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PEMBAHASAN
OSN MATEMATIKA SMP 2015 TINGKAT KABUPATEN
BAGIAN B : ISIAN SINGKAT
BAGIAN B : ISIAN SINGKAT
1. Jawaban : π₯ = β4, β1
Pembahasan :
π₯ ππππππ ππππππππ ππ’πππ‘
π₯2
+ 5π₯ + 6 ππππππ ππππππππ πππππ
π₯2
+ 5π₯ + 6 = π₯ + 2 . (π₯ + 3)
πΎπππππ π₯ + 2 < π₯ + 3 ππππ π’ππ‘π’π ππππππππ πππππ = 2, 3, 5, 7, 11, β¦ πππππππ’ βΆ
πππ‘π’π ππππππππ πππππ = 2
π₯2
+ 5π₯ + 6 = π₯ + 2 . π₯ + 3 = 2 = 1 .2 = β2 . β1
πΌππ ππππ’πππ’ππππ ππππ€π βΆ
πππ‘π’π βΆ π₯ + 2 . π₯ + 3 = 1 .2
π₯ + 2 = 1 πππ π₯ + 3 = 2
π₯ = 1 β 2 πππ π₯ = 2 β 3
π₯ = β1 πππ π₯ = β1 (ππππππ’ππ ππππππ πππππ π₯ π πππ)
πππ‘π’π βΆ π₯ + 2 . π₯ + 3 = β2 . β1
π₯ + 2 = β2 πππ π₯ + 3 = β1
π₯ = β2 β 2 πππ π₯ = β1 β 3
π₯ = β4 πππ π₯ = β4 (ππππππ’ππ ππππππ πππππ π₯ π πππ)
πππ‘π’π ππππππππ πππππ = 3
π₯2
+ 5π₯ + 6 = π₯ + 2 . π₯ + 3 = 3 = 1 .3 = β3 . β1
πΌππ ππππ’πππ’ππππ ππππ€π βΆ
πππ‘π’π βΆ π₯ + 2 . π₯ + 3 = 1 .3
π₯ + 2 = 1 πππ π₯ + 3 = 3
π₯ = 1 β 2 πππ π₯ = 3 β 3
π₯ = β1 πππ π₯ = 0 (π‘ππππ ππππππ’ππ ππππππ πππππ π₯ π‘ππππ π πππ)
πππ‘π’π βΆ π₯ + 2 . π₯ + 3 = β3 . β1
π₯ + 2 = β3 πππ π₯ + 3 = β1
π₯ = β3 β 2 πππ π₯ = β1 β 3
π₯ = β5 πππ π₯ = β4 (π‘ππππ ππππππ’ππ ππππππ πππππ π₯ π‘ππππ π πππ)
πππ‘π’π ππππππππ πππππ = 5
π₯2
+ 5π₯ + 6 = π₯ + 2 . π₯ + 3 = 5 = 1 .5 = β5 . β1
πΌππ ππππ’πππ’ππππ ππππ€π βΆ
πππ‘π’π βΆ π₯ + 2 . π₯ + 3 = 1 .5
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π₯ + 2 = 1 πππ π₯ + 3 = 5
π₯ = 1 β 2 πππ π₯ = 5 β 3
π₯ = β1 πππ π₯ = 2 (π‘ππππ ππππππ’ππ ππππππ πππππ π₯ π‘ππππ π πππ)
πππ‘π’π βΆ π₯ + 2 . π₯ + 3 = β5 . β1
π₯ + 2 = β5 πππ π₯ + 3 = β1
π₯ = β5 β 2 πππ π₯ = β1 β 3
π₯ = β7 πππ π₯ = β4 (π‘ππππ ππππππ’ππ ππππππ πππππ π₯ π‘ππππ π πππ)
π·πππ ππππππ‘π’ππππ ππππ‘ππ ππππ’πππ’ππππ ππππ ππππ€π π’ππ‘π’π ππππππππ πππππ β₯ 3
π‘ππππ ππππππ’ππ ππππππ πππππππππ πππππ π₯ π¦πππ π‘ππππ π πππ
π½πππ πππππ π₯ = β4, β1
2. Jawaban : 12
Pembahasan :
π¦ = ππ₯2
+ ππ₯ + π ππππππ’π π‘ππ‘ππ (β2, 6)
π π’πππ’ π ππππ‘ππππ¦π π₯ = β1
π, π, πππ π ππππ’πππππ ππππππππ πππππ πππ ππ‘ππ ππππ’ππ’π‘ππ
β2
π₯
, 6
π¦
β π¦ = ππ₯2
+ ππ₯ + π
6 = π . β2 2
+ π . β2 + π
6 = 4π β 2π + π
4π β 2π + π = 6 β¦ 1
ππ’πππ’ π ππππ‘ππ π₯ = β1 β π₯ = β
π
2π
β1 = β
π
2π
β2π = βπ
π = 2π β¦ 2
ππ’ππ π‘ππ‘π’π ππππ ππππ πππππ 2 ππ 1 βΆ
4π β 2π + π = 6
4π β 2 . 2π + π = 6
4π β 4π + π = 6
π = 6
π·ππππππππ π = 6 , π = 2π πππ ππππππ π, π, πππ π ππππ’πππππ ππππππππ πππππ πππ ππ‘ππ ππππ’ππ’π‘ππ
ππππ πππππππ’ βΆ
2
π
, 4
π=2π
, 6
π½πππ π + π + π = 2 + 4 + 6 = 12
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3. Jawaban : 7 3 + 12 ππ2
Pembahasan :
ππππππ‘ππππ ππππππ ππππππ’π‘ βΆ
π, π πππ π
ππππππ π‘ππ‘ππ π πππππ’ππ πππππππππ ππππ π ππ π β π ππ π π ππππ‘πππ π΄πΆπ·, π πππππππ βΆ
β π΄ππ· = β πΆππ· = β π·π
π = β πΆπ
π = β π΄ππ = β π·ππ = 90 π
πππππ‘πππ π΄π΅πΆ ππππππ π ππππ‘πππ π πππ ππππ β π΄π΅ = π΄πΆ
ππ
= ππ = ππ = 1
π
π· =
3
3
ππ
β ππ·π
= 60 π
ππππππ‘ππππ π ππππ‘πππ π πππ’ β π πππ’ π·π
π βΆ
β π·ππ
= 180 π
β 90 π
β 60 π
= 30 π
ππππππ‘ππππ π ππππ‘πππ π πππ’ β π πππ’ π·π
π πππ π ππππ‘πππ π πππ’ β π πππ’ π·ππ π¦πππ ππππππ’ππ βΆ
β ππ·π = β ππ·π
= 60 π
ππππππ‘ππππ π ππππ‘πππ π πππ’ β π πππ’ πΆππ· βΆ
β π·πΆπ = 180 π
β 90 π
β 60 π
= 30 π
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ππππππ‘ππππ π ππππ‘πππ π πππ’ β π πππ’ π΄ππ· βΆ
β π·π΄π = 180 π
β 90 π
β 60 π
= 30 π
ππππππ‘ππππ π ππππ‘πππ π πππ ππππ π΄π΅πΆ βΆ
β π΄π΅πΆ = β π΄πΆπ΅ = 30 π
ππππππ‘ππππ π ππππ‘πππ π΄π΅π· βΆ
β π΄π·π΅ = 180 π
β 60 π
β 60 π
= 60 π
β π΅π΄π· = 180 π
β 60 π
β 30 π
= 90 π
ππππππ‘ππππ π ππππ‘πππ π πππ’ β π πππ’ π·π
π βΆ
π·π = π
π·2 + ππ
2 =
3
3
2
+ 12 =
3
9
+ 1 =
3
9
+
9
9
=
12
9
=
12
9
=
4 .3
9
=
2 3
3
π·π = ππ + π·π = 1 +
2 3
3
ππππππ‘ππππ π ππππ‘πππ π πππ’ β π πππ’ πΆππ· πππ π ππππ‘πππ π πππ’ β π πππ’ π·π
π π¦πππ π ππππππ’π βΆ
πΆπ
ππ
=
π·π
π
π·
πΆπ
1
=
1+
2 3
3
3
3
πΆπ = 1 +
2 3
3
.
3
3
πΆπ =
3
3
+ 2
πΆπ =
3
3
.
3
3
+ 2
πΆπ = 3 + 2
ππππππ‘ππππ π ππππ‘πππ π πππ’ β π πππ’ πΆππ· πππ π ππππ‘πππ π πππ’ β π πππ’ π΄ππ· π¦πππ ππππππ’ππ βΆ
π΄π = πΆπ = 3 + 2
ππππππ‘ππππ π ππππ‘πππ π πππ ππππ π΄π΅πΆ βΆ
π΄π΅ = π΄πΆ = π΄π + πΆπ = 3 + 2 + 3 + 2 = 2 3 + 4
ππππππ‘ππππ π ππππ‘πππ π πππ’ β π πππ’ π΅π΄π· πππ π ππππ‘πππ π πππ’ β π πππ’ π·π
π π¦πππ π ππππππ’π βΆ
π΄π·
π
π·
=
π΄π΅
ππ
π΄π·
3
3
=
2 3+4
1
π΄π· = 2 3 + 4 .
3
3
π΄π· = 2 +
4 3
3
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ππππππ‘ππππ π ππππ‘πππ π πππ’ β π πππ’ πΆππ· βΆ
πΏ π ππππ‘πππ π πππ’ βπ πππ’ πΆππ· =
1
2
. π·π . πΆπ
=
1
2
. 1 +
2 3
3
. 3 + 2
=
1
2
. 3 + 2 + 2 +
4 3
3
=
1
2
.
3 3
3
+ 4 +
4 3
3
=
1
2
.
7 3
3
+ 4
=
7 3
6
+ 2
ππππππ‘ππππ π ππππ‘πππ π πππ’ β π πππ’ πΆππ· πππ π ππππ‘πππ π πππ’ β π πππ’ π΄ππ· π¦πππ ππππππ’ππ βΆ
πΏ π ππππ‘πππ π πππ’ βπ πππ’ π΄ππ· = πΏ π ππππ‘πππ π πππ’ βπ πππ’ πΆππ·
=
7 3
6
+ 2
ππππππ‘ππππ π ππππ‘πππ π πππ’ β π πππ’ π΅π΄π· βΆ
πΏ π ππππ‘πππ π πππ’ βπ πππ’ π΅π΄π· =
1
2
. π΄π΅ . π΄π·
=
1
2
. 2 3 + 4 . 2 +
4 3
3
=
1
2
. 4 3 + 8 + 8 +
16 3
3
=
1
2
.
12 3
3
+ 16 +
16 3
3
=
1
2
.
28 3
3
+ 16
=
14 3
3
+ 8
ππππππ‘ππππ π ππππ‘πππ π πππ ππππ π΄π΅πΆ βΆ
πΏ π ππππ‘πππ π πππ ππππ π΄π΅πΆ = πΏ π ππππ‘πππ π πππ’ βπ πππ’ π΄ππ· + πΏ π ππππ‘πππ π πππ’ βπ πππ’ πΆππ· + πΏ π ππππ‘πππ π πππ’ βπ πππ’ π΅π΄π·
=
7 3
6
+ 2 +
7 3
6
+ 2 +
14 3
3
+ 8
=
14 3
6
+ 12 +
14 3
3
=
7 3
3
+ 12 +
14 3
3
=
21 3
3
+ 12
= 7 3 + 12
π½πππ ππ’ππ π ππππ‘πππ π πππ ππππ π΄π΅πΆ ππππππ 7 3 + 12 ππ2
4. Jawaban : 55 βΆ 153
Pembahasan :
π΅ππ‘ππ πΌ β πΊπΌ βΆ π΄πΌ = 2 βΆ 11
π΅ππ‘ππ πΌπΌ β πΊπΌπΌ βΆ π΄πΌπΌ = 3 βΆ 5
πππ πππππ βΆ
ππππ‘ππ = π
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ππππ’ππ πΊπ’ππ πππ π΄ππ πππππ πππ‘ππ πΌ πππ πππ‘ππ πΌπΌ π πππππ’π πππππππ’π βΆ
πΊπΌ =
2
2+11
. π =
2π
13
π΄πΌ =
11
2+11
. π =
11π
13
πΊπΌπΌ =
3
3+5
. π =
3π
8
π΄πΌπΌ =
5
3+5
. π =
5π
8
ππππ’ππ πΊπ’ππ πππ π΄ππ π ππ‘ππππ πππ‘ππ πΌ πππ πππ‘ππ πΌπΌ πππππππ’π βΆ
πΊπΌ+πΌπΌ = πΊπΌ + πΊπΌπΌ =
2π
13
+
3π
8
=
16π
104
+
39π
104
=
55π
104
π΄πΌ+πΌπΌ = π΄πΌ + π΄πΌπΌ =
11π
13
+
5π
8
=
88π
104
+
65π
104
=
153π
104
πΊπΌ+πΌπΌ βΆ π΄πΌ+πΌπΌ =
πΊπΌ+πΌπΌ
π΄ πΌ+πΌπΌ
=
55π
104
153 π
104
=
55π
104
.
104
153π
=
55
153
= 55 βΆ 153
π½πππ πππ ππ πππππ’ππππ ππ’ππ πππ πππ πππ ππ πππππ’πππππ¦π ππππππ 55 βΆ 153
5. Jawaban : 19
Pembahasan :
π π₯ = 209 β π₯2
π ππ = π π + 2π β π π β 2π ππππππ βΆ π , π ππππππ ππππππππ ππ’πππ‘ πππ ππ‘ππ πππ π < π
π ππ = π π + 2π β π π β 2π
209 β ππ 2
= 209 β π + 2π 2
β 209 β π β 2π 2
209 β π2
π2
= 209 β π2
+ 4ππ + 4π2
β 209 β π2
β 4ππ + 4π2
209 β π2
π2
= 209 β π2
β 4ππ β 4π2
β 209 β π2
+ 4ππ β 4π2
209 β π2
π2
= 209 β π2
β 4ππ β 4π2
β 209 + π2
β 4ππ + 4π2
209 β π2
π2
= β8ππ
209 = π2
π2
β 8ππ
19 .11 = ππ . ππ β 8 β ππ = 19
ππ β 8 = 11
π·ππππππππ ππ = 19 π¦πππ ππππ’πππππ ππππππππ πππππ , πππ ππππππ π < π ππππ πππππππ’ βΆ
ππ = 19
ππ = 1 . 19 β π = 1
π = 19
π½πππ πππππ
π
π
=
19
1
= 19
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6. Jawaban : 10080
Pembahasan :
π1 + π2 + π3 + π4 = 70 β π4 = 70
π5 + π6 + β― + π16 = 690
π1 + π2 + β― + π16 = 760
π16 = 760
π π =
π
2
. 2π + π β 1 . π
π4 =
4
2
. 2π + 4 β 1 . π = 70
2 . 2π + 3π = 70
2π + 3π =
70
2
2π + 3π = 35 β¦ (1)
π π =
π
2
. 2π + π β 1 . π
π16 =
16
2
. 2π + 16 β 1 . π = 760
8 . 2π + 15π = 760
2π + 15π =
760
8
2π + 15π = 95 β¦ (2)
πΈπππππππ π ππππ πππππ 2 πππ (1):
2π + 15π = 95
2π + 3π = 35
12π = 60
π =
60
12
π = 5 β 1 :
2π + 3π = 35
2π + 3 . 5 = 35
2π + 15 = 35
2π = 35 β 15
2π = 20
π =
20
2
π = 10
ππ = π + π β 1 . π
π2015 = 10 + 2015 β 1 .5
= 10 + 2014 .5
= 10 + 10070
= 10080
π½πππ π π’ππ’ ππ β 2015 πππππ ππ π‘πππ πππ’π‘ ππππππ 10080
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7. Jawaban : 1 βΆ 2
Pembahasan :
ππππππ‘ππππ ππππππ ππππππ’π‘ βΆ
π΄π΅ π ππππππ πΈπΉ
π΄πΈ = π΅πΉ
π΄π΅ = 2 . πΈπΉ
π΄π = ππ΅ = π·π = ππΆ = πΈπΉ
π΄π· β₯ π΄π΅ πππ πΈπ» β₯ πΈπΉ
πππ πππππ βΆ
π‘π‘πππππ ππ’π π΄π΅πΉπΈ = π‘ π ππππ‘πππ π΄ππΈ = π‘πππππ πππππππ ππ΅πΉπΈ = πΈπ
πππππ ππ π΄ππΈ.π·ππ» βΆ πππππ ππ ππ΅πΉπΈ.ππΆπΊπ» =
π ππππ ππ π΄ππΈ .π·ππ»
π ππππ ππ ππ΅πΉπΈ .ππΆπΊπ»
=
πΏ π ππππ‘πππ π΄ππΈ . π‘ ππππ ππ π΄ππΈ .π·ππ»
πΏ πππππ πππππππ ππ΅πΉπΈ . π‘ ππππ ππ ππ΅πΉπΈ .ππΆπΊπ»
=
1
2
. π΄π . πΈπ
. πΈπ»
ππ΅ . πΈπ
. πΈπ»
=
1
2
. πΈπΉ . πΈπ
. πΈπ»
πΈπΉ . πΈπ
. πΈπ»
=
1
2
= 1 βΆ 2
π½πππ ππππππππππππ π£πππ’ππ ππππ ππ π΄ππΈ. π·ππ» πππ ππππ ππ ππ΅πΉπΈ. ππΆπΊπ» ππππππ 1 βΆ 2
8. Jawaban : 28
Pembahasan :
πππ‘ππππ‘πππ β π΄ , π΅ , πΆ , π·
πΌππ΄ β π΄ , π΅ , πΆ , πΈ
πΌππ β π΄ , π· , πΈ , πΉ
π΄ πππ π΅ ππππ ππ’ππππ , ππππ ππππ π΄ π‘πππππππ ππππ π΅ π‘ππππ π‘πππππππ, πππππ‘π’ ππ’ππ π ππππππππ¦π
ππππππ‘ππππ π‘ππππ ππππππ’π‘ βΆ
πΎπππ’πππππππ πππππππππ π΅πππ¦ππ ππππ
ππππ¦π’π π’ππππππ‘ππππ‘πππ
π΄ , π΅ , πΆ , π·
πΌππ΄
π΄ , π΅ , πΆ , πΈ
πΌππ
π΄ , π· , πΈ , πΉ
π΄
πΆ π· , πΈ , πΉ 3
πΈ π· , πΉ 2
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π΅
πΆ π· , πΈ , πΉ 3
πΈ π· , πΉ 2
πΆ
π΄ π· , πΈ , πΉ 3
π΅ π· , πΈ , πΉ 3
πΈ π΄ , π· , πΉ 3
π·
π΄ πΈ , πΉ 2
π΅ πΈ , πΉ 2
πΆ π΄ , πΈ , πΉ 3
πΈ π΄ , πΉ 2
πππ‘ππ ππππ¦ππ ππππ ππππ¦π’π π’πππ 28
π½πππ ππππ π¦πππ ππ’πππππ π’ππ‘π’π πππππππ π€ππππ π ππππππ π‘πππ πππ’π‘ ππ πππ πππ π‘πππ’π πππ πππ
π πππππ¦ππ 28
9. Jawaban : π΄ β8, 6 , π΅ β8, 10 , πΆ β4, 6
Pembahasan :
βπ΄π΅πΆ πππππππππππ π‘πππππππ π π’πππ’ π, ππππ’ππππ πππππππππππ ππππ π‘πππππππ πππππ π¦ = 3 ,
π πππππππ πππ ππ πππππππππππππ¦π ππππππ βπ΄β²
π΅β²
πΆβ²
, π¦πππ‘π’ π΄β²
8, 0 , π΅β²
8, β4 , πΆβ²
4, 0
π·πππππ ππππππππ π’ππ‘π’π ππππππππ‘πππ πππππππ βπ΄π΅πΆ, ππππ’πππ πππππππ ππ’πππ’π π¦πππ‘π’ βΆ
βπ΄β²
π΅β²
πΆβ²
ππππ’π πππππππππππ π‘πππππππ πππππ π¦ = 3 , ππππ’ππππ πππππππππππ π‘πππππππ π π’πππ’ π
π½πππ πππππππππ‘ π‘ππ‘ππ β π‘ππ‘ππ βπ΄π΅πΆ ππππππ π΄ β8, 6 , π΅ β8, 10 , πΆ β4, 6
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Sosuke D. Aizen 2 SMPN 1 Tambelangan
Pembahasan OSN Matematika SMP 2015 / Page 10
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10. Jawaban : 61600
Pembahasan :
ππ’π‘ππ = 3
πππππ = 3
πΎπ’ππππ = 3
π»ππππ’ = 3
π΅πππ’ = 3
π½π’ππππ = 12
πππππ β πππππ ππππ ππππππ πππ π’π π’π ππππππ ππ‘π’πππ πππππ‘πππ 2 πππππ β πππππ ππππ€ππππ ππ’π‘ππ
π πππππ’ π‘πππππππ‘ 4 πππππ β πππππ ππππ€ππππ π πππππ ππ’π‘ππ
πΎπππππ πππππ β πππππ πππ π’π π’π ππππππ ππ‘π’πππ πππππ‘πππ 2 πππππ β πππππ ππππ€ππππ ππ’π‘ππ
π πππππ’ π‘πππππππ‘ 4 πππππ β πππππ ππππ€ππππ π πππππ ππ’π‘ππ, ππππ πππππ β πππππ π‘πππ πππ’π‘
πππππππ βΆ
π·πππππ ππππππππ πππ ππ π πππππ β πππππ ππ’π‘ππ π‘ππ‘ππ, π‘ππ‘πππ π’ππ‘π’π πππππ β πππππ πππππ, ππ’ππππ,
πππππ’ πππ ππππ’ πππππ‘ πππ π’π π’π ππππππ’πππππ πππππ’π‘ππ π ππππ π’ππ π’π π¦πππ π πππ βΆ
π΅πππ¦ππ ππππ¦π’π π’πππ πππππ β πππππ πππππ, ππππ’, ππ’ππππ πππ πππππ’ =
12!
3! .3! .3! .3!
πππ‘πππ , π πππ’ππ ππππππ πππ π ππ ππ’π‘ππ πππ πππππππ πππππ ππππππ¦π (π¦πππ πππππ πππ π ππππ ππππ, πππππ‘π’
ππ’ππ π ππππππππ¦π) , π πππππππ π’ππ‘π’π ππππππππ’πππ ππππππ‘π’ππππ, ππππππ πππππππππππππ ππππ
3 ππππππ ππππππ πππ’ππ πππππ β πππππ ππ’π‘ππ, π ππππππ ππππππ’π‘ βΆ
π΅πππ¦ππ ππππ’πππππππ ππππππ ππππ’π‘ππ ππ‘ππ’ πππππππ β πππππ = 3!
π΄πππ ππππππ π¦πππ πππ π’π π’π π‘ππππ πππ π¦πππ πππππ ππππ π ππ‘π’ ππππ ππππππ (ππππππ‘ ππππ’π‘ππππ ππ‘ππ’
πππππππ β πππππ) ππππ ππππ’π ππππππ’πππ ππππππ‘π’ππππ π ππππππ ππππππ’π‘ βΆ
π΅πππ¦ππππ¦π π π’π π’πππ ππππππ π¦πππ ππ’πππππ ππππ’ππ‘ =
12!
3! .3! .3! .3! . 3!
ππππ¦ππ ππππ’π‘ππππ / πππππππ
= 61600