνουν την αρίθμηση των
προτάσεων από το βιβλίο Ι των Στοιχείων με σκοπό να αποδειχθεί τελικά η 47η
πρόταση, το περίφημο πυθαγόρειο θεώρημα.
(Από το « The Greek Concept of proof» σειρά ΜΑ290 : Topics in the history of Mathematics, του ανοικτού Αγγλικού
Πανεπιστημίου )

4. ΜΗ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΕΣ
3ΓΙΩΡΓΟΣ ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣ
Τα «Στοιχεία» αποτελούνται από δεκατρία επί μέρους βιβλία που καλύπτουν τη
στοιχειώδη επιπεδομετρία, τη θεωρία των αριθμών, τη θεωρία των ασύμμετρων και
τη στερεομετρία.
Αρχίζουν με ένα κατάλογο εικοσιτριών ορισμών,
ακολουθούν πέντε αιτήματα
και εννέα κοινές έννοιες.
Κάθε κεφάλαιο αρχίζει προσθέτοντας νέους ορισμούς σχετικούς με το θέμα του
βιβλίου.
Οι πρώτοι 7 ορισμοί των "Στοιχείων"

5. ΜΗ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΕΣ
4ΓΙΩΡΓΟΣ ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣ
Τα βιβλία I-IV ασχολούνται με γεωμετρικές κατασκευές επίπεδων σχημάτων και
υπάρχει ουσιαστικά μία πρώτη εισαγωγή στην λεγόμενη Αλγεβρική Γεωμετρία,
αφού οι όποιες γεωμετρικές κατασκευές παίζουν και τον ρόλο των αλγεβρικών
πράξεων - ταυτοτήτων.
Το βιβλίο V είναι μία γενική θεωρία των αναλογιών, όπως αυτή
πρωτοπαρουσιάστηκε από τον Εύδοξο (408-355 π.χ.)
Παρατίθενται πλήθος κανόνων λογισμού των αναλογιών και
εισάγεται η έννοια του λόγου ως μία σχέση μεταξύ δύο
μεγεθών.
Το βιβλίο VI εισάγει την έννοια της ομοιότητας δύο σχημάτων.
Εισάγεται η έννοια της σύνθετης αναλογίας. Το 27ο πρόβλημα
του βιβλίου αναφέρεται στο πρώτο πρόβλημα μεγίστου της
ιστορίας των μαθηματικών, της εύρεσης δηλαδή της τιμής του
x, για την οποία η παράσταση x(α-x) γίνεται μέγιστη.
Στα βιβλία VII-IX αναπτύσσεται η θεωρία των ακεραίων
αριθμών, όπου με καθαρά γεωμετρικό τρόπο αντιμετωπίζονται
τα διάφορα προβλήματα – κατασκευές. Υπάρχει επίσης και ο αλγόριθμος εύρεσης
του Μέγιστου Κοινού Διαιρέτη δύο αριθμών.
Στο βιβλίο Χ υπάρχει η απόδειξη της πρότασης « οι πρώτοι αριθμοί είναι
περισσότεροι από οποιονδήποτε αριθμό», καθώς επίσης αναφέρεται ένας κανόνας
κατασκευής τέλειων αριθμών (τέλειοι είναι οι αριθμοί, που το άθροισμα των
διαιρετών τους είναι ίσο με τον ίδιο τον αριθμό, π.χ ο 6 είναι τέλειος, διότι έχει
διαιρέτες τους αριθμούς 1,2,3 και ισχύει 6=1+2+3)
Γίνεται εισαγωγή της έννοιας των ασύμμετρων μεγεθών. Αποδεικνύει την
αρρητότητα – ασυμμετρία διάφορων αριθμών των μορφών α , α β .
Θεωρείται το πιο δύσκολο βιβλίο των «Στοιχείων».
Στα βιβλία X-XIII γίνεται μία συστηματική αναφορά
σε θέματα στερεομετρίας. Χρησιμοποιείται η
μέθοδος της εξάντλησης του Ευδόξου για τον
υπολογισμό εμβαδών και όγκων στερεών.
Η τελευταία απόδειξη του βιβλίου είναι αυτή της
ύπαρξης μόνο 5 κανονικών στερεών, τα οποία
κατασκευάζονται εγγεγραμμένα σε σφαίρα.

6. ΜΗ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΕΣ
5ΓΙΩΡΓΟΣ ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣ
2. Οι σχολιαστές και οι εκδόσεις των «Στοιχείων»
Τα «Στοιχεία» λέγεται ότι έχουν εκδοθεί πάνω από χίλιες φορές.
Το κείμενο όμως που έχουμε σήμερα δεν είναι το ίδιο με αυτό
που συνέγραψε ο Ευκλείδης.
Όλες οι εκδόσεις βασίζονται σε μία επανέκδοση που έκανε ο
Θεωνάς, Έλληνας σχολιαστής που έζησε το 400 μ.χ. περίπου. Οι
πρώτες μεταφράσεις των 13 βιβλίων στα λατινικά έγιναν από τα
αραβικά, αφού οι Άραβες διέσωσαν πλήθος χειρογράφων
μεταφράζοντάς τα στη γλώσσα τους.
Το 1120 ο Άγγλος μελετητής και μεταφραστής Adelhard του Bath
τα μεταφράζει από τα αραβικά στα λατινικά χρησιμοποιώντας
παλαιότερο αραβικό κείμενο. Η επόμενη μετάφραση γίνεται από
τον Cherardo de Cremona (1114-1187), ενώ ο Johannuw
Campanus το 1260 τα μεταφράζει στα Λατινικά, η μετάφραση
αυτή τυπώνεται στην Βενετία το 1482.
Από το ελληνικό κείμενο στα λατινικά πρωτοεκδίδονται τα
Στοιχεία από τον B.Zamperti το 1505 και ακολουθεί παρόμοια
διαδικασία από τον Commandino το 1572.
Στα Ελληνικά τυπώνεται το κείμενο το 1533 από τον S.Crynaeus
στην Βασιλεία της Ελβετίας.
Στον Ελλαδικό χώρο ο Μεθόδιος ο Ανθρακίτης περιλαμβάνει το
πλήρες κείμενο στο έργο του «Οδός της μαθηματικής» που
τυπώνεται στην Βενετία το 1749, μετά παρουσιάζεται η
μετάφραση από τα λατινικά του Ευγένιου Βούλγαρη (1716-
1806), ενώ ο Βενιαμίν ο Λέσβιος εκδίδει στη Βιέννη τα Στοιχεία
το 1824.
Το 1952 ο Ε.Σταμάτης επανεκδίδει τα Στοιχεία και διανέμονται
ως διδακτικό βιβλίο στην δευτεροβάθμια εκπαίδευση. Το 2001
τα Στοιχεία εκδίδονται σε τρεις τόμους από το κέντρο Έρευνας Επιστήμης και
Εκπαίδευσης. Σε ηλεκτρονική μορφή το πλήρες κείμενο θα το βρείτε στην
διεύθυνση http://users.ntua.gr/dimour/euclid/

7. ΜΗ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΕΣ
6ΓΙΩΡΓΟΣ ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣ
3. Το 5ο
αίτημα του Ευκλείδη
Ο Ευκλείδης γράφοντας τα «Στοιχεία» ξεκίνησε τη θεμελίωση της Γεωμετρίας
θέτοντας αρχικά τους όρους μέσα στους οποίους υπάρχει και η πρόταση :
(Παράλληλες είναι οι ευθείες που όσο και να τις προεκτείνεις αυτές δεν τέμνονται ορισμός παραλληλίας)
Μετά θέτει πέντε αιτήματα (αξιώματα) και ακολούθως εννέα κοινές έννοιες ,
δηλαδή προτάσεις που η ισχύ τους είναι γενική και καλύπτουν όλες τις επιστήμες.
Όλα τα αιτήματα είναι λιτά - περιεκτικά και που δεν επιδέχονται αποδείξεως, αλλά
και αμφισβητήσεων, όλα εκτός από το 5ο δηλαδή το :
Ή μεταφράζοντας :
« αν οι ευθείες ε1,ε2 τέμνονται από την ε ώστε
ω+φ<180o ( όπου ω και φ οι σχηματιζόμενες εντός
και επί τα αυτά γωνίες) τότε οι ε1 και ε2 τέμνονται
προς το μέρος των δύο αυτών γωνιών.»
Γιατί είναι τόσο φλύαρο και μπερδεμένο; Του λείπει η σαφήνεια και δεν
κατανοείται εύκολα, όπως τα άλλα τέσσερα αιτήματα και ασφαλώς δεν μπορεί
κανείς να ισχυριστεί ότι είναι αυταπόδεικτο ούτε έχει την άμεση αποδοχή από την
εμπειρία μας, αφού υπεισέρχεται η έννοια του απείρου, που δεν έχει προηγούμενα
ορισθεί.
Το γεγονός ότι το αίτημα αυτό χρησιμοποιείται μόλις στην 29η πρόταση, μοιάζει ότι
ο ίδιος ο Ευκλείδης προσπαθεί να αποδείξει όσο το δυνατό περισσότερες
προτάσεις χωρίς τη χρήση του. Το ερώτημα επιτείνεται από το γεγονός ότι το
αντίστροφο του αξιώματος αποδεικνύεται ως πρόταση (17η πρόταση) χωρίς τη
χρήση του αιτήματος.
Πώς είναι δυνατό να αποδεικνύεται το αντίστροφο μιας πρότασης και όχι η ίδια η
πρόταση;
Όταν όμως θεμελιώνουμε μία επιστήμη με τη βοήθεια κάποιων αρχικών αξιωμάτων
το όλο σύστημα πρέπει να διακρίνεται από πληρότητα, συνέπεια και ανεξαρτησία.

8. ΜΗ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΕΣ
7ΓΙΩΡΓΟΣ ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣ
Δηλαδή
 το σύστημα των αξιωμάτων να είναι πλήρες, που σημαίνει ότι κάθε πρόταση
(που η ίδια δεν είναι αξίωμα) είναι δυνατόν να αποδειχτεί με τη χρήση ενός
μέρους ή όλων των αξιωμάτων, που έχουμε αποδεχτεί.
 το σύστημα των αξιωμάτων πρέπει να είναι συνεπές και απαλλαγμένο
αντιφάσεων, δηλαδή δεν είναι δυνατόν να συνυπάρχει μια κατάφαση με
την άρνησή της.
 οι προτάσεις των αξιωμάτων πρέπει να είναι ανεξάρτητες μεταξύ τους,
δηλαδή δεν πρέπει καμιά πρόταση, που συμπεριλαμβάνεται μέσα σε ένα
σύνολο αξιωμάτων, να μπορεί να αποδειχτεί μέσω των άλλων αξιωμάτων
του συστήματος.
Έχοντας υπόψιν αυτά, οι πρώτες προσπάθειες είχαν στόχο να απαλλάξουν τα
Στοιχεία από τις αμφιβολίες του 5ου αιτήματος. Έτσι, πολλοί μαθηματικοί
προσπάθησαν να αποδείξουν το 5ο αίτημα ως θεώρημα από τα άλλα αιτήματα, ενώ
άλλοι προσπάθησαν να το αντικαταστήσουν με ένα άλλο ισοδύναμό του ίσως
περισσότερο προφανές και λιτό ως προς τη διατύπωσή του.
Όπως θα δούμε ορθά ο Ευκλείδης αξίωσε την ισχύ της πρότασης αυτής αλλά η
διατύπωση δεν είναι μοναδική, είναι σίγουρα εξαιρετική. Στα επόμενα μέρη της
εργασίας θα παρελάσουν προσωπικότητες των Μαθηματικών που προσπάθησαν να
«αποδείξουν» το 5ο αίτημα. Έχουν καταγραφεί περί τις 250 προσπάθειες ! Όμως
όλες γρήγορα αποδείχθηκε ότι στηρίζονταν σε μία σιωπηλή χρήση ισχυρισμών που
ουσιαστικά ισοδυναμούσαν με αυτό. Στα «Αναλυτικά Ύστερα» του Αριστοτέλη
εμφανίζεται ο φιλόσοφος να ασκεί κριτική στις προσπάθειες κάποιων μαθηματικών
να αποδείξουν το Ευκλείδειο αίτημα, υποπίπτοντας στο λογικό σφάλμα της «λήψης
του ζητούμενου».
Μερικά από τα αιτήματα που έχουν προταθεί ή έχουν σιωπηλά εκληφθεί ως
εναλλακτικά του αιτήματος των παραλλήλων στα χρόνια που πέρασαν είναι :
1. Υπάρχει ένα ζεύγος από συνεπίπεδες ευθείες που απέχουν παντού
ίση απόσταση η μία από την άλλη.
2. Από ένα δεδομένο σημείο που δεν βρίσκεται πάνω σε μία
δεδομένη ευθεία μπορούμε να φέρουμε μόνο μία ευθεία
παράλληλη προς τη δεδομένη ευθεία (αίτημα του John Playfair
1748-1819)
3. Υπάρχουν δύο όμοια τρίγωνα, που δεν συμπίπτουν.
4. Αν δύο απέναντι γωνίες τετράπλευρου είναι ίσες και αν οι
παρακείμενες γωνίες σε τρίτη πλευρά είναι ορθές, τότε οι άλλες
δύο γωνίες είναι επίσης ορθές.
John Playfair

9. ΜΗ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΕΣ
8ΓΙΩΡΓΟΣ ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣ
5. Αν σε ένα τετράπλευρο τρεις γωνίες είναι ορθές, τότε η τέταρτη γωνία είναι
επίσης ορθή.
6. Υπάρχει τουλάχιστον ένα τρίγωνο, του οποίου το άθροισμα των τριών
γωνιών του είναι ίσο με δύο ορθές.
7. Από ένα σημείο που βρίσκεται στο εσωτερικό μιας γωνίας μικρότερης των
60ο μπορούμε πάντα να φέρουμε μία ευθεία που τέμνει και τις δύο πλευρές
της γωνίας.
8. Από οποιαδήποτε τρία μη συγγραμμικά σημεία πάντα μπορεί να χαραχτεί
κύκλος.
9. Δεν υπάρχει άνω φράγμα στο εμβαδόν ενός τριγώνου.
( Μεγάλες στιγμές των Μαθηματικών Howard Eves εκδόσεις Τροχαλία – Σελ.93)
Είναι απορίας άξιο γιατί τόσοι μεγάλοι μαθηματικοί ασχολήθηκαν σε μία
περίοδο 2000 χρόνων με το 5ο αίτημα του Ευκλείδη. Ίσως ο λόγος να ήταν ότι η
Ευκλείδεια γεωμετρία υπήρξε σε όλο αυτό το διάστημα ο μοναδικός κλάδος των
Μαθηματικών που στηριζόταν σε μία μορφή λογικής θεμελίωσης. Έτσι για να
είναι σίγουροι ότι οι όποιες «ανακαλύψεις» στηρίζονταν σε γερά θεμέλια
κατέφευγαν στην Γεωμετρία, δίνοντας σε πολλές προτάσεις ακόμα και της
Άλγεβρας και της Ανάλυσης μορφή και απόδειξη Γεωμετρική.
Ο Νεύτωνας για παράδειγμα φρόντισε να δίνει σε όλο το έργο του τη μορφή της
κλασικής Γεωμετρίας που ήταν κατανοητή στους σύγχρονούς του μαθηματικούς
και Φυσικούς.
Όλα αυτά τα χρόνια είχε καλλιεργηθεί μία καθαρά ιδεαλιστική αντίληψη ότι οι
αρχές της Γεωμετρίας είναι απόλυτες αλήθειες, ανεξάρτητες από οποιαδήποτε
εμπειρία ή πείραμα. Κλασικό παράδειγμα οι αντιλήψεις του I.Kant (1724-1804)
που διατύπωνε την άποψη ότι ο τρόπος με τον οποίο αντιλαμβανόμαστε τον
κόσμο γύρω μας είναι προκαθορισμένος από τη φύση του ανθρώπου και
σύμφωνος με τον Ευκλείδειο μοντέλο του τρισδιάστατου χώρου.
Από την στιγμή, που γεννήθηκε η σπίθα της αμφισβήτησης, γεννήθηκαν οι
συνθήκες για να αντιληφθούμε και να ερμηνεύσουμε τον κόσμο γύρω μας με
τρόπους τελείως διαφορετικούς από όσους είχαν τόσους αιώνες γίνει συνήθεια.

10. ΜΗ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΕΣ
9ΓΙΩΡΓΟΣ ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣ
Κλασικός ο χαρακτηρισμός του μεγάλου μαθηματικού J. d’ Alembert που
αποκάλεσε το 1759 το πρόβλημα του 5ου αιτήματος ως το σκάνδαλο των
στοιχειών της Γεωμετρίας.
Ας ξεκινήσει λοιπόν να ξετυλίγεται το κουβάρι της Ιστορίας και ας
παρακολουθήσουμε προσπάθειες 22 αιώνων από το 300 π.χ. μέχρι τις αρχές του
20ου αιώνα…
4. Από τον Ευκλείδη ως τον Hilbert
Πρώτη περίοδος : Ελληνικά και Αραβικά Μαθηματικά
Ο Ποσειδώνιος από τη Ρόδο (135π.χ. – 51 π.χ.) έχοντας υπόψιν
του την ύπαρξη των ασύμπτωτων γραμμών στην υπερβολή και
στην κογχοειδή πίστευε ότι ο ορισμός των παραλλήλων κατά
Ευκλείδη δεν ήταν πλήρης. Έτσι όρισε ως παράλληλες τις
ευθείες που ισαπέχουν.
Ο Κλαύδιος Πτολεμαίος Έλληνας φυσικός
φιλόσοφος έζησε στην Αλεξάνδρεια το 90 - 168 μ.Χ. Το
σπουδαιότερο έργο του, Η Μεγίστη (ή Μαθηματική
Σύνταξις), σώθηκε στα αραβικά ως Αλμαγέστη. Νόμιζε ότι
είχε αποδείξει το 5ο αίτημα αλλά ασυνείδητα είχε δεχθεί ότι
από ένα σημείο εκτός ευθείας μόνο μία παράλληλη
μπορούμε να φέρουμε προς αυτήν.
Ο Πρόκλος ο Λύκιος, 412-485 μ.Χ. φιλόσοφος, ένας από
τους τελευταίους κλασικούς, πρότεινε ένα από τα πιο
ανεπτυγμένα συστήματα του νεοπλατωνισμού και
επηρέασε σημαντικά την μετέπειτα δυτική φιλοσοφία
καθώς και την ισλαμική σχολή σκέψης. Από το 450 μέχρι
τον θάνατό του διηύθυνε την Ακαδημία Πλάτωνος.
Το κύριο μαθηματικό έργο του Πρόκλου είναι τα "Σχόλια
στο I. Βιβλίο των Στοιχείων του Ευκλείδη". Εκεί, πέραν
των εκτεταμένων σχολίων (700 σελίδες περίπου),
παραθέτει στην εισαγωγή ένα ιστορικό σημείωμα των αρχαίων Ελληνικών
μαθηματικών. Από το έργο αυτό γνωρίζουμε για τις προσπάθειες του
Ποσειδώνιου και του Πτολεμαίου που προαναφέραμε.
100 π.χ.
200
μ.Χ.
400
μ.Χ.

11. ΜΗ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΕΣ
10ΓΙΩΡΓΟΣ ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣ
Η σκυτάλη των προσπαθειών περνά από τον 9 μ.Χ. αιώνα στους Άραβες και Πέρσες
Μαθηματικούς. Η προσπάθεια τους επικεντρώθηκε στο να αποδείξουν το 5ο αίτημα
με τη βοήθεια άλλων υποθέσεων που θεωρούσαν πιο προφανή.
Ο Ghiyāth ad-Dīn Abu'l-Fatḥ ʿUmar ibn Ibrāhīm al-Khayyām
Nīshāpūrī, γνωστός ως Ομάρ Καγιάμ (1040-1124) Πέρσης
πολυμαθής, φιλόσοφος, μαθηματικός, αστρονόμος και
ποιητής. Στο έργο του «Σχόλια για τα προβληματικά
αιτήματα του βιβλίου του Ευκλείδη» προτείνει την
αντικατάσταση του 5ου αιτήματος με άλλο και με βάση το νέο
αίτημα αποδεικνύει ότι δύο κάθετες ευθείες σε μία τρίτη είναι
ισαπέχουσες άρα παράλληλες. Μετά για να καταλήξει στο 5ο
αίτημα κατασκευάζει δις ορθογώνιο τετράπλευρο και με την
βοήθεια της εις άτοπον επαγωγής καταλήγει στο συμπέρασμα ότι και οι άλλες δύο
γωνίες του τετράπλευρου πρέπει να είναι ορθές. Οι ιδέες του Καγιάμ, θα τις
συναντήσουμε αργότερα, αποτελούν τον προπομπό της θεμελίωσης των μη
Ευκλείδειων Γεωμετριών.
Ο Khawaja Muhammad ibn Muhammad ibn Hasan
Tousi, γνωστός ως Nasir al- Ντιν Τουσί (1201 - 1274) ήταν
Πέρσης μαθηματικός
Επιχειρεί να προσεγγίσει το πρόβλημα των παραλλήλων στο
έργο του « Πραγματεία η οποία εξαφανίζει τις αμφιβολίες
σχετικές με τις παράλληλες ευθείες» προσεγγίζει το
πρόβλημα εισάγοντας ένα νέο αίτημα στη θέση του 5ου.
Θεωρεί ότι, αν η GH είναι κάθετη στην CD και
«λοξή» ως προς την ΑΒ, τότε οι κάθετες που
φέρνουμε προς την CD από τα Α και Β είναι
μεγαλύτερες από το GH στην πλευρά, όπου η GH
σχηματίζει αμβλεία γωνία με την ΑΒ και
μικρότερες στην άλλη πλευρά. Με την βοήθεια
του αιτήματος αυτού καταλήγει στο ότι το
άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου είναι 180ο
Το έργο των Αράβων και Περσών μαθηματικών καθώς και μεταφράσεις του έργου
του Ευκλείδη φθάνουν στην Δυτική Ευρώπη κύρια μέσω της γειτνίασης των δύο
πολιτισμών στην Ιβηρική χερσόνησο.
Και η ιστορία συνεχίζεται …
1100
μ.Χ.
1250
μ.Χ.

12. ΜΗ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΕΣ
11ΓΙΩΡΓΟΣ ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣ
Δεύτερη περίοδος : τα Μαθηματικά στη Δυτική Ευρώπη
Οι προσπάθειες για την απόδειξη του 5ου αιτήματος συνεχίζονται στην Δυτική
Ευρώπη. Ενδεικτικά αναφέρουμε τον Πολωνό Vitello (1230-1275) σε μελέτη του
για την Οπτική και το φως, του Levi ben Gesson (1288-1344) στην πραγματεία
του «Σχόλια στις εισαγωγές των βιβλίων του Ευκλείδη» και του Alfonso de
Valladolid (1270-1340) στο έργο του «Ευθειοποίηση καμπυλών» .
Τον 15ο αιώνα ο F. Grisogono (1472-1538) αναφέρει σε έργο του
σχετικά με το 5ο αίτημα «φαντάζομαι έναν τρόπο να σχεδιάσει
κανείς σε μία επιφάνεια δύο μη ισαπέχουσες ευθείες γραμμές οι
οποίες μπορούν να επεκταθούν απεριόριστα και να μη
συναντηθούν». Το έτος 1574 ο C.S.Clavius (1537-1612) δίνει την
δική του «απόδειξη» του 5ου αιτήματος.
Τον 17ο αιώνα εμφανίζεται το έργο «Μικρό έργο για ισαπέχουσες
και μη ισαπέχουσες ευθείες γραμμές» του A. Gataldi (1548-1626). To 1658 στην
Πίζα δημοσιεύονται τα «Στοιχεία» με την επιμέλεια του G.A.Borelli (1608-1679),
ενώ ανάλογη έκδοση έχουμε το 1680 από τον Jordano Vitale (1633-1711).
Σειρά έχει ένας από τους μεγαλύτερους Άγγλους
μαθηματικούς του 17ου αιώνα. Ο John Wallis (1616-1703)
την εποχή που δίδασκε στο Πανεπιστήμιο της Οξφόρδης το
1663 έδωσε την δική του «απόδειξη» , αλλά η προσπάθειά
του εμπεριέχει την ισοδύναμη παραδοχή ότι υπάρχουν
όμοια τρίγωνα που δεν είναι ίσα.
Επόμενη σημαντική προσωπικότητα στην ιστορία μας είναι
ο Giovanni Girolamo Saccheri (1667 –1733),
ιταλός Ιησουίτης ιερέας, φιλόσοφος και μαθηματικός.
Διετέλεσε καθηγητής στο πανεπιστήμιο της Παβίας, όπου
προσπάθησε να εφαρμόσει τη μέθοδο της εις άτοπον
επαγωγής στη μελέτη του αιτήματος των παραλλήλων. Το
αποτέλεσμα των ερευνών του το εξέδωσε λίγο πριν
πεθάνει, το 1733, με τίτλο : «Ο Ευκλείδης
απελευθερωμένος από κάθε ελάττωμα». (Euclides ab
omni naevo vindicatus).
1300
μ.Χ.
1500
μ.Χ.
1600
μ.Χ.
C,S.Clavius
1733
μ.Χ.

13. ΜΗ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΕΣ
12ΓΙΩΡΓΟΣ ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣ
Ας παρακολουθήσουμε αναλυτικότερα την συλλογιστική του Saccheri.
Καταρχήν δέχεται τις πρώτες 28 προτάσεις
των Στοιχείων, οι οποίες δεν απαιτούν το 5ο
αίτημα. Μετά με τη βοήθεια των
θεωρημάτων αυτών μελετά το ισοσκελές
δισορθογώνιο τετράπλευρο ΑΒΓΔ. Από τη
σύγκριση των τριγώνων ΑΓΒ και ΑΒΔ
καταλήγουμε ότι ΑΔ=ΒΓ και μετά από τη
σύγκριση των τριγώνων ΑΓΔ και ΓΔΒ
καταλήγουμε ότι οι γωνίες Γ και Δ είναι ίσες.
Τίποτε όμως δεν μπορεί να προκύψει
σχετικά με το μέγεθος των γωνιών αυτών. Αν δεχθούμε το 5ο
αίτημα προκύπτει ότι οι γωνίες είναι ορθές. Αν όμως θέλουμε να
το αποδείξουμε από τα υπόλοιπα, τότε καταλήγουμε, όπως και ο
Saccheri, μπροστά σε τρεις δυνατότητες. Τις πιθανές αυτές
περιπτώσεις τις ονομάζει υποθέσεις της ορθής, της οξείας και
της αμβλείας γωνίας. Ο σκοπός του ήταν να αποκλείσει τις δύο
τελευταίες υποθέσεις δείχνοντας ότι η παραδοχή τους θα
οδηγούσε σε άτοπο. Καταλήγοντας λοιπόν στο ότι οι γωνίες Γ και
Δ είναι ορθές θα μπορούσε μετά να αποδείξει το 5ο αίτημα.
Έχοντας λοιπόν δεχθεί τις υποθέσεις της οξείας και αμβλείας
γωνίας διατυπώνει μία σειρά από θεωρήματα όπως :
1. Αν μία από τις υποθέσεις είναι αληθής για ένα ισοσκελές δισορθογώνιο
τετράπλευρο, τότε είναι αληθής και για κάθε τέτοιο τετράπλευρο.
2. Αν δεχθούμε την υπόθεση της ορθής γωνίας, της αμβλείας γωνίας ή της οξείας
γωνίας, τότε το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου είναι αντίστοιχα ίσο ,
μεγαλύτερο ή μικρότερο από δύο ορθές.
3. Αν υπάρχει ένα τρίγωνο του οποίου το άθροισμα των γωνιών του είναι ίσο,
μεγαλύτερο ή μικρότερο από δύο ορθές, τότε έπεται ότι η υπόθεση της ορθής
γωνίας, της αμβλείας γωνίας ή της οξείας γωνίας είναι αντίστοιχα αληθής.
4. Δεδομένης μιας ευθείας γραμμής και ενός σημείου εκτός αυτής, αν η υπόθεση
της ορθής , της αμβλείας ή της οξείας γωνίας είναι αληθής, τότε υπάρχει
αντίστοιχα μία ευθεία γραμμή, καμιά ευθεία γραμμή ή μία απειρία από ευθείες
γραμμές, που περνούν από το σημείο και δεν συναντούν τη δεδομένη ευθεία.
5. Ο γεωμετρικός τόπος της κατάληξης μιας κατακόρυφου σταθερού μήκους που
κινείται με το άλλο της άκρο πάνω σε καθορισμένη ευθεία γραμμή είναι μία
ευθεία γραμμή στην περίπτωση της υπόθεσης της ορθής γωνίας, μία καμπύλη
κυρτή προς την καθορισμένη ευθεία στην περίπτωση της υπόθεσης της
αμβλείας γωνίας, και μία καμπύλη κοίλη προς την καθορισμένη ευθεία στην
περίπτωση της υπόθεσης της οξείας γωνίας.
Howard Eves Μεγάλες στιγμές των Μαθηματικών Εκδόσεις Τροχαλία Σελ.97-98

14. ΜΗ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΕΣ
13ΓΙΩΡΓΟΣ ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣ
Με την παραδοχή ότι οι ευθείες γραμμές είναι άπειρες σε μήκος ο Saccheri
κατορθώνει να καταλήξει σε «αντιφάσεις» στην περίπτωση όπου αποδεχόμαστε τις
υποθέσεις της οξείας και αμβλείας γωνίας. Η αποδεικτική διαδικασία όμως που
ακολούθησε δεν είναι πειστική καθώς περιλαμβάνει ασαφείς έννοιες για στοιχεία
στο άπειρο. Είναι δύσκολο να πιστέψει κανείς ότι και ο ίδιος ο Saccheri πείστηκε
πραγματικά με τα ανίσχυρα συμπεράσματά του. Οι προκαταλήψεις της εποχής του
ήταν μάλλον ισχυρότερες από την θέλησή του για την ανακάλυψη της αλήθειας. Το
έργο του γρήγορα ξεχάστηκε και μόνο το 1889 ξανάρχεται στην επιφάνεια από τον
Eugenio Beltrami, αλλά ο κύριος αυτός θα μας απασχολήσει αργότερα…
Όπως γράφει ο T.L.Heath Άγγλος μεταφραστής – μαθηματικών των Στοιχείων
« ο Saccheri … υπήρξε θύμα της προκατάληψης της εποχής του ότι η μόνη δυνατή
Γεωμετρία ήταν η Ευκλείδεια και παρουσιάζει το περίεργο θέαμα ενός ανθρώπου
που αναγείρει ένα οικοδόμημα πάνω σε καινούργια θεμέλια με σπουδή και
εργατικότητα σκοπεύοντας να το γκρεμίσει μετά …»
Μετά από τριάντα περίπου χρόνια από την δημοσίευση του
έργου του Saccheri o Ελβετός μαθηματικός Johann Heinrich
Lambert (1728 -1777) έγραψε μία εργασία με τίτλο Die
Theorie der Parallellinien ( Η θεωρία των παραλλήλων) η
οποία δημοσιεύθηκε 11 χρόνια μετά τον θάνατό του.
Στην εργασία αυτή θεωρεί το
τρισορθογώνιο τετράπλευρο
ως βασικό σχήμα, όπου και
πάλι προκύπτουν με παρόμοιο τρόπο τρεις υποθέσεις
ανάλογα με το μέτρο της τέταρτης γωνίας του.
Δηλαδή αν η γωνία αυτή είναι ορθή, αμβλεία ή οξεία.
Το σημαντικό στην εργασία του είναι οι προτάσεις που απέδειξε με βάση τις τρεις
αυτές υποθέσεις, δηλαδή :
1. Το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου είναι ίσο, μεγαλύτερο ή μικρότερο
από δύο ορθές ανάλογα με ποια από τις τρεις υποθέσεις δεχθούμε.
2. Το πλεόνασμα στην περίπτωση της αμβλείας γωνίας και το έλλειμμα στην
περίπτωση της οξείας γωνίας είναι ανάλογο προς το εμβαδόν του τριγώνου.
Προχωρώντας ένα βήμα πιο πέρα διατυπώνει ανάλογη σχέση και για το
τυχαίο πολύγωνο με ν πλευρές,
δηλαδή : νΕ κ | (ν ) π (Α Α ... Α ) |       1 22
1788
μ.Χ.

15. ΜΗ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΕΣ
14ΓΙΩΡΓΟΣ ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣ
3. Παρατήρησε την ομοιότητα της γεωμετρίας που προκύπτει
από την υπόθεση της αμβλείας γωνίας με τη σφαιρική
γεωμετρία, όπου το εμβαδόν του σφαιρικού τριγώνου είναι
ανάλογο με το σφαιρικό πλεόνασμα. Κατέληξε δηλαδή στον
τύπο : Ε r {(Α Β C) π}    2
Στη συνέχεια διετύπωσε την εικασία ότι η γεωμετρία που προκύπτει από την
υπόθεση της οξείας γωνίας μπορεί ίσως να επαληθεύεται σε μία σφαίρα
φανταστικής ακτίνας, καταλήγοντας σε ένα παρόμοιο τύπο με ακτίνα ir
δηλαδή : Ε (i r) {(Α Β C) π} r {π (Α Β C)}          2 2
Γνωρίζοντας ότι στη γεωμετρία οι γωνίες έχουν φυσική μονάδα μέτρησης την
ορθή ή το ακτίνιο, ενώ τα μήκη όχι αφού η μονάδα μέτρησης μήκους είναι
αυθαίρετη και θα μπορούσε να είναι οποιαδήποτε (το γεγονός αυτό οι
μαθηματικοί το διατύπωναν με την πρόταση ότι στην Ευκλείδεια γεωμετρία τα
μήκη είναι σχετικά, αλλά οι γωνίες απόλυτες). Ανακάλυψε ότι :
4. Με τις υποθέσεις της αμβλείας και οξείας γωνίας οι γωνίες αλλά και τα μήκη
παραμένουν απόλυτα. Δηλαδή στις γεωμετρίες αυτές για κάθε γωνία
υπάρχει και ένα ευθύγραμμο τμήμα έτσι ώστε σε μία φυσική μονάδα
μέτρησης γωνιών να αντιστοιχεί μία φυσική μονάδα μέτρησης μηκών.
Παρά τα όποια αξιοθαύμαστα συμπεράσματα στα οποία κατέληξε δεν μπόρεσε
να απορρίψει τις υποθέσεις της αμβλείας και οξείας γωνίας με τρόπο πειστικό
ακόμα και για το ίδιο. Για το λόγο αυτό δεν δημοσίευσε ποτέ τα συμπεράσματά
του. Πιθανόν να διακρίνεται μία πικρία στα ίδια του τα λόγια, όταν έλεγε :
« Οι αποδείξεις του αξιώματος του Ευκλείδη μπορούν να φθάσουν ως ένα
σημείο στο οποίο απομένει η απόδειξη κάποιας ασήμαντης πρότασης. Μία
προσεκτική ανάλυση όμως δείχνει ότι σε αυτή την ασήμαντη πρόταση
βρίσκεται η ουσία του θέματος, η οποία συνήθως περιλαμβάνει είτε την
πρόταση προς απόδειξη είτε ένα ισοδύναμο αξίωμα»
Η επόμενη ξεχωριστή προσπάθεια για να αποδειχθεί το
αίτημα των παραλλήλων του Ευκλείδη με την εις άτοπον
επαγωγή έγινε με μακρόχρονη προσπάθεια από τον Γάλλο
Μαθηματικό Adrien-Marie Legendre (1752 - 1833).
Κατέληξε και αυτός στις τρείς υποθέσεις και προσπάθησε
να απορρίψει τις δύο ενοχλητικές υποθέσεις. Δυστυχώς σε
όλες τις προσπάθειές του έπαιρνε, ως δεδομένη, πρόταση
που τελικά είναι ισοδύναμη με το αίτημα των παραλλήλων που ήθελε να
αποδείξει.
1830
μ.Χ.

16. ΜΗ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΕΣ
15ΓΙΩΡΓΟΣ ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣ
Η συνεχής προσπάθεια του για την απόδειξη του 5ου αιτήματος
εμφανίστηκε σε διαδοχικές εκδόσεις του έργου του ” Elements
de geometrie” ( Στοιχεία γεωμετρίας) που πρωτοεκδόθηκε το
1794 και έφθασε στην δωδέκατη έκδοση του 1823. Το
σύγγραμμα αυτό αποτελεί μία παιδαγωγική βελτίωση των
Στοιχείων του Ευκλείδη, καθώς περιέχει μία σημαντική
ανακατάταξη και απλοποίηση των προτάσεων και θεωρημάτων.
Το βιβλίο αυτό καθιερώθηκε ως πρότυπο στοιχειώδους
εγχειριδίου γεωμετρίας παγκοσμίως.
Όλες οι προσπάθειες που παρουσιάστηκαν μέχρι τώρα στις δύο πρώτες
περιόδους της ενασχόλησης των μαθηματικών με το αίτημα των παραλλήλων
συνέτειναν στο να γίνει αποδεκτή η πιθανότητα ότι το 5ο αίτημα δεν μπορεί να
εξαχθεί ως θεώρημα από τις άλλες υποθέσεις της ευκλείδειας γεωμετρίας, αλλά
είναι ανεξάρτητο από αυτές.
«Το ανθρώπινο μυαλό για χιλιάδες χρόνια είχε περιχαρακωθεί στην
προκατάληψη της παράδοσης, στη σταθερή πίστη πως η Ευκλείδεια γεωμετρία
ήταν σίγουρα η μόνη αυθεντική και πως κάθε αντίθετο γεωμετρικό σύστημα δεν
μπορούσε να είναι συνεπές.» Howard Eves
Όμως …
« Οι μαθηματικές ανακαλύψεις
είναι σαν τις βιολέτες της άνοιξης στο δάσος.
Αυτές έχουν την εποχή τους
την οποία κανένας άνθρωπος
δεν μπορεί να καθυστερήσει ή να βιάσει »
Farkas Wolfrang Bolyai
Με τα λόγια αυτά του φίλου και συναδέλφου του «πρίγκιπα των μαθηματικών»
Karl Freidrich Gauss και πατέρα του Janos Bolyai που θα μας απασχολήσει αργότερα
προχωράμε στην …
Τρίτη περίοδο : « η ανεξαρτησία του αιτήματος των παραλλήλων»

17. ΜΗ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΕΣ
16ΓΙΩΡΓΟΣ ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣ
Ο Γιόχαν Καρλ Φρίντριχ Γκάους (Johann Carl Friedrich
Gauss),1777 – 1855 ήταν Γερμανός μαθηματικός που
εργάστηκε σε πολλά ερευνητικά πεδία, όπως θεωρία
αριθμών, στατιστική, μαθηματική ανάλυση, διαφορική
γεωμετρία, αλλά και γεωδαισία, αστρονομία και φυσική.
Ονομάζεται «πρίγκηπας των μαθηματικών» και θεωρείται
από τους «μεγαλύτερους μαθηματικούς μαζί με τον
Αρχιμήδη και τον Νεύτωνα ».
Το 1818 ο Gauss, έκανε μια γεωδαιτική
χαρτογράφηση του κρατιδίου του Ανόβερου.
Η καθιερωμένη διαδικασία που
χρησιμοποιείται λέγεται τριγωνισμός και
συνίσταται στην επιλογή ενός πλήθους
σημείων, όπου μετριούνται οι μεταξύ τους
αποστάσεις. Με τον τρόπο αυτό όλη η
περιοχή αποτυπώνεται από ένα δίκτυο
τριγώνων. Ο τρόπος με τον οποίο τα τρίγωνα
αυτά συναρμόζονται στο χαρτί για τη
δημιουργία της τελικής χαρτογράφησης
εξαρτάται από το σχήμα της γης. Αν η γη ήταν
επίπεδη, θα ίσχυαν οι σχέσεις της Ευκλείδειας
γεωμετρίας. Αν η γη ήταν σφαιρική, θα
μπορούσε κανείς να χρησιμοποιήσει τη
σφαιρική γεωμετρία και τριγωνομετρία,
κλάδο των μαθηματικών που είχε αναπτυχθεί
από την αρχαιότητα. Στην πραγματικότητα το
σχήμα της γης είναι ελλειψοειδές εξογκωμένο
στον ισημερινό και πεπλατυσμένο στους
πόλους. Η μαθηματική συμβολή του Gauss στο πρόβλημα της χαρτογράφησης ήταν
η τελειοποίηση των μαθηματικών εργαλείων με σκοπό να απαντήσει στο ερώτημα :
πως μπορεί κάποιος να διαπιστώσει τη μορφή μιας επιφάνειας με μετρήσεις
πάνω σε αυτήν.
Οι 3 εικόνες που εμφανίζονται παρακάτω αποτελούν υλικό από τις διαφάνειες της ομιλίας του Ζαφείρη Επαμεινώνδα με
τίτλο « Ευκλείδειες νοοτροπίες σε ένα όχι και τόσο ευκλείδειο περιβάλλον» που έγινε στο πλαίσιο των διαλέξεων της
ομάδας Θαλής και Φίλοι. Οι έννοιες, όπως αναπτύσσονται, περιέχονται στις σελίδες 66-68 από το υπέροχο βιβλίο του Robert
Osserman Η ποίηση του Σύμπαντος, εκδόσεις Κάτοπτρο.
1830
μ.Χ.

18. ΜΗ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΕΣ
17ΓΙΩΡΓΟΣ ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣ
Φανταστείτε να φυτεύουμε ξεκινώντας
από τον ισημερινό και προχωρώντας
Βόρεια (κατά μήκος των μεσημβρινών)
σε σταθερές οριζόντιες και
κατακόρυφες αποστάσεις δένδρα,
ώστε να φτιάξουμε ένα δενδρώνα,
όπως αυτός που εμφανίζεται δίπλα.
Αν η γη ήταν επίπεδη, ο δενδρώνας θα
επεκτείνετο απεριόριστα χωρίς να
αλλάζουν οι μεταξύ των δένδρων
αποστάσεις. Όμως όσο προχωράμε
βόρεια θα παρατηρήσουμε ότι
μικραίνουν οι κατακόρυφες αποστάσεις
λόγω της σύγκλισης των μεσημβρινών
πάνω στους οποίους φυτεύουμε τα
δένδρα.
Ο Gauss ανακάλυψε τύπους, που μπορούν να χρησιμοποιηθούν σε κάθε επιφάνεια,
ανεξάρτητα αν πρόκειται για επίπεδο, για σφαίρα, για ελλειψοειδές ή επιφάνεια
οποιασδήποτε μορφής. Τύπους που συσχετίζουν τις αποστάσεις ( των δένδρων) με
μία ποσότητα που σήμερα την ονομάζουμε καμπυλότητα Gauss. Απέδειξε ότι η
καμπυλότητα της γήινης επιφάνειας σε κάθε σημείο είναι ένας θετικός αριθμός .
Ενώ η καμπυλότητα της σφαίρας είναι σε κάθε σημείο ο
ίδιος θετικός αριθμός.
Αν εφαρμόζαμε το ίδιο πείραμα σε μία επιφάνεια σαν της
κλεψύδρας, θα παρατηρούσαμε ότι οι αποστάσεις σε
αντίθεση με την σφαίρα μεγαλώνουν και μάλιστα ολοένα
και περισσότερο όσο κινούμαστε Βόρεια. Η καμπυλότητα
μιας τέτοιας επιφάνειας είναι ένας σταθερός αρνητικός
αριθμός.
Αν όμως εφαρμόσουμε το ίδιο πείραμα σε ένα κύλινδρο θα
παρατηρήσουμε ότι καμιά αλλαγή δεν συμβαίνει στις μεταξύ
των δένδρων αποστάσεις. Αυτό συμβαίνει, διότι ένας
κύλινδρος μπορεί να ξετυλιχθεί και να μετατραπεί τελικά σε
μία επίπεδη επιφάνεια. Η καμπυλότητα της κυλινδρικής
επιφάνειας είναι μηδέν.

19. ΜΗ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΕΣ
18ΓΙΩΡΓΟΣ ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣ
Ο Gauss αποφάσισε να ασχοληθεί με την καμπυλότητα επιφανειών που έχουν
εφαπτόμενο επίπεδο σε κάθε σημείο τους (επιφάνειες με συνεχή καμπυλότητα).
Επινόησε μία απεικόνιση n: S Σ (κανονική απεικόνιση Gauss) μεταξύ των
σημείων της επιφάνειας S και των σημείων της μοναδιαίας σφαίρας Σ.
Για να ορίσει την καμπυλότητα της S σε ένα σημείο της p θεωρούσε μία μικρή
περιοχή της S γύρω από το p εμβαδού Α και το εμβαδόν της αντίστοιχης μικρής
περιοχής της Σ γύρω από το σημείο της n(p) εμβαδού n(A).
Ως καμπυλότητα της S στο σημείο p (συμβόλιζε k) όριζε το όριο
A p
n(A)
k lim
A
 
Με τον ορισμό αυτόν μπορούμε να καταλήξουμε ότι η καμπυλότητα μιας σφαίρας
ακτίνας r είναι ίση με
r2
1
, η καμπυλότητα του επιπέδου όπως και η καμπυλότητα
του κυλίνδρου είναι ίση με 0.
Προχωρώντας τις ανακαλύψεις του μπόρεσε :
1. να υπολογίσει την καμπυλότητα μιας επιφάνειας από την εξίσωσή της.
2. να αποδείξει το θεώρημα “theorem egregium “ με βάση το οποίο η
καμπυλότητα μιας επιφάνειας παραμένει αναλλοίωτη, αν η επιφάνεια
μετασχηματιστεί σε άλλη, στην οποία διατηρούνται οι αποστάσεις των
σημείων ως έχουν ( επιφάνεια με την ίδια μετρική, έννοια που θα
συναντήσουμε παρακάτω) . Έτσι, εξηγείται και το γεγονός ότι ο κύλινδρος
και το επίπεδο έχουν την ίδια καμπυλότητα.
3. να αποδείξει τη σχέση
o
o
s kdA
π
   
180
180 , η οποία συνδέει το
άθροισμα των γωνιών S ενός γεωδαισιακού τριγώνου (τρίγωνο που οι
πλευρές του είναι μέγιστοι κύκλοι, δηλαδή διάμετροι της σφαίρας) εμβαδού
Α σε σφαίρα ακτίνας r με καμπυλότητα k.
Συνεχίζοντας έχουμε διαδοχικά
o o
o o o
o
A A
s dA s s ( )
π r π r π r
k A
s ( )
π
           


  
 2 2 2
180 1 180
180 180 180 1
180 1
Οπότε : αν η επιφάνεια στην οποία έχουμε σχεδιάσει το τρίγωνο έχει θετική
καμπυλότητα, τότε το άθροισμα των γωνιών του τριγώνου είναι μεγαλύτερο
των 180ο.
Αν η επιφάνεια στην οποία έχουμε σχεδιάσει το τρίγωνο έχει αρνητική
καμπυλότητα, τότε το άθροισμα των γωνιών του τριγώνου είναι μικρότερο
των 180ο.
Αν η επιφάνεια στην οποία έχουμε σχεδιάσει το τρίγωνο έχει μηδενική
καμπυλότητα, τότε το άθροισμα των γωνιών του τριγώνου είναι ίσο με 180ο.

20. ΜΗ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΕΣ
19ΓΙΩΡΓΟΣ ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣ
4. από τον τελευταίο τύπο έχουμε ότι o
s
Α π r ( )   2
1
180
, που σημαίνει ότι
το άθροισμα των γωνιών κάθε τριγώνου διαφέρει από τις 180ο και η
διαφορά αυτή είναι ανάλογη προς το εμβαδόν του τριγώνου.
5. να δώσει έναν ισοδύναμο ορισμό της καμπυλότητας k σε ένα σημείο p
κάποιας επιφάνειας με τον τύπο :
r
πr L(r)
k lim
π r

  20
3 2
, όπου L(r) το μήκος
του κύκλου ακτίνας r, που είναι σχεδιασμένος στην επιφάνεια με κέντρο το
σημείο p.
οπότε :
αν η επιφάνεια έχει θετική καμπυλότητα, θα ισχύει πr L(r) L(r) πr   2 0 2
αν η επιφάνεια έχει αρνητική καμπυλότητα, θα ισχύει πr L(r) L(r) πr   2 0 2
αν η επιφάνεια έχει μηδενική καμπυλότητα, θα ισχύει πr L(r) L(r) πr   2 0 2
Με όλα τα παραπάνω γίνεται φανερό ότι ο Gauss είχε προσεγγίσει το πρόβλημα του
αιτήματος των παραλλήλων με έναν τελείως διαφορετικό και πρωτότυπο τρόπο.
Είχε κατανοήσει ότι η γεωμετρία της φύσης μπορεί να είναι διαφορετική από την
Ευκλείδεια. Σε νεαρή ηλικία επιχείρησε και αυτός να αποδείξει το Ευκλείδειο
αίτημα, αλλά γρήγορα κατάλαβε ότι μία τέτοια απόδειξη είναι αδύνατο να γίνει
μόνο με τα υπόλοιπα αξιώματα. Έφθασε στο συμπέρασμα ότι η άρνηση του 5ου
αιτήματος μπορεί να οδηγήσει σε μία λογικά συνεπή θεωρία. Αποσύνδεσε το
αισθητό από το λογικό και μάλλον ήταν ο πρώτος που ονόμασε τη θεωρία αυτή μη
Ευκλείδεια γεωμετρία.
Ανέπτυξε την ιδέα της εσωτερικής γεωμετρίας μιας
επιφάνειας, σύμφωνα με την οποία κάθε επιφάνεια του
τρισδιάστατου χώρου αποτελεί η ίδια ένα χώρο με τη δική της
γεωμετρία. Για παράδειγμα η συντομότερη απόσταση
ανάμεσα σε δύο σημεία Α,Β στο επίπεδο είναι το ευθύγραμμο
τμήμα ΑΒ, ενώ στην επιφάνεια της σφαίρας ένα τόξο του
μέγιστου κύκλου ( γεωδαισιακή) που διέρχεται από αυτά.

21. ΜΗ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΕΣ
20ΓΙΩΡΓΟΣ ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣ
Η έννοια της καμπυλότητας που πρώτος αυτός συνέλαβε, είναι μία εσωτερική
αναλλοίωτη της επιφάνειας, μπορεί δηλαδή να καθοριστεί από μετρήσεις πάνω
στην ίδια την επιφάνεια, χωρίς αναφορά στον τρισδιάστατο χώρο, στον οποίο είναι
εμβαπτισμένη.
Επειδή όμως, εκτός από θεωρητικός
μαθηματικός, ασχολήθηκε και με τις
εφαρμοσμένες επιστήμες, όπως η τοπογραφία,
η γεωδαισία, αλλά και με την κατασκευή
χαρτών, δεν στάθηκε μόνο στη θεωρητική
δυνατότητα της νέας γεωμετρίας αλλά
επιχείρησε να ελέγξει πειραματικά τις
εφαρμογές της. Αναφέρεται στη βιβλιογραφία
ότι μέτρησε τις γωνίες ενός τεράστιου τριγώνου
με κορυφές τριών γερμανικών βουνών και
διαπίστωσε ότι το άθροισμα των γωνιών του
ξεπερνούσε τις 180ο. Επειδή όμως η απόκλιση
θα μπορούσε να είναι και αποτέλεσμα
σφάλματος στις μετρήσεις κατέληξε να πει :
« πείθομαι ολοένα και περισσότερο ότι η
φυσική αναγκαιότητα της γεωμετρίας είναι
αδύνατο να αποδειχθεί…, ίσως σε μία άλλη
ζωή θα μπορέσουμε να εισχωρήσουμε στο
νόημα της φύσης του χώρου, κάτι που για την
ώρα είναι απραγματοποίητο …»
Οι έρευνες του Γερμανού καθηγητή Ferdinand Karl
Schweikart (1780 - 1857) χρονολογούνται την ίδια περίοδο
με αυτές του Gauss, αλλά αναπτύχθηκαν ανεξάρτητα από
αυτές. Δεν τις δημοσίευσε ποτέ του, αλλά ζήτησε από τον
διάσημο συνάδελφό του την γνώμη του.
Επισημαίνει χαρακτηριστικά ότι :
« … υπάρχει μία άλλου είδους γεωμετρία – η αστρική γεωμετρία, στην οποία
μπορούμε να αποδείξουμε ότι :
1. το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου είναι μικρότερο των 180ο
2. το άθροισμα αυτό μικραίνει όσο μεγαλώνει το εμβαδόν του τριγώνου
1830
μ.Χ.

22. ΜΗ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΕΣ
21ΓΙΩΡΓΟΣ ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣ
3. το ύψος ενός ισοσκελούς ορθογώνιου τριγώνου
μεγαλώνει καθώς αυξάνονται οι πλευρές του, αλλά δεν
μπορεί να γίνει μεγαλύτερο από ένα συγκεκριμένο μήκος
, το οποίο ονομάζω Σταθερά.
Ο Gauss ανταπαντώντας αναφέρει :
« το σημείωμα του καθηγητή Schweikart μου έδωσε
μεγάλη χαρά … σχεδόν όλο το κείμενο είναι
αντιγραφή από την ψυχή μου »
Ο Schweikart πείθει τον ανιψιό του Franz Adolf Taurinus (1794-
1874) να ασχοληθεί με την αστρική γεωμετρία. Αυτός το 1826
δημοσιεύει το Geometriae Prima Elimenta, στο οποίο
αναπτύσσει ένα σύστημα αναλυτικής γεωμετρίας πάνω στην
υπόθεση της οξείας γωνίας. Δουλεύοντας πάνω στους τύπους της λογαριθμικής
σφαιρικής γεωμετρίας και αντικαθιστώντας την πραγματική ακτίνα με τη
φανταστική επιβεβαίωσε τον Lambert καταγράφοντας αναλυτικά τις σχέσεις που
συνδέουν τα στοιχεία ενός τριγώνου, που βρίσκεται σε μία σφαίρα φανταστικής
ακτίνας.
Η επόμενη μαθηματική προσωπικότητα που εργάστηκε πάνω στη θεωρία των
παραλλήλων είναι ο Ούγγρος μαθηματικός Janos Bolyai. Ήταν τόσο μεγάλο το
πάθος του για όσα ανακάλυπτε ώστε έχει μείνει χαρακτηριστική η ανακοίνωση στον
πατέρα του Farkas Bolyai .
« Από το τίποτα έχω δημιουργήσει ένα παράξενο νέο σύμπαν »
Ο János Bolyai (1802 – 1860) το 1823 αποφοιτά από τη
Βασιλική Ακαδημία της Βιέννης και από το 1833 αρχίζει
την καριέρα του ως δημιουργικός μαθηματικός.
Έχοντας διδαχθεί από τον πατέρα του Farkas Bolyai
από πολύ νωρίς τα Στοιχεία του Ευκλείδη, το μικρόβιο
του αιτήματος των παραλλήλων τον οδηγεί στο να
ασχοληθεί επιμελώς με το όλο θέμα.
Είναι χαρακτηριστική η στιχομυθία ανάμεσα σε πατέρα
και γιό για την απόφαση του Janos να ασχοληθεί και τελικά να δημοσιεύσει τα
συμπεράσματα της ενασχόλησης του με το 5ο αίτημα.
1830
μ.Χ.

23. ΜΗ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΕΣ
22ΓΙΩΡΓΟΣ ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣ
« …δεν πρέπει να επιχειρήσεις αυτή την απόδειξη
για τις παραλλήλους. Ξέρω καλά αυτόν τον δρόμο
μέχρι τέλους. Τον έχω περάσει μέσα σε ατελείωτες
νύχτες, που εξολόθρευσαν κάθε φως και χαρά στη
ζωή μου. Σε ικετεύω άφησε ήσυχη αυτή την
επιστήμη των παραλλήλων. Νόμιζα ότι θα θυσίαζα
τον εαυτό μου για χάρη της αλήθειας. Ήμουνα
έτοιμος να γίνω ένας μάρτυρας, που θα εξάλειφε
το ψεγάδι από τη γεωμετρία για να την επιστρέψω
καθάρια στους ανθρώπους. Δούλεψα φοβερά,
απάνθρωπα. Ήθελα να μάθω για τις παραλλήλους,
όμως δεν έχω μάθει τίποτε και αυτό μου πήρε όλα
τα λουλούδια από τη ζωή μου και όλο τον χρόνο
μου από μένα …»
« …είμαι αποφασισμένος να δημοσιεύσω την
εργασία μου μόλις τη βάλω σε τάξη και την
συμπληρώσω. Ο δρόμος που ακολουθώ είναι
σχεδόν σίγουρα πως θα με οδηγήσει στον στόχο
μου, αρκεί να είναι αυτός πραγματοποιήσιμος.
Βρήκα τόσο υπέροχα πράγματα που έχω μείνει
κατάπληκτος. Θα ήταν κρίμα, αν αυτά τα
πράγματα χαθούν … Το μόνο που μπορώ να πω
είναι πως από το τίποτε έφτιαξα έναν καινούργιο
και διαφορετικό κόσμο.»
« Αν έχεις πετύχει κάτι καλό θα ήταν
επιβεβλημένο να μη καθυστερήσεις… Για πολλά
πράγματα υπάρχει μια εποχή, όπου ευδοκιμούν
ταυτόχρονα σε πολλά μέρη. Πρέπει να
προχωράμε, όταν είμαστε σε θέση μιας και ο
πρώτος έχει πάντοτε σημαντικό πλεονέκτημα »

24. ΜΗ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΕΣ
23ΓΙΩΡΓΟΣ ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣ
Τελικά το 1832 το έργο του Janos συμπεριλαμβάνεται ως
εικοσιεξασέλιδο παράρτημα στον πρώτο τόμο του έργου
του πατέρα του Tentamen.
Ο τίτλος της εργασίας ήταν
« Συμπλήρωμα που περιέχει την απολύτως αληθή
επιστήμη του χώρου, ανεξάρτητη από την αλήθεια ή το
ψεύδος του Αξιώματος XI του Ευκλείδη, το οποίο δεν
μπορεί να αποφασιστεί a priori»
Την εργασία αυτή ο πατέρας την στέλνει στον φίλο του
Gauss, ο οποίος του απαντά :
« αν ξεκινούσα λέγοντας ότι δεν μπορώ να
επαινέσω αυτή την εργασία, θα μένατε,
φυσικά, εμβρόντητος για λίγο. Αλλά δεν
μπορώ να κάνω διαφορετικά. Επαινώντας
την θα ήταν σαν να επαινούσα τον εαυτό
μου. Πράγματι το πλήρες περιεχόμενο της
εργασίας, το μονοπάτι που ακολούθησε ο
γιος σας, τα αποτελέσματα στα οποία τον
οδήγησε, συμπίπτουν σχεδόν απόλυτα με τις
σκέψεις που διακατείχαν εν μέρει το νου μου
τα τελευταία τριάντα χρόνια …»
Η απάντηση δεν ήταν σίγουρα αυτήν, που θα περίμεναν πατέρας και γιος…
Το έργο του Janos ήταν γραμμένο σε συνοπτικό ύφος, αλλά υπάρχουν πολλά και
σημαντικά αποτελέσματα, που εν συντομία ήταν τα παρακάτω :
1. Ορίζει την έννοια της παραλληλίας με τρόπο που είναι
ανεξάρτητος από το 5ο αίτημα.
Συγκεκριμένα : « αν η ακτίνα ΑΜ δεν τέμνεται από την
ακτίνα ΒΝ, που βρίσκεται στο ίδιο επίπεδο, αλλά τέμνεται
από κάθε ακτίνα ΝΡ, που περιέχεται στη γωνία ΑΒΝ, τότε
θα ονομάζουμε την ακτίνα ΒΝ παράλληλη προς την ΑΜ και
θα συμβολίζουμε ΒΝ//ΑΜ»
2. Στη γεωμετρία όπου το ευκλείδειο αίτημα είναι αληθές το
ονομάζει Σ, ενώ σύστημα S ονομάζει εκείνο, όπου το
ευκλείδειο αίτημα δεν αληθεύει.
Ό,τι ισχύει και στα δύο συστήματα ο Bolyai το ονομάζει απόλυτο και τη
γεωμετρία που προκύπτει απόλυτη γεωμετρία.

25. ΜΗ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΕΣ
24ΓΙΩΡΓΟΣ ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣ
3. Αποδεικνύει ότι η σφαιρική τριγωνομετρία είναι
ανεξάρτητη του ευκλείδειου αιτήματος
4. Τετραγωνίζει τον κύκλο με την υπόθεση ότι το 5ο
αίτημα είναι ψευδές.
Η μεγάλη συνεισφορά του Janos Bolyai έγκειται στο ότι
παρουσίασε μία ολοκληρωμένη εκδοχή γεωμετρίας με
θεωρήματα και κατασκευές ανεξάρτητες από το αίτημα
των παραλλήλων
Ήταν ένας ιδιοφυής γεωμέτρης που γνώριζε την σπουδαιότητα της ανακάλυψής
του, αλλά απέτυχε να δεχθεί τη στήριξη από τον μοναδικό άνθρωπο, που θα
μπορούσε να εκτιμήσει την αξία του.
Σε αντίθεση με τον Bolyai ένας άλλος σύγχρονος του, από την Ρωσία αυτή τη φορά,
κατόρθωσε με το έργο του να αναγκάσει τον Gauss να μάθει Ρωσικά, για να μπορεί
να κατανοήσει από το πρωτότυπο το μεγαλείο των σκέψεων του.
Ο Nikolai Ivanovich Lobachevsky (1792–1856)
σπούδασε μαθηματικά στο πανεπιστήμιο του Kazan και
το 1813 διορίζεται ως βοηθός καθηγητής στο
πανεπιστήμιο αυτό. Από το 1815 άρχισε να ασχολείται
με το αίτημα των παραλλήλων. Το 1823 συλλαμβάνει
την ιδέα μιας φανταστικής γεωμετρίας και αργότερα
μιας γεωμετρίας ανεξάρτητης από την Ευκλείδεια
θεώρηση περί παραλλήλων.
Το 1826 δημοσιεύει το έργο του « Σύντομη έκθεση των αρχών της γεωμετρίας με
μια αυστηρή απόδειξη του θεωρήματος των παραλλήλων». Το 1829 στο
μαθηματικό περιοδικό «ο Αγγελιοφόρος» του πανεπιστημίου δημοσιεύει τη μελέτη
« Αρχές Γεωμετρίας». Το 1835 εκδίδεται η « Φανταστική Γεωμετρία», καθώς και οι
«Καινούργιες αρχές της γεωμετρίας με πλήρη θεωρία των παραλλήλων». To 1836
παρουσιάζει τις «Τις εφαρμογές της Φανταστικής γεωμετρίας σε ολοκληρώματα»
και τη «Φανταστική γεωμετρία» (Geometrie Imaginaire) . To 1840 αποφασίζει να
δημοσιεύει στα Γερμανικά το βιβλίο «Γεωμετρικές έρευνες για τη θεωρία των
παραλλήλων» ( Geometrische Unteruchungen zur Theorie der Parallelinien) . Τέλος
το 1855 ένα χρόνο πριν τον θάνατό του, τυφλός υπαγορεύει, εκδίδει και
κυκλοφορεί στα Ρωσικά και στα Γαλλικά το βιβλίο « Πανγεωμετρία η σύντομη
έκθεση της γεωμετρίας βασισμένη σε μία γενική και αυστηρή θεωρία των
παραλλήλων» (Pangeometrie ou precis de geometrie fondee sur une theorie
generale et rigoureuse des paralleles)
1855
μ.Χ.

26. ΜΗ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΕΣ
25ΓΙΩΡΓΟΣ ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣ
Για το σύνολο της εργασίας του, ως πρωτοπόρος στη δημιουργία της Μη
Ευκλείδειας Γεωμετρίας ο Lobachevski ονομάστηκε « Κοπέρνικος της
Γεωμετρίας»
Ας παρακολουθήσουμε την όλη προσπάθεια του μεγάλου μαθηματικού, καθώς και
την αίσθηση που είχε το έργο του στον μεγάλο Gauss, ξεκινώντας από ένα
απόσπασμα από το βιβλίο του, Σύντομη έκθεση των Αρχών της Γεωμετρίας.
« η άκαρπη προσπάθεια από την εποχή του Ευκλείδη σε ένα διάστημα
δύο χιλιάδων ετών με έκανε να υποπτευτώ ότι η αλήθεια που
θέλουμε να αποδείξουμε μπορεί να επαληθευτεί με τη βοήθεια
αστρονομικών παρατηρήσεων… »
Λέγοντας αυτά ο Lobachevski άλλαξε όλη τη πορεία της σύγχρονης μαθηματικής
επιστήμης, καθιστώντας σαφές πως η κατασκευή μιας λογικά θεμελιωμένης
γεωμετρίας είναι ανεξάρτητη από την εποπτική της αναπαράσταση. Τα θεωρήματα
που αποδεικνύει δεν μπορούν να σχεδιαστούν στο συνηθισμένο επίπεδο και θα
έρχονται σε αντίθεση με τα γνωστά – καθιερωμένα μέσω της άμεσης εποπτείας μας
στερεότυπα .
Ξεκινώντας από την υπόθεση, αν από ένα σημείο εκτός
ευθείας μπορούμε να φέρουμε τουλάχιστον δύο παράλληλες
σε αυτήν ευθείες έφθασε στο συμπέρασμα ότι το 5ο αίτημα
δεν μπορεί να αποδειχθεί, αλλά και ότι με βάση την
(αντί)υπόθεση αυτή αναπτύσσεται μία νέα συνεπής
γεωμετρία, την οποία ονομάζει Παν γεωμετρία όπου ως
ειδική, τετριμμένη περίπτωση εντάσσεται και η γνωστή σε
όλους μας Ευκλείδεια γεωμετρία.
Ο Lobachevski στέλνει ένα υπόμνημα με το έργα του στον
Gauss, όπου αυτός το 1846 σε μία αλληλογραφία με τον
συνάδελφό του Schweikart μεταξύ των άλλων αναφέρει :
« η μελέτη αυτή περιέχει τα θεμέλια της γεωμετρίας, που μπορεί κανείς να
σχηματίσει, αν η ευκλείδεια γεωμετρία δεν ήταν αληθής… ο τρόπος, με τον οποίο
ο συγγραφέας αναπτύσσει το θέμα, διαφέρει με αυτό που ακολούθησα εγώ,
υπηρετεί το στόχο με αληθή γεωμετρικό πνεύμα. Είναι καθήκον μου να απαιτήσω
την προσοχή σας σε αυτό το έργο, που πρόκειται να σας δώσει αληθινά μία
εξαιρετική απόλαυση.»
Μερικά από τα «απίθανα» αποτελέσματα της Παν-γεωμετρίας ή Υπερβολικής
Γεωμετρίας, όπως συνηθίζεται πλέον να λέγεται, θα προσπαθήσουμε συνοπτικά να
αναφέρουμε παρακάτω.

27. ΜΗ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΕΣ
26ΓΙΩΡΓΟΣ ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣ
1. Έστω σημείο A εκτός ευθείας
g και Β η προβολή του Α στην
g. Υπάρχουν δύο μοναδικές
ημιευθείες Αχ και Αψ που
συγκλίνουν ασυμπτωτικά
της g που λέγονται οριακές
ημιευθείες. Οι γωνίες χΑΒ
και ψΑΒ είναι ίσες.
Οποιαδήποτε ευθεία που
διέρχεται από το Α και βρίσκεται μέσα στις γωνίες αυτές λέμε ότι τέμνει την
g ενώ όλες οι άλλες ευθείες π.χ. Ακ , Αl, λέγονται παράλληλες ευθείες της g.
2. Ονομάζοντας ω την γωνία
που σχηματίζει η οριακή
ημιευθεία Αχ με την ΑΒ
ισχύει ο τύπος :
d
k
ω
tan e


2
, όπου d το
μήκος ΑΒ και k σταθερά που
εξαρτάται από τις μονάδες
μήκους.
3. Το άθροισμα των γωνιών ενός
τριγώνου στην υπερβολική
γεωμετρία είναι μικρότερο των
180ο
4. Στην Υπερβολική γεωμετρία δεν υπάρχουν
ορθογώνια παραλληλόγραμμα
5. Δύο όμοια τρίγωνα είναι και ίσα !
6. Αν συμβολίσουμε δ(ΑΒΓ) τη διαφορά του αθροίσματος των γωνιών του
τριγώνου ΑΒΓ από τις 180ο και το ονομάσουμε έλλειμμα του τριγώνου ΑΒΓ,
τότε δύο τρίγωνα που έχουν το ίδιο έλλειμμα είναι ίσα.

28. ΜΗ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΕΣ
27ΓΙΩΡΓΟΣ ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣ
7. Το εμβαδόν ενός τριγώνου είναι ανάλογο του ελλείμματος του, δηλαδή
ισχύει ότι Ε(ΑΒΓ)=κ δ(ΑΒΓ), όπου Κ θετική σταθερά. Από τον τύπο αυτόν
καταλήγουμε στα εξής :
Α) όταν το εμβαδόν ενός τριγώνου αυξάνεται, τότε το άθροισμα των γωνιών
του ελαττώνεται.
Β) Τα τρίγωνα με μικρό εμβαδόν έχουν μικρό έλλειμμα και το άθροισμα των
γωνιών τους πλησιάζει τις 180ο.
Γ) Στην υπερβολική γεωμετρία υπάρχει άνω φράγμα στο εμβαδόν ενός
τριγώνου.
Δ) Δύο τρίγωνα που έχουν το ίδιο εμβαδόν είναι ίσα.
Ε) Αν ένα τρίγωνο μεταβάλλεται έτσι ώστε να αυξάνονται τα ύψη του, τότε
οι τρεις γωνίες του τείνουν να γίνουν μηδέν.
8. Εισάγει δύο νέες έννοιες αυτές του οροκύκλου και της οροσφαίρας με την
βοήθεια των οποίων κατασκευάζει τύπους τριγωνομετρίας που με
αντικατάσταση των πλευρών α,β,γ των τριγώνων με τα iα , iβ , iγ οι τύποι
αυτοί μετατρέπονται στους συνήθεις τύπους της σφαιρικής τριγωνομετρίας.
9. Θεωρώντας ένα σύστημα συντεταγμένων στις δύο και στις τρεις διαστάσεις
όμοιο με το αντίστοιχο των καρτεσιανών υπολογίζει μήκη καμπυλών,
εμβαδόν επιφανειών, όγκο στερεών με μεθόδους αναλυτικής γεωμετρίας.
Το αποτέλεσμα της αναζήτησης 20 αιώνων, στην οποία πήραν μέρος πολλοί και
κορυφαίοι μαθηματικοί, μπορούν να συνοψιστούν στα εξής :
 Το Ευκλείδειο αίτημα είναι αδύνατο να αποδειχθεί, αφού η άρνησή του
δεν οδηγεί σε κάποιου είδους αντίφαση.
 Με την προσθήκη της αντίθετης υπόθεσης στα αξιώματα της Γεωμετρίας
είναι δυνατό να δημιουργηθεί μία λογικά τεκμηριωμένη γεωμετρία,
διαφορετική από την Ευκλείδεια.
 Η αλήθεια της νέας γεωμετρίας στις εφαρμογές της στον φυσικό χώρο
μπορεί να διαπιστωθεί μόνο πειραματικά.
 Το νέο λογικό σχήμα της νέας γεωμετρίας πρέπει να εξεταστεί όχι σαν ένα
φορμαλιστικό λογικό σχήμα, αλλά σαν μία θεωρία, η οποία μπορεί να
υποδείξει τρόπους και μεθόδους για την κατανόηση των φυσικών νόμων.
Με τις επισημάνσεις αυτές προχωράμε στη επόμενη περίοδο την
Πέμπτη περίοδος : « η Ελλειπτική Γεωμετρία »

29. ΜΗ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΕΣ
28ΓΙΩΡΓΟΣ ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣ
Κεντρικό πρόσωπο της περιόδου αυτής είναι ο
Γερμανός μαθηματικός Georg Friedrich Bernhard
Riemann, (1826–1866) Η συνεισφορά του υπήρξε
μεγάλη σε τομείς όπως η Μαθηματική Ανάλυση, η
Τοπολογία, η Θεωρία των αριθμών και η Διαφορική
γεωμετρία.
Η εξιστόρησή μας θα ξεκινήσει το 1853 στο
πανεπιστήμιο του Gottingen, όπου για να εισαχθεί στην πανεπιστημιακή ιεραρχία
έπρεπε να δώσει μία δοκιμαστική διάλεξη. Έπρεπε λοιπόν να δώσει τίτλους για τρία
θέματα, όπου στη συνέχεια οι καθηγητές που θα τον εξέταζαν θα διάλεγαν ένα. Η
τρίτη κατά σειρά διάλεξη είχε το τίτλο Über die Hypothesen welche
der Geometrie zu Grunde liegen «Επί των υποθέσεων που
βρίσκονται στα θεμέλια της Γεωμετρίας». Ο Gauss, όπως ήταν
φυσικό, επέλεξε το θέμα αυτό. Μετά από την κατάλληλη
προετοιμασία ο Riemann έδωσε μία διάλεξη, που αποδείχθηκε ένα
αριστούργημα και στο περιεχόμενο, αλλά και στον τρόπο έκθεσης
όλων των νέων ιδεών που περιείχε. Κλείνοντας τη διάλεξη ο
Riemann είπε
« … συγγνώμη που παρουσίασα ένα θέμα τόσο άσκοπο, αλλά η αξία
του βρίσκεται ίσως στη δυνατότητα του να μας απελευθερώσει από
έτοιμες ιδέες, όταν έρθει ο καιρός που η εξερεύνηση των φυσικών
νόμων θα απαιτήσει κάποια γεωμετρία διαφορετική από την
ευκλείδεια…»
Στην μελέτη ο Riemann εισάγει την έννοια της πολλαπλότητας που βασικά
συστατικά της ήταν οι έννοιες της διάστασης, της μετρικής και της καμπυλότητας
με τον ίδιο σχεδόν τρόπο, όπως της πρωτοδιατύπωσε ο Gauss.
Τι ονομάζουμε όμως διάσταση ;
Υπάρχουν αρκετοί ορισμοί της έννοιας αυτής, που ουσιαστικά
περιγράφουν το ίδιο πράγμα.
Στο κλασικό βιβλίο “ Flatland a romance of many dimensions “
του Edwin Abbott , έκδοση του 1885, περιγράφεται ένας
κόσμος από γεωμετρικά σχήματα, που ζουν και κινούνται στο
επίπεδο.
1868
μ.Χ.

30. ΜΗ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΕΣ
29ΓΙΩΡΓΟΣ ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣ
Έτσι ένα τρίγωνο ή ένας κύκλος φαίνονται στους κατοίκους της
χώρας αυτής ως απλά ευθύγραμμα τμήματα, ενώ η κατώτερη τάξη
– τα ευθύγραμμα τμήματα ανάλογα με την γωνία που φαίνονται
μπορεί και αυτά να παρουσιάζονται ως τμήματα, αλλά και ως ένα
απλό σημείο. Για να διαπιστώσει κάποιος το πραγματικό σχήμα του
θα πρέπει να πετάξει έξω από το επίπεδο, να ανέβει δηλαδή μία
διάσταση ακόμα, και έτσι στις τρεις διαστάσεις θα μπορεί να
διαπιστώσει ότι τα σχήματα του κόσμου αυτού είναι δισδιάστατα
και να διακρίνει τις όποιες διαφορές τους,
Κάποια στιγμή στο φανταστικό αυτό κόσμο
της Flatland εμφανίζεται μία σφαίρα.
Ο τρόπος που παρουσιάζεται στους
κατοίκους είναι με την μορφή ομόκεντρων
κύκλων, οι οποίοι ουσιαστικά είναι οι τομές
της σφαίρας, καθώς αυτή κινούμενη τέμνει
σε διαδοχικές χρονικές στιγμές το επίπεδο
κόσμο. Η σφαίρα ζει στο χώρο των τριών
διαστάσεων έτσι μπορεί να δει τους κατοίκους και τις ιδιότητες τους.
Έτσι, πάνω κάτω είμαστε και εμείς. Ζούμε σε ένα τρισδιάστατο
κόσμο και όλα τα σχήματα – πράγματα που μας περιβάλλουν τα
βλέπουμε, όσο και αν σας φαίνεται περίεργο δισδιάστατα ! Τη
μπάλα του ποδοσφαίρου τη βλέπουμε ως κύκλο. Γνωρίζουμε όμως
το πραγματικό της σχήμα επειδή έχουμε πιάσει μία μπάλα πολλές
φορές, την έχουμε κοιτάξει από πολλές γωνίες και έτσι, είναι
πεποίθησή μας ότι το πραγματικό σχήμα της είναι σφαιρικό και
τρισδιάστατο. Για να μπορέσει κάποιος να «δει» πραγματικά το
τρισδιάστατο της σφαίρας πρέπει να πετάξει στο χώρο των τεσσάρων διαστάσεων.
Πώς άραγε είναι ένας τέτοιος κόσμος;
Υπάρχει και ένας ορισμός της διάστασης περισσότερο
αξιωματικός .
Θεωρεί οποιαδήποτε νέα διάσταση ως μία αυθαίρετη
μεταφορά του σχήματος της προηγούμενης διάστασης κατά
ένα διάνυσμα.

31. ΜΗ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΕΣ
30ΓΙΩΡΓΟΣ ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣ
Δηλαδή, ας φανταστούμε το αδιάστατο σημείο. Αν το
μεταφέρουμε κατά ένα διάνυσμα, τότε σχηματίζεται ένα
ευθύγραμμο τμήμα που έχει διάσταση 1.
Αν το τμήμα αυτό το μεταφέρουμε κατά ένα άλλο
διάνυσμα, τότε σχηματίζεται ένα τετράγωνο που έχει
διάσταση 2.
Όμοια σχηματίζουμε έναν κύβο με διάσταση 3,
αλλά και έναν υπερκύβο με διάσταση 4.
Τη διαδικασία αυτή μπορούμε να συνεχίσουμε όσο
θέλουμε και να ορίσουμε σχήματα με όσες διαστάσεις
θέλουμε.
Με παρόμοιο τρόπο ο Riemann κατασκεύασε τη
ν-διάστατη πολλαπλότητα επαγωγικά ξεκινώντας από την
μονοδιάστη πολλαπλότητα με διαδοχικές και συνεχείς κινήσεις προς μία διεύθυνση.
Τι ονομάζουμε όμως μετρική ;
Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να μετρήσουμε την απόσταση μεταξύ δύο σημείων
α αΑ(x ,y ) και β βΒ(x ,y )σε επίπεδο, στο οποίο έχουμε προηγούμενα θεωρήσει ένα
ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων. Τότε εφαρμόζοντας το γνωστό μας
Πυθαγόρειο θεώρημα και με την βοήθεια του τύπου s Δx Δy 2 2 2
έχουμε το
μέτρο της απόστασης S=ΑΒ , όπου α β y α βΔx | x x | , Δ | y y |    .
Το Πυθαγόρειο θεώρημα δεν μπορεί να εφαρμοστεί όμως πάνω σε οποιαδήποτε
επιφάνεια π.χ. πάνω σε μία σφαίρα σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με ο
Α  90 δεν
ισχύει ΒΓ ΑΓ ΑΒ 2 2 2
, ενώ πάνω σε έναν κύλινδρο ισχύει, αφού όπως έχουμε
πει ο κύλινδρος μπορεί να ξετυλιχθεί και τελικά να έχουμε μετρήσεις όπως σε ένα
επίπεδο.
Πώς μπορούμε λοιπόν να βρούμε έναν τύπο, που να δίνει την απόσταση μεταξύ
δύο σημείων σε οποιαδήποτε επιφάνεια; Το καλύτερο που έχουμε να κάνουμε είναι
να βρούμε την απόσταση ds ανάμεσα σε δύο σημεία που βρίσκονται απειροστά
κοντά.
Τα απειροστά τμήματα μιας επιφάνειας μπορούν να θεωρηθούν επίπεδες
μετατοπίσεις στο εφαπτόμενο επίπεδο της επιφάνειας γύρω από την μικρή
απειροστή περιοχή που εξετάζουμε, δηλαδή «τοπικά» η γεωμετρία των
επιφανειών είναι επίπεδη.

32. ΜΗ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΕΣ
31ΓΙΩΡΓΟΣ ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣ
Για παράδειγμα, αν θέλουμε να
υπολογίσουμε την απειροστή
απόσταση πάνω στην επιφάνεια
μιας σφαίρας π.χ. πάνω στη γη,
τότε αντί για τις καρτεσιανές
συντεταγμένες χρησιμοποιούμε
ένα σύστημα γωνιών σε rad, το
γεωγραφικό πλάτος και μήκος.
Τα σημεία θα είναι τα Α(λ,φ) και Β(λ dλ,φ dφ)  , αποδεικνύεται ότι για την
απόσταση ΑΒ=S ισχύει ότι ds (r ημ φ) dλ r dφ    2 2 2 2 2 2
, όπου r η ακτίνα της γης.
Σχέση με σημαντική διαφορά από τη συνήθη του Πυθαγόρειου, αφού ο
συντελεστής του dλ2 είναι συνάρτηση του φ. Η σχέση αυτή δείχνει ότι η επιφάνεια
της σφαίρας, όταν θεωρείται ως χώρος δύο διαστάσεων, διαθέτει εγγενώς μία
διαφορετική γεωμετρία από αυτή του επιπέδου. Αυτό που μπορούμε να
καταλάβουμε από το προηγούμενο παράδειγμα είναι ότι κάθε επιφάνεια έχει την
δικιά της σχέση που υπολογίζει την απειροστή απόσταση ds2, τη σχέση αυτή την
ονομάζουμε μετρική της επιφάνειας στο συγκεκριμένο σημείο της.
Ο Riemann ισχυρίστηκε ότι γενικά σε μία οποιαδήποτε
επιφάνεια, οποιασδήποτε διάστασης μπορούμε να
υπολογίσουμε την μετρική της και θα έχει τη μορφή :
ν ν
ij i j
i j
ds Σ Σ α dx dx
 
  2
1 1
καθώς επίσης ότι η μετρική
γενικά είναι μάλλον μία τοπική παρά καθολική ιδιότητα
όλων των σημείων της επιφάνειας.
Για παράδειγμα σε ένα χώρο – πολλαπλότητα, τριών
διαστάσεων ,όπου κάθε σημείο της καθορίζεται από τις
συντεταγμένες x,y,z η μετρική θα είναι μία σχέση της μορφής :
ds a dx a dxdy a dxdz a dydx a dy a dydz a dzdx a dzdy a dz        2 2 2 2
11 12 13 21 22 23 31 32 33
Προχωρώντας ο Riemann παραπέρα κατέληξε να συνδέσει τους ija με την
καμπυλότητα της επιφάνειας γύρω από το συγκεκριμένο σημείο. Έτσι, οι ποσότητες
ija παίζουν ουσιαστικό ρόλο στη μελέτη του χώρου οποιασδήποτε διάστασης, αφού
με τη βοήθειά τους μπορούμε να βρούμε τη μετρική και την καμπυλότητά της.

33. ΜΗ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΕΣ
32ΓΙΩΡΓΟΣ ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣ
Το νέο λοιπόν που παρουσίασε ο Riemann είναι ότι :
Υπάρχουν χώροι – πολλαπλότητες αυθαίρετου αριθμού διαστάσεων.
Κάθε χώρος- πολλαπλότητα έχει και την
μετρική της, που συνδέεται με την
καμπυλότητα της.
Η μετρική, δηλαδή ο τρόπος με τον οποίο
μετρούμε αποστάσεις, μπορεί να
μεταβάλλεται. Επομένως, μπορεί να
έχουμε πολλαπλότητες με
μεταβαλλόμενη και όχι σταθερή
καμπυλότητα.
Στην περίπτωση επιφανειών με σταθερή καμπυλότητα αυτές μπορούν να
καταταχθούν σε τρεις ομάδες.
Το επίπεδο με καμπυλότητα κ=0, που μελετάτε με την βοήθεια της Ευκλείδειας
γεωμετρίας. Επιφάνεια με αρνητική καμπυλότητα ,
ψευδοσφαίρα, που μελετάται με την βοήθεια της
υπερβολικής γεωμετρίας και τέλος επιφάνειες με
θετική καμπυλότητα , όπως η επιφάνεια μιας σφαίρας,
που θα εξετάζεται με τη βοήθεια της ελλειπτικής
γεωμετρίας.
Οι επιφάνειες δεν χρειάζεται να μελετηθούν ως
περιβάλλουσες κάποιου στερεού, αλλά ως επιφάνεια
μιας διάστασης λιγότερης με την δική της μετρική και
άρα γεωμετρία.
Θεμελίωσε αξιωματικά τη νέα γεωμετρία (ελλειπτική) αντικαθιστώντας τα αξιώματα
1,2 και 5 με τα παρακάτω :
1ο αξίωμα : Δύο σημεία ορίζουν τουλάχιστον μία ευθεία, για παράδειγμα από δύο
αντιδιαμετρικά σημεία της επιφάνειας μιας σφαίρας διέρχονται άπειρες ευθείες.
2ο αξίωμα : Μία ευθεία είναι απεριόριστη ( αντί άπειρη, όπως λέει το αντίστοιχο
ευκλείδειο αίτημα)
5ο αξίωμα : Οποιεσδήποτε γραμμές σε ένα επίπεδο μπορούν τα τμηθούν, δηλαδή
από σημείο εκτός ευθείας δεν άγονται ευθείες παράλληλες προς αυτήν.
Ανάμεσα στις τρεις διάσημες γεωμετρίες υπάρχουν ομοιότητες και διαφορές αυτές
μπορούν να συνοψιστούν στον παρακάτω πίνακα :