1. Kompleksie skaitļi.
Komplekso skaitļu algebriskā
un trigonometriskā forma

2. x2+1 = 0
i 1
2 • Imaginarius (lat.) -
i 1
iedomātais skaitlis
• Imaginārā vienība
• Kompleksais skaitlis, kur a
z a bi un b reāli skaitļi
b=0 reālais skaitlis
b≠0 imagināri skaitļi
a=0 tīri imagināri skaitļi

3. Ģeometriskā interpretācija
• Attēlo kā punktu M(a;b)
M(a;b) koordinātu
plaknē Oxy; vai arī kā
punkta rādiusvektoru
b
OM
O
• a – kompleksā skaitļa a
z reālā daļa, a R a Re z
• b – kompleksā skaitļa
z imaginārā daļa, b R b Im z
Abscisu ass – reālā ass (Ox), ordinātu ass – imaginārā ass (Oy).

4. • z = 2 +3i
• M(2;3) M(2;3)
• C - Kopa, kuras
elementi ir kompleksi 3
skaitļi.
• Kompleksos skaitļus
attēlo ar punktiem O 2
Dekarta koordinātu
plaknē, kuru šajā
gadījumā sauc par
komplekso plakni.

5. Polārās koordinātas
Kompleksā skaitļa trigonometriskā forma
• r – punkta M
rādiusvektora
garums – M(a;b)
kompleksā skaitļa
z
a+bi modulis.
r b
• Apzīmē
• - kompleksā
skaitļa arguments. O
a
• Apzīmē Arg z

6. Polārās koordinātas
Kompleksā skaitļa trigonometriskā forma
• r – punkta M
rādiusvektora
garums – M(a;b)
kompleksā skaitļa
a+bi modulis.
z r b
• Apzīmē
• - kompleksā
skaitļa arguments. O
a
• Apzīmē Arg z

7. Polārās koordinātas
Kompleksā skaitļa trigonometriskā forma
2 2
r a b z 3 3i
2
r 3 32
r 12 2 3 M 3; 3
r
3
3 O
tg 3
3 6
a r cos b r sin
a 2 3 cos b 2 3 sin
6 6

8. Polārās koordinātas
Kompleksā skaitļa trigonometriskā forma
a bi r cos i sin
z 2 3 cos i sin
6 6 M 3; 3
r
3
O 3

11. TRIGONOMETRISKO FUNKCIJU
VĒRTĪBAS LEŅĶIEM
3 1 2 2 1 3
P0 (1;0)P1 ( ; ) P2 ( ; ) P3 ( ; ) P4 (0;1)
2 2 2 2 2 2
1 3 2 2 3 1
P5 ( ; ) P6 ( ; ) P7 ( ; ) P8 ( 1;0)
2 2 2 2 2 2
3 1 2 2 1 3
P9 ( ; ) P10 ( ; ) P11 ( ; ) P12 (0; 1)
2 2 2 2 2 2
1 3 2 2 3 1
P13 ( ; ) P14 ( ; ) P15 ( ; )
2 2 2 2 2 2

12. Leņķu vērtības grādos un radiānos

13. Kompleksā skaitļa eksponenciālā
forma
z re
r z Skaitļa z modulis
Skaitļa z arguments
Pāreju no kompleksā skaitļa eksponenciālās formas uz
trigonometrisko (algebrisko) formu veic, izmantojot Eilera formulu
e cos i sin

14. Vienādi kompleksie skaitļi
• Divi kompleksie skaitļi
• z1 = a + bi un z2 = c + di
• ir vienādi tad un tikai tad, ja ir
vienādas to reālās daļas un ir
vienādas arī to imaginārās
daļas, t.i. a = c un b = d.

15. Pretēji kompleksie skaitļi
• Skaitļus
• z = a + bi un -z = -
a - bi
• sauc par
savstarpēji
pretējiem
kompleksiem
skaitļiem.

16. Saistītie kompleksie skaitļi
• Ja
z a bi un z a bi
• tad skaitļus
norādītos
kompleksos skaitļus
sauc par
savstarpēji
saistītiem
kompleksiem
skaitļiem.

17. Saistītie kompleksie skaitļi
trigonometriskajā un eksponenciālajā
formās
z r cos i sin
z r cos i sin
i
z re r cos i sin
i
z re r cos i sin

18. Savstarpēji saistītu komplekso skaitļu
īpašības
2
z z a2 b2 z
z1 z2 z1 z2
z1 z 2 z1 z 2
z1 z 2 z1 z 2
z1 z1
z2 z2
n
zn z

19. Kompleksā skaitļa moduļa īpašības
z z z1 z2 z1 z2 z1 z2
z1 z1
z1 z2 z1 z 2 z1 z2
z2 z2
n n
z z Ja z , tad z
z1 z 2 z1 z 2

20. Argumenta īpašības
arg z arg z arg z n n arg z
arg z1 z2 arg z1 arg z2 Ja z 0, tad arg uments nav noteikts
z1
arg arg z1 arg z2 Ja z , tad arg uments nav definets
z2

21. Coretta Scott King’s legacy
• http://wims.unice.fr/wims/wims.cgi?session=C08F7D
80C4.1&lang=en&module=H6%2Falgebra%2Fcomps
hoot.en

22. Darbības ar kompleksiem skaitļiem
algebriskā formā
z1 a bi
z2 c di z1 z2 a c b d i
z1 z2 a c b d i
z1 z 2 ac bd ad bc i
z1 z1 z 2 ac bd bc ad
i
z2 z2 z2 c2 d 2 c2 d 2

23. Darbības ar kompleksiem skaitļiem
trigonometriskā formā
z r cos i sin
z1 r1 cos 1 i sin 1
z2 r2 cos 2 i sin 2
z1 z 2 r1 r2 cos 1 2 i sin 1 2
z1 r1
cos 1 2 i sin 1 2
z2 r2
n n Muavra
r cos i sin r cos n i sin n
formula
n 2 k 2 k
n r cos i sin r cos i sin , kur k 0,1,2,...,n 1
n n

24. Darbības ar kompleksiem skaitļiem
eksponenciālā formā
z re i
z1 r1e i 1 z1 z 2 r1 r2 e i 1 2
i
z2 r2 e 2
z1 r1 i
e 1 2
z2 r2
zn r n ein
2k
i
n n n
z re , k 0,1,2,...,n 1
ei cos i sin Eilera formula

25. • Kompleksos skaitļus lieto mehānikā un
elektrotehnikā svārstību procesu pētījumos.
• http://www.scribd.com/doc/30136807/48/Komplek
su-plakne-un-darb%C4%ABbas-ar-kompleksiem-
skait%C4%9Ciem