10. 前面第3章我们已推导了预期收益和风险之间的取舍关
系,该关系称为资本资产定价模型(CAPM),也表明
资产的预期回报率为
S
M
S r
E
r
E
)
(
(7-1)
其中,Es是资产的预期回报率,EM是市场组合的预期回报率,r是无风险回报率,S是
资产的贝塔风险。
在(7-1)式预期收益/风险取舍关系式中,资产的贝塔S是相对于市场水平1%的变化,
资产价格变化的百分比。因为CAPM模型适用于所有风险资产,包括看涨期权,因此看涨
期权的预期收益率可表示为
EC= r +(EM - r) C (7-2)
其中,看涨期权的贝塔c是相对于市场水平1%的变化,看涨期权价格变化的百
分比。用S乘以看涨期权价格相对于资产价格的变化百分比,即可得看涨期权的
贝塔
S
dS
c
dc
S
c
/
/
12. 将0.02替代(7-3)中的
( 0.02)
M S
E
20
c 替代
/
/
dc c
dS S
得到
c
Ec
20
02
.
0
02
.
0
因此,看涨期权预期终值的现值
~
( )
1
T
c
E c
c
E
为
c
c
40
.
0
02
.
0
1
30
.
3
或者c =2.84。即,使风险厌恶的个体所接受的看涨期权价格也
是2.84。
24. 取回指数形式得:
数学期望:
T
T
S
N
S
T
T
N
S
S
T
T
2
2
,
ln
~
~
ln
,
~
ln
~
ln
T
T
T
T
T
T
T Se
e
Se
e
E
Se
S
E
2
/
)
2
/
( 2
2
]
[
)
~
(
4.ITO定理和股票价格的对数正态分布
)
(
~
T
T
T Se
S
25. 4.ITO定理和股票价格的对数正态分布
证明期末资产价格的方差 ]
1
[
)
~
(
2
2
2
T
T
T e
e
S
S
Var
T
T
T
z
T
T
T
T
T
z
T
z
T
T
T
z
T
T
S
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
e
S
e
S
e
E
e
S
S
E
e
e
e
E
e
E
e
S
S
E
e
S
T
T
S
N
S
S
T
T
S
N
S
e
e
S
S
E
e
S
S
E
S
E
S
E
S
Var
2
2
2
2
2
2
2
2
)
2
2
(
2
~
2
2
2
2
2
2
4
~
2
~
2
2
2
2
~
2
2
ln
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
)
(
)
~
(
)
(
)
(
)
~
(
~
4
,
2
ln
2
~
~
ln
2
~
ln
,
ln
~
~
ln
)
~
(
)
~
(
)]
~
(
[
)
~
(
)
~
(
-
34. 7.2.3 给定资产价格的临界值计算概率
首先,要注意资产价格的预期回报率 等于其预
期总回报率减去固定收益率,即
18%−4%=14%。
然后,将服从对数正态分布的期末价格转换为
标准正态分布的变量值,即
最后,将d值代入累积正态概率密度函数N(d),
计算概率
523
.
1
25
.
0
20
.
0
25
.
0
)
20
.
0
(
5
.
0
60
/
50
ln(
5
.
0
)
/
ln(
2
)
25
.
0
(
14
.
0
2
e
T
T
X
Se
d
T
064
.
0
)
523
.
1
(
)
60
Pr(
z
N
ST
35. 7.2.4 计算有条件的预期资产价格
我们已经得到,时刻T无条件的预期资产价格
为:
假设我们想知道资产价格在大于临界值X时的
预期资产价格。在 服从对数正态分布的假
设下,可知,在时刻T资产价格大于临界值水
平的条件下,有条件的预期资产价格为:
T
S
~
T
T Se
S
E
)
~
(
)
(
)
(
)
~
(
2
1
d
N
d
N
Se
X
S
S
E T
T
T
36. 7.2.4 计算有条件的预期资产价格
其中,
推导将在后面给出
同理:
T
d
T
T
X
Se
d
T
T
X
Se
d
T
T
1
2
2
2
1
5
.
0
)
/
ln(
5
.
0
)
/
ln(
)
(
)
(
)
~
(
2
1
d
N
d
N
Se
X
S
S
E T
T
T
41. (二)Black-Scholes微分方程的建立
假设股票S遵循马尔可夫随机过程:
假设f是依赖于S的衍生证券的价格,则f一定是
S和t的某一函数,由ITO定理得:
由于f是S与t的函数,所以上述两组表达式遵循
相同的维纳过程: ,所以我们可以
选择该股票和衍生证券的组合来消除维纳过程。
z
S
t
S
S
Sdz
Sdt
dS
z
S
S
f
t
S
S
f
t
f
S
S
f
f
Sdz
S
f
dt
S
S
f
t
f
S
S
f
df
)
2
1
(
)
2
1
(
2
2
2
2
2
2
2
2
)
( t
z
42. 我们可以构造这样的投资组合:
(1)卖出一份衍生证券;
(2)买入 份股票。
则该证券组合的价值为:
在 时间后,该证券组合的价值变化:
(二)Black-Scholes微分方程的建立
S
f
S
S
f
f
t
S
S
f
f
46. 记:
所以:
假设ST的概率密度为gs(y),则由对数正态分布
的概率密度公式得:
T
T
r
S
1
2
1 ,
)
2
(
ln
)
,
(
~
~
ln
2
1
1
N
ST
0
0
0
2
1
)
(
2
1
2
1
2
)
(ln
1
~
y
y
e
y
y
g
y
ST
(三)风险中性定价法导出B-S定价公式
47.
X
t
X
t
t
T
X
y
X
S
T
dt
e
X
dt
e
e
X
S
E
t
y
dy
e
y
X
y
dy
y
g
X
y
X
S
E T
ln
2
)
(
1
ln
2
)
(
1
2
)
(ln
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
)
0
,
~
max(
)
(ln
2
1
)
(
)
(
)
(
)
0
,
~
max(
=
(三)风险中性定价法导出B-S定价公式
50. 所以:
)
(
)
(
)
(
)
(
)
0
,
max(
ˆ
2
1
2
1
d
N
Xe
d
SN
d
XN
d
N
Se
e
X
S
E
e
c
rT
rT
rT
T
rT
(三)风险中性定价法导出B-S定价公式
51. 在投资者风险厌恶的前提下,欧式看涨期权的
定价是:
7.3.1 Samuelson公式
)
(
~
T
T
c
E
e
c c
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
Pr(
)
(
)
Pr(
)
0
(
)
Pr(
)
(
)
(
2
1
2
2
1
~
~
d
XN
d
N
Se
d
N
X
d
N
d
N
Se
X
S
X
S
X
S
E
X
S
X
S
E
X
S
X
S
X
S
E
c
E
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
S
S
T
T
X
Se
d
T
S
2
1
5
.
0
)
/
ln(
T
d
d
1
2
52. 代入表达式,得:
是到期日执行看涨期权所
得预期收益的现值乘以期权盈利的概率。
是执行看涨期权成本的现值乘
以期权盈利的概率。
缺点:需要估计资产和看涨期权经风险调整的
价格升值率。
7.3.1 Samuelson公式
)
(
)
(
)
(
)
(
2
1
)
(
2
1
d
N
Xe
d
N
Se
d
XN
d
N
Se
e
c
T
T
T
T
c
c
S
S
c
( )
1
( )
S c T
Se N d
2
( )
cT
Xe N d
55. 无股息支付的股票期权:b=r i=0
固定股息收益率的股票期权( Merton模型):
b=r−δ δ为股息
外汇期权:
若干种期权的定价方法:
)
(
)
( 2
1 d
N
Xe
d
SN
c rT
)
(
)
( 2
1 d
N
Xe
d
N
Se
c rT
T
d f
b r r
)
(
)
( 2
1 d
N
Xe
d
N
Se
c T
r
T
r d
f
56. 期货期权:b=0 F=S
期货式期货期权: b =0 r=0
全部或无期权:All-Or-Nothing & Cash-Or-
Nothing
若干种期权的定价方法:
)
(
)
( 2
1 d
XN
d
FN
e
c rT
)
(
)
( 2
1 d
XN
d
FN
c
)
(
)
(
)
(
)
(
)
Pr(
)
( 1
2
2
1
~
d
N
Se
d
N
d
N
d
N
Se
X
S
X
S
S
E
c iT
iT
T
T
T
AON
)
( 2
d
N
Xe
c rT
CON
60. 由中看跌-看涨平价关系式,得:
标准化看跌期权也可视为由现金-无效看跌期
权和资产-无效看跌期权构成。
7.4 欧式看跌期权的定价
)
(
)
(
)
(
)
(
1
2
2
1
d
N
Se
d
N
Xe
d
N
Xe
d
N
Se
Se
Xe
c
Se
Xe
p
Xe
Se
p
c
iT
rT
rT
iT
iT
rT
iT
rT
rT
iT
)
( 2
d
N
Xe
p rT
CON
)
( 1
d
N
Se
p iT
AON