q

1. ТРОУГЛОВИ ЧИЈИ МЕРНИ БРОЈЕВИ СТРАНИЦА СУ
УЗАСТОПНИ ПРИРОДНИ БРОЈЕВИ
Проф. Др Војислав Андрић
vоја.аndric@gmail.com
У овом тексту се детаљниjе описју неке класе троуглова чији су мерни бројеви
страница узастопни природни бројеви, а за анализирање наведених класа користи се обрнута
Питагорина теорема и Херонова формула.
Питагорина теорема тврди (а људи доказују)1
да ако у троглу чији су мерни бројеви
страница а, b и с, важи једнакост а2
+ b2
= с2
, онда и само онда је троугао правоугли.
Коришћењем директне и обрнуте Питагорине теореме доказују се и теореме:
 Ако су а, b и с мерни бројеви страница троугла и ако је а2
+ b2
> с2
, онда и само онда је
дати троугао оштроугли;
 Ако су а, b и с мерни бројеви страница троугла и ако је а2
+ b2
< с2
, онда и само онда је
дати троугао тупоугли.
У вези са претходним теоремама може се поставити следеће питање: Колико има
правоуглих, тупоуглих и оштроуглих троуглова чији су мерни бројеви страница узастопни
природни бројеви?
Одговор на претходно питање даје следеће, мало истраживање, при чему се мерни бројеви
страница троугла означе са п – 1, п и п + 1, при чему је п   и п ≥ 2.
 Ако је (п – 1)2
+ п2
= (п + 1)2
онда је троугао правоугли и следи да је п2
– 2п + 1 + п2
=
п2
+ 2п + 1, па је п2
– 4п = п(п – 4) = 0. Како је п ≥ 2, једино решење добијене једначине је
п = 4, па је једини правоугли троугао чији мерни бројеви страница су узастопни природни
бројеви – троугао са страницама 3, 4 и 5.
 Ако је (п – 1)2
+ п2
< (п + 1)2
онда је троугао тупоугли и следи да је п2
– 2п + 1 + п 2
<
п2
+ 2п + 1, па је п2
– 4п = п(п – 4) < 0. Како је п ≥ 2, једина решење добијене једначине су
п = 2 и п = 3. Ако је п = 2, онда су странице троугла 1, 2 и 3 па такав троугао не постоји, јер
1 + 2 није веће од 3. Уколико је п = 3, онда тражени тупоугли троугао има странице 2, 3 и 4.
1
У свету је данас познато преко пет стотина различитих доказа Питагорине теореме.

2.  Ако је (п – 1)2
+ п2
> (п + 1)2
онда је троугао оштроугли и следи да је п2
– 2п + 1 + п 2
>
п2
+ 2п + 1, па је п2
– 4п = п(п – 4) > 0. Дакле п > 4, па оштроуглих троуглова чији су мерни
бројеви страница узастопни природни бројеви има бесконачно много: (4, 5, 6), (5, 6, 7),
(6, 7, 8) …
Познато је да троугао чије су странице 3, 4 и 5 има површину 6, а троугао чије су
странице 13, 14 и 15 има површину 84. Следеће занимљиво питање је колико има троуглова
чији су мерни бројеви страница узастопни бројеви и чија је површина такође природан број,
то јест да ли је број Херонових троуглова чије су странице узастпни природни бројеви
коначан или бесконачан? За одговор на ово питање користи се Херонова формула.
Нека су у – 1, у и у + 1 мерни бројеви страница троугла. Тада је обим тог троугла
2ѕ = 3у, па је
2
3y
s  . На основу Херонове формуле површина тог троугла је дата изразом
)
)(
)(
( c
s
b
s
a
s
s
P 


 . Заменом
2
3y
s  добија се да је површина изабраног троугла
Р = 





















 1
2
3
2
3
1
2
3
2
3
y
y
y
y
y
y
y
. После низа трансформација добија се да је
Р = 12
3
4
2

y
y
. Да би површина троугла била природан број, израз 3у2
– 12 мора бити
потпун квадрат, па је 3у2
– 12 = х2
. Дакле, добија се Диофантова једначина Пеловог типа
х2
- 3у2
= – 12. Једно нетривијално решење добијене једначине је х1 = 6 и у1 = 4.
Како је пар бројева хе = 2, уе = 1 једно нетривијално решење основне Пелове једначине
х2
– 3у2
= 1, то су сва решења дате једначине дефинисана рекурентним формулама:
xn+1 = xеxn + рyеyn = xеxn + 3yеyn = 2xn + 3yn
yn+1 = yеxn + xеyn = xn + 2yn.
Неколико првих решења дато је у следећој табели:
П хп уп – 1 уп уп + 1 ѕп Рп rn
1 6 3 4 5 6 6 1
2 24 13 14 15 21 84 4
3 90 51 52 53 78 1170 15
4 336 193 194 195 291 16296 56
5 1254 723 724 725 1086 226974 209
6 4680 2701 2702 2703 4053 3161340 780
7 17466 10083 10084 10085 15126 44031786 2911
8 65184 37633 37634 37635 56451 613283664 10864
9 243270 140451 140452 140453 210678 8541939510 40545
10 907896 524173 524174 524175 786261 118973869476 151316

3. То значи да троуглова чији су мерни бројеви страница узастопни природни бројеви и
чија је површина природан број има бесконачно много.
Међути, како је х1 = 6 и у1 = 4 и како су сви остали чланови низова xn и уn
дефинисани рекурентним формулама xn+1 = 2xn + 3yn и yn+1 = xn + 2yn , математичком
идукцијом се доказује да су сви чланови и низа xn дељиви са 6, а чланови низа yn парни.
Последица ове чињенице је да је тада и мерни број полупречник круга уписаног у
троугао природан број, јер је
6
12
2
2
3
12
3
4
2
2
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
x
y
x
y
y
y
y
s
P
r 



  .
*
Читаоцима овога текста предлажемо да истраживање слично овом направе на троу-
гловима чији мерни бројеви страница су узастопни парни или узастопни непарни бројеви.
Као помоћ у истраживању дајемо неколико проблема:
1. Одредити све правоугле троуглове чији су мерни бројеви страница узастопни парни
природни бројеви. Колико таквих правоуглих троуглова има?
2. Доказати да не постоји правоугли троугао чији су мерни бројеви страница узастопни
непарни природни бројеви.
3. Колико има тупоуглих троуглова чији су мерни бројеви страница:
а) узастопни парни природни бројеви; б) узастопни непарни природни бројеви?
4. Доказати да има бесконачно много оштроуглих троуглова чији су мерни бројеви
страница: а) узастопни парни природни бројеви; б) узастопни непарни природни
бројеви?
5. Постоји ли троугао чији су мерни бројеви страница узастопни природни бројеви и
чији је полупречник описаног круга природан број?