4. 4
1 1
เชน ใหผูเรียนพิจารณาลําดับ an = และ an = 1
เพื่อนําไปสูการยอมรับทฤษฎีบทที่วา
n3
n 3
1
lim
n →∞ n r
= 0 เมื่อ r เปนจํานวนจริงบวกใด ๆ ผูเรียนควรอธิบายไดวา เมื่อ n มีคามากขึ้นอยาง
1
1 1
ไมมีที่สิ้นสุด n3 และ n3 จะมีคามากขึ้นอยางไมมีที่สิ้นสุดดวย ซึ่งจะทําให และ 1
มีคา
n3
n 3
นอยลงและเขาใกล 0
1
ใหผูเรียนพิจารณาลําดับ an = n4 และ an = n เพื่อนําไปสูการยอมรับทฤษฎีบท
4
ที่วา nlim n r หาคาไมได เมื่อ r เปนจํานวนจริงบวกใด ๆ ผูเรียนควรอธิบายไดวา เมื่อ n มี
→∞
1
คามากขึ้นอยางไมมีที่สิ้นสุด n4 และ n4 จะมีคามากขึ้นอยางไมมีที่สิ้นสุดดวย
n n
⎛1⎞ ⎛ 1⎞
ใหผูเรียนพิจารณาลําดับ an = ⎜ ⎟ และ an = ⎜− ⎟ เพื่อนําไปสูการยอมรับ
⎝ 3⎠ ⎝ 4⎠
ทฤษฎีบทที่วา lim r n
n →∞
= 0 เมื่อ r เปนจํานวนจริง และ r <1
ใหผูเรียนพิจารณาลําดับ an = 3n และ an = (–4)n เพื่อนําไปสูการยอมรับทฤษฎี
บทที่วา nlim r หาคาไมได เมื่อ r เปนจํานวนจริง และ r > 1
→∞
n
8. ขอความวา “ nlim a n หาคาไมได” มีความหมายเชนเดียวกับขอความ “ลําดับ an
→∞
ไมมลิมต” หรือ “พจนที่ n ของลําดับ an ไมเขาใกลหรือเทากับจํานวนจริง L ใด ๆ เลย” ในบทนี้
ี ิ
ไมมการใชขอความวา “ nlim a n = ∞ ” หรือ “ nlim a n = – ∞ ”
ี →∞ →∞
9. ในหนังสือเรียนหนา 22 ผูสอนควรย้ํากับผูเรียนวา จะใชทฤษฎีบทเกี่ยวกับลิมิตได
a lim a n
เมื่อเงื่อนไขเบืองตนเปนจริงกอนเทานัน เชน จะสรุปวา
้ ้ lim n = n →∞ ไดเมื่อ lim a
n →∞ b n lim b n →∞ n
n →∞ n
และ lim b
n →∞ n
หาคาได และ lim b ≠ 0
n →∞ n
ในกรณีที่ไมสามารถใชทฤษฎีบทเกี่ยวกับลิมิตของลําดับ an โดยตรงได อาจตองจัดรูปของ an
กอนการใชทฤษฎีบทเกียวกับลิมิต ดังปรากฏในหลาย ๆ ตัวอยางในหนังสือเรียน อยางไรก็ตาม
่
ลําดับบางลําดับก็ยังคงใชทฤษฎีบทเกียวกับลิมิตไมไดถึงแมจะพยายามจัดรูปใหแตกตางจากเดิม
่
แลว เชน
2
2n − 3n
พิจารณาลําดับ an =
4n − 5
เนื่องจาก 2
lim (2n − 3n)
n →∞
และ lim (4n − 5)
n →∞
หาคาไมไดทั้งคู ฉะนั้น หากตองการ
2 2
2n − 3n lim (2n − 3n)
หา nlim a n = nlim
→∞ →∞
จึงใชทฤษฎีบทเกี่ยวกับลิมิตที่วา lim a =
n →∞ n
n →∞ ไมได
4n − 5 lim (4n − 5)
n →∞
การจัดรูป an กอนการพิจารณาลิมิตอาจทําไดหลาย ๆ แบบ บางคนอาจทําดังนี้