1.- Módulo 1 proposiciones lógicas_2023.pdf

Lógica Matemática Matemática y Física – 2023
Mg. Romer Juvenal Javier Quijano – Docente del curso Página 1
UNIVERSIDAD NACIONAL “HERMILIO VALDIZÁN” HUÁNUCO
FACULTAD DE CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN
E.P. Matemática y Física
CURSO: Lógica Matemática
JAVIER QUIJANO, Romer
Huánuco, Perú
2 023
☺ LÓGICA PROPOSICIONAL
☺ CIRCUITOS LÓGICOS
MÓDULO 01

Enunciado:
De las frases que emplea el hombre, algunas tienen la particularidad de ser
adjetivadas como verdaderas o como falsas, por ejemplo
1. Enero es el primer mes del año
2. Huánuco es la capital del Perú
Mientras que otras frases no tienen tal particularidad, por ejemplo:
3. Ven rápido
4. ¡Auxilio!
La Lógica se ocupa de las frases del tipo 1 y 2 y no de los tipos 3 y 4.
Definición de proposiciones lógicas.
Se llama sentencia o proposición lógica a una frase que tiene la cualidad de ser o bien
verdadera o bien falsa, sin ambigüedades.
De los ejemplos anteriores, 1 y 2 son sentencias, verdadera el primero y falsa el
segundo. 3 y 4 no son sentencias, pues no son ni verdaderas ni falsas, 3 es una orden
4 una interrogación
A la Lógica sólo le interesa los enunciados de carácter declarativo, no así su verdad o
falsedad concretas Establecer la verdad o falsedad de los enunciados particulares
corresponde a las disciplinas particulares (Matemática, Física, Química, Historia, etc.)
Simbolización de Proposiciones
La simbolización de proposiciones consiste en la representación del lenguaje ordinario
mediante el lenguaje simbólico. Para ello se debe tomar en cuenta que cada
proposición simple debe ser simbolizada por una variable proposicional, y que los
términos de enlace deben ser simbolizados por operadores proposicionales que las
interpreten.
Los signos de agrupación (paréntesis, corchetes, llave) se usan en lógica cuando se
trata de obtener esquemas lógicos más complejos con el fin de evitar la ambigüedad
de las fórmulas. Cuando no se usan correctamente los signos de agrupación las
fórmulas carecen de sentido.
Otra finalidad de los signos de agrupación es darle mayor o menor jerarquía a los
conectivos. En general “~” es la conectiva de menor jerarquía, le siguen “  ”, “ ” que
son de igual jerarquía y luego “→” que es el de mayor jerarquía. Sin embargo, cada
conectiva puede ser de mayor jerarquía si así lo indica el signo de colección.
Valores de verdad: Se llama valores veritativos o valores de verdad de una
proposición a sus dos valores, verdadero o falso, estos posibles valores se pueden
esquematizar en una tabla de verdad.
p
V
F
Formalización de Proposiciones
Consiste en la representación de las proposiciones y sus enlaces mediante variables
(p, q, r,…).
Ejemplos 1: Hermilio Valdizán fue un médico y Javier Pulgar Vidal un arquitecto.
p: ……………………………………………………………………………………………….
q: ……………………………………………………………………………………………….

Formalización: ……………………………………………………………………….……….
Ejemplo 2: Si Enrique Alonso Castro Capitán se esfuerza al máximo, culminará sus
estudios satisfactoriamente.
p: …………………………………………………………………………………………….….
q: ………………………………………………………………………………………………...
Formalización: ……………………………………………………………………………..…..
Ejemplo 3: Si Evelin Esmilda Dueñas Justo no aprueba o no resuelve este problema,
entonces es falso que, haya estudiado o domine la lógica proposicional.
p: …………………………………………………………………………………………………
q: …………………………………………………………………………………………………
r: …………………………………………………………………………………………………
s: …………………………………………………………………………………………………
Formalización: ………………………………………………………………………………….
Clases de proposiciones lógica
• Proposiciones simples o atómicas: Son aquellas que se pueden representar por
una sola variable.
P: 1 + 3 = 5
• Proposiciones compuestas o moleculares: Son aquellas que se pueden
representar por lo menos por una variable y algún o algunos de los símbolos que
representan a las siguientes palabras: no; implica, o, y , sí o solo sí
Conectivos lógicos:
1. La negación: Dada una proposición p, se denomina la negación de p, a otra
proposición denotada por ~ p, y que le asigna el valorativo opuesto al de p, cuyo
valor de verdad es:
v(~ 𝐩) = {
V, si v(p) = F
F, si v(p) = V
2. La disyunción: La disyunción de dos enunciados p y q es un nuevo enunciado, al
que se denota como “p v q” (se lee p o q) y cuyo valor de verdad es:
v(p v q) = {
F, si v(p) = v(q) = F
V,en los demás casos.
3. La conjunción: La conjunción de dos enunciados p, q, es un nuevo enunciado, al
que se denota como “p ˄ q” (se lee p y q) y cuyo valor de verdad es:
v(p ˄ q) = {
V, si v(p) = v(q) = V
F,en los demás casos.

4. El condicional: La proposición compuesta ~ p v q, se llama el condicional, de
antecedente p y consecuenteq; cuya notación es: p → q, (se lee: si p, entonces q).
En "p → q", se dice que p es la premisa y q la conclusión.
Hay otras expresiones literarias del condicional “si p, entonces q”, que son:
- p es suficiente para q
- p es necesario para p
- p, sólo si q
- q a menos que ~ p
- p es una condición suficiente para que q
Su valor de verdad es: p → q = {
F, si v(p) = V; v(q) = F
V, en los demás casos.
5. El bicondicional: La proposición compuesta (p → q) ˄ (q → p) y cuya notación
es: p ↔ q,(se lee: "p sí o solo sí q).
Su valor de verdad es: p ↔ q = {
V, si v(p) = v(q),
F, v(p) ≠ v(q)
Las negacionesde: (p ↔ q), (p v q), (p ˄ q), dan origen a nuevos conectivos llamados:
disyunción exclusiva, negación conjunta y negación alterna
6. La disyunción exclusiva: Es la negación del bicondicional, ~ (p ↔ q), al que se
denota p Δ q,(se lee: "p o q, pero no ambos") y cuyo valor de verdad es:
p Δ q = {
F, si v(p) = v(q),
𝑉, v(p) ≠ v(q)
7. La negación conjunta: Es la negación de la disyunción ~ (p v q), al quese denota
p ↓ q, (se lee: ni p ni q) y cuyo valor de verdad es: p ↓ q = {
V, si v(p) = v(q) = F
F, en los demás casos.
A " ↓ " se llama algunas veces “operador ni”
8. La negación alterna: Es la negación de la conjunción ~ (p ˄ q), al que se denota
p ↑ q, (se lee:"no p o no q") y cuyo valor de verdad es:
p ↓ q = {
F, si v(p) = v(q) = V
V, en los demás casos.
Tabla de verdad de los conectores
~ (p ↔ q) ~ (p v q) ~ (p ˄ q)
p q ~ p ~ q p v q p ˄ q p → q p ↔ q p Δ q p ↓ q p ↑ q
V V F F V V V V F F F
V F F V V F F F V F V
F V V F V F V F V F V
F F V V F F V V F V V

Leyes de la Lógica Proposicional
1) Principios Lógicos Clásicos
- Ley de Identidad (Reflexiva)
Una proposición sólo es idéntica así mismo
- Ley de no Contradicción
Una proposición no puede ser verdadera y falsa a la vez.
- Ley del Tercio Excluido
Una proposición o es verdadera o es falsa, no hay una tercera
posibilidad.
2) Equivalencias Notables
- Doble Negación (DN)
(Ley de Involución)
~ (~ p) ≡ p
- La Idempotencia (Lid)
p  p ≡ p ; p  p ≡ p
- Leyes Conmutativas (LC)
p  q ≡ q  p
p  q ≡ q  p
p ↔ q ≡ q ↔ p
- Leyes Asociativas (Las)
p  (q  r) ≡ (p  q)  r
p  (q  r) ≡ (p  q)  r
p ↔ (q ↔ r) ≡ (p ↔ q) ↔ r
- Leyes Distributivas (LD)
p  (q  r) ≡ (p  q)  (p  r)
p  (q  r) ≡ (p  q)  (p  r)
p → (q  r) ≡ (p → q)  (p → r)
p → (q  r) ≡ (p → q)  (p → r)
- Leyes de Morgan (LM)
~ (p  q) ≡ (~ p  ~ q)
~ (p  q) ≡ (~ p  ~ q)
- Elementos Neutros (EN)
V  p ≡ p ; F  p ≡ F
V  p ≡ V ; F  p ≡ p
- Ley del Complemento (LCom)
p  ~ p ≡ V ; ~ p  ~ p ≡ ~ p
p  ~ p ≡ F ; ~ p  ~ p ≡ ~ p
p → p
p ↔ p
~ (p  ~ p)
p  ~ p

- Leyes de la Absorción (LAb)
p  (p  q) ≡ p
p  (p  q) ≡ p
~ p  (~ p  q) ≡ ~ p
~ p  (~ p  q) ≡ ~ p
~ q  (p  ~ q) ≡ ~ q
~ q  (~ p  ~ q) ≡ ~ q
p  (~ p  q) ≡ p  q
p  (~ p  q) ≡ p  q
- Leyes del Condicional (LCd)
p → q ≡ ~ p  q
~ (p → q) ≡ p  ~ q
- Leyes del Bicondicional (Lb)
p ↔ q) ≡ (p → q)  (q → p)
(p ↔ q) ≡ (p  q) (~ p  ~ q) ≡ ~ (p ∆ q)
- La Disyunción Exclusiva (DE)
p ∆ q ≡ (p  ~ q)  (q  ~ p)
p ∆ q ≡ (p  q)  ~ (p  q)
Tautología, contradicción y contingencia:
A toda proposición simple o compuesta cuyo valor es siempre verdadera para cualquier
combinación de valores veritativos de sus componentes se le llama Tautología y se le
denota simplemente por: V
A toda proposición simple o compuesta cuyo valor es siempre falsa para cualquier
combinación de valores veritativos de sus componentes se le llama Contradicción y se
le denota simplemente por: F
Una proposición cuya tabla de verdad contiene al menos un V y al menos un F, se le
denomina contingencia.
Ejemplo 4: Verifica en una tabla, si las siguientes proposiciones son tau tología,
contradicción o contingencia.
a) [ (p)  q)  q] → p
b) [ (p  q)  q]  q
c) q → p
Equivalencia lógica
Dos proposiciones p y q se llaman equivalentes si sus tablas de verdad son idénticas,
en cuyo caso se simboliza p  q.
Ejemplo 4: Las fórmulas (p → q) y [(q) → p)] son lógicamente equivalentes,es decir:
(p → q)  [(q) → p)], tal como veremos en la tabla de verdad adjunta.
p q p → q [(q) → p

Ejemplo 5: Simplifica los siguientes esquemas moleculares utilizando las leyes de la
lógica proposicional:
M = (~p  q) → (q→p) R= ~ [~(p  q) →~q]  q
M ≡ R ≡
Ejemplo 6: Simplifica [(p → q)  ~ p] → ~ q
Solución:
Es una tautología (Ley), por lo tanto, está demostrado que la simplificación es correcta
Ejemplo 7: Determina el esquema más simple de la proposición:
[(p  q) (p  ~ q)] (~ p  ~ q)
Solución:
Por lo tanto: [(p  q)  (p  ~ q)] [(~ p ~ q) ≡
Ejemplo 8: Analiza e identifica la negación del siguiente enunciado: “Si Roberto
Jauregui Quintana es aceptado por Nayeli Ami Santa Cruz Ardilla se casará”
A) Si Roberto J. Q. no es aceptado por Nayeli Ami S. C., no se casará
B) Roberto J. Q. no es aceptado por Nayeli Ami S. C. o no se casará
C) Roberto J. Q. no se casará o es aceptado por Nayeli Ami S. C.
D) Roberto J. Q. no se casará y es aceptado por Nayeli Ami S. C.
E) Más de una es correcta
Análisis:
Ejercicios
1. Si p y q denotan enunciados arbitrarios, elabora las tablas de verdad de:
a) p → (p Δ q) b) p → (p ↑ q) c) p ↓ (p ↑ q)
d) (p ˄ q) v (~ p ˄ ~ q) e) (p v q) ˄ (p v ~ q) ˄ (~ p v ~ q)
2. Si p, q y r denotan enunciados arbitrarios, elabora las tablas de verdad de:
a) (p v q ) → (p ˄ r) b) [(p → q ) ˄ (q → r )] → (q → r)
c) p ↑ (q ↑ r) d) p ↓ (q ↓ r) e) (p Δ q) ↔ (q ↓ r )
3. Dado los enunciados p, q y r, con valores v(p) = v(q) = V, y v(r) = F, determina los
valores de verdad de:

a) p → (q ↓ r) b) p Δ (q → r ) c) (p Δ ~ q) ↑ r d) (p ↑ q) ↔ (p ↓ r)
4. Deduce los valores de verdad de p, q y r en los siguientes casos:
a) Si v [ p ˄ (p → q)] = V b) Si v [ ~ (p ˄ q) v ~ (p ↔ q)] = F
c) Si v [ (p ↓ q) ↔ (p ↑ q )] = V d) Si v [ (p ↓ r) ˄ (q Δ r )] = V
e) Si v [ (p v r) ↓ (p v q)] = V f) Si v [ (p ˄ ~ q) ↑ (r ˄ ~ q)] = F
g) Si v [ (r v q) → (~ r → p)] = F
5. Dado los enunciados p, q, r y t tales que:
(p ˄ r) ↔ (t → q) = V, y (~ t → ~ q) = F, halla los valore de verdad de p, q, r y t.
6. Dado los enunciados: p, q, r, s y t tales que:
v (s ↔ t) = V; v (r ˄ s) = F; v (q v r) = V; v (p → q) = F; halla los valores de
verdad de:
a) [ r → (q → s)] → p b) [ (p v s) ˄ (s v q) ˄ (q v r)] v (p ˄ t)
c) [ (~ p v r) ˄ t] v [(~ q v s) ˄ r]
d) [ (~ p → (p ˄ t)) ˄ ((q ˄ r) → ~ s)] v [ (q v (p ˄ r)) ˄ (s v (~ q ˄ r))]
7. Dado p, r y s en los enunciados v (r v ~ s) = V; v (p v s) = V; halla el valor de verdad
de (p v r).
8. Halla el valor de verdad de los siguientes enunciados compuestos:
a) p → (p v q) b) (p ˄ q) ˄ ~ (p → q) c) (p ˄ q) → (p ↔ q)
d) (p ˄ q) → p e) (p v q) ˄ (p v r) v ~ p f) [ (p v q) ˄ ~ p] → q
9. Simplifica los siguientes enunciados:
a) p v (p Δ q) b) p v (p Δ q) c) (p v q) → (p ˄ q)
d) (p ↔ q) ↔ q e) p Δ (p Δ q) f) p Δ (~ p Δ q)
g) (p ˄ q) ↔ p h) p ↔ (p ˄ ~ q) i) (p v q) ↔ p
j) p ↔ (~ p v q)
Para seguir practicando
1) p ↔ (p Δ q) 2) (p Δ q) → ~ (p ↑ q) 3) (~ p ˄ q) v (p ˄ ~ q)
4) ~ p Δ ~ q 5) (p ˄ q) Δ (p v q) 6) (p ˄ q ˄ r) v (p ˄ q ˄ ~ r)
7) (p v ~ q v r) ˄ (p v ~ q v ~ r) 8) (p v q) ˄ [(p ˄ r) v ~ q]
9) (p v ~ q) ˄ [(q v ~ r) ˄ (r v ~ p) 10) [ (p ↔ ~ (p v q)] v p

2.1 Circuitos Lógicos
Las proposiciones lógicas se pueden expresar empleando el lenguaje de los
circuitos eléctricos. Para determinar la verdad o falsedad de razonamiento
propicia se tendrá en cuenta que el paso de la corriente identifica a la verdad, y
la interrupción de la corriente identificaun hecho falso. Cuando el interruptor está
cerrado, pasa corriente que equivale a un dato verdadero (V), pero cuando el
interruptor está abierto, no pasa la corriente que equivale a un dato falso (F). Es
decir:
Circuito Cerrado: V  V = V (pasa corriente)
Circuito Abierto: F  F = F (no pasa corriente)
Ahora podemos construir los circuitos, que es el procedimiento que se sigue en
la construcción de computadoras electrónicas. Armando Venero B. plantea que
estos circuitos son de dos clases:
a) Circuitos en Serie
Son aquellos provistos de dos interruptores p y q, conectados en serie:
p q No pasa corriente
De modo que en todo el circuito pasará la corriente solamente en el caso en que
ambos p y q se encuentren cerrados (ambos tienen el valor 1) como sigue:
p q
. Pasa corriente
Pero precisamente esto corresponde a la tabla de verdad de la conjunción p  q:
P q p  q
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 0
De donde vemos que basta que uno de ellos esté abierto (0) para que no circule
la corriente en todo el circuito:
p = 1
q = 0
p q
A la expresión p  q se le llama la FUNCIÓN BOOLEANA del circuito en serie.
b) Circuitos en paralelo
Son aquellos circuitos provistos de dos interruptores p y q conectados en
paralelo:

De modo que para que circule la corriente en el circuito es suficiente que
alguno de los interruptores p o q esté cerrado (1); y solamente dejará de
circular la corriente si ambos están abiertos (ambos: 0)
Esto precisamente corresponde a la tabla de verdad de la disyunción p  q.
A la expresión p  q se le llama la FUNCIÓN BOOLENA del circuito en paralelo.
Ejemplo 7: Diseña circuitos lógicos de las siguientes proposiciones
a) p e) p → q
b) p  q f) p  q
c) p  q g) p  q
d) (p  q )  r
Solución:
a) p :
b) p  q :
c) p  q:
d) (p  q )  r:
P q p  q
1 1 1
1 0 1
0 1 1
0 0 0

e) p → q  :
f) p  q  :
g) p  q  :
Ejemplo 8: Expresa mediante funciones Booleanas los siguientes circuitos
a) b)
Solución:
a) b)
Ejemplo 9: Simplifica los siguientes circuitos lógicos:
a)
Solución:

b)
Solución:
Ejemplo 10: Dado el circuito correspondiente a la función Booleana (p  q) → (q  p).
Identifica y discrimina el circuito equivalente:
a) c)
b) d)
Solución:
Por lo tanto, el circuito dado es equivalente al circuito ( ).
Ejemplo 9: Si el costo de cada llave en la instalación adyacente es de S/. 50,00. Analiza
y evalúa la reducción del costo de la instalación si se reemplaza este circuito por uno
equivalente más simple.
Solución:

Luego el circuito más simple es:
El cual por contener solamente…….. llaves, hará que se ahorren……. de las……
llaves, lo que corresponde a un ahorro de S/. 300,00. Así, el costo del circuito será tan
solo de S/…………...
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
1) Dadas las proposiciones:
p: Aldo Castro es cantante.
q: Aldo Castro es un buen estudiante
r: Aldo Castro es médico.
Analiza y simboliza, “si no es el caso que Aldo Castro sea un cantante y un buen
estudiante entonces es médico o no es cantante”
A)  ( p  q) → (r   q) B) (p  q) → (r   p)
C)  ( p  q) → (r   p) D) (p  q) → (r   p) E) (p 
q) → (r   p)
2) “Policarpo Echevarría está melancólico porque vive alejado de su familia”. Al
negar la proposición anterior, su equivalente es:
A) No es cierto que Policarpo Echevarría vive alejado de su familia porque no está
melancólico
B) Policarpo Echevarría vive alejado de su familia y está melancólico
C) Policarpo Echevarría no está melancólico y vive alejado de su familia
D) Policarpo Echevarría está melancólico pero no vive alejado de su familia
E) Más de uno es correcto
3) Dadas las siguientes fórmulas:
I) (p  q) → p
II) (p → q)  (p  q)
III) (p  q) → (p  q)
Señala cuáles son lógicamente equivalentes.
A) I y II B) I y III C) II y III
D) I, II y III E) Ninguna
4) Halla una proposición equivalente a: [(p  q) → (r  r)]  (q)
A) p  q B) p  q C) p
D) p  q E) q

5) Halla la proposición que representa el siguiente circuito:
A) p  q B) p  q C) p → q
D) p  q E) p  q
6) Dado el circuito correspondiente a la función Booleana (p  q). Identifica y
discrimina el circuito no equivalente:
A) B)
C) D)
AUTOEVALUACIÓN
1) Simplifica la siguiente proposición utilizando las leyes del álgebra proposicional:
 [ (p)  ( p   q)]
A) p  q B)  (p  q) C) (p  q)
D)  (p  q) E) p → q
2) Dada las siguientes fórmulas:
I) [(p   q)  q] → p
II) (p  q) → r
III) p → (q → r)
Indica las que son lógicamente equivalentes.
A) I y II B) I y III C) II y III
D) I, II y III E) Ninguna
3) El enunciado: “Ni eres artista de cine ni estrella del fútbol”, su forma negada
equivale a:
A) No es cierto que seas artista de cine y estrella del fútbol
B) Eres artista de cine y estrella del fútbol
C) No eres artista de cine o no eres estrella del fútbol

D) Eres artista de cine o estrella del fútbol
E) Eres artista de cine o no eres estrella del fútbol
4) Dado el siguiente circuito:
Su equivalente es:
A) p  q B) p  q C) r D) p E) p  r
5) Analiza y evalúa la menor expresión que representa el circuito lógico equivalente
a:
A) p  q B) p  q C) r D) p E) p  r
6) Infiere e identifica el circuito lógico equivalente del siguiente esquema:
[( p → q)  p]  [( p → q)   p ]
A) p B) p  q C) p  r
D) Tautología E) Contradicción
Para seguir practicando 2
Simplificar:
1. [ (~p → q) ˄ (~q → (p ˄ r))] ˄ (p → q)
2. [ (~p ˄ q) → (r ˄ ~ r)] ˄ ~ q
3. [ (~ q → ~p) → (~p → ~q)] ˄ ~ (p ˄ q)
De las siguientes proposiciones: ¿Cuáles son equivalentes entre sí?:
a) Es necesario que Juan no vaya al cine para que termine su tarea
b) No es cierto que Juan termine su tarea y vaya al cine.
c) Juan no terminará su tarea y no irá al cine.
4. Si:
p: Evelin Rodríguez Esteban estudia en la universidad.
q: Jorge Martínez Rojas es de Panao

r: Darwin es docente
La proposición ~ (p v q → r) se lee:
5. Dado las proposiciones siguientes, encuentra sus negaciones:
a. ~ (p ˄ q) ↔ (p v ~ q)
b. ~ (p → q) ↔ (p v ~ q)
c. ~ (p ↔ q) ↔ (~p ↔ ~ q)
6. De la falsedad (p → ~q) v (~r → r), deduce el valor de:
a. (~p ˄ ~q) v ~ q
b. [ (~r v q) ˄ q] ↔ [((~q v r) ˄ s]
c. (p → r) → [ (p v q) ˄ ~q]
7. La proposición (p v q) ↔ (r ˄ s) es verdadera; teniendo r y s valores veritativos
opuestos, se afirma que:
a. [{(~p ↔ ~ (p v q)] v p
"No dejes que termine el día
sin haber crecido un poco..."
(Walt Whitman)

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