Este documento explica diferentes tipos de progresiones matemáticas, incluyendo progresiones aritméticas y geométricas. Describe que una progresión aritmética es una sucesión de números donde cada término se obtiene sumando una cantidad constante al anterior, mientras que una progresión geométrica cada término se obtiene multiplicando el anterior por una razón constante. También cubre conceptos como interés simple y compuesto.

1. PROGRESIONES

2. PROGRESIONES
También conocida como una sucesión es un conjunto
infinito de números ordenados que tienen un
comportamiento común entre si.
A los números que forman la sucesión se les llama
términos y todas las sucesiones tienen un primer
término seguido de otros que cumplen con una
regla entre ellos.
Una sucesión se puede representar mediante una
expresión que permite conocer el valor de cada
término sabiendo el lugar (n) que ocupa.
Estudiaremos las más conocidas:
Progresión Aritmética y Progresión Geométrica

3. PROGRESIONES
A) 1, 6, 11, 16……
B) 45, 40, 35, 30
C) 10, 20, 40, 80……
D) 24, 12, 6, 3
¿Cuáles progresiones crecen y cuales
decrecen?
¿Qué operaciones aritméticas corresponde a
cada progresión?

4. PROGRESIÓN ARITMÉTICA
 Una progresión aritmética es una sucesión de
números llamados términos, en la que cualquier
término es el resultado de sumar al anterior una
cantidad constante (positiva o negativa), llamada
diferencia común y se calcula como:
 Un término n menos el que le antecede
1−−= nn aad

5. PROGRESIÓN ARITMÉTICA
 1, 6, 11, 16… donde se observa que la cantidad
constante que se suma es 5:
 1 + 5 = 6
 6 + 5 = 11
 11 + 5 = 16
 Y en 45, 42, 39, 36 se observa que la cantidad que se
suma es: -3
 45 - 3 = 42
 42 - 3 = 39
 39 - 3 = 36

6. PROGRESIÓN ARITMÉTICA
 Una progresión finita es aquella que tiene un
número determinado de términos.
 Una progresión infinita es aquella que tiene un
número indefinido de términos.

7. PROGRESIÓN ARITMÉTICA
Para calcular el enésimo término de cualquier
progresión aritmética utilizamos:
Donde:
l = último término
n = número de términos
a = primer término
d = la diferencia común
dnal )1( −+=

8. PROGRESIÓN ARITMÉTICA
 Ejemplo: 4, 8, 12, 16, 20, 24
 El primer termino es (a) es 4.
 La diferencia común (d) es 4, pues 8 – 4 = 4, 12 – 4 = 4.
 El número de términos (n) es 6.
 Primer termino: a = 4
 Segundo termino: a + d = 4 + 4 = 8
 Tercer termino: a + 2d = 4 + 2(4) = 12
 Cuarto termino: a + 3d = 4 + 3(4) = 16
 Quinto termino: a + 4d = 4 + 4(4) = 20
 Sexto termino: a + 5d = 4 + 5(4) = 24

9. PROGRESIÓN ARITMÉTICA
Además la suma de los n primeros términos de este tipo
de sucesiones se puede calcular como:
Donde:
S = es la suma de los n términos
l = último término
n = número de términos
a = primer término
d = la diferencia común
2
)(an
S
+ l
=

10. PROGRESIÓN ARITMÉTICA
Progresión Primer
Término
a
Diferencia
común
d
Valor del
8° término
l
Clasificació
n de la
progresión
12, 18, 24, 30, 36
-3, -3/2, 0, 3/2, 3,
9/2 ….
2, 6, 10, 14, 18,
22
½, 1, 1 ½, 2 ....

11. PROGRESIÓN GEOMÉTRICA
Es una sucesión de números llamados
términos, de tal forma que cada uno
de ellos, después del primero, se
obtiene multiplicando el termino
anterior por una cantidad constante
(entero o fracción, positivo o
negativo) llamada razón común.
1−
=
n
n
a
a
r

12. PROGRESIÓN GEOMÉTRICA
6/3, 12/3, 24/3….
La razón común es r = 2 dado que:
6/3 * 2 = 12/3
12/3 * 2 = 24/3
Los elementos de una progresión geométrica son:
a = primer término
r = la razón común
l = último término o enésimo termino
n = número de términos

13. PROGRESIÓN GEOMÉTRICA
Para calcular el enésimo término tenemos:
Donde :
a = primer término
r = la razón común
l = último término o enésimo termino
n = número de términos
1−
= n
ral

14. PROGRESIÓN GEOMÉTRICA
La suma de los n primeros términos se podría calcular como:
Cuando r = 1 r - al
S
−
=
r 1

15. PROGRESIONES - INTERÉS SIMPLE
Es el rendimiento que da un capital invertido durante
un tiempo determinado, invertido a una tasa de
interés dada………..
Cuando una persona deposita un capital en un
banco durante un cierto tiempo, el banco paga
intereses. Dependiendo de que se retiren o no los
intereses periódicamente, el interés se llama
simple si se retiran los intereses o compuesto si
se dejan en el banco.
Ejemplo:
¿En cuánto se convierte un capital de 1.600.000
pesos al 10 % en dos años a interés simple?

16. PROGRESIONES
INTERÉS SIMPLE.
El interés total es: 1.600.000 · 0,1 = 160.000 pesos.
Al final del primer año retiramos los intereses y el
capital sigue siendo el mismo: 1.600.000 pesos.
En el segundo año, el capital vuelve a producir otros
160.000 pesos.
En los dos años el interés producido es: 160.000 +
160.000 = 320.000 pesos. Por tanto, el capital
se convierte en los dos años en:
1.600.000 + 320.000 = 1.920.000 pesos.

17. INTERES SIMPLE
Se puede obtener directamente el interés en los dos años:
M = 1.600.000 * 0,1 * 2 = 320.000 pesos.
En general, si:
M es el monto producido después de un tiempo.
C es el capital,
i es la tasa de interés anual
t es el tiempo en años, entonces el monto generado con
interés simple es:
( )tiCM += 1

18. INTERES COMPUESTO
Llamamos monto de capital a interés compuesto o monto
compuesto a la suma del capital inicial con sus
intereses. La diferencia entre el monto compuesto y el
capital original es el interés compuesto.
El intervalo al final del cual capitalizamos el interés recibe
el nombre de período de capitalización. La frecuencia
de capitalización es el número de veces por año en que
el interés pasa a convertirse en capital, por
acumulación.

19. INTERES COMPUESTO
Cuatro conceptos son importantes en el interés compuesto:
El capital original (C o VA)
La tasa de interés por período (i)
El número de períodos de conversión durante el plazo que
dura la transacción (n).
El número de veces por año en los que los intereses se
capitalizan, se llama Frecuencia de Capitalización (k)
El número de veces por año en los que los intereses se
capitalizan, se llama Frecuencia de Capitalización.
Si el período de capitalización de intereses es, digamos
mensual, entonces las expresiones siguientes son
equivalentes:
"el interés es capitalizable mensualmente",
"es convertible mensualmente",
"es compuesto mensualmente",

20. INTERES COMPUESTO
n
M = C ( 1 + i )
En donde:
M = es el valor futuro
C = es el valor original o actual
n = número de capitalizaciones en el periodo de inversión
i = tasa por periodo de tiempo
J = tasa nominal (tasa anual)M = C + I j
i = ---
k

21. INTERES COMPUESTO
Con el interés compuesto, pagamos o
ganamos no solo sobre el capital inicial
sino también sobre el interés
acumulado, en contraste con el interés
simple que sólo paga o gana intereses
sobre el capital inicial.