Recomendados
Recomendados
Mais conteúdo relacionado
Mais procurados
Mais procurados (20)
Destaque
Destaque (20)
Semelhante a Μαθηματικές ιστορίες
Semelhante a Μαθηματικές ιστορίες (15)
Mais de Γιώργος (George) Λαγουδάκος (Lagoudakos)
Mais de Γιώργος (George) Λαγουδάκος (Lagoudakos) (8)
Μαθηματικές ιστορίες
- 1. Μ α θ ημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 1 Μαθηματικές ιστορίες για παιδιά αλλά … και για μεγάλους ! Γ. Λαγουδάκος Μελίσσια 2013 52 άτοκες εβδομαδιαίες δόσεις …
- 2. Μ α θ ημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 2
- 3. Μ α θ ημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 3 Κάποια στιγμή , γύρω στα 50, αισθάνεσαι ότι ο χρόνος τρέχει ασταμάτητα. Όταν είσαι μικρός όλα μοιάζουν ατελείωτα, ατελείω τες οι διακοπές, οι φιλίες, το σχολείο… Όταν όμως μεγαλώσεις και αισθάνεσαι ότι δεν μπορείς όπως πρώτα να κάνεις τα πάντα, όταν το σώμα σου σε προδίδει, όταν κάθε μέρα κάτι έχεις, πότε πονοκέφαλο, πότε η μέση, πότε κάποιος από τους δικούς σου σε έχει ανάγκ η και πρέπει να τρέξεις, όταν στη δουλειά σου ζητούν όλο και πιο πολλά …, τότε νιώθεις ότι όλα τρέχουν και εσύ κοιτάς, απλώς κοιτάς… Τότε είναι που θυμάσαι « τις παλιές παρέες, τις παλιές αγάπες, τις χαρές». Τι να κάνουν άραγε ο Μάκης, ο Δημήτρης, ο Νίκος , ο Γιώργος, ο Βασίλης, ο Νίκος, η Βούλα, η Άννα, η Μαργαρίτα, ο Κώστας, ο Μανώλης, ο Αλέξης και τόσοι άλλοι… Πόσοι άνθρωποι τελικά είναι αυτοί που πέρασαν από τη ζωή μου και με επηρέασαν. Αξίζουν λοιπόν να τους θυμηθώ, έστω και όπως το μυαλό μου σήμερα θέλει να τους θυμάται, όμορφους όπως τότε … Συγχρόνως, ως δάσκαλος τα πάντα περιστρέφονται γύρω από τους μαθητές μου, μου αρέσει η δουλειά μου, μου αρέσει να ανακαλύπτω νέους «προβοκατόρικους» τρόπους για τη μετάδοση της γνώσης. Μου αρέσουν τα Μαθηματικά , είτε ως αυστηρά δομημένη επιστήμη αλλά ακόμα και ως σπαζοκεφαλιά ή ως παράδοξο. Έτσι, προς τιμή των φίλων αλλά και των μαθητών μου έφτιαξα 52 ιστορίες, μία για κάθε βδομάδα του χρόνου. Ιστορίες που μερικές από αυτές ανακατεύουν μαθηματικά με γεγονότα της ζωής μου. Με πρωταγωνιστές φίλους και γνωστούς αλλά και γνωστά προβλήματα, άλλα απλά άλλα πιο δύσκολα. Με τον τρόπο αυτό ξετυλίγεται το κουβάρι των αναμνήσεων και των ασκήσεων… Καλή ανάγνωση …
- 4. Μ α θ ημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 4
- 5. Μ α θ ημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 5 Α / Α Περιγραφή Τάξη Γνώσεις Βιβλιογραφία Σελίδα 1η Μετρώντας κολώνες. Μαθητές Γυμνασίου Διαιρετότητα Περιοδικό «ο Ευκλείδης» Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία 11 2η Ο χαμένος Θησαυρός. Μαθητές Λυκείου Ισότητα τριγώνων – ιδιότητες παραλληλογράμμου Περιοδικό «ο Ευκλείδης» Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία 15 3η Πολλαπλα- σιάζοντας Αιγυπτιακά Μαθητές Γυμνασίου Ιδιότητες δυνάμεων – Πράξεις Wolfram demonstrations 19 4η Ο μικρός Gauss Μαθητές Γυμνασίου Πράξεις Σχολικά βιβλία 21 5η Τα ραντεβού Μαθητές Λυκείου Η έννοια της πιθανότητας Η μαγεία των παραδόξων Martin Gardner 23 6η Γρίφος με σχήματα Μαθητές Γυμνασίου Τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνιών ορθογωνίου τριγώνου Περιοδικό «ο Ευκλείδης» Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία 25 7η Αριθμητικά συστήματα Μαθητές Λυκείου Πράξεις Wolfram demonstratio ns 27 8η Σκέψου έναν αριθμό Μαθητές Γυμνασίου Βασική άλγεβρα Περιοδικό «ο Ευκλείδης» Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία 33 9η Με κλειστά μάτια Μαθητές Γυμνασίου Παιχνίδι λογικής – στρατηγικής Έκθεμα από την Εθνική Εστία Επιστημών 35 10η Μαγικό τετράγωνο Μαθητές Γυμνασίου Πράξεις Περιοδικό του διαγωνισμού Kangaroo 37 11η Παιχνίδι με τράπουλα Μαθητές Γυμνασίου Παιχνίδι λογικής – στρατηγικής 41 12η Το 31 Μαθητές Γυμνασίου Παιχνίδι λογικής – στρατηγικής Έκθεμα από την Εθνική Εστία Επιστημών 43 13η Το σχολείο του μέλλοντος Μαθητές Λυκείου Εις άτοπο απαγωγή Τα αινίγματα της σφίγγας Martin Gardner 45 14η Μετρώντας την πυραμίδα του Χέοπος Μαθητές Γυμνασίου Όμοια τρίγωνα – Πυθαγόρειο θεώρημα Σχολικά βιβλία 51 15η Ο Ερατοσθένης και η μέτρηση της γης Μαθητές Γυμνασίου Γωνίες στον κύκλο Σχολικά βιβλία Τα αστέρια της Βερενίκης Denis guedj 55 16η Μετρήσεις στην αρχαιότητα Μαθητές Γυμνασίου Όμοια τρίγωνα – Θεώρημα Θαλή Σχολικά βιβλία Ιστορία των μετρήσεων Andrew Robinson 59 17η Το φαράγγι της Σαμαριάς Μαθητές Λυκείου Θεώρημα Bolazo – γραφική παράσταση συνάρτησης Σχολικά βιβλία 63 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ
- 6. Μ α θ ημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 6 18η Όταν η Γεωμετρία συναντά την Άλγεβρα Μαθητές Γυμνασίου Ταυτότητες – Βασικό τυπολόγιο στα εμβαδά επιπέδων σχημάτων Σχολικά βιβλία 65 19η Η αδύνατη μοιρασιά Μαθητές Γυμνασίου Πράξεις Σχολικά βιβλία Η μαγεία των παραδόξων Martin Gardner 67 20η Παλατινή βιβλιοθήκη Μαθητές Γυμνασίου Πράξεις – Ικανότητα μετάφρασης από κείμενο αρχαίων Ελληνικών Σχολικά βιβλία – Διαδίκτυο Α ν α φ ο ρ ά σ ε μ α θ η μ α τ ι κ ά ε π ι γ ρ ά μ μ α τ α τ η ς Π α λ α τ ι ν ή ς α ν θ ο λ ο γ ί α ς κ α ι έ ν α π α ρ ά δ ε ι γ μ α α π ό τ η ν π ο ί η σ η τ ο υ Μ Ξ ε ν ά κ η Α.Θ. Τριανταφύλλου σ χ ο λ . σ ύ μ β ο υ λ ο ς 69 21η Υπολογίζω εμβαδά μετρώντας τελίτσες Μαθητές Λυκείου Μαθηματική επαγωγή Διαδίκτυο Κ. Κατσίγιαννης δ ι π λ . Ε ρ γ α σ ί α Σ τ ο μ ά χ ι ο ν κ α ι Θ . P i c K Tom Davis P i c k ’ s t h e o r e m 73 22η Το φλιπεράκι Μαθητές Λυκείου Ταυτότητες – Στοιχεία πιθανοτήτων Εφαρμογή σε flash από το πανεπιστήμιο της Virginia 79 23η Φέρε κάπελα κρασί Μαθητές Γυμνασίου Πράξεις , Παιχνίδι λογικής – στρατηγικής Διαδίκτυο 81 24η Το παζλ 15 Μαθητές Λυκείου Παιχνίδι λογικής – στρατηγικής Τελευταίο θεώρημα του Fermat Simon Singh Διαδίκτυο 83 25η Math jack Μαθητές Γυμνασίου Παιχνίδι λογικής – στρατηγικής Η μαγεία των παραδόξων Martin Gardner 87 26η Ρώσικος πολλαπλασια σμός Μαθητές Γυμνασίου Πράξεις – Δυνάμεις Σχολικά βιβλία Wolfram demonstrations 89 27η Μια ιστορία με τον Σωκράτη Μαθητές Γυμνασίου Άρρητοι αριθμοί – Πυθαγόρειο θεώρημα Σχολικά βιβλία Η μ α ι ε υ τ ι κ ή μ έ θ ο δ ο ς τ ο υ Σ ω κ ρ ά τ η κ α ι η ε φ α ρ μ ο γ ή τ η ς σ τ ο ε λ λ η ν ι κ ό σ χ ο λ ε ί ο Κοθάλη κ.λ.π Ευκλείδης Γ 1 9 9 1 τ . 2 8 91 28η Αριθμός Fibonacci Μαθητές Λυκείου Πράξεις Ακολουθίες Σχολικά βιβλία Περιοδικό «ο Ευκλε ίδης» Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία 97 29η Ο χρυσός λόγος Μαθητές Λυκείου Εξισώσεις – Βασικές γνώσεις Γεωμετρίας Σχολικά βιβλία – Διαδίκτυο - Περιοδικό «ο Ευκλείδης» Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία 99 30η Οι αριθμοί στην Αρχαία Ελλάδα Μαθητές Γυμνασίου Ιστορικό σημείωμα Σχολικά βιβλία – Διαδίκτυο - Περιοδικό «ο Ευκλείδης» Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία 103
- 7. Μ α θ ημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 7 31η Π λ α κ ο σ τ ρ ώ σ ε ι ς Μαθητές Λυκείου Γεωμετρία – κανονικά πολύγωνα Σχολικά βιβλία – Διαδίκτυο - Περιοδικό «ο Ευκλείδης» Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία Ε φ α ρ μ ο γ ή α π ό τ ο λ ο γ ι σ μ ι κ ό Geometer Sketchpad 105 32η Μαθηματικά παράδοξα Μαθητές Λυκείου Πράξεις – ταυτότητες – ιδιότητες πραγματικών αριθμών – Βασικές γνώσεις γεωμετρίας Σχολικά βιβλία Περιοδικό «ο Ευκλείδης» Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία 109 33η Το σημείο του Ήρωνος Μαθητές Λυκείου Βασικές αρχές φυσικής - Γεωμετρίας Σχολικά – Φροντιστηριακά βιβλία Περιοδικό «ο Ευκλείδης» Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία 111 34η Ιστορίες κρυπτο- γράφησης Μαθητές Γυμνασίου Παιχνίδι λογικής – στρατηγικής – Βασικές γνώσεις στατιστικής Κώδικες και μυστικά Simon Singh 115 35η Η ιστορία του αριθμού π Μαθητές Λυκείου Ιστορικό σημείωμα Σχολικά – Φροντιστηριακά βιβλία Περιοδικό «ο Ευκλείδης» Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία – Διαδίκτυο – Διπλωματικές εργασίες των Αρώνη Παρασκευή ( Η ι σ τ ο ρ ί α τ ο υ π )και Βασιλειάδου Ζωή (τ ε τ ρ α γ ω ν ι σ μ ό ς τ ο υ κ ύ κ λ ο υ κ α ι η π ρ ο σ έ γ γ ι σ η τ ο υ π ρ ο β λ ή μ α τ ο ς α π ό τ ο υ ς α ρ χ α ί ο υ ς Έ λ λ η ν ε ς ) 119 36η Τραπεζικά μαθηματικά Μαθητές Λυκείου Ιστορικό σ ημείωμα Γεωμετρική πρόοδος Σχολικό βιβλίο e η ιστορία ενός αριθμού Eli Maor 131 37η Μ ε τ α φέ ρο ν τ α ς βαρέλια Μαθητές Λυκείου Ιστορικό σημείωμα Γεωμετρική πρόοδος Σχολικά – Φροντιστηριακά βιβλία 135 38η Ο γρίφος του Αϊνστάιν Μαθητές Γυμνασίου Πρόβλημα λογικής Διαδίκτυο 139 39η Άπειρη σκάλα Μαθητές Λυκείου Ακολουθίες – Γεωμετρική πρόοδος Όπερ έδει δείξε ( η ο μ ο ρ φ ι ά τ η ς μ α θ η μ α τ ι κ ή ς α π ό δ ε ι ξ η ς ) Burkard Polster- M.C.Escher ( t h e g r a p h i c w o r k ) 143 40η Ο Cavalieri και ο Αρχιμήδης Μαθητές Λυκείου Βασικές γνώσεις Γεωμετρίας Όπερ έδει δείξε ( η ο μ ο ρ φ ι ά τ η ς μ α θ η μ α τ ι κ ή ς α π ό δ ε ι ξ η ς ) Burkard Polster 147
- 8. Μ α θ ημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 8 41η Ιστορία του διαβήτη Μαθητές Λυκείου Ιστορικό σημείωμα Γνώσεις Γεωμετρίας Διαδίκτυο 100 great problems of elementary Mathematics Heinrich Dorrie 151 42η Το πρόβλημα της Διδούς Μαθητές Λυκείου Ιστορικό σημείωμα – Γνώσεις γεωμετρίας – Ταυτότητες – ανισότητες. Διαδίκτυο - Ιστορίες για μέγιστα και ελάχιστα V.M.Tikhomirov 153 43η Το πρόβλημα της ελάχιστης διαδρομής Μαθητές Λυκείου Γνώσεις Γεωμετρίας Διαδίκτυο - Σχολικά – Φροντιστηριακά βιβλία Περιοδικό «ο Ευκλείδης» Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία - Ιστορίες για μέγιστα και ελάχιστα V.M.Tikhomirov 157 44η Το ντόμινο Μαθητές Λυκείου Μαθηματική επαγωγή Διαδίκτυο - Σχολικά – Φροντιστηριακά βιβλία Περιοδικό «ο Ευκλείδης» Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία - Όπερ έδει δείξε ( η ο μ ο ρ φ ι ά τ η ς μ α θ η μ α τ ι κ ή ς α π ό δ ε ι ξ η ς ) Burkard Polster 159 45η Το πρόβλημα των γενεθλίων Μαθητές Λυκείου Στοιχεία θεωρίας πιθανοτήτων Διαδίκτυο - Σχολικά – Φροντιστηριακά βιβλία Λεξικό μαθηματικών Παντελίδη κ.τ.λ. 165 46η Κατασκευές με κανόνα και διαβήτη Μαθητές Λυκείου Ιστορικό σημείωμα Γνώσεις Γεωμετρίας Διαδίκτυο - Σχολικά – Φροντιστηριακά βιβλία Περιοδικό «ο Ευκλείδης» Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία - Ντένι Γκετζ «Το Θεώρημα του παπαγάλου» Ε κ δ ό σ ε ι ς Π ό λ ι ς ) – Στοιχεία του Ευκλείδη ( π ρ ω τ ό τ υ π ο ) 169 47η Γεμίζοντας με ρύζι μια σκακιέρα Μαθητές Λυκείου Αριθμητικ ή πρόοδος Σχολικά βιβλία 173 48η Fractal Μαθητές Λυκείου Μετρήσεις σχημάτων Ταξίδι στο κόσμο των μαθηματικών Ivars Peterson ε κ δ ό σ ε ι ς F r e e m a n - Γ ι α λ λ ε λ ή ς – Μ α ν ω λ ά κ η ς Περιοδικό Focus Μάιος 2012 Περιοδικό Science Illustrated Σεπ. 2010 175 49η Οι γέφυρες του Κένιγκσμπεργκ Μαθητές Λυκείου Ιστορικό σημείωμα Πρόβλημα λογικής – στρατηγικής Διαδίκτυο – άρθρο του Σίμου Γερασιμίδη 183
- 9. Μ α θ ημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 9 50η Όταν μεγάλοι τζογαδόροι συνάντησαν ιδιοφυίες Μαθητές Λυκείου Ιστορικό σημείωμα – Βασικές γνώσεις θεωρίας πιθανοτήτων Διαδίκτυο – Φροντιστηριακά και σχολικά βιβλία 187 51η Τα μοναδιαία κλάσματα – Τα μαθηματικά των αρχαίων Αιγυπτίων Μαθητές Γυμνασίου Πράξεις μεταξύ κλασμάτων – Ευκλείδεια διαίρεση Ο άνθρωπος που αγαπούσε τους αριθμούς P.Hoffman εκδ.Λιβάνη Οι ιστορικές ρίζες των στοιχειωδών μαθηματικών L.Bunt , P.Jones, J.Bedient – μετάφραση Α. Φερεντίνου- Νικολακοπούλου εκδ. Γ.Α.Πνευματικός Η Ιστορία των μαθηματικών R.Mankiewicz εκδ. Αλεξάνδρεια 191 52η Περίεργοι πολλαπλασια σμοί Μαθητές Γυμνασίου Απλές γνώσεις άλγεβρας – αριθμητικής Διαδίκτυο – Φροντιστηριακά και σχολικά βιβλία 197
- 10. Μ α θ ημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 1 0
- 11. Μ α θ ημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 1 1 Ιστορία 1η Υπάρχουν άνθρωποι που σε βοήθησαν κάποια στιγμή στη ζωή σου, χωρίς να σου ζητήσουν τίποτε για αντάλλαγμα. Το κάνανε απλ ώς γιατί ήταν καλοί άνθρωποι, γιατί έτσι είχαν μάθει …, να κάνουνε το καλό και να το πετάνε στο γιαλό. Ένας τέτοιος σπάνιος άνθρωπος ήταν και ο κ. Πέτρος Γ. δάσκαλος μου στην 5 η και 6η Δημοτικού. Στο Δημοτικό ήμουν ένας πολύ μέτριος μαθητής, με πολλές αδυναμίες στην έκφραση και στην ορθογραφία. Μπέρδευα το μήλο και το μιλώ, το περνώ και το παίρνω. Γνωρίζοντας τις αδυναμίες μου με το φόβο του λάθους αποτύπωνα τις σκέψεις μου με απλές τετριμμένες λέξεις, χρησιμοποιώντας ένα φτωχό λεξιλόγιο που όμως τουλάχιστον ήξερα να το γράφω σωστά και να το χειρίζομαι. Ο κ. Πέτρος μου έκανε ένα δώρο, ένα μικρό ορθογραφικό λεξικό τσέπης και με παρότρυνε να το ανοίγω, να το μελετώ, να το χειρίζομαι και ας κάνω περισσότερο χρόνο για τις εργασίες και τις εκθέσεις που μας έβαζε. Συγχρόνως κατάλαβε ότι στα μαθηματικά ήμουν ικανός. Μπορούσα να λύνω προβλήματα, αρκετά δύσκολα για την ηλικία μου γρήγορα αλλά και με ευφάνταστους τρόπους. Ας είναι καλά … Δεν θα ξεχάσω, όταν κάποιο Σάββατο ( κάναμε σχολείο και το Σάββατο τότε) μας πήγε όλη την 5η στην Ακρόπολη. Μας το είχε πει από την προηγούμενη ώστε να βρούμε από τις εγκυκλοπαίδειες στοιχεία για τα Προπύλαια, το Ερεχθείο και φυσικά τον Παρθενώνα. Όταν φθάσαμε εκεί ψηλά στο βράχο ο κάθε ένας από εμάς διάβαζε ότι πληροφορίες είχε μαζέψει. Η Κατερίνα και η Αγάπη, οι καλές μαθήτριες της τάξης ήταν ασυγκράτητες. Ολόκληρη την εγκυκλοπαίδεια του Ηλίου είχαν κατεβάσει, τόμους από την «διάπλαση των παίδων » είχαν φέρει μαζί τους. Ο ήλιος ολοένα και περισσότερο ανέβαινε στον ουρανό, όταν τότε… ο κ. Πέτρος μας είπε « να σας δω τώρα και σε ένα μαθηματικό πρόβλημα ». Ξεκίνησε λοιπόν να μας εξιστορεί ένα γεγονός που ο μύθος λέει ότι συνέβη εκεί που στεκόμασταν τότε… στα σκαλιά μπροστά στον Παρθενώνα.
- 12. Μ α θ ημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 1 2 Μία μέρα του 500 π.χ. ο Θαλής για να τιμ ωρήσει τον δούλο του Θύρση, τον έστειλε σε ένα ναό που είχε 8 κολώνες στην πρόσοψη, με την εντολή να πηγαινοέρχεται, από αριστερά προς τα δεξιά και μετά από δεξιά προς τα αριστερά, μπροστά από τις κολώνες και να τις μετρά μία μία. Όταν έφθανε στον αριθμό 1 000 έπρεπε να του αναφέρει ποια κολώνα ήταν η χιλιοστή. Το μέτρημα θα γινόταν ως εξής : Κολώνες : Αριστερά Δεξιά 1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6 - 7 - 8 15- 14 - 13 - 12 - 11 - 10 - 9 Αριστερά Δεξιά Αριστερά Δεξιά 16 – 17 –18 – 19 – 20 – 21 – 22 κ.ο.κ. Ο Θύρσος όμως ήταν καλός στα μαθηματικά και σε ελάχιστο χρόνο βρήκε ποια κολώνα ήταν η χιλιοστή, με αυτό τον ιδιαίτερο τρόπο αρίθμησης. Με το που τελείωσε το πρόβλημα οι περισσότεροι και βεβαίως πρώτες από όλους οι Κατερίνα και η Αγάπη προσπαθούσαν να μιμηθούν τον Θύρση. Με μεγάλα βήματα άρχιζαν να μετρούν όπως μας είχε υποδείξει ο κ. Πέτρος. Εγώ τον κοίταξα, με παρατηρούσε και εκείνος και κατάλαβα πως περίμενε από μένα να σκεφθώ και όχι απλώς να περπατώ … Ποια είναι τελικά η 1000η κολώνα; 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8
- 13. Μ α θ ημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 1 3 Λύση Ας γράψουμε κάποια βήματα από την προσπάθεια για την αρίθμηση και ας φθάσουμε μέχρι το 20 ο βήμα. Παρατηρούμε ότι μετά το 14 ο βήμα η ακολουθία των μετρήσεων μας επαναλαμβάνεται … Βήματα 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Κολώνα 1η 2η 3η 4η 5η 6η 7η 8η 7η 6η 5η 4η 3η 2η 1η 2η 3η 4η 5η 6η Άρα κάθε 14 βήματα ξεκινάμε πάλι να μετρ άμε από την αρχή δηλαδή από την 1 η κολώνα. Οπότε κάνουμε την διαίρεση 1000:14 και βρίσκουμε πηλίκο 71 και υπόλοιπο 6. Άρα μετά από 1000 βήματα θα βρεθούμε μπροστά από την 6η κολώνα. Υπάρχουν και άλλες ενδιαφέρουσες λύσεις, ασχοληθείτε και ανακαλύψτε τες.
- 14. Μ α θ ημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 1 4
- 15. Μ α θ ημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 1 5 Ιστορία 2η Θα φεύγαμε Δευτέρα πρωί και θα μέναμε μια βδομάδα. Η πρόσκληση είχε έρθει από την Βάνα προς όλη τη παρέα. Θα πηγαίναμε στο χωριό της το Χρυσοκέφαλο στο Κάτω Νευροκόπι Δράμας. Έτσι πέντε συμφοιτητές η Βάνα, η Μαργαρίτα, ο Νίκος, ο Κώστας και εγώ θα μπορούσαμε σε ένα ήσυχο χωριό απρόσκοπτα, μακριά από τους θορύβους της Θεσσαλονίκης, να ασχοληθούμε με τη Μιγαδική Ανάλυση που δίναμε την επόμενη βδομάδα. Φθάσαμε βράδυ. Το σπίτι ήταν κρύο και προσπαθήσαμε ανάβοντας το τζάκι να ζεστάνουμε λίγο τον χώρο. Από φαγητό τίποτε. Έτσι αποφασίσαμε να πάμε στο μοναδικό μαγαζί που ήταν τέτοια εποχή, μέσα Μαρτίου, ανοικτό στο χωριό. Φθάσαμε στο μπακάλικο -καφενείο του κ. Παύλου. Η ξυλόσομπα έκαιγε στη μέση του μαγαζιού με τις ψάθινες καρέκλες γύρω της. Πιο πέρα μια παρέα από τρεις - τέσσερεις γέρους που παίζανε πρέφα φωνάζοντας. Καλώς τη Βάνα μου το κορίτσι μου…, καλώς τα παιδιά… μας προϋπάντησε η κ. Τασία, θεία της Βάνας. Τι να σας φιλέψουμε; Σχεδόν αμέσως βγήκανε λουκάνικα, αβγά, τηγανιτές πατάτες και τα τσίπουρα. Τότε ήταν που παρατήρησα στη γωνία του μαγαζιού έναν περίεργο γέροντα. Χαρακτηριστικό του, το πελώριο κιτρινωπό μουστάκι. Στο ένα χέρι κρατούσε το κομπολόι και στο άλλο το στριφτό τσιγάρο με το χαρακτηριστικό κοκκινωπό τσιγαρόχαρτο της περιοχής. Τι είναι τούτα; Ρώτησε. Είναι η Βάνα, η ανιψιά μου …, η μαθηματικός …μαζί με τους φίλους της απάντησε η κ. Τασία. Η Βάνα η Μαθηματικός, καλό ακούγεται αυτό , μονολόγησε μέσα από τα δόντια του … Ε λοιπόν εσείς ! θα μπορέσετε να βοηθήσετε, ακούσ τε λοιπόν … Στα χρόνια της κατοχής ένας μαυραγορίτης είχε κρύψει έναν θησαυρό φτιάχνοντας τον παρακάτω χάρτη . Μας έδειξε ένα παλιό κιτρινισμένο χαρτί με ένα σχέδιο σαν το παρακάτω.
- 16. Μ α θ ημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 1 6 Όπου στις θέσεις Α,Β,Γ,Δ παρουσιάζονται αιωνόβια κυπαρίσσια κα ι στη θέση Ε μία ελιά. Παρατηρείστε ότι τα τρίγωνα που σχηματίζονται ΓΕΒ και ΔΑΕ είναι ισόπλευρα. Τον θησαυρό τον έθαψε στη θέση Θ που είναι τέτοια ώστε ΕΜ=ΜΘ με Μ το μέσο του τμήματος ΔΓ. Μετά την κατοχή το τέλος του δεν ήταν και ότι το καλύτερο, εξαφανίστηκε από προσώπου γης …. Ο χάρτης κάπου ξέμεινε και μετά από χρόνια έπεσε στα χέρια μου . Ένας αγώνας μεταξύ των επίδοξων κυνηγών θησαυρών ξεκίνησε… Όμως για κακή τους τύχη το τοπίο είχε αλλάξει από εκείνα τα χρόνια, πολλά δένδρα είχαν κοπεί, μόνο τα κυπαρί σσια στις θέσεις Α και Β υπήρχαν ακόμα, αυτά που υπάρχουν κοντά στο Άι Γιώργη δίπλα στο σπίτι σου μικρή μου. Ο θησαυρός φαίνεται ότι για πάντα έχει χαθεί. Τα τσίπουρα βοήθησαν να αλλάξουμε γρήγορα κουβέντα. Η ιστορία ξεχάστηκε. Μετά από καιρό ρώτησα τη Βά να για τον παππού. Τελικά ο περίεργος αυτός γέροντας ήταν γιος του μαυραγορίτη. Ξενιτεύτηκε και γυρνώντας έψαξε και αυτός για τον θησαυρό αλλά δεν βρήκε τίποτε. Έχει όμως αρκετά λεφτά όπως λένε στο χωριό. Κοιταχτήκαμε …, χαμογελάσαμε … Τελικά ο γέροντας μπορούσε να βρει το θησαυρό και απλώς κορόιδευε τους πάντες;
- 17. Μ α θ ημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 1 7 Λύση Παρατηρείστε ότι τα τρίγωνα ΘΔΑ, ΑΕΒ και ΘΓΒ είναι ίσα (ΑΔ=ΑΕ=ΘΓ, ΔΘ=ΕΒ=ΓΒ και ΘΔΑ ΑΕΒ ΘΓΒ ) Οπότε το τρίγωνο ΑΘΒ είναι ισόπλευρο ( αφού ΑΘ=ΘΒ=ΑΒ) Επομένως η θέση του θησαυρού θα αναζητηθεί ως η τρίτη κορυφή ισοπλεύρου τριγώνου πλευράς ΑΒ.
- 18. Μ α θ ημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 1 8
- 19. Μ α θ ημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 1 9 Ιστορία 3η Πως πολλαπλασιάζουν στην Αίγυπτο ; Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να πολλαπλασιάσουμε τους αριθμούς n=40 και m=21. Σχηματίζουμε δύο στήλες όπως στο διπλανό σχή μα, Στην αρχή γράφουμε τους δύο αριθμούς που θέλουμε να πολλαπλασιάσουμε. Από κάτω γράφουμε τους αριθμούς 1 και τον δεύτερο αριθμό (τον 21) Μετά διπλασιάζουμε συνεχώς τους αριθμούς αυτούς σχηματίζοντας τις γραμμές 2 – 42 / 4 – 84 / 8 – 168 / 16 – 336 / 32 – 672 / Τη διαδικασία αυτή τη συνεχίζουμε μέχρι ότου στην πρώτη στήλη να έχω αριθμό μικρότερο ή ίσο του n. Στο παράδειγμά μας η τελευταία γραμμή πρέπει να είναι η 32 – 672 αφού οι επόμενοι αριθμοί θα ήταν 64 – 1344 , όπου ο 64 είναι μεγαλύτερος του 40. Ακολούθως σημειώνουμε εκείνους τους αριθμούς της πρώτης στήλης που έχουν άθροισμα ίσο με n=40. ( Η εύρεση των αριθμών αυτών γίνεται ψάχνοντας τους κατάλληλους αριθμούς της 1 η ς στήλης από το τέλος προς την αρχή) στο παράδειγμά μας οι αριθμοί είναι οι 32 και 8 αφού 32+8=40. Το γινόμενο 40 21 είναι ίσο με το άθροισμα των αντίστοιχων αριθμών των 32 και 8 της 2 η ς στήλης δηλαδή, είναι ίσο με 168 672 840 Για εξάσκηση ας πολλαπλασιάσουμε αιγυπτιακά … τους αριθμούς 42 και 23 η απάντηση δίνεται στο διπλανό πίνακα Πως εξηγείτε την όλη διαδικασία ; Γ ι α π ε ρ ι σ σ ό τ ε ρ α π α ρ α δ ε ί γ μ α τ α ε π ι σ κ ε φ τ ε ί τ ε τ η ν ι σ τ ο σ ε λ ί δ α h t t p : / / d e m o n s t r a t i o n s . w o l f r a m . c o m / i n d e x . h t m l - E g y p t i a n m u l t i p l i c a t i o n
- 20. Μ α θ ημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 2 0 Λύση Για το 1ο παράδειγμα ισχύει : Παρατηρείστε ότι το γινόμενο 40 21 γράφεται διαδοχικά : 3 5 40 21 (8 32) 21 (2 2 ) 21= 3 5 2 21 2 21 168 672 840 Για το 2ο παράδειγμα ισχύει : 3 5 42 23 (2 2 2 ) 23 3 5 2 23 2 23 2 23 46 184 736 966 Τελικά για να πολλαπλασιάσουμε δύο οποιουσδήποτε αριθμούς δεν χρειάζεται να μάθουμε ολόκληρη την προπαίδεια … αλλά μόνο την προπαίδεια του 2 !!!
- 21. Μ α θ ημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 2 1 Ιστορία 4η «… όταν ήταν πια στα δέκα, έγινε δεκτός στην τάξη της αριθ μητικής. Καθώς ήταν η πρώτη τάξη στην αριθμητική, κανένα από τα αγόρια δεν είχε ακούσει για αριθμητικές προόδους. Ήταν εύκολο λοιπόν για τον δάσκαλο κ. Buttner να τους δώσει ένα πρόβλημα στην πρόσθεση, του οποίου την απάντηση μπορούσε να βρει ο ίδιος μέσ α σε δευτερόλεπτα με τη βοήθεια ενός τύπου. Το πρόβλημα ήταν του είδους να βρεθεί το άθροισμα : 1 2 3 ... 100. … Ήταν συνήθεια του σχολείου, το αγόρι που πρώτο εύρισκε την απάντηση να αφήνει την πλάκα του στο τραπέζι, το δεύτερο θα άφηνε την δική του πάνω στην πλάκα του πρώτου και ούτω καθ’εξής. Ο Buttner μόλις είχε τελειώσει τη διατύπωση του προβλήματος και ο μικρός Gauss άφησε την πλάκα του στο τραπέζι : «Εδώ είναι» είπε … και η πλάκα έγραφε μόνο έναν αριθμό… το σωστό 5050 !!!» Α π ό σ π α σ μ α α π ό τ ο κ λ α σ ι κ ό β ι β λ ί ο τ ο υ Ε . Τ . B e l l « ο ι Μ α θ η μ α τ ι κ ο ί » Ε κ δ ό σ ε ι ς : Π α ν ε π ι σ τ η μ ι α κ έ ς Ε κ δ ό σ ε ι ς Κ ρ ή τ η ς . Μία ιδιοφυΐα μόλις είχε εντοπιστεί … Αποτελεί πάντα πρόκληση σε όλους να απαντήσουν και αυτοί με τη σειρά τους πόσο είναι το άθροισμα ακόμα και αν δεν γνωρίζουν ή δεν θυμούνται τίποτε για τις αριθμητικές προόδους. Ευκαιρία λοιπόν να ξεδιπλώσεις το υπολογιστικό ταλέντο σου αναγνώστη …
- 22. Μ α θ ημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 2 2 Λύση ένας τρόπος λύσης, παρουσιάζεται παρακάτω … Γενικεύστε το συμπέρασμά σας υπολογίζον τας το άθροισμα : Σ 1 2 3 ... ν όπου ν οποιοσδήποτε φυσικός αριθμός 1,2,3,… Μετά προσπαθήστε να απαντήσετε στο παρακάτω πρόβλημα : « Σε μία επιστημονική ημερίδα βρίσκονται 100 σύνεδροι, αν όλοι χαιρετηθούν μεταξύ τους , πόσες χειραψίες συνολικά θα έχουν γίνει; » Αν υποθέσουμε και ότι όλοι γνωρίζονται μεταξύ τους με τα μικρά τους ονόματα. Πόσα ονόματα θα ακουστούν αν ο καθένας χαιρετήσει με το μικρό όνομα όλους τους υπόλοιπους. Από την απάντηση που θα δώσεις, καταλαβα ίνεις γιατί στις ημερίδες οι σύνεδροι προτιμούν να τρώνε στο μπουφέ παρά να μιλούν !!!
- 23. Μ α θ ημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 2 3 Ιστορία 5η Κάθε Κυριακή θέλω να πιω τον καφέ μου και να διαβάσω την εφημερίδα μου σε ένα από τα δύο στέκια που συχνάζουν φίλοι μου. Το ένα είναι στον κήπο στην Κηφ ισιά και το άλλο στο καφενεδάκι στο ρέμα του Χαλανδρίου. Στο πρώτο συχνάζουν φίλοι από τη δουλειά και στο δεύτερο φίλοι από το Γυμνάσιο. Για να φθάσω στο ένα ή στο άλλο στέκι περιμένω το λεωφορείο στη στάση, αφού θέλω την Κυριακή να μη οδηγώ. Τα δύο λεωφο ρεία που περνάνε , το ένα για Κηφισιά και το άλλο για Χαλάνδρι περνούν από τη στάση κάθε 30 λεπτά, παίρνω όποιο έρθει πρώτο και πηγαίνω στον έναν ή στον άλλο προορισμό. Οι αναχωρήσεις των λεωφορείων παρουσιάζονται στον παρακάτω πίνακα : Για Κηφισιά 9.00 9.30 10.00 10.30 11.00 11.30 12.00 12.30 … Για Χαλάνδρι 9.01 9.31 10.01 10.31 11.01 11.31 12.01 12.31 … Μια μέρα ενώ βρίσκομαι με τους φίλους του σχολείου, μου λέει σοβαρά ο Δημήτρης , κολλητός από την 2 α δημοτικού. Δεν σου κάνουμε πια Γιώργο …, μια φορ ά στις τριάντα συγκεντρώσεις καταδέχεσαι να έρχεσαι. Έπεσα από τα σύννεφα όταν το συνειδητοποίησα και εγώ. Πως όμως γίνεται αυτό; Αφού αφήνω τη τύχη να αποφασίσει που θα πάω, παίρνοντας το πρώτο λεωφορείο που θα έρθει.
- 24. Μ α θ ημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 2 4 Λύση Ας παρακολουθήσουμε τον παρακάτω πίνακα που δείχνει που τελικά πηγαίνω ανάλογα την ώρα που τυχαίνει να έρθει το λεωφορείο. Κηφισιά 9.00 9.02-9.30 9.32-10.00 … Χαλάνδρι 9.01 9.31 10.01 … Θα παρατηρήσουμε ότι 29 στις 30 φορές παίρνω το λεωφορείο για την Κηφισιά.
- 25. Μ α θ ημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 2 5 Ιστορία 6η Ένα περίεργο φαινόμενο !!! Παρατηρείστε το παρακάτω σχήμα : Ένα ορθογώνιο τρίγωνο με κάθετες πλευρές 13 και 5 cm καλύπτεται από δύο ορθογώνια τρίγωνα, το πρώτο με κάθετες πλευρές 8 και 3 cm και το δεύτερο με κάθετες πλευρές 5 και 2 cm και από δύο άλλα ίσα «εξάπλευρα». Αν όμως αναδιατάξουμε τα σχήματα αυτά μένει ένα τετράγωνο πλευρά 1 cm ακάλυπτο. Πως το εξηγείτε αυτό ;
- 26. Μ α θ ημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 2 6 Λύση Κι’ όμως και η παραμικρή απόκλιση κάνει τη διαφορά… Τελικά ότι φαίνεται δεν είναι κιόλας. !!!
- 27. Μ α θ ημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 2 7 Ιστορία 7η Οι αριθμοί που χρησιμοποιούμε στην εποχή μας είναι αποτέλεσμα μιας μακρόχρονης εξελικτικής πορείας. Π.χ όταν οι αρχαίοι Έλληνες ήθελαν να γράψουν τον αριθμό 18 έγραφαν : ιη οι Μάγια έγραφαν : οι Βαβυλώνιοι έγραφαν : οι Ρωμαίοι έγραφαν : XVIII Ο σύγχρονος τρόπος γραφής καθιερώθηκε στις αρχές του 16 ο υ αιώνα και βασίστηκε στην χρήση 10 ψηφίων , τ ων 1,2,3,4,5,6,7,8,9,0. Έτσι όταν γράφουμε 123 χρησιμοποιούμε τα ψηφία 1,2 και 3 όμως η σειρά με την οποία γράφονται δείχνει και την «αξία τους» δηλαδή το ψηφίο 3 δείχνει τις μονάδες το ψηφίο 2 τις δεκάδες και το ψηφίο 1 τις εκατοντάδες, οπότε τον αριθμό τον διαβάζουμε εκατό είκοσι τρία. Άρα χρησιμοποιώντας το σύγχρονο τρόπο συμβολισμού ισχύει ότι : 2 1 0 123 1 100 2 10 3 1 10 2 10 3 10 Οπότε κάθε αριθμός εκφράζεται με ένα άθροισμα δυνάμεων του 10, ο τρόπος αυτός γραφής – συμβολισμού των αριθμών λέγεται δεκαδικός τρόπος αρίθμησης. Αν για παράδειγμα χρησιμοποιώντας τα σύμβολα των ψηφίων όπως τα γνωρίζουμε θέλαμε τον κάθε αριθμό να τον γράφουμε ως άθροισμα δυνάμεων του 5 ο τρόπος αυτός συμβολισμού των αριθμών θα λεγόταν πενταδικό σύστημα αρίθμησης. Οπότε πως θα γραφόταν ο αριθμός 123 ; Για να τον γράψουμε στο πενταδικό σύστημα θα πρέπει να γνωρίζουμε ότι : 0 1 2 3 5 1 , 5 5 , 5 25 , 5 125 ,... οπότε
- 28. Μ α θ ημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 2 8 το 123 γράφεται 2 1 0 4 5 4 5 3 5 άρα στο πενταδικό σύστημα θα γράφεται 443 Παρατηρούμε ότι στο πενταδικό σύστημα τελικ ά θα χρησιμοποιούμε μόνο τα ψηφία 0,1,2,3,4 , ενώ π.χ. στο επταδικό τα ψηφία 0,1,2,3,4,5,6 κ.τ.λ. Για να είμαστε σε θέση να ξεχωρίζουμε τον αριθμό 443 του πενταδικού συστήματος αρίθμησης από τον αριθμό 443 του δεκαδικού συμφωνούμε να γράφουμε 5 10[443] [443] αντίστοιχα. Στη σύγχρονη ηλεκτρονική εποχή χρησιμοποιούμε το δυαδικό σύστημα αρίθμησης για τον προγραμματισμό των ηλεκτρονικών υπολογιστών, αφού «το περνάει» ή «δεν περνάει» ρεύμα από την μηχανή μπορεί να αντιστοιχηθεί με τα ψηφία 1 και 0. Οπότε ο αριθμός 123 στο δυαδικό θα γραφεί : 1111011 Αφού έχουμε ότι : 0 1 2 3 4 5 6 7 2 1 , 2 2 , 2 4 , 2 8 , 2 16 , 2 32 , 2 64 2 128 και 6 5 4 3 2 1 0 123 1 2 1 2 1 2 1 2 0 2 1 2 1 2 Εραστή της μαθηματικής περιπέτειας εξερεύνησε τα διάφορα συστήματα αρίθμησης απαντώντας τα παρακάτω ερωτήματα : 1. Πως μπορούμε να γράψουμε τον αριθμό 10[2011] στο επταδικό σύστημα αρίθμησης ; 2. Ποιον αριθμό στο δεκαδικό παριστάνει ο αριθμός 7[2011] ; 3. Υπολογίσετε τα αθροίσματα : 10 10[234] [234] 5 5[234] [234] 7 7[234] [234] 4. Υπολόγισε ποιον αριθμό στο δεκαδικό σύστημα αρίθμησης παριστάνει το άθροισμα : 3 4 5[222] [222] [222] 5. Υπολόγισε τα γινόμενα : 10 10[123] [4] 5 5[123] [4]
- 29. Μ α θ ημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 2 9 Επειδή τα πολλά μαθηματικά κουράζουν ας δούμε ένα παιχνίδι για να διασκεδάσουμε. Δείτε προσεκτικά τις παρακάτω κάρτες. Είναι χρωματισμένες κάρτες που στην μια μεριά έχει η κάθε μία ορισμένους αριθμούς και στην άλλη τίποτε μόνο το χρώμα τους. Το παιχνίδι παίζεται ως εξής. Σου ζητώ να διαλέξεις έναν αριθμό από αυτούς που είναι σημειωμένους στις κάρτες και να γνωρίζεις σε ποιες κάρτες υπάρχει ο αριθμός που διάλεξες. Μετά γυρίζω τις κάρτες ανάποδα και σου ζητώ να μου δείξεις σε ποιες κάρτες υπάρχει ο αριθμός που διάλεξες. Μετά Ω!! τι θαύμα σου λέω τον αριθμό!!! Για παράδειγμα ας υποθέσουμε ότι διάλεξες τον αριθμό 9. Γυρνάμε τις κάρτες και μου δείχνεις τις κάρτες «μπλε» και «μωβ» . Τότε εγώ είμαι σε θέση να μαντέψω ότι ο αριθμός είναι πράγματι το 9. Πως εξηγείται αυτή η ικανότητα που έχω να μαντεύω τους αριθμούς; Μπορώ να σου πω ότι η λύση βασίζεται στο δυαδικό σύστημα γραφής των αριθμών που αναφέραμε στις προηγούμενες σελίδες. Ακόμη μπορώ να σου πω ότι υπάρχει αντίστοιχο παιχνίδ ι με πέντε κάρτες, που η Πέμπτη κάρτα ξεκινά από τον αριθμό 16 και οι κάρτες περιέχουν αριθμούς από το 1 ως το 31. Αν καταλάβεις τι παίζεται τότε φτιάξε έξη κάρτες που να περιέχουν αριθμούς από το 1 ως το 63. Ένα είναι σίγουρο τότε ολόκληρη η παρέα θα παρ αδεχτεί τις μαντικές ικανότητές σου.
- 30. Μ α θ ημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 3 0 Λύση Πως μπορούμε να γράψουμε τον αριθμό 10[2011] στο επταδικό σύστημα αρίθμησης ; Ισχύουν : 0 1 2 3 4 7 1 , 7 7 , 7 49 , 7 343 , 7 2401 , ... Άρα 3 2 0 10[2011] 5 343 6 49 2 5 7 6 7 2 7 Δηλαδή 10 7[2011] [5602] Ποιον αριθμό στο δεκαδικό παριστάνει ο αριθμός 7[2011] ; 3 1 0 7[2011] 2 7 1 7 1 7 686 7 1 694 Υπολογίσετε τα αθροίσματα : 10 10[234] [234] 10[468] 5 5[234] [234] 5[1023] 7 7[234] [234] 7[501] Υπολόγισε ποιον αριθμό στο δεκαδικό σύστημα αρίθμησης παριστάνει το άθροισμα : 3 4 5 2 1 0 2 1 0 2 1 0 [222] [222] [222] (2 3 2 3 2 3 ) (2 4 2 4 2 4 ) (2 5 2 5 2 5 ) (18 6 2) (32 8 2) (50 10 2) 26 42 62 130 Υπολόγισε τα γινόμενα : 10 10[123] [4] 10[492] 5 5[123] [4] 5[1102] ;;
- 31. Μ α θ ημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 3 1 Αν παρατηρήσουμε προσεκτικά θα δούμε ότι στις κάρτες γράφονται οι αριθμοί από το 1 ως το 15 με τη βοήθεια του δυαδικού συστήματος γραφής των αριθμών. Η πρώτη κάρτα ξεκινά με το 0 1 2 η δεύτερη με το 1 2 2 , η τρίτη με το 2 4 2 και η τέταρτη με το 3 8 2 . Οι υπόλοιποι αριθμοί γράφονται κατάλληλα στις τέσσερεις κάρτες. Για παράδειγ μα το 3 επειδή γράφεται 1+2 θα γραφεί στις δύο πρώτες κάρτες. Το 5 γράφεται 4+1 άρα θα γραφεί στην 1 η και στην 3 η κάρτα. Ένα άλλο παράδειγμα για να το καταλάβουμε ο αριθμός 11 γράφεται 8+2+1 άρα θα γραφεί στην 1η – 2η και 4η κάρτα. Αν υποθέσουμε ότι έχεις διαλέξει τον αριθμό 13 τότε θα δείξεις τις κάρτες «μπλε» - «πράσινη» - και «μωβ». Εγώ γνωρίζω ότι ο αριθμός θα προκύπτει ως άθροισμα των αριθμών 1 -2-4-8 ανάλογα σε πια από τις «μπλε»- «κίτρινη» - «πράσινη» - «μωβ» αντίστοιχα κάρτα θα δείξεις. Άρα από τις σ υγκεκριμένες κάρτες προκύπτει ο αριθμός : 1+4+8=13.
- 32. Μ α θ ημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 3 2
- 33. Μ α θ ημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 3 3 Ιστορία 8η Είναι γνωστά τα παιγνίδια στα οποία καλείς ένα φίλο σου να σκεφτεί έναν αριθμό και μετά από διάφορες πράξεις με κάποιους επιλεγμένους αριθμούς, του αποκαλύπτεις τον αριθμό που σκέφτηκ ε. Ουσιαστικά πρόκειται για προβλήματα που ανάγονται σε εξισώσεις που αν τις λύσεις ανακαλύπτεις τον κρυμμένο αριθμό. Ένα τέτοιο πρόβλημα συνήθιζε να παίζει μαζί μας ο πατέρας μου. Μάζευε όλη την «μαρίδα» στο τραπεζάκι κάτω από την ελιά στο εξοχικό στην Νέ α Μάκρη και πραγματικά μας εντυπωσίαζε με την ικανότητα να μαντεύει όχι έναν αλλά δύο άγνωστους αριθμούς!! Σαν σήμερα έρχονται στις σκέψεις μου οι παιδικές φωνές έκπληξης και απορίας… « Σκέψου έναν αριθμό από το 1 ως το 9 μας έλεγε … Διπλασίασε τον και μετά πρόσθεσε 5 Πολλαπλασίασε το αποτέλεσμα επί 5 Μετά πρόσθεσε και άλλον έναν αριθμό από το 1 ως το 9 και πες μου το αποτέλεσμα…» Θυμάμαι το αποτέλεσμα για τους αριθμούς που είχα σκεφτεί … 108 φώναξα με αγωνία – σίγουρος ότι θα τον είχα μπερδέψει και ότι αυτή τη φορά δεν θα μπορούσε να βρει τη σωστή απάντηση. Κι’ όμως … « ο πρώτος αριθμός που σκέφτηκες είναι το 8 και ο δεύτερος το 3» είπε και ήταν τα σωστά… Ακόμη και τώρα μετά από τόσα χρόνια μου φαίνεται μαγικό…, αν και ξέρω ότι απλώς είναι μαθηματικό…
- 34. Μ α θ ημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 3 4 Λύση Ας υποθέσουμε ότι ο πρώτος αριθμός είναι ο χ μετά τον διπλασιάζουμε άρα γίνεται 2χ, μετά προσθέτουμε 5 άρα έχουμε 2χ+5 και πολλαπλασιάζουμε το αποτέλεσμα επί 5, οπότε καταλήγουμε 5(2χ+5). Ας υποθέσουμε ότι ο δεύτερος αριθμός είναι ο ψ και ότι ό πως στην ιστορία μας το τελικό αποτέλεσμα είναι το 108, καταλήγουμε λοιπόν στην εξίσωση 5(2χ+5)+ψ=108 Μετά από απλές πράξεις έχουμε 10χ+ψ=83 Όμως το μυστικό βρίσκεται στο γεγονός ότι και οι δύο αριθμοί είναι από το 1 ως το 9 οπότε η έκφραση 10χ+ψ δεν είν αι τίποτε άλλο παρά ο δεκαδικό τρόπος γραφής του 83 δηλαδή 10 χ ψ 10 8 3 Άρα χ=8 και ψ=3 !!!. Τόσο απλό αλλά και τόσο μαγικό !!!
- 35. Μ α θ ημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 3 5 Ιστορία 9η Υπάρχει ένα παιχνίδι όπου σε ένα κυκλικό ξύλινο δίσκο τοποθετούμε τέσσερα κεραμικά πλακάκια που το καθένα το έχουμε ζωγραφίσει με κόκκινη μπογιά την μία πλευρά του και με μαύρη την άλλη. Το παιχνίδι παίζεται με δύο παίκτες. Ο ένας έχει δεμένα τα μάτια του και ο άλλος τοποθετεί στον δίσκο όπως θέλει τα τέσσερα πλακάκια. Ο σκοπός του παιγνιδιο ύ είναι ο παίκτης που έχει δεμένα τα μάτια του με όσο το δυνατό λιγότερες κινήσεις να γυρίσει όσα πλακάκια θέλει ώστε όλα τα πλακάκια να έχουν κάποια στιγμή το ίδιο χρώμα. Σε κάθε κίνηση που θα κάνει ρωτά τον συμπαίκτη του αν τα έχει καταφέρει ή όχι κ αι ανάλογα συνεχίζει ή τελειώνει. Το παιχνίδι αυτό μπορεί να γίνει ακόμα πιο ενδιαφέρον αν μετά την κάθε προσπάθεια ο δίσκος γυρνάει όσες φορές θέλουμε δυσκολεύοντας έτσι την όλη προσπάθεια !!! Προσπαθήστε να παίξετε, υπάρχει μήπως μία σίγουρη στρατηγική για την νίκη ;;
- 36. Μ α θ ημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 3 6 Λύση Οι δυνατές περιπτώσεις που μπορούν να παρουσιαστούν τα πλακάκια είναι τέσσερεις, οι παρακάτω : 1η . Και τα τέσσερα με το ίδιο χρώμα π.χ. 2η . Διαγώνια με το ίδιο χρώμα π.χ. 3η . Στην ίδια πλευρά με το ίδιο χρώμα π.χ. 4η . Τα τρία με το ίδιο χρώμα π.χ. Ο μέγιστος αριθμός κινήσεων με τις οποίες, ανεξάρτητα αν περιστρέφεται ή όχι ο δίσκος μπορούμε να καταλήξουμε σε τέσσερα πλακάκια με το ίδο χρώμα είναι 7. Ο αλγόριθμος επίλυσης του προβλήματος είναι : 1η κίνηση : δεν αλλάζω τίποτε , μήπως βρίσκομε στην 1 η περίπτωση 2η κίνηση : αλλάζω διαγώνια , οπότε αν βρισκόμαστε στην 2 η περίπτωση λύνουμε το πρόβλημα. 3η κίνηση : αλλάζω οριζόντια , οπότε λύνουμε το πρόβλημα αν είμαστε στην 3α περίπτωση. 4η κίνηση : αλλάζω διαγώνια , μήπως μετά την τρίτη κίνηση βρίσκομαι στην 3 β περίπτωση. Μετά τις τέσσερεις πρώτες κινήσεις αν δεν έχει λυθεί το πρόβλημα αυτά σημαίνει ότι η διάταξη θα είναι σαν την 4 η περίπτωση, οπότε… 5η κίνηση : αλλάζω ένα οποιοδήποτε, μήπως κ αι τύχει και αλλάξω το μοναδικό πλακάκι διαφορετικού χρώματος. 6η κίνηση : αφού το πρόβλημα δεν λύθηκε στην 5 η κίνηση αυτό σημαίνει ότι ο δίσκος τώρα θα έχει την μορφή της 3 η ς περίπτωσης, άρα, αλλάζω οριζόντια οπότε λύνεται αν είμαι στην 3 α περίπτωση και στην περίπτωση όπου δεν έχει λυθεί τότε … 7η κίνηση : αλλάζω διαγώνια και το πρόβλημα λύθηκε !!!
- 37. Μ α θ ημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 3 7 Ιστορία 10η Ο τυχερός μου αριθμός είναι το 83, αφού γεννήθηκα στις 8 του Μαρτίου , το σωτήριο έτος … Έτσι έφτιαξα το παρακάτω μαγικό τετράγω νο με το οποίο παίζω το εξής παιχνίδι. 18 14 15 17 11 19 15 16 18 12 25 21 22 24 18 16 12 13 15 9 20 16 17 19 13 1. Ζητώ από τους συμπαίκτες μου να διαλέξουν έναν αριθμό, όποιον θέλουν από τον παραπάνω πίνακα. 2. Μετά να διαγράψουν όλους τους υπόλοιπους αριθμούς που βρίσκονται στην ίδια γραμμή και στήλη με τον αριθμό που διάλεξαν. 3. Την διαδικασία αυτή ζητώ να την επαναλάβουν και άλλες τέσσερις φορές. 4. Στο τέλος να κυκλώσουν τους πέντε αριθμούς που έχουν μείνει (χωρίς να έχουν διαγραφεί) και να τους προσθ έσουν. Το άθροισμα τους είναι… μα τι άλλο από το 83 !!! Παράδειγμα Ας υποθέσουμε ότι : ο πρώτος αριθμός που επιλέγεται είναι το 21 Διαγράφουμε τους υπόλοιπους αριθμούς που βρίσκονται στην ίδια γραμμή και στήλη Ο δεύτερος αριθμός ας είναι το 9, διαγράφουμε όμοια τους υπόλοιπους αριθμούς 18 14 15 17 11 19 15 16 18 12 25 21 22 24 18 16 12 13 15 9 20 16 17 19 13 18 14 15 17 11 19 15 16 18 12 25 21 22 24 18 16 12 13 15 9 20 16 17 19 13
- 38. Μ α θ ημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 3 8 Ο τρίτος αριθμός ας είναι ο 15, διαγράφουμε όμοια τους υπόλοιπους αριθμούς Ο τέταρτος αριθμός ας είναι ο 20, διαγράφουμε όμοια όλους τους υπόλοιπο υς αριθμούς Ο πέμπτος αριθμός δεν μπορεί να είναι άλλος από τον 18 Το άθροισμα των επιλεγμένων αριθμών είναι : 21+9+15+20+18=83 !!! Πώς το εξηγείτε αυτό ; Φτιάξε τα δικά σου μαγικά τετράγωνα με τους δικούς σου τυχερούς αριθμούς !!! 18 14 15 17 11 19 15 16 18 12 25 21 22 24 18 16 12 13 15 9 20 16 17 19 13 18 14 15 17 11 19 15 16 18 12 25 21 22 24 18 16 12 13 15 9 20 16 17 19 13 18 14 15 17 11 19 15 16 18 12 25 21 22 24 18 16 12 13 15 9 20 16 17 19 13
- 39. Μ α θ ημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 3 9 Λύση Ο στόχος είναι να φτιάξουμε έναν πίνακα 5Χ5 όπου όποια στοιχεία και αν πάρουμε, τα οποία όμως να μη βρίσκονται στην ίδια γραμμή ή στήλη, να έχουν άθροισμα 83. Ο τρόπος κατασκευής βασίζεται στο να επιλέξουμε αρχικά 10 αριθμούς με άθροισμα 83 ( στο παράδειγμα μας οι αριθμοί που έχουν επιλεγεί είναι οι 12,8,9,11,5,6,7,13,4,8) Τους αριθμούς αυτούς τους τοποθετούμε σε έναν πίνακα διπλής εισόδου όπως στο διπλανό σχήμα Μετά συμπληρώνουμε τον πίνακα προσθέτοντας απλά τα αντίστοιχα στοιχεία κάθε γραμμής και στήλης. Ο μαγικός πίνακας μας είναι έτοιμος προς πάσα χρήση !! 12 8 9 11 5 6 18 14 15 17 11 7 19 15 16 18 12 13 25 21 22 24 18 4 16 12 13 15 9 8 20 16 17 19 13 Κατασκεύασε τους δικούς σου πίνακες και παίξε με τους φίλους σου !!! 12 8 9 11 5 6 7 13 4 8
- 40. Μ α θ ημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 4 0
- 41. Μ α θ ημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 4 1 Ιστορία 11η Ήταν άνοιξη του 1978, ο ήλιος έλαμπε και διάθεση για σχολείο δεν υπήρχε. Μοιραία η πλατεία Παπαδιαμάντη φιλοξένησε για άλλη μί α φορά την παρέα. Εκτός από εμένα ήταν ο Δημήτρης και ο Νίκος ένας πανέξυπνος άνθρωπος. Πρώτος μαθητής αλλά όχι αυτό που λέμε φυτό απλά μυαλό !! Το καφενείο που συχνάζαμε το είχε ο κ. Παύλος ένας μυστήριος άνθρωπος που όλο με κάτι περίεργες σπαζοκεφαλιές ασχολιόταν. Κάποια στιγμή μας πλησιάζει και μας παρουσιάζει 5 φύλλα 2 κόκκινα και 3 μαύρα. Θα παίξετε ένα παιχνίδι μας είπε με τόνο φωνής τέτοιο που δεν σήκωνε κουβέντα. Θα βάλω να κρατάτε στο μέτωπο σας ένα από αυτά τα φύλλα, έτσι ο καθένας σας να μπορεί να βλέπει τα φύλλα των άλλων αλλά όχι το δικό του. Τα δύο φύλλα που περισσεύουν θα τα κρύψω. Ο σκοπός του παιχνιδιού είναι να μαντέψετε το χρώμα του φύλλου σας. Λοιπόν ξεκινάμε … Πρώτος ήμουν εγώ, αλλά δεν μπορούσα να μαντέψω. Μετά ήταν η σειρά του Δημήτρη που και αυτός με τη σειρά του παραιτήθηκε κάθε προσπάθειας. Τέλος ο Νίκος είπε με σιγουριά ότι το χρώμα του δικού του φύλλου ήταν ….. Το σπουδαίο ήταν ότι ούτε που καταδέχτηκε να κοιτάξει τα φύλλα μας, απλώς περίμενε τη σειρά του και μίλησε… Ο κ. Παύλος χαμογέλασε,… μια μέρα θα πας μπροστά εσύ του είπε και έφυγε για να εξυπηρετήσει κάποιους πελάτες. Ακόμα και τώρα σκέφτομαι με τι άνεση και αυτοπεποίθηση μίλησε τότε ο Νίκος, πόσο βέβαιος ήταν!!! Ποιο ήταν το χρώμα του φύλλου του; Πως εξηγείται αυτή η άνεση;
- 42. Μ α θ ημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 4 2 Λύση Ο Νίκος απάντησε ότι το δικό του χαρτί είχε χρώμα μαύρο και αυτό γιατί … Όλες οι δυνατές περιπτώσεις είναι 7 και παρουσιάζονται στο παρακάτω πίνακα : Εγώ Δημήτρης Νίκος 1η περίπτωση Μαύρο Κόκκινο Κόκκινο 2η περίπτωση Κόκκινο Μαύρο Κόκκινο 3η περίπτωση Μαύρο Μαύρο Κόκκινο 4η περίπτωση Κόκκινο Κόκκινο Μαύρο 5η περίπτωση Μαύρο Κόκκινο Μαύρο 6η περίπτωση Κόκκινο Μαύρο Μαύρο 7η περίπτωση Μαύρο Μαύρο Μαύρο Από τη στιγμή που δεν μπόρεσα με σιγουριά να απαντήσω ο Νίκος κατάλαβε, όπως και ο Δημήτρης ότι δεν έχουν και οι δύο κόκκινο χαρτί. Το γεγονός ότι ούτε και ο Δημήτρης δεν μπορούσε με σιγουριά να απαντήσει οδήγησε τον Νίκο να απορρίψει την 2 η περίπτωση, γιατί τότε ο Δημήτρης θα απαντούσε. Απόρριψε επίσης και την 3 η περίπτωση γιατί και πάλι ο Δημήτρης θα μπορούσε να απαντήσει αφού και αυτός με την σειρά του είχε ήδη απορρίψει τις δύο πρώτες περιπτώσεις. Τι έμενε λοιπόν, όποια από τις τέσσερις περιπτώσεις και αν ήταν πάντα αυτός θα είχε χρώμα μαύρο, τόσο απλά !!!
- 43. Μ α θ ημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 4 3 Ιστορία 12η Υπάρχει ένα παλιό παιχνίδι το «31», δεν έχει καμιά σχέση με αυτό που παίζεται με χαρτιά. Για να είμαστε ακριβείς θα μπορούσε να το λέγαμε «52», «63» ή ότι άλλο νούμερο θέλετε. Ακούστε πως παίζεται… Πρόκειται για παιχνίδι για δύο παίκτες. Ας υποθέσο υμε ότι έχουμε 31 κέρματα, οι παίκτες παίρνουν 1,2 ή 3 κέρματα τη φορά εναλλάξ. Αυτός που θα μείνει με ένα κέρμα χάνει. Ήταν της μόδας κάποτε γιατί το μόνο που χρειάζεται είναι κέφι και αν ακόμα δεν έχεις κέρματα δεν πειράζει χρησιμοποιείς βότσαλα. Για τον φίλο μου τον Νίκο σας έχω μιλήσει, ναι είναι αυτός που τον λέω μυαλό -διάνοια. Όταν το έπαιξα κάποτε σαν μαθητής μαζί του και τον νίκησα αισθάνθηκα ότι επιτέλους σε κάτι είμαι καλύτερός του. Όταν … μετά το δεύτερο παιχνίδι μου είπε: « το παιχνίδι είναι χαζό, πάντα υπάρχει τρόπος να κερδίζεις…, ακόμα και αν τα κέρματα είναι 1000» Πράγματι υπάρχει μία σίγουρη στρατηγική νίκης για αυτό το παιχνίδι μπορείς να τη βρεις;
- 44. Μ α θ ημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 4 4 Λύση Ας ξεκινήσουμε ανάποδα. Για να μείνει ένας παίκτης με 1 κέρμα πρέπει π ροηγουμένως στην «μάνα» να υπάρχουν 4 ή 3 ή 2 κέρματα. Αυτό μπορεί να συμβεί όταν πριν παίξει ο δεύτερος παίκτης στην μάνα υπάρχουν 5 το πολύ κέρματα. Δηλαδή με 5 κέρματα στη μάνα και παίζοντας ο άλλος μπορώ να κερδίσω. Έτσι το πρόβλημα μπορεί να αλλάξε ι και νικητής να θεωρείται αυτός που αφήνει στον άλλο παίκτη 5 κέρματα. Η προηγούμενη κατάσταση οδηγεί στο συμπέρασμα ότι τότε προηγουμένως στη μάνα υπάρχουν το πολύ 6 -7-8 κέρματα. Αυτό μπορεί να συμβεί όταν πριν παίξει ο δεύτερος παίκτης στην μάνα υπάρχου ν 9 το πολύ κέρματα. Έτσι το παιχνίδι αλλάζει και νικητής είναι εκείνος π ου αφήνει στον αντίπαλο 9 κέρματα. Ακολουθώντας την ίδια λογική μπορούμε να καταλήξουμε ότι νικητής είναι εκείνος που αφήνει στη μάνα 5 -9-13-17-21-25-29 κ.τ.λ κέρματα δηλαδή αριθμό ς κερμάτων της μορφής 4ν 1. Αυτή είναι μία σίγουρη στρατηγική νίκης για το παιχνίδι αυτό!! Ας παίξουμε μία παρτίδα για να επιβεβαιώσουμε τη στρατηγική μας Α’ παίκτης -2 -1 -2 -2 -2 -1 -1 -2 Μάνα 31 29 26 25 23 21 19 17 15 13 10 9 6 5 3 1 Β’ Παίκτης -3 -2 -2 -2 -3 -3 -2 Παρατηρείστε πως ο 1 ο ς παίκτης προσπαθεί να αφ ήνει στη μάνα αριθμό από κέρματα της μορφής 4ν 1 , δηλαδή 29,25,21,17,13,9,5. Ποια θα ήταν η στρατηγική αν μπορούσαμε να παίρνουμ ε μέχρι 5 κέρματα, ξεκινώντας από οποιοδήποτε αρχικό αριθμό κερμάτων.
- 45. Μ α θ ημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 4 5 Ιστορία 13η Το να μιλάς για το σχολείο του μέλλοντος είναι ριψοκίνδυνο αφού ότι και αν πεις σε λίγο θα γίνει παρόν και πολύ γρήγορα παρελθόν. Μάλλον σκιαγραφείς έναν χώρο που θα έχει ότι καλύτερο σαν χαρακτηριστικά. Να είναι δημιουργικό, να είναι χαρούμενο, να είναι χρήσιμο, να είναι αποτελεσματικό. Έτσι η γνώση δεν θα αναπαράγεται απλά, αλλά θα παράγεται και θα ανακαλύπτεται. Οι σχέσεις ανάμεσα στους μαθητές αλλά και ανάμεσα σε μαθητές και καθηγητές θα είναι τέτοιες ώστε να προάγεται η κριτική σκέψη και η διάθεση για έρευνα. Έτσι στο σχολείο του μέλλοντος, κάθε καθηγητής έχει και την αίθουσά του. Οπότε στις πόρτες των αιθουσών υπάρχουν πινακίδες που πληροφορούν αν στην αίθουσα διδάσκονται Μαθηματικά , Φυσική , Φιλολογικά κ.τ.λ. Ο Λυκειάρχης όμως στην προσπάθεια του να αναπτύξει την κρίση των μαθητών του αποφάσισε οι πινακίδες να είναι κάπως ιδιαίτερες ….. Έτσι τη Δευτέρα μπροστά σε δύο αίθουσες ,όπου μπορούσαν να είναι και οι δύο Μαθηματικών ή και οι δύο Φιλολόγων ή η μία Μαθηματικού και η άλλη Φιλολόγου, τοποθέτησε τις πινακίδες: Αν η μία από τις δύο πινακίδες γράφει την αλήθεια και η άλλη ψέματα, τι μάθημα διδάσκεται σε κάθε αίθουσα ; Την Τρίτη ,οι πινακίδες έγραφαν: Αν γνωρίζουμε ότι και οι δύο πινακίδες λένε αλήθεια ή και οι δύο ψέματα, καθώς επίσης ότι μπορεί και στις δύο αίθουσες να διδάσκονται Μαθηματικά ή και στις δύο Φιλολογικά ή στη μία Μαθηματικά και στην άλλη Φιλολογικά, τι μάθημα διδάσκεται στη καθεμία αίθουσα ; Ι Σ τ η ν α ί θ ο υ σ α α υ τ ή δ ι δ ά σ κ ο ν τ α ι Μ α θ η μ α τ ι κ ά κ α ι σ τ η δ ι π λ α ν ή Φ ι λ ο λ ο γ ι κ ά ΙΙ Σ ε μ ί α α π ό α υ τ έ ς τ ι ς δ ύ ο α ί θ ο υ σ ε ς δ ι δ ά σ κ ο ν τ α ι Μ α θ η μ α τ ι κ ά κ α ι σ τ η ν ά λ λ η Φ ι λ ο λ ο γ ι κ ά Ι Σ ε μ ί α τ ο υ λ ά χ ι σ τ ο ν α π ό α υ τ έ ς τ ι ς δ ύ ο α ί θ ο υ σ ε ς δ ι δ ά σ κ ο ν τ α ι Μ α θ η μ α τ ι κ ά ΙΙ Σ τ η ν ά λ λ η α ί θ ο υ σ α δ ι δ ά σ κ ο ν τ α ι Φ ι λ ο λ ο γ ι κ ά
- 46. Μ α θ ημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 4 6 Την Τετάρτη, οι μαθητές βρέθηκαν σε μία έκπληξη υπήρχαν σε τρεις αίθουσες πινακίδες: Αν σε μία από τις αίθουσες διδάσκονται Μαθηματικά και στις άλλες δύο Φιλολογικά και το πολύ μία από τις τρεις πινακίδες λέει την αλήθεια, τι μάθημα διδάσκεται σε κάθε μία αίθουσα ; Την Πέμπτη ,ο Λυκειάρχης δεν πρόλαβε να τοποθετήσει στις δύο αίθουσες τις πινακίδες, αλλά απλά τις έδειξε στους μαθητές: Είναι γνωστό ότι : Αν στην αίθουσα Ι διδάσκονται Μαθηματικά τότε η πινακίδα λέει την αλήθεια, αλλά, αν διδάσκονται Φιλολογικά ,τότε η πινακίδα λέει ψέματα. Για την αίθουσα ΙΙ ισχύει το αντίθετο ,δηλαδή, αν διδάσκονται Μαθηματικά, τότε η πινακίδα λέει ψέματα, ενώ ,αν διδάσκονται Φιλολογικά ,τότε λέει την αλήθεια. Τι μάθημα διδάσκεται στην κάθε αίθουσα, αν γνωρίζουμε ότ ι μπορεί και στις δύο αίθουσες να διδάσκονται Μαθηματικά ή και στις δύο Φιλολογικά ή στη μία Μαθηματικά και στην άλλη Φιλολογικά ; Το μεγαλείο τελικά των αρχαίων ελλήνων μαθηματικών είναι ότι ξεκινώντας με ένα «έστω …» κατέληγαν σε ένα «ώστε…» δύο λεξούλες που η μία προκύπτει από την άλλη με έναν απλό αναγραμματισμό !!!. Εργαζόμενος με τον ίδιο τρόπο αναγνώστη προσπάθησε να απαντήσεις στα ερωτήματα που θέτει το παραπάνω κείμενο. Αν αναρωτιέστε τι έγινε την Παρασκευή η απάντηση είναι ότι δεν υπήρχαν σε καμιά αίθουσα πινακίδες ,γιατί απλά οι μαθητές πήγαν εκδρομή !! Ι Σε αυτήν την αίθουσα διδάσκονται Φιλολογικά ΙΙ Σε αυτή την αίθουσα διδάσκονται Μαθηματικά ΙΙΙ Στην αίθουσα ΙΙ διδάσκονται Φιλολογικά Στην αίθουσα αυτή διδάσκονται Φιλολογικά Και στις δύο αίθουσες διδάσκονται Φιλολογικά
- 47. Μ α θ ημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 4 7 Λύση Τη Δευτέρα υπήρχαν οι πινακίδες : Αν η μία από τις δύο πινακίδες γράφει την αλήθεια και η άλλη ψέματα , τι μάθημα διδάσκεται σε κάθε αίθουσα ; Σχηματίζουμε τον παρακάτω πίνακα αλήθειας ψεύδους για τις περιπτώσεις της άσκησης. 1η Πινακίδα 2η Πινακίδα Αλήθεια Στην Ι μαθηματικά και στην ΙΙ Φιλολογικά Σε μία αίθουσα Μαθηματικά και στην άλλη Φιλολογικά Ψέμα Στην Ι Φιλολογικά και στην ΙΙ Μαθηματικά Και στις δύο αίθουσες ή μαθηματικά ή Φιλολογικά Επειδή η μία πινακίδα λέει την αλήθεια και η άλλη ψέμα η περίπτωση 1η Πινακίδα – Αλήθεια , 2η Πινακίδα – Ψέμα οδηγεί σε άτοπο Άρα στην 1η αίθουσα διδάσκονται Φιλολογικά και στην 2η Μαθηματικά. Ι Σ τ η ν α ί θ ο υ σ α α υ τ ή δ ι δ ά σ κ ο ν τ α ι Μ α θ η μ α τ ι κ ά κ α ι σ τ η δ ι π λ α ν ή Φ ι λ ο λ ο γ ι κ ά ΙΙ Σ ε μ ί α α π ό α υ τ έ ς τ ι ς δ ύ ο α ί θ ο υ σ ε ς δ ι δ ά σ κ ο ν τ α ι Μ α θ η μ α τ ι κ ά κ α ι σ τ η ν ά λ λ η Φ ι λ ο λ ο γ ι κ ά
- 48. Μ α θ ημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 4 8 Τη Τρίτη υπήρχαν οι πινακίδες : Αν γνωρίζουμε ότι και οι δύο πινακίδες λένε αλήθεια ή και οι δύο ψέματα, καθώς επίσης ότι μπορεί και στις δύο αίθουσες να διδάσκονται Μαθηματικά ή και στις δύο Φιλολογικά ή στη μία Μαθηματικά και στην άλλη Φιλολογικά, τι μάθημα διδάσκεται στη καθεμία αίθουσα ; Σχηματίζουμε τον παρακάτω πίνακα αλήθειας ψεύδους για τις περιπτώσεις της άσκησης. 1η Πινακίδα 2η Πινακίδα Αλήθεια Σε μία το ελάχιστο από τις αίθουσες διδάσκονται Μαθηματικά Στη 1η διδάσκονται Φιλολογικά Ψέμα Σε καμία αίθουσα δε διδάσκονται Μαθηματικά Στη 1η δεν διδάσκονται Φιλολογικά Επειδή και οι δύο λένε αλήθεια ή και οι δύο ψέμα , η περίπτωση και οι δύο να λένε ψέματα οδηγεί σε άτοπο. Άρα στη 1η διδάσκονται Φιλολογικά και στη 2η μαθηματικά. Ι Σ ε μί α τ ου λά χι σ το ν απ ό α υ τέ ς τ ι ς δ ύο αί θο υ σε ς δ ι δ άσ κ ο ντ αι Μ α θ ημ ατ ικ ά ΙΙ Σ τ η ν ά λλη α ί θο υσ α δ ι δ ά σ κο ν τ αι Φι λο λο γικ ά
- 49. Μ α θ ημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 4 9 Την Τετάρτη, υπήρχαν σε τρεις αίθουσες πινακίδες: Αν σε μία από τις αίθουσες διδάσκονται Μαθηματικά και στις άλλες δύο Φιλολογικά και το πολύ μία από τις τρεις πινακίδες λέει την αλήθεια, τι μάθημα διδάσκεται σε κάθε μία αίθουσα ; Επειδή το πολύ μία από τις τρεις πινακίδες λέει την αλήθεια σχηματίζουμε τον παρακάτω πίνακα για τα δεδομένα της άσκησης. Η 1η περίπτωση μας οδηγεί στο συμπέρασμα : Άτοπο !!! Η 2η περίπτωση μας οδηγεί στο συμπέρασμα : Άτοπο !!! διότι σε μία αίθουσα διδάσκονται Μαθηματικά. Η 3η περίπτωση μας οδηγεί στο συμπέρασμα : Που σημαίνει ότι στην 3η αίθουσα διδάσκονται Φιλολογικά Η 4η περίπτωση μας οδηγεί στο συμπέρασμα : Άτοπο !!! διότι σε μία αίθουσα διδάσκονται Μαθηματικά. Άρα τα μαθήματα τις τρεις αίθουσες είναι αντίστοιχα Μαθηματικά – Φιλολογικά - Φιλολογικά Περίπτωση 1η πινακίδα 2η πινακίδα 3η πινακίδα 1η Αλήθεια Ψέμα Ψέμα 2η Ψέμα Αλήθεια Ψέμα 3η Ψέμα Αλήθεια Ψέμα 4η Ψέμα Ψέμα Ψέμα 1η αίθουσα 2η αίθουσα 3η αίθουσα Φιλολογικά Φιλολογικά Στην 2η Μαθηματικά 1η αίθουσα 2η αίθουσα 3η αίθουσα Μαθηματικά Μαθηματικά Στην 2η Μαθηματικά 1η αίθουσα 2η αίθουσα 3η αίθουσα Μαθηματικά Φιλολογικά Στην 2η Φιλολογικά 1η αίθουσα 2η αίθουσα 3η αίθουσα Μαθηματικά Φιλολογικά Στην 2η Μαθηματικά Ι Σ ε α υ τ ή ν τ η ν α ί θ ο υ σ α δ ι δ ά σ κ ο ν τ α ι Φ ι λ ο λ ο γ ι κ ά ΙΙ Σ ε α υ τ ή τ η ν α ί θ ο υ σ α δ ι δ ά σ κ ο ν τ α ι Μ α θ η μ α τ ι κ ά ΙΙΙ Σ τ η ν α ί θ ο υ σ α Ι Ι δ ι δ ά σ κ ο ν τ α ι Φ ι λ ο λ ο γ ι κ ά
- 50. Μ α θ ημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 5 0 Τη Πέμπτη ο Λυκειάρχης δεν πρόλαβε να τοποθετήσει στις δύο αίθουσες τις πινακίδες, αλλά απλά τις έδειξε στους μαθητές: Είναι γνωστό ότι : Αν στην αίθουσα Ι διδάσκονται Μαθηματικά τότε η πινακίδα λέει την αλήθεια, αλλά, αν διδάσκονται Φιλολογικά ,τότε η πινακίδα λέει ψέματα. Για την αίθουσα ΙΙ ισχύει το αντίθετο ,δηλαδή, αν διδάσκονται Μαθηματικά, τότε η πινακίδα λέει ψέματα, εν ώ ,αν διδάσκονται Φιλολογικά ,τότε λέει την αλήθεια. Τι μάθημα διδάσκεται στην κάθε αίθουσα, αν γνωρίζουμε ότι μπορεί και στις δύο αίθουσες να διδάσκονται Μαθηματικά ή και στις δύο Φιλολογικά ή στη μία Μαθηματικά και στην άλλη Φιλολογικά ; Καταρχήν πρέπει να βρούμε ποια πινακίδα αντιστοιχεί σε ποια αίθουσα. Αν στην αίθουσα Ι αντιστοιχούσε η 1η πινακίδα καταλήγουμε σε άτοπο. Διότι, γνωρίζουμε ότι στην Ι αίθουσα: αν διδάσκονται μαθηματικά τότε η πινακίδα ( που λέει στην αίθουσα αυτή διδάσκονται Φιλολογικά) λέει αλήθεια πράγμα άτοπο. Αν διδάσκονται Φιλολογικά τότε η πινακίδα λέει ψέματα, πάλι άτοπο. Συμπέρασμα οι πινακίδες πρέπει να τοποθετηθούν ως εξής : Σχηματίζουμε τον παρακάτω πίνακα για τα δεδομένα της άσκησης. 1η αίθουσα 1η Πινακίδα Στις δύο αίθουσες διδάσκονται Φιλολογικά 2η Πινακίδα Στην αίθουσα διδάσκονται Φιλολογικά 2η αίθουσα Διδάσκονται Μαθηματικά Αλήθεια Ψέμα Διδάσκονται Μαθηματικά Διδάσκονται Φιλολογικά Ψέμα Αλήθεια Διδάσκονται Φιλολογικά Για την 1η αίθουσα έχουμε ότι : Αν διδάσκονται μαθηματικά τότε η πινακίδα λέει αλήθεια άρα και στις δύο αίθουσες διδάσκονται Φιλολογικά, άτοπο. Αν διδάσκονται Φιλολογικά τότε η πινακίδα λέει ψέμα, άρα δεν διδάσκονται και στις δύο αίθουσες Φιλολογικά. Οπότε στην 2 η αίθουσα διδάσκονται Μαθηματικά. Η επιλογή να διδάσκονται Μαθηματικά στη 2η αίθουσα μας οδηγεί στο συμπέρασμα ότι η 2η πινακίδα λέει ψέμα, δηλαδή ότι πράγματι στην αίθουσα δε διδάσκονται Φιλολογικά Άρα στη 1η διδάσκονται Φιλολογικά και στη 2η μαθηματικά. Σ τ η ν αί θο υ σ α αυ τή δ ι δ ά σ κο ν τ αι Φι λο λο γικ ά Κ α ι σ τι ς δ ύ ο αί θο υ σε ς δ ι δ ά σ κο ν τ αι Φι λο λο γικ ά 2 η α ί θο υ σα Σ τ η ν αί θο υ σ α αυ τή δ ι δ ά σ κο ν τ αι Φι λο λο γικ ά 1 η α ί θο υ σα Κ α ι σ τι ς δ ύ ο αί θο υ σε ς δ ι δ ά σ κο ν τ αι Φι λο λο γικ ά
- 51. Μ α θ ημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 5 1 Ιστορία 14η Είχαμε και οι τρεις μείνει με το στόμα ανοικτό. Ήταν τεράστιες! Πραγματικό θαύμα κατασκευής , πολιτισμού. Οι φωτογραφίες έδιναν και έπαιρναν. Βγήκαμε μία και οι τρεις, η Αθανασία η Κωνσταντίνα και εγώ. Μία οικογενειακή φωτογραφία, στη σκιά του μεγαλύτερ ου ανθρώπινου δημιουργήματος, κάτω από την πυραμίδα του Χέοπα. Σύμφωνα με τον οδηγό μας η κατασκευή της κράτησε 30 χρόνια. Από ελεύθερους αγρότες που δούλευαν για το ψωμί τους σε περιόδους που δεν είχε ανάγκη η γη από εργατικά χέρια και όχι από δούλους όπως έχουμε συνηθίσει να πιστεύουμε. Λέγεται ότι είναι ταφικό μνημείο, αλλά αυτό αμφισβητείται έντονα. Υπάρχουν θεωρίες όπου υποστηρίζουν ότι το σύμπλεγμα των πυραμίδων είναι ένα αστρονομικό παρατηρητήριο. Λένε ότι οι τρεις μαζί αποτελούν προβολή στη γη τω ν τριών μεγάλων άστρων της ζώνης του Ωρίωνα. Από μετρήσεις των βασικών μεγεθών της εμφανίζονται αριθμοί σταθμοί στη Μαθηματική επιστήμη. Ο αριθμός π, ο χρυσός λόγος φ, ο 2 . Οι γωνίες της βάσης της είναι 90 με ελάχιστη απόκλιση. Ο προσανατολισμός της είναι Βοράς Νότος, μία τέλεια κατασκευή προσανατολισμού, ίσως ο πρώτος μεσημβρινός. Πόσο ψηλή είναι, ρώτησε η κόρη μου; Περίπου 147 μέτρα είπα, ξέρεις ποιος τη μέτρησε πρώτος; Ο Θαλής ο Μιλήσιος ένας από τους επτά σοφούς της αρχαιότητας. Επτά σοφοί της αρχαιότητας, επτά θαύματα του αρχαίου κόσμου, καλό μου ακούγεται είπε η γυναίκα μου η Αθανασία. Χωρίς να χάσω χρόνο τοποθέτησα την κόρη μου Κωνσταντίνα σε μία όρθια, πιθανόν λίγο άβολη θέση και της είπα, ας μετρή σουμε τη σκιά σου, είναι περίπου 1,5 μέτρο. Αν μετρήσουμε και τη σκιά της πυραμίδας από τους λόγους που θα προκύψουν μπορούμε να υπολογίσουμε και εμείς όπως ο Θαλής την πυραμίδα. Μίλησα γρήγορα, είχα ενθουσιαστεί, ένιωθα ένας μικρός – ασήμαντος στην πραγματικότητα, Θαλής. Δεν κατάλαβα τίποτε, είπε η κόρη μου, μιλάς για τον εαυτό σου. Ας κάνουμε ένα σχήμα. Γεωμετρία χωρίς σχήμα γίνεται;
- 52. Μ α θ ημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 5 2 Εγώ είμαι περίπου 1,5 μέτρο, τη σκιά μου τη μέτρησες. Περίεργο! το ίδιο. Πόσο είναι η πλευρά της βάσης της πυραμίδας; Ο ταξιδιωτικός οδηγός μιλάει για 230 μέτρα. Δεν έχουμε παρά να μετρήσουμε τη σκιά… Η σκηνή θα έπρεπε να ήταν για γέλια. Μες τον ήλιο δύο παλαβοί μετρούσαν περπατώντας από το άκρο της πυραμίδας μέχρι εκεί που σταμάταγε η σκιά της. Είναι περίπου … Περίπου πόσο είπε η Αθανασία; Η φωνή μας τη έπαιρνε ο αέρας, ποτέ δεν την άκουσε. Τώρα που κοιτάμε ξανά τις φωτογραφίες από την εκδρομή αυτή με ξαναρώτησε, τελικά … πόσο ήταν η σκιά της πυραμίδας;
- 53. Μ α θ ημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 5 3 Λύση Αφού το ύψος ΔΕ της κόρης μου και το μήκος ΖΕ της σκιάς της ήταν το ίδιο, πρέπει να συμβαίνει το ίδιο και με το ύψος και τη σκιά της πυραμίδας. Άρα αφού το ύψος της είναι 147 μέτρα τόσο πρέπει να είναι και η απόσταση ΒΓ. Δηλαδή η μισή πλευρά της πυραμίδας και η σκιά που μπορούσαμε να μετρήσουμε ήταν 147 μέτρα. Επομένως 115 μέτρα η μισή πλευρά, άρα η σκιά ήταν… Η πραγματική μέτρηση από τον Θαλή θα έπρεπε να παρουσίαζε μεγαλύτερες δυσκολίες. Στην ιστορία μου αυθαίρετα θεωρώ ότι η σκιά της πυραμίδας πέφτει με προσανατολισμό Βορά- Νότου, όπως και οι πλευρές της πυραμίδας. Αλλά αυτό μπορεί να συμβαίνει, αν συμβαίνει, κάποιες ελάχιστες μέρες το χρόνο. Ο μύθος δεν λέει ότι ο Θαλής πήγε μία συγκριμένη εποχή αλλά ότι απλά τη μέτρησε χρησιμοποιώντας τη σκιά του και τη σκιά της. Οπότε μάλλον στην πραγματικ ότητα ο Θαλής θα είχε να λύση το πρόβλημα του υπολογισμού του ύψους της πυραμίδας σε μία κατάσταση όπως αυτή που περιγράφει το διπλανό σχήμα. Μπορούμε να υπολογίσουμε το ύψος της πυραμίδας τώρα; Εδώ σας θέλω Θαλήδες μου …
- 54. Μ α θ ημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 5 4
- 55. Μ α θ ημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 5 5 Ιστορία 15η Όποιο Ελληνικό γκρουπ επισκέπτεται την Αίγυπτο πάει οπωσδήποτε και στην Αλεξάνδρεια. Την πόλη του μεγάλου Αλεξάνδρου. Σήμερα η πόλη δεν διαφέρει από μία οποιαδήποτε άλλη μεγαλούπολη της Βόρειας Αφρικής. Πολύς κόσμος , πολύ φασαρία, μεγάλη μόλυνση. Για μας τους Έλληνες υπάρχει το μουσείο του Καβάφη, το πατριαρχείο με την εκκλησία του Αγίου Γεωργίου και … βέβαια η νέα μεγάλη βιβλιοθήκη της Αλεξάνδρειας. Δεν γνωρίζω αν η παλιά ήταν τόσο επιβλητική, αλλά το κτήριο της νέας βιβλιοθήκης είναι το κάτι άλλο. Μπαίνοντας στο κτήριο, ως γνήσιοι Έλληνες ξεσηκώσαμε τον κόσμο. Θαυμάζαμε τις τεράστιες αψίδες που σχημάτιζαν μία μεγάλη ενιαία αίθουσα γεμάτη από σπουδαστές, βιβλιοθήκες, υπολογιστές. Στους τοίχους χάρτες πορτρέτα γνωστών και άγνωστων επιφανών δημιουργών των τεχνών και των επιστημών. Σε περίοπτη θέση μία αφίσα με τον Ερατοσθένη και τον χάρτη του τότε γνωστού κόσμου κατά τον Πτολεμαίο. Τότε ήταν που ήρθε δειλά δίπλα μας ο Χουσεΐν, σπουδαστής Ηλεκτρονικών Υπολογιστών του Πανεπιστημίου του Καΐρου αλλά και μεταπτυχιακός σπουδαστής του Μετσόβιου Πολυτεχνείου της Αθήνας.
- 56. Μ α θ ημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 5 6 Πάντα χαίρομαι όταν συναντώ Έλληνες μας είπε. Ελάτε να σας ξεναγήσω. Ελάτε να σας συστήσω στον διάσημο επιστήμονα και προγονό σας, τον Ερατοσθένη. Οι αρχαίοι Έλληνες γνώριζαν ότι η γη είναι στρογγυλή. Το γνώριζαν από τη σκιά που ρίχνει στη σελήνη όταν έχουμε εκλείψεις, από το γεγονός ότι πρώτα ξεχωρίζουν τα ιστία από ένα πλοίο που έρχεται στο λιμάνι και μετά ολόκληρο το καράβι. Από τη θέση των αστερισμών στον ορίζοντα. Όσο πιο Βόρεια ταξιδεύουμε τόσο ο πολικός ανεβαίνει σε σχέση με τον ορίζοντα. Όμως ο πρώτος που μέτρησε την ακτίνα της ήταν ο Ερατοσθένης. Ο Ερατοσθένης (275 -193 π.χ.) δίδαξε στην Αθήνα και στην Αλεξάνδρεια. Στο έργο του « περί διαστάσ εων της γης» υπολογίζει με θαυμαστή ακρίβεια για τα μέτρα της εποχής την ακτίνα της γης, χρησιμοποιώντας μαθηματικά. Γνώριζε ότι στη πόλη της Συήνης στο σημερινό Ασουάν υπάρχει ένα πηγάδι που στο μεσημέρι του θερινού ηλιοστασίου ( 21 Ιουνίου) ο ήλιος πέφτει στη βάση του κάθετα, χωρίς να υπάρχουν σκιές. Επίσης γνώριζε ότι ο προσανατολισμός Συήνη – Αλεξάνδρεια ήταν Νότος - Βοράς και απείχαν περίπου 800 χιλιόμετρα. Μετά μέτρησε γωνίες, να έτσι και μας έδειξε ένα σχέδιο στο τοίχο. Ο Χουσεΐν χωρίς να πάρει ανάσα συνέχισε …η γωνία ω είναι η γωνία της σκιάς των αχτίνων του ηλίου στην Αλεξάνδρεια. Την υπολόγισε 18 . Μετά από αυτό ήταν εύκολος ο υπολογισμός η ακτίνα είναι περίπου … Απόγονε του Ερατοσθένη, πόσο είναι η ακτίνα της γη ς ; Οι μετρήσεις που ήδη έχουν αναφερθεί σίγουρα θα σε βοηθήσουν…
- 57. Μ α θ ημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 5 7 Λύση Μετρώντας ο Ερατοσθένης ότι η γωνία ω είναι 18 , εύκολα υπολογίζει ότι η γωνία φ είναι 1 72 360 50 Θεωρώντας ότι οι ακτίνες του ηλίου είναι παράλληλες μεταξύ τους υπολογίζει ότι η απόσταση Αλεξάνδρεια – Συήνη αντιστοιχεί σε τόξο 72 . Άρα τόξο 72 ενός μεσημβρινού της γης αντιστοιχεί σε μήκος 800Km, άρα τόξο 360 αντιστοιχεί σε μήκος 360 800 800 50 40.000 50 Km 40.000Km είναι λοιπόν η περιφέρεια της γης. Άρα η ακτίνα της είναι 40.000 40.000 6.370 2 6,28 Km Μας έβαλε τα γυαλιά ο Ερατοσθένης, με σκέψη και απλά μαθηματικά υπολόγισε κάτι που θεωρείτο αν όχι απίθανο τουλάχιστο πολύ δύσκολο να υπολογισθεί. Αθάνατη αρχαία Ελλάδα !!!
- 58. Μ α θ ημ ατ ικ ές Ι σ το ρ ίε ς Γ. Λαγουδάκος σε λ. 5 8