Este documento proporciona una introducción a las sucesiones, incluyendo definiciones de términos como término general, monotonía, acotación y límite de una sucesión. Explica cómo calcular el término de una posición dada y analiza ejemplos de sucesiones convergentes, divergentes y sin límite. También cubre operaciones con sucesiones convergentes y casos de indeterminación al calcular límites.
Este documento presenta los conceptos básicos de la integral definida, incluyendo definiciones de partición, suma superior e inferior, integrabilidad y área bajo una curva. También expone propiedades clave como la linealidad y comportamiento ante funciones constantes o pares/impares.
Este documento presenta ejercicios resueltos sobre métodos numéricos para la integración. Se comparan los métodos del trapecio, Simpson 1/3 y Simpson 3/8 para integrar funciones. También se aplican métodos compuestos como el trapecio y Simpson para integrales dobles e integrales triples, resolviéndolas numéricamente. Finalmente, se utilizan fórmulas de cuadratura de Gauss-Legendre para aproximar integrales.
Analisis de datos experimentales y graficosDarwin Mendoza
- Determinar un modelo matemático que relacione un fenómeno físico a partir de los datos experimentales obtenidos, desarrollando la capacidad de análisis y critica, el razonamiento científico, habilidades en el manejo instrumental e introducir al estudiante en el trabajo de investigación.
Métodos numéricos método de la secanteHELIMARIANO1
Este documento presenta el método numérico de la secante para resolver ecuaciones no lineales. Se aplica el método para calcular la altura necesaria para llenar un 85% de la capacidad de un camión cisterna cilíndrico elíptico. El método converge a una altura de 1.4269 metros. Se concluye que el método de la secante es eficiente para resolver problemas matemáticos y de ingeniería.
Este documento presenta un resumen de los principales temas de análisis numérico básico, incluyendo métodos numéricos para resolver ecuaciones no lineales, sistemas de ecuaciones lineales y no lineales, interpolación, integración numérica, diferenciación numérica y ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales. Explica los conceptos teóricos y desarrolla algoritmos para cada método, con ejemplos resueltos usando MATLAB. El documento busca proveer una introducción al análisis numérico con un
Este documento introduce el concepto de error en la interpolación y proporciona una fórmula para estimar dicho error. Explica cómo se puede aproximar una función desconocida f(x) mediante un polinomio de interpolación pn(x) y define el error como la diferencia f(x) - pn(x). Luego deriva una expresión que estima el error En(x) en términos de la derivada (n+1)-ésima de f evaluada en un punto z del intervalo.
El método de la tangente, también conocido como el método de Newton-Raphson, es un procedimiento para encontrar la raíz de una función mediante el trazado de rectas tangentes. Comenzando con un punto inicial, cada aproximación se acerca más al valor real de la raíz. La fórmula generaliza este proceso para múltiples iteraciones hasta alcanzar la precisión deseada.
Este documento presenta los conceptos y métodos estadísticos para intervalos de confianza y pruebas de hipótesis para una y dos poblaciones. Cubre intervalos de confianza y pruebas para proporciones, medias y varianzas, tanto para una sola población como para comparar dos poblaciones, incluyendo el uso de estadísticos-t, z, chi-cuadrado y F. También discute el tamaño de la muestra y factores de corrección.
Este documento presenta los conceptos básicos de la integral definida, incluyendo definiciones de partición, suma superior e inferior, integrabilidad y área bajo una curva. También expone propiedades clave como la linealidad y comportamiento ante funciones constantes o pares/impares.
Este documento presenta ejercicios resueltos sobre métodos numéricos para la integración. Se comparan los métodos del trapecio, Simpson 1/3 y Simpson 3/8 para integrar funciones. También se aplican métodos compuestos como el trapecio y Simpson para integrales dobles e integrales triples, resolviéndolas numéricamente. Finalmente, se utilizan fórmulas de cuadratura de Gauss-Legendre para aproximar integrales.
Analisis de datos experimentales y graficosDarwin Mendoza
- Determinar un modelo matemático que relacione un fenómeno físico a partir de los datos experimentales obtenidos, desarrollando la capacidad de análisis y critica, el razonamiento científico, habilidades en el manejo instrumental e introducir al estudiante en el trabajo de investigación.
Métodos numéricos método de la secanteHELIMARIANO1
Este documento presenta el método numérico de la secante para resolver ecuaciones no lineales. Se aplica el método para calcular la altura necesaria para llenar un 85% de la capacidad de un camión cisterna cilíndrico elíptico. El método converge a una altura de 1.4269 metros. Se concluye que el método de la secante es eficiente para resolver problemas matemáticos y de ingeniería.
Este documento presenta un resumen de los principales temas de análisis numérico básico, incluyendo métodos numéricos para resolver ecuaciones no lineales, sistemas de ecuaciones lineales y no lineales, interpolación, integración numérica, diferenciación numérica y ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales. Explica los conceptos teóricos y desarrolla algoritmos para cada método, con ejemplos resueltos usando MATLAB. El documento busca proveer una introducción al análisis numérico con un
Este documento introduce el concepto de error en la interpolación y proporciona una fórmula para estimar dicho error. Explica cómo se puede aproximar una función desconocida f(x) mediante un polinomio de interpolación pn(x) y define el error como la diferencia f(x) - pn(x). Luego deriva una expresión que estima el error En(x) en términos de la derivada (n+1)-ésima de f evaluada en un punto z del intervalo.
El método de la tangente, también conocido como el método de Newton-Raphson, es un procedimiento para encontrar la raíz de una función mediante el trazado de rectas tangentes. Comenzando con un punto inicial, cada aproximación se acerca más al valor real de la raíz. La fórmula generaliza este proceso para múltiples iteraciones hasta alcanzar la precisión deseada.
Este documento presenta los conceptos y métodos estadísticos para intervalos de confianza y pruebas de hipótesis para una y dos poblaciones. Cubre intervalos de confianza y pruebas para proporciones, medias y varianzas, tanto para una sola población como para comparar dos poblaciones, incluyendo el uso de estadísticos-t, z, chi-cuadrado y F. También discute el tamaño de la muestra y factores de corrección.
2 teoria de errores y aritmetica del computadorfenix1329
Este documento presenta una introducción a los métodos numéricos y la teoría de errores para un curso universitario de ingeniería mecánica. Explica los objetivos del curso, las etapas para resolver problemas de ingeniería, las fuentes principales de error y conceptos clave como la propagación del error y la aritmética de punto flotante en computadoras.
Este documento describe la ecuación diferencial de Bessel. Las funciones de Bessel son soluciones de esta ecuación y fueron definidas originalmente por Daniel Bernoulli y generalizadas por Friedrich Bessel. La ecuación de Bessel tiene importancia para problemas de calor, electricidad, ondas y elasticidad.
Este documento presenta las funciones logarítmicas y sus gráficas. Explica que un logaritmo se define como el exponente al que se eleva una constante para obtener un valor dado. Luego, describe cómo graficar funciones logarítmicas y sus propiedades clave, incluidas las propiedades de producto, cociente y potencias para logaritmos. Finalmente, presenta ejemplos numéricos y gráficos para ilustrar los conceptos.
Este documento explica cómo derivar funciones definidas implícitamente mediante una ecuación. Explica que para derivar estas funciones se deriva cada término de la ecuación miembro a miembro y que la derivada de y puede calcularse usando una fórmula. También presenta la regla de la cadena para derivar términos que contengan a y cuando las variables no coincidan. Finalmente, muestra un ejemplo de cómo aplicar estos conceptos para derivar una función implícita concreta.
Este documento describe los métodos para determinar los extremos (mínimos y máximos) de funciones de dos variables. Explica que para encontrar los puntos críticos se iguala el vector gradiente a cero y se clasifican los puntos críticos usando la matriz Hessiana y el criterio de los valores y segundas derivadas. También provee un ejemplo para ilustrar el proceso.
Este documento describe los conceptos de igualdad numérica, igualdad algebraica, identidad algebraica, ecuación algebraica, identidad trigonométrica y razón trigonométrica. Explica que una igualdad puede ser verdadera o falsa, y que existen dos tipos principales de igualdades algebraicas: identidades algebraicas que son verdaderas para todos los valores de las variables, y ecuaciones algebraicas que solo son verdaderas para ciertos valores. También define identidades trigonométricas y razón trigonométrica, e introduce tres tipos de identidades trig
Este documento describe las distribuciones gamma y exponencial. La distribución gamma describe el tiempo transcurrido hasta obtener n ocurrencias de un evento generado por un proceso de Poisson. La distribución exponencial es un caso especial de la distribución gamma cuando α = 1. La distribución exponencial modela el tiempo entre eventos de un proceso de Poisson o el tiempo hasta la primera ocurrencia. El documento también presenta ejemplos y propiedades clave de ambas distribuciones.
EJERCICIOS CON LA ECUACION DE CAUCHY RIEMANN DEL 1 AL 15 (1).pdfgianella57
Este documento presenta 5 ejercicios resueltos relacionados con la ecuación de Cauchy-Riemann para funciones analíticas. En el primer ejercicio, se demuestra que la función f(z) = ez es analítica. En el segundo, se determina la parte imaginaria de una función dada su parte real. En el tercero, se muestra que la función f(z) = iz + z̅ no es analítica. En el cuarto y quinto ejercicio, se verifica que las funciones f(z) = eαz y f(z) = z
Este documento presenta varios ejemplos y problemas relacionados con el cálculo de derivadas y su aplicación para resolver problemas de razón de cambio, máximos y mínimos. En particular, se resuelven problemas que involucran el cálculo de la velocidad a la que cambia el nivel del agua en depósitos y piscinas de diferentes formas geométricas cuando se bombea o sale agua a tasas constantes. También se presentan ejemplos sobre cómo calcular la velocidad a la que se separan aviones que se mueven en diferentes direcciones a
TRANSFORMACIONES LINEALES
METODO DE GAUSS-JORDAN
NUCLEO NULIDAD IMAGEN Y RANGO DE UNA TRANSFORMACION LINEAL
RELACION DE MATRICES CON TRANSFORMACIONES LINEALES
APLICACIONES A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN.pdfGUASDEFURTNERJUANDAN
Este documento presenta una introducción a las aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de primer orden en diversos problemas como: crecimiento de poblaciones, cambios de temperatura, caída libre, circuitos eléctricos, trayectorias ortogonales, diluciones químicas, derrame de líquidos y problemas geométricos. Incluye ejemplos y métodos para resolver cada tipo de problema usando ecuaciones diferenciales de primer orden.
1) El documento explica conceptos relacionados con tangentes, velocidades y razones de cambio. 2) Define la velocidad instantánea en un punto como el límite de las velocidades promedio a intervalos cada vez más cortos cuando tienden a cero. 3) Explica que la razón instantánea de cambio de una cantidad con respecto a otra en un punto es igual a la pendiente de la tangente en ese punto.
(1) Los complementos permiten representar números negativos en el sistema binario mediante la suma en lugar de la resta; (2) El complemento a uno de un número binario se obtiene invirtiendo todos sus bits; (3) El complemento a dos permite representar números negativos de forma que la resta se puede calcular como una suma.
El documento describe la distribución t de Student, desarrollada por William Gosset en 1908 para analizar muestras pequeñas. Explica que la distribución t es similar a la normal pero depende del tamaño de la muestra (grados de libertad) y que se usa cuando el tamaño de muestra es pequeño o se desconoce la desviación estándar poblacional. También presenta ejemplos sobre cómo calcular valores t e interpretar probabilidades asociadas a la distribución t.
Este documento resume los principales métodos numéricos para resolver ecuaciones no lineales. Explica brevemente el método de la bisección, la interpolación lineal, Newton-Raphson, punto fijo, Bairstow y división sintética. Incluye ejemplos para ilustrar cada método y destaca que Newton-Raphson converge más rápido pero requiere calcular derivadas, mientras que la bisección es más lento pero no necesita derivadas.
Aplicaciones de las Pruebas Chi cuadrada GeografiaArgenis Mora
Este documento describe la distribución ji-cuadrada y sus aplicaciones en pruebas de bondad de ajuste y análisis de tablas de contingencia. Explica las características de la distribución ji-cuadrada, incluyendo su función de densidad de probabilidad y grados de libertad. También muestra cómo usar la tabla ji-cuadrada para calcular probabilidades y realizar pruebas de hipótesis sobre varianzas. Por último, proporciona un ejemplo numérico de una prueba de bondad de ajuste usando la
El documento explica los pasos para realizar una prueba de hipótesis estadística, incluyendo definir la hipótesis nula y alternativa, elegir un nivel de significancia, calcular un estadístico de prueba, establecer una regla de decisión, y tomar una decisión sobre si rechazar o no la hipótesis nula. También describe las distribuciones Z y t que se usan para las pruebas paramétricas y cómo estimar parámetros poblacionales mediante intervalos de confianza.
Este documento describe el método iterativo de Jacobi para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Explica que el método convierte el sistema en un proceso iterativo que genera una secuencia de vectores que convergen a la solución. Luego, detalla los pasos del algoritmo de Jacobi y presenta un ejemplo numérico. Finalmente, establece condiciones suficientes para la convergencia del método, como que la matriz sea estrictamente dominante por filas.
El método de la secante y secante modificadoMoises Costa
Este documento describe el método de la secante y su variante modificada para encontrar raíces de funciones. Explica que el método de la secante aproxima la derivada mediante diferencias finitas hacia atrás y requiere dos valores iniciales de x. Luego presenta un ejemplo numérico que ilustra la aplicación del método de la secante modificado, el cual solo necesita un valor inicial de x y un cambio fraccionario.
Resolviendo problemas de composicion de funciones en Algebra SuperiorGuzano Morado
Aquí presento los detalles de cómo entender y redactar las demostraciones de que si f y g son funciones inyectivas, también su composición es inyectiva. Y lo mismo para la suprayectividad.
Este documento presenta los conceptos básicos de sucesiones y criterios de convergencia. Introduce las definiciones de sucesión, sucesión convergente y divergente. Explica cómo calcular el límite de una sucesión y determinar si es convergente. También cubre propiedades de límites de sucesiones como adición y multiplicación.
1) El documento trata sobre series de funciones complejas, especialmente series de potencias y series de Laurent.
2) Las series de potencias complejas tienen un radio de convergencia R, y convergen dentro de un círculo centrado en el punto z0.
3) Cuando una función no es analítica en un punto, se puede hallar su representación mediante una serie de Laurent que contiene potencias positivas y negativas de z - z0.
2 teoria de errores y aritmetica del computadorfenix1329
Este documento presenta una introducción a los métodos numéricos y la teoría de errores para un curso universitario de ingeniería mecánica. Explica los objetivos del curso, las etapas para resolver problemas de ingeniería, las fuentes principales de error y conceptos clave como la propagación del error y la aritmética de punto flotante en computadoras.
Este documento describe la ecuación diferencial de Bessel. Las funciones de Bessel son soluciones de esta ecuación y fueron definidas originalmente por Daniel Bernoulli y generalizadas por Friedrich Bessel. La ecuación de Bessel tiene importancia para problemas de calor, electricidad, ondas y elasticidad.
Este documento presenta las funciones logarítmicas y sus gráficas. Explica que un logaritmo se define como el exponente al que se eleva una constante para obtener un valor dado. Luego, describe cómo graficar funciones logarítmicas y sus propiedades clave, incluidas las propiedades de producto, cociente y potencias para logaritmos. Finalmente, presenta ejemplos numéricos y gráficos para ilustrar los conceptos.
Este documento explica cómo derivar funciones definidas implícitamente mediante una ecuación. Explica que para derivar estas funciones se deriva cada término de la ecuación miembro a miembro y que la derivada de y puede calcularse usando una fórmula. También presenta la regla de la cadena para derivar términos que contengan a y cuando las variables no coincidan. Finalmente, muestra un ejemplo de cómo aplicar estos conceptos para derivar una función implícita concreta.
Este documento describe los métodos para determinar los extremos (mínimos y máximos) de funciones de dos variables. Explica que para encontrar los puntos críticos se iguala el vector gradiente a cero y se clasifican los puntos críticos usando la matriz Hessiana y el criterio de los valores y segundas derivadas. También provee un ejemplo para ilustrar el proceso.
Este documento describe los conceptos de igualdad numérica, igualdad algebraica, identidad algebraica, ecuación algebraica, identidad trigonométrica y razón trigonométrica. Explica que una igualdad puede ser verdadera o falsa, y que existen dos tipos principales de igualdades algebraicas: identidades algebraicas que son verdaderas para todos los valores de las variables, y ecuaciones algebraicas que solo son verdaderas para ciertos valores. También define identidades trigonométricas y razón trigonométrica, e introduce tres tipos de identidades trig
Este documento describe las distribuciones gamma y exponencial. La distribución gamma describe el tiempo transcurrido hasta obtener n ocurrencias de un evento generado por un proceso de Poisson. La distribución exponencial es un caso especial de la distribución gamma cuando α = 1. La distribución exponencial modela el tiempo entre eventos de un proceso de Poisson o el tiempo hasta la primera ocurrencia. El documento también presenta ejemplos y propiedades clave de ambas distribuciones.
EJERCICIOS CON LA ECUACION DE CAUCHY RIEMANN DEL 1 AL 15 (1).pdfgianella57
Este documento presenta 5 ejercicios resueltos relacionados con la ecuación de Cauchy-Riemann para funciones analíticas. En el primer ejercicio, se demuestra que la función f(z) = ez es analítica. En el segundo, se determina la parte imaginaria de una función dada su parte real. En el tercero, se muestra que la función f(z) = iz + z̅ no es analítica. En el cuarto y quinto ejercicio, se verifica que las funciones f(z) = eαz y f(z) = z
Este documento presenta varios ejemplos y problemas relacionados con el cálculo de derivadas y su aplicación para resolver problemas de razón de cambio, máximos y mínimos. En particular, se resuelven problemas que involucran el cálculo de la velocidad a la que cambia el nivel del agua en depósitos y piscinas de diferentes formas geométricas cuando se bombea o sale agua a tasas constantes. También se presentan ejemplos sobre cómo calcular la velocidad a la que se separan aviones que se mueven en diferentes direcciones a
TRANSFORMACIONES LINEALES
METODO DE GAUSS-JORDAN
NUCLEO NULIDAD IMAGEN Y RANGO DE UNA TRANSFORMACION LINEAL
RELACION DE MATRICES CON TRANSFORMACIONES LINEALES
APLICACIONES A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN.pdfGUASDEFURTNERJUANDAN
Este documento presenta una introducción a las aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de primer orden en diversos problemas como: crecimiento de poblaciones, cambios de temperatura, caída libre, circuitos eléctricos, trayectorias ortogonales, diluciones químicas, derrame de líquidos y problemas geométricos. Incluye ejemplos y métodos para resolver cada tipo de problema usando ecuaciones diferenciales de primer orden.
1) El documento explica conceptos relacionados con tangentes, velocidades y razones de cambio. 2) Define la velocidad instantánea en un punto como el límite de las velocidades promedio a intervalos cada vez más cortos cuando tienden a cero. 3) Explica que la razón instantánea de cambio de una cantidad con respecto a otra en un punto es igual a la pendiente de la tangente en ese punto.
(1) Los complementos permiten representar números negativos en el sistema binario mediante la suma en lugar de la resta; (2) El complemento a uno de un número binario se obtiene invirtiendo todos sus bits; (3) El complemento a dos permite representar números negativos de forma que la resta se puede calcular como una suma.
El documento describe la distribución t de Student, desarrollada por William Gosset en 1908 para analizar muestras pequeñas. Explica que la distribución t es similar a la normal pero depende del tamaño de la muestra (grados de libertad) y que se usa cuando el tamaño de muestra es pequeño o se desconoce la desviación estándar poblacional. También presenta ejemplos sobre cómo calcular valores t e interpretar probabilidades asociadas a la distribución t.
Este documento resume los principales métodos numéricos para resolver ecuaciones no lineales. Explica brevemente el método de la bisección, la interpolación lineal, Newton-Raphson, punto fijo, Bairstow y división sintética. Incluye ejemplos para ilustrar cada método y destaca que Newton-Raphson converge más rápido pero requiere calcular derivadas, mientras que la bisección es más lento pero no necesita derivadas.
Aplicaciones de las Pruebas Chi cuadrada GeografiaArgenis Mora
Este documento describe la distribución ji-cuadrada y sus aplicaciones en pruebas de bondad de ajuste y análisis de tablas de contingencia. Explica las características de la distribución ji-cuadrada, incluyendo su función de densidad de probabilidad y grados de libertad. También muestra cómo usar la tabla ji-cuadrada para calcular probabilidades y realizar pruebas de hipótesis sobre varianzas. Por último, proporciona un ejemplo numérico de una prueba de bondad de ajuste usando la
El documento explica los pasos para realizar una prueba de hipótesis estadística, incluyendo definir la hipótesis nula y alternativa, elegir un nivel de significancia, calcular un estadístico de prueba, establecer una regla de decisión, y tomar una decisión sobre si rechazar o no la hipótesis nula. También describe las distribuciones Z y t que se usan para las pruebas paramétricas y cómo estimar parámetros poblacionales mediante intervalos de confianza.
Este documento describe el método iterativo de Jacobi para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Explica que el método convierte el sistema en un proceso iterativo que genera una secuencia de vectores que convergen a la solución. Luego, detalla los pasos del algoritmo de Jacobi y presenta un ejemplo numérico. Finalmente, establece condiciones suficientes para la convergencia del método, como que la matriz sea estrictamente dominante por filas.
El método de la secante y secante modificadoMoises Costa
Este documento describe el método de la secante y su variante modificada para encontrar raíces de funciones. Explica que el método de la secante aproxima la derivada mediante diferencias finitas hacia atrás y requiere dos valores iniciales de x. Luego presenta un ejemplo numérico que ilustra la aplicación del método de la secante modificado, el cual solo necesita un valor inicial de x y un cambio fraccionario.
Resolviendo problemas de composicion de funciones en Algebra SuperiorGuzano Morado
Aquí presento los detalles de cómo entender y redactar las demostraciones de que si f y g son funciones inyectivas, también su composición es inyectiva. Y lo mismo para la suprayectividad.
Este documento presenta los conceptos básicos de sucesiones y criterios de convergencia. Introduce las definiciones de sucesión, sucesión convergente y divergente. Explica cómo calcular el límite de una sucesión y determinar si es convergente. También cubre propiedades de límites de sucesiones como adición y multiplicación.
1) El documento trata sobre series de funciones complejas, especialmente series de potencias y series de Laurent.
2) Las series de potencias complejas tienen un radio de convergencia R, y convergen dentro de un círculo centrado en el punto z0.
3) Cuando una función no es analítica en un punto, se puede hallar su representación mediante una serie de Laurent que contiene potencias positivas y negativas de z - z0.
Este documento trata sobre sucesiones reales. Explica qué son las sucesiones, cómo se definen y notan matemáticamente. Presenta ejemplos de diferentes tipos de sucesiones como sucesiones acotadas, monótonas y cómo calcular el término genérico de una sucesión. El objetivo es que al final de la sesión, el estudiante pueda resolver ejercicios y problemas sobre sucesiones de números reales.
Este documento presenta información sobre sucesiones y progresiones aritméticas y geométricas. Explica que una sucesión aritmética es aquella donde cada término se obtiene sumando una cantidad fija al anterior, mientras que en una sucesión geométrica cada término se obtiene multiplicando al anterior por una cantidad fija. Además, describe diferentes tipos de sucesiones como monótonas, convergentes y divergentes; y cómo calcular el término general, sumas y otros conceptos relacionados a sucesiones y progresiones.
Este documento presenta información sobre sucesiones y progresiones aritméticas y geométricas. Explica que una sucesión aritmética es aquella donde cada término se obtiene sumando una cantidad fija al anterior, mientras que en una sucesión geométrica cada término se obtiene multiplicando al anterior por una cantidad fija. Además, describe diferentes tipos de sucesiones como monótonas, convergentes y divergentes; y cómo calcular términos, sumas y otras operaciones con sucesiones.
Sucesiones y Series de Taylor
Sucesiones/Limite/Propiedades/Monotonía y convergencia/Propiedades/Series numéricas/Propiedades/Series notables: Geometrica , telescopica, serie p, serie de terminos no negativos/Criterios de Convergencia: comparación, comparación limite, de la razón o cociente, de la raíz, de raabe, de la integral/Problemas de aplicación
Este documento presenta una introducción a las sucesiones infinitas y sus límites. Define una sucesión infinita como una función de los números naturales a los reales y da ejemplos de sucesiones. Explica que el límite de una sucesión, si existe, es el valor al que la sucesión converge. Presenta propiedades de las sucesiones convergentes como adición, sustracción, multiplicación y división. Finalmente, establece que si una función tiene un límite infinito, entonces la sucesión definida por los valores de la función en los naturales tendrá el
Este documento presenta información sobre sucesiones matemáticas y sumatorias. Explica que una sucesión es un conjunto ordenado de elementos que siguen una regla o ley de formación. Presenta ejemplos de diferentes tipos de sucesiones como aritméticas, geométricas y especiales. También define la notación de sumatoria y presenta propiedades y ejemplos de cómo usarla para representar la suma de los términos de una sucesión.
El documento introduce los conceptos de sucesiones y series numéricas. Explica que una sucesión está formada por una secuencia de números y que una serie es la suma de los términos de una sucesión. Describe propiedades importantes de las series como la convergencia y divergencia. Finalmente, presenta ejemplos de series especiales como la armónica y la geométrica.
El documento trata sobre series infinitas y criterios de convergencia. Explica conceptos como términos, sumas parciales y convergencia de series. Define series geométricas y explica que convergen cuando la razón r es menor que 1 y divergen cuando r es mayor o igual a 1. También lista propiedades de series convergentes y divergentes.
1) Este documento trata sobre sucesiones y series, incluyendo las definiciones de sucesión, serie, y sus propiedades como convergencia y monotonicidad. 2) Explica cómo definir una sucesión mediante una fórmula o regla de recurrencia y da ejemplos como la sucesión de Fibonacci. 3) Cubre conceptos como límite de una sucesión, series de términos positivos y criterios de convergencia para series.
Este documento trata sobre sucesiones y series numéricas. Explica que una sucesión es una función cuyo dominio son los enteros positivos y se denota como {an}. Presenta varios ejemplos de sucesiones y analiza sus términos y representaciones gráficas. También define conceptos como sucesión monótona, acotada, convergente y divergente. Por último, introduce las series numéricas como la sucesión de sumas parciales de una sucesión de números y define cuando una serie es convergente, divergente u oscilante.
Este documento presenta una introducción a las matemáticas discretas. Se define que las matemáticas discretas tratan sobre sistemas finitos y números enteros. Se dividen en dos módulos principales: números enteros y funciones y conteo. El documento explica conceptos básicos como propiedades de los números enteros, orden, divisibilidad y números primos.
Este documento presenta conceptos básicos sobre sucesiones, sumatorias, progresiones aritméticas y progresiones geométricas. Define una sucesión como una aplicación cuyo dominio son los números enteros positivos y explica diferentes tipos de sucesiones como convergentes, divergentes y oscilantes. También introduce la notación sigma para calcular sumas y da ejemplos de propiedades de las sumatorias. Finalmente, explica que una progresión aritmética es una sucesión donde la diferencia entre términos es constante y una progresión geom
Este documento describe diferentes tipos de sucesiones numéricas, incluyendo sucesiones aritméticas, geométricas y de Fibonacci. Explica que una sucesión numérica es un conjunto ordenado de números que sigue una regla o patrón. Proporciona ejemplos como los números triangulares, cuadrados y cúbicos, y describe cómo se generan estos patrones numéricos. También discute la historia de la sucesión de Fibonacci y cómo aparece en la naturaleza, como en los pétalos de las flores y las esp
El documento explica conceptos matemáticos como sucesiones, patrones, reglas y ecuaciones. Define sucesiones como secuencias de números que siguen una regla, y explica cómo identificar la regla subyacente y calcular términos específicos. También describe ecuaciones de primer grado, formas geométricas como polígonos, y cómo calcular la suma de los ángulos interiores de cualquier polígono.
El documento habla sobre patrones matemáticos y sucesiones numéricas. Explica que una sucesión sigue una regla que determina cómo calcular cada término. Muestra ejemplos de reglas para sucesiones como {3, 5, 7, 9...} cuya regla es 2n+1. También describe cómo notar las ecuaciones de primer grado y las fórmulas para calcular la suma de los ángulos interiores de polígonos regulares.
Este documento resume conceptos clave sobre series infinitas. Explica que las series infinitas surgieron de la paradoja de Zenón en el siglo V a.C. Luego define una serie infinita como una sucesión de sumas parciales donde la suma converge si el límite de las sumas parciales existe y diverge si no existe. Finalmente, introduce diferentes tipos de series infinitas como las telescópicas, armónicas y P-series, y explica las condiciones para su convergencia o divergencia.
Series Infinitas, series de potencias y criterios de convergencia.Alejandro Aguirre
1) El documento presenta diferentes criterios para determinar la convergencia de series infinitas, incluyendo series de potencias, geométricas, p-series y alternadas.
2) Explica el concepto de suma infinita mediante un ejemplo de dividir una cuerda en segmentos más pequeños indefinidamente.
3) Describe criterios como el del término n-ésimo, comparación, raíz, d'Alembert y la integral de Maclaurin para analizar la convergencia de series.
Semelhante a Sucesiones: conceptos elementales (20)
Este documento presenta varios conceptos clave de la combinatoria, incluyendo permutaciones, variaciones, combinaciones y sus fórmulas para calcular el número de agrupaciones posibles. También explica el principio de la multiplicación y la suma, diagramas de árbol y el binomio de Newton como herramientas para resolver problemas combinatorios.
Este documento define conceptos básicos sobre funciones, incluyendo: 1) la definición de función, 2) la representación gráfica de funciones, 3) el dominio y recorrido de funciones, y 4) transformaciones y operaciones con funciones como suma, producto, composición e inversa. Explica estos conceptos a través de ejemplos matemáticos.
El documento describe conceptos básicos de vectores en el espacio R3. Define R3 como el conjunto de todas las ternas de números reales y describe operaciones como suma y producto de vectores. Explica la diferencia entre vectores fijos y libres, y conceptos como módulo, dirección y sentido de un vector. También cubre combinaciones lineales de vectores, bases y productos escalar y vectorial.
1) El documento describe las superficies cónicas y secciones cónicas, incluyendo circunferencias, elipses, hipérbolas y parábolas.
2) Explica que una superficie cónica se obtiene al girar una recta alrededor de otra y cortarla con un plano, y define los tipos de secciones cónicas que resultan de cortes diferentes.
3) También cubre conceptos geométricos como lugares geométricos, potencia de un punto respecto a una circunferencia, eje radical de
El documento describe diferentes formas de representar una recta en el plano, incluyendo la ecuación vectorial, paramétrica, continua y general. También explica cómo determinar la posición relativa de dos rectas y calcular distancias entre puntos y un punto a una recta.
El documento describe conceptos básicos de cálculo vectorial en el plano R2. Define el conjunto R2, sumas y productos de vectores, combinaciones lineales, independencia lineal, bases y coordenadas cartesianas. Explica cómo representar y calcular vectores, incluido el módulo y punto medio de un segmento.
El documento define los números complejos, incluyendo su parte real e imaginaria. Explica cómo sumar, restar, multiplicar y dividir números complejos, así como expresarlos en forma polar usando el módulo y argumento. También cubre propiedades como el conjugado, opuesto y potencias de i.
El documento explica las razones trigonométricas y cómo se calculan. Define las medidas de ángulos en grados y radianes, y establece la equivalencia entre ellos. Explica cómo calcular las razones trigonométricas del seno, coseno y tangente para ángulos de 30°, 45° y 60° usando triángulos rectángulos. También amplía el concepto de ángulo a cualquier valor y explica el cálculo de razones trigonométricas para cualquier ángulo usando la circunferencia unitaria.
Este documento define conceptos básicos de probabilidad como espacio muestral, sucesos, operaciones con sucesos como unión e intersección, y presenta ejemplos para ilustrarlos. También introduce la regla de Laplace para calcular probabilidades cuando el espacio muestral es equiprobable, y los axiomas de la definición probabilística.
Este documento describe diferentes cuerpos geométricos, incluyendo poliedros (limitados por polígonos), la fórmula de Euler, poliedros regulares, prisma, pirámides, troncos de pirámide, cilindros, conos y esferas. Explica sus características, cómo calcular su área y volumen, y proporciona ejemplos numéricos.
El documento describe conceptos básicos de vectores en el plano R2. Define el conjunto R2 como pares ordenados de números reales y describe operaciones como suma y producto por escalares. Introduce conceptos como vectores linealmente independientes, base canónica y coordenadas cartesianas de vectores.
Este documento define la semejanza de polígonos y triángulos, y explica que dos figuras son semejantes si sus ángulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes son proporcionales. También describe el teorema de Tales y cómo se puede usar para calcular longitudes desconocidas. Además, establece las razones entre los perímetros, áreas y volúmenes de figuras semejantes.
El documento explica conceptos básicos de trigonometría. Define las medidas de ángulos en grados y radianes, y establece su equivalencia. Luego introduce las razones trigonométricas en triángulos rectángulos, y cómo calcularlas para ángulos de 30°, 45° y 60°. Finalmente, amplía el concepto de ángulo y razón trigonométrica a cualquier ángulo, y presenta la circunferencia goniométrica y la relación fundamental entre el seno y coseno de un ángulo.
Este documento trata sobre inecuaciones y programación lineal. Explica que una inecuación es una desigualdad entre expresiones algebraicas y cómo resolver inecuaciones de primer grado, segundo grado y sistemas de inecuaciones. También describe cómo representar geométricamente inecuaciones lineales con dos incógnitas y sistemas de estas inecuaciones.
Un conjunto es una colección de objetos. Puede definirse por extensión, indicando sus elementos, o por comprensión, indicando las propiedades de los elementos. Los conjuntos pueden ser finitos o infinitos. Las operaciones básicas con conjuntos incluyen la unión, que contiene los elementos de ambos conjuntos, e intersección, que contiene los elementos comunes a ambos conjuntos.
Este documento define la semejanza de polígonos y triángulos, y explica que dos figuras son semejantes si sus ángulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes son proporcionales. También describe el teorema de Tales y cómo se pueden usar escalas para representar distancias reales en mapas y planos.
Este documento trata sobre conceptos básicos de estadística. Explica que la estadística se ocupa de recopilar, organizar y analizar datos. Distingue entre estadística descriptiva, que describe conjuntos de datos, y estadística inferencial, que elabora conclusiones sobre poblaciones a partir de muestras. También define conceptos como población, muestra, variable estadística, y métodos gráficos como diagramas de barras y sectores para describir datos.
El documento describe elementos geométricos básicos como puntos, rectas, planos y sólidos. Explica conceptos como segmentos, semirrectas, ángulos, circunferencias y sus medidas. También cubre construcciones geométricas usando regla y compás, incluyendo mediatriz de segmentos, bisectriz de ángulos y circunferencias tangentes.
El documento define y clasifica diferentes figuras planas como polígonos, triángulos, cuadriláteros y la circunferencia. Explica cómo calcular el área de estas figuras, incluyendo fórmulas para el rectángulo, cuadrado, rombo, trapecio y más. Además, describe elementos como vértices, lados, diagonales y ángulos, y propiedades como la suma de los ángulos interiores de un polígono.
Este documento define progresiones aritméticas y geométricas. Una progresión aritmética es una sucesión donde cada término se obtiene sumando una cantidad constante al anterior. En una progresión geométrica, cada término se obtiene multiplicando el anterior por una razón constante. Se explican fórmulas para calcular cualquier término, la suma de términos y más propiedades de ambos tipos de progresiones.
Soluciones Examen de Selectividad. Geografía junio 2024 (Convocatoria Ordinar...Juan Martín Martín
Criterios de corrección y soluciones al examen de Geografía de Selectividad (EvAU) Junio de 2024 en Castilla La Mancha.
Soluciones al examen.
Convocatoria Ordinaria.
Examen resuelto de Geografía
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2. Definición
Una sucesión de números reales es una aplicación del conjunto de los números naturales en el
conjunto de los números reales, así, podemos hablar del término de posición 1, el término de posición
2 y así sucesivamente.
A cada elemento de la sucesión se le conoce como término (se añade la posición que ocupe para
determinarlo sin ambiguedad). El término general de la sucesión es una expresión algebraica que
permite calcular el término conocido el lugar que ocupa.
Ejemplo
La sucesión 1, 2, 3, 2, 5 … . Tiene por término general 𝑎 𝑛 = 𝑛, el término de posición 4 es 𝑎4 = 2, el término
de posición 5 es 𝑎5 = 5
Si el término general de la sucesión es 𝑏 𝑛 =
𝑛2−1
𝑛
, entonces el término de posición 3 es 𝑏3 =
32−1
3
=
8
3
Si el término general de la sucesión es 𝑐 𝑛 = −1 𝑛 𝑛
𝑛+1
, entonces el término de posición 4 es 𝑐4 = −1 4 4
4+1
=
4
5
3. Monotonía: crecimiento y decrecimiento
Una sucesión 𝑎 𝑛 es creciente, si cada término de la sucesión es menor o igual que el siguiente; es
estrictamente creciente si cada término es menor que el siguiente:
𝑎1 ≤ 𝑎2 ≤ 𝑎3 ≤ ⋯ ≤ 𝑎 𝑘 ≤ 𝑎 𝑘+1
Una sucesión 𝑎 𝑛 es decreciente, si cada término de la sucesión es mayor o igual que el siguiente; es
estrictamente decreciente si cada término es mayor que el siguiente:
𝑎1 ≤ 𝑎2 ≤ 𝑎3 ≤ ⋯ ≤ 𝑎 𝑘 ≤ 𝑎 𝑘+1
Ejemplos
La sucesión 𝑎 𝑛 =
1
𝑛
, es estrictamente decreciente pues 𝑎 𝑘 =
1
𝑘
>
1
𝑘+1
= 𝑎 𝑘+1 ∀𝑘 ∈ ℕ
La sucesión 𝑏 𝑛 = 𝑛2
+ 1 , es estrictamente creciente pues 𝑏 𝑘 = 𝑘2
+ 1 < 𝑘 + 1 2
+ 1 = 𝑘2
+ 2𝑘 + 1 =
𝑎 𝑘+1 ∀𝑘 ∈ ℕ
4. Acotación
Una sucesión 𝑎 𝑛 está acotada superiormente si todos los términos de la sucesión son menores que
un determinado valor K que denominaremos cota superior. Podemos expresarlo de la siguiente forma:
𝑎1 ≤ 𝑎2 ≤ 𝑎3 ≤ ⋯ ≤ 𝑎 𝑛 ≤ ⋯ ≤ 𝐾 ∀𝑘 ∈ ℕ
Una sucesión 𝑎 𝑛 está acotada inferiormente si todos los términos de la sucesión son mayores que un
determinado valor K que denominaremos cota inferior. Podemos expresarlo de la siguiente forma:
𝐾 ≤ 𝑎1 ≤ 𝑎2 ≤ 𝑎3 ≤ ⋯ ≤ 𝑎 𝑛 ≤ ⋯ ∀𝑘 ∈ ℕ
Una sucesión 𝑎 𝑛 está acotada si está acotada superior e inferiormente.
Ejemplo
La sucesión de término general 𝑎 𝑛 =
1
𝑛
, 1,
1
2
,
1
3
,
1
4
, … está acotada pues todos sus términos son mayores que cero
(cota inferior) y son menores o iguales que 1 0 ≤ 𝑎 𝑘 ≤ 1, ∀𝑘 ∈ ℕ
5. Límite de una sucesión
Una sucesión 𝑎 𝑛 tiene por límite el número L, cuando a medida que n toma valores cada vez más
grandes, los términos de la sucesión se aproximan cada vez más al número L.
Para expresar que L es el límite de la sucesión 𝑎 𝑛 se utiliza la siguiente expresión:
𝐥𝐢𝐦
𝒏→∞
𝒂 𝒏 = 𝑳 y se lee como “el límite de la sucesión 𝑎 𝑛 cuando n tiende a infinito es L”
Definición formal
Una sucesión 𝑎 𝑛 tiene por límite el número real L si ∀𝜖 > 0 ∃𝑘 ∈ 𝑁 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑎 𝑛 − 𝐿 ≤ 𝜖 ∀𝑛 ≥ 𝑘
L
𝝐
Fuera del intervalo 𝐿 − 𝜀, 𝐿 + 𝜀
quedan siempre un número finito
de elementos de la sucesión
6. Ejemplos
La sucesión 𝑎 𝑛 =
1
𝑛
es una sucesión monótona estrictamente decreciente que tiene por límite 0.
Podemos observar que los primeros términos son 1,
1
2
,
1
3
,
1
4
,
1
5
, … 𝐥𝐢𝐦
𝒏→∞
𝟏
𝒏
= 𝟎
La sucesión 𝑎 𝑛 = −1 𝑛 es una sucesión acotada inferiormente por -1 y superiormente por 1. Sin
embargo, no tiene límite pues si tomamos intervalos centrados en los dos candidatos a serlo -1 y 1 tan
pequeños como deseemos dejan fuera infinitos términos de la sucesión.
La sucesión 𝑎 𝑛 = 𝑛2 es una sucesión monótona estrictamente creciente, no acotada (podemos
obtener valores tan grandes como deseemos tomando valores de n suficientemente grandes), por lo
que no tiene límite.
7. Sucesiones divergentes
Una sucesión 𝑎 𝑛 tiene por límite +∞ (de forma análoga a −∞), cuando a medida que n toma
valores cada vez más grandes, los términos de la sucesión son cada vez mayores (menores) y no se
pueden acotar.
Para indicar este hecho se notará por: 𝐥𝐢𝐦
𝒏→∞
𝒂 𝒏 = ±∞
Ejemplo
La sucesión de término general 𝑎 𝑛 = 𝑛2
+ 𝑛 , tiene por límite +∞ pues si proponemos un valor tan grande como
queramos podemos proponer un valor de n, de tal forma que supere el valor propuesto.
𝐥𝐢𝐦
𝒏→∞
𝑛2
+ 𝑛 = +∞
La sucesión de término general 𝑎 𝑛 = 1 − 𝑛2
, tiene por límite −∞ pues si proponemos un valor tan pequeño
como queramos podemos proponer un valor de n, de tal forma que sea menor que el valor propuesto.
𝐥𝐢𝐦
𝒏→∞
1 − 𝑛2
= −∞
8. Algunos cálculos de límites
Límite de una potencias, exponenciales
𝐥𝐢𝐦
𝒏→∞
𝒏 𝒌
=
0 si k < 0
1 si k = 0
+∞ si k > 0
𝐥𝐢𝐦
𝒏→∞
𝒌 𝒏
=
No existe si k < −1
0 si − 1 < k < 1
+∞ si k > 1
Límite de un polinomio
𝐥𝐢𝐦
𝒏→∞
𝒊=𝟎
𝒌
𝒂𝒊 · 𝒙𝒊 = 𝐥𝐢𝐦
𝒏→∞
𝒂 𝒌 · 𝒙 𝒌
Límite de un cociente de polinomios
𝐥𝐢𝐦
𝒏→∞
𝒊=𝟎
𝒌
𝒂𝒊 · 𝒙𝒊
𝒊=𝟎
𝒍
𝒃𝒋 · 𝒙𝒋
=
+∞ si k > l
𝑎 𝑘
𝑎𝑙
si k = l
0 si k < l
9. Ejemplos I
𝐥𝐢𝐦
𝒏→∞
𝒏 𝟑 = +∞ a medida que el valor de n crece su cubo crece, por tanto, la sucesión no está acotada y la
sucesión es divergente
lim
n→∞
4n−3
= lim
n→∞
4
n3 = 0 a medida que el valor de n crece su cubo crece, y por tanto, como el numerador
es constante, él límite de la sucesión es 0.
lim
𝑛→∞
2𝑛3+5𝑛2+3
−2𝑛2+3𝑛
= lim
𝑛→∞
2𝑛3
−2𝑛2 = −∞, en un cociente de polinomios tenemos en cuenta únicamente los
términos de mayor grado de ambos polinomios. Como el grado del polinomio del numerador es mayor que el
del denominador tiende a ∞, como los signos son distintos podemos decir que es una sucesión divergente que
tiende a −∞.
13. Indeterminaciones
Se obtiene una indeterminación cuando calculamos límites cuando no se puede obtener el límite
utilizando directamente las operaciones aritméticas con los límites de cada uno de los operandos.
Las indeterminaciones que podemos encontrarnos a la hora de calcular límites son:
𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙𝑒𝑠
0
0
∞
∞
0 · ∞
∞ − ∞
𝑒𝑥𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙𝑒𝑠
1∞
∞0
00
14. Resolución de la indeterminación
∞
∞
Nos encontraremos con este tipo de indeterminación en un cociente de polinomios o de radicales.
La estrategia consiste en primer lugar identificar la indeterminación y, a continuación, dividir el
numerador y el denominador por la potencia máxima de n.
Ejemplo
lim
𝑛→∞
3𝑛+ 4𝑛2−7𝑛+3
5𝑛−2
podemos observar que tanto el numerador como el denominador tienden a ∞.
La mayor potencia de n que se encuentra en la expresión tiene grado 1 (el cuadrado de n se encuentra
dentro de una raíz cuadrada. Por tanto, dividimos el numerador y el denominador por n.
lim
𝑛→∞
3𝑛 − 4𝑛2 − 7𝑛 + 3
𝑛
5𝑛 − 2
𝑛
= lim
𝑛→∞
3𝑛
𝑛
−
4𝑛2
𝑛2 −
7𝑛
𝑛2 +
3
𝑛2
5𝑛
𝑛
−
2
𝑛
=
3 − 2
5
=
1
5
15. Resolución de la indeterminación
∞
∞
. Ejemplos
lim
𝑛→∞
5𝑛 + 3
3
4𝑛2 + 3𝑛
𝑠𝑒 𝑡𝑟𝑎𝑡𝑎 𝑑𝑒 𝑢𝑛𝑎 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑐𝑖ó𝑛
∞
∞
Dividimos el numerador y el denominador por la potencia de n de mayor grado, en este caso 𝑛
lim
𝑛→∞
5𝑛 + 3
𝑛
3
4𝑛2 + 3𝑛
𝑛
= lim
𝑛→∞
5𝑛
𝑛
+
3
𝑛
3 4𝑛2 + 3𝑛
𝑛3
= lim
𝑛→∞
5 +
3
𝑛
3 4
𝑛
+
3
𝑛2
=
5
0
= ∞
lim
𝑛→∞
4𝑛 − 1
9𝑛3 + 3
𝑠𝑒 𝑡𝑟𝑎𝑡𝑎 𝑑𝑒 𝑢𝑛𝑎 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑐𝑖ó𝑛
∞
∞
Dividimos el numerador y el denominador por la potencia de n de mayor grado, en este caso 𝑛3 2
lim
𝑛→∞
4𝑛 − 1
𝑛
3
2
9𝑛3 + 3
𝑛
3
2
= lim
𝑛→∞
4𝑛
𝑛
3
2
−
1
𝑛
3
2
9𝑛3 + 3
𝑛3
= lim
𝑛→∞
4
𝑛
1
2
−
1
𝑛
3
2
9 +
3
𝑛3
=
0
3
= 0
16. Resolución de la indeterminación ∞ − ∞
Nos encontraremos con este tipo de indeterminación en la diferencia de radicales o en cociente de
polinomios.
Ejemplos
lim
𝑛→∞
𝑛2
+ 1
n
−
𝑛2
𝑛 + 1
Debemos, en primer lugar, que el límite presenta una indeterminación del tipo ∞ − ∞
Operando lim
𝑛→∞
𝑛2+1 𝑛+1 −𝑛3
)n·(n+1
= lim
𝑛→∞
𝑛3+𝑛2+𝑛+1−𝑛3
𝑛2+𝑛
= lim
𝑛→∞
𝑛2+𝑛+1
𝑛2+𝑛
=1
lim
𝑛→∞
3𝑛 + 2 − 3𝑛 + 1 Debemos, en primer lugar, que el límite presenta una indeterminación del tipo ∞ − ∞
Multiplicando y dividiendo por el conjugado y simplificando:
lim
𝑛→∞
3𝑛+2− 3𝑛+1 3𝑛+2+ 3𝑛+1
3𝑛+2+ 3𝑛+1
= lim
𝑛→∞
3𝑛+2
2
− 3𝑛+1
2
3𝑛+2+ 3𝑛+1
= lim
𝑛→∞
1
3𝑛+2+ 3𝑛+1
= 0
17. Resolución de la indeterminación 1∞
Para resolver este tipo de indeterminaciones utilizaremos el hecho de que el número transcendente e,
es el límite de la sucesión 1 +
1
𝑛
𝑛
, es decir, lim
𝑛→∞
1 +
1
𝑛
𝑛
= 𝑒.
Ejemplos
lim
𝑛→∞
1 +
2
𝑛
𝑛−2
Debemos, en primer lugar, que el límite presenta una indeterminación del tipo 1∞
Ahora, debemos modificar la expresión del límite para que el exponente y el denominador tengan
la misma expresión:
lim
𝑛→∞
1 +
2
𝑛
𝑛−2
= lim
𝑛→∞
1 +
1
𝑛
2
𝑛−2
= lim
𝑛→∞
1 +
1
𝑛
2
𝑛
2
2
𝑛
𝑛−2
= 𝑒
lim
2
𝑛
𝑛−2
𝑛→∞ = 𝑒2