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Semelhante a StanとRでベイズ統計モデリング 11章 離散値をとるパラメータ
Semelhante a StanとRでベイズ統計モデリング 11章 離散値をとるパラメータ (20)
Mais de Miki Katsuragi
StanとRでベイズ統計モデリング 11章 離散値をとるパラメータ
- 2. ● 11.1 離散パラメータを扱うテクニック ○ 便利な関数や周辺化消去について ● 11.2 混合正規分布 ● 11.3 ゼロ過剰ポアソン分布 ● 11.4 Latent Dirichlet Allocation Agenda * 離散値をとるパラメータというタイトルだけど、どちらかと いうと混合分布に関する話が中心？
- 4. 離散パラメータを消去して対数尤度を表現するには ● target (4.3) を使う ○ 対数尤度を足し算にするので計算が簡単になる ○ 値が小さくなりすぎない ● log_sum_exp 関数を使う 実数 (x, y) を引数にとる場合 11.1 離散パラメータを扱うテクニック
- 5. 引数にはreal, vector, row_vector, matrix, array型を取ることができる。 例：vector を引数にとる場合 右辺が log sum of exponentials なので log_sum_exp 関数と呼ばれる とすると 「log (小さい値)の積 = log (小さい値) の和」になるので計算 が安定 11.1.1 log_sum_expで計算を簡単に
- 8. 表 coin[n]= 0 Y=1 Y=0 or 正直に答える 常に Y=1 100人分 データ収集 coin[n] = Bernoulli(0.5) = 離散パラメータ (データからは不明) 裏 coin[n]= 1 真の喫煙率 q を知りたい n Y 1 1 2 0 3 1 ... 100 1 Y=1 ベルヌーイ分布に従う離散パラメータの例
- 9. coin[n] : 0 なら表、1 なら裏。 データからは不明なのでパラメータ かつ、離散的な値しか取れない (離散パラメータ) θ[1] : 表が出た場合にYesと答える確率 θ[2] : 裏が出た場合にYesと答える確率 モデル式11-1 (p.204)
- 10. 途中のコイントスの結果を知らなくても、回答が Yesになる確率を求められる (周辺化消去) 対数尤度にすると以下のように log_sum_exp関数で表現できる。 全員分これを繰り返すが、対数尤度なので足すだけで OK コイントスの場合の数を数え上げて離散パラメータを消去 例: 1人の場合 周辺化消去のイメージ
- 11. data { int N; int<lower=0, upper=1> Y[N]; } parameters { real<lower=0, upper=1> q; } ## mean se_mean sd 2.5% 25% 50% 75% 97.5% n_eff Rhat ## q 0.2 0.00 0.09 0.04 0.14 0.20 0.26 0.38 1127 1.00 ## lp__ -69.7 0.03 0.84 -72.22 -69.91 -69.37 -69.14 -69.08 698 1.01 model { for (n in 1:N) target += log_sum_exp( log(0.5) + bernoulli_lpmf(Y[n] | q), log(0.5) + bernoulli_lpmf(Y[n] | 1) ); } (11.4式に該当) (11.4) log Bernoulli に相当 モデル11-1 実装例
- 12. m 枚のコインを 一度に投げる (表が出る 確率= 0.5) パラメータ λ の ポアソン分布 から乱数 m 出力 表が出た枚数=Y 例：3枚（二項分布） 100回 未知のコイン数 m = 離散パラメータ n Y 1 6 2 5 3 8 ... 100 9 ポアソン分布に従うパラメータの例
- 13. ここでは、mが問題の離散パラメータである。 mは非負整数であれば、どれでも取る可能性はあるの で、全ての尤度を足しあげると、以下のような式になる。 現実的には、m=40くらいまでを考えたら良い （表が最大9枚なら現実的にその倍の 20枚程度 を上限と考える、さらに 1〜2 SD を考慮） m<Y にはならない （例：Y=6のときBinomial(Y|0, 0.5）となる のは0枚中6枚表になってしまう) モデル式11-2 (p.206)
- 14. 上限 40, 下限を Y とすると以下のように式を変形可能 さらに対数をとってlog_sum_expで以下のように表現できる モデル式11-2
- 15. data { int N; #回数=100 int M_max; #40 int<lower=0> Y[N]; } parameters { real<lower=0> lambda; } ## mean se_mean sd 2.5% 25% 50% 75% 97.5% n_eff Rhat ## lambda 9.58 0.01 0.44 8.74 9.28 9.57 9.87 10.44 1378 1 ## lp__ 273.12 0.02 0.71 271.07 272.93 273.40 273.57 273.63 1934 1 model { for (n in 1:N) { vector[M_max-Y[n]+1] lp; for (m in Y[n]:M_max) lp[m-Y[n]+1] = poisson_lpmf(m | lambda) + binomial_lpmf(Y[n] | m, 0.5); target += log_sum_exp(lp); } } log Poisson に相当 log Binomialに相当 モデル11-2 実装例 pmf :proverbiliy mass function(質量関数) pdf : proverbiliy density function(正規分布など密度関数 )
- 16. // model11-2 data { int N; int M_max; int<lower=0> Y[N]; } parameters { real<lower=0> lambda; } model { for (n in 1:N) { vector[M_max-Y[n]+1] lp; for (m in Y[n]:M_max) lp[m-Y[n]+1] = poisson_lpmf(m | lambda) + binomial_lpmf(Y[n] | m, 0.5); target += log_sum_exp(lp); } } // model11-2b data { int N; int<lower=0> Y[N]; } parameters { real<lower=0> lambda; } model { for (n in 1:N) Y[n] ~ poisson(lambda*0.5); } 11.1.3 の公式を実装すると..
- 17. 11-2 混合正規分布
- 18. 社員の能 力測定実 数値 (Score) 100人分 のデータ 表（確率α） 怠け者 裏（確率1-α） 頑張り屋 (11.2) と基本的に同じ n Y 1 -0.84 2 -0.35 3 2.34 ... 100 3.74 混合正規分布の例
- 19. 混合正規分布を使ってモデル化 data { int N; vector[N] Y; } parameters { real<lower=0, upper=1> a; ordered[2] mu; vector<lower=0>[2] sigma; } model { for (n in 1:N) target += log_sum_exp( log(a) + normal_lpdf(Y[n] | mu[1],sigma[1]), log1m(a) + normal_lpdf(Y[n] | mu[2],sigma[2]) ); } normal_lpdf(Y | mu, sigma) はlogNormal(Y | μ, σ) と等価 log1m(a) は log(1-a) を より安定に計算するため の関数 識別するため mu に orderd 型を使用(10.1.3 参照) vector 型でラベルスイッチン グを確認してもOK mean se_mean sd 2.5% 25% 50% 75% 97.5% n_eff Rhat a 0.54 0.00 0.07 0.39 0.50 0.55 0.60 0.67 1558 1 mu[1] -0.05 0.00 0.24 -0.51 -0.21 -0.06 0.11 0.42 2325 1 mu[2] 5.78 0.02 0.63 4.36 5.40 5.85 6.23 6.85 1413 1 sigma[1] 1.30 0.00 0.18 0.97 1.18 1.28 2.74 3.53 1576 1 sigma[2] 2.46 0.01 0.47 1.71 2.12 2.40 1.41 1.68 2094 1 lp__ -248.19 0.04 1.60 -252.30 -248.98 -247.85 -247.00 -246.04 1475 1 モデル式11-5 の実装例
- 20. 例：3面ダイス 社員の能力測 定実数値 (Score) 200人 分のデータ n Y 1 9.44 2 9.77 3 11.56 ... 200 29.04 k個の正規分布からなる混合分布 ここでの離散パラメータは k の値(例：1 or 2 or 3)
- 22. data { int N; int K; //正規分布の個数 vector[N] Y; } parameters { simplex[K] a; ordered[K] mu; vector<lower=0>[K] sigma; real<lower=0> s_mu; } mean se_mean sd 2.5% 25% 50% a[1] 0.17 0.00 0.03 0.12 0.15 0.17 a[2] 0.10 0.00 0.03 0.05 0.08 0.10 a[3] 0.31 0.00 0.07 0.18 0.26 0.30 a[4] 0.27 0.00 0.08 0.13 0.21 0.27 a[5] 0.15 0.00 0.04 0.09 0.13 0.15 mu[1] 10.01 0.00 0.17 9.68 9.90 10.01 mu[2] 16.15 0.03 0.58 15.37 15.83 16.07 mu[3] 20.87 0.00 0.14 20.62 20.77 20.86 mu[4] 23.44 0.02 0.67 22.15 22.96 23.43 mu[5] 30.87 0.04 1.04 27.98 30.52 31.06 model { mu ~ normal(mean(Y), s_mu); //ゆるい制約を入れている sigma ~ gamma(1.5, 1.0); //制約を入れている for (n in 1:N) { vector[K] lp; //log_sum_exp の引数ベクトル for (k in 1:K) lp[k] = log(a[k]) + normal_lpdf(Y[n] | mu[k], sigma[k]); target += log_sum_exp(lp); } } a (simplex) : データから生成された混合正規分 布の混ぜ具合、合計 1になる。a[1] 〜 a[5] の確 率でどの確率分布を使うか決定 モデル11-6実装例
- 23. functions { real normal_mixture_lpdf(real Y, int K, vector a, vector mu, vector sigma) { vector[K] lp; for (k in 1:K) lp[k] = log(a[k]) + normal_lpdf(Y | mu[k], sigma[k]); return log_sum_exp(lp); } } data { int N; int K; vector[N] Y; } parameters { simplex[K] a; ordered[K] mu; vector<lower=0>[K] sigma; real<lower=0> s_mu; } model { mu ~ normal(mean(Y), s_mu); sigma ~ gamma(1.5, 1); for (n in 1:N) Y[n] ~ normal_mixture(K, a, mu, sigma); } _lpdf を関数名の末尾につけると、 あたかもその確率分布が用意され てるかのように使うことが可能。 functionsデータブロックは data よ り前に書く functionsブロック使用例
- 24. 11-3 ゼロ過剰ポアソン分布
- 25. Sex: 0 = 男性, 1 = 女性 Sake: 0 = 飲む, 1 = 飲まない Age: 年齢 Y: 来店回数 リピーターになりそうな人は？ Sex Sake Age Y 0 1 18 5 1 0 18 2 1 1 18 1 ... 1 0 55 6 飲食店来店アンケートデータの例（200人分）
- 29. functions { real ZIP_lpmf(int Y, real q, real lambda) { if (Y == 0) { return log_sum_exp( bernoulli_lpmf(0 | q), bernoulli_lpmf(1 | q) + poisson_log_lpmf(0 | lambda) ); } else { return bernoulli_lpmf(1 | q) + poisson_log_lpmf(Y | lambda); } } } data { int N; int D; int<lower=0> Y[N]; matrix[N,D] X; } mean se_mean sd 2.5% 25% b[1,1] 0.94 0.01 0.71 -0.41 0.45 : b[2,4] 0.20 0.00 0.03 0.13 0.17 q[1] 0.96 0.00 0.03 0.89 0.95 : q[92] 0.42 0.00 0.06 0.31 0.38 parameters { vector[D] b[2]; } transformed parameters { vector[N] q_x; vector[N] q; vector[N] lambda; q_x = X*b[1]; lambda = X*b[2]; for (n in 1:N) q[n] = inv_logit(q_x[n]); } model { for (n in 1:N) Y[n] ~ ZIP(q[n], lambda[n]); } qを全て推定す るのではなくロ ジスティック回 帰でゆるい制 約を与えてい る モデル11-7実装例
- 30. library(rstan) d <- read.csv('input/data-ZIP.txt') d$Age <- d$Age/10 X <- cbind(1, d[,-ncol(d)]) //切片の1と説明変数 data <- list(N=nrow(d), D=ncol(X), Y=d$Y, X=as.matrix(X)) fit <- stan(file='model/model11-7.stan', data=data, pars=c('b', 'q', 'lambda'), seed=1234) ms <- rstan::extract(fit) N_mcmc <- length(ms$lp__) r <- sapply(1:N_mcmc, function(i) cor(ms$lambda[i,], ms$q[i,], method='spearman')) quantile(r, prob=c(0.025, 0.25, 0.5, 0.75, 0.975)) 2.5% 25% 50% 75% 97.5% -0.8056358 -0.6961972 -0.6492521 -0.6031985 -0.4426931 推定されたパラメータから来店確率とリ ピーターの平均来店回数の関係を求めて いる（負の関係？） 11-7 実行コード
- 31. 11-4 Latent Dirichlet Allocation
- 32. ● 自然言語処理の分野で考案 ● 人によって話しやすいトピック （カテゴリ）を出現しやすくする モデル ● ここではスーパーマーケットで 顧客がどの商品を購入したか というデータ(50人、1117回分 の購入イベント)を扱う Person ID Item ID 1 105 1 80 1 54 ... 50 72 解析の目的： ● 購入履歴から顧 客の特徴を抽出 ● 商品をグルーピン グ 11.4.1 Latent Dirichlet Allocation
- 33. 商品 x 顧客のクロス集計表 *購入回数が多いほど色が濃い 顧客ごと購入回数 商品ごと購入回数 商品による 差が大 主成分分析で傾 向を要約 -> 一部の顧客の 特徴が失われて しまう データの分布
- 34. ● 顧客数 N=50 ● 商品数 I=120 ● 商品カテゴリ K=6 人ごとに異なる6面ダイス 例：50番目の人のサイコロサ ラリーマンなので飲料が出や すい 飲料に特化した(飲料が 出やすい)120面ダイス 「緑茶」が出た場 合緑茶を購入し たと考える カテゴリカル 分布（合計1） 11.4.2 メカニズム
- 35. n 番目の顧客が y 番目の商品を購入するメカニズム dice：人ごとのθから得られた商品カテゴリ θ： 長さ6のベクトル、人ごとに存在 y：商品 (ID のようなもの) φ[dice]：長さ120のベクトル、カテゴリごとに存在 11.4.3 モデル式の記述
- 36. モデル式11-8 (p.223)
- 37. N <- 50 I <- 120 K <- 6 set.seed(123) alpha0 <- rep(0.8, K) alpha1 <- rep(0.2, I) theta <- gtools::rdirichlet(N, alpha0) phi <- gtools::rdirichlet(K, alpha1) αが小さいほど いびつに num_items_by_n <- round(exp(rnorm(N, 2.0, 0.5))) d <- data.frame() for (n in 1:N) { z <- sample(K, num_items_by_n[n], prob=theta[n,], replace=TRUE) item <- sapply(z, function(k) sample(I, 1, prob=phi[k,])) d <- rbind(d, data.frame(PersonID=n, ItemID=item)) } 11.4.4 Rでのシミュレーション
- 38. functions { real CateCate_lpmf(int Y, int K, vector theta, vector[] phi) { vector[K] lp; for (k in 1:K) lp[k] = log(theta[k]) + log(phi[k,Y]); return log_sum_exp(lp); } } data { int<lower=1> E; int<lower=1> N; int<lower=1> I; int<lower=1> K; int<lower=1, upper=N> PersonID[E]; int<lower=1, upper=I> ItemID[E]; vector<lower=0>[I] Alpha; //ディリクレ分布のパラメータ } mean sd 2.5% 25% 50% 75% 97.5% theta[1,1] 0.37 0.14 0.13 0.26 0.35 0.46 0.64 theta[1,2] 0.12 0.09 0.02 0.05 0.09 0.15 0.34 theta[1,3] 0.11 0.09 0.01 0.05 0.09 0.16 0.33 … theta[50,6] 0.11 0.09 0.01 0.05 0.09 0.16 0.33 parameters { simplex[K] theta[N]; simplex[I] phi[K]; } model { for (k in 1:K) phi[k] ~ dirichlet(Alpha); for (e in 1:E) ItemID[e] ~ CateCate(K, theta[PersonID[e]], phi); } モデル11-8実装例 弱情報事前分布に ディリクレ分布を指 定
- 39. library(rstan) d <- read.csv('input/data-lda.txt') E <- nrow(d) N <- 50 K <- 6 I <- 120 data <- list( E=nrow(d), N=N, I=I, K=K, PersonID=d$PersonID, ItemID=d$ItemID, Alpha=rep(0.5, I) ) stanmodel <- stan_model(file='model/model11-8.stan') # fit_nuts <- sampling(stanmodel, data=data, seed=123) fit_vb <- vb(stanmodel, data=data, seed=123) NUTSではパラメータが多く時 間がかかるため推定アルゴリ ズムにADVIを使用 11-8 Rコード
- 40. 1-4まで一部出やすい商品がある n=1, 50 の人を比べるとタグ(カテゴリ) 2に差がある 結果