1. Ι Σ Τ Ο Ρ Ι ΕΣ Α Π Ο Τ Η « Θεω ρί α τω ν α ρι θμ ών »
Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 1
ΙΣΤΟΡΙΕΣ
ΤΗΣ
ΘΕΩΡΙΑΣ
ΤΩΝ
ΑΡΙΘΜΩΝ
Επιμέλεια : Γ. Λαγουδάκος
Μελίσσια 2011

2. Ι Σ Τ Ο Ρ Ι ΕΣ Α Π Ο Τ Η « Θεω ρί α τω ν α ρι θμ ών »
Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 2

3. Ι Σ Τ Ο Ρ Ι ΕΣ Α Π Ο Τ Η « Θεω ρί α τω ν α ρι θμ ών »
Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 3
Οι “Ιστορίες από τη θεωρία των αριθμών” είναι μία εργασία που
βασίζεται στο μεγαλύτερο μέρος της στο βιβλίο “An introduction to
number theory” του “Edward B. Burger”.
Ο χωρισμός των 21 ενοτήτων ακολουθεί το χωρισμό του πρωτοτύπου.
Σε κάποια όμως κεφάλαια – ιστορίες έχουν ληφθεί υπόψη και
στοιχεία από τα βιβλία :
“ Η υπόθεση του Rieamann” του John Derbyshire, εκδόσεις Τραυλός
,(Ιστορία 7η
).
“Το τελευταίο θεώρημα του Fermat” του Simon Singh, εκδόσεις
Τραυλός , (Ιστορία 13η
).
“Κώδικες και μυστικά “ του Simon Singh, εκδόσεις Τραυλός (Ιστορίες
10η
– 11η
).
“ Η μουσική των πρώτων αριθμών ” του Marcus Du Saudoy, εκδόσεις
Τραυλός (Επίλογος)
Στο τέλος της εργασίας περιλαμβάνεται το κεφάλαιο «γεγονότα και
βιογραφίες» όπου ο αναγνώστης μπορεί σύντομα μέσα σε 13 σελίδες
να περιδιαβεί την ιστορία της θεωρίας των αριθμών από τους
Βαβυλώνιους μέχρι την α πόδειξη του τελευταίου θεωρήματος του
Fermat το 1994.
Διαβάζοντας, το καλοκαίρι του 2011 , το βιβλίο του Burger θεώρησα
ότι θα είναι ενδιαφέρον να μοιραστώ με τους μαθητές μου όλα όσα
καινούργια έμαθα για την ιστορία της θεωρίας των αριθμών.
Όποια λάθη τυχόν υπάρχουν καλό είναι να σημειωθούν ώστε να γίνει
και η αναγκαία διόρθωση.
Καλό διάβασμα …
Γεώργιος Λαγουδάκος (καλοκαίρι 2011)

4. Ι Σ Τ Ο Ρ Ι ΕΣ Α Π Ο Τ Η « Θεω ρί α τω ν α ρι θμ ών »
Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 4

5. Ι Σ Τ Ο Ρ Ι ΕΣ Α Π Ο Τ Η « Θεω ρί α τω ν α ρι θμ ών »
Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 5
Εισαγωγή στη
Θεωρία των Αριθμών
Α. Τί είναι η θεωρία των αριθμών;
Η περιοχή των Μαθηματικών που ασχολείται με τους φυσικούς
αριθμούς και τις ιδιότητες τους λέγεται «Θεωρία Αριθμών¨.
Αποτελείται από δύο κλάδους :
Την αναλυτική θεωρία των αριθμών που εστιάζει στη μελέτη των
πρώτων αριθμών.
1. Πρώτοι (primes) είναι εκείνοι οι φυσικοί που είναι
μεγαλύτεροι του 1 και δεν μπορούν να γραφούν ως γινόμενο
δύο μικρότερων φυσικών.
2. Οι πρώτοι από τους πρώτους αριθμούς είναι οι
2,3,5,7,11,13,17,...
3. Το πρώτο ερώτημα που τίθεται είναι « Πόσοι είναι οι πρώτοι
αριθμοί;».
4. Το 1896 διατυπώθηκε η εικασία « το πλήθος των πρώτων
αριθμών που είναι μικρότεροι του φυσικού ν είναι περίπου
ίσο με
ν
lnν
.»
5. Ο σπουδαίος Γερμανός μαθηματικός Riemann στην
προσπάθεια του να αποδείξει την πρόταση αυτή ανέπτυξε
μία εικασία. Η εικασία αυτή είναι γνωστή ως Υπόθεση
Riemann. Αποτελεί ένα άλυτο πρόβλημα στη θεωρία των
αριθμών το εάν η υπόθεση αυτή είναι αληθής ή όχι.
6. Η θεωρία των πρώτων αριθμών λέγεται «Αναλυτική θεωρία
αριθμών» διότι εμπλέκει τεχνικές μαθηματικής ανάλυσης.

6. Ι Σ Τ Ο Ρ Ι ΕΣ Α Π Ο Τ Η « Θεω ρί α τω ν α ρι θμ ών »
Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 6
Την αλγεβρική θεωρία των αριθμών που εστιάζει στην αριθμητική
1. Ας υποθέσουμε ότι έχουμε μία εξίσωση με ακέραιους
συντελεστές στην οποία εμφαν ίζονται προσθέσεις –
αφαιρέσεις και πολλαπλασιασμοί. Μπορούμε πάντα να
βρούμε φυσικούς αριθμούς ως λύσεις της; Τέτοιες
εξισώσεις λέγονται Διοφαντικές εξισώσεις .
2. Για παράδειγμα, αν σκεφτούμε την εξίσωση που προκύπτει
από το Πυθαγόρειο θεώρημα
2 2 2
x y z , μία λύση της
είναι x 3 , y 4 και z 5 . Υπάρχουν άλλες λύσεις και
πόσες είναι;
3. Το 1637 ο P. de Fermat (1601-1665) διατύπωσε την εικασία
ότι η αντίστοιχη Διοφαντική εξίσωση
n n n
x y z με n 3
δεν έχει λύση στο σύνολο των Φυσικών αριθμών. Για
περίπου 350 χρόνια η πρόταση αυτή ήταν ένα από τα
«επικηρυγμένα» προβλήματα των Μαθηματικών, μέχρι το
1994 όπου … αυτό θα το δούμε στη συνέχεια.
4. Η μελέτη τέτοιων εξισώσεων μάς επιτρέπει να μελετήσουμε
σε βάθος τους φυσικούς και τη σχέση τους με τους πρώτους
αριθμούς.
5. Επειδή αυτή η περιοχή της θεωρίας των αριθμών ασχολείται
με τη λύση εξισώσεων, λέγεται «Αλγεβρική θεωρία
αριθμών».
Οι δύο κλάδοι προφανώς συνδέονται μεταξύ τους στη μελέτη των
πρώτων αριθμ ών και τις ιδιότητες τους.

7. Ι Σ Τ Ο Ρ Ι ΕΣ Α Π Ο Τ Η « Θεω ρί α τω ν α ρι θμ ών »
Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 7
Β. Στις επόμενες ιστορίες θα ασχοληθούμε με :
Τη στοιχειώδη θεωρία των αριθμών
1. Θα ξεκινήσουμε ανακαλύπτοντας μερικές ενδιαφέρουσες
σχέσεις ανάμεσα στους φυσικούς αριθμούς. Οι σχέσεις
αυτές πέραν του γεγονότος ότι από μόνες τους προκαλούν,
συγχρόνως είναι εργαλεία για την βαθύτερη μελέτη των
αριθμών.
2. Οι σχέσεις αυτές θα μας δώσουν την δυνατότητα να
εικάσουμε και τέλος να γενικεύσουμε τις ιδέες μας
αποδεικνύοντάς τις.
Τη αναλυτική θεωρία των αριθμών , όπου θα παρουσιάσουμε τ ους
πρώτους αριθμούς και το κεντρικό ρόλο που παίζουν στο κόσμο των
αριθμών.
Τη modular αριθμητική
1. Συνδέοντας τις ιδιότητες των πρώτων με την αριθμητική του
ρολογιού, έναν κόσμο της αριθμητικής που χρησιμοποιεί την
διαίρεση εστιάζοντας την στο υπόλοιπο π αρά στο πηλίκο.
2. Στη συνέχεια θα προσεγγίσουμε έναν από τους πιο
μοντέρνους κλάδους των εφαρμοσμένων Μαθηματικών αυτό
της κρυπτογραφίας, παρουσιάζοντας το πρόβλημα του
Δημόσιου κλειδιού κρυπτογράφησης.
Την αλγεβρική θεωρία των αριθμών που εστιάζει την προσοχή της
στην επίλυση συγκεκριμένων εξισώσεων. Η ενασχόληση μας με το
συγκεκριμένο πεδίο θα μας θυμίσει όσα είχαμε γνωρίσει για τους
αριθμούς από την εποχή του σχολείου.

8. Ι Σ Τ Ο Ρ Ι ΕΣ Α Π Ο Τ Η « Θεω ρί α τω ν α ρι θμ ών »
Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 8
Την αλγεβρική γεωμετρία
1. Εδώ θα συνδυάσουμε τη δύναμη της Άλγεβρας με τη δύναμη
της Γεωμετρίας για να ανακαλύψουμε τη σχέση ανάμεσα
στις λύσεις εξισώσεων και σημείων καμπυλών.
2. Η αλληλεπίδραση της θεωρίας των αριθμών και της
Γεωμετρίας είναι ένα από τα πλέον σημαντικά πεδία
έρευνας στη μοντέρνα θεωρία των αριθμών.
Τους αλγεβρικούς κα ι υπερβατικούς αριθμούς
1. Εδώ θα διερευνήσουμε αν υπάρχουν και άλλοι αριθμοί εκτός
από αυτούς που αποτελούν λύσεις εξισώσεων, που
εξετάζουμε στην αλγεβρική θεωρία των αριθμών.
2. Η ερώτηση αυτή αποτελούσε μυστήριο για πολλά χρόνια
μέχρι το 1844 …
Τα συνεχή κλάσματα
1. Θα ανακαλύψουμε ένα διαφορετικό τρόπο γραφής, πέραν
του γνωστού δεκαδικού τρόπου, που όμως χρησιμοποιείται
ευρύτατα στη θεωρία των αριθμών.
2. Αυτός ο τρόπος γραφής θα μας δώσει τη δυνατότητα να
απαντάμε σε ερωτήματα όπως: «γιατί ο αριθμός
22
7
είναι
τόσο κοντά στο π;»
Κατά τη διάρκεια των ιστοριών θα γνωρίσουμε εφαρμογές και
γεγονότα διάσημα και περίεργα, όχι μόνο γιατί εμπλούτισαν τη
θεωρία των αριθμών αλλά διότι προέβαλαν ένα περιβάλλον στο ο ποίο
εκτιμούμε τις ανακαλύψεις μας σχετικά με τη δομή του κόσμου των
αριθμών. Ένα περιβάλλον στο οποίο η πρόταση «Κάθε αριθμός
παρουσιάζει ενδιαφέρον» θα φαντάζει ως προφανής !!!

9. Ι Σ Τ Ο Ρ Ι ΕΣ Α Π Ο Τ Η « Θεω ρί α τω ν α ρι θμ ών »
Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 9
Μιλώντας τη γλώσσα των αριθμών
Α. Γνωρίζοντας τους πρωταγωνιστές …
Καλώς ορίσατε στον κόσμο των αριθμών, ας τους παρουσιάσουμε …
Αρχίζουμε με τους φυσικούς αριθμούς οι οποίοι είναι οι
1,2,3,....Το σύνολο των Φυσικών αριθμών το συμβολίζουμε με
(natural) και αποτελείται από τους αριθμούς που
χρησιμοποιούμε για να δηλώσουμε ένα πλήθος αντικειμένων ή
τη σειρά τους. Π.χ. Οι μέρες της εβδομάδας είναι 7 και
ξεκινώντας από την Κυριακή η Παρασκευή είναι η 6 η
μέρα της
εβδομάδας.
Συνεχίζουμε με τους ακέραιους οι οποίοι είναι οι
{..., 3, 2, 1,0,1,2,3,...} (Integers)
Έπονται οι ρητοί, οι οποίοι είναι λόγοι ακεραίων. Πρόκειται
για τα γνωστά σε όλους κλάσματα ( Rational ) δηλαδή
μ
{ όπου μ και ν }
ν
Μετά έχουν σειρά οι αριθμοί που δεν γράφονται με τη μορφή
κλάσματος, που λέγονται άρρητοι (Irrational ), (άρα άρρητοι
είναι το σύνολο των αριθμών που δεν είναι ρητοί). Τέτοιοι
είναι οι γνωστοί μας 2 , π και άλλοι πολλοί.
Τέλος οι πραγματικοί αριθμοί, που είναι οι ρητοί και οι
άρρητοι μαζί (Real).Όλοι οι πραγματικοί αριθμοί μπορούν να
αντιστοιχηθούν ως σημεία στην ευθεία των πραγματικών
αριθμών.

10. Ι Σ Τ Ο Ρ Ι ΕΣ Α Π Ο Τ Η « Θεω ρί α τω ν α ρι θμ ών »
Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 10
Β. Ανακαλύπτοντας σχέσεις και μοτίβα …
Στην ιστορία της θεωρίας αριθμών η παρατήρηση σχέσεων ή μοτίβων
οδήγησε σε θεωρήματα και εικασίες που ανέπτυξαν την επιστήμη των
Μαθηματικών. Ας εξασκηθούμε γνωρίζοντας κάποια παραδείγματα ή
«περίεργα» μοτίβα – προτάσεις.
1. Οι αριθμοί 2,4,6,8,... λέγονται άρτιοι (even) προκύπτουν ως
πολλαπλάσιοι του 2 για αυτό και συμβολίζονται με 2ν με ν .
2. Οι αριθμοί 1,3,5,7,.. λέγονται περιττοί (odd) προκύπτουν ως οι
ακέραιοι που διαιρούμενοι με το 2 αφήνουν υπόλοιπο 1 και
συμβολίζονται με 2ν 1 με ν .
3. Μήπως μπορείτε να ανακαλύψετε τον τρόπο κατασκευής του
συνόλου 1,4,9,16,...;
4. Ας δούμε την ακολουθία 1,4,2,1,4,2,1,...
ή την ακολουθία 3,10,5,16,8,4,2,1,4,2,1,...
ή την ακολουθία 11,34,17,52,26,13,40,20,10,5,16,8,4,2,1,4,2,1,...
Τις ακολουθίες αυτές τις όρισε και μελέτησε πρώτος ο Lothar
Collatz to 1937 ως εξής : « Θεωρούμε ένα φυσικό αριθμό ν, αν
αυτός είναι άρτιος τότε ο επόμενος όρος της ακολουθίας είναι ο
ν
2
, αν είναι περιττός τότε ο επόμενος όρος είναι ο 3ν 1 ».
5. Ας παρατηρήσουμε μερικές από τις δυνάμεις του 2.
2 3 4 5 6
2 4 , 2 8 , 2 16 , 2 32 , 2 64 9
, ..., 2 512.
Παρατηρήστε ότι π αρουσιάζονται ως πρώτο ψηφίο τα 4,8,1,3,6,5
αλλά για το 7 πρέπει να φθάσουμε στη δύναμη
46
2 70.368.744.177.664 , ενώ για το 9 στη δύναμη
53
2 9.007.199.254.740.992 .
Υπάρχει ένα θεώρημα στη θεωρία των αριθμών που λέει «δοθέντος
ενός φυσικού αριθμού ν, όσο μεγάλος και αν είναι, υπάρχει
δύναμη του 2 η οποία αποδίδει φυσικό αριθμό που τα πρώτα
ψηφία του παρουσιάζουν τον αριθμό ν»
Για παράδειγμα ο αριθμός 1677 παρουσιάζεται στη δύναμη
24
2 16.777.216 .

11. Ι Σ Τ Ο Ρ Ι ΕΣ Α Π Ο Τ Η « Θεω ρί α τω ν α ρι θμ ών »
Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 11
Η αριθμητική πρόοδος
Α. Ο Πρίγκιπας των Μαθηματικών
1. Ο Carl Friedrich Gauss γεννήθηκε στις 30 Απριλίου του 1777 στη
Γερμανία. Ο πατέρας του, λιθοξόος το επάγγελμα, δεν ενθάρρυνε
το γιό του να ασχοληθεί με τα Μαθηματικά.
2. Όμως έγινε φανερό ότι ο νεαρός Gauss ήταν ένα παιδί θαύμα.
Υπάρχουν πολλές ιστορίες για αυτές τις ιδιαίτερες κ λίσεις του στα
Μαθηματικά .
3. Η πιο διάσημη ιστορία είναι αυτή όπου ως μαθητής της 3 η ς
τάξης
του σχολείου απόδειξε κατά προτροπή του δασκάλου του κ.
Buttner τον τύπο ν
ν (ν 1)
1 2 3 ... ν
2
. Α π ο τ ε λ ε ί
π ρ ό κ λ η σ η π ρ ο ς ο π ο ι ο ν δ ή π ο τ ε α ν α γ ν ώ σ τ η η α π ό δ ε ι ξ η τ ο υ π α ρ α π ά ν ω τ ύ π ο υ .
4. Σήμερα ο Gauss αναγνωρίζεται ως ένας από τους μεγαλύτερους
Μαθηματικούς που υπήρξαν ποτέ. Δικαίως αποκαλείται
« ο Πρίγκιπας των Μαθηματικών » .
5. Έτρεφε μεγάλη αγάπη στη θεωρία των Αριθμών. Έχει γράψει ότι :
« Τα Μαθηματικά είναι η βασίλισσα όλων των επιστημών και η
θεωρία των Αριθμών η βασίλισσα των Μαθηματικών »
6. Ήταν τελειομανής και οι ανακαλύψεις του ήταν περισσότερες από
αυτά που τελικά δημοσίευε. « Λίγα αλλά σωστά» συνήθιζε να λέει.

12. Ι Σ Τ Ο Ρ Ι ΕΣ Α Π Ο Τ Η « Θεω ρί α τω ν α ρι θμ ών »
Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 12
Β. Μία ενδιαφέρουσα ακολουθία αριθμών
1. Παρατηρήστε την ακολουθία 1,3,6,10,15,21,28,…
2. Οι αριθμοί αυτοί λέγονται
τριγωνικοί (triangular)
διότι αντιπροσωπεύουν τον
αριθμό των σφαιρών του
μπιλιάρδου όπως μπορούμε
να τις διατάξουμε σε ένα
ορθογώνιο και ισοσκελές
τρίγωνο.
3. Χρησιμοποιώντας το στοιχειώδη τύπο του αθροίσματος που βρήκε
ο Gauss στην 3 η
τάξη του σχολείου, είμαστε σε θέση να
επιβεβαιώσουμε ότι χρειαζόμαστε 5050 μπάλες για την κατασκευή
ενός τριγώνου του οποίου οι κάθετες πλευρές του αποτελούνται
από 100 μπάλες. Γιατί;. Προσπαθήστε να δείτε τους τρίγωνους
αριθμούς ως μία ακολουθία των αθροισμάτων των πρώτων 1 -2-3-
4-…κ.ο.κ. φυσικών αριθμών.
4. Άρα αν συμβολίσουμε με ντ τον ν-ιοστό τρίγωνο αριθμό τότε
ισχύει ν ν
ν (ν 1)
τ
2
5. Στην αρχαιότητα οι διάφοροι αριθμοί ονομάζονταν σε σχέση με τις
«κρυμμένες» γεωμετρικές αναπαραστάσεις τους. Έτσι όπως έχουμε
τους τριγωνικούς αριθμούς, αντίστοιχα υπήρχαν οι τετράγωνοι, οι
πεντάγωνοι αριθμοί κ.ο.κ.
6. Γράψτε τους πρώτους 6 τετράγωνους αριθμούς. Είστε σε θέση να
βρείτε έναν τύπο που να αποδίδει τον ν -ιοστό τετράγωνο αριθμό ;

13. Ι Σ Τ Ο Ρ Ι ΕΣ Α Π Ο Τ Η « Θεω ρί α τω ν α ρι θμ ών »
Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 13
7. Τον Ιούλιο του 1796 σε ηλικία 19 ετών ο Gauss απέδειξε την
πρόταση « κάθε φυσικός αριθμός μπορεί να γραφεί ως άθροισμα
το πολύ τριών τρίγωνων αριθμών ». Στην πρόταση αυτή είχε
φθάσει και ο Pierre de Fermat το 1638 χωρίς όμως να έχει βρεθεί
κάποια απόδειξη για τον ισχυρισμό του.
8. Για εξάσκηση μπορείτε να ασχοληθείτε με την παρακάτω
εφαρμογή « Σε μία συνάντηση παίρνουν μέρος 100 άτομα. Αν ο
κάθε ένας χαιρετά με χειραψία ό λους τους παριστάμενους, να
βρείτε πόσες χειραψίες θα γίνουν ». Τέτοιες ασκήσεις μελετά η
λεγόμενη συνδυαστική θεωρία των αριθμών (combinatorial
number theory) .
Γ. Επεκτείνοντας τη σκέψη μας …
1. Αυτό που κάνει τους φυσικούς αριθμούς τόσο απλούς είναι ότι
παράγονται με μία απλούστατη διαδικασία. Ξεκινούν από τον
αριθμό 1 και μετά όλοι οι επόμενοι προκύπτουν από τον
προηγούμενο όρο τους προσθέτοντας πάντα 1. Μία τέτοια
ακολουθία αριθμών λέγεται αριθμητική πρόοδος ( arithmetic
progression).
2. Ας δούμε ένα παράδειγμα. Θα ξεκινήσουμε από το 2 και θα
προσθέτουμε πάντα 2. Καταλήγουμε στην ακολουθία 2,4,6,8,…, η
οποία είναι η ακολουθία των άρτιων φυσικών αριθμών.
3. Σχηματίστε μία αριθμητική πρόοδο ξεκινώντας από το 1
προσθέτοντας 10. Ποιος είναι ο 1000 ο ς
όρος της ακολουθίας
αυτής. Μπορείτε να γενικεύσετε το συμπέρασμά σας; Δηλαδή,
αποδείξτε ότι ο ν-ιοστός όρος μιας αριθμητικής προόδου που
σχηματίζουμε με πρώτο όρο τον 1α προσθέτοντας πάντα ω
δίνεται από τον τύπο ν 1α α (ν 1) ω

14. Ι Σ Τ Ο Ρ Ι ΕΣ Α Π Ο Τ Η « Θεω ρί α τω ν α ρι θμ ών »
Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 14
4. Ένας τύπος που θα δίνει το άθροισμα των ν πρώτων όρων μιας
αριθμητικής προόδου μπορεί εύκολα να προκύψει (πως ;;)
ακολουθώντας την λογική με την οποία παράγονται οι τρίγωνοι
αριθμοί. Ο τύπος στον οποίο καταλήγουμε είναι :
1 ν
ν
α α
Σ ν
2
ή 1
ν
2 α (ν 1) ω
Σ ν
2
όπου
1α ο πρώτος όρος της ακολουθίας και να ο ν-ιοστός όρος.
Δ. Για εξάσκηση …
1. Προσθέστε τους πρώτους 1.000.000 φυσικούς αριθμούς.
2. Βρείτε μέχρι ποιον φυσικό αριθμό πρέπει να προσθέσουμε ώστε το
άθροισμα να μην υπερβαίνει το 1.000.000.
3. Πάρτε δύο οποιουσδήποτε διαδοχικούς τριγωνικούς αριθμούς
π.χ.3 και 6.
Αφαιρέστε τα τετράγωνά τους , δηλαδή 36 -9=27.
Παρατηρήστε ότι η διαφορά είναι κύβος φυσικού αριθμού.
Ισχύει η παρατήρηση αυτή και για άλλους διαδοχικούς
τριγωνικούς αριθμούς ;.
Ο κύβος που προκύπτει έχει κάποια σ χέση με τους τριγωνικούς
αριθμούς που έχουμε επιλέξει;.
Μπορείτε να γενικεύσετε την πρόταση αυτή;

15. Ι Σ Τ Ο Ρ Ι ΕΣ Α Π Ο Τ Η « Θεω ρί α τω ν α ρι θμ ών »
Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 15
Η Γεωμετρική πρόοδος
Α. Οι απαραίτητες συστάσεις …
1. Στην προηγούμενη ιστορία αναφερθήκαμε στην αριθμητική
πρόοδο, ως μία ακολουθία αριθμών όπου ο κάθε όρος της
προκύπτει από τον προηγούμενο προσθέτοντας πάντα τον ίδιο
αριθμό. Τί θα γίνει όμως αν αντί να προσθέτουμε πάντα τον
ίδιο αριθμό τον πολλαπλασιάζουμε;
2. Για παράδειγμα ας ξεκινήσουμε με το 1 και ας
πολλαπλασιάζουμε συνεχώς επί 2. Έτσι δημιουργούμε την
ακολουθία : 1,2,4,8,16,….
3. Ποιος είναι ο 10 ο ς
όρος της ακολουθίας; Ποιος είναι ο 1000 ο ς
όρος της ; Ποιος είναι ο ν -ιοστός όρος της;
4. Άλλο παράδειγμα. Ας ξεκινήσουμε με το 3 και στη συνέχεια
όλοι οι όροι της ακολουθίας ας προκύπτουν με
πολλαπλασιασμό με 2. Ποιος είναι ο 6 ο ς
όρος της ακολουθίας;
Ποιος ο 100 ο ς
όρος της ;
5. Μία τέτοια ακολουθία αριθμών θα λέγεται γεωμετρική
πρόοδος ( geometric progression). Ο αρχικός όρος θα λέγεται
πρώτος όρος της ακολουθίας και θα συμβολίζεται με 1α και ο
σταθερός αριθμός που συνεχώς πολλαπλασιάζουμε λέγεται
λόγος (ratio) της προόδου και θα τον συμβολίζουμε με λ .
6. Προσπαθήστε να αποδείξετε ότι ο ν -ιοστός όρος μιας
γεωμετρικής προόδου με πρώτο όρο 1α και λόγο λ θα δίνεται
από τον τύπο
ν 1
ν 1α α λ .
7. Γράψτε τους πρώτους 10 όρους δύο γεωμετρικών προόδων της
επιλογής σας, ώστε οι όροι της πρώτης συνεχώς να αυξάνουν,
ενώ οι όροι της δεύτερης να ελαττώνονται. Σε ποιο γενικό
συμπέρασμα μπορείτε να καταλήξετε; Πότε δηλαδή μία
γεωμετρική πρόοδος θα είναι αύξουσα και πότε φθίνουσα;

16. Ι Σ Τ Ο Ρ Ι ΕΣ Α Π Ο Τ Η « Θεω ρί α τω ν α ρι θμ ών »
Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 16
Β. Η εκθετική μεταβολή …
1. Ας σχηματίσουμε τη γεωμετρική πρόοδο με πρώτο όρο 1 και λόγο
r. Δηλαδή την ακολουθία
2 3 ν
1, r, r , r , ...,r ,... .
Μία τέτοια ακολουθία την ονομάζουμε εκθετική μεταβολή
(exponential growth).
2. Στην περίπτωση όπου r 1 η ακολουθία είναι (εκθετικά) αύξουσα
(grows exponentially ), ενώ αν 0 r 1 η ακολουθία είναι
(εκθετικά) φθίνουσα ( decays exponentially ).
3. Για παράδειγμα γράψτε τους πρώτους 10 όρους μιας εκθετικά
φθίνουσας μεταβολής με λόγο
1
2
και υπολογίστε το άθροισμά
τους.
4. Ο Ευκλείδης το 300 π.χ. περίπου προσδιόρισε έναν τρόπο
υπολογισμού του αθροίσματος των ν πρώτων όρων μιας τέτ οιας
προόδου.
Με σύγχρονους συμβολισμούς η όλη διαδικασία έχει ως εξής :
ονομάζουμε το ζητούμενο άθροισμα
2 ν
νs 1 r r ... r (1)
πολλαπλασιάζουμε επί r άρα :
2 3 ν 1
νr S r r r ... r (2)
αφαιρούμε κατά μέλη τις δύο σχέσεις (2)-(1) :
ν 1
ν(r 1) S r 1
αν r 1 τότε έχουμε :
ν 1
ν
r 1
S
r 1 .
5. Για παράδειγμα το άθροισμα των πρώτων 10 όρων της εκθετικής
μεταβολής με λ 2 είναι :
11
11
10
2 1
S 2 1 2047
2 1 .

17. Ι Σ Τ Ο Ρ Ι ΕΣ Α Π Ο Τ Η « Θεω ρί α τω ν α ρι θμ ών »
Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 17
6. Υπάρχει μία κλασική ιστορία που εξελίσσεται σε μακρινούς
χρόνους στην Περσία.
Ένας βασιλιάς θέλοντας να ευχαριστήσει τον Μαθηματικό που
κατασκεύασε πρώτος για χάρη του το γνωστό σε όλους μας σκάκι,
του πρότεινε να του κάνει ότι δώρο ήθελε.
Τότε ο Μαθηματικός του ζήτησε κάτι πολύ απλό!!!
Όπως είναι η σκακιέρα με τα 8Χ8 τετράγωνα, ο βασιλιάς να βάζει
σπυριά ρυζιού στο κάθε τετράγωνο με έναν συγκεκριμένο τρόπο.
Στο πρώτο τετράγωνο 1 σπυρί, στο 2ο
τετράγωνο 2 σπυριά, στο 3ο
τετράγωνο
2
2 σπυριά, στο 4 ο
τετράγωνο
3
2 σπυριά και ούτω
καθεξής μέχρι και το 64 ο
τετραγωνάκι της σκακιέρας.
Μόλις ο βασιλιάς θα τελείωνε, θα έδινε στον Μαθηματικό όλα τα
σπυριά ρυζιού που θα ήταν στη σκακιέρα.
Ο βασιλιάς, που από Μαθηματικά δεν θα ήξερε και πολλά,
δέχθηκε.
Πόσα σπυρ ιά τελικά έπρεπε ο βασιλιάς να δώσει στον
Μαθηματικό;
Αν θεωρήσουμε ότι κάθε σπυρί ρυζιού έχει περίπου 0,033gr
βάρος, υπολογίστε πόσους τόνους ρυζιού θα έπρεπε να παραδώσει
στον Μαθηματικό ο βασιλιάς.
(Για να επιβεβαιώσετε τους υπολογισμούς σας, σας δίνω την
απάντηση 671.023.802.629 τόνους ρύζι !!!)

18. Ι Σ Τ Ο Ρ Ι ΕΣ Α Π Ο Τ Η « Θεω ρί α τω ν α ρι θμ ών »
Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 18
Γ. Ας μιλήσουμε για το άπειρο …
1. Ας σχηματίσουμε τη φθίνουσα εκθετική μεταβολή με λόγο
1
2
.
Υπολογίστε με τη βοήθεια «υπολογιστή τσέπης» τα αθροίσματα :
5S , 10S , 20S , 30S . Τί παρατηρείτε;
2. Στο διπλανό σχήμα παρουσιάζονται ορθογώνια
με εμβαδά
1 1 1 1 1 1
, , , , ,
2 4 8 16 64 128
κ.ο.κ. ώστε
να βρίσκονται το ένα δίπλα στο άλλο.
Μπορείτε να εκτιμήσετε, με τη βοήθεια του
σχήματος, πόσο είναι το άθροισμα όλων των
εμβαδών;
3. Για να γενικεύσουμε τα όποια συμπεράσματά σας θα πρέπει να
παρατηρήσουμε ότι η δύναμη
ν
r στην περίπτωση όπου 0 r 1
ολοένα και περισσότερο μικραίνει.
Για παράδειγμα
10
10
1 1
( ) 0,0009765625...
2 2
,
ενώ
20
20
1 1
( ) 0,00000095367431640625...
2 2
.
Άρα δεν είναι αυθαιρεσία να ισχυριστούμε ότι η δύναμη
ν
r με
0 r 1 τείνει προς το 0 καθώς το ν αυξάνεται απεριόριστα.
4. Έτσι αν υπολογίσουμε το άθροισμα
ν 1
2 3 ν
ν
r 1
S 1 r r r ... r
r 1
με 0 r 1 καθώς το ν
αυξάνει απεριόριστα τότε ο όρος
ν 1
r θα είναι ίσος με 0 άρα
μπορούμε να γράψουμε
1
S
1 r .

19. Ι Σ Τ Ο Ρ Ι ΕΣ Α Π Ο Τ Η « Θεω ρί α τω ν α ρι θμ ών »
Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 19
5. Χρησιμοποιώντας τον τύπο στον οποίο καταλήξαμε υπολογίστε το
άθροισμα 2 3
1 1 1
1 ...
2 2 2 .
6. Ώρα για εξάσκηση , ας θεωρήσουμε τον αριθμό 0,999... .
Οι τρεις τελίτσες σημαίνουν ότι τα εννιάρια συνεχίζουν συνεχώς,
όσο πάει,
πόσο ;
δεν ξέρω!!!
Συνεχώς !!!.
Αν σκεφτούμε ότι ο αριθμός 0,9 γράφεται
9
10
,
ο αριθμός 0,99 γράφεται
9 9
10 100
,
ο αριθμός 0,999 γράφεται
9 9 9
10 100 1000
,
μπορούμε παρόμοια να γράψουμε τον περίεργο αριθμό μας ως
εξής :
9 9 9 1 1 1
0,999... ... 9( ...) 9 S
10 100 1000 10 100 1000
Όπου S το άθροισμα των απείρων όρων της φθίνουσας εκθετικής
μεταβολής με λόγο
1
λ
10
.
Υπολογίστε το άθροισμα.
Τελικά με τι ισούται ο αριθμός 0,999...;;;
Για να μη σας κρατώ σε αγωνία σας αποκαλύπτω το αποτέλεσμα
Ισχύει ότι 0,999... 1 !!!

20. Ι Σ Τ Ο Ρ Ι ΕΣ Α Π Ο Τ Η « Θεω ρί α τω ν α ρι θμ ών »
Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 20
Αναδρομικές ακολουθίες
Α. Ένα πρόβλημα του 1202 …
1. «Κάποιος τοποθέτησε σε έναν
αποκλεισμένο τόπο ένα ζευγάρι
κουνέλια. Τα κουνέλια αυτά
αναπαράγονται με ρυθμό ένα νέο
ζευγάρι το μήνα και κάθε νέο
ζευγάρι γίνεται γόνιμο δύο μήνες
μετά κι αναπαράγεται με τον ίδιο
ρυθμό. Πόσα ζευγάρια κουνέλια
θα παραχθούν σε έναν χρόνο από
το αρχικό ζ ευγάρι;»
2. Ένας εποπτικός τρόπος για να
παρακολουθήσουμε την εξέλιξη
του προβλήματος είναι το διπλανό
σχήμα .
3. Συνεχίζοντας τη διαδικασία το αποτέλεσμα είναι η ακολουθία :
1, 1,2,3,5,8, 13,21,34,55,89, 144, 233, 377, 610 ,987,
1597, 2584,4181, 6765, 10946 ...
Άρα τον πρώτο χρόνο υπάρχουν 144 ζευγάρια κουνέλια !!!
4. Η ακολουθία αυτή των αριθμών
ονομάζονται αριθμοί Fibonacci προς τιμή
του Leonardo Pisano ή Fibonacci (1170
μ.Χ.). Ο Fibonacci το 1202 δημοσιεύει το
liber abaci ή βιβλίο των υπολογισμών,
γεμάτο με τις μαθηματικές γνώσεις που
είχε περισυλλέξει στα ταξίδια του. Στο
βιβλίο αυτό,, για πρώτη φορά,
παρουσιάζεται το δεκαδικό σύστημα
γραφής των αριθμών.

21. Ι Σ Τ Ο Ρ Ι ΕΣ Α Π Ο Τ Η « Θεω ρί α τω ν α ρι θμ ών »
Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 21
5. Παρατηρείστε ότι κάθε νέος όρος της ακολουθίας προκύπτει ως
άθροισμα των δύο προηγουμένων όρων.
Άρα οι όροι της ακολουθίας μπορούν να ορισθούν από τον τύπο:
ν 2 ν 1 ν 1 2F F F με F 1 και F 1 .
6. Τον 19ο
αιώνα ο Γάλλος Μαθηματικός Edouard Lucas κατασκεύασε
την ακολουθία νL με 2,1,3,4,7,11,18,29,47,76,123,199,…
γνωστή από τότε ως ακολουθία Lucas (Lucas sequence).
Αναγνωρίζετε τον τρόπο κατασκευής της ακολουθίας;
7. Για να εξασκηθούμε με τις ακολουθίες αυτές καθώς και με το
συμβολισμό τους προσπαθήστε να αποδείξετε τις παρακάτω
σχέσεις :
1. 1 3 3F F L , 2 4 4F F L ή γενικά ν ν 2 ν 2F F L
2. 1 2 κ κ 2(F F ... F ) 1 F υπάρχει παρόμοια σχέση για την
ακολουθία Lucas;
Β. Ένα πρόβλημα ακόμα πιο παλιό …
1. Στα στοιχεία του Ευκλείδη αναφέρεται η κατασκευή ενός τμήματος
ώστε :
[Βιβλίον VI] Ὅροι ε΄ [5].
γ΄ [3]. Ἄκρον καὶ μέσον λόγον εὐθεῖα τετμ ῆσθαι λέγεται, ὅταν ᾖ ὡς
ἡ ὅλη πρὸς τὸ μεῖζον τμ ῆμα,οὕτως τὸ μεῖζον πρὸς τὸ ἔλαττον.
«ο λόγος του μεγαλύτερου τμήματος προς το μικρότερο τμήμα,
είναι ίσος με το λόγο του συνολικού μήκους του τμήματος προς
το μήκος του μεγαλύτερου τμήματος»
Ο χωρισμός αυτός επικράτησε να ονομάζεται «διαίρεση ενός
ευθυγράμμου τμήματος σε μέσο και άκρο λόγο».

22. Ι Σ Τ Ο Ρ Ι ΕΣ Α Π Ο Τ Η « Θεω ρί α τω ν α ρι θμ ών »
Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 22
2. Ας υπολογίσουμε έναν τέτοιο λόγο …
Θεωρούμε τμήμα ΑΓ=1 και έστω ότι το
μεγαλύτερο τμήμα είναι χ και το
μικρότερο 1 -χ, τότε έχουμε διαδοχικά
2χ 1 χ 1 5
χ χ 1 0 χ
1 χ 2
η τιμή αυτή είναι
περίπου 0,61803398875…
ο δε λόγος
1 1 5
χ 2
1,61803398875… .
Παρατηρήστε την ομοιότητα ανάμεσα στους δύο αριθμούς ….
3. Ο δεύτερος αριθμός, δηλαδή ο λόγος ανάμεσα στο ολόκληρο
τμήμα και το μεγαλύτερο κομμάτι έχει επικρατήσει να
συμβολίζεται με το γράμμα φ ( π ρ ο ς τ ι μ ή ν τ ο υ κ υ ρ ι ό τ ε ρ ο υ ε κ π ρ ο σ ώ π ο υ τ η ς
α ρ μ ο ν ί α ς σ τ η ν Τ έ χ ν η κ α τ ά τ η ν α ρ χ α ι ό τ η τ α , τ ο υ Φ ε ι δ ί α ) .
4. Τα πρώτα 150 ψηφία του άρρητου αριθμού Φ είναι :
1,61803 39887 49894 84820 45868 34365 63811 77203 09179 80576 28621 35448
62270 52604 62818 90244 97072 07204 18939 11374 84754 08807 53868 91752
12663 38622 23536 93179 31800 60766...
Για περισσότερα δεκαδικά ψηφία δες http://goldennumber.net/phi20000.htm
5. Η διαίρεση ευθύγραμμου τμήματος σύμφωνα με την παραπάνω
αναλογία, θεωρείται η πιο αρμονική, η πιο καλαίσθητη.
Ο Luca Pacioli (1445-1524) την ονόμασε «ιερά αναλογία».
Ο Johannes Kepler (1571 -1630) την ονόμασε « ιερά τομή».
Ο L. Lorenz (1829 -1891) την ονόμασε «συνεχή τομή».
Η ονομασία «χρυσή τομή» αποδίδεται στον Leonardo Da Vin ci
(1452-1519).

23. Ι Σ Τ Ο Ρ Ι ΕΣ Α Π Ο Τ Η « Θεω ρί α τω ν α ρι θμ ών »
Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 23
Γ. Κρυμμένες σχέσεις …
1. Μεταξύ των όρων της ακολουθίας του Fibonacci και του χρυσού
λόγου φ κρύβεται μία σχέση.
2. Ας θεωρήσουμε τους λόγους μεταξύ των διαδοχικών όρων της
ακολουθίας του Fibonacci, δηλαδή :
1 2 3 5 8 13
1 , 2 , 1.5 , 1.66 , 1.6 , 1.625
1 1 2 3 5 8
21 34 55 89
1.615 , 1.619 , 1.617 , 1.618 ,...
13 21 34 55
θα παρατηρήσουμε ότι καθώς προχωράμε ο λόγος των διαδοχικών
όρων της ακολουθίας προσεγγίζει τον αριθμό φ !!!
3. Στην παρατήρηση αυτή μπορούμε να καταλήξουμε και
διαφορετικά. Ας παρατηρήσουμε τον τρ όπο με τον οποίο
γράφουμε τους λόγους αυτούς παρακάτω :
1
1
1
2 (1 1) 1
1
1 1 1
3 (2 1) 1 1
1 1
12 2 2 1
1
5 (3 2) 2 1
1 1
13 3 3 1
1
1
1
8 (5 3) 3 1
1 1
15 5 5 1
1
1
1
1
1

24. Ι Σ Τ Ο Ρ Ι ΕΣ Α Π Ο Τ Η « Θεω ρί α τω ν α ρι θμ ών »
Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 24
4. Παρατηρήστε τον τρόπο με τον οποίο παράγεται η ακολουθία
αυτή. Υπάρχει κάτι το «αυτό όμοιο» στην όλη διαδικασία. Ο
αριθμός στον οποίο καταλήγουμε έχ ει μέσα του τον ίδιο τον
αριθμό, ας το παρατηρήσουμε καλύτερα :
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1 ...
.
Έχοντας κάνει τις σκέψεις αυτές καταλήγουμε στην ισότητα
1
φ 1
φ
.
5. Η εξίσωση αυτή δίνει λύσεις τις :
1 5
φ
2
, το γνωστό μας
«χρυσό αριθμό» και
1 5
τ
2
που θα μας χρησιμεύσει
αργότερα…
.

25. Ι Σ Τ Ο Ρ Ι ΕΣ Α Π Ο Τ Η « Θεω ρί α τω ν α ρι θμ ών »
Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 25
Γενικός τύπος ακολουθίας
Α. Ποιος είναι ο τύπος;
1. Παρατηρήστε τις παρακάτω ακολουθίες αριθμών :
2 , 4 , 8 , 16 , 32 , …
200 , 195 , 185 , 170 , 150 , …
9 , 6 , 18 , 15 , 45 , 42 , 126 , …
50 , 49 , 47 , 44 , 40 , 35 , 29 , 22 , 14 , …
2. Μπορείτε να βρείτε τον 20ο
όρο κάθε μιας από τις ακολουθίες
αυτές ;
3. Ας υποθέσουμε ότι ένα ρομπότ δέχεται μόνο δύο εντολές. Την
εντολή Μ « πήγαινε μπροστά ένα μέτρο» και την εντολή
Δ « στρίψε επιτόπου δεξιά 45 μοίρες». Με την ακολουθία
ΜΔΜΔΔΔΜΔΜΔΔΔ το ρομπότ διαγράφει ένα ρόμβο. Ποια πρέπει να
είναι η ακολουθία των εντολών ώστε να διαγράψει ένα οκτάγωνο;
4. Από τα παραπάνω παραδείγματα γίνεται φανερή η σχέση των
ακολουθιών με τον προγραμματισμό αλλά και η αναγκαιότητα της
εύρεσης ενός κλειστού τύπου παρα γωγής μιας ακολουθίας.

26. Ι Σ Τ Ο Ρ Ι ΕΣ Α Π Ο Τ Η « Θεω ρί α τω ν α ρι θμ ών »
Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 26
Β. Ανακαλύπτοντας έναν κλειστό τύπο στην ακολουθία
του Fibonacci
1. Σε απλά παραδείγματα ακολουθιών θα δυσκολευθούμε λίγο αλλά
είναι πιθανόν στο τέλος να βρούμε έναν γενικό τύπο.
Τί γίνεται όμως σε δυσκολότερες κα ταστάσεις;
Ποιος μπορεί να είναι για παράδειγμα ο κλειστός τύπος της
ακολουθίας Fibonacci;
2. Ο Γάλλος Μαθηματικός Jacques Binet το 1843 περιέγραψε έναν
τρόπο εύρεσης οποιουδήποτε όρου της ακολουθίας αυτής χωρίς
κατά ανάγκη να έχουμε κ αταγράψει όλους τους προηγούμενους.
3. Οι συλλογισμοί του ήταν οι εξής :
Ξεκίνησε από την εξίσωση :
21
x 1 x x 1
x
η οποία ως γνωστό έχει λύσεις του αριθμούς φ και τ (Ιστορία 4 η
)
Άρα ισχύουν οι ισότητες
2
φ φ 1 και
2
τ τ 1 .
4. Ακολούθως σχημάτισε τις δυνάμεις :
3 2 2
φ φ φ φ (φ 1) φ φ φ 1 φ 2φ 1
4 3 2
φ φ φ φ (2φ 1) 2φ φ 2(φ 1) φ 3φ 2
5 4 2
φ φ φ φ (3φ 2) 3φ 2φ 3(φ 1) 2φ 5φ 3
Παρατηρείτε την ακολουθία που σχηματίζεται ;

27. Ι Σ Τ Ο Ρ Ι ΕΣ Α Π Ο Τ Η « Θεω ρί α τω ν α ρι θμ ών »
Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 27
5. Ας τα γράψουμε ξανά το ένα κάτω από το άλλο :
2
3
4
5
6
φ φ 1
φ 2φ 1
φ 3φ 2
φ 5φ 3
φ 8φ 5
...
6. Παρατηρείτε πως εμφανίζονται οι όροι της ακολουθίας του
Fibonacci; Σε ποιο γενικό τύπο μπορο ύμε να καταλήξουμε;
7. Επιβεβαιώστε ότι μεταξύ των δυνάμεων του φ και των όρων της
ακολουθίας Fibonacci ισχύει ο αναδρομικός τύπος :
ν
ν ν 1φ F φ F .
8. Παρόμοιος τύπος θα ισχύει και για τον αριθμό τ (γιατί;;).
Άρα θα ισχύει
ν
ν ν 1τ F τ F
9. Αφαιρώντας κατά μέλη έχουμε :
ν ν
νφ τ F (φ τ) άρα
ν ν ν ν
ν ν
ν
1 5 1 5 1 5 1 5
( ) ( ) ( ) ( )φ τ 2 2 2 2F
φ τ 1 5 1 5 5
2 2 .
10. Παρατηρήστε ότι με τον τύπο αυτό η ακολουθία Fibonacci είναι
στην πραγματικότητα μία διαφορά ανάμεσα σε δύο γεωμετρικές
προόδους.
11. Μπορείτε παρόμοια να καταλήξετε στο γενικό τύπο
ν 1 ν 1
νL φ τ με ν 1 για την ακολουθία Lucas;

28. Ι Σ Τ Ο Ρ Ι ΕΣ Α Π Ο Τ Η « Θεω ρί α τω ν α ρι θμ ών »
Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 28
Γ. Επιλύοντας ένα διάσημο γρίφο …
1. Οι πύργοι του Ανόι είναι
ένα λογικό πάζλ που
κατασκευάσθηκε το 1883
από τον καθηγητή “ Claus”,
που στην πραγματικότητα
πρόκειται για
αναγραμματισμό του
ονόματος του κ. Lucas!!
2. Το πάζλ αυτό αποτελείται από τρεις στύλους και μία συλλογή από
δίσκους διαφορετικών δ ιαμέτρων, που μπορούν να τοποθετηθούν
στους στύλους αυτούς.
3. Το παιχνίδι ξεκινά έχοντας όλους τους δίσκους στο πρώτο στύλο,
τοποθετημένους κατά σειρά διαμέτρων με το δίσκο που έχει
μεγαλύτερο διάμετρο στη βάση.
4. Ο στόχος του παιχνιδιού είναι να μεταφερθ ούν όλοι οι δίσκοι από
τον πρώτο στύλο στον τελευταίο με την ίδια τοποθέτηση.
5. Επιτρέπεται να μετακινούμε έναν δίσκο κάθε φορά σε όποιον
στύλο θέλουμε, με την προϋπόθεση, αν υπάρξουν δύο ή
περισσότεροι δίσκοι κάποια φορά σε ένα στύλο αυτοί θα πρέπει
να είναι τοποθετημένοι κατά φθίνουσα σειρά σε σχέση με τη
διάμετρό τους , συνθήκη που ισχύει πάντα στο παιχνίδι αυτό.
6. Η πρόκληση του παιχνιδιού συνιστάται στο να το λύσουμε με όσο
το δυνατό λιγότερες κινήσεις !!!
7. Για εξάσκηση παίξτε το παιχνίδι στη διεύθ υνση :
http://users.sch.gr/thafounar/games/towersOfHanoi/towersOfHanoi.
html

29. Ι Σ Τ Ο Ρ Ι ΕΣ Α Π Ο Τ Η « Θεω ρί α τω ν α ρι θμ ών »
Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 29
Δ. Ανακαλύπτοντας Μαθηματικά !!
1. Το καλό με τις διαδικτυακές εφαρμογές είναι ότι μπορείς να
πειραματιστείς – να δοκιμάσεις.
2. Αν έχουμε 1 μόνο δίσκο ποιος είναι ο ελάχιστος αριθμός κινήσεων
ώστε να λυθεί το παιχνίδι;
Μα προφανώς 1 κίνηση.
Αν έχουμε 2 δίσκους ποιος είναι ο ελάχιστος αριθμός κινήσεων
ώστε να λυθεί το παιχνίδι;
Μα προφανώς 3 κινήσεις.
Αν έχουμε 3 δίσκους ποιος είναι ο ελάχιστος αριθμός κινήσεων
ώστε να λυθεί το παιχνίδι;
Με λίγη εξάσκηση θα φθάσετε στο άριστο α ποτέλεσμα των 7
κινήσεων.
Αν έχουμε 4 δίσκους ποιος είναι ο ελάχιστος αριθμός κινήσεων
ώστε να λυθεί το παιχνίδι;
Εδώ τα πράγματα δυσκολεύουν, αλλά το ρεκόρ είναι 15 κινήσεις.
3. Ανακαλύπτετε κάποια κρυμμένη μαθηματική σχέση ανάμεσα στους
όρους της ακολουθίας 1 , 3 , 7 , 15 , …
4. Σωστά το μαντέψατε ο κάθε όρος της ακολουθίας προκύπτει
διπλασιάζοντας τον προηγούμενο και προσθέτοντας ένα, δηλαδή
ισχύει ότι : ν ν 1h 2 h 1 .
5. Βρείτε έναν γενικό τύπο που να αποδίδει τους όρους της
ακολουθίας.
6. Υπάρχει μία ομάδα μοναχών στο μακρινό Θιβέτ που στο μοναστήρι
τους υπάρχει ένα τέτοιο πάζλ που αποτελείται από 64 χρυσούς
δίσκους και 3 διαμαντένιους στύλους. Σύμφωνα με το γενικό τύπο
που θα βρείτε υπάρχουν
64
2 1 κινήσεις για να λυθεί όσο το
δυνατό γρηγορότερα ένα τέτοιο πάζλ. Οι μοναχοί συνεχώς, από
τότε που φτιάχτηκε το μοναστήρι, κάνουν και από μία κίνηση κάθε
ένα δευτερόλεπτο. Υπάρχει ένας θρύλος που λέει ότι όταν το πάζλ
λυθεί τότε θα έρθει και το τέλος του κόσμου. Μην ανησυχείτε
όμως σύμφωνα με τους υπολογισμούς μου χρειάζονται
583.344.214.028 χρόνια για να γίνει κάτι τέτοιο και το
μοναστήρι είναι μόλις 1500 ετών…

30. Ι Σ Τ Ο Ρ Ι ΕΣ Α Π Ο Τ Η « Θεω ρί α τω ν α ρι θμ ών »
Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 30
Όταν οι αρχαίοι Έλληνες διδάσκουν …
Α. Τα στοιχεία του Ευκλείδη
1. Ένα εκπληκτικό γεγονός συνέβη το 300π.χ. Ο «πρύτανης του
πανεπιστημίου της Αλεξάνδρειας» ο Ευκλείδης ,συγκέντρωσε όλα τα
επιτεύγματα της ελληνικής μαθηματικής επιστήμης σε δεκατρία βιβλία
και συνέγραψε τα λεγόμενα Στοιχεία.
2. Ο τρόπος που έγραψε το βιβλίο αυτό ,είναι ο ίδιος που μέχρι σήμερα
θεωρείται ως ο ιδανικός τρόπος συγγραφής οποιουδήποτε
επιστημονικού πονήματος. Αρχικά έδινε τους όρους (ορισμούς), μετά
τον απολύτως αναγκαίο αριθμό αξιωμάτων (αιτήματα), μετά τις
λεγόμενες κοινές έννοιες (αναπόδεικτες ως προφανείς προτάσεις) και
ακολούθως προτάσεις που αποδεικνύονται από τα προηγούμενα , τα
λεγόμενα θεωρήματα. Κάθε φορά τελείωνε την αποδεικτική διαδικασία
με τις περίφημες εκφράσεις του ὅπερ ἔδει ποιῆσαι όταν επρόκειτο για
κατασκευή, ή ὅπερ ἔδει δεῖξαι, όταν επρόκειτο για απόδειξη.
3. Ανάμεσα στα πολλά και θαυμαστά θεωρήματα υπάρχουν δύο που
άπτονται της θεωρίας των αριθμών και θεωρούνται ως θεμελιώδη.
4. Το πρώτο από αυτά είναι γνωστό ως “ θεμελιώδες θεώρημα της
αριθμητικής” ( fundamental theorem of arithmetic) και λέει ότι
«κάθε φυσικός αριθμός μεγαλύτερος του 1 αναλύεται κατά
μοναδικό τρόπο ως γινόμενο πρώτων αριθμών ».
5. Θυμηθείτε στην εισαγωγή είχαμε δώσει τ ον ορισμό των πρώτων
αριθμών ως εκείνους τους φυσικούς που είναι μεγαλύτεροι του 1
και δεν μπορούν να γραφούν ως γινόμενο δύο μικρότερων
φυσικών.
6. Οι πρώτοι αριθμοί είναι οι 2,3,5,7,11,13,17,19,23,…
7. Για παράδειγμα το 12 είναι σύνθετος αριθμός (composite) διότι
γράφεται ως γινόμενο 2 2 3. Η γραφή αυτή λέγεται
παραγοντοποίηση (factoring ).

31. Ι Σ Τ Ο Ρ Ι ΕΣ Α Π Ο Τ Η « Θεω ρί α τω ν α ρι θμ ών »
Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 31
8. Ο αριθμός 1 δεν συμπεριλαμβάνεται στους πρώτους διότι σε
αυτήν την περίπτωση ένας αριθμός π.χ. ο 6 δεν θα γραφόταν κατά
μοναδικό τρόπο ως γινόμενο πρώτων διότι θα ίσχυε 6 2 3 αλλά
και 6 1 2 3 .
9. Με το θεώρημα αυτό καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι για να
γράψουμε τους φυσικούς αριθμούς χρειαζόμαστε μόνο τους
πρώτους.
10. Έτσι αν ανακαλύψουμε τη δομή των πρώτων αριθμών και όλες
τις κρυμμένες ιδιότητες τους θα έχουμε κατανοήσει όλους τους
φυσικούς αριθμούς.
Β. Το κόσκινο του Ερατοσθένη
1. Πώς μπορούμε όμως να βρούμε με τρόπο συστηματικό τους
πρώτους αριθμούς;
2. Το 200 π.χ. ο Έλληνας Μαθηματικός Ερατοσθένης (276-195 π.χ.)
ανακάλυψε μία μέθοδο με την οποία έβρισκε όλους τους πρώτους
αριθμούς που είναι μικρότεροι απ ό κάποιον φυσικό αριθμό όσο
μεγάλος και αν ήταν.
3. Η μέθοδος αυτή λέγεται κόσκινο (sieve) του Ερατοσθένους.
4. Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να βρούμε όλους τους πρώτους που
είναι μικρότεροι του 100 τότε:
Γράφουμε όλους τους αριθμούς από το 1 ως το 100 σε ένα πίνακα
(όπως τον παρακάτω).
Διαγράφουμε όλους τους αριθμούς που είναι πολλαπλάσιοι του 2.
Μετά διαγράφουμε όλους τους πολλαπλάσιους του 3.
Συνεχίζουμε τη διαδικασία αυτή για τους αριθμούς που είναι
πολλαπλάσιοι του 5 και μετά του 7.
Όσοι αριθμοί έχουν απομείνει είναι οι πρώτοι αριθμοί που είναι
μικρότεροι του 100.

32. Ι Σ Τ Ο Ρ Ι ΕΣ Α Π Ο Τ Η « Θεω ρί α τω ν α ρι θμ ών »
Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 32
5. Προκαλεί έκπληξη το γεγονός ότι με 4 απλά βήματα βρίσκουμε
όλους τους πρώτους που είναι μικρότεροι του 100. Αν θέλαμε να
βρούμε τους πρώτους που είναι μικρότεροι του 300; Πόσα βήματα
θα χρειαστούμε;
6. Γενικά ισχύει ο εξής κανόνας « αν θέλουμε να βρούμε όλους τους
πρώτους που είναι μικρότεροι από έναν φυσικό αριθμό ν τότε θα
χρειαστούμε να κοσκινίσουμε με τους πρώτους που είναι
μικρότεροι από τον αριθμό ν ».
7. Ας δικαιολογήσουμε την πρόταση αυτή για το παράδειγμά μας.
Πρέπει να αποδείξουμε ότι μετά το κοσκίνισμα με τους πρώτους
2,3,5,7 που είναι μικρότεροι του 10 έχουν απομείνει μόνο πρώτοι
αριθμοί. Ας υποθέσουμε ότι υπάρχει σύνθετος αριθμός πο υ δεν
έχει διαγραφεί από τη λίστα. Ο αριθμός αυτός δεν μπορεί να είναι
πολλαπλάσιο κανενός αριθμού μικρότερου του 10 . Άρα προκύπτει
ως γινόμενο δύο αριθμών μεγαλύτερων του 10. Άρα ο αριθμός
αυτός πρέπει να είναι μεγαλύτερος του 100 άρα εκτός της λίστας
που διαπραγματευόμαστε.
8. Στο παρακάτω πλαίσιο εφαρμόστε την τεχνική του Ερατοσθένη για
να υπολογίσετε όλους τους πρώτους που είναι μικρότεροι ή ίσοι
του 300.

33. Ι Σ Τ Ο Ρ Ι ΕΣ Α Π Ο Τ Η « Θεω ρί α τω ν α ρι θμ ών »
Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 33
9. Με τη βοήθεια της παρατήρησης του Ερατοσθένη, είμαστε σε θέση
να ανακαλύπτουμε αν ένας δεδομένος αριθμός είναι πρώτος ή όχι.
10. Για παράδειγμα ο 397 είναι πρώτος ή σύνθετος;.
Αυτό που πρέπει να εξετάσουμε είναι αν διαιρείται με τους
πρώτους που είναι μικρότεροι του 397 19.24, δηλαδή τους
2,3,5,7,11,13,17,19. Εύκολο ;;;
Γ. Δύο ερωτήματα ψάχνουν απάντηση
Ερώτηση 1 η
. Πόσοι πρώτοι αριθμοί υπάρχουν;
1. Στο 9ο
βιβλίο των Στοιχείων του ο Ευκλείδης δίνει την
απάντηση.
Υπάρχουν άπειροι πρώτοι αριθμοί.
Ας παρακολουθήσουμε την ιδιοφυέστατη δικαιολόγηση του
ισχυρισμού του.
2. * Ας υποθέσουμε ότι υπάρχουν ν πρώτοι αριθμοί οι
1 2 3 νπ ,π ,π ,...,π .
* Ο στόχος μας είναι να αποδείξουμε ότι υπάρχει και άλλος
πρώτος αριθμός πέραν των ν που υπάρχ ουν στην λίστα μας.
* Σχηματίζουμε τον αριθμό 1 2 3 νπ π π π ... π 1.
* Ο αριθμός αυτός είναι μεγαλύτερος του 1, οπότε σύμφωνα
με το θεμελιώδες θεώρημα της αριθμητικής μπορεί να
αναλυθεί σε γινόμενο πρώτων.
* Έστω q ένας πρώτος παράγοντας του αριθμού π.
* Ο αριθμός q μπορεί να είναι κάποιος από τους
1 2 3 νπ ,π ,π ,...,π ;
* Η απάντηση είναι πως όχι διότι ο π διαιρούμενος με κάθε
ένα από τους 1 2 3 νπ ,π ,π ,...,π δίνει υπόλοιπο 1.
* Αυτό σημαίνει ότ ι ο q είναι ένας πρώτος που δεν
συμπεριλαμβάνεται στη λίστα των αρχικών ν πρώτων αριθμών.
* Άρα υπάρχουν τελικά άπειροι πρώτοι αριθμοί.
3. Η πρόταση αυτή μας οδηγεί στο συμπέρασμα ότι υπάρχουν
τελικά άπειροι πρώτοι και επομένως κα ι άπειροι σύνθετοι
φυσικοί αριθμοί.

34. Ι Σ Τ Ο Ρ Ι ΕΣ Α Π Ο Τ Η « Θεω ρί α τω ν α ρι θμ ών »
Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 34
Ερώτηση 2 η
. Πόσοι διαδοχικοί σύνθετοι αριθμοί υπάρχουν;
1. Το σίγουρο είναι ότι οι μοναδικοί διαδοχικοί πρώτοι είναι οι 2
και 3 (γιατί;;;).
2. Ψάχνοντας τους πίνακες των πρώτων που ήδη έχουμε
σχηματίσει μπορούμε να βρούμε 2,3,4 διαδοχικούς σύνθετους
αριθμούς;
3. Ποιος μπορεί να είναι ο μεγαλύτερος αριθμός διαδοχικών
σύνθετων αριθμών;
4. Ο Ευκλείδης και πάλι δίνει την απάντηση. Ισχυρίζεται ότι
μπορούμε να βρούμε οποιοδήποτε πλήθος διαδοχικών σύνθετων
αριθμών.
5. Ας παρακολουθήσουμε την απόδειξή του.
* Έστω ότι θέλουμε να αποδείξουμε ότι είμαστε σε θέση να
βρούμε ένα πλήθος ν σύνθετων διαδοχικών φυσικών αριθμών.
* Κατασκευάζουμε τον φυσικό k 2 3 ... (ν 1).
* Ο αριθμός k 2 2 3 ... (ν 1) 2 είναι σύνθετος αφού
διαιρείται με το 2.
* Ο αριθμός k 3 2 3 ... (ν 1) 3 όμοια είναι σύνθετος
αφού διαιρείται με το 3.
* Όμοια τα ίδιο ισχύει και για τους αριθμούς
k 4 2 3 ... (ν 1) 4 ,
k 5 2 3 ... (ν 1) 5
κ.τ.λ.
k (ν 1) 2 3 ... (ν 1) (ν 1).
* Με τον τρόπο αυτό έχουμε βρει ν διαδοχικούς φυσικούς
σύνθετους αριθμούς.
6. Παράδειγμα, ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να αποδείξουμε ότι
υπάρχουν 6 διαδοχικοί σύνθετοι αριθμοί.
Σχηματίζουμε τον αριθμό 2 3 4 5 6 7 5040.
Οι αριθμοί 5042 , 5043 , 5044 , 5045 , 5046 , 5047
είναι έξι διαδοχικοί σύνθετοι αριθμοί.

35. Ι Σ Τ Ο Ρ Ι ΕΣ Α Π Ο Τ Η « Θεω ρί α τω ν α ρι θμ ών »
Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 35
Ο τύπος του Euler
A. Δημιουργώντας έναν θαυμαστό τύπο…
1. Το 1737 ο Leonhard Euler, ο πολυγραφότερος όλων των
Μαθηματικών κατέληξε στην ισότητα :
1 1 1 1 1 1 1 1
... 1 ...
1 1 1 1 2 3 4 51 1 1 1
2 3 5 7
2. Το περίεργο στην ισότητα αυτή είναι ότι στο πρώτο μέλος
έχουμε ένα άπειρο γινόμενο που περιλαμβάν ει όλους τους
πρώτους, ενώ στο δεύτερο μέλος έχουμε ένα άπειρο άθροισμα
των αντιστρόφων όλων των φυσικών αριθμών.
3. Το άθροισμα του δεύτερου μέλους ήταν γνωστό στη
μαθηματική κοινότητα ως αρμονική σειρά (harmonic series ).
Ήταν επίσης γνωστό ότι το άθροισμα αυτό δεν ήταν στην ουσία
ένας αριθμός αλλά μία έννοια, αυτή του απείρου. Δηλαδή το
αποτέλεσμα της πρόσθεσης όλων των αντιστρόφων των
φυσικών είναι άπειρο. Στα Μαθηματικά αυτό λέγεται ότι η
σειρά (των προσθετέων) αποκλίνει (diverges ).
4. Γιατί όμως; Παρακολουθήστε τη σειρά των συλλογισμών.
1 1 1 1 1 1 1
1 ...
2 3 4 5 6 7 8
1 1 1 1 1 1 1
1 ( ) ( ) ( ) ...
2 3 4 5 6 7 8
1 1 1 1 1 1 1
1 ( ) ( ) ( ) ...
2 4 4 8 8 8 8
1 1 1
1 ...
2 2 2
1 1 1 ...

36. Ι Σ Τ Ο Ρ Ι ΕΣ Α Π Ο Τ Η « Θεω ρί α τω ν α ρι θμ ών »
Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 36
5. Το θαυμαστό είναι ότι ο Euler δεν σταμάτησε εδώ αλλά
γενίκευσε το συμπέρασμα του και κατέληξε στην ισότητα :
s s s s s
s s s s
1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 ... ...
1 1 1 12 3 4 5 6 1 1 1 1
2 3 5 7
όπου s ένας οποιοσδήποτε αριθμός μεγαλύτερος του 1.
6. Αν ονομάσουμε : s s s s
1 1 1 1
ζ(s) 1 ...
2 3 4 5
, την οποία
θα τη λέμε από εδώ και πέρα συνάρτηση ζήτα (zeta function)
η γενική σχέση παίρνει την κομψή μορφή :
s 1
ζ(s) (1 p ) ,
άμα μπερδευτήκατε δεν πειράζει έτσι και αλλιώς δεν θα
χρησιμοποιήσουμε πολύπλοκα σύμβολα ξανά, μία φορά έτσι
προς τιμή του Euler !!!
7. Ένας ιδιαίτερα όμορφος τρόπος απόδειξης του παραπάνω
τύπου βασίζεται ουσιαστικά σε μέθοδο που μοιάζει με αυτό
του κόσκινου του Ερατοσθένη. Ο τρόπος αυτός αποδίδεται
στον ίδιο τον Euler.
Ισχύει ότι : s s s s
1 1 1 1
ζ(s) 1 ... (1)
2 3 4 5
Πολλαπλασιάζουμε επί s
1
2
και έχουμε :
s s s s s s
1 1 1 1 1 1
ζ(s) ... (2)
2 2 4 6 8 10
Αφαιρούμε την (2) από τη (1) και έχουμε :
s s s s s s s
1 1 1 1 1 1 1
(1 ) ζ(s) 1 ... (3)
2 3 5 7 9 11 13
Πολλαπλασιάζουμε την (3) επί s
1
3
και έχουμε :
s s s s s s s s s
1 1 1 1 1 1 1 1 1
(1 ) ζ(s) ... (4)
3 2 3 9 15 21 27 33 39

37. Ι Σ Τ Ο Ρ Ι ΕΣ Α Π Ο Τ Η « Θεω ρί α τω ν α ρι θμ ών »
Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 37
Αφαιρούμε την (4) από την (1) και έχουμε :
s s s s s s s s s
1 1 1 1 1 1 1 1 1
(1 ) (1 ) ζ(s) 1 ... (5)
3 2 5 7 11 13 17 19 23
Παρατηρήστε ότι με τη διαδικασία αυτή πρώτα «εξαφανίσαμε» στο
δεύτερο μέλος όλα τα πολλαπλάσια του 2 και μετά όλα τα
πολλαπλάσια του 3. Αν συνεχίσουμε παρόμοια θα έχουμε την
ισότητα :
s s s s s s s s s
1 1 1 1 1 1 1 1 1
(1 ) (1 ) (1 ) ζ(s) 1 ...
5 3 2 7 11 13 17 19 23
Μετά από «άπειρη» παρόμοια διαδικασία μπορούμε να
ισχυριστούμε ότι θα καταλήξουμε στην ισότητα :
s s s s s
1 1 1 1 1
... (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) ζ(s) 1
11 7 5 3 2
Ή ισοδύναμα στην ισότητα :
s s s s
1 1 1 1
ζ(s) ...
1 1 1 1
1 1 1 1
2 3 5 7
* 1 . ( Δ ε ς β ι β λ ι ο γ ρ α φ ί α σ τ ο π α ρ ά ρ τ η μ α )
Β. Ένας άλλος τρόπος για την απόδειξη της απειρίας
των πρώτων
Αν υποθέσουμε ότι οι πρώτοι δεν ήταν άπειροι τότε το γινόμενο
1 1 1 1
...
1 1 1 1
1 1 1 1
2 3 5 7
θα αντιπροσώπευε ένα πεπερασμένο γινόμενο άρα κάποιον
πραγματικό αριθμό.
Αυτό είναι άτοπο διότι γνωρίζουμε ότι ισχύει η ισότητα
1 1 1 1 1 1 1 1
... 1 ...
1 1 1 1 2 3 4 51 1 1 1
2 3 5 7
και ότι το δεύτερο μέλος της είναι μία αποκλίνουσα σειρά.

38. Ι Σ Τ Ο Ρ Ι ΕΣ Α Π Ο Τ Η « Θεω ρί α τω ν α ρι θμ ών »
Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 38
Το θεώρημα των πρώτων αριθμών
Πόσοι πρώτοι αριθμοί υπάρχουν μικρότεροι από το 20;
Η απάντηση είναι εύκολη.
Υπάρχουν οκτώ οι 2,3,5,7,11,13,17,19.
Πόσοι πρώτοι υπάρχουν μικρότερ οι από χίλια;
Από ένα εκατομμύριο;
Από ένα δισεκατομμύριο;
Υπάρχει κάποιος γενικός τύπος ο οποίος να μας δ ίνει το πλήθος των
πρώτων που είναι μικρότεροι από έναν δεδομένο αριθμό, χωρίς να
χρειάζεται να τους μετρήσουμε;
Ας συμβολίσουμε με π(n) το πλήθος των πρώτων που είναι
μικρότεροι ή ίσοι του n. Τότε προφανώς π(20) 8.
Ο Ευκλείδης, όπως ήδη έχουμε αναφέρει, απόδειξε ότι καθώς ο n
γίνεται ολοένα και μεγαλύτερος η τιμή του π(n) απειρίζεται.
Υπάρχει όμως ένας τύπος για το π(n);
Α. Η ιστορία ξεκινά…
1. Στο τέλος του 18 ο υ
αιώνα o Γάλλος Μαθηματικός ο Adrien-Marie-
Legendre και ο Gauss διατύπωσαν την άποψη ότι καθώς το n
γίνεται ολοένα και μεγαλύτερο η τιμή π(n) ολοένα και
περισσότερο πλησιάζει στην τιμή
n
ln(n)
.
2. Το 1850 ο Ρώσος Μαθηματικός Pafnuty Chebyshev απόδειξε ότι:
αν η ποσότητα
π(n)
n
ln(n)
συγκλίνει καθώς το n αυξάνει
τότε το όριο πρέπει να είναι το 1 .

39. Ι Σ Τ Ο Ρ Ι ΕΣ Α Π Ο Τ Η « Θεω ρί α τω ν α ρι θμ ών »
Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 39
3. Το 1859 ο Γερμανός Μαθηματικός Bernhard Riemann στο
διδακτορικό του «σχετικά με τον αριθμό των πρώτων που είναι
μικρότεροι από έναν δεδομένο φυσικό » ( on the Number of Prime
Less Than a Given Magnitude) παρουσίασε πολλές επαναστατικές
ιδέες σχετικά με το θέμα αυτό. Επίσης συνέδεσε το ζήτημα αυτό
με τους μιγαδικούς αριθμούς και τη συνάρτηση ζήτα που από τότε
λέγεται και Riemann zeta function .
Μελέτησε τις μιγαδικές λύσεις s x iy της εξίσωσης ζ(s) 0
για 0 x 1 και συνέδεσε το θεώρημα των πρώτων αριθμών με
την περίφημη υπόθεση του ( Riemann Hypothesis ) ότι όλες οι
μιγαδικές λύσεις της εξίσωσης ζ(s) 0 έχουν πραγματικό μέρος
ίσο με 1/2 .
Το σημαντικό είναι ότι αν η υπόθεση του Riemann είναι αληθής
τότε αποδεικνύεται η μικρή διαφορά ανάμεσα στις τιμές των
ποσοτήτων π(n) και
n
ln(n)
.
Επίσης η αλήθεια της υπόθεσης κάνει τα Μαθηματικά πλουσιότερα
αφού εκατοντάδες θεωρήματα έχουν αποδειχθεί ξεκινώντας με την
φράση « αν η υπόθεση Riemann είναι αληθής τότε …».
Το 1900 ο Γερμανός Μαθηματικός David Hilbert παρουσίασε τα 23
προβλήματα που πρέπει να ασχοληθεί η μαθηματική κοινότητα ,
ένα από αυτά ήταν και η υπόθεση του Riemann.
Το 2000 το Ινστιτούτο των Μ αθηματικών του Cambridge «Clay»
επικήρυξε την υπόθεση με βραβείο 1.000.000.$. Δικαίως
θεωρείται το σπουδαιότερο άλυτο πρόβλημα των Μαθηματικών.
Το 2001 ένα πρόγραμμα της θεωρίας των αριθμών που λέγεται
“ZetaGrid”επιβεβαίωσε ότι οι πρώτες 100.000.000.000.00 0
μιγαδικές λύσεις της εξίσωσης ζ(s) 0 έχουν πραγματικό μέρος
ίσο με 1/2, βέβαια αυτό δεν είναι παρά μία αρκετά μεγάλη λίστα
και όχι γενική απόδειξη της υπόθεσης του Riemann.
4. To 1896 o Γάλλος μαθηματικός Jasques Salomon Hadamard και ο
Βέλγος Μαθηματικός Charles de la Vallee – Poussin , ανεξάρτητα
ο ένας από τον άλλο απόδειξαν ότι :
η ποσότητα
π(n)
n
ln(n)
συγκλίνει στο 1.
Το Θ.Π.Α. επιτέλους αποδείχτηκε !!!

40. Ι Σ Τ Ο Ρ Ι ΕΣ Α Π Ο Τ Η « Θεω ρί α τω ν α ρι θμ ών »
Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 40
5. Είδαμε ότι η
ποσότητα π(n)
προσεγγίζεται
ικανοποιητικά από
τη συνάρτηση
n
ln(n)
.
Ωστόσο υπάρχει και
μία άλλη συνάρτηση
που συμπεριφέρεται
παρόμοια.
Πρόκειται για τη
συνάρτηση
n
0
Li(n) (1/ logt)dt
ονομάζεται
«Λογαριθμικό ολοκλήρωμα» (logarithmic intergral).
6. Το 1914 ένας Βρετανός μαθηματικός ο John Littlewood
μελετώντας τη συνάρτηση Li(n) απόδειξε ότι η γραφική της
παράσταση τέμνει αυτής της π(n) και μάλιστα άπειρες φορές.
Χωρίς να μπορεί να βρεθεί ένας γενικός κανόνας για το πότε
συμβαίνει αυτό.
7. Η λύση του Θ.Π.Α. που δόθηκε το 1896 ήταν εξαιρετικά έξυπνη και
κομψή, αλλά προϋπόθετε εργαλεία και τεχνικές ιδιαίτερα
απαιτητικά. Ο Βρετανός Μαθηματικός G.H.Hardy 1921 έθεσε το
ερώτημα της δυνατότητας ύπαρξης μιας στοιχειώδους λύσης.
8. Το 1933 ο Νότιο αφρικανός Μαθηματικός Samuel Skewes απόδειξε
ότι αν η υπόθεση Riemann είναι αληθής τότε … , η συνάρτηση
Li(n) πρέπει να γίνεται μικρότερη της π(n) για κάποιο n
μικρότερο του
3410
10
10 .
Ο αριθμός αυτός γνωστός πλέον ως Skewes number είναι ο
μεγαλύτερος αριθμός που εμφανίζεται σε απόδειξη των
μαθηματικών.
Η σ υ ν ά ρ τ η σ η Li(n) β ρ ί σ κ ε τ α ι π ά ν ω α π ό τ η ν κ α τ α ν ο μ ή τ ω ν π ρ ώ τ ω ν
π(n) ( κ ό κ κ ι ν η γ ρ α μ μ ή ) κ α ι α π ό κ ά τ ω έ χ ο υ μ ε τ η ν
n
ln(n)
* 2 . ( Δ ε ς β ι β λ ι ο γ ρ α φ ί α σ τ ο π α ρ ά ρ τ η μ α )

41. Ι Σ Τ Ο Ρ Ι ΕΣ Α Π Ο Τ Η « Θεω ρί α τω ν α ρι θμ ών »
Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 41
9. Το 1948 ο Ούγγρος μαθηματικός Paul Erdos και ο Νορβηγός
Μαθηματικός Atle Selberg έδωσαν σε χωριστές αναφορές τη
στοιχειώδη (elementary) απόδειξη προϋποθέτοντας απλές
γνώσεις λογαρίθμων.
Η απόδειξη αυτή έμελε να φέρει σ ε ρήξη τους δύο Μαθηματικούς.
Αλλά η μαθηματική κοινότητα τίμησε και τους δύο. Ο Selberg , ο
οποίος ήταν καθηγητής στο Ινστιτούτο ανώτερων σπουδών του
Πρίνστον , βραβεύθηκε το 1950 με το μετάλλιο Fields ( το Nobel
των Μαθηματικών). Ο Erdos , που είχε πάνω από 1500
δημοσιεύσεις με πάνω από 500 συνεργάτες , το 1952 βραβεύθηκε
με το Cole Prize ( από τα πλέον αξιοσέβαστα βραβεία στο χώρο
των μαθηματικών).
Β. Εικασίες …
Σε όλη αυτή τη μακρά περίοδο αναζήτησης της απόδειξης του
θεωρήματος των πρώτων αριθμών, ένα μεγάλο πλήθος εικασιών
διατυπώθηκαν, ας αναφέρουμε μερικές…
1. Ο Gauss διατύπωσε την εικασία ότι οποιαδήποτε αριθμητική
πρόοδος περιέχει πάντα πρώτους αριθμούς . Το 1837 ο Γερμανός
Μαθηματικός Johann Dirichlet απέδειξε την εικασία αυτή.
2. Ας γράψουμε την ακολουθία των πρώτων αριθμών,
2,3,5,7,11,13,17,19,… Παρατηρούμε ότι οι αριθμοί 3,5,7
αποτελούν διαδοχικούς όρους αριθμητικής προόδου.
Πόσο μεγάλη λίστα διαδοχικών όρων αριθμητικής προόδου
μπορούμε να βρούμε στην ακολουθία των πρώτων α ριθμών;
Το 2004 οι Ben Green και Terence Tao απέδειξαν ότι είμαστε σε
θέση να βρούμε απεριόριστα μεγάλη λίστα διαδοχικών όρων
αριθμητικής προόδου, στην ακολουθία των πρώτων αριθμών.
Μπορείτε να εξετάσετε αν υπάρχει αριθμητική πρόοδος από τρεις
διαδοχικούς πρώτους της μορφής n, n 3, n 6 ;

42. Ι Σ Τ Ο Ρ Ι ΕΣ Α Π Ο Τ Η « Θεω ρί α τω ν α ρι θμ ών »
Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 42
3. Δίδυμοι πρώτοι (twin primes);
Λέγονται οι πρώτοι που διαφέρουν κατά δύο.
Για παράδειγμα (3,5), (5,7), (11,13). Πόσοι είναι;
Αυτό είναι ένα ανοικτό πρόβλημα και δεν έχει αποδειχθεί ακόμα.
Μπορούμε όμως να αποδείξουμε ότι για κάθε φυσικό αριθμό
n 2 υπάρχει πρώτος μεταξύ των αριθμών n και 2n.
Επίσης είμαστε σε θέση να αποδείξουμε ότι για κάθε θετικό
αριθμό ε υπάρχει αριθμός εn ώστε για κάθε εn n υπάρχει
πρώτος μεταξύ των n και (1 ε) n .
4. Το 1742 ο Christian
Goldbach (1690-1764)
διατύπωσε την εικασία ότι
«κάθε άρτιος μεγαλύτερος
του 2 μπορεί να γραφεί ως
άθροισμα δύο πρώτων» .
Για παράδειγμα 8=3+5,
16=5+11 .
Υπάρχουν παραδείγματα
όπου ο άρτιος μπορεί να
γραφεί με περισσότερου ς
τρόπους ως άθροισμα
πρώτων,
π.χ.
42=5+37=11+31=13+29=19+23.
5. Ο P.Fermat (1601-1665) έθεσε το ερώτημα αν ο τύπος
n
2
nF 2 1
παράγει πρώτους αριθμούς.
Πράγματι οι 1 2 3 4F 5, F 17, F 257, F 65537 είναι πρώτοι
αλλά ο
32
5F 2 1 4294967297 δεν είναι , διαιρείται με το
641. Μέχρι σήμερα δεν έχει βρεθεί άλλος πρώτος αριθμός από
τον τύπο αυτό.
Κ α τ α ν ο μ ή π ο υ π α ρ ο υ σ ι ά ζ ε ι τ ο υ ς τ ρ ό π ο υ ς μ ε τ ο υ ς
ο π ο ί ο υ ς μ π ο ρ ε ί ν α γ ρ α φ ε ί έ ν α ς ά ρ τ ι ο ς ω ς
ά θ ρ ο ι σ μ α δ ύ ο π ρ ώ τ ω ν
* 3 . ( Δ ε ς β ι β λ ι ο γ ρ α φ ί α σ τ ο π α ρ ά ρ τ η μ α )

43. Ι Σ Τ Ο Ρ Ι ΕΣ Α Π Ο Τ Η « Θεω ρί α τω ν α ρι θμ ών »
Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 43
6. Ο μοναχός M. Mersenne (1588-1648) ασχολήθηκε με το ερ ώτημα
για ποιους πρώτους αριθμούς p ο αριθμός
p
pM 2 1 είναι
πρώτος;
Για
p 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127, 521, 607, 1279, 2203,
2281, 3217, 4253, 4423, 9689, 9941, 11213, 19937, 21701,
23209, 44497, 86243, 132049
παίρνουμε πρώτους αριθμούς ,
ο
11
11M 2 1 2047 23 89 είναι σύνθετος.
Αν ο αριθμός pM είναι πρώτος τότε αυτός λέγεται αριθμός
Μερσέν. Υπάρχει η εικασία ότι υπάρχουν άπειροι τέτοιοι αριθμοί.
Το 1983 με τη βοήθεια υπολογιστών υψηλών δυνατοτήτων
αποδείχθηκε ότι ο αριθμός 132049M ,ένας αριθμός με 39751
ψηφία, είναι πρώτος.
Το κυνήγι των αριθμών Μερσέν συνεχίζεται γιατί οι πρώτοι
χρησιμοποιούνται σήμερα σε διαδικασίες κωδικοποίησης.

44. Ι Σ Τ Ο Ρ Ι ΕΣ Α Π Ο Τ Η « Θεω ρί α τω ν α ρι θμ ών »
Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 44
Περί διαίρεσης φυσικών …
Α. Η ευκλείδεια διαίρεση
1. Ας θυμηθούμε τη γνωστή μας διαίρεση (division) και τις ιδιότητές
της με απλά παραδείγματα.
Διαιρέστε το 47 με το 3.
Η απάντηση που δίναμε στο σχολείο είναι ότι έχουμε πηλίκο
(quotient ) 15 και υπόλοιπο (remainder)2 και γράφαμε :
47 3 15 2.
Επίσης γνωρίζαμε τα πιθανά υπόλοιπα μιας διαίρεσης χωρίς να
την κάνουμε.
Για παράδειγμα η διαίρεση 51: 4 γνωρίζουμε ότι αποδίδει
υπόλοιπο έναν από τους 0,1,2,3.
Στην περίπτωση όπου το υπόλοιπο της διαίρεσης α : β είναι μηδέν
τότε τη διαίρεση τη λέγαμε τέλεια, ή ότι ο β είναι διαιρέτης ή
είναι παράγοντας του α.
2. Η ισότητα που γράφαμε μετά από μία διαίρεση αποδίδεται στον
Ευκλείδη και λέγεται ταυτότητα της ευκλείδειας διαίρεσης .
Σύμφωνα με αυτή ν αν Δ και δ φυσικοί αριθμοί με δ 0, τότε
υπάρχουν μοναδικοί φυσικοί π και υ ώστε : Δ δ π υ με
0 υ δ.
Β. Μέγιστος κοινός διαιρέτης
1. Στο σχολείο συγκεντρώσαμε 126 τετράδια και 112 μολύβια για να
τα δώσουμε σε ένα ορφανοτροφείο. Χρειάζεται όμως να τα
συσκευάσουμε με τέτοιο τρόπο ώστε το κάθε δέμα να έχει ίδιο
αριθμό τετραδίων, μολυβιών, χωρίς να περισσεύει τίποτε.
Πώς γίνεται αυτό;

45. Ι Σ Τ Ο Ρ Ι ΕΣ Α Π Ο Τ Η « Θεω ρί α τω ν α ρι θμ ών »
Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 45
2. Ουσιαστικά ψάχνουμε τον μεγαλύτερο αριθμό που να διαιρεί
(ακριβώς) τους αριθμούς 126 και 112. Η εύρεση του μέγιστου
κοινού διαιρέτη ( greatest common divisor) επιτυγχάνεται
αναλύοντας τους αριθμούς σε γινόμενο πρώτων παραγόντων και
επιλέγοντας στη συ νέχεια όλους τους κοινούς παράγοντές τους.
Δηλαδή στο παράδειγμά μας:
126 2 3 3 7 και 112 2 2 2 2 7,
άρα ο μέγιστος κοινός διαιρέτης είναι ο 2 7 14 (συμβολίζουμε
(126,112)=14 ), επομένως σχηματίζουμε 14 όμοια δέματα.
3. Στην περίπτωση όπου οι αριθμοί είναι μεγαλύτεροι τότε υπάρχει
ένας αλγόριθμος που περιγράφεται στα στοιχεία του Ευκλείδη και
είναι γνωστός ως Ευκλείδειος αλγόριθμος ( Euclidean algorithm ).
Βασίζεται στην πρόταση : « αν α,β δύο φυσικοί αριθμοί και υ το
υπόλοιπο της ευκλείδειας διαίρεσης του α με το β τότε ο
μέγιστος κοινός διαιρέτης των α,β είναι ίδιος με τον μέγιστο
κοινό διαιρέτη των β,υ, δηλαδή (α,β)=(β,υ) ».
Η διαδοχική εφαρμογή της πρότασης αυτής οδηγεί σε διαδοχικές
ευκλείδειες διαιρέσεις και τελικά ο Μ.Κ.Δ των δύο αρχικών
αριθμών είναι το τελευταίο μη μηδενικό υπόλοιπο των διαιρέσεων
αυτών.
4. Για παράδειγμα , ας υποθέσουμε ό τι θέλουμε να βρούμε τον
(126,112).
Με τη βοήθεια του αλγορίθμου, τότε έχουμε διαδοχικά :
126 112 1 14
112 14 8 0
το τελευταίο μη μηδενικό υπόλοιπο των
διαδοχικών διαιρέσε ων είναι το 14 άρα (126,112)=14.
Βρείτε τον (245,217) !!.
Στην περίπτωση όπου για τους φυσικούς α,β έχουμε ότι (α,β)=1
τότε τους αριθμούς θα τους λέμε πρώτους μεταξύ τους (relatively
prime numbers) . Προφανώς αν χρησιμοποιήσουμε τον αλγόριθμο
του Ευκλείδη, δύο αριθμοί θα είναι πρώτοι μεταξύ τους αν το
τελευταίο μη μηδενικό υπόλοιπο είναι το 1.
5. Για παράδειγμα οι αριθμοί 84 και 55 είναι πρώτοι διότι :
84 55 29
55 29 26
29 26 3
26 3 2
1
1
1
8
1 13 2

46. Ι Σ Τ Ο Ρ Ι ΕΣ Α Π Ο Τ Η « Θεω ρί α τω ν α ρι θμ ών »
Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 46
Από την παραπάνω διαδικασία έχουμε ότι :
3 2
3 26 3 3 26
29 26 26 29
1
( 8) 1 9
( 1) 9 9 10
9 ( 1) 10 19 10
( 1)
26
29 55 29 29 55
84 55 55 84 5519 10 19 29
1
δηλαδή 84 5 19 2951
6. Αποδεικνύεται γενικά, ότι αν οι αριθμοί α,β είναι πρώτοι μεταξύ
τους τότε η εξίσωση α x β y 1 έχει λύση ως προς x,y .
Το συμπέρασμα είναι εξαιρετικά χρήσιμο στην κρυπτογραφία…
Γ. Η αριθμητική του ρολογιού …
1. Αν ήσαστε από αυτούς που στην
ερώτηση 9+8 πόσο κάνει;
εσείς απαντάτε 5 !!!,
δεν πειράζει!!!
Απλώς βλέπετε τον κόσμο
διαφορετικά.
Πιθανόν να έχετε στο μυαλό σας την
ώρα και ένα ρολόι 12 ωρών.
Κάποιος άλλος θα μπορούσε
απαντήσει 9+8=3 έχοντας στο μυαλό
του ένα ρολόι βδομάδας;;;

47. Ι Σ Τ Ο Ρ Ι ΕΣ Α Π Ο Τ Η « Θεω ρί α τω ν α ρι θμ ών »
Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 47
2. Ας επικεντρώσουμε την προσοχή μας
στα υπόλοιπα των διαιρέσεων των
αριθμών
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,… με
το 4.
Αυτά είναι
0,1,2,3,0,1,2,3,0,1,2,3,0,1,2,….
Παρατηρούμε ότι τα υπόλοιπα
ανακυκλώνονται γύρω από τους
αριθμούς 0,1,2,3.
Τους αριθμούς αυτούς μπορούμε να
τους φανταστούμε ως ενδείξεις ενός
περίεργου ρολογιού, όπου όταν ο
δείκτης του φθάσει στο 3 μετά δείχνει 0.
Στο ρολόι αυτό μας ενδιαφέρει το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός
οποιουδήποτε αριθμού με το 4 και όχι ο ίδιος ο αριθμός.
Έτσι για παράδειγμα οι αριθμοί 14 και 22, που διαιρούμενοι με το
4 αφήνουν και οι δύο υπόλοιπο 2, στο ρολόι μας θα σημειώνονται
με το δείκτη να στέκεται στην ένδειξη 2.
3. Οι αριθμοί 14 και 22 θα λέγονται ισοϋπόλοιποι με μέτρο 4 και θα
τους συμβολίζουμε 22 14(mod4) προφανώς μπορούμε να
γράψουμε και 14 22(mod4).
4. Σε ένα τέτοιο ρολόι μπορούμε να ορίσουμε πράξεις όπως η
πρόσθεση, η αφαίρεση, ο πολλαπλασιασμός.
Για παράδειγμα για τους αριθμούς 22 και 17 που αφήνουν
διαιρούμενοι με το 4 υπόλοιπα 2 και 1 αντίστοιχα έχουμε ότι :
ο αριθμός 22 17 39 θα αφήνει υπόλοιπο 2 1 3,
ο αριθμός 22 17 5 θα αφήνει υπόλοιπο 2 1 1,
ενώ ο αριθμός 22 17 374 θα αφήνει υπόλοιπο 2 1 2.

48. Ι Σ Τ Ο Ρ Ι ΕΣ Α Π Ο Τ Η « Θεω ρί α τω ν α ρι θμ ών »
Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 48
5. Γενικά σε μία τέτοια αριθμητική ( modular arithmetic) εύκολα
μπορούμε να καταλήξουμε στις παρακάτω ιδιότητες :
Αν α β(modν) τότε α β 0(modν)
δηλαδή ο ν διαιρεί (ακριβώς ) την διαφορά α -β.
Αν α β(modν) και γ δ(modν) τότε :
α γ β δ(modν)
α γ β δ(mod ν )
α γ β δ(modν)
Αν α β(modν) και γ τότε ισχύουν :
α γ β γ(modν)
α γ β γ(modν)
α γ β γ(modν)
Αν α β(modν) και m τότε θα ισχύουν
m α m β(modν)
m m
α β (modν)
6. Τη θεωρία της modular αριθμητικής όπως τη γνωρίζουμε σήμερα
τη θεμελίωσε ο Gauss το 1801. Ωστόσο αναφέρονται
ενδιαφέρουσες εφαρμογές της αριθμητικής αυτής από τον 3 ο
μ.Χ.
αιώνα από Κινέζους Μαθηματικού ς.
7. Η modular αριθμητική βρίσκει πολλές εφαρμογές στη ζωή μας.
Πέραν του ότι το ρολόι είναι κατά βάση μία τέτοια αριθμητική, το
ίδιο συμβαίνει για παράδειγμα και στον χιλιομετρητή των
αυτοκινήτων όπου κάθε 100.000 χιλιόμετρα «μηδενίζεται».
Επίσης σε κάθε τσεκ που εκδίδεται από μία τράπεζα στην πάνω
δεξιά γωνία υπάρχει ένας 9ψήφιος αριθμός, η ταυτότητα της
τράπεζας που έκδωσε το τσεκ. Αν υποθέσουμε ότι ο αριθμός αυτός
είναι ο A B C - D E F - G H I τότε από τα συστήματα ασφαλείας
της τράπεζας δημιουργε ίται ένας νέος αριθμός π.χ. ο
7A 3B 9C 7D 3E 9F 7G 3H 9I και αν ο αριθμός
αυτός είναι 0(mod10) τότε ο αριθμός του τσεκ είναι σωστός
ειδάλλως πρόκειται για πλαστογράφηση.
Σε αντίστοιχες αρχές βασίζεται και ο κώδικας ISBN των εκδόσεων
και ο παγκόσμιος κώδικας παραγωγής UPCs.

49. Ι Σ Τ Ο Ρ Ι ΕΣ Α Π Ο Τ Η « Θεω ρί α τω ν α ρι θμ ών »
Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 49
Κρυπτογραφία και Μαθηματικά
Α. Λίγη ιστορία
1. Από τα παλιά χρόνια η ανάγκη για ασφαλή επικοινωνία οδήγησε
τον άνθρωπο να χρησιμοποιεί μεθόδους κρυπτογραφίας
(Cryptography ). Παράλληλα εκείνοι που ήθελαν να έχουν
πρόσβαση στην ξένη αλληλογραφία ανέπτυξαν τεχνικές
αποκρυπτογράφησης (Decryption).
2. Είναι γνωστό ότι οι αρχαίοι Σπαρτιάτες χρησιμοποιούσαν τη
λεγόμενη σκυτάλη. Ουσιαστικά επρόκειτο για έναν κύλινδρο
συγκεκριμένου διαμετρήματος στον οποίο περιτύλιγαν λωρίδα
δέρματος. Στη συνέχεια έγραφαν πάνω σε αυτήν ένα σύντομο
μήνυμα και ακολούθως το ξ ετύλιγαν. Μία σειρά από γράμματα
παρουσιάζονταν χωρίς καμία προφανή συνοχή. Για να διαβαστεί θα
έπρεπε ο παραλήπτης να είχε μία όμοια σκυτάλη και αφού τύλιγε
με τη σειρά του τη λωρίδα σε αυτήν να διάβαζε το μήνυμα.
3. Ο Ιούλιος Καίσαρας κρυπτογραφούσε τις δι αταγές του
αντικαθιστώντας τα γράμματα του κειμένου, με γράμματα, που
βρίσκονται 3 θέσεις μετά, στο Λατινικό αλφάβητο. Ένα τέτοιο
σύστημα κρυπτογράφησης λέγεται κρυπτοσύστημα
αντικατάστασης του Καίσαρα (Caesar cipfer) .
4. Στη διάρκεια του Μεσαίωνα η κρυπτολογία ήταν κάτι το
απαγορευμένο. Η εξέλιξη, τόσο της κρυπτολογίας, όπως και των
μαθηματικών, συνεχίζεται στον Αραβικό κόσμο όπου εμφανίστηκαν
και τα πρώτα βιβλία που περιείχαν κρυπταλφάβητα .
Aλφάβητα δηλαδή όπου κάθε γράμμα της γλώσσας υποκαθ ίσταται
από ένα άλλο γράμμα ή σύμβολο.
5. Ένα κείμενο που προκύπτει από υποκατάσταση κάθε γράμματος
από ένα άλλο γράμμα ή σύμβολο λέγεται « μονοαλφαβητικό
κρυπτόγραμμα υποκατάστασης » (Monoalphabetic substritution
ciphers).

50. Ι Σ Τ Ο Ρ Ι ΕΣ Α Π Ο Τ Η « Θεω ρί α τω ν α ρι θμ ών »
Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 50
6. Οι Άραβες ήταν και οι πρώτοι που επινόησαν μεθόδους
κρυπτανάλυσης (μεθόδους ανάγνωσης ενός κρυπτογραφημένου
κειμένου).
7. Η μέθοδος που βρήκαν λέγεται « ανάλυση συχνότητας» (Frequency
analysis ) και βασίζεται στο γεγονός ότι στις περισσότερες
γλώσσες κάποια γράμματα ή συνδυασμοί γραμμά των εμφανίζονται
συχνότερα από κάποια άλλα. Με τον υπολογισμό της κατανομής
των γραμμάτων μέσα στα λογοτεχνικά κείμενα βρίσκουμε ένα
εργαλείο αποκρυπτογράφησης, αφού στα κρυπτογραφημένα
κείμενα τέτοιες ιδιότητες αναπαράγονται.
8. Έτσι στην αρχή ψάχνουμε να βρούμε για τον κρυπτοχαρακτήρα που
επαναλαμβάνεται περισσότερο και τον αντικαθιστούμε από τον
χαρακτήρα που επαναλαμβάνεται περισσότερο στη φυσική γλώσσα.
Τη διαδικασία αυτή τη συνεχίζουμε έως να φθάσουμε σε μία
μοναδική λύση, όπου το εξαγόμενο μήνυμα να έ χει νόημα.
9. Το 1523 ο Γάλλος διπλωμάτης Βίζενερ επινόησε ένα σύστημα
κρυπτογράφησης που βασιζόταν στην υποκατάσταση των
γραμμάτων του κειμένου χρησιμοποιώντας όχι ένα αλλά
εικοσιτέσσερα κρυπτογραφικά αλφάβητα !!! Έτσι το κάθε γράμμα
μπορούσε να εμφανιστε ί στο κρυπτογραφημένο κείμενο με 24
διαφορετικές εκδοχές. Ο παραλήπτης για να αποκωδικοποιήσει το
κείμενο θα έπρεπε να είχε στην κατοχή του ή να ήξερε τον τρόπο
κατασκευής του βιβλίου των 24 αλφαβήτων αλλά και τη σειρά των
αλφαβήτων που χρησιμοποιήθηκαν. Τ ο τελευταίο επιτυγχάνεται με
τη βοήθεια ενός μυστικού κλειδιού. Ουσιαστικά το κλειδί ήταν μία
φράση, όσο το δυνατό πιο μεγάλη και εύκολα απομνημονεύσιμη, η
οποία έδινε ουσιαστικά τον τρόπο χειρισμού του βιβλίου
κρυπτογράφησης.