Proiect fizica "teoria haosului" Clasa a11a Contine teorie, dar si o multime de poze si cateva videoclipuri

1. TEORIA HAOSULUI

3. —Edward Lorenz (1917-2008)
Matematician și meteorolog american
“When a butterfly flutters its wings in
one part of the world, it can eventually
cause a hurricane in another.”
Edward Norton Lorenz a stabilit baza teoretică a previzibilității vremii și
climatului, precum și baza fizicii atmosferice și a meteorologiei asistată de
computer.
El este cel mai bine cunoscut ca unul dintre fondatorii teoriei moderne
a haosului, o ramură a matematicii axată pe comportamentul sistemelor
dinamice care sunt extrem de sensibile la condițiile inițiale

4. 1. Determinism și predictibilitate
1. Legile lui Newton
2. Demonul lui Laplace și mentalitatea oamenilor de ștință
2. Personalități care au contribuit la descoperirea și înțelegerea teoriei haosului
3. Determinism și impredictibilitate
1. Definirea unui sistem complex. Model și complexitate
2. Exemple
4. Spațiul fazelor
1. Sisteme predictibile – exemple
2. Sisteme impredictibile – exemple
5. Atractorul punctiform
6. Atractorul periodic
7. Atractorul straniu
8. Atractotul Lorenz
9. Elemente de geometrie fractală
10. Bibliografie
CUPRINS

5. - începutul sec. al XVII-lea - Isaac Newton dezvoltă legile mecanicii clasice.
Acestea permit descrierea, cu precizie, a mișcărilor care au loc într-o diversitate
de sisteme:
- mișcarea unui proiectil la suprafața pământului
- mișcarea Lunii în jurul Pământului
- mișcarea unei planete în jurul Soarelui
! Legile dinamice: valorile numerice ale măsurătorilor efectuate la un moment
în timp (condițiile inițiale) determină valorile lor la orice moment ulterior.
DETERMINISM ȘI PREDICTIBILITATE
LEGILE LUI NEWTON
Sistemele predictibile sunt sistemele guvernate de legi dinamice.

6. - Legile lui Newton sau principiile mecanicii newtoniene reprezintă cel mai bun
exemplu de legi cu caracter deretminist.
- Condițiile inițiale necesare pentru calcularea rezultatelor viitoare sunt, în
general:
- poziția unui corp într-un sistem de referință dat
- viteza corpului
- masa corpului
- forța care acționează asupra corpului
DETERMINISM ȘI PREDICTIBILITATE
LEGILE LUI NEWTON
Legile fizice cu caracter determinist arată că pentru aceleași condiții
inițiale se obțin întotdeauna, pentru un moment de timp ulterior,
aceleași rezultate, oricare ar fi sistemul fizic studiat.

7. - sfârsitul sec. al XVIII-lea – fizicianul francez Pierre-Simon Laplace a enunțat
,,Demonul lui Laplace” care face referire la idea de determinism, și anume
credința că trecutul determină complet viitorul.
- până la începutul anilor 1800 – determinismul s-a înrădăcinat în gândirea multor
oameni de stiință – aceștia erau siguri de faptul că viitorul poate fi prezis cu
ajutorul unor ecuații matematice
- spre sfârșitul anilor 1800 - matematicienii și oamenii de știință au început să
întâmpine niște ecuații foarte dificil de rezolvat sau chiar imposibil de rezolvat
(în special ecuațiile diferențiale neliniare) ⇒ problema celor trei corpuri
Astfel, idea de determinism a fost răsturnată și a aparut noțiunea de ,,haos”.
DETERMINISM ȘI PREDICTIBILITATE
DEMONUL LUI LAPLACE ȘI MENTALITATEA OAMENILOR DE ȘTIINȚĂ

8. - Stiința care se practica imediat dupa descoperirile lui Newton era bazata pe
afirmatia “Aceleași cauze produc aceleași efecte”, deci cauzele asemanatoare
produc efecte asemanatoare.
- Două exemple bazate pe legile fizice cu caracter determinist sunt:
- pendulul
- mișcarea unui proiectil la suprafața pământului
DETERMINISM ȘI PREDICTIBILITATE
EXEMPLE

9. DETERMINISM ȘI PREDICTIBILITATE
EXEMPLE

10. Un prim susținător al teoriei haosului a fost Henri
Poincaré.
- 1903 - își îndrepta atenția asupra faimoasei probleme
astronomice a celor trei corpuri care consta în precizarea
mișcării unui sistem Solar simplificat (format din Soare,
Pământ și Lună) cunoscând pozițiile inițiale ale celor trei
corpuri și vitezele acestora și folosind principiile mecanicii
newtoniene și legea atracției universale.
Concluzii:
- pâna și acest sistem simplu se comportă într-un mod
impredictibil, problema fiind imposibil de rezolvat.
HENRI POINTCARÉ (1854-
1912)

11. Lorenz a fost primul care a recunoscut ceea ce acum se numește comportament
haotic în modelarea matematică a sistemelor meteorologice.
- începutul anilor 1960 – Lorenz realizează că diferențele mici dintr-un sistem dinamic
precum atmosfera ar putea declanșa rezultate vaste și adesea nebănuite.
- 1972 – este prezentat concetul de efect fluture prin prezentarea lucrării academice
„Predictibilitate: Bătaia aripilor unui fluture din Brazilia a declanșat o tornadă în
Consecințe:
- aceste descoperiri au marcat începutul unui nou domeniu de studiu care a afectat nu
doar domeniul: matematicii, fizicii, biologiei și sociologiei
Concluzii:
- în meteorologie, este fundamental imposibil să se prezică vremea de peste două sau trei
săptămâni cu un grad rezonabil de precizie.
EDWARD LORENZ (1917-2008)

12. EDWARD LORENZ
minutul 1:38 – stop 4:30

13. - pentru studierea comportamentului unui sistem fizic se foloseste întotdeauna un
model teoretic al acestuia care prezintă numai unele dintre caracteristicile fizice
ale unui sistem real
○ exemplu: modelul punctului material care asimilează un corp real cu un
punct geometric, fără dimensiuni caracterizat doar de masa acestuia
- sistemele complexe prezintă un comportament haotic, iar complexitatea unui
sistem este dată de complexitatea modelului folosit pentru studiul sistemului
○ se consideră că atmosfera este cel mai complex sistem cunoscut
DETERMINISM ȘI IMPREDICTIBILITATE
DEFINIREA UNUI SISTEM COMPLEX. MODEL ȘI COMPLEXITATE
Impredictibilitatea unui sistem complex este generată de sensibilitatea
la condițiile inițiale. În cazul uiui sistem complex, modificări oricât de
mici ale condițiilor inițial conduc la un moment ulterior la rezultate
complet diferite, spre deosebilre de un sistem liniar.

14. DETERMINISM ȘI IMPREDICTIBILITATE
EXEMPLE
Unul dintre cele mai bune exemple care ilustreaza impredictibilitatea unui sistem
complex este problema pendulului dublu care evidențiaza ca o diferența foarte
mica a unghiului de pornire conduce la mișcari total diferite.

15. - pentru sistemele predictibile
○ traiectoria obținută în spațiul fazelor este de fiecare data aceeași
pentru sisteme cu aceleași condiții inițiale (sau există diferențe
infime). Astfel, predictiblitatea unui sistem se poate masura prin
rata de divergență a traiectoriilor sistemului în spațiul fazelor.
○ în cazul stărilor inițiale complet diferite, în sistemele predictibile,
sistemele evoluează în timp către o aceeași stare finală. Astfel,
starea finală în care ajunge sistemul este o stare de echilibru.
SPAȚIUL FAZELOR
În teoria sistemului dinamic, spațiul fazelor este spațiul în care sunt
reprezentate toate stările posibile ale unui sistem, fiecare stare posibilă
corespunzând unui punct unic în spațiul de fază.
traiectoriile sunt paralele
(asemămătoare) atunci când condițiile
inițiale sunt asemănătoare
atunci când condițiile inițiale sunt diferite,
sistemele evoluează spre un punct de echilibru

16. Unul dintre cele mai cunoscute exemple când vine vorba de trasarea spațiului fazelor pentru
istemele predictibile este diferența dintre:
- oscilatorul liniar armonic (pendul neaportizat) - sistem conservativ (asupra sa nu acționează
forțe de frecare sau alte forțe de rezistență care să îi împiedice mișcarea)
○ traiectoriile trasate în spațiul fazelor nu se intersectează
- oscilatorul mecanic liber cu frecare (pendulul amortizat) - sistem neconservativ care la un
moment dat se va opri în punctul de echilibru.
○ traiectoriile trasate în spațiul fazelor vor fi conectate
SPAȚIUL FAZELOR
SISTEME PREDICTIBILE - EXEMPLE

17. - pentru sistemele haotice
○ atunci când condițiile inițiale sunt foarte apropiate (dar nu infinit
identice), sistemul evoluează în timp pe traiectorii complet diferite
⇒ sistem sensibil la condițiile inițiale.
SPAȚIUL FAZELOR
SISTEME IMPREDICTIBILE - EXEMPLE
O caracteristică a sistemelor haotice
este reprezentă de transformarea
diferențelor extrem de mici când vine
vorba de condițiile inițiale în
diferențe foarte mari privind starea și
traiectoria lor la momente de timp
ulterioare.
minutul 10:49

18. - în cazul imaginii prezentate anterior, atractorul punctiform este
reprezentat de poziția de echilibru în care se va gasi sistemul dinamic
predictibil indiferent de marimea diferențelor dintre condițiile inițiale
○ un exemplu concret pentru aceasta situație este o bilă rigidă
lăsată sa cadă liber pe sol. Punctul de pe sol în care corpul s-a oprit
și a rămas în stare de repaus poartă numele de atractor
punctiform.
- când vine vorba de pendulul amortizat, amplitudinea oscilațiilor scade în
timp din cauza pierderii de energie datorate frecării cu aerul. Astfel, în final,
pendulul se oprește în poziția de minimă energie care reprezintă starea sa
de echilibru, deci un atractor punctiform
ATRACTORUL PUNCTIFORM
Atractorii reprezintă stările în care se fixează sistemele complexe, în final, în funcție de
proprietățile lor.
Atractorul punctiform reprezntă punctul figurativ din spațiul fazelor corespunzător stării de
echilibru al unui sistem dinamic.

19. - sistem dinamic alcătuit dintr-o planeta și Soare - Soarele
reprezintă un atractor periodic, deoarece, planeta se va
deplasa la infinit în jurul acestuia pe orbita ei, fara a se
apropia de acesta.
- pendulul neamortizat – nu există forțe de frecare sau forțe
de rezistență, deci pendulul va oscila la infinit în jurul
poziției sale de echilibru care reprezintă un atractor
periodic
ATRACTORUL PERIODIC
Atractorul periodic este un atractor care determină sistemul dinamic să
parcurgă la infinit o buclă închisă de stări (poziții) în spațiul fazelor.

20. ATRACTORUL STRANIU
Atractorul straniu este un atractor periodic, este prezent în sistemele
dinamice care au o reprezentare a traiectoriilor care pare aleatorie în spațiul
fazelor și care nu-și ating niciodată starea de echilibru.

21. Pentru a putea înțelege originea acestiu atractor se ia un model simplu și anume o
incintă cu gaz omogen care se încălzește.
În partea de jos a incintei se atașează o sursă de căldură.
- în teorie, gazul cald se ridică, iar cel rece coboară creând astfel o mișcare circulară.
- în realitate, s-a remarcat că mișcarea gazului nu este una ordonată, din contră, este
haotică schimbându-și direcția de deplasare la intervale de timp care nu pot fi
determinate și cu viteze impredictibile
ATRACTORUL LORENZ
Atractorul Lorenz este un atractor tridimensional care face referire la trei
parametrii care apar în dinamica fluidelor.
https://marksmath.org/visualization/LorenzExperiment/

22. ELEMENTE DE GEOMETRIE FRACTALĂ
Un fractal este un model (schemă, structură) care se dovedește a fi
din ce în ce mai complex pe măsură ce este dilatat.
minutul 0:32

23. 1. https://en.wikipedia.org/wiki/Edward_Norton_Lorenz
2. https://news.mit.edu/2008/obit-lorenz-0416
3. https://en.wikipedia.org/wiki/Phase_space
4. https://en.wikipedia.org/wiki/Predictability
5. https://www.youtube.com/watch?v=0Tfc5P1YCo0
6. https://www.stsci.edu/~lbradley/seminar/laplace.html
7. https://www.encyclopedia.com/science/encyclopedias-almanacs-transcripts-and-maps/patterns-chaos
8. https://en.wikipedia.org/wiki/Chaos_theory#History
9. https://science.howstuffworks.com/math-concepts/chaos-theory4.htm
BIBLIOGRAFIE

24. 1. https://www.stsci.edu/~lbradley/seminar/attractors.html
2. https://marksmath.org/visualization/LorenzExperiment/
3. https://www.technologyreview.com/2011/02/22/196987/when-the-butterfly-effect-took-flight/
BIBLIOGRAFIE